复数3复数的几何意义 - 打印版

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第3章 3.3 复数的几何意义

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判断正误： (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( ) (3)复数的模一定是正实数.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)×
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教材整理3 复数加减法的几何意义阅读教材P122图3-3-5以下部分，完成下列问题. 1.如图3-3-1所示，设向量 O→Z1 ， O→Z2 分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且 O→Z1 和 O→Z2 不共线.以 O→Z1 ， O→Z2 为两条邻边画▱OZ1ZZ2.则向量 O→Z 与复数z1＋z2相对应；向量Z→2Z1与复数 z1－z2 相对应.
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复数加减法的几何意义
(1)向量O→A对应的复数为1＋4i，向量O→B对应的复数为－3＋6i，则向量O→A＋O→B对应的复数为________.
(2)若O→A，O→B对应的复数分别是7＋i,3－2i，则|A→B|＝________. 【精彩点拨】利用复数加减法的几何意义求解.
∴满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示.
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1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模即向量O→Z的模，复数的模可以比较大小. 2.复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解.
【解析】 ∵复数z在复平面内对应的点在第四象限， ∴3x－－2x＜＞00，，解得x＞3. 【答案】 (3，＋∞)
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3.已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是2 2，则点(x，y)的轨迹方程是____.

复数的几何意义

复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。

2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。

复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义减法的几何意义22b a + Z( )xoZ 1Z 2ZZ 2Z1yy oxz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

复数的极式与几何意义

z1 r1 (cos1 i sin1 ) ，z2 r2 (cos2 i sin2 ) ，
则
z1 z2 r1 r2，且 1 2 2k ，k 为整数。
复数的极式 p.129~p.136
复数的极式与几何意义 page 18/46
复数极式的乘法公式与除法公式
6 p.135
如右图，在正六边形 ABCDEF 中，已知 A 点在原点，且 B 点坐标 (2 , 2)，试求： (1) F 点坐标。
(1) 视 B 点代表复数 2＋2i，如右图， F 点可由 B 点绕原点逆时针旋转 120而得，故 F 点坐标为
(2 2i)(cos120 i sin120 )
试求下列各值： (1) (1 3i)12 。
由棣美弗定理得
(1
3i )12

2

cos
5
3

i sin 5
3
12

212

cos

12

5
3

i
sin

12

5
3

212 cos 20 i sin 20
212 4096
8 p.138
试求下列各值： (2) (2 2i)4。
i

(3 3) (3 3)i
故 C 点坐标为 (3 3 , 3 3)
棣美弗定理 p.136~p.139
复数的极式与几何意义 page 24/46
令 z = r( cos +i sin )，则由复数极式的乘法公式可得
z2 z z r(cos i sin ) r(cos i sin )

3.3 复数的几何意义

能否类比定义复
想
数的绝对值？
一
想
？
复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义:
对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数z＝a＋bi 在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离．
y z＝a＋bi
Z (a，b)
O
x
│z│＝│OZ │＝ a2＋b2，z，z，│ z│三者有何关系？
例3 已知复数 z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，试比较它们模的大小．
小结
1.复数的几何意义． 2.复数加减法的几何意义． 3.数形结合的思想方法．
（数）
（形）
z＝a＋bi Z(a，b)
a
y
建立了平面直角
坐标系来表示复数的 b 平面 ——复数平面
(简称复平面)
ox
x轴——实轴
y轴——虚轴
例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数．
4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i
练习：课本P123练习第1题（口答）．
思考 1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个点具有怎样的位置关系?
想一想？
在几何上，我们用什么来表示实数?
实数可以用数轴上的点来表示．
一一对应
实数
数轴上的点
（数）
（形）
类比实数的表示，可以用什么来表
示复数？
回
复数的
忆
代数形
式？
…
Z＝a＋bi(a，b∈R)
实部!
虚部!
一个复数
由什么惟
一确定？
学生活动1
有序实数对(a，b)
一一对应
复数z＝aLeabharlann bi直角坐标系中的点Z(a，b)
高一5班

复数的几何意义以及运算公式

复数的几何意义以及运算公式知识就是力量，在于平时不断的积累，想要了解复数的小伙伴赶紧来看看吧！下面由小编为你精心准备了“复数的几何意义以及运算公式”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的知识点！复数的几何意义是什么1、复数的几何意义是：复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。

2、我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a 称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

3、当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。

复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

4、复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

复数的运算公式（1）加法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。

（2）乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。

两个复数的积仍然是一个复数。

（3）除法运算复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的复数x+yi （x，y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。

拓展阅读：复数与向量的关系是什么向量是复数的一种表示方式，而且只能是二维向量，即平面向量。

复数仅仅限制在二维平面上。

复数和复平面上以原点为起点的向量一一对应。

1、向量：在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量，亦称矢量，在数学中与之相对应的是数量，在物理中与之相对应的是标量。

复数的几何意义与运算规则

复数的几何意义与运算规则复数起源于解方程中无实数解的情况，它扩展了实数域，使得原本不可能的运算变得有解。

复数的几何意义和运算规则是理解和应用复数的基础。

本文将从几何角度解释复数，介绍复数的四则运算规则，并提供一些实例来进一步说明。

一、复数的几何意义复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，其中实数部分代表复数在实轴上的位置，虚数部分代表复数在虚轴上的位置。

我们可以将复数表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。

从几何意义上看，复数可以在平面上表示为一个有序数对(a, b)，其中a为复数的实部，b为复数的虚部，平面上的每个点都表示一个复数。

实部和虚部决定了复数在平面上的位置。

二、复数的运算规则1. 加法复数的加法满足交换律和结合律。

当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到新的复数。

2. 减法复数的减法可以通过加法和乘法来计算。

减去一个复数相当于加上这个复数的相反数。

3. 乘法复数的乘法满足交换律和结合律。

两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘后相加，得到新的复数。

4. 除法复数的除法可以通过乘法和共轭复数来计算。

除以一个复数相当于乘以这个复数的倒数。

三、实例说明例子1：假设有两个复数z1=2+3i和z2=1-2i，求它们的和、差、积和商。

解：两个复数的和：z1+z2=2+3i+1-2i=3+i两个复数的差：z1-z2=2+3i-(1-2i)=1+5i两个复数的积：z1*z2=(2+3i)*(1-2i)=8-1i两个复数的商：z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=0.8+1.6i例子2：在复平面上，给定两个复数z1=2+3i和z2=4-2i，求它们的距离和中点。

解：两个复数的距离可以计算为：|z1-z2|=|2+3i-(4-2i)|=|-2+5i|=√((-2)^2+(5^2))=√29两个复数的中点可以计算为：(z1+z2)/2=((2+3i)+(4-2i))/2=(6+1i)/2=3+0.5i以上例子说明了复数的几何意义和运算规则在实际问题中的应用。

3.3 复数的几何意义 (1)

y
B
z : a bi
b
o
a
A
o
x
a
x
z : a bi
在平面直角坐标系中，每一个点Z(a,b)与唯一一个起点为原点O，终点为Z的向量 oz 对应，于是有
复数z a bi 点Z（a，b）向量OZ
也就是说任意复数z=a+bi对应着复平面上唯一的点 Z(a,b)，也对应以O为起点，Z(a,b)为终点的唯一的向量 oz . 反之，任意向量 oz也对应着唯一的复数z=a+bi . 所以复数z=a+bi(a,b≠0)可以用复平面内的向量 oz 来表示，这是复数的另一种重要的几何表示。
r

b
o
a
x
图3-3
当b=0时，a+bi就是实数a，它的模等于 a (即实数a的绝对值).
1 3 i 的模，例1 求复数 z1 3 i 和 z2 2 2 并比较它们的模的大小。
解：
z1
z2
3 i
3
(
2
1 2,
1 3 i 2 2
1 2 3 2 ) ( ) 1, 2 2
复复数数 3.3 复数的几何意义
复数复数
实数a可以与数轴上的点A(a)一一对应，这就是它的几何意义。那么，复数可以与什么一一对应？它的几何意义是什么？
我们知道，实数可以用数轴上的点来表示，而任何一个复数都对应着唯一的一个有序实数对(a,b).因此，我们可以借助平面直角坐标系来表示复数。如图3-1所示，在平面直角坐标系中，复数z=a+bi可以由点Z(a,b) 来表示。这个建立了直角坐标系并用来表示复数的平面叫做复平面。按照这种方法，每一个复数，都能在复平面内找到唯一确定的点与它对应；反过来.复平面内每一个点也都对应着唯一确定的一个复数，即

第3章 3.3 复数的几何意义

3．3 复数的几何意义学习目标 1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题．知识点一复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义 1．复数与点、向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模(或绝对值)，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 知识点三复数加、减法的几何意义 1．复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数z 1＋z 2是以OZ →1，OZ →2为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数复数减法的几何意义复数z 1－z 2是从向量OZ →2的终点指向向量OZ →1的终点的向量Z 2Z 1所对应的复数2.设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( × )2．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就复数对应的向量的模．( √ )3．复数z ＝1＋i 与向量OA →＝(1,1)在复平面内表示同一个点．( × )一、复数的几何意义例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在： (1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．解因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点的坐标为Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)，当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．延伸探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限．解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0，即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x <5时，点Z 在第四象限．反思感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上？解 (1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0， ①m 2＋3m －28＝0， ②由②得m ＝－7或m ＝4.因为m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①，所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．二、复数模及其几何意义的应用例2 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？解 (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1. (2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．反思感悟 (1)在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离．跟踪训练2 设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值．解设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵z ＋1＝(a ＋1)＋b i ，且|z |＝|z ＋1|＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b 2＝34，∴|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝(a －1)2＋b 2＝⎝⎛⎭⎫－12－12＋34＝ 3.三、复数加、减法的几何意义例3 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应的复数为0，3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数； (2)CA →表示的复数； (3)OB →表示的复数．解因为A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义，知OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i. (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i. (2)因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 反思感悟 (1)常用技巧①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则①四边形OACB 为平行四边形．②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形． ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形．④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练3 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________. 答案10解析 ∵OB →＝OA →＋AB →，∴OB →表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ， ∴|OB →|＝12＋32＝10.(2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－∞，1)解析 z 2－z 1＝1＋(a －1)i ，由题意知a －1<0，即a <1.1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3 答案 C2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵23<m <1，∴0<3m －2<1，m －1<0，∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限．3．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________. 答案 3解析复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z |＝3.4．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于第________象限．答案四解析 ∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)，其位于第四象限．5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________．答案 5－2i解析设AC 与BD 的交点为E ，则E 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－1，设点C 坐标为(x ，y )，则x ＝5，y ＝－2，故点C 对应的复数为5－2i.1．知识清单：(1)复平面、实轴、虚轴、模的概念． (2)复数与点、向量间的对应关系．(3)向量加法、减法的几何意义及其应用． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：利用复数的几何意义求参数的值或范围出错．1．在复平面内，复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0，故复数z ＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋2)＋(m ＋1)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－2)答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2<0，m ＋1<0，解得m <－2.3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)， ∴向量OB →对应的复数为－2＋i.4．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i答案 A解析因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知， a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1，故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.5．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )答案 A解析由题图知z ＝－2＋i ，则z ＋1＝－1＋i ，由复数的几何意义可知，A 正确．6．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于第________象限．答案二解析若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1，则复数a －a i ＝－1＋i 对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．7．已知复数z ＝2a －5i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第四象限，且|z |＝3，则复数z ＝________. 答案 2－5i解析因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以a >0，由|z |＝3知，4a 2＋(－5)2＝3，解得a ＝±1，故a ＝1，所以z ＝2－5i.8．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________．答案 2 5解析 z 1＝1－i 对应的点为Z 1(1，－1)，z 2＝3－5i 对应的点为Z 2(3，－5)，由两点间距离公式，得 Z 1Z 2＝(3－1)2＋(－5＋1)2＝2 5.9．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，32. 10．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解方法一设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)， ∴AC 的中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i) ＝(x －1)＋(y －3)i ，∵BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.11．(多选)在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，AB ＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4i C ．3＋4i D.15＋325i 答案 BD解析设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝15，y ＝325.∴z 2＝5＋4i 或15＋325i.12．已知0≤a ≤3，则|1－a i|的取值范围为( ) A ．[0，3] B ．[0,3] C ．[1，10] D ．[1,10]答案 C解析根据复数模的定义知， |1－a i|＝1＋a 2，又因为0≤a ≤3，所以1≤|1－a i|≤10.13．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫322，3解析复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2. 由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋14＋92＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋92. 因为－1<a <2，所以|z |∈⎣⎡⎭⎫322，3. 14．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝________.答案－15＋8i解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入原方程，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8. 所以z ＝－15＋8i.15．已知复数z 满足|z |＝2，则|z ＋3－4i|的最小值是( )A ．5B ．2C ．7D ．3答案 D解析 |z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到 (－3,4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为(－3)2＋42－2＝5－2＝3.16．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ；BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ；AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。

复数的几何意义

复数的几何意义复数不仅有意义，而且可以用图示来优雅地解释。

1、实函数与数轴变换大家都认识，对于这样的初等函数，我们从小就学会使用直角坐标系来刻画它们：它们的特点都大同小异：把实数轴对应到实数轴。

然而，既然是一维函数，用二维图像来描述未免太过奢侈。

如果我们把数轴涂上不同颜色，再把一条新数轴上对应的函数值涂上相应颜色，就可以清晰地用数轴-数轴对应来展示函数这一关系：可以发现每个函数的作用无非是在有些地方把数轴往中间压了压，在有些地方又把数轴往两边扯了扯（观察图中小棒棒之间的间距是变窄还是变宽）：越往左越挤压数轴，越往右越拉伸数轴离0越远，对数轴的拉伸越厉害（在图上左半边图像和右半边图像重叠在了一起）。

如果有一个小球在实数轴上向右滑行，那么它的像则先向左滑行到0，然后再向右滑行。

离0越远，对数轴的拉伸比楼上更厉害，但是不同的是，向右滑行的小球的像也一直向右滑行。

是挤压还是拉伸，就看函数在那一点的导数的绝对值是小于1还是大于1。

因此导数大小的意义就是局部小区间在变换下的伸缩倍数。

导数正负符号的意义是小区间是否反向，比如第二个函数在x小于0时导数也小于零，那么指向右方的数轴负数部分经过变换指向了左方。

2. 复数与平面变换既然可以用上面的数轴-数轴对应来描述一维函数，那么类似地，就可以用平面-平面对应来描述二维函数。

我们用一个复数表示平面上的点，用字母i区分纵坐标，就可以来研究复数函数的性质，其中。

假设我们已经默认了复数的运算：加法：乘法：极坐标分解：，其中是复数代表的平面向量到原点的距离，是和横轴正方向的夹角。

拿出一个涂色的平面网格（从左上开始逆时针依次涂成红黄蓝绿色），把每个网点的像算出来，按顺序连起来，就可以来研究复函数了。

2.1. 复数的加法：从图中可知，加法就是平面的平移，平移量恰好是那个复数对应的平面向量。

2.2 复数的乘法：根据上面的运算法则很容易得到函数的二维对应关系是，画在图上就是：仔细看可以发现，各点乘以的效果是平面逆时针旋转了90度，也就是弧度。

复数的几何意义

复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。

为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

复数的几何意义

复数的几何意义
复数的几何意义是指将复数视为在平面上的点或向量，并将其与平面上的几何图形相对应。

在平面上，复数可以用坐标表示，其中实部表示点的横坐标，虚部表示点的纵坐标。

复数的几何意义可以从以下几个方面进行解释：
1. 向量表示：可以将复数看作是一个具有大小和方向的向量。

复数的模表示向量的长度，模的平方表示向量的长度的平方。

复数的幅角表示向量与正实轴之间的夹角，幅角可以通过反三角函数计算得到。

2. 平面几何：复数可以用来表示平面上的点。

实部和虚部分别表示点的横坐标和纵坐标，通过给定复数的坐标，可以确定平面上的一个点。

反之，给定一个平面上的点，可以用复数表示其坐标。

3. 旋转和缩放：复数的模表示向量的长度，幅角表示向量与正实轴之间的夹角。

利用复数的属性，可以进行旋转和缩放的操作。

例如，将复数乘以一个实数可以对向量进行缩放，将复数乘以虚数单位i可以将向量逆时针旋转90度。

4. 复平面：复数可以用来构建复平面，即以复数为坐标的平面。

复平面上的每个点都对应一个复数，反之每个复数都对应复平面上的一个点。

通过复数的运算，可以在复平面上进行向量相加、相乘等操作。

在复平面上，可以进行直线的绘制、点的位置计算、图形的变换等。

复数的几何意义在数学、物理和工程中都有广泛的应用，如电路分析、信号处理、图像处理、控制系统等领域。

总结起来，复数的几何意义是将复数视为平面上的点或向量，并通过复数的实部和虚部表示点的坐标。

复数的模表示向量的长度，幅角表示向量与正实轴之间的夹角。

复数的几何意义在几何图形的构建、运算和变换中具有重要的应用。

复数的几何意义

三、复数加减法的几何意义的运用
练习1: 练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z 练习2:复数z1,z2分别对应复 2:复数平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|= 平面内的点M |,线段线段M 的中点M | z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2 的复数为4+3i,求 4+3i,
|z－z1|+|z－z2|=2a －－ |z1－z2|<2a |z2－z1|=2a |z2－z1|>2a 椭圆线段无轨迹
y
-4-1o2 Nhomakorabeax
x=x=-1 zz复数z 当| z- z1|= | z- z2|时, 复数z对应的点的轨迹是线段Z 的中垂线. 线段Z1Z2的中垂线.
练习: 练习: P69,4,5 P70,4,5
= 2|
1.| z1.| z-
1
z2. | z- i|+ | z+ i|=4 z3. | z- 2|= | z+ 4|
y Z Z o
2
x
Z Z
z- |=r时复数z 当| z- z1|=r时, 复数z对应的点的轨迹是以对应的点为圆心,半径为r的圆. Z1对应的点为圆心,半径为r的圆.
y Z 1 o -1 Z Z x
练习: m=2－若复数z 练习:已知复数m=2－3i,若复数z |=1,则满足不等式| 满足不等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形? 的点的集合是什么图形?
以点(2, 3)为圆心为圆心, 以点(2, －3)为圆心, 1为半径的圆上

复数的几何意义用

3.3 复数的几何意义
精选课件ppt
1
实数的几何意义
想一
在几何上，我们用什么
想来表示实数?
？
实数
(数)
实数可以用数轴上的点来表示。
一一对应
数轴上的点 (形)
类比实数的表示，在几何上可以用什么来
表示复数？
精选课件ppt
2
回忆
复数的一般形
式？
…
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
(C)关于原点对称 (D)关于直线y=x对称
精选课件ppt
6
例2:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。
解：由 m m22m m2600 得m32或 mm21
m ( 3 , 2 ) (1 ,2 )
一种重要的数学思想：数形结合思想
y 5
的点在复平面上将构成怎样的
图形？
设z=x+yi(x,y∈R)
–5
精选课件ppt
一个复数由什么确
定？
3
复数的几何意义（一）
一一对应有序实数对(a,b) 一一对应
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数） z=a+bi
Z(a,b)
y
（形）
建立了平面直角
b 坐标系来表示复数的
平面 ------复数平面
a
ox
(简称复平面)
x轴------实轴
y轴------虚轴
精选课件ppt
8
复数的几何意义（二）
复数的几何形
式

复数的几何意义

课堂小结：一. 数学知识： (1)复平面 (2)复数的模
二. 数学思想： (1)转化思想 (2)数形结合思想 (3)类比思想三. 数的发展和完善过程给我们的启示：
作业：数学作业本
• 3.1.2复数的几何意义
复数z=量OZ
一一对应复平面内的点 Z(a,b)
一一对应
复习知识
• • • • • •
1
1、虚数单位 2、复数定义 3、数集之间的关系 4、复数相等 (虚数不能比大小) 思考: 5.虚数单位的周期
2 3 4 5 6
i i, i __,i __,i __,i __,i __
1.复数Z a bi的模就是向量OZ的模:
Z a bi a 2 b 2 r r 0, r R
2. 若 z a a 0, 复数z构成的点集是 r a的圆
练习:
1、用 Z 表示复数Z在复平面内对应的点到原点
的距离，已知 z 2 z 4i 求复数Z。
三.复数的绝对值(复数的模)的几何意义:
复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
z=a+bi Z (a,b)
O
y
x
| z | = |OZ|
a2 b2
例2 求下列复数的模：
(1)z1=-5i
(2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i
(4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
y
满足 |z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？ –5 设z=x+yi(x,y∈R)
z x2 y 2 5

复数几何意义及运算知识点讲解+例题讲解(含解析)

复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案－1考点一复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0，则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ，解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2，解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2，所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。