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最新高中数学抽象函数专题

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3.5.5 抽象函数-(必修第一册) (教师版)

3.5.5 抽象函数-(必修第一册) (教师版)

抽象函数1概念我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2 常见抽象函数模型【题型一】求值问题【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+∞)上的函数，且对任意x ,y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).【解析】∵对任意x，y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．【点拨】①对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；②抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数f(x)=log a x型，由f(2)=1可知f(x)=log2x，则易得f(4)=2，f(8)=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2，求f(3)；由f(x+y)= f(x)f(y)可令f(x)=a x，又因f(1)=2，得f(x)=2x，故易得f(3)=8.故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.【典题2】对任意实数x ,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0，则f(2001)=_______.【解析】令x =y =0，得f(0)=0，令x =n ,y =1，得f (n +1)=f (n )+2[f (1)]2令n =1，得f (1)=f (0)+2f [(1)]2=2f [(1)]2，∴f (1)=12，∴f (n +1)−f (n )=12， ∴f (n )=n 2，即f (2001)=20012.【点拨】 ① 常常需要赋予一些特殊值(如取x =0等)或特殊关系(如取y =x ， y =−x 等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律；② 比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.【题型二】单调性问题设函数y =f(x)是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数x ,y ，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x >1时，f(x)<0；③f (3)=−1．(1)求f(1) ,f(19)的值；(2)证明f(x)在R +是减函数；(3)如果不等式f(x)+f(2−x)<2成立，求x 的取值范围．【解析】(1)令x =y =1，∴f (1)=f (1)+f (1)，∴f (1)=0，令x =y =3，∴f (9)=f (3)+f (3)=−1−1=−2，且f(9)+f(19)=f(1)=0 ,得f(19)=2．(2) (利用函数单调性的定义证明)取x 2>x 1>0，则x 2x 1>1 ∴由②得 f(x2x 1)<0 ∵f(xy)=f(x)+f(y)∴f (x 2)−f(x 1)=f(x2x 1)<0∴f(x)在R +上为减函数．(3)由条件①得f[x(2−x)]<2 , (凑项f (m )=2，再利用单调性求解)由f (19)=2得f [x (2−x )]<f (19)，又∵f(x)在R +上为减函数，∴x(2−x)>19又∵x >0，2−x >0，(注意函数定义域)解得x 的范围是(1−2√23 ,1+2√23)．【点拨】① 抽象函数的单调性常用单调性定义证明◆ 任取x 1 ,x 2∈D ，且x 1<x 2；◆ 作差f(x 1)－f(x 2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出f(x 1)－f(x 2))此步有时也会用作商法：判断f (x 1)f (x 2)与1的大小； ◆ 变形；◆ 定号(即判断差f (x 1)−f(x 2)的正负)；◆ 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性)．② 在解不等式时，往往需要利用函数的单调性求解.③ 抽象函数f (xy )=f (x )+f (y )符合对数函数f (x )=log a x 型，由f (3)=−1可知f (x )=log 13x ，作选填题可用.【题型三】奇偶性问题定义在R 上的增函数y =f(x)对任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，则(1)求f(0)；(2)证明：f(x)为奇函数；(3)若f(k ∙3x )+f(3x −9x −2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)在f(x +y)=f(x)+f(y)中，令x =y =0可得，f(0)=f(0)+f(0)，则f(0)=0，(2) (定义法证明函数奇偶性)令y =−x ，得f(0)=f(x)+f(−x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(−x)，即可证得f(x)为奇函数；(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数，f(k∙3x)<−f(3x−9x−2)=f(−3x+9x+2)，即有k∙3x<−3x+9x+2，得k<3x+23x−1，(分离参数法)又有3x+23x−1≥2√2−1(当x=log3√2时取到等号)，即3x+23x−1有最小值2√2−1，所以要使f(k∙3x)+f(3x−9x－2)<0恒成立，只要使k<2√2−1即可，故k的取值范围是(−∞ ,2√2−1)．【点拨】②判断或证明抽象函数的奇偶性，从奇偶性的定义入手，判断f(−x)与f(x) 的关系.②抽象函数f(x+y)=f(x)+f(y)是正比例函数f(x)=kx(x≠0)型，由f(x)是增函数，可知k>0，选填题可用.【题型四】周期性问题奇函数f (x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f (x + T )= f (x)，则在区间[0 ,2T]上，方程f (x)= 0根的个数最小值为.【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)=0，又∵f(x+T)=f(x)，即周期为T，∴f(2T)=f(T)=f(0)=0，又由f(−T2)=f(−T2+T)=f(T2)，且f(−T2)=−f(T2)∴f(T2)=0，∴f(3T2)=f(T2)=0，故在区间[0 ,2T]，方程f(x)=0根有x=0，T2，T，3T2，2T，个数最小值是5个，【点拨】抽象函数的周期性常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路.巩固练习1 (★★) f(x)的定义域为(0 ,+∞)，对任意正实数x ,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2，则f(√2)= .【答案】 12【解析】取x =y =2，得f(4)=f(2)+f(2)⇔ f(2)=1；取x =y =√2，得f(2)=f(√2)+f(√2) ⇔ f(√2)=12；2(★★★)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有(f (x +2)−1)2=2f(x)−f 2(x)，则f(2019)= ．【答案】 1±√22【解析】根据题意，f(x)为偶函数且f(x)满足(f (x +2)−1)2=2f(x)−f 2(x)，变形可得[f (x +2)−1]2+[f 2(x)−2f(x)+1]=1，即[f (x +2)−1]2+[f (x )−1]2=1，令x =−1可得[f (−1)−1]2+[f (1)−1]2=1，即2[f (1)−1]2=1，解可得：f(1)=f(−1)=1±√22，又由f(x)满足[f (x +2)−1]2+[f (x )−1]2=1，则有[f (x +4)−1]2+[f (x +2)−1]2=1，联立可得：[f (x +4)−1]2=[f (x )−1]2，变形可得：f(x +4)=f(x)或f(x +4)+f(x)=2，若f(x +4)=f(x)，则有f(2019)=f(−1+505×4)=f(−1)=1±√22，此时有f(2019)=1±√22， 若f(x +4)+f(x)=2，即f(x +4)=2−f(x)，则有f(x +8)=2−f(x +4)=f(x)，则有f(2019)=f(3+2016)=f(3)，则f(3)=2−f(−1)=1±√22， 综合可得：f(2019)=1±√22， 故答案为：1±√22．3(★★) f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间[−6 ,6]内解的个数的最小值是.【答案】13【解析】∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f(x+3)=f(x)，且f(－x)=－f(x)，则f(0)=0，则f(3)=f(6)=f(−6)=f(0)=0，f(−3)=−f(3)=0，∵f(2)=0，∴f(5)=f(−1)=f(−4)=0，f(−5)=0，f(1)=0，f(4)=0，f(－2)=0，方程的解可能为0，3，6，－6，－3，2，5，−5，−2，－1，1，4，−4共13个，故选：D．4 (★★★)已知定义在(−∞ ,0)∪(0 ,+∞)上的函数f(x)满足①对任意x ,y∈(−∞ ,0)∪(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)>0且f(2)=1；(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间[−4 ,0)∪(0 ,−4]上的最大值；(3)求不等式f(3x−2)+f(x)≥4的解集．【答案】(1)偶函数(2)2(3)x≤−2或x≥8 3【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)；令x=y=a，则f(a2)=f(a)+f(a)=2f(a)，令x=y=−a，则f(a2)=f(−a)+f(−a)=2f(−a)，即f(a)=f(−a)，故函数f(x)是偶函数，(2)任取0<x1<x2，则x2－x1>0，∵f(xy)=f(x)+f(y)；∴f(xy)－f(x)=f(y)；∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)∵x2x1>1，x>1时，f(x)>0，∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)>0，得到f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间(0，－4]上的最大值为f(4)=f(2)+f(2)=2，又由函数f(x)是偶函数，∴函数f(x)在区间[－4，0)上的最大值也为2，故函数f(x)在区间[－4，0)∪(0，－4]上的最大值为2；(3)由(2)得f(4)=2，则f(16)=f(6)+f(6)=4，故不等式f(3x －2)+f(x)≥4可化为：f[(3x －2)x]≥f(16)，由(2)中结论可得：|(3x －2)x|≥16，即(3x －2)x ≥16或(3x －2)x ≤－16，解得x ≤－2或x ≥835 (★★★) 已知定义在(0 ,+∞)的函数f(x)，对任意的x 、y ∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当0<x <1时，f(x)>0．(1)证明：当x >1时，f(x)<0；(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明；(3)如果对任意的x 、y ∈(0 ,+∞)，f(x 2+y 2)≤f(a)+f(xy)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 略 (2)减函数，函数单调性定义证明 (3) (0 ,2]【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，令x =y =1，则f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，再令y =1x ，则f(1)=f(x)+f(1x )=0，当x >1时，0<1x <1．∵f(1x )>0．∴f(x)=－f(1x )<0(2)任取x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)=f(x2x 1) ∵x 1<x 2，所以x 2x 1>1，则f(x2x 1)<0，f(x 2)<f(x 1)， ∴f(x)在(0，+∞)上是减函数，(3)f(x 2+y 2)≤f(a)+f(xy)恒成立，∴f(x 2+y 2)≤f(axy)恒成立，∴x 2+y 2≥axy ，∴0<a ≤x 2+y 2xy =y x +x y ≥2，当且仅当x =y 取等号，∴实数a 的取值范围(0，2]6 (★★★) 定义在R 上的单调增函数f(x)满足：对任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)成立(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(1+2x )+f(t ∙3x )>0对x ∈(−∞ ,1]恒成立，求t 的取值范围．【答案】 (1) 0 (2)略，定义证明 (3) t >−1【解析】 (1)令x =y =0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0．(2)令y =－x ，则f(0)=f(x)+f(－x)，∵f(0)=0，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵f(t •3x )>－f(1+2x )，∴f(t •3x )>f(－1－2x )，∴t •3x >－1－2x∴t >−(13)x −(23)x 恒成立，而−(13)x −(23)x 单调递增，∴−(13)x −(23)x ≤−1从而t >－1．挑战学霸已知f (x )是定义在R 上不恒为0的函数，满足对任意x ,y ∈R ，f (x +y )=f (x )+f (y )， f(xy)=f(x)f(y)．(1)求f(x)的零点；(2)判断f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由；(3)①当x ∈Z 时，求f(x)的解析式；②当x ∈R 时，求f(x)的解析式.【解析】(1)记f(x +y)=f(x)+f(y) ①，f(xy)=f(x)f(y) ②在①中取y =0得f(0)=0.若存在x ≠0，使得f(x)=0，则对任意y ∈R ，f(y)=f(x ⋅y x )=f(x)f(y x )=0，与f(x)不恒为0矛盾．所以x ≠0时，f(x)≠0，所以函数的零点是0.(2)在①中取y =−x 得f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f (−x )=−f(x)， 所以f(x)是奇函数．x ,y ∈R ， y >x 时，f(y)−f(x)=f(y)+f(−x)=f(y −x)=(f(√y −x))2>0， 可得f (y )>f(x)．所以函数f(x)在R 上递增．(3)①由f(xy)=f(x)f(y)中取x ,y =1得f (1)=f 2(1)．因为f(1)≠0，所以f(1)=1，对任意正整数n ，由①得f(n)=f(1)+⋯+f(1)⏟ n 个=n ×1=n ，f (−n )=−f (n )=−n ，又因为f(0)=0，所以x ∈N 时，f(x)=x ；对任意有理数m n (m ∈N ∗，n ∈N ∗)，由①， f(m)=f(n ⋅m n )=f(m n )+⋯+f(m n )=nf(m n)⏟ n 个， 所以f(m n )=f(m)n =m n，即对一切x ∈Z ,f(x)=x ． ②若存在x ∈R ，使得f(x)≠x ，不妨设f(x)>x (否则以−f(−x)代替f(x)，−x 代替x 即可)， 则存在有理数α，使得x <α<f(x)(例如可取n =[1f(x)−x ]+1，m =[nx]+1，α=m n)． x <α但f(x)>α=f(α)，与f(x)的递增性矛盾．所以x ∈R 时，f(x)=x ．。

抽象函数模型归纳总结(八大题型)(解析版)

抽象函数模型归纳总结(八大题型)(解析版)

抽象函数模型归纳总结目录01方法技巧与总结02题型归纳总结题型一：一次函数模型题型二：二次函数模型题型三：幂函数模型题型四：指数函数模型题型五：对数函数模型题型六：正弦函数模型题型七：余弦函数模型题型八：正切函数模型03过关测试20一次函数(1)对于正比例函数f x =kx k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ．(2)对于一次函数f x =kx+b k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ∓b．二次函数(3)对于二次函数f x =ax2+bx+c a≠0，与其对应的抽象函数为f x+y=f x +f y +2axy-c幂函数(4)对于幂函数f x =x n，与其对应的抽象函数为f xy=f x f y ．(5)对于幂函数f x =x n，其抽象函数还可以是fxy=f x f y．指数函数(6)对于指数函数f x =a x，与其对应的抽象函数为f x+y=f x f y ．(7)对于指数函数f x =a x，其抽象函数还可以是f x -y =f xf y．其中(a >0,a ≠1)对数函数(8)对于对数函数f x =log a x ，与其对应的抽象函数为f xy =f x +f y ．(9)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是fxy=f x -f y ．(10)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是f x n=nf x ．其中(a >0,a ≠1)三角函数(11)对于正弦函数f x =sin x ，与其对应的抽象函数为f x +y f x -y =f 2x -f 2y 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin 2α-sin 2β=sin α+β sin α-β(12)对于余弦函数f x =cos x ，与其对应的抽象函数为f x +f y =2fx +y 2 f x -y2注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cos α+cos β=2cos α+β2cosα-β2(13)对于余弦函数f x =cos x ，其抽象函数还可以是f x f y =12f x +y +f x -y注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：cos αcos β=cos α+β +cos α-β2(14)对于正切函数f x =tan x ，与其对应的抽象函数为f x ±y =f x ±f y1∓f x f y注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan α±β =tan α±tan β1∓tan αtan β题型一：一次函数模型1已知f x +y =f x +f y -1且f 1 =2，则f 1 +f 2 +⋯+f n 不等于A.f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -12B.f n n +1 2+n -1C.n 2+3n2 D.n n +1【答案】D【解析】∵f x +y =f x +f y -1，∴f x +y -1=f x -1 +f y -1 ，构造函数g x =f x -1，则g x +y =g x +g y ，且g 1 =f 1 -1=1，令a n =g n =f n -1，则a 1=f 1 -1=1，令x =n ，y =1，得g n +1 =g n +g 1 ，∴a n +1=a n +a 1=a n +1，即a n +1-a n =1，所以，数列a n 为等差数列，且首项为1，公差为1，∴a n =1+n -1 ×1=n ，∴f n -1=n ，则f n =n +1.f 1 +f 2 +⋯+f n =2+3+⋯+n +1 =n 2+n +1 2=n n +3 2=n 2+3n 2，f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -1 2=n n +1 2f 1 -n n -1 2=n n +1 -n n -1 2=n 2+3n2，合乎题意；f n n +1 2 +n -1=n n +1 2+1+n -1=n 2+3n 2，合乎题意；故选D .2已知函数f x 的定义域为R ，且f 12≠0，若f (x +y )+f (x )f (y )=4xy ，则下列结论错误的是()A.f -12=0 B.f 12=-2C.函数f x -12是偶函数 D.函数f x +12是减函数【答案】C【解析】对于A ，令x =12、y =0，则有f 12 +f 12 ×f 0 =f 121+f 0 =0，又f 12≠0，故1+f 0 =0，即f 0 =-1，令x =12、y =-12，则有f 12-12 +f 12 f -12 =4×12×-12，即f 0 +f 12 f -12 =-1，由f 0 =-1，可得f 12 f -12 =0，又f 12 ≠0，故f -12=0，故A 正确；对于C ，令y =-12，则有f x -12 +f x f -12 =4x ×-12，则f x -12 =-2x ，故函数f x -12是奇函数，故C 错误；对于D ，有f x +1-12 =-2x +1 =-2x -2，即f x +12=-2x -2，则函数f x +12 是减函数，故D 正确；对于B ，由f x -12 =-2x ，令x =1，有f 12=-2×1=-2，故B 正确.故选：C 3(2024·河南新乡·一模)已知定义在R 上的函数f x 满足∀x ,y ∈R ，f 2xy -1 =f x ⋅f y +f y +2x -3，f 0 =-1，则不等式f x >3-2x 的解集为()A.1,+∞B.-1,+∞C.-∞,1D.-∞,-1【答案】A【解析】令x =y =0，得f (-1)=f (0)⋅f (0)+f (0)-3=-3.令y =0，得f (-1)=f (x )f (0)+f (0)+2x -3，解得f (x )=2x -1，则不等式f (x )>3-2x 转化为2x +2x -4>0，因为y =2x +2x -4是增函数，且2×1+21-4=0，所以不等式f (x )>3-2x 的解集为(1,+∞).故选：A4已知定义在R 上的单调函数f x ，其值域也是R ，并且对于任意的x ,y ∈R ，都有f xf y =xy ，则f 2022 等于()A.0B.1C.20222D.2022【答案】D【解析】由于f x 在R 上单调，且值域为R ，则必存在y 0∈R ，使得f y 0 =1，令y =y 0得，f xf y 0 =xy 0，即f x =y 0x ，于是∀x ,y ∈R ，f xf y =f xy 0y =y 0xy 0y =y 20xy =xy ，则y 0=±1，从而f x =±x ，有f 2022 =2022.故选：D题型二：二次函数模型1(2024·高三·河北保定·期末)已知函数f (x )满足：∀x ，y ∈Z ，f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy +1成立，且f (-2)=1，则f 2n n ∈N * =()A.4n +6B.8n -1C.4n 2+2n -1D.8n 2+2n -5【答案】C【解析】令x =y =0，则f 0 =f 0 +f 0 +1，所以f 0 =-1，令x =y =-1，则f -2 =f -1 +f -1 +2+1=2f -1 +3=1，所以f -1 =-1，令x =1,y =-1，则f 0 =f 1 +f -1 -2+1=f 1 -2=-1，所以f 1 =1，令x =n ,y =1,n ∈N *，则f n +1 =f n +f 1 +2n +1=f n +2n +2，所以f n +1 -f n =2n +2，则当n ≥2时，f n -f n -1 =2n ，则f n =f n -f n -1 +f n -1 -f n -2 +⋯+f 2 -f 1 +f 1=2n +2n -2 +⋯+4+1=2n +4 n -12+1=n 2+n -1，当n =1时，上式也成立，所以f n =n 2+n -1n ∈N * ，所以f 2n =4n 2+2n -1n ∈N * .故选：C .2(2024·山东济南·三模)已知函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，则下列结论一定成立的是()A.f 1 =1B.f x 为偶函数C.f x 有最小值D.f x 在0,1 上单调递增【答案】C【解析】由于函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，令y =1，则f x -xf 1 =x x -1 ，得f x =x 2+f 1 -1 x ，x =1时，f 1 =12+f 1 -1 恒成立，无法确定f 1 =1，A 不一定成立；由于f 1 =1不一定成立，故f x =x 2+f 1 -1 x 不一定为偶函数，B 不确定；由于f x =x 2+f 1 -1 x 的对称轴为x =-12⋅f 1 -1 与0,1 的位置关系不确定，故f x 在0,1 上不一定单调递增，D 也不确定，由于f x =x 2+f 1 -1 x 表示开口向上的抛物线，故函数f x 必有最小值，C 正确，故选：C3(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，则下列结论正确的是()A.f (4)=12B.方程f (x )=x 有解C.f x +12 是偶函数D.f x -12是偶函数【答案】C【解析】对于A ，因为函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，取x =y =1，得f (1)+f (1)=f (2)-2+2，则f (2)=4，取x =y =2，得f (2)+f (2)=f (4)-8+2，则f (4)=14，故A 错误；对于B ，取y =1，得f (x )+f (1)=f (x +1)-2x +2，则f (x +1)-f (x )=2x ，所以f (x )-f (x -1)=2(x -1),f (x -1)-f (x -2)=2(x -2),⋯,f (2)-f (1)=2，以上各式相加得f (x )-f (1)=2(x -1)+2 ⋅(x -1)2=x 2-x ，所以f (x )=x 2-x +2，令f (x )=x 2-x +2=x ，得x 2-2x +2=0，此方程无解，故B 错误.对于CD ，由B 知f (x )=x 2-x +2，所以f x +12 =x +12 2-x +12 +2=x 2+74是偶函数，f x -12 =x -12 2-x -12 +2=x 2-2x +114不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C .4(2024·河南·三模)已知函数f x 满足：f 1 ≥3，且∀x ,y ∈R ，f x +y =f x +f y +6xy ，则9i =1f i 的最小值是()A.135 B.395C.855D.990【答案】C【解析】由f x +y =f x +f y +6xy ，得f x +y -3x +y 2=f x -3x 2+f y -3y 2，令g x =f x -3x 2，得g x +y =g x +g y ，令x =n ,y =1，得g n +1 -g n =g 1 ，故g n =g n -g n -1 + g n -1 -g n -2 +⋅⋅⋅+ g 2 -g 1 +g 1 =ng 1 ，又g n =f n -3n 2，所以f n =g n +3n 2=3n 2+f 1 -3 n ，所以9i =1f i =39i =1i 2+f 1 -3 9i =1i =855+45f 1 -3 ，因为f 1 ≥3，当f 1 =3时，9i =1f i 的最小值为855．故选：C ．题型三：幂函数模型1已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，且xf x =y +1 f y +1 ，则()A.f x ≥0B.f 1 =1C.f x 是偶函数D.f x 没有极值点【答案】D【解析】令g x =xf x ，则g y +1 =y +1 f y +1 ，所以g x =g y +1 ，且x ,y +1为定义域内任意值，故g x 为常函数.令g x =k ，则f x =kx，为奇函数且没有极值点，C 错，D 对；所以f x ≥0不恒成立，f 1 =1不一定成立，A 、B 错.故选：D2(2024·河北·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x 满足f xy =f -x y +f -yx+1xy，则()A.f x 是奇函数且在0,+∞ 上单调递减B.f x 是奇函数且在-∞,0 上单调递增C.f x 是偶函数且在0,+∞ 上单调递减D.f x 是偶函数且在-∞,0 上单调递增【答案】A【解析】令x =y =-1，则f 1 =-2f 1 +1，所以f 1 =13，令x =y =1，则f 1 =2f -1 +1，所以f -1 =-13，令y =-1，则f -x =-f -x +f 1 x -1x =-f -x +13x -1x =-f -x -23x，所以f -x =-13x，令y =1，则f x =f -x +f -1 x +1x =-13x -13x +1x =13x ，所以f x =13x，因为f -x =-13x=-f x ，且定义域关于原点对称，所以函数f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数f x =13x在0,+∞ 上单调递减.故选：A .题型四：指数函数模型1(多选题)(2024·山西晋中·三模)已知函数f x 的定义域为R ，满足f x +y =f x f y +f x +f y ，且f 0 ≠-1，f 1 >-1，则下列说法正确的是()A.f 0 =0B.f x 为非奇非偶函数C.若f 1 =1，则f 4 =15D.f x >-1对任意x ∈N *恒成立【答案】ACD【解析】我们有恒等式：f x +y +1=f x f y +f x +f y +1=f x +1 f y +1 .对于A ，由恒等式可得f 0 +1=f 0 +1 f 0 +1 ，而f 0 ≠-1，故f 0 +1≠0，所以1=f 0 +1，即f 0 =0，故A 正确；对于B ，由于f x =0满足条件且是偶函数，所以f x 有可能是偶函数，故B 错误；对于C ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 ，故f 4 +1=f 3 +1 f 1 +1 =f 2 +1 f 1 +12=f 1 +1 4.若f 1 =1，则f 4 =f 1 +1 4-1=24-1=15，故C 正确；对于D ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 .而f 1 +1>0，故f x +1 +1和f x +1同号(同为正数，或同为负数，或同为0)，从而再由f 1 +1>0可知f x +1>0x ∈N * ，即f x >-1x ∈N * ，故D 正确.故选：ACD .2已知函数f x 满足，f p +q =f p ⋅f q ,f 1 =3，则f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4f 3+f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10f 9 的值为()A.15B.30C.60D.75【答案】B【解析】∵f p +q =f p ⋅f q ,∴f n +1 =f n ⋅f 1 ,∵f 1 =3∴f n +1 =3f n ∴f n =3×3n -1=3n因此f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4 f 3 +f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10 f 9=32+323+34+3433+36+3635+38+3837+310+31039=6+6+6+6+6=30故选：B3如果f a +b =f a f b 且f 1 =2，则f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6f 5=()A.125B.375C.6D.8【答案】C【解析】∵f 1 =2，f a +b =f a f b ，∴f 2 =f 1 f 1 ，f 4 =f 3 f 1 ，f 6 =f 5 f 1 ，∴f 2 f 1 =f 1 ，f 4 f 3 =f 1 ，f 6 f 5 =f 1 ，∴f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6 f 5 =3f 1 =6，故选：C ．4已知函数f x 对一切实数a ,b 满足f a +b =f a ⋅f b ，且f 1 =2，若a n =f n2+f 2n f 2n -1n ∈N *，则数列a n 的前n 项和为()A.nB.2nC.4nD.8n【答案】C【解析】∵函数f x 对一切实数a,b满足f a+b=f a ⋅f b ，且f1 =2∴f n+1=f n ⋅f1 =2f n∴数列f n是等比数列，首项为2，公比为2∴f n =2n，n∈N*所以a n=f n2+f2nf2n-1=22n+22n22n-1=4所以数列a n的前n项和为4n．故选：C．题型五：对数函数模型1(多选题)已知函数f x 的定义域为R，f xy=y2f x +x2f y ，则( )．A.f0 =0 B.f1 =0C.f x 是偶函数D.x=0为f x 的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.方法二：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2，故可以设f(x)x2=ln x (x≠0)，则f(x)=x2ln x ,x≠00,x=0，当x>0肘，f(x)=x2ln x，则f x =2x ln x+x2⋅1x=x(2ln x+1)，令f x <0，得0<x<e-12；令f x >0，得x>e-12；故f(x)在0,e-1 2上单调递减，在e-12,+∞上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e-1 2,0上单调递增，在-∞,e-12上单调递减，显然，此时x =0是f (x )的极大值，故D 错误.故选：ABC .2.已知定义在0,+∞ 上的函数f x ，满足f xy +1=f x +f y ，且f 12=0，则f 211 =()A.1B.11C.12D.-1【答案】C【解析】令x =y =1，则f 1 +1=f 1 +f 1 ，解得f 1 =1，令x =2,y =12，则f 1 +1=f 2 +f 12，解得f 2 =2，令x =y =2，则f 22 +1=f 2 +f 2 ，解得f 22 =3，令x =22,y =2，则f 23 +1=f 22 +f 2 ，解得f 23 =4，⋯⋯，依次类推可得f 211 =12。

第讲抽象函数-ppt精选课件

第讲抽象函数-ppt精选课件

篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
考点3 指数函数型抽象函数 例3：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)． (1)求证：f(0)＝1； (2)求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)＞0； (3)求证：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)＞1，求 x 的取值范围．
(2)小技巧判断单调性：设x1>x2，x1－x2>0， 则f(x1－x2)>1.f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)， 得到函数是增函数．
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
3．满足解析式f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)的指数函数型抽象函数．
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
1．已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则 f(x) 是( A )
D．f(x)f(－x)<0
解析：f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
f(1)＝f12＋12＝f12＋f12＝2f12. f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝12f(2)．
f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选 D.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统

抽象函数典型例题+习题

抽象函数典型例题+习题

五类抽象函数解法例说1、线性函数型抽象函数 :线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 +f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

2、指数函数型抽象函数:指数函数型抽象函数，即由指数函数抽象而得到的函数。

例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。

求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。

例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。

同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。

3、对数函数型抽象函数:对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。

例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。

如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a ＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。

4、三角函数型抽象函数 三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。

例7、己知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有②f （a ）＝－1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）； ③当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0。

试问：（1）f （x ）的奇偶性如何？说明理由。

（2）在（0，4a ）上,f （x ）的单调性如何？说明理由。

5、幂函数型抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

例8、已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）·f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当时，。

第8讲 抽象函数7种导函数构造(解析版)-2024高考数学常考题型

第8讲 抽象函数7种导函数构造(解析版)-2024高考数学常考题型

第8讲抽象函数7种导函数构造【题型目录】题型一：具体函数抽象化解不等式题型二：构造幂函数型解不等式题型三：构造指数函数型解不等式题型四：构造对数函数型解不等式题型五：构造三角函数型解不等式题型六：构造()kx x f +型函数解不等式题型七：复杂型：二次构造【典例例题】题型一：具体函数抽象化解不等式【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知()2cos ,R f x x x x =+∈，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（）A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭D ．()20,,03⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B 【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,∞+上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围.【详解】解：函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=Q ，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t -≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B.【题型专练】1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数()ln e xxf x x =-，设()3log 2a f =，()0.2log 0.5b f =，()ln 4c f =，则a ，b ，c 的大小为（）A ．c a b >>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．c b a>>【答案】A 【解析】【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a ，b ，c 的大小即可.【详解】解：因为()ln e x x f x x =-，则,()0x ∈+∞，所以()2211e 11e e e (4e 2x x x x x xf x x x x x x x +--+-'==-=-又,()0x ∈+∞时，21111,(24e 4xx >--≥-，所以()0f x '>恒成立所以()ln e xxf x x =-在,()0x ∈+∞上单调递增；又30log 21<<，0.215351log 0.5log log 2log 22==<，ln 41>所以30.2ln 4log 2log 0.5>>，则c a b >>.故选：A.2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设()2sin f x x x =+，若()()20221120210f x f x ++-≥，则x 的取值范围是___________.【答案】2x ≥-【解析】【分析】奇偶性定义判断()f x 奇偶性，利用导数研究()f x 的单调性，再应用奇偶、单调性求x 的范围.【详解】由()2sin (2sin )()f x x x x x f x -=--=-+=-且R x ∈，易知：()f x 为奇函数，所以(20221)(20211)f x f x +≥-，又()2cos 0f x x =+>'，故()f x 在R x ∈上递增，所以2022120211x x +≥-，可得2x ≥-.故答案为：2x ≥-题型二：构造幂函数型解不等式【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数()f x 满足()()0xf x f x '-<，其中()f x '是函数()f x 的导函数，若()()()202220221f m m f ->-，则实数m 的取值范围为（）A ．（0，2022）B ．（2022，+∞）C ．（2023，+∞）D ．（2022，2023）【答案】D 【解析】【分析】构造函数()g x ，使得()()2()0xf x f x g x x'-=<，然后根据函数()g x 的单调性解不等式即可.【详解】由题设()()2()()()0xf x f x f x g x g x x x'-'=⇒=<，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，又()()()()()2022120222022120221f m f f m m f m -->-⇒>-，即(2022)(1)202212023g m g m m ->⇒-<⇒<，又函数()f x 的定义域为()0,∞+，所以202202022m m ->⇒>，综上可得：20222023m <<.故选：D.【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数()()0f x x ≠的导函数是()f x '，且()20f -=，当0x >时，()()20xf x f x '-<，则不等式()0f x <的解集为______．【答案】()()2,02,-+∞ 【解析】【分析】设()()2f x g x x=，利用导数求得()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，进而得到函数()g x 为奇函数，且()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】设()()2f x g x x =，可得()()()32xf x f x g x x'-'=，因为当0x >时，()()20xf x f x '-<，可得()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，又因为函数()f x 为奇函数，且()20f -=，可得()20f =，则满足()()()()22()f x f x g x g x x x --==-=--，所以函数()g x 也为奇函数，所以()g x 在(,0)-∞为单调递减函数，且()()220g g -==，当0x >时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <，可得2x >；当0x <时，由()0f x <，即()0g x <，即()()2g x g <-，可得20x -<<；所以不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞ .故答案为：()()2,02,-+∞ .【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（）A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．(],1-∞D ．()[),01,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，由题意可知()g x 在R 上单调递增，再对x 分情况讨论，利用函数()g x 的单调性即可求出不等式的解集.【详解】由2(1)(1)(1)x f x f x x +->-+，（1）当1x <时，可得2(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x f x x f x x x -+->--+-，即222(1)(1)(1)(1)x f x x f x x x -->--+-，即222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ---->----，构造函数()(),()()()10g x xf x x g x f x xf x ''=-=+->，所以函数()g x 单调递增，则211x x ->-，此时01x <<，即01x <<满足；（2）当1x >时，可得222(1)(1)(1)(1)(1)(1)x f x x x f x x ----<----，由函数()g x 递增，则211x x -<-，此时0x <或1x >，即1x >满足；（3）当1x =时，2(0)(0)1f f >+，即(0)1f >满足()()1f x x f x '+⋅>.综上，,()0x ∈+∞.故选：A.【例4】已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()'f x ，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<-C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++即()()12g x g x <+又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >-故选：D 【点睛】此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.【例5】函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+的解集为A ．{}|2017x x >-B ．{}|2017x x <-C ．{}|20200x x -<<D ．{}|20202017x x -<<-【答案】D 【解析】设函数()()()2,0g x x f x x =>，根据导数的运算和题设条件，求得函数()g x 在()0,∞+上为增函数，把不等式转化为22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，利用单调性，即可求解.【详解】由题意，设函数()()()20g x x f x x =>，则()()()()()222()2g x x f x x f x x f x xf x ''''=⋅+⋅=+，因为()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，且满足()()20xf x f x '+>，所以()0g x '>，所以函数()g x 在()0,∞+上为增函数，又由(2020)(2020)3(3)32020x f x f x ++<+，即22(2020)(2020)3(3)x f x f ++<，即()()20203g x g +<，所以020203x <+<，解得20202017x -<<-，即不等式的解集为{}|20202017x x -<<-.故选：D .【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数()()()20g x x f x x =>是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.【题型专练】1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当0x >时，()()20xf x f x '+<.则（）A ．()()2e 24ef f >B ．()()931f f >C ．()()2e 39ef f -<D ．()()2e 39ef f ->【答案】D 【解析】【分析】由题构造函数()()2g x x f x =，利用导函数可得函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得.【详解】设()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦，又当0x >时，()()20xf x f x '+<，∴()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，则函数()()2g x x f x =在(0，+∞)上为减函数，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==，即g (x )为偶函数，所以()()e 2g g <，即()()2e 24ef f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()e 3g g >，即()()2e 39ef f >因为()f x 为偶函数，所以()()33f f -=，所以()()2e 39ef f ->，故C 错误，D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数()()2g x x f x =，结合条件可判断函数的单调性及奇偶性，即得.2．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>且()122f =，则不等式()1f x x>的解集是______．【答案】()()2,02,-+∞ 【解析】【分析】根据已知条件构造函数()()g x xf x =并得出函数()g x 为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数()g x 的单调性进而可以即可求解.【详解】设()()g x xf x =，则()()()g x f x xf x ''=+因为()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以()g x 是()(),00,∞-+∞U 上的偶函数，当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，所以()g x 在(),0-∞上单调递减．因为()122f =，所以()()1222212g f ==⨯=，所以()()221g g -==．对于不等式()1f x x>，当0x >时，()1xf x >，即()()2g x g >，解得2x >；当0x <时，()1xf x <，即()()2g x g <-，解得20x -<<，所以不等式()1f x x>的解集是()()2,02,-+∞ ．故答案为：()()2,02,-+∞ 【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集.3.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()22'f x xf x x +>则不等式()()()220192019420x f x f ++--<的解集为（）A ．()20192017--，B ． 20211()209--，C ．()20192018--，D ．(2020,2019)--【答案】B 【解析】【分析】令()()2F x x f x =，确定()F x 在(,0)-∞上是减函数，不等式等价为()()201920F x F +--<，根据单调性解得答案.【详解】由()()()22',0f x xf x x x +><，得()()23 2'xf x x f x x +<，即()23'0x f x x ⎡⎤⎣⎦<<，令()()2F x x f x =，则当0x <时，得()F'0x <，即()F x 在(,0)-∞上是减函数，()()()2201920192019f F x x x +∴+=+，()() 242F f -=-，即不等式等价为()()201920F x F +--<，()F x Q 在(),0-∞是减函数，∴由()()20192F x F +<-得20192x +>-，即2021x >-，又20190x +<，解得2019x <-，故 20212019x -<<-.故选:：B .【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()()2F x x f x =，确定其单调性是解题的关键.4.已知()f x 是定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数，且0x >时，()()20f x f x x'+<，又()10f =，则()0f x >的解集为（）A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-D ．()()1,01,-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】令2()()g x x f x =，则()[()2()]g x x xf x f x ''=+，由题设易知0x >上()2()0xf x f x '+<，且()g x 在()(),00,-∞+∞ 上是奇函数，即()g x 在0x >、0x <都单调递减，同时可知(1)(1)0=-=g g ，利用单调性求()0>g x 的解集，即为()0f x >的解集.【详解】令2()()g x x f x =，则2()()2()[()2()]g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+，由0x >时，()()20f x f x x'+<知：()2()0xf x f x '+<，∴在0x >上，()0g x '<，()g x 单调递减，又()(),00,-∞+∞ 上()f x 为奇函数，∴22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，故()g x 也是奇函数，∴()g x 在0x <上单调递减，又()10f =，即有(1)(1)0=-=g g ，∴()0f x >的解集，即()0>g x 的解集为(,1)(0,1)-∞- .故选：C5.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,0-∞--UD ．()()0,11,+∞ 【答案】B 【解析】【分析】设()()f x F x x=，求其导数结合条件得出()F x 单调性，再结合()F x 的奇偶性，得出()F x 的函数值的符号情况，从而得出答案.【详解】设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x'-'=，∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减.由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x；当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>.所以当10x -<<或1x >时，()0f x <.故选：B.题型三：构造指数函数型解不等式【例1】（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()(),41f x f x f '>=，则不等式()224e xf x ->的解集为___________.【答案】()2,2-【解析】【分析】令()()xf xg x =e，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于()()24g xg >，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：令()()xf xg x =e ，R x ∈，则()()()e xf x f xg x '-'=，因为()()f x f x '>，即()()0f x f x '-<，所以()0g x '<，即()g x 在R 上单调递减，又()41f =，所以()()4444e e f g -==，所以不等式()224ex f x->，即()242eexf x ->，即()()24g xg >，即24x <，解得22x -<<，所以原不等式的解集为()2,2-.故答案为：()2,2-【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】设函数()()2e xf xg x -=，根据题意可判断()g x 在R上单调递减，再求出()01202e g =，不等式()12020e 2x f x --<整理得()22020e ex f x -<，所以()()1g x g <，利用()g x 单调性解抽象不等式即可.【详解】设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e2e ex xxxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =，所以()()122020e 1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<，所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >.故选：C.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()f x f x '<且()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，若(9)(8)1f f +=，则不等式()e x f x <的解集为（）A ．()3,-+∞B ．()1,+∞C ．(0,)+∞D ．()6,+∞【答案】C【解析】【分析】先证明出()f x 为周期为8的周期函数，把(9)(8)1f f +=转化为(0)1f =.记()()xf xg x =e ，利用导数判断出()g x 在R 上单调递减，把原不等式转化为()()0g x g <，即可求解.【详解】因为()3f x +为偶函数，(1)f x +为奇函数，所以()()33f x f x +=-+，(1)(1)0f x f x ++-+=.所以()()6f x f x =-+，()(2)0f x f x +-+=，所以(6)(2)0f x f x -++-+=.令2t x =-+，则(4)()0f t f t ++=.令上式中t 取t -4，则()(4)0f t f t +-=，所以(4)(4)f t f t +=-.令t 取t +4，则()(8)f t f t =+，所以()(8)f x f x =+.所以()f x 为周期为8的周期函数.因为(1)f x +为奇函数，所以(1)(1)0f x f x ++-+=，令0x =，得：(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，所以(9)(8)1f f +=，即为(1)(0)1f f +=，所以(0)1f =.记()()xf xg x =e，所以()()()exf x f xg x '-'=.因为()()f x f x '<，所以()0g x '<，所以()()xf xg x =e在R 上单调递减.不等式()xf x e <可化为()1exf x <，即为()()0g x g <.所以0x >.故选：C 【点睛】解不等式的常见类型：(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性.【例4】（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知可导函数f （x ）的导函数为()'f x ，f （0）=2022，若对任意的x ∈R ，都有()()f x f x '<，则不等式()2022e xf x <的解集为（）A ．()0,∞+B ．22022,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．22022,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),0∞-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，构造函数()()xf xg x =e ，求导可知()g x 在x ∈R 上单调递增，利用单调性求解即可.【详解】令()(),e xf xg x =对任意的x ∈R ，都有()()()()(),0e xf x f x f x f xg x -<∴=''>'，()g x ∴在x ∈R 上单调递增，又()()()()()02022,02022,2022e 0xf g f x g x g =∴=∴<⇔<，0,x ∴<∴不等式()2022e x f x <的解集(),0∞-，故选：D.【例5】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞【解析】【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时,()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞.故答案为:()(2,02,)-⋃+∞.【题型专练】1.（2022·陕西榆林·三模（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<e eB ．1(2)f +<e eC ．12(2)f +>eeD ．1(2)f +>e e【答案】D 【解析】【分析】构造()()e e x xg x f x =-利用导数研究其单调性，即可得()()21g g >，进而可得答案.【详解】令()()e e x x g x f x =-，则()()()e 10xg x f x f x ⎡⎤=+->⎣⎦''，则()g x 是增函数，故()()21g g >，即22e (2)e e (1)e e f f >--=，可得()1e2ef +>.故选：D2.（2022·江西·萍乡市上栗中学高二阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()e 0x f x f x '-+<（e 为自然对数的底数），其中()'f x 为()f x 的导函数，若3(3)3e f =，则()e x f x x >的解集为（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(3),-∞D ．(3,)+∞【答案】D 【解析】【分析】构造新函数，并利用函数单调性把抽象不等式()e x f x x >转化为整式不等式即可解决.【详解】设()()e x f x g x x =-，则3(3)(3)30ef g =-=，所以()e x f x x >等价于()0(3)g x g >=，由()()e 0x f x f x '-+<，可得()()e 0x f x f x '->>则()()()10e xf x f xg x '-'=->，所以()g x 在R 上单调递增，所以由()(3)g x g >，得3x >．故选：D3.（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x '-<，且()02021f =，则不等式()12022e xf x +>的解集为（）A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()1e x f x F x +=，通过导函数研究其单调性，利用单调性解不等式.【详解】构造函数()()1e xf x F x +=，则()()()()()2e 1e1e ex xx xf x f x f x f x F x '⋅-+⋅⎡⎤'--⎣⎦'==，因为()()1f x f x '-<，所以()0F x '<恒成立，故()()1e x f x F x +=单调递减，()12022e xf x +>变形为()12022exf x +>，又()02021f =，所以()()00102022ef F +==，所以()()0F x F >，解得：0x <，故答案为：(),0∞-.故选：A4.若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是_________________【答案】()0,∞+【解析】【分析】由题意构造函数()()e xg x f x =，利用导数判断出()g x 单调递减，利用单调性解不等式.【详解】设()()e xg x f x =，则()()()()()()e e e x x x g x f x f x f x f x '''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减，又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <，所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+.故答案为：()0,∞+5.若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()31xf x e >+(e 为自然对数的底数)的解集为（）A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(3,)+∞【答案】A 【解析】【分析】把不等式()31x f x e>+化为()3x x e f x e >+，构造函数令()()3x xF x e f x e =--，利用导数求得函数()F x 的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，不等式()31x f x e>+，即()3x x e f x e >+，令()()3x x F x e f x e =--，可得()()()()()[1]x x x xF x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>且0x e >，可知()0F x '>，所以()F x 在R 上单调递增，又因为()()()00003040F e f e f =--=-=，所以()0F x >的解集为(0,)+∞.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及导数的四则运算的逆用，其中解答中结合题意构造新函数，利用导数求得新函数的单调性是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力.题型四：构造对数函数型解不等式【例1】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足()10xf x '-<，()10f =，则不等式()e 0x f x -<的解集为（）A ．（－∞，0）B ．（－∞，1）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据题干条件构造函数()()ln F x f x x =-，0x >，得到其单调递减，从而求解不等式.【详解】设()()ln F x f x x =-，0x >则()()()110xf x F x f x x x-=-=''<'，所以()()ln F x f x x =-在()0,∞+上单调递减，因为()10f =，所以()()11ln10F f =-=，且()()ee xxF f x =-，所以由()e 0x f x -<得：()()e 1xF F <结合单调性可得：e 1x >，解得：0x >，故选：C【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，图象关于原点对称，其导函数为()f x '，若当0x >时()()ln 0x x f x f x +⋅'<，则不等式()()44x f x f x ⋅>的解集为______．【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】【分析】依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可.【详解】当0x >时，()()()()()ln 0ln 0ln 0f x f x x x f x x f x x f x x'''+⋅<⇔+⋅<⇔⋅<⎡⎤⎣⎦，故函数()()ln g x x f x =⋅在()0,∞+上单调递减，易知()10g =，故当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x <；而()()()44440x xf x f x f x ⎡⎤⋅>⇔⋅->⎣⎦，而()()44xh x f x ⎡⎤=⋅-⎣⎦为奇函数，则当0x >时，当()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为01x <<，故当x ∈R 时，()440xf x ⎡⎤⋅->⎣⎦的解为1x <-或01x <<，故不等式()()44xf x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃．故答案为：()(),10,1-∞-⋃【例3】已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0,f ≠且满足:()()ln 0,f x f x x x⋅+<'则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(),1-∞D ．()(,01),-∞⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据给定含导数的不等式构造函数()()ln g x f x x =，由此探求出()f x 在(0,)+∞上恒负，在(,0)-∞上恒正，再解给定不等式即可.【详解】令()()ln g x f x x =，0x >，则()()()ln 0f x g x f x x x''=+<，()g x 在(0,)+∞上单调递减，而(1)0g =，因此，由()0>g x 得01x <<，而ln 0x <，则()0f x <，由()0g x <得1x >，而ln 0x >，则()0f x <，又(1)0f <，于是得在(0,)+∞上，()0f x <，而()f x 是(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，则在(,0)-∞上，()0f x >，由(1)()0x f x -⋅<得：10()0x f x ->⎧⎨<⎩或10()0x f x -<⎧⎨>⎩，即10x x >⎧⎨>⎩或10x x <⎧⎨<⎩，解得0x <或1x >，所以不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为(,0)(1,)-∞⋃+∞.故选：D 【题型专练】1.（2022·陕西汉中·高二期末（文））定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，则不等式()e 0xf x +>的解集为___________.【答案】(ln 2,)+∞【解析】【分析】令()()ln (0)g x f x x x =+>，根据题意得到函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，把不等式()e 0xf x +>，可得()()e 2x g g >，结合函数()g x 的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()110,2ln 2f x f x '+>=，令()()ln (0)g x f x x x =+>，可得()()10g x f x x''=+>所以函数()g x 在(0,)+∞上为单调递增，且()()22ln 20g f =+=，又由不等式()e 0x f x +>，可得()()e 2xg g >，所以e 2x >，解得ln 2x >，即不等式()e 0xf x +>的解集为(ln 2,)+∞.故答案为：(ln 2,)+∞.2.（2022·河北·石家庄二中高二期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()114f x f x ++-=，且当1x >时()0f x '≥，则不等式()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦的解集为（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()22,e【答案】A 【解析】【分析】由条件得出()f x 关于()1,2成中心对称，进一步得出函数的单调性，然后再根据题意可得()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，从而可得出答案.【详解】由()()114f x f x ++-=得()f x 关于()1,2成中心对称．令0x =，可得()12f =当1x >时()0f x '≥，则()f x 在[)1,∞+上单调递增.由()f x 关于()1,2成中心对称且()12f =，故()f x 在R 上单调递增由()()2ln 10f x x ⎡⎤-->⎣⎦，则()()ln 102x f x ⎧->⎪⎨>⎪⎩，或()()ln 102x f x ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得21x x >⎧⎨>⎩，或121x x <<⎧⎨<⎩，故2x >故选：A3.（多选）已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数是()f x '，且满足()()1ln 0x f x f x x'⋅+⋅>，则下列说法正确的是（）A ．10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()e 0f >D ．()e 0f <【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，构造()()ln g x f x x =⋅，由题意，得到()g x 单调递增，进而利用()g x 的单调性，得到1(1)()eg g >，再整理即可求解【详解】设()()ln g x f x x =⋅，可得()()1'()ln 0g x x f x f x x'=⋅+⋅>，()g x 单调递增，又因为(e)(e)ln e (e)g f f =⋅=，1111(()ln ()e e e e g f f =⋅=-，(1)(1)ln10g f =⋅=，且 1e 1e >>，1(e)(1)()e g g g ∴>>，得(e)0f >，110()()e eg f >=-，整理得1(0e f >，AC 正确；故选：AC题型五：构造三角函数型解不等式【例1】已知偶函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数为()'f x ，当02x π<<时，有()cos ()sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】由题意，设()()cosf xg xx=，利用导数求得()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且为偶函数，再把不等式()cos4f x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭，转化为()(4g x gπ<，结合单调性，即可求解.【详解】由题意，设()()cosf xg xx=，则2()cos()sin()cosf x x f x xg xx'+'=，当02xπ<<时，因为()cos()sin0f x x f x x'+<，则有()0g x'<，所以()g x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又因为()f x在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是偶函数，可得()()()()cos()cosf x f xg x g xx x--===-，所以()g x是偶函数，由()cos4f x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得()()cos4f xxπ<，即()()4cos cos4ππ<ff xx，即()(4g x gπ<又由()g x为偶函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，且定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有||4xπ>，解得24xππ-<<-或42xππ<<，即不等式的解集为,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和利用题设条件和导数求得新函数的单调性，结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.【例2】已知函数()f x的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其导函数是()'f x.有()cos()sin0f x x f x x'+<，则关于x的不()2cos6x f xπ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭B．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C．,63ππ⎛⎫--⎪⎝⎭D．,26ππ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【分析】令()()cos f x F x x =，根据题设条件，求得()F'0x <，得到函数()()cos f x F x x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，再把不等式化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，结合单调性和定义域，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()()'cos sin 0f x x f x x +<，令()()cos f x F x x =，则()()()2'cos sin '0cos f x x f x xF x x +=<函数()()cos f x F x x=是定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调递减函数，由于cos 0x >，关于x()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()6cos cos 6f f x x ππ⎛⎫⎪⎝⎭<，即()6F x F π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以22x ππ-<<且6x π>，解得26x ππ>>，()2cos 6x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】方法点睛：构造法求解()f x 与()f x '共存问题的求解策略：对于不给出具体函数的解析式，只给出函数()f x 和()f x '满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）()()()()f x g x f x g x ''±型；（2）()()xf x nf x '+型；（3）()()(f x f x λλ±为常数)型.【题型专练】1.已知可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】构造函数()sin xf x ，并依据函数()sin xf x 的单调性去求解不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 0f x f x x '+>，则()()cos sin 0xf x f x x '+>则函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又可导函数()f x 是定义在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数则()sin xf x 是ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，且在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，由πππ222ππ22x x ⎧-<+<⎪⎪⎨⎪-<-<⎪⎩，可得π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，不等式()πcos sin 02x f x x f x ⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭可化为()()ππsin sin 22x f x x f x ⎛⎫⎛⎫+⋅+>-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由函数()sin xf x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π0,2x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，ππ0,22x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则有ππ022x x >+>->，解之得π04x -<<故选：D2.已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，则不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()sin g x f x x =，则经变形后得[]'()()'()tan cos g x f x f x x x =+⋅，进而得到()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单增，结合()f x 单调性证出()g x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数，再去“f ”，即可求解【详解】令()()sin g x f x x =，[]'()()cos '()sin ()'()tan cos g x f x x f x x f x f x x x =+=+⋅，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'()tan 0f x f x x +>，'()0g x ∴>，即函数()g x 单调递增．又(0)0g =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭∴时，()()sin 0g x f x x =>，()f x 是定义在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的奇函数，()g x ∴是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的偶函数．不等式cos sin ()02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭，即sin sin ()22x f x xf x ππ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()2g x g x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，||2x x π∴+>，4x π∴>-①，又222x πππ-<+<，故0x π-<<②，由①②得不等式的解集是,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C 【点睛】本题考查利用构造函数法解不等式，导数研究函数的增减性的应用，一般形如()()()()0f a g a f b g b ±>的式子，先构造函数()()()h x f x g x =⋅，再设法证明()h x 的奇偶性与增减性，进而去“f ”解不等式3.奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-U ，其导函数是()f x '，当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '->，则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为A ．(,0)(,)66πππ-B ．(,0)(0,)66ππ-⋃C ．(,)(,)66ππππ--⋃D ．(,)(0,)66πππ--⋃【答案】D 【解析】【详解】根据题意，可构造函数()f x g x sinx=（），其导数()()2f x sinx f x cosxg x sin x'-'=（）当0x π∈（，）时，有’0f x sinx f x x -（）（）＞，其导数0g x g x '（）＞，（）在0π（，）上为增函数，又由f x （）为奇函数，即f x f x -=-（）（），则()()()()f x f xg x g x sin x sin x --===-（）（），即函数g x （）为偶函数，当0x π∈（，）时，0sinx ＞，不等式()12()6626f x f x f sinx fg x g sinx πππ⇒⇒（）＜（）＜（）＜（），又由函数g x （）为偶函数且在0π（，）上激增，则66g x g x ππ⇒（）＜（）＜，解得 66x ππ-＜＜此时x 的取值范围为06（，）π；当0x π∈-（，）时，0sinx ＜，不等式()()62162f f x f x f sinx sinx ππ⇒（）＜（＞6g x g π⇒（）＞（），同理解得此时x 的取值范围为6ππ--（，）；综合可得：不等式的解集为,0,66πππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选D ．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，解题的关键是根据题意构造新函数()f x g x sinx=（），，并利用导数分析g x （）的单调性．题型六：构造()kx x f +型函数解不等式【例1】设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对任意的实数x 都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()142f x x '+<.若()()3132f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,-+∞D ．[)2,-+∞【答案】A 【解析】【详解】构造函数法令2()()2F x f x x =-，则1()()402F x f x x ''=-<-<，函数()F x 在(,0)-∞上为减函数，因为2()()()()40F x F x f x f x x -+=-+-=，即()()F x F x -=-，故()F x 为奇函数，于是()F x 在(,)-∞+∞上为减函数，而不等式3(1)()32f m f m m +≤-++可化为(1)()F m F m +≤-，则1m m +≥-，即12m ≥-.选A.【例2】设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.【详解】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>，故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增，∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭，∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2F x F x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.【例3】（2022·重庆八中高二期末）已知函数()f x 满足：R x ∀∈，()()2cos f x f x x +-=，且()sin 0f x x '+<．若角α满足不等式()()0f f παα++，则α的取值范围是（）A ．,2π⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B ．,2π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A。

高中数学2025一轮加强专题4：抽象函数 解析版

高中数学2025一轮加强专题4：抽象函数 解析版

2025高三一轮加强专题4：抽象函数一、单选题1．定义在R 上的函数()f x 满足对任意实数,x y 都有()()()1f x y f x f y +=+-，若0x >时，()1f x >，则()f x （）A ．先单调通淢后单调递增B ．在R 上单调递增C ．在R 上单调通减D ．单调性不确定2．已知函数()f x 的定义域为R ，()()()f a f b f a ab b -=-，则（）A ．()00f =B ．()12f =C ．()1f x -为偶函数D ．()1f x -为奇函数3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2f x y f x y f x f y +-=+，且()00f ≠，则下列结论中错误的是（）A ．()01f =B ．()y f x =为奇函数C ．()y f x =不存在零点D ．()()2f x f x =4．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2222f f x y x y y f f x +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于直线12x =对称，()11f =，()f x 在[]1,0-上单调递增，则下列说法中错误的是（）A ．()()240f f +=B ．()f x 的一条对称轴是直线32x =C ．()202342f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()202411k f k ==∑5．已知函数()f x 的定义域为R ，函数()()()11F x f x x =+-+为偶函数，函数()()231G x f x =+-为奇函数，则下列说法错误的是（）A ．函数()f x 的一个对称中心为()2,1B ．()01f =-C ．函数()f x 为周期函数，且一个周期为4D ．()()()()12346f f f f +++=6．已知函数()f x 定义域为R ，且()()()22yf x xf y xy y x -=-，下列结论成立的是（）A ．()f x 为偶函数B ．()22f =-C ．()f x 在[]1,2上单调递减D ．()f x 有最大值二、多选题7．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()1()f x f y f xy y x xy--=++，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在(,0)-∞上单调递减C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞在上单调递增8．定义在R 上的非常数函数()f x 的导函数为()f x '，若()2f x +为偶函数且()()23f x f x ++=.则下列说法中一定正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线2x =对称B ．6是函数()f x 的一个周期C ．()312f =D ．()f x '的图象关于直线3x =对称9．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域都是R ，若函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，()f x '为偶函数，则（）A ．312f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝B ．()()12123f x f x -++=C ．()f x '的图象关于直线1x =对称D ．()f x '的最小周期是110．已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f =，若()()()2f x y f x f y +=++，则下列说法正确的是（）A ．()14f -=-B ．()f x 有最大值C ．()20244048f =D ．函数()2f x +是奇函数11．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意实数x ，y 满足()()()()2f x y f x y g x f y +--=，()()210f f +=且()()210f f ⋅≠，则下列结论正确的是A ．()00f =B ．()112g =-C ．()f x 为奇函数D ．()202412024n f n ==∑12．已知函数()f x （()f x 不恒为零），其中()f x '为()f x 的导函数，对于任意的,x y ∈R ，满足()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，且()()11,20f f ==，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()1f x '+关于直线1x =对称C ．()20,f n n =∈ND ．81()1k f k ==-∑13．已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，则（）A ．()01f =-B ．()()0f x f x -≤C ．()()2f x y f x =+为奇函数D ．115212122k k f =-⎛⎫< ⎪⎝⎭∑参考答案：1．B【分析】利用函数单调性的定义即可判断.【详解】任取12x x <，令211,x x x y x =-=，则()()()()212111f x f x f x x x f x -=-+-()()()()21112111f x x f x f x f x x =-+--=--，因为210x x ->，所以()211f x x ->，所以()()210f x f x ->，所以()f x 在R 上单调递增.故选：B.2．D【分析】对于A ，令0b =，可求出(0)f 进行判断，对于B ，令1a b ==，可求出(1)f 进行判断，对于CD ，令0,a b x ==，可求出()f x ，从而可求出()1f x -，进而可判断其奇偶性.【详解】对于A ，令0b =，则()()()00f a f f a -=，得()()010f a f -=⎡⎤⎣⎦，所以()0f a =或()01f =，当()0f a =时，()()()f a f b f a ab b -=-不恒成立，所以()01f =，所以A 错误，对于B ，令1a b ==，则()()()1110f f f -=，得(1)[(1)1]0f f -=，所以()10f =，或()11f =，由选项A 可知()10f ≠，所以()11f =，所以B 错误，对于CD ，令0,a b x ==，则()()()00f f x f x -=-，由选项A 可知()01f =，所以()1f x x =-，所以()111f x x x -=--=-，令()()1g x f x x =-=-，则()()g x x g x -==-，所以()g x 为奇函数，即()1f x -为奇函数，所以C 错误，D 正确，故选：D 3．B【分析】根据题意，结合抽象函数的赋值法，列出方程，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令0x y ==，可得22(0)2(0)f f =，因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，所以A 不符合题意；对于B 中，函数()f x 的定义域为全体实数，由(0)1f =，显然不符合()()f x f x -=-，所以函数()f x 不是奇函数，所以B 符合题意；对于C 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令0y =，可得22()()(0)f x f x f =+，即22()()10f x f x --=，解得()1f x =或1()2f x =-，所以函数()y f x =没有零点，所以C 不符合题意；对于D 中，由2()()()()f x y f x y f x f y +-=+，令y x =，可得2(2)(0)()()f x f f x f x =+，所以2(2)2()f x f x =，即(2)()f x f x =，所以D 不符合题意.故选：B ．4．D【分析】令0x y ==，可求得()00f =，令x y =-，可得()()f x f x -=-，利用已知可得()f x 关于32x =对称，可判断B ；可求得函数的周期为6，()f x 关于()3,0对称，计算可判断AD ；由题意可得()f x 在[]2,4上单调递减，可判断C.【详解】()()2222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0x y ==，可得()()2200000022f f f f +-⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()00f =；令x y =-，()()2222x x x x f x f x f f -+⎛⎫⎛⎫⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()2f x f x f x ⋅-=-，∴()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数；∵122f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于12x =对称，()()11332121222222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=++⇒-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,∴()f x 关于32x =对称，故B 正确；∴3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()3()f x f x f x -=+=-，∴()6(3)()f x f x f x +=-+=，即()f x 的周期为6，∵()f x 关于32x =对称，可得()f x 关于()3,0对称∴()()600f f ==，()()511f f =-=-，()()411f f =-=-，()30f =，()()211f f ==，所以()()240f f +=，2024()337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)(2)2f k f f f f f f f f =+++++++=∑小，故A 正确，D 错误；∵202377(1686)222f f f ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在[]1,0-上单调递增∴()f x 在[]2,4上单调递减，所以7(4)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()202342f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故C 正确.故选：D.5．C【分析】对于A ，由()G x 为奇函数，则()()G x G x -=-，再将()()231G x f x =+-代入化简可求出对称中心；对于B ，由选项A 可得(2)1f =，再由()F x 为偶函数可得(1)(1)2f x f x x +--=，令1x =可求出(0)f ；对于C ，由()f x 的图象关于点(2,1)对称，结合(0)1f =-求出(4)f 进行判断；对于D ，利用赋值法求解判断.【详解】对于A ，因为()()231G x f x =+-为奇函数，所以()()G x G x -=-，即(23)1[(23)1]f x f x --=-+-，所以(23)(23)2f x f x -++=，所以(2)(2)2f x f x -++=，所以函数()f x 的图象关于点(2,1)对称，所以A 正确，对于B ，在(2)(2)2f x f x -++=中，令0x =，得2(2)2f =，得(2)1f =，因为函数()()()11F x f x x =+-+为偶函数，所以()()F x F x -=，所以()()()()1111f x x f x x ---=+-+，所以(1)(1)2f x f x x +--=，令1x =，则(2)(0)2f f -=，所以1(0)2f -=，得(0)1f =-，所以B 正确，对于C ，因为函数()f x 的图象关于点(2,1)对称，(0)1f =-，所以(4)3f =，所以(0)(4)f f ≠，所以4不是()f x 的周期，所以C 错误，对于D ，在(2)(2)2f x f x -++=中令1x =，则(1)(3)2f f +=，令2x =，则(0)(4)2f f +=，因为(0)1f =-，所以(4)3f =，因为(2)1f =，所以()()()()12346f f f f +++=，所以D 正确，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题.6．D【分析】利用题设结合赋值法可得出()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案.【详解】由于函数()f x 的定义域为R ，且()()()22yf x xf y xy y x -=-，令2y =，则()()()24222f x xf x x -=-，得()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，2x =时，()()2212222f f +⎡⎤⎣⎦=-⨯+恒成立，无法确定()22f =-，B 不一定成立；由于()22f =-不一定成立，故()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+不一定为偶函数，A 不确定；由于()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+的对称轴为()1212x f =⋅+⎡⎤⎣⎦与[]1,2的位置关系不确定，故()f x 在[]1,2上不一定单调递减，C 不确定，由于()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+表示开口向下的抛物线，故函数()f x 必有最大值，D 正确.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数()()2112221f x x f x ⎡⎤+⎢⎥⎣=⎦-+，进而结合二次函数性质求解.7．AB【分析】令1x y ==-，求出()1f ，令1x y ==，求出()1f -，再分别令1y =-和1y =，即可求出函数()f x 的解析式，进而可得函数性质.【详解】定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()1()f x f y f xy y x xy--=++，令1x y ==-，则()()1211f f =-+，所以()113f =，令1x y ==，则()()1211f f =-+，所以()113f -=-，令1y =-，则()()()()()1111233f f x f x f x f x xx x x x-=--+-=--+-=---，所以()13f x x-=-，令1y =，则()()()111111333f f x f x xx x x x x-=-++=--+=，所以()13f x x =，因为()()13f x f x x-=-=-，且定义域关于原点对称，所以函数()f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数()13f x x=在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减.故选：AB.8．ACD【分析】根据偶函数的性质即可求解A ，根据4是函数()f x 的一个周期，利用反证法即可求解B ，由赋值法求解C ，求导，即可判断D.【详解】对于A ：因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x -+=+，即()f x 的图象关于直线2x =对称，所以A 正确；对于B ：由()()23f x f x ++=得()()243f x f x +++=，所以()()4f x f x =+，即4是函数()f x 的一个周期，若6也为函数()f x 的一个周期，则2为函数()f x 的一个周期，那么()()()232f x f x f x ++==，即()32f x =为常数函数，不合题意，所以B 错误；对于C ：由A 可知()()13f f =，对于()()23f x f x ++=可令1x =得()()133f f +=，所以()312f =，所以C 正确；对于D ：由A 可得()()22f x f x -+=+，求导可得()()220f x f x ''++-=即()()40f x f x ''+-=，对于()()23f x f x ++=求导可得()()20f x f x '+'+=，所以()()42f x f x -='+'，即函数()f x '的图像关于直线3x =对称，所以D 正确；故选：ACD.9．BC【分析】用举反例的方法得选项A ，D 错误，再由对称性和对称性与周期性之间的关系对剩余选项逐一分析即可.【详解】因为()f x '为偶函数，函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，对于函数() 1.5f x x =，显然其图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，且() 1.5f x '=，故() 1.5f x '=为偶函数，即() 1.5f x x =满足条件()f x '为偶函数，且其图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，但33122f ⎛⎫=⎪⎭'≠ ⎝，故A 错误；()f x '的最小正周期不是1，D 错误；函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()113f t f t ∴-++=，令2t x =，得()()12123f x f x -++=，故B 正确；函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，()(2)3f x f x ∴=--+，两边求导得：()()2f x f x ''=-，()f x ∴'的图象关于直线1x =对称,故C 正确；故选：BC.10．AD【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解.【详解】对于A 中，令0x y ==，可得()02f =-，令1,1x y ==-，则()()()11112f f f -=-++，解得()14f -=-，所以A 正确；对于B 中，令121,x x y x x ==-，且12x x <，则()()()1211212f x x x f x f x x +-=+-+，可得()()()21212f x f x f x x -=-+，若0x >时，()2f x >-时，()()210f x f x ->，此时函数()f x 为单调递增函数；若0x <时，()2f x <-时，()()210f x f x -<，此时函数()f x 为单调递减函数，所以函数()f x 不一定有最大值，所以B 错误；对于C 中，令1y =，可得()()()()1122f x f x f f x +=++=+，即()()12f x f x +-=，所以()()()()()()()2024202420232023202232f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()2112023204046f f f ⎡⎤+-+=⨯+=⎣⎦，所以C 错误；对于D 中，令y x =-，可得()()()02f f x f x =+-+，可得()()220f x f x ++-+=，即()()22f x f x +=--+⎡⎤⎣⎦，所以函数()2f x +是奇函数，所以D 正确；故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出()14f -=-，及证明函数()2f x +是奇函数.11．ABC【分析】令0y =即可判断A ；令1x y ==即可判断B ；令1x =可得()(1)(1)f x f x f x =--+，结合奇函数的定义即可判断C ；由选项C ，令1x x =-可得(1)()(2)f x f x f x -=+-，求出()f x 的周期即可求解.【详解】()()2()()f x y f x y g x f y +--=.A ：令0y =，得()()2()(0)0f x f x g x f -==，则(0)0f =，故A 正确；B ：令1x y ==，得(2)(0)2(1)(1)f f g f -=，即(2)2(1)(1)f g f =，又(2)(1)0f f +=且(2)(1)0f f ≠，所以2(1)(1)(1)0g f f +=，解得1(1)2g =-，故B 正确；C ：令1x =，得(1)(1)2(1)()f y f y g f y +--=，即(1)(1)()f y f y f y +--=-，得()(1)(1)f y f y f y =--+，所以()(1)(1)f x f x f x =--+，得()(1)(1)f x f x f x -=+--，所以()()0f x f x +-=，则()f x 为奇函数，故C 正确；D ：由选项C 知()(1)(1)f x f x f x =--+，又(1)(1)f x f x -+=--，得()(1)(1)f x f x f x =-+--①，令x 替换成1x -，得(1)()(2)f x f x f x -=+-②，①②相加，得(1)(2)0f x f x --+-=，则(2)(1)(1)f x f x f x -=---=+，得()(3)f x f x =+，即()f x 的周期为3，所以(0)(3)0f f ==，因为(1)(2)(3)0,202467432f f f ++==⨯+，所以20241()(1)(2)(3)(2024)(1)(2)0n f n f f f f f f ==++++=+=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】思路点睛：对于含有,x y ，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有,x y 双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.12．BCD【分析】对于A ：结合赋值法与函数奇偶性的定义计算；对于B ：结合复合函数导数公式与对称性可对于CD ：借助赋值法结合周期性分析求解.【详解】因为()f x 的定义域为R对于选项A ：令0x y ==，可得()()()()2200000f f f f =-=，即()00f =，令0x =，可得()()()()()2220f y f y f f y f y -=-=-，且()f y 不恒为零，则()()f y f y -=-，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，故A 错误；对于选项B ：令11x ty t=+⎧⎨=-⎩，可得22(2)(2)(1)(1)0f f t f t f t =+--=，即22(1)(1)f x f x +=-，即22()(2)f x f x =-，可得()(2)f x f x =±-，令2x =，可得2(2)(2)()f y f y f y +-=-，即2(2)(2)()f x f x f x +-=-，当()(2)0f x f x =-≠时，有()()()2f x f x f x +=-=-，所以(2)(2)()()0f x f x f x f x ++-=-+=；当()(2)0f x f x =--≠，有(2)()f x f x +=，可得(2)(2)()()0f x f x f x f x ++-=-=，当()(2)0f x f x =-=，结合()()f x f x -=-，有()(2)f x f x -=--，可得()(2)0f x f x =-+=，所以(2)(2)0f x f x ++-=；综上所述：(2)(2)0f x f x ++-=，两边同时求导可得(2)(2)f x f x +=-''，可知()f x '关于直线2x =对称，所以(1)f x '+关于直线1x =对称，故B 正确；对于选项C ：由选项B 可知：()(2)f x f x =±-，若()()(2)2f x f x f x =-=--，即()(2)f x f x +=-，可得()()(4)2f x f x f x +=-+=，可知4为()f x 的周期；若()()(2)2f x f x f x =--=-，即()(2)f x f x +=，可得()()(4)2f x f x f x +=+=，可知4为()f x 的周期；综上所述：4为()f x 的周期.且()()200f f ==，所以()20,f n n =∈N ，故C 正确；对于选项D ：由选项B 可知：(2)(2)0f x f x ++-=，令1x =，可得(3)(1)0f f +=，可得()()()()12340f f f f +++=，结合周期性可得()()()81()1011k f k f f f =-=-+=-=-∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．13．BCD【分析】利用赋值法求得()0f 即可判断A ；利用赋值可得()2222x x f x f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并且判断出()1f x ≠-，由不等式的性质可得()10f x +>，即可判断B ；利用函数的奇偶性以及()0g 的值即可判断C ；利用等比数列的判定可得()f n的通项公式，利用等比数列的求和公式可得1152121252k k f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即可判断D ．【详解】令1x =，0y =，则()()()()()11010f f f f f =++，将()11f =代入得()200f =，即()00f =，故A 错误；由()00f =，令y x =-可得()()()()0f x f x f x f x =+-+-，若存在x 使得()1f x =-，则上式变为01=-，显然不成立，所以()1f x ≠-，又()2221122222x x x x x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()1f x ≠-，所以()1f x >-，将()()()()0f x f x f x f x =+-+-整理为()()()()1f x f x f x -+=-，因为()1f x >-，即()10f x +>，所以()()0f x f x -≤，故B 正确；令()()()()R 2f x g x x f x =∈+，则()()()()()()()()()()()()()()()202222f x f x f x f x f x f x g x g x f x f x f x f x +-+--+-=+==+-++-+，且()()()00002f g f ==+，所以()g x 为奇函数，故C 正确；当*n ∈N 时，()()()()()()11121f n f n f f n f f n +=++=+，()()1121f n f n ++=+，所以(){}1f x +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()12n f n +=，由()2112x f x f ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭可知2122n n f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12n f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以()*221N 2n n f n ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以)521111155222111221215252212k k k k f -==-⎛⎫-⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n 项和进行分析，由此即可顺利得解．。

《抽象函数》专题练习

《抽象函数》专题练习

专题 抽象函数一、求抽象函数定义域1.已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________．3.已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域二.求抽象函数解析式求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法（1）若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式（2）已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式(3) 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式（4）设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式.练习：1.已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）2.已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式3．已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭ = 3x ，求函数f （x ）的解析式4.已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.5.若x x f x f 4)1()(3=-，则)(x f =_____________________三、解抽象不等式1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围.2.已知f(x)是定义在(0,)+∞上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。

求：(1)证(8)3f = ；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集。

3.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<专题 函数的奇偶性【知识梳理】1. 偶函数定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有，那么称函数)(x f y =是偶函数。

高中数学抽象函数、复合函数综合练习

高中数学抽象函数、复合函数综合练习
C．1或4D．
错解：由2 （x－2y）＝ x＋ y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有 ＝ 或 ＝1．
答案：选B
正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．
。
答案：D
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝ （x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（ ）
减 ↘
\
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）、复合函数 的单调性判断步骤：
ⅰ确定函数的定义域；
*
ⅱ将复合函数分解成两个简单函数： 与 。
ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数 为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数 为减函数。
即f的作用范围为 ，又f对f(x)作用
所以 ，即 中x应满足
即 ，解得
故函数 的定义域为
%
（2）、已知 的定义域，求 的定义域
思路：设 的定义域为D，即 ，由此得 ，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以 为 的定义域。
例3.已知 的定义域为 ，则函数 的定义域为_________。
（4）例题演练
例1、求函数 的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域
单调减区间是 设 则
}
=
∵ ∴
∴ > 又底数
∴ 即
∴ 在 上是减函数
同理可证： 在 上是增函数
［例］2、讨论函数 的单调性.

抽象函数练习题高三复习

抽象函数练习题高三复习

抽象函数练习题高三复习抽象函数是高中数学中的一个重要概念，对于高三学生来说，熟练掌握抽象函数的相关知识是非常关键的。

本文将为大家介绍一些抽象函数的练习题，帮助大家巩固复习，提高解题能力。

题目1：已知函数$f(x)=x^2-2x+1$，求$f(x+1)$的解析式。

解析：首先，将$x+1$代入函数$f(x)$的解析式中，即可求得$f(x+1)$的解析式。

将$x+1$代入$f(x)$中的$x$，得到：$f(x+1)=(x+1)^2-2(x+1)+1$展开括号并化简，得到：$f(x+1)=x^2+2x+1-2x-2+1$合并同类项，得到最终的解析式：$f(x+1)=x^2+1$题目2：已知函数$g(x)=3x-2$，求$g(2x+1)$的解析式。

解析：类似地，将$2x+1$代入函数$g(x)$的解析式中，即可求得$g(2x+1)$的解析式。

将$2x+1$代入$g(x)$中的$x$，得到：$g(2x+1)=3(2x+1)-2$展开并化简，得到：$g(2x+1)=6x+3-2$合并同类项，得到最终的解析式：$g(2x+1)=6x+1$通过这两道题的练习，我们可以加深对于抽象函数的理解。

在解题过程中，将给定的表达式代入函数的解析式中，根据运算规则进行化简求解，最终得到新的解析式。

题目3：已知函数$h(x)=\frac{1}{x}$，求$h\left(\frac{1}{x}\right)$的解析式。

解析：将$\frac{1}{x}$代入函数$h(x)$的解析式中，即可求得$h\left(\frac{1}{x}\right)$的解析式。

将$\frac{1}{x}$代入$h(x)$中的$x$，得到：$h\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}$将分子分母取倒数，得到最终的解析式：$h\left(\frac{1}{x}\right)=x$在这道题中，我们使用了取倒数的运算规则，将原函数中的$x$的倒数代入得到新的解析式。

抽象函数和复合函数的应用 解析版-高中数学

抽象函数和复合函数的应用 解析版-高中数学

抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

新高一抽象函数知识点归纳总结

新高一抽象函数知识点归纳总结

新高一抽象函数知识点归纳总结高一是学生们接触高等数学的第一年，而在高等数学的学习中，抽象函数是一个非常重要的内容。

抽象函数在高中数学课程中出现的频率相对较高，掌握好这个知识点对于学生们打好数学基础，有着非常大的帮助。

接下来，我们将对新高一抽象函数的知识点进行归纳总结。

一、函数的概念和性质在学习抽象函数之前，首先要掌握函数的概念和基本性质。

函数是一种对应关系，它把一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素上。

函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

掌握函数的概念和性质是后续学习抽象函数的基础。

二、抽象函数的定义抽象函数是指函数的定义域和值域都是集合，函数的定义可以用文字、图表、映射等方式表示。

抽象函数可以简化数学问题的表达，使问题的求解更加简单明了。

在高一的数学课程中，学生需要通过实际问题理解抽象函数的定义和意义，建立起抽象函数和具体问题之间的联系。

三、抽象函数的常见类型在高一的数学教学中，常见的抽象函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

线性函数是最简单的抽象函数，可以用一条直线表示；二次函数则是用二次方程表示的函数，图像是一个开口向上或向下的抛物线；指数函数和对数函数则是用指数和对数运算表示的函数，它们在实际中有着广泛的应用；三角函数则是以圆的角度为自变量的函数，它与几何形状、周期性等有着密切的关系。

四、抽象函数的性质和应用抽象函数具有许多重要的性质和应用。

首先，函数的图像可以通过平移、伸缩、翻转等变换得到不同的函数，这些变换对于函数的研究和应用具有重要意义。

其次，抽象函数的性质可以通过函数的解析式、图像等方式进行判断和解答。

另外，抽象函数在实际问题中的应用非常广泛，比如利用抽象函数来解决最优化问题、建模问题等。

五、抽象函数的综合应用抽象函数在高一数学中的学习不仅仅是理论的讲解和应用的演练，更重要的是培养学生的创造性思维和综合应用能力。

通过进行一些抽象函数的实际问题，可以锻炼学生的问题分析和解决能力，提高他们的数学思维能力。

抽象函数专题讲解

抽象函数专题讲解
3.赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例 5.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2017)=_______.
解:令 x=y=0,得：f(0)=0,令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,
f ( x) 的定义域．
2 例 2 已知函数 f ( x 2 x 2) 的定义域为 0， 3 ，求函数 f ( x) 的定义域．
解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x 2 x 2 ≤ 5 ．
2
令 u x 2 x 2 ，则 f ( x2 2x 2) f (u) ，1 ≤ u ≤ 5 ．
解： f ( x) 的定义域为 15 ， ，1≤ 3x 5 ≤ 5 ， 故函数 f (3x 5) 的定义域为 ， ． 3 3ຫໍສະໝຸດ 4 10 ≤ x≤ ． 3 3
4 10
2、已知 f g ( x) 的定义域，求 f ( x ) 的定义域 其解法是： 若 f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ， 则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为
1 1 2 f (1) 0,f (1) .令x n, y 1, 得f (n 1) f (n) 2[f (1)] f (n) , 2 2
1 n 2017 即 f(n 1) - f(n) ,故f(n ) , f(2001) . 2 2 2
三、抽象函数常见模型
抽象函数专题讲解
抽象函数初步
• 抽象函数：没有给出具体解析式的函数。 • 在高考中，常以抽象函数为载体，考查函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性、周期性及图象问题。

抽象函数精选例题

抽象函数精选例题

1第04讲抽象函数一、知识纵横1.抽象函数是指一些没有给出明确解析式的函数，通常用函数性质或函数方程来描述．2.定义域：多为抽象函数()f x 和复合函数定义域互求．3.求值：由函数方程给出的抽象函数通常用赋特殊值法求值．4.单调性抽象函数通常需要用定义法来判断单调性，在比较()1f x 和()2f x 大小时常用作差或作商法．*单调性：设函数的定义域为D ，区间I D ⊆；任取12x x I <∈，（1）若恒满足()()12f x f x <，则称()f x 在I 上是增函数；（2）若恒满足()()12f x f x >，则称()f x 在I 上是减函数．5.奇偶性（1）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；（2）如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数．6.对称性中心对称：（1）若()()f x a f x a +=---，则()f x 函数图象关于()0,0对称，()f x 为奇函数；（2）若()()f x a f x a +=--+，则()f x 函数图象关于(),0a 对称，()f x a +为奇函数；轴对称：（1）若()()f x a f x a +=--，则()f x 函数图象关于0x =轴对称，()f x 为偶函数；（2）若()()f x a f x a +=-+，则()f x 函数图象关于x a =轴对称，则有()f x a +为偶函数；7.周期性：对于任意的x D ∈有()()f x T f x +=，则T 为函数()f x 的周期．特别提醒4：抽象函数的要点是函数方程的形式，同号看周期，异号看对称．二、题型突破【题型1抽象函数定义域问题】例1.（1）若()f x 的定义域为[],m n ，且0mn <，0m n +>，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域为（）A ．[],n m -B ．[],n n -C ．[],m m -D ．[],m n -（2）已知函数()2y f x =-的定义域为(]2,4，则函数()y f x =的定义域为________；（3）若函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()21f x x-的定义域为__________．答案：（1）由题可得0m <、0n >且m n -<，从而()g x 的定义域为[],m m -；（2）由题()f x 的定义域为[)2,0-；（3）由题()21f x -的定义域为[]0,1，从而()21f x x -的定义域为(]0,1．2【题型2抽象函数求值问题】例2.（1）设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，()112f =，且满足对任意的实数x ∈R ，有()()()22f x f x f +=+，则()5f =_________；（2）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________；（3）函数()f x 满足：()114f =，()()()()4f x f y f x y f x y =++-，则()2010f =_________；（4）函数()f x 是定义在R 的函数，若对于任意x 恒有()()33f x f x +≤+和()()22f x f x +≥+，且()11f =，则()2005f =_________．答案：（1）()()()()()532221f f f f f =+=+，且()()()112f f f =-+，从而()21f =，代入可得()552f =．（2）由①③可得()11f =，令12x =可知1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由②可得当1x =时有1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当12x =有1164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当13x =时1194f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由函数非减可得1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而113384f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）令0x y ==，有()00f =或12，若()00f =，令0y =，则()f x 恒为0，与题目矛盾，从而()102f =，令1y =得()()()11f x f x f x =-++，将x 代为1x +可得()()()12f x f x f x +=++，两式叠加可得()()120f x f x -++=，将x 代为3x +可得()()250f x f x +++=，两式相减可得()()15f x f x -=+，从而可知()()1201002f f ==．（4）由()()33f x f x +≤+可知()()66f x f x +≤+，由()()22f x f x +≥+可知()()66f x f x +≥+，从而()()66f x f x +=+，()()200511f f ==．【题型3抽象函数求解析式】例3.（1）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()21f x y f x y x y -=--+，则()f x =__________________；（2）()f x 定义域为R ，若()01f =，且对,x y ∈R 恒有()()()()12f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =__________________．答案：（1）令0x =，可得()()11f y y y -=--+，从而()()2111f x x x x x =++=++；（2）令1y =，0x =，可得()12f =，令0y =，可得()()111f x x f x =+-=+．【题型4抽象函数单调性问题】3例4.（1）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ，当0a b +≠，都有()()0f a f b a b +>+；若a b >，试比较()f a 和()f b 的大小．（2）奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =，则()()110x f x -+>的解集为________．答案：（1）将b 代为b -可得()()0f a f b a b ->-，从而函数为奇函数，有()()f a f b >；（2）当10x ->时，()10f x +>可以解得()(),31,1x ∈-∞-- ，此时无解；当10x -<时，()10f x +<可以解得()()3,11,x ∈--+∞ ，此时()3,1x ∈--．【题型5抽象函数奇偶性问题】例5.（1）()f x 的定义域为{}|11D x x =-<<，对于任意的,x y D ∈，均有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，证明：()f x 为奇函数；（2）()f x 的定义域为R ，对于任意的,x y ∈R ，均有()()()()11f x y f x y f x f y ++=-+-，()12f =，判断()f x 的奇偶性．答案：（1）令0x y ==，可得()00f =，令y x =-，可得()()0f x f x +-=，从而为奇函数；（2）令1x y ==，可得()32f =-，令1x =，1y =-，可得()()()()1311f f f f =--，从而()12f -=-，令1x =-，可得()()f y f y -=-，从而()f x 为奇函数．【题型6抽象函数综合性问题】例6.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：（1）对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=+；当0a >时()0f a >；()21f =．求:（1）证明：()f x 是奇函数；（2）证明：()f x 在R 上单调递增；（3）若()()232f x f x +-<，求x 的取值范围．答案：以下四个题皆为函数方程入门问题，注意函数的特殊值和函数的性质．（1）可以解得()00f =，令b a =-可得函数为奇；（2）易证；（3）()42f =，从而()()234f x x f -<，由单调性可得234x x -<，解得()1,4x ∈-．例7.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意,a b ∈R 有()()()f a b f a f b +=⋅，当0a >时，()1f a >，求：（1）求证：()01f =（2）判断()f x 的单调性，并证明；4（3）若()()221f x f x x ->，求x 的取值范围．答案：（1）令0a b ==可得()01f =或0，若()00f =，令0b =有()0f a =，与题目不符，从而()01f =；（2）易证函数为增函数；（3）由题可得()()230f x x f ->，从而230x x ->，解得()0,3x ∈．例8.设()f x 的定义域为{}0D x x =≠，满足以下条件：对任意a ，b D ∈有()()()f a b f a f b ⋅=+，当1x >时，()0f x >；（3）()21f =；求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在定义域上的单调性，并证明；（3）解不等式：()()23f x f x -->．答案：（1）由题可知()()110f f =-=，从而令1a =-，函数为偶函数；（2）易证函数在()0,+∞单调递增，在(),0-∞上单调递减；（3）可得()83f =，从而不等式可化为()()816f x f x >-，解得1616,22,97x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例9.设()f x 的定义域为R ，满足以下条件：对任意a 、b ∈R 都有()()()f ab f a f b =；当01x ≤<时，()01f x ≤<．③()11f -=，()279f =，求：（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并证明；（3）若0a ≥且()1f a +≤，求a 的取值范围．答案：（1）令1a =-可得函数为偶；（2）易证函数在()0,+∞上为增；（3）由题可得()2333f =，从而13a +≤解得[]0,2a ∈．【题型7对称性与周期性综合】例10.（1）函数()f x 的定义域为R ，若()()213f x f x ⋅+=，且()12f =，则()99f =___________；（2）函数()201138f x x ax bx =++-，且()210f -=，则()2f =______________；（3）函数()1f x +是R 上的偶函数，当01x ≤≤时，()1f x x =+，则()1.4f =___________；（4）函数()1f x +是奇函数，()1f x -是偶函数，且()02f =，则()4f =_______；答案：（1）将x 代为2x +，可得()()2413f x f x ++=，从而()()4f x f x =+，则()()139932f f ==；5（2）由题()8f x +为奇函数，从而()()()2828f f +=--+，解得()226f =-；（3）由题可得()()11f x f x +=-+，令0.4x =可得()()1.40.6 1.6f f ==；（4）由()1f x +为奇函数可得()()11f x f x +=--+，由()1f x -为偶函数可得()()11f x f x -=--，将x 代为2x +可得()()13f x f x +=--，从而有()()31f x f x --=-+，从而函数的周期为4，()()402f f ==．三、直通高考例11.（2016上海）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A ．和均为真命题B ．和均为假命题C ．为真命题，为假命题D ．为假命题，为真命题答案：D ．若()0.1f x x =-，()g x x =，则相加为增函数，用类似的方法可以将f ，g ，h 分为三段，每个函数在其中一段上单调递减，从而①为假命题；由题中三个函数相加可得()2f g h ++为周期为T 的函数，从而f g h ++周期为T ，令f g +周期为T ，从而f g --周期为T ，与f g h ++相加可得h 的周期为T ，同理可得②为真．。

高考数学重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型(解析版)(全国通用)(老师专用)(新高考专用)

高考数学重难点第6讲 抽象函数及其性质8大题型(解析版)(全国通用)(老师专用)(新高考专用)

重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性.二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式.四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

高考抽象函数专题

高考抽象函数专题

抽象函数专题几类抽象函数模型练习题1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，假设f (4)＝2，则f (2)的值为_________． 答案：12．解：因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)， 所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝12．2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______． 答案：1009．解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×12＝1009．3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，假设f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1C ．19D ．43答案：D ． 解：因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9累加，得f (8)＝43．(2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，假设f (1)＝1，则f (－8)＝A．－1 B．1 C．19 D．43答案：C．解：因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此：f (1)－f (0)＝2f (0)－f (－1)＝1f (－1)－f (－2)＝0f (－2)－f (－3)＝－1f (－3)－f (－4)＝－2f (－4)－f (－5)＝－3f (－5)－f (－6)＝－4f (－6)－f (－7)＝－5f (－7)－f (－8)＝－6累加，得f (－8)＝19．另外：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1f (x)＋f (－x)＝x 2－24．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则以下说法正确的选项是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数答案：C解：x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1．x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数．5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案：B 解：2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.6．定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝2，f (x 5)＝12 f (x )，当0≤ x 1< x 2≤1时，f (x 1)≤f (x 2)，则f (325)的值为 ．答案：127．(1)已知函数f (x )满足2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0，求f (x )的表达式． 解：因为2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0①，所以－2xf (－x )－3f (x )＋x ＋1＝0②． ①×2x 得4x 2f (x )－6 x f (－x )－2 x 2＋2 x ＝0； ②×3得－6xf (－x )－9f (x )＋3x ＋3＝0②． 相减得4x 2f (x )＋9f (x )－2 x 2＋2 x －3x －3＝0，所以f (x )＝2 x 2＋x ＋34x 2＋9．(2)设函数f (x )满足f (x )－2f (1x )＝x (x ≠0)，求证：|f (x )|≥223．证明：因为f (x )－2f (1x )＝x ①，所以f (1x )－2f (x )＝1x ②．②×2得2f (1x )－4f (x )＝2x③．①＋③得f (x )＝－x 3 －23x ， |f (x )|＝|x |3 ＋23|x|≥223．8．(12分)定义在R 上的单调函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，设f (3)＝log 23． (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)假设f (k ⋅3x )＋f (3x －9x －4)<0，求实数k 的取值范围． 解：(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0． 取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．(2)奇函数，(0)0f =，2(3)log 3f =，所以(3)(0)f f >， ()f x 是定义在R 上的单调函数，所以函数()f x 在R 上的单调递增函数，奇函数，不等式(3)(394)0x x x f k f ⋅+--<等价于(3)(394)x x x f k f ⋅<-++，因此3394x x x k ⋅<-++，即4133x xk <-++，因为413133x x -++≥-+=，当3log 2x =取等号，所以实数k 的取值范围是(,3)-∞． 9．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，当x >0时，f (x )<0，且f (1)＝－23． (1)判断f (x )为奇偶性；(2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)求f (x )在[－3，6]上的最大值与最小值． 解：(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0． 取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．(2)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)＝f (△x )． 因为△x >0，所以△y <0，所以f (x )在R 上是减函数． (3)因为f (1)＝－23，所以f (2)＝f (1)＋f (1)＝－43；f (3)＝f (1)＋f (2)＝－2；f (－3)＝－ f (3)＝2；f (6)＝f (3)＋f (3)＝－4．由(2)知f (x )在[－3，6]上，所以求f (x )在[－3，6]上的最大值为f (－3)＝2，最小值为f (6)＝－4． 10．(12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 2x 1)＝f (x 2)－f (x 1)，且当x >1时，f (x )<0．(1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)假设f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值． 解：(1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因为当x >1时，f (x )<0，x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)<0，△y >0，所以f (x )为单调递减函数．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)．由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得，f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．所以f (x )在[2，9]上的最小值为－2． 11．(12分)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )． (1)求证：f (1x )＝－f (x )；(2)求证：f (x )为偶函数；(3)当x >1时，f (x )>0，求证：f (x )在(－∞，0)上单调递减． 解：(1)取x ＝y ＝1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (1)＝0．取y ＝1x 代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (1x )＝0，故f (1x )＝－f (x )．(2)取y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (－1)＝f (－x )．取x ＝y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，f (－1)＋f (－1)＝f (1)，所以f (－1)＝0． 所以f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数． (3)解法1：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1)．因为x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)>0，△y >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由(2)知f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减． 解法2：设x 1，x 2∈(－∞，0)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1 )＝－f (x 1x 2)．因为x 1x 2>1，所以f (x 1x 2)>0，△y <0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减．12．(12分)设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )．当x >0时，f (x )>1，且f (0)≠0． (1)求证：f (0)＝1； (2)求证：f (x )>0；(3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)假设f (x )·f (2x －x 2)>1，求x 的取值范围． 解：(1)取a ＝b ＝0代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)2＝f (0)，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1． (2)a ＝x ，b ＝－x 代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)＝f (x )·f (－x )，即f (x )＝1 f 〔－x 〕 ．当x >0时，f (x )>1； x ＝0时，f (x )＝1；当x <0时，－x >0，f (－x )>1，所以f (x )＝1f 〔－x 〕 ∈(0，1)．综上，f (x )>0．(3)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x )－f (x 1) ＝f (x 1)f (△x )－f (x 1)＝f (x 1)[f (△x )－1] ．因为 △x ＝x 2－x 1>0，所以f (△x )>1，故△y >0，f (x )是R 上的增函数．(4)f (x )·f (2x －x 2)＝f (x ＋2x －x 2)＝f (3x －x 2)，1＝f (0)，所以不等式f (x )·f (2x －x 2)>1可化为f (3x －x 2)> f (0)．由(2)知3x －x 2>0，得x 的取值范围为(0，3)． 13．(12分)已知定义在R 上的不恒为零的函数f (x )满足 f (xy )＝y f (x )＋x f (y )． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)假设f (2)＝2，*n ∈N ，设a n ＝ f 〔2n 〕2n ，b n ＝ f 〔2n 〕n，求证数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列． 解：(1)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (1)＝0． 取x ＝y ＝－1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (－1)＝0．取y ＝－1代入f (－x )＝－f (x )＋x f (－1)，得f (－x )＝－f (x ) ，所以f (x )为奇函数． (2)因为f (2n ＋1)＝f (2·2n )＝2 f (2n )＋2n f (2)，所以f (2n ＋1)＝2 f (2n )＋2n ＋1．同除以2n ＋1，得 f 〔2n+1〕2n+1 ＝ f 〔2n 〕2n＋1，即a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．a 1 ＝ f 〔2〕2 ＝1，所以 a n ＝a 1＋(n －1)×1＝n ，所以f (2n )＝2n ．因为b n +1b n＝2，所以数列{b n }为等比数列．14．(12分)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①对任意实数m ，f (x m )＝mf (x )；②f (2)＝1． (1)求证：f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数； (3)假设f (x )＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围． 解：(1)因为x ，y 均为正数，根据指数函数性质可知，总有实数m ，n 使得x ＝2m ，y ＝2n ． 于是f (xy )＝f (2m 2n )＝f (2m +n )＝(m +n )f (2)＝m +n ．而m ＝m f (2) ＝f (2m ) ＝f (x )， n ＝n f (2) ＝f (2n ) ＝f (y )，所以f (xy )＝f (x )+f (y )． (2)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (1)＝0． 取y ＝1x 代入f (1)＝f (x )＋f (1x )，得－f (x )＝f (1x )．设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2x 1)．因为x 2x 1>1，根据指数函数性质可知，总有正实数r ，使得x 2x 1 ＝2r ，所以△y ＝f (2r )＝r >0．因此f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数．(3)由(1)知假设f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3 x )，2 ＝f (2)＋f (2)＝f (4)． 所以不等式f (x )＋f (x －3)≤2即f (x 2－3 x )≤f (4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3 x ≤4x >0x －3>0得x 的取值范围为(3，4] 15．(12分)定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (x ) ≥0，f (1)＝1．当x 1 ≥0，x 2 ≥0，x 1＋x 2 ≤1时，f (x 1＋x 2)≥ f (x 1)＋f (x 2) ．(1)求f (0)； (2)求f (x )最大值；(3)当x ∈[0，1]时，4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x ) ≥0，所以f (0) ≥0．取x 1＝x 2＝0代入f (x 1＋x 2) ≥f (x 1)＋f (x 2)得f (0) ≤0，因此f (0)＝0． (2)设x 1，x 2∈[0，1]，△x ＝x 2－x 1>0，则△x ∈[0，1]，所以f (△x ) ≥0． △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x ) －f (x 1) ≥f (x 1 )＋f (△x ) －f (x 1)＝f (△x ) ≥0． 所以函数f (x )在[0，1]上不是减函数，f (x )最大值是f (1)＝1．(3)当x ∈[0，1]时，f (x ) ∈[0，1]．假设f (x )＝1，则4－4(2－a )＋5－4a ＝10≥，不等式4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥成立．假设f (x ) ∈[0，1)，别离参数a ≤1－f (x ) ＋14[1－f (x )]．因为1－f (x ) ＋14[1－f (x )]≥2[1－f (x )]14[1－f (x )]＝1，当f (x )＝12时等号成立．所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．备选：1．(12分，重庆)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ． (1)假设f (2)＝3，求f (1)； (2)求f (0)；(3)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析表达式． 2．(12分)已知函数f (x )满足f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0． (1)求f (0)的值；(2)当x 1，x 2 (0，12)时， f (x 1)＋2<log a x 2，求a 的取值范围．3．(12分)已知偶函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)解不等式f (2x 2－1)< 2． 4．(12分)已知函数f (x )满足f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，且f (－21)＝0，当x >－12时，f (x )>0．求证：f (x )是单调递增函数． 5．(12分)已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )f (y )，且f (x )≠0，当x >1时，f (x )<1．试判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 6．(12分)已知函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足f (x －y )＝f (x )f (y )＋1f (x )－f (y )，存在正常数a ，使f (a )＝1．求证：f (x )是奇函数．。

抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习

抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习
()±()
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)

f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(

A.f(0)=0
解析:法一

B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()



f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,


所以 f( )= .
答案:(1)

高中高考数学专题：抽象函数经典题型大全(含答案和解析)

高中高考数学专题：抽象函数经典题型大全(含答案和解析)

抽象函数一、求表达式方法 (2)1.换元法 (2)2.拼凑法 (2)3.待定系数法 (2)4.利用函数性质法 (3)5.方程组法 (3)5.赋值法 (3)二、抽象函数常见考点解法综述 (5)1.定义域问题 (5)2.求值问题 (5)3.值域问题 (5)4.奇偶性问题 (6)5单调性问题 (6)6.对称性问题 (7)7.求参数的取值范围 (7)8.解不定式 (7)9.周期问题 (7)三、抽象函数五类题型及解法 (9)1.线性函数型抽象函数 (9)2.指数函数型抽象函数 (10)3.对数函数型抽象函数 (11)4.幂函数型抽象函数 (12)5.三角函数型抽象函数 (13)四、巩固练习 (15)抽象函数问题综述-----含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式方法1.换元法例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1ux u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________.解：设t＋1＝t －1，x ＝(t －1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．2.拼凑法在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例1：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()((3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________. 解：＋1)＝x ＋2＝＋1)2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．3.待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

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三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。

解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。

若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有f(0)=1。

由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0)2()(2≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f x f ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=⎪⎭⎫⎝⎛-+11 ,求f(x)的解析式。

解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ----,12)11()1(:x 1-x xx x f x x f x -=-+-得代换用（2）:)1(x -11 得中的代换再以x .12)()x -11f(x x x f --=+---（3）1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、.232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (x f 3 x,x1)x (f 2)x1(f ,x x12=++=-与已知得得代换用，.232|)x (f |,024)x (9f02≥∴≥⨯-≥∆得由3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值；（2）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有f (x 1)+2<log a x 2成立时，求a 的取值范围． 解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=，又∵(1)0f =，∴(0)2f =-． （2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2x∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈都有12()2log a f x x +<成立，必有23log 4a x ≤都成立.当1a >时，21l o g l o g 2a a x <,显然不成立．当01a <<时，213(log )log 24a a x >≥，解得3414a ≤<∴a 的取值范围是34[,1)4． 五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）.练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。

证明：设R 上x 1<x 2，则f(x 2-x 1)>1，f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。

取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由0)(1)(1)()()0(>-==-=x f x f x f x f f 得，故f(x)>0，从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是增函数。

（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0.求证：f (x )是单调递增函数；证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0,∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0,∴f (x )是单调递增函数.练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1。

试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性。

解:0)x (f ,0)x (f ,0)x (f )x x (f )x (f R x 2>≠≥=∙=∈+故又有对，则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 122121><∈+1)x x(f )x (f )x (f )x x(f )x (f )x x x (f )x (f )x (f 121112111212<=∙=∙=，所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数.练习6、. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =，(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值； (III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n nS a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤，由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴=111112113333333()()()()()23()4n n n n n n n nf a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。

22112211414414444112133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+ 故113()2n n f a -≤+ 1213131()1()()()2n nf a f a f a n --∴+++≤+即原式成立。

六、奇偶性问题解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系（2）已知y=f (2x +1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是（ D ）A.x =1B.x =2C.x =－21D.x =21解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称. 注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。

F （x ）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。

例15：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f 。

求实数a 的取值范围。

解析：又偶函数的性质知道：)(x f 在),0(+∞上减，而0122>++a a ，01232>+-a a ，所以由)123()12(22+-<++a a f a a f 得1231222+->++a a a a ，解得30<<a 。

（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(a f a f f a f -<+<+或等；也可将定义域作一些调整）例16：定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y )．(1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)---- ①令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，∴f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， k ·3x ＜-3x +9x +2，32x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．令t=3x ＞0，即t 2-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒成立．221()(1)2,2101(0)20,20,100,()02(1)80122令其对称轴当即时，符合题意；1+k 当时2对任意恒成立解得-1k f t t k t x kk f kt f t k k +=-++=+<<-=>≥+⎧≥⎪>>⇔⎨⎪∆=+-<⎩≤<-+故：3122(3)(392)0时，x x k f k f <-+⋅+--<对任意x ∈R 恒成立。

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