平行线分线段成比例拔高二
高中数学平行线分线段成比例
专题14 平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论． 运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．ABCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，R ，交CD ，AD 于S ，T ．求证：PQ •PT ＝P R •PS ．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ •PT ＝P R •PS ，需证PQ PS ＝PRPT，由于PQ ，PT ，P R ，PS 在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ．（1）如图1，如果P ，E ，F 分别是BC ，AC ，BD 的中点，求证：AB ＝PE ＋PF ；（2）如图2，如果P 是BC 上的任意一点（中点除外），PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB ＝PE ＋PF 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB ＝PE ＋PF ，即要证明PE AB ＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．A BCD EF P图2A BCD EF P图1QARBCD SP（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P g g g 图3QA BCDEFGM NP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝FA ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab的值为（ ） AB．CD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ） A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ； （2）求OE AD ＋OEBC的值； （3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF． （宿迁市中考试题）12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰FA ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB DEFM第6题ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题ABCDEF M NP5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ． 求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD+＝1EF成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD +＝1EF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）12．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 平分∠BAC ，过D 点的直线PQ 交边AC 于点P ，交边AB 的延长线于点Q ．（1）如图1，当PQ ⊥AC 时，求证：11AQ AP +＝； （2）如图2，当PQ 不与AD 垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论； （3）如图3，若∠BAC ＝60°，其它条件不变，且11AQ AP +＝nAD，则n ＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQBCDP图1AQBCDP图2AQBCDP图3ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。
平行线分线段成比例定理 课件
1．平行线分线段成比例定理有哪些变式？ 【提示】 变式有DABE＝BECF，DABE＝DACF，BECF＝DACF. 2．平行线分线段成比例定理的逆命题是什么？它是正 确的吗？ 【提示】 平行线分线段成比例定理的逆命题是：如果 三条直线截两条直线所得的对应线段成比例，那么这三条直 线平行，这个命题是错误的．
3．怎样理解平行线分线段成比例定理的推论？ 【提示】 (1)这个推论也叫三角形一边平行线的性质定 理．(2)它包括以下三种基本图形(其中 DE 为截线)．
习惯上称前两种为“A 型”，第三种为“X 型”．
(3)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的 两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直 线平行于三角形的第三边．
1．解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形． 2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题 应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来 促成比例线段的产生． 3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没 有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线， 从而达到转移比例的目的，如本题中，EFPP＝MCNN＝AGMC＝AACB.
如图 1－2－7 所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC， EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥AD.
(1)求OADE＋OBCE的值； (2)求证：A1D＋B1C＝E2F.
【思路探究】 (1)利用比例线段转化所求； (2)证出 EF＝2OE，再利用(1)的结果证明．
【自主解答】 (1)∵OE∥AD，∴AODE＝BAEB. ∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC， ∴OBCE＝AAEB， ∴OADE＋OBCE＝BAEB＋AAEB＝BEA＋BAE＝1.
人教版高中数学选修四教学课件-平行线分线段成比例定理
b
叫做线段
a,c
的
比例中项.
(4)比例的性质:
①基本性质:a∶b=c∶d⇔ad=bc.
②合比性质:如果
������ ������
=
������ ������
,
那么
������+������ ������
=
������+������������.
③等比性质:如果
������ ������
=
������ ������
∵AE=AF,∴AM=AC. ∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.
延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,
则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.
∵CM∥EF,∴
������������ ������������
=
������������ ������������
=
������������ ������������
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.比例线段常由平行线产生,因而研究比例线段问题应注意 平行线的应用,在没有平行线时,可以添加平行线来促成比例线段 的产生.
2.利用平行线产生比例或转移比例是常用的证题技巧,当题中没 有平行线而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转 移比例的目的.
题型一 题型二 题型三 题型四
1 2
的应用,通过作平行线,证明
������ ������������
=
������ ������������
,
其中x 是某条线段.
题型一 题型二 题型三 题型四
证明:过点 D 作 DH∥AC,交 BF 于点 H,如图.
∵D 是 BC 的中点,
平行线分线段成比例定理及证明
平行线分线段成比例定理证明简介平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。
也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF。
说明上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。
事实上，直线AC和直线DF 可以在平行线之间相交，同样有定理成立。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
证明思路该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q则四边形AMPD、ANQD均为矩形AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵ BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3：连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF定理推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
(完整版)平行线分线段成比例
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
高二数学平行线分线段成比例定理5
一般地, 我们有 平行线分线段成比例定 理 三条平行线 截两条直线 , 所截的对应线段成比例 .
思考:你怎样理解“对应线段成比例”
AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下F
l3
AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下 B BC EF 下 下 是 ;C AB DE 上 上
A B D E F
l1 l2
l3
C
例1 如图1 12, ABC 中, DE // BC , DF // AC , AE 4, EC 2, BC 8.求 BF 和 CF 的长.
B D
A
E F C
图1 12
解 因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
A
D E
l1 l2
F
l3
AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下 B BC EF 下 下 是 ;C AB DE 上 上 AB BC DE EF
A
D E
l1 l2
F
l3
AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下 B BC EF 下 下 是 ;C AB DE 上 上 AB BC DE EF 和 是 DE EF AB BC
探究 如图1 15 , 直线 l1、l2 被三个 平面、、 所 截 , 直线l1 与它们 的交点分别为A、 B、C , 直线l2与它 们的交点分别为
C
图1 15
l1 l2
B
A D E F
AB DE D、E、F . 与 相等吗? BC EF
小结：
平行线分线段成比例定理
类型 3 利用定理及推论等分已知线段 [典例 3] 已知线段 AB，求作 AB 的五等分点． 分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用．只要 作射线 AM，在 AM 上任意截取 5 条相等线段，设分别为 AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连接端点 A5 与点 B，再 过其他端点作 BA5 的平行线，分别交 AB 于 C、D、E、F， 则 AB 就被这些平行线分成五等分了．
2．两个推论内容
推论 文字语言 图形语言 符号语言
经过三角形一边 的中点与另一边 推论 1 平行的直线必平 分第三边
AB′＝B′B
B′C′∥BC
⇒AC′＝C′C
经过梯形一腰的 中点，且与底边平 推论 2 行的直线平分另 一腰
AADE＝∥EBBC⇒ EF∥BC
DF＝FC
类型 1 利用定理及推论进行计算(自主研析)
如下图所示．
归纳升华 求作已知线段 AB 的 n 等分点的一般作法：过线段 AB 的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次截取 n 条相等的线段，然后连接第 n 条线段的末端与已知线段 的另一个端点，过射线上各个分点作所连线段的平行线， 这些平行线与已知线段的交点就是线段 AB 的 n 等分点．
解：(1)作射线 AM. (2)在射线 AM 上截取 AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝ A4A5. (3)连接 A5B，分别过 A1、A2、A3、A4 作 A5B 的平行 线 A1C、A2D、A3E、A4F，分别交 AB 于 C、D、E、F， 那么 C、D、E、F 就是所求作的线段 AB 的五等分点．
∠AEC＝∠CEM，CE＝CE. ∠ACD＝∠MCD， 所以△ACE≌△MCE， 所以 AE＝EM，即 E 是 AM 的中点， 又在△ABM 中，EF∥BM，AE＝EM， 所以 F 是 AB 的中点，所以 AF＝BF.
高二数学必修1课件：平行线分线段成比例定理
典例讲评
例3、用平行于三角形一边且和其他两边 相交的直线截三角形，所截得的三角形的 三边与原三角形的三边对应成比例.
第九页，编辑于星期一：一点 一分。
布置作业
1、P9 1,3 2、自学相似三角形的判定与性质.
第十页，编辑于星期一：一点 一分。
第三页，编辑于星期一：一点 一分。
问题探究
两条直线被一组平行线所截， 当平行线间的距离不相等时， 所截得的线段AB与BC、DE与 EF之间有什么关系？
第四页，编辑于星期一：一点 一分。
形成结论
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线， 所得的对应线段成比例.
第五页，编辑于星期一：一点 一分。
形成结论
平行线分线段成比例定理推论
平行于三角形一边的直线截其 他两边（或两边延长线）所得的 对应线段成比例.
第六页，编辑于星期一：一点 一分。
典例讲评
例1、在ABC中，DE//BC,DF//AC, AE=4,EC=2,BC=8，求BF和CF的长.
第C中，DE//BC,EF//CD. 求证：AD是AB和AF的比例中项.
相似三角形的判定
及有关性质
第一页，编辑于星期一：一点 一分。
复习巩固
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的 线段相等，那么 在其他直线上截得的 线段也相等.
第二页，编辑于星期一：一点 一分。
复习巩固
推论1、经过三角形一边的中点， 且与底边平行的直线平分另一腰. 推论2、经过梯形一腰的中点， 且与底边平行的直线平分另一腰.
25.2平行线分线段成比例(2)
平行线分线段成比例的推论1:
A
D E E D A
B
C
B
C
“A”字图形
“8”字图形
A
D
平行线分线段成比例的 推论1: E D 几何语言：
E A
∵DE∥BC， AD AE ∴ = . AB AC
B
C
B
C
“A”字图形
“8”字图形
这是今后最常用的两个基本图形.
两两合作：提纲（一）（二）
大号讲解思路，小号补充纠错，
小组讨论：分析提纲（三） B层讲解思路，A层纠错，C层发问；
2.如图，在△ABC中，DE∥BC,DE分别交 AB，AC于点D，E，DE=10，AE=12，EC=2 求BC的长。
A
D B
E C
1.如图DE∥BC,EF∥AB,AB=9，AD=3， BF=4.求BC的长。 A
D E
B
F
C
2.已知：如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线， EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F，交AD于点G, 求证：EG=GF
D A B
l1 l2
F
C
l3
平行于三角形一边的直线截其他两边
(或两边的延长线)，
平行线分线段成比例的推论1:
D A B
l1 l2
F
C
l3
平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)， 所得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例的推论1:
A
D E E D A
B
C
B
C
“A”字图形
“8”字图形
A
C
l3
平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线)，
平行线分线段成比例的推论1:
平行线分线段成比例八大题型
【变式】如图，已知点 F 在 AB 上，且 AF：BF＝1：2，点 D 是 BC 延长线上一点，BC：CD ＝2：1，连接 FD 与 AC 交于点 M，则 FN：ND＝ ．
解：过点 F 作 FE∥BD，交 AC 于点 E，
∴=，
∵AF：BF＝1：2，
∴ = 1，
3
∴ = 1，
3
即 FE= 13BC， ∵BC：CD＝2：1，
C l3
【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如 AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段
上上 上上 下下
合成的线段称为全，则可以形象的表示为 下 下 ， 全 全 ， 全 全 ．
【题型1 “井”字型】
【例 1】如图，直线 l1∥l2∥l3，直线 AC 和 DF 被 l1，l2，l3 所截，如果 AB＝2，BC＝3，EF ＝2，那么 DE 的长是（ ）
A．2
B
．4
3
C．1
D．34
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵直线 l1∥l2∥l3， ∴=，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴2 = ，
32
∴DE=
4，
3
故选：B．
【变式】如图，a∥b∥c，两条直线与这三条平行线分别交于点 A，B，C 和 D，E，F．已知 AB＝3，BC＝2，DE＝6，则 DF 等于（ ）
∵ = = 1，
2
∴BG＝2DG， ∵BE＝4DG， ∴ = 1，
4
故 D 错误，符合题意； 故选：D．
【变式】已知，在△ABC 中，点 D 为 AB 上一点，过点 D 作 DE∥BC，DH∥AC 分别交 AC、 BC 于点 E、H，点 F 是 BC 延长线上一点，连接 FD 交 AC 于点 G，则下列结论中错误的 是（ ）
平行线分线段成比例定理(通用12篇)
平行线分线段成比例定理（通用12篇）平行线分线段成比例定理篇1教学建议学问结构重难点分析本节的重点是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理是讨论相像形的最重要和最基本的理论,它一方面可以直接判定线段成比例,另一方面,当不能直接证明要证的比例成立时,常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理变式较多,同学在找对应线段时常常消失错误;另外在讨论平行线分线段成比例时,常用到代数中列方程度方法,利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程,求出未知数,这种运用代数方法讨论几何问题,同学接触不多,也常常消失错误.教法建议1.平行线分线段成比例定理的引入可考虑从旧学问引入,先复习平行线等分线段定理,再转变其中的条件引出平行线分线段成比例定理2.也可考虑探究式引入,对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系,从而得到平行线分线段成比例定理,并加以证明,较附和同学的认知规律(第一课时)一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握平行线分线段成比例定理及其推论,并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用,培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学,进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点:是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.2.教学难点:是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤复习提问找同学叙述平行线等分线段定理.讲解新课在四边形一章里,我们学过平行线等分线段定理,今日,在此基础上,我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理,如图: ,且 ,∴由于问题:假如 ,那么是否还与相等呢?老师可带领同学阅读教材p211的说明,然后强调:(该定理是用举例的方法引入的,没有给出证明,严格的证明要用到我们还未学到的学问,通过举例证明,让同学们承认这个定理就可以了,重要的是要求同学们正确地使用它)因此:对于是任何正实数,当时,都可得到:由比例性质,还可得到:为了便于记忆,上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外,依据比例性质,还可得到 ,即同一比中的两条线段不在同始终线上,也就是“ ”,这里不要让同学死记硬背,要让同学会看图,达到依据图作出正确的比例即可,可多找几个同学口答练习.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理,我们可以写出六个比例,为了便于应用,在以后的论证和计算中,可依据状况选用其中任何一个,参见下图.,∴ .其中后两种状况,为下一节学习推论作了预备.例1 已知:如图所示, .求:bc.解:让同学来完成.注:在列比例式求某线段长时,尽可能将要求的线段写成比例的第一项,以削减错误,如例1可列比例式为:例2 已知:如图所示,求证: .有了5.1节例4的教学,同学作此例题不会有困难,建议让同学来完成.小结1.平行线分线段成比例定理正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.(对比图形,并注意变化)七、布置作业教材p221中3(练习同学克服图形中各线段的干扰).八、板书设计标题复习:平行线等分线段定理问题:……平行线等分线段定理:……4个变式图形(投影仪)板书:形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇2教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇3（其次课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握平行线分线段成比例定理及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.2.教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】叙述平行线分线段成比例定理（要求：结合图形，做出六个比例式）.【讲解新课】在黑板上画出图，观看其特点：与的交点A在直线上，依据平行线分线段成比例定理有：……（六个比例式）然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，这样即可得到：平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例.在黑板上画出左图，观看其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：（六个比例式），然后擦掉图中有关线，得到右图，这样即可证到：平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例.综上所述，可以得到：推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如图，（六个比例式）.此推论是判定三角形相像的基础.注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，假如已知，DE是截线，这个推论包含了下图的各种状况.这个推论不包含下图的状况.后者，教学中如同学不提起，可不必向同学交待.（考虑改用投影仪或小黑板）例3 已知：如图，，求：AE.教材上采纳了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即： .让同学思索，是否可直接未出AE（找同学板演）.【小结】1.知道推论的探究方法.2.重点是推论的正确运用七、布置作业（1）教材P215中2.（2）选作教材P222中B组1.八、板书设计平行线分线段成比例定理篇4教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇5教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇6教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，∴ .其中后两种状况，为下一节学习推论作了预备.例1 已知：如图所示， .求：BC.解：让同学来完成.注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以削减错误，如例1可列比例式为：例2 已知：如图所示，求证： .有了5.1节例4的教学，同学作此例题不会有困难，建议让同学来完成.【小结】1.正确性的的说明.2.娴熟把握由定理得出的六个比例式.（对比图形，并留意变化）七、布置作业教材P221中3（训练同学克服图形中各线段的干扰）.八、板书设计标题复习：平行线等分线段定理问题：……平行线等分线段定理：……4个变式图形（投影仪）板书：形象语言……例1.……例2.……平行线分线段成比例定理篇7教学建议学问结构重难点分析本节的重点是.是讨论相像形的最重要和最基本的理论，它一方面可以直接判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理把两条线段的比“转移”成另两条线段的比.本节的难点也是.变式较多，同学在找对应线段时经常消失错误；另外在讨论平行线分线段成比例时，常用到代数中列方程度方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出未知数，这种运用代数方法讨论几何问题，同学接触不多，也经常消失错误.教法建议1.的引入可考虑从旧学问引入，先复习平行线等分线段定理，再转变其中的条件引出2.也可考虑探究式引入，对给定几组图形由同学测量得出各直线与线段的关系，从而得到，并加以证明，较附和同学的认知规律（第一课时）一、教学目标1.使同学在理解的基础上把握及其推论，并会敏捷应用.2.使同学把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培育识图力量和推理论证力量.5.通过定理的教学，进一步培育同学类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是和推论及其应用.2.教学难点：是的正确性的说明及推论应用.四、课时支配1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】找同学叙述平行线等分线段定理.【讲解新课】在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今日，在此基础上，我们来讨论平行线平分线段成比例定理.首先复习一下平行线等分线段定理，如图：，且，∴由于问题：假如，那么是否还与相等呢？老师可带领同学阅读教材P211的说明，然后强调：（该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的学问，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它）因此：对于是任何正实数，当时，都可得到：由比例性质，还可得到：为了便于记忆，上述6个比例可使用一些简洁的形象化的语言“ ”.另外，依据比例性质，还可得到，即同一比中的两条线段不在同始终线上，也就是“ ”，这里不要让同学死记硬背，要让同学会看图，达到依据图作出正确的比例即可，可多找几个同学口答练习.：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例.依据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可依据状况选用其中任何一个，参见下图.，。
平行线分线段成比例
《平行线分线段成比例》
常老师的这节课整体效果很好，在这一节课中，老师根据学习的认知理论，利用《几何画板》等软件，精心设计教学环节，引入教学实验，引导学生测量、计算一般的情况，通过观察、类比、探究特殊情况，引导学生层层深入地去研究特殊情况，有一般到特殊。
教师起到了很好的引导作用，体现了学生学习的主体地位，学习效果很好。
在传统的教学中，平行线分线段成比例定理的推出是个难点，教材是通过平行线分线段定理举例说明它的正确性，学生没有足够的体验，很难达到对定理的理解，进而影响了后续知识的掌握。
本节课常老师以PPT课件为导向，以几何画板软件创设问题情境，引入教学实验。
几何画板软件能够动态的保持几何关系中不变的功能，使学生可以任意的移动直线的位置，接着很直观的测量线段的长度，接着算出线段比值，从而得出比值相等。
在不断变化的数值中，总结归纳所需要的规律，由一般到特殊。
使学生较深刻地理解所学的知识，彻底改变了以老师的讲解为主的灌输思想，充分体现了教师的主导，学生的主体的教学原则。
也体现了常老师的基本功较强，能够掌握很多信息工具，对几何画板的运用较熟练。
在不断变化的几何图形中，研究不变的几何规律。
常老师选择的练习题难度适中，数量合适，整个课堂环节的设计较好。
整个课堂感觉很流畅，学生的参与度较高，师生关系很融洽，学生的达标率较高，是一节较完美的课堂。
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
证明思路:该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N,过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q,则四边形AMPD、ANQD均为矩形。
AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3：连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF。
平行线分线段成比例
A
1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A: —AA—DB ＝ —AAEC— ( )B: —ABDD—＝ —AC—EE ( ) D
E
C:—AA—CD ＝ —AA—BE ( ) D: —AA—ED ＝ —AA—CB ( )B
2、填空题:
E
如图:DE∥BC,
已知:
—AACE—
＝
—2 5
求:
—AADB—
=
AE AC
L3 B
C
L3
数学符号语言
∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
A
21
三角形一边的平行线的性质A定理：
平行于三角形一边的直线 截其他两边(或两边的延长
D
E
线），所得的对应线段成
比例。
B
C
推论的数学符号语言： E D
∵ DE∥BC
A
∴ —AD— ＝ —AE— （ ）
AB AC
B
C
A
22
练习一:
A
1
L4 L5
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
A
2
两条直线被一组平行线所截截,所得的对应线段成比例.
定理的符号语言 L4 L5
L1//L2//L3
A
D
L1
B
E
AB
DE
=
C
L2 F
L3
BC EF
(平行线分线段成比例定理)
A
3
三、平行线分线段成比例定理的主要 知识点：
• 1 平行线分线段成比例定理：
• 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成
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平行线分线段成比例拔高练习2
如图所示，在△ABC中，DE∥BC,CD,BE相交于点O,过点O作MN∥BC,分别交AB,AC与点M,N.
求证：
112 DE BC MN
+=.
2.如图所示，AM是△ABC的中线，交BC于点M,任意作一直线PQ分别交AB,AC于点P,Q.
求证：
2
AB AC AM
AP AQ AN
+=(要求3种解法)
N
M
O
E
D
C
B
A
Q
P
M
C
B
A
Q
P
M C
B
A
Q
P
M C
B
A
3.在△ABC 中，∠A=90°，分别以AB,AC 为边向外作正方形ABDE,ACFG.设CD 交AB 于点N,BF 交AC 于点M,求证：AM=AN
4.在△ABC 中，底边BC 上的两点E,F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE,AF 分别交BM 于G,H 两点。
求BG ：GH:HM=______
5. 在△ABC 中，底边BC 上的三点D,E,F 把BC 四等分，BN 是AC 上的中线，AD,AE,AF 分别交BM 于G,H,M 两点。
求BG:GH:HM:MN=______
6.如图所示，如果M 是△ABC 中BC 边的中点，P 是CM 上任意一点，过P 作PR ∥AM,交BA 延长线于点Q,交CA 于点R.求证：
PQ PR BC
AM AM BM
+=
M
H
G
F
E
C
B
A
N
M
H
G
F
E D
C
B
A
R
P
Q
M
C
B
A。