第一轮总复习课件(理数)：第32讲 等比数列的概念及基本运算新课标高中数学

1 2 1 2
(1) 因为对任意的 n∈N*, 点 (n,Sn) 均在 函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数 ) 的图象 上,所以Sn=bn+r.
当n=1时,a1=S1=b+r; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)
=bn-bn-1=(b-1)bn-1.
公比q=- .
1 2
（1）设bn表示数列{an}的前n项的积，求 bn的表达式； （2）在（1）的条件下，当n为何值时， 数列{bn}有最大项？
分析 (1) 求 出 {an} 的 通 项 公 式 ， 再 由
bn=a1· a2· …· an 得表达式 .(2) 先判断 bn 的符号， 再由|bn|的单调性，进一步探求. (1)因为an=2010×(1 n-1 ) , 2
备选题 （2010· 安徽师大附中)设数列{bn}的前 n项和为Sn， bn=2-2Sn；数列 {an}为等差数 列，且a5=14，a7=20.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若cn=an· bn(n=1,2,3,… 7 )， Tn为数列 {cn}的
前n项和，求证：Tn<
2
.
2 又S1=b1，所b1= 3
1 1 n-1 1 n )( 2 ) =-( 2 ) =a2n-2, 2
所以S=a2+a4+…+a100
1 1 1 =(2- 2 )+[2-( 2 )2]+…+[2-( 2 )50] 1 1 (1 50 ) 1 2 2 50 1 2 =2×50- 1 =99+ . 2
点评本题是以分段形式给出的数列通 项，特别要根据 n 的奇偶选递推式，而
第 3讲
等比数列的概念及基本运算
1.理解等比数列的概念. 2. 掌握等比数列的通项公式与前 n项 和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的
等比关系，并能用有关知识解决相应的 问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.已知数列{an}的前n项和Sn=an-3(a为不等 于零的实数),那么数列{an}（ D）
1 n
n-1
点评 (1) 对于“知三求二”问题，通常是 利用通项公式与前 n 项公式列方程组求解， 但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数 列的性质解题，就可化繁为简.
(2) 当已知 a1 、 q(q≠ １ ) 、 n 时，用公式 a (1 q )
n 1
Sn=
1 q
求和较为方便；当已知 a a a q1、q
所以bn=a1· a2·…·an
=2010n×(1 n ( n21) ( ) =2010n× 2 .
1 2 )0+1+2+…+(n-1)
(2)因为
| bn 1 | | bn |
=
2010 2n
,
所以，当n≤10时， 所以|b11|>|b10|>…>|b1|； 当n≥11时，
| bn 1 | | bn |=
山东卷)等比数列{an}的前n项 学例2 (2009· 和为 Sn. 已知对任意的 n∈N* ，点 (n,Sn) 均 在函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数 ) 的 图象上. (1)求r的值； (2) 当 b=2 时，记 bn=2(log2an+1)(n∈N*). 证 b 1 b 1 N*， 明：对任意的 n ∈ n 1 b b 不等式 · · …· > 成立.
A.是等比数列
B.当a≠1时是等比数列
C.从第2项起是等比数列
D.从第2项起是等比数列或等差数列
由Sn=an-3,可得 an=a-3
(n=1)
(a-1)an-1 (n≥2).
当a=1时，数列-3,0,0,…0，为从2项起的 等差数列； 当a≠1时，为从第2项起的等比数列.
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6, 则a2011=（ A） A.22010 B.22011 C.32010 D.32011
方法提炼
1.方程思想的应用.在等比数列的五个 基本量a1,an,q,n,Sn中，“知三求二”，一 般是运用通项公式和前 n项和公式列方程， 通过解方程求解.
2.等比数列的判定常用定义法和等比
中项法；而证明不是等比数列时，只需 举反例（常从前几项入手）.
走进高考
江苏卷 ) 设 {an} 是公比为 q 的等 学例1(2009· 比数列，|q|>1，令bn=an+1(n=1,2,…).若数 列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82} -9 中，则6q= .
令{an}的公比为q， 则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6， 则a1=1，q=2，所以
a2011=a1· q2010=22010.
3.若数列{an}成等比数列,则 “a2010· a2012=16”B
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 是“ a2011=4”的（ ）
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
题型二 等比数列的判定及证明 例2 （2010· 都昌模拟）已知数列{an}满
足:a1=1， an+1 =
(1)求a2,a3,a4,a5； (2)设bn=a2n-2,求证:数列{bn}是等比数列； (3)在 (2)的条件下，求数列 {an}的前 100项中 所有偶数项的和.
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an+n (n为奇数） (n为偶数).
因为数列{bn}有连续四项在集合 {-53,-23,19,37,82}中， 又an=bn-1，所以数列{an}有连续四项在集合 {-54,-24,18,36,81}中,且必有正项、负项； 又|q|>1，所以q<-1, 因此ak,ak+1,ak+2,ak+3(k∈N*)正负相间， 且|ak|，|ak+1|，|ak+2|,|ak+3|单调递增， 3 故等比数列四项只能为 -24,36,-54,81. 2 此时，公比为q=- ，6 =-9.
| bn 1 | | bn |=
2010 2n >1
，
2010 2n <1,
所以|b11|>|b12|>…,
又因为b11<0，b10<0，b9>0，b12>0， 1 2010 ( ) b 和b 中的最大者. 所以b bn的最大值是 9 12 2
12 66
12
因为
b9
=
1 20109 ( )36 2 1
=20103×(
2
)30=[2010×(
1 2
)10]3>1.
1 2
点评 等比数列的通项公式类同于指数 函数，根据公比q与首项a1的正负、大小 有不同的单调性:
当 a1>0 或 a1<0
q>1 0<q<1时为单调增数列；
当 a1<0 或 a1>0
q>1 0<q<1为单调减数列；当 q<0时为摆动数列，应分类讨论其项的 符号与绝对值.
所以q=-
1 2 或1.
a1 (1 q 3 ) 1 2,解得q=- 或1(舍去). =3a q 1 q 1 2
5.2009 年，某内河可供船只航行的河段长 为 1000 km ，但由于水资源的过度使用， 促使河水断流，从 2010 年起，该内河每
年船只可行驶的河段长度仅为上一年 2 3 2 9 的 ，则到 2018年，该内河可行驶的河 ( 1000× 3 ) 段长度为 km.
公差d= (a7-a5)=3，可得an=3n-1. 1 从而cn=an· bn=2(3n-1)· 3n .
1 2
1 1 1 1 2 3 n 3 3 3 3 所以Tn=2[2· +5· +8· +…+(3n-1)· ], 1 1 1 1 1 3 n 1 n 2 3 3 3 3 3 所以 2 Tn=2[2· 1 +5·1 +…+(3n -4)· +(3n-1)· ], 1 3 2 3 3 3 3 当出现由等差数列与等比数列的 点评 所以 T =2[3· +3· +3· +… 1 1 1n n 1 n 积构成的新数列时 ,乘公比，错项相消法 3 3 3 +3·是首选 - -(3n-1)· ], 7 7 1 1 7 ,此时一定要注意公比是否为 1. n 1 n 2 2 3 3 2
n
或
n a1 an q Sn 1 q
.
典例精讲
题型一 等比数列的基本运算
例1 在 等 比 数 列 {an} 中 ， 已 知
a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.
分析 利用等比数列的性质，将 a2an-1
转换成a1an，从而求出a1和an，再根据等 比数列的通项公式与前 n 项和公式列方 程组求解.
(1) a .
(2) 等 比 数 列 的 通 项 公a 式 为 ② n-1 q n=a1·
2＝ (3) 对 于G 是 a 、 b 的 等比 中 项 , 则 G ± ab
(4)特别要注意等比数列前n项和公式应 分为q=1与q≠１两类.当q=1时,S =④ na1;
当q≠１时,Sn=⑤
a1 (1 q ) 1 q
由a2010· a2012=16,则a2011=±4，充分性 不满足; 由a2011=4，则a2010· a2012=a20112=16.
4.（2010· 江苏溧水模拟）等比数列{an}中， Sn是数列{an1 }的前n项和，S3=3a3，则公 - 2. 或1 式q=
当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意. 当q≠1时,