直线的投影
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第二章 直线的投影
如果两直线都不平行于投影轴，则有两个投影面投 影平行则可以认为直线平行。 如果两直线都平行于某投影面，则必须根据第三投 影或比例关系判断。
2．已知直线 AB 平行直线 CD，试完成直线
例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB
AB 和 CD 的三面投影。 和CD的三面投影。
题解： c′〝
c
NEW
c
c
b
点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并 符合点的投影规律。
二、Ｄ点不在 直线ＡＢ上。
a A d b a b
NEW
a b
D
d
B
d
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上 解法１：
NEW
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律， 故Ｍ点不在直线ＣＤ上。
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
直线 水 平 线
直观图
投影图
投影特征 1、水平投影ab 反映实长 及直线的倾角β 和γ 。 2、正面投影a b //o x轴, 侧面投影a"b "//oy w 轴，且 均短于实长。 1、正面投影e f 反映实长 及直线的倾角α 和γ 。 2、水平投影ef //o x轴,侧 面投影e"f "//oz 轴，且均 短于实长。 1、侧面投影e"f" 反映实 长及直线的倾角α 和β 。 2、水平投影e f//oy H 轴,正 面投影e f //oz 轴，且均 短于实长。
• 1． 直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上。 • 2． 直线上的点，分割线段之比，在投影后保持不变。
三．直线上的点 (一) 直线上点的投影特性
点Ｃ在直线上 ＡＢ上
1.直线上的点，
其投影必在该 直线的同面投 影上。
2.直线上的点，
2．已知直线 AB 平行直线 CD，试完成直线
例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB
AB 和 CD 的三面投影。 和CD的三面投影。
题解： c′〝
c
NEW
c
c
b
点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并 符合点的投影规律。
二、Ｄ点不在 直线ＡＢ上。
a A d b a b
NEW
a b
D
d
B
d
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上 解法１：
NEW
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律， 故Ｍ点不在直线ＣＤ上。
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
直线 水 平 线
直观图
投影图
投影特征 1、水平投影ab 反映实长 及直线的倾角β 和γ 。 2、正面投影a b //o x轴, 侧面投影a"b "//oy w 轴，且 均短于实长。 1、正面投影e f 反映实长 及直线的倾角α 和γ 。 2、水平投影ef //o x轴,侧 面投影e"f "//oz 轴，且均 短于实长。 1、侧面投影e"f" 反映实 长及直线的倾角α 和β 。 2、水平投影e f//oy H 轴,正 面投影e f //oz 轴，且均 短于实长。
• 1． 直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上。 • 2． 直线上的点，分割线段之比，在投影后保持不变。
三．直线上的点 (一) 直线上点的投影特性
点Ｃ在直线上 ＡＢ上
1.直线上的点，
其投影必在该 直线的同面投 影上。
2.直线上的点，
《直线的投影》课件
垂直线投影
当直线与投影面垂直时，其投影长度变为零，但角度保持不 变。
直线投影的相交与交叉
相交线投影
当两条直线相交时，它们的投影在投 影面上也相交，且交点与原直线上的 交点对齐。
交叉线投影
当两条直线在空间交叉但不相交时， 它们的投影在投影面上可能相交或平 行。
03
直线投影的应用
建筑图纸的绘制
建筑图纸是建筑设计和施工的基础，而直线的投影在建筑图 纸的绘制中起着至关重要的作用。通过正确的直线投影，建 筑师可以准确地表达建筑物的形状和结构，为施工提供准确 的指导。
斜投影是指光线与投影面不垂 直的投影方式，此时投影线与 投影面形成一定的角度。
02
直线投影的性质
直线投影的长度与角度
直线投影的长度
在投影面上，直线的投影长度等 于直线本身长度，保持不变。
直线投影的角度
直线的投影角度等于直线本身与 投影面的夹角，保持不变。
直线投影的平行与垂直
平行线投影
当直线与投影面平行时，其投影长度和角度都不变，形状也 不变。
利用作图法解题
作图法是一种直观的解题方法，通过 作图可以清晰地表达出问题中的几何 关系。在解决直线投影问题时，可以 利用作图法来帮助解题。
例如，在求解两条直线在投影面上的 夹角时，可以通过作图来表达两条直 线在空间中的位置关系和夹角，从而 推导出投影面上的夹角。
利用几何意义解题
直线的投影在几何上表示直线与投影面的交点形成的图形。利用这个几何意义，可以解决一些与直线 投影相关的问题。
使用直线连接投影点， 得到直线的投影。
判断可见性
根据直线与投影面的关 系，判断直线的投影在 可见性上是否存在变化
。
直线的截取与延长
第三章 直线的投影
度缩短。
长度缩短。
长度缩短。
§3-3 一般位置直线的实长及
其对投影面的夹角
由上节可知，在特殊位置直线的投影 中，至少有一个投影反映该线段的实长，线 段对各投影面的夹角也可在投影图中找到。
4
图 3-5 一般位置直线
而一般位置直线在各投影面上的投影既
不反映实长，也不反映对投影面的夹角
（见图 3-5）。下面介绍工程上求一般位
（1）直线垂直投影面，它的投 影成为一点；
（2）直线平行投影面，它的投 影反映实长；
（3）直线倾斜投影面，它的投 影不反映实长，而且缩短。
图 3-1 直线的投影
图 3-2 直线正投影的特性
1
二、点在直线上，点的投影一定在直线的投影上。
图 3-3 所示，过直线 AB 上一点 C 的投射线 Cc，必位 于平面 ABba 上，故 Cc 与 H 面交点 c，也必位于平面 ABba 与 H 面的交线 ab 上。
图 3-7 以水平投影为一直角边求线段实长
图 3-8 以正面投影为一直角边求线段实长
综上所述，在投影图上求线段实长的方法是：以线段在某个投影面上的投影为一直角边， 以线段的两端点到这个投影面的距离差为另一直角边，形成的直角三角形的斜边就是所求线 段的实长，此斜边和投影长的夹角，就等于线段对该投影面的倾角。
10
（a）
（b）
（c）
（d） 图 3-20 判断两直线的相对位置
（a）
（b）
图 3-21 过 A 点作一直线与 BC 、DE 两直线相交
§3-6 直角投影定理
当互相垂直的两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面的投影必为直角；当互相垂 直的两直线都不平行于某投影面时，在该投影面的投影不反映直角；除此之外，当互相垂直 的两直线中有一条平行于某投影面时，在该投影面的投影又会如何呢？这就是现在要讨论的 一种情况，也是在作图时经常会遇到的，它是处理一般垂直问题的基础。
直线的投影
例1.判断下列几组直线是否垂直：
b′
b′
a′
c′
a′
c′
a c
b
(a)
a′
c′ b′
b
c
bc
a ( b ) a′
c′ b′ b c
a
(d)
a
a′ (b′ c′ )
d′
b
c
d
a
(c)
d′
d (e)
例2 .已知侧平线AC为菱形对角线，B点在Z轴上，试完成菱形的三面投影。
z
分析：
d’
作图：
① 作出a′′c′′，过中 点o′′作中垂线交OZ 于b′′
（2）在这条投影连线上，从新投影轴 向新投影面一侧，量取点的被更换的 投影与更换的投影轴之间的距离，就 得到该点所求的新投影。
非机类
b1’ V1 a1’
X1
a’ XV
H a
思考: 变换H面?
a1’ α
实长
b’
X1∥ab
b b1’
例4 求一般位置线段AB的实长及其对W面的倾角γ， 并AB上截取一点E，使AE长为10mm。
非机类
六 一边平行于投影面的直角的投影
a′
b′
a’
b’
c’
A
c′
x
X
C
OB a
a
o
c
b
b
c
证 结明论：：
⑴已当知直A角B⊥的A一C边, 平AB行∥于H投，影则面A时B⊥, 该Aa投，影则面A上B⊥的平投面影A反ac映C直; 角 ; 反之 , 两直线之一平行于投影面且在该面两直线投影成直角 , 则 ⑵ 两因直a线b∥在A空B间，的故夹ab角⊥也平一面定Aa是cC直，角则。ab⊥ac 。
直线的投影
图2-19 判别C点是否在线段AB上
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
完整版直线的投影
第四节直线的投影空间两点确定一条空间直线段，空间直线的投影一般也是直线。
直线段投影的实质，就 是线段两个端点的同面投影的连线；所以学习直线的投影，必须于点的投影联系起来。
三、教学内容（一）直线的投影图空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定。
如图 所示的直线AB 求作它的三面投影图时，可分别作出A B 两端点的投影（a 、a '、a 〃）、（b 、 b '、b 〃），然后将其同面投影连接起来即得直线 AB 的三面投影图（a b 、a ' b(a )直线的投影（二）直线对于一个投影面的投影特性 空间直线相对于一个投影面的位置有平三种位置有不同的投影特1、 真实性2、 积聚性3、 收缩性当直线与投影面平行时, 当直线与投影面垂直时, 当直线与投影面倾斜时, 则直线的投影为实长。
如图（a ）所示。
则直线的投影积聚为一点。
如图（ b ）所示。
则直线的投影小于直线的实长。
如图（c ）所示。
（b ）（ c ）直线的投影（三）各种位置直线的投影特性根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂 直线三类。
前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。
1、投影面平行线 平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。
平行于 的称为正平线；平行于 H 面的称为水平线；平行于 W 面的称为侧平线。
直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。
口、8、丫分别表示直线对 面、W 面的倾角。
举例说明：正平线的投影特性H 面、V Y(a )V作正垂线AB强调：（1）斜线反映实长;（2）直线的倾角a 、Y 。
总结投影面平行线的投影特性：两平一斜。
要求学生必须掌握表中的图例。
对于投影面平行线的辨认：当直线的投影有两个平行于投影轴， 第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面平行线，且一定平 行于其投影为倾斜线的那个投影面。
直线的投影
直线的投影一、直线投影图的画法两点确定一条直线，因此，作直线的投影，一般只需作出两点（通常是直线段的两个端点）的三面投影，然后连接这两点的各个同面投影即可。
直线的投影一般情况下还是直线，投影用粗实线表示。
如图所示。
直线投影图的画法二、直线在三投影面体系中的各种位置及其投影特性1.直线与三个投影面间的相对位置在三投影面体系中，直线相对投影面的位置可分三种：投影面的平行线、投影面的垂直线、投影面的倾斜线（一般位置直线）。
前两种又称为特殊位置直线。
空间直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为直线对投影面 H、V、W 面的倾角α、β、γ。
当直线与投影面平行时倾角为0°；当直线与投影面垂直时倾角为90°；当直线与投影面倾斜时倾角大于0°而小于90°。
2.各种位置直线的投影特性投影面的平行线投影面的垂直线一般位置直线（参 PPT+动画。
讲解时可用圆规作为直线演示，使学生理解、记牢结论）三、直线上点的投影（点的从属性很重要）直线上点的投影有以下特性：1.从属性。
如果点在直线上，则该点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投影特性。
，已知点的三面投影在直线的同面投影上，且符合点的投影规律，则点必在直线上。
2.定比性。
若线段上的点分割线段成定比，则该点的投影也分割线段的同面投影成相同之比。
AC:CB=ac:cb=a'c':c'b'=a"c":c"b"V b ′b ′ Z b ″c ′ B b ″ c ′ c ″ a ′a ′ ″ C c ″WX O Y A a ″c bc a H a Ya ' " k " ' ●' b " b a ● k ' ● ●2ba '●1●● 2 b 'b k ●a直线上点的投影例 1：已知点 K 在线段 AB 上，求点 K 正面投影。
直线的投影
小
结
一、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线 三个投影与各投影轴都倾斜。 ⒉ 投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相 应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。 ⒊ 投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个 投影反映实长且垂直于相应的投影轴。 牡丹区职业中专 郭洪涛
直线的投影
1、直线的概念和分类
在三投影面体系中，直线按其与投影面的相对位置，可分为三种： 投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线。 投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线。 一般位置直线——与三个投影面都倾斜的直线。 投影面平行线和投影面垂直线又称为特殊位置直线。 在三投影面体系中，直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。
2．投影面垂直线
投影面垂直线也有三种位置： 铅垂线 正垂线 侧垂线 垂直于水平面的直线 垂直于正面的直线 垂直于侧面的直线
铅垂线的投影特性
正垂线的投影特性
侧垂线的投影特性
投影面垂直线的投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直于相应的投影轴
3．一般位置直线
1．投影面平行线
投影面平行线有三种位置： 水平线 正平线 侧平线 平行于水平面的直线 平行于正面的直线 平行于侧面的直线
水平线的投影特性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正平线的投影特性
侧平线的投影特性
投影面平行线的投影特性： ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面倾角的实大。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
第3章 直线的投影【画法几何】.
1、水平投影ab反映实长， 并反映倾角β 、γ
a
b
2、正面投影a´b´//OX轴， 侧面投影a˝b˝//OYw轴
正平线的投影
c´d´反映CD实长
d′ c′ C
D
d˝ c˝
c˝d˝//OZ轴
c
d
cd //OX轴
d´
d˝ c˝
c´
正平线的投影特 性
1、正面投影c´d´反映实 长，并反映倾角α ,γ
二、 投影面平行线
( 一 ) 含义：仅平行于某一个投影面 的直线，称为投影面平行线。
平行于H面的直线称为水平线 平行于V面的直线称为正平线 平行于W面的直线称为侧平线
水平线的投影
a´b´ //OX轴
a´ A
β
b´ a˝
γ
a˝b˝//OY轴
B
b˝
a
β
γ
b
ab 反映AB的实长
a´
b´
a˝
b˝
(二) 投影面平行线 的投影特性： 水平线
e
f
投影面垂直线的投影特性
1 、 直 线 在 所 垂 直 的 投 影 面 上 积 聚为 一 点 （即有积聚性）
2 、其它两个投影垂直于相应的投影轴，并
且反映实长（即有显实性）。
例3－2：判断AB、CD、DE直线的空间位置，并找出其第三投影
d’ e’
a’ b’ c’
e”
d”
a” c”
b”
正垂线
e
a´
α
b´
B
b´ a´
m
C
b
X
A
O b
α α
a
a
b
2、正面投影a´b´//OX轴， 侧面投影a˝b˝//OYw轴
正平线的投影
c´d´反映CD实长
d′ c′ C
D
d˝ c˝
c˝d˝//OZ轴
c
d
cd //OX轴
d´
d˝ c˝
c´
正平线的投影特 性
1、正面投影c´d´反映实 长，并反映倾角α ,γ
二、 投影面平行线
( 一 ) 含义：仅平行于某一个投影面 的直线，称为投影面平行线。
平行于H面的直线称为水平线 平行于V面的直线称为正平线 平行于W面的直线称为侧平线
水平线的投影
a´b´ //OX轴
a´ A
β
b´ a˝
γ
a˝b˝//OY轴
B
b˝
a
β
γ
b
ab 反映AB的实长
a´
b´
a˝
b˝
(二) 投影面平行线 的投影特性： 水平线
e
f
投影面垂直线的投影特性
1 、 直 线 在 所 垂 直 的 投 影 面 上 积 聚为 一 点 （即有积聚性）
2 、其它两个投影垂直于相应的投影轴，并
且反映实长（即有显实性）。
例3－2：判断AB、CD、DE直线的空间位置，并找出其第三投影
d’ e’
a’ b’ c’
e”
d”
a” c”
b”
正垂线
e
a´
α
b´
B
b´ a´
m
C
b
X
A
O b
α α
a
《机械制图》直线的投影
2． a b、ab、a b 均倾斜于投影轴
b A
a
3． a b、ab、a b 与投影轴夹角不 反映
、 、大小
5
a
Y
直线的投影
二、各类位置的直线的投影特性
1、一般位置直线 一般位置直线的投影图
Z
b
b
一般位置直线的投影特性为：
a
a
① 其三面投影均与投影轴倾斜，且小于
X
O
YW
线段的实长。
b
② 各投影与投影轴的夹角均不反映一般
A
a
B
b
X
O
a
b
Y
16
直线的投影
二、各类位置的直线的投影特性
3、投影面垂直线 正垂线的投影图
正垂线上所有点的X坐标相等、 Z坐标相等。
(a)b
z a
b
X
O
YW
a
投影特性： 1． ab 积聚成一点
b
2． ab OX ; ab OZ
YH
3． ab = ab =AB
17
直线的投影
二、各类位置的直线的投影特性
b
B
b
Y
直线的投影
二、各类位置的直线的投影特性
2、投影面平行线 侧平线的投影图
侧平线上所有点的X坐标相等。
a
Z a
b
b
X
O
YW
a
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH
b
2． ab =AB 3． ab与Y轴、Z轴夹角反映 、 角的大小
YH
13
直线的投影
二、各类位置的直线的投影特性
2、投影面平行线
3、投影面垂直线 侧垂线的投影图
基本要素的投影-直线的投影
●
●
a●
●
a
●
b
一般情况下， 直线对一个投影面的投影特性
A
●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
B ●
● ● ● ●
●
B
●
a≡b≡m
●
●
b
a●
b
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直角三角形的作图要点: 直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线 段的投影及坐标差,如图
α
△Z
AB
β
△Y
AB
γ
△X
ab
a ' b'
a ' ' b' '
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角 共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
例１： α角的正确求法是（
b′
）图
b′ b′
α
a′
a′ a′
a
α
a
a
α
b (a)
b
b
(b)
(c)
例题2 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b |zA-zB|
AB |zA-zB|
a X
ab b
ab
a
例3 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。
●
a●
●
a
●
b
一般情况下， 直线对一个投影面的投影特性
A
●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
B ●
● ● ● ●
●
B
●
a≡b≡m
●
●
b
a●
b
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直角三角形的作图要点: 直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线 段的投影及坐标差,如图
α
△Z
AB
β
△Y
AB
γ
△X
ab
a ' b'
a ' ' b' '
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角 共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
例１： α角的正确求法是（
b′
）图
b′ b′
α
a′
a′ a′
a
α
a
a
α
b (a)
b
b
(b)
(c)
例题2 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b |zA-zB|
AB |zA-zB|
a X
ab b
ab
a
例3 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。
《机械制图》第二章 直线的投影
1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ 3.ef=e′f′=EF
一般位置直线（投影特点：三条斜线）
b a a
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间 线段的实长及与三 个投影面夹角的实 大，且与三根投影
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α 、γ 倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β 、γ 倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α 、β 倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线垂直于某一投影 面，对另外两个投影面都平行 。
YW
Y
YH
• 在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻 投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
• 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别 平行于直线一斜二平）
名称
直 观 图
正平线
水平线
侧平线
投
γ
影
α
图
投
第二章 直线的投影
第三节 直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。 该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
第二节直线的投影
解题时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结 果，但用哪个长度来作直角边不能搞错
第二节 直线的投影
动画演示：例题一 动画演示：例题二 动画演示：例题三 动画演示：例题四
已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。
直线的投影
直线的投影一般情况下仍是直线。
（1）投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且倾斜于投影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，反映直线与另两个投
影面的倾角。
直线对H、V、W面的倾角分别用希腊字母α、β、γ标记。
(1)直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点；
(1)一般线在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴，其投影与相应投影轴的夹角不能反映真实的倾角。
一定是一条一般位置直线。 投影面平行线的投影特性如下：
【例】 已知直线AB的水平投影ab，AB对H面的倾角为30°，端点A距水平面的距离为10，A点在B点的左下方，求AB的正面投影a′b′，
如下图所示。
投影面平行线的投影特性如下：
且倾斜于投影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，反映直线 与另两个投影面的倾角。
（2）其余两个投影平行于相应的投影轴，长度小于实长
第二节 直线的投影
在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴， 而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的 投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。
第二节 直线的投影
第二节 直线的投影
水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴
第二节 直线的投影
正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴
第二节 直线的投影
侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴
第二节 直线的投影
投影面平行线的投影特性如下： （1）投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长，
第二节 直线的投影
动画演示：例题一 动画演示：例题二 动画演示：例题三 动画演示：例题四
已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。
直线的投影
直线的投影一般情况下仍是直线。
（1）投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且倾斜于投影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，反映直线与另两个投
影面的倾角。
直线对H、V、W面的倾角分别用希腊字母α、β、γ标记。
(1)直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点；
(1)一般线在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴，其投影与相应投影轴的夹角不能反映真实的倾角。
一定是一条一般位置直线。 投影面平行线的投影特性如下：
【例】 已知直线AB的水平投影ab，AB对H面的倾角为30°，端点A距水平面的距离为10，A点在B点的左下方，求AB的正面投影a′b′，
如下图所示。
投影面平行线的投影特性如下：
且倾斜于投影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，反映直线 与另两个投影面的倾角。
（2）其余两个投影平行于相应的投影轴，长度小于实长
第二节 直线的投影
在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴， 而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的 投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。
第二节 直线的投影
第二节 直线的投影
水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴
第二节 直线的投影
正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴
第二节 直线的投影
侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴
第二节 直线的投影
投影面平行线的投影特性如下： （1）投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长，
直线的投影
p” b’ A0 C0 d’ c’ a’ X a c d ∆y b O X s’0 f’0 s f p’0 e p f’ O f” p’ s’ s”
图解直线上的点（ ） 图解直线上的点（2） [例]已知直线 通过原点，且 例 已知直线AB通过原点， 已知直线 通过原点 面的倾角β=30°，补全 对V面的倾角 面的倾角 ° 直线AB的三面投影 的三面投影。 直线 的三面投影。
直线真长与倾角 的图解
三角形法：利用两面投影的长度关系，作直角三角形， ● 三角形法：利用两面投影的长度关系，作直角三角形，得到 辅助记忆：根据一面投影反映的两个空间坐标差； ●辅助记忆：根据一面投影反映的两个空间坐标差；添加缺失的 第三个坐标差，满足真长计算公式: 第三个坐标差，满足真长计算公式 L=
●两交叉直线
两交叉直线
交叉直线： 交叉直线：既不平行又不相交的两条直线 投影特征：直线在某一面上投影的交点不是直线的交点， 投影特征：直线在某一面上投影的交点不是直线的交点，而是 两直线对该投影面上的重影点的投影。 两直线对该投影面上的重影点的投影。
c’ V c’ a’ 1’ (3’)4’ 2’ b’ X B b C d’ Ⅰ Ⅲ D A Ⅱ Ⅳ 3 1(2) 4 c d 1(2) a c 4 a X O b 3 d b’ O 2’ 1’ (3’)4’ d’ a’
V a’
(xA-xB)2+(yA-yB)2+(zA-zB)2
Z A’0 B0 A ∆z b” O A0 a Y A0 YH a” W X O b α ∆y a YW b’ β ∆x a’ ∆z Z a” γ b” A”0
b’ X b
B
β
∆z γ
α ∆x A” 0 ∆x
三角形法作图
图解直线上的点（ ） 图解直线上的点（2） [例]已知直线 通过原点，且 例 已知直线AB通过原点， 已知直线 通过原点 面的倾角β=30°，补全 对V面的倾角 面的倾角 ° 直线AB的三面投影 的三面投影。 直线 的三面投影。
直线真长与倾角 的图解
三角形法：利用两面投影的长度关系，作直角三角形， ● 三角形法：利用两面投影的长度关系，作直角三角形，得到 辅助记忆：根据一面投影反映的两个空间坐标差； ●辅助记忆：根据一面投影反映的两个空间坐标差；添加缺失的 第三个坐标差，满足真长计算公式: 第三个坐标差，满足真长计算公式 L=
●两交叉直线
两交叉直线
交叉直线： 交叉直线：既不平行又不相交的两条直线 投影特征：直线在某一面上投影的交点不是直线的交点， 投影特征：直线在某一面上投影的交点不是直线的交点，而是 两直线对该投影面上的重影点的投影。 两直线对该投影面上的重影点的投影。
c’ V c’ a’ 1’ (3’)4’ 2’ b’ X B b C d’ Ⅰ Ⅲ D A Ⅱ Ⅳ 3 1(2) 4 c d 1(2) a c 4 a X O b 3 d b’ O 2’ 1’ (3’)4’ d’ a’
V a’
(xA-xB)2+(yA-yB)2+(zA-zB)2
Z A’0 B0 A ∆z b” O A0 a Y A0 YH a” W X O b α ∆y a YW b’ β ∆x a’ ∆z Z a” γ b” A”0
b’ X b
B
β
∆z γ
α ∆x A” 0 ∆x
三角形法作图
5-直线的投影
BC∥H面且ab⊥bc
DE⊥EF
互相垂直的两直线， DE∥V面且d’e’⊥e’f’ 如果其中一条线平行于某一投影面时， 两直线在该投影面上的投影也相互垂直。
例5-5 已知直线AB为正平线，且直线AC垂直于直线AB， 求作直线AC的两面投影。
(1) 作a’b’⊥a’c’； (2) 由c’作OX轴的垂线； (3) 连接ac。
解题步骤： (1) 直线AB经一次换面变 成投影面平行线a1’b1’ (2) 直线AB经第二次换面 变成投影面垂直线(a2)b2 (3) 根据已知条件求出m’
例5-8 求两直线AB与CD的公垂线 。
b
1
d
a
2
X
V H
a
c
b 1
2d c
c'1
2'1
d'1
1'1
c2 22
d2
12 a2b2
例5-9 求平面ABC与平面ABD夹角的实际大小。
(1) 当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该 投影面上的投影反映实形。
(2) 当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在 该投影面上的投影一般不反映实形。
(3) 当两直线中有一直线平行于某投影面（另一 边不垂直于该投影面）时，如果夹角是直角，则 它在该投影面上的投影仍然是直角。
直角投影定理
AB⊥BC
倾斜)
面倾斜)
侧平线(‖W面，对H、V 面倾斜)
投 影 图
1.水平投影ab=AB；
1.正面投影a’b’=AB；
1.侧面投影a”b”=AB；
2.正面投影a’b’‖ OX，侧面 2.水平投影ab‖ OX，侧面 2.水平投影ab‖ OYH，正
投影a”b” ‖OYW，都不反 投影a”b” ‖OZ，都不反 面投影a’b’ ‖OZ，都不
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课题：直线的投影
设计说明：
本节课主要以练习贯穿始终，以点的投影为起点，利用“两点决定一直线”得出直线段的投影作图方法，通过精心设计的七道题让同学们发现一定的规律性，从而调动同学们探究的欲望，引入直线段相对于平面的三种不同位置，应用正投影法得出各自的投影特性；在了解直线段相对一个平面的三种不同位置的基础上，推广到三面体系中的三种位置，七种类型的投影特性，回到开始复习题中的七道题，应用坐标的概念（点到平面的距离）分析，直线段对三面存在不同的位置关系，在教师的引导下，学生自读课本了解概念，教师引导归纳直线段的投影特性，归纳成口诀便于学生理解记忆。
在此基础上让学生根据直线段的投影判断直线段与投影面之间的位置关系以及是否存在实长，为了进一步提高对知识的理解，练习：根据直线段的两面投影求作第三面投影，判断与三面体系之间的关系；根据特殊位置直线段的部分条件，判断与投影面的倾角以及实长，最终达到教学目标。