线面垂直的判定定理
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平a a P'b 二.•「a// ■-面平行。
符合表示：a//b2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：a広oa//«=■ a//ba -:-b二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
n 〃b "m // aa"b = Mm □ n = N符号表示：2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
a //P ]符号表示：: =| = l//d （更加实用的性质：一个平厂L： d面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面符号表示:$:三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直符号表示:oA 二、：po -:2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
a _ ■ ,a---:2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面：=b, a x 上，a_b= a -:Welcome !!! 欢迎您的下载, 资料仅供参考!。
线面定理性质
线面、面面平行和垂直的定理性质
一、线面平行
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
变形：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：
（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
变形：垂直于同一条直线的两个平面平行
四、面面垂直
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直）
其他：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角，则这两个平面互相垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则CDE是二面角 - AB 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
8
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β
a l
A α
符号语言：
α
Aa
β
a⊥β
B
12
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I bbll Nhomakorabeab 又a
线面垂直
a // b 性质
b
a //
a
面面垂直性质 13
变式：
思考：已知平面，，直线a,且 , AB, a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系
线面关系
线线关系
空间问题平面化 面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
16
线l在平面α内，那么直线l与平面β的位
置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
6
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
7
证明问题：
已知： ， AB,CD ,且CD AB. 求证：CD
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面垂直面面垂直的性质与判定定理课件
学习目标
学习者能够理解面面 垂直的性质与判定定 理的基本概念。
学习者能够通过实际 案例分析，提高解决 实际问题的能力。
学习者能够掌握面面 垂直的性质与判定定 理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与 某一平面内的任意一条直 线都垂直。
性质1
线面垂直，则该直线与平 面内任意直线都垂直，且 线段与平面所成的角为直 角。
06
实例分析
线面垂直实例
总结词
线面垂直的判定定理
详细描述
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该 直线与该平面垂直。
实例
一个长方体，其一条棱与底面垂直，则该棱与底 面所在的平面垂直。
面面垂直实例
总结词
面面垂直的判定定理
详细描述
若两个平面内各有一条相交直线互相垂直，则这两个平面互相垂直 。
实例
证明2
根据判定定理2，如果一个平面$alpha$与另一个平面$beta$的垂线$c$平行，那么可以证明平面$alpha$与平面 $beta$垂直。设过直线$c$作平面$gamma$与$beta$相交于直线$d$，由于$c parallel d$，且$c perp beta$ ，则$d perp beta$。又因为直线$d$在平面$alpha$内，所以平面$alpha perp beta$。
平面与平面垂直的判定定理证明
假设平面β内有一条直线m与平面α垂直，那么可以通过平面的性质证明平面β与平面α 互相垂直。
05
面面垂直的判定定理
判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
线面垂直_面面垂直的性质定理
l α 符号表 αβ l β 示：
线线 垂直 线面 垂直
C A
l
B D
面面 垂直
（2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P E N A M B D
例3 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、 N分别是AB、PC的中点求证： （1）MN CD;
β B பைடு நூலகம் l A a
C
练1. 四边形ABCD中，AD∥BC， AD=AB，∠BCD=450， ∠BAD=900，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面 BCD，构成四面体ABCD. 求证:平面ADC⊥平面ABC A
A
D
D
B
C
B
C
练2.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a， ∠B=90°，∠DCB=135°，沿对角线AC将 四边形折成直二面角. (1)证明：AB⊥面BCD； (2)求面ABD与面ACD所成的角.
2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____ ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 ④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
例1 a
如图已知平面α、β,α⊥β,α∩β = l , 直线a⊥β, α，试判断直线a与平面α的位置关系.
a b
α
直线与平面垂直的性质定理.
垂直于同一个平面的两条直线平行 线面垂直的性质定理： 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明： 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴ a∥ b
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 , a , a ,判断a与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已知平面，，直线a,且 , AB,
a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
α
Aa
β
a⊥β
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
B
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
b
bl
l
b 又a
线面垂直
a // b 性质
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβααI 二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。
智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。
然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了。
(完整版)线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理:平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.符合表示：βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示: b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m bn 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面)三、线面垂直。
1、判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a $:三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线.)四、面面垂直.1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理:已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线面面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线和平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面和该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
α 发展条件
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则CDE是二面角 - AB 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
面面关系
线面关系
线线关系
空间问题平面化 面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
直线l在平面α内，那么直线l与平面β
的位置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
证明问题：
已知： ， AB,CD ,且CD AB. 求证：CD
a // b 性质
b
a //
a
面面垂直性质
变式：
思考：已知平面，，直线a,且 , AB, a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
ห้องสมุดไป่ตู้
a⊥β α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ交于b， 因为直线a//，所以a//b
直线与平面垂直的性质
温故知新
直线与平面垂直定义：
如果直线 l 与平面 内
的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面
线面垂直判定定理解析稿
线面垂直判定定理解析稿简介线面垂直判定定理是几何学中常用的定理之一，用于判断一条线段与一个平面是否垂直相交。
本文将对线面垂直判定定理进行解析，以便更好地理解和应用该定理。
定理表述线面垂直判定定理可以表述为：如果一条直线与一个平面相交，并且与该平面上的另一条直线垂直，则该直线与该平面垂直相交。
证明过程要证明线面垂直判定定理，需要进行一些基本的几何推理。
首先，我们假设有一条直线AB与一个平面P相交，且与平面P上的另一条直线CD垂直。
我们需要证明直线AB与平面P垂直相交。
为了证明这一点，我们可以利用平面P上的两条直线CD和AB之间的夹角。
根据几何学的基本原理，如果两条直线垂直相交，则它们之间的夹角为90度。
因此，我们只需要证明直线CD和直线AB之间的夹角为90度即可。
设直线CD上的一点为E，连接AE和BE。
考虑三角形AEB，根据直线AB与平面P垂直的假设，可知AE与平面P垂直。
另一方面，根据直线CD与平面P垂直的条件，我们可以得出CE与平面P垂直。
由于AE与平面P垂直，CE与平面P垂直，根据平面上的垂直性质可知AE与CE垂直。
根据三角形AEB中的垂直线性质，可得出直线AB与直线CD垂直。
因此，我们证明了线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面相交，并且与该平面上的另一条直线垂直，则该直线与该平面垂直相交。
应用示例线面垂直判定定理在几何学和工程学中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，可以利用该定理来确定柱子或墙壁与地面的垂直关系，以确保建筑结构的稳定性。
另外，在机械工程中，线面垂直判定定理可以用于判断机械零件的装配是否正确，特别是当需要保证两个零件的接触面垂直时。
总结线面垂直判定定理是一条重要的几何定理，用于判断一条直线与一个平面是否垂直相交。
通过基于几何推理的证明过程，我们可以理解该定理的原理和应用。
在实际问题中，我们可以利用线面垂直判定定理来解决与垂直关系相关的几何和工程问题。
第8.4讲 线面垂直的判定定理(艺考生专用)
★谨以此案赠送给有梦想的学子第8.4讲 线面垂直的判定定理◆知识精要1.线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理⑴判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.⑵判定定理二：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.⑶判定定理三：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.⑷判定定理四：两个相交平面都和第三个平面垂直，则交线垂直于第三个平面.◆现在就考考你，不要介意呀！1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//； ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥；③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ； ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M .其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面.B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面.C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线.D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面.3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l，m与平面α,β,γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有 ( )A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若1=BC，2=AC，1=PC，则P到AB的距离为 ( )A.1B.2C.552D.553第3题图7.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是 ( )A.α与β必相交且交线m∥d或m 与d重合B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合C.α与β必相交且交线m与d一定不平行D.α与β不一定相交9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题．．．的序号是 ( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确的命题是 ( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②3.线面垂直的证明方法例1如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.例2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.求证：BD⊥平面PAD.◆我们用向量法来证明线面垂直，你会发现，这个方法真是太简单了，好好享受证明的快感吧.例3如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.考考你，试试身手吧.1．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D -AF -E的余弦值．图1-42．[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．3．[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE ＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B -AD -E的大小．3.线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理一：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线；线面垂直的性质定理二：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 线面垂直的性质定理三：如果两条平行线中一条垂直于一个平面，那么另一条也平行这个平面.说明：线面垂直的最大应用就是来证明线线垂直.显摆一下，我是看好你呀！1. 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（ ） ⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（ ） ⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；（ ） ⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（ ） ⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ） ⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行. （ ） 2. 下列四个命题中错误的是（ ）.A.,a b a αα⊥⊥⇒∥bB.,a a α⊥∥b b α⇒⊥C.,a b α⊥∥,a b α⇒⊥D.,a a b b α⊥⊥⇒∥α3. 平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是（ ）. A.平面ABC 必平行于α B.平面ABC 必垂直于αC.平面ABC 必与α相交D.存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 4. 已知平面α和平面β相交,a 是α内一条直线，则有（ ）.A.在β内必存在与a 平行的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线C.在β内不存在与a 平行的直线D.在β内不一定存在与a 垂直的直线 5. 直线a α⊥，直线b β⊥，且α∥β，则a ___b .6. 设直线,a b 分别在正方体''''ABCD A B C D -中两个不同的平面内，欲使//a b ，,a b 应满足________________________.(至少写出2个不同答案)7.如图12-5，在三棱锥中，PA PB=，AB BC⊥，若M是PC的中点，试确定AB 上点N的位置，使得MN AB⊥.图12-58. 如图所示，已知点S是平面ABC外一点，ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC .9.已知，如图矩形ABCD，过A作SA⊥面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：babaaa////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==NnmMbaambn2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：dldl////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
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A
２．相交 √
B
C
D
B1
结论：若一条直线与一个平面内两条相交
直线都垂直，则该直线与此平面垂直
直线与平面垂直的判定定理
如果直线 l和平面 内的两条相交直线
m,n都垂直，那么直线l垂直平面。
即：
l
m ,n
lm, ln
,
m
n
P
l
mP n线不在多，重在源自交注意：(1)平面内的两条直线必须“相交”;
面所在的平面垂直
通过观察,我们容易发现,当且仅当ＡＤ ⊥ＢＣ， ＡＤ所在的直线与桌面所在的平面垂直,而翻折之 后垂直关系不变，即ＡＤ ⊥ＣＤ，ＡＤ ⊥ＢＤ．
A
B
C
D
B1
❖因 此 我 们 可 以 猜 想 ： 若一条直线与平面内两条直线都垂
直，则该直线与此平面垂直
这结论是否正确？
平面内两条直线的位置关系： １．平行 ×
刘静
复习:直线与平面垂直的定义：
如果一条直线和一个平面内的任何一条
直线都垂直,那么这条直线和这个平面互相
垂直.
相关概念: (1) 垂线 (2) 垂面 (3) 垂足
l
mP
如何证明一条直线和一个平面垂直? ❖方法一:利用定义证明; 有没有更好的方法?
探究:过△ABC的顶点A翻折三角形 纸片得到折痕AD,将翻折后的 纸片竖起放置在桌面上， 1）折痕AD是否与桌面垂直 2）如何翻折才能使折痕AD与桌
所以PO ⊥ .
αA
O
B
总结:
直线和平面垂直的判定定理（两条、 相交直线）
注意：要判断一条直线和一个平面是否垂直，取
决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直 线是否垂直。
练习1:已知PA 平面ABC ，AB是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的任一点，求证：PC BC ．
(２)必须是平面内的“两条”直线
(３)要判断一条直线与一个平面 是否垂直,取决于在这个平面 内能 否找到两条相交直线和已知直线 垂直.
（线面垂直<－－＞线线垂直）
例题1 如图:有一旗杆高12m，从它的顶端 连接一条长13m的绳子，拉紧绳子， 把它的下端放在地面A、B两点，而 这两点和旗杆脚的距离都是5m，求 证旗杆和地面垂直。
p
α
A
O
B
已知 如图所示，PO=12m,PA=PB=13m ,OA=OB=5m, 且点O、A、B不在一条直线上，却都在平面 内。 求证：PO⊥
证明：在△POA中,PO=12,PA=13,OA=5, PA2=PO2+OA2,根据勾股定理的逆定理可知：
△POA为直角三角形，即PO ⊥OA
同理PO ⊥OB. 又因为O、A、B不在一直线上，且都 p 在平面内，OA、OB为平面的两条相 交直线。