2.2 直接证明与间接证明(3课时)
直接证明和间接证明课程教案
直接证明和间接证明课程教案第一章：引言1.1 课程目标本课程旨在帮助学生理解直接证明和间接证明的基本概念，掌握它们的应用方法，并能够灵活运用这两种证明方式解决实际问题。
1.2 课程内容本章将介绍直接证明和间接证明的定义、分类和基本方法。
1.3 教学方法采用讲授、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握相关概念和方法。
第二章：直接证明2.1 定义和分类2.1.1 直接证明的定义直接证明是通过逻辑推理，直接从已知事实或前提出发，推导出要证明的结论。
2.1.2 直接证明的分类（1）直接逻辑推理：根据已知事实或前提，直接推导出结论。
（2）数学归纳法：先证明基本情况，再证明归纳步骤。
2.2 基本方法2.2.1 演绎法从一般到特殊的证明方法，即从一般原理推导出特殊情况下的结论。
2.2.2 归纳法从特殊到一般的证明方法，即先证明特殊情况，再推导出一般结论。
第三章：间接证明3.1 定义和分类3.1.1 间接证明的定义间接证明是通过证明相反命题的假性，从而证明原命题的真性。
3.1.2 间接证明的分类（1）反证法：假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。
（2）归谬法：假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。
3.2 基本方法3.2.1 反证法假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。
3.2.2 归谬法假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。
第四章：证明的辅助方法4.1 数学归纳法数学归纳法是一种包含直接证明和间接证明的方法，先证明基本情况，再证明归纳步骤。
4.2 逆否命题法将原命题的逆否命题作为证明对象，先证明逆否命题，再根据逆否命题与原命题的等价性得出原命题的证明。
第五章：练习与案例分析5.1 练习题设计一些有关直接证明和间接证明的练习题，帮助学生巩固所学内容。
5.2 案例分析分析一些实际案例，让学生运用直接证明和间接证明的方法解决问题。
第二节直接证明与间接证明
第二节直接证明与间接证明直接证明与间接证明是数学推理中常用的两种证明方法。
直接证明是通过逻辑推理直接得出结论，而间接证明是通过反证法或归谬法得出结论。
以下将详细介绍这两种证明方法，并进行比较。
直接证明是最常见的证明方法之一、它的基本思路是根据已知条件和数学定义，逐步演绎出所要证明的结论。
直接证明需要使用与所要证明的结论相关的定理、性质、定义等来推导，使之成立。
这种方法是一个逐步推进的过程，每一步都必须经过严格的逻辑推理，从已知到结论的推导链条必须清晰、合理。
直接证明通常比较直观，逻辑性较为明显，容易理解。
例如，我们可以通过直接证明来证明“两个相等的数相加，结果仍然相等”。
间接证明是与直接证明相对的一种证明方式。
它的基本思路是假设所要证明的结论不成立，通过逻辑推理得出矛盾或不合理的结论，从而排除了假设的情况，证明了原来的结论是成立的。
间接证明常常采用反证法或归谬法。
反证法是一种最常用的间接证明方法，其基本思路是通过假设结论不成立，并推导出与已知条件或定义矛盾的结论，从而得出结论的真实性。
归谬法是一种较少使用的间接证明方法，它的基本思路是假设结论成立，并推导出与已知条件或定义矛盾的结论，从而得出结论的真实性。
例如，我们可以通过反证法来证明“根号2是无理数”。
直接证明与间接证明各有其优点和适用范围。
直接证明较为直观和直接，逻辑性更明显，适用于证明一些简单且直接的结论，或是一些简单的数学性质和定理。
间接证明更具有一般性和普遍性，适用于证明复杂的结论，或是一些需要反证或归谬的情况。
通过间接证明，我们可以深入分析和推理，挖掘结论的内在逻辑关系。
间接证明常常需要对结论进行反向思考，找到对立面、矛盾面，通过推导和推理得到最终的结论。
总的来说，直接证明和间接证明是数学推理中常用的两种证明方法。
直接证明通过逻辑推理直接得出结论，适用于一些简单直接的结论。
间接证明通过反证或归谬得出结论，适用于一些复杂或需要反向思考的结论。
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答
人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。
回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。
其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。
独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。
第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。
演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。
两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。
2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。
间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。
复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。
复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。
3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。
复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。
第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。
它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。
流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。
4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。
它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。
2.2直接证明与间接证明ppt 人教课标版
直接证明与间接证明
我们知道, 合情推理所得结论的正确性 是需要证明的 , 这正是数学区别于其他 科学的显著特点.数学结论的正确性必 须通过逻 辑推理的方式加以证明.本节 我们将学习两类基本的证明方法 : 直接 证明与间接证明 .
2.2.1 综合法和分析法
综合法和分析法 ,是直接证明中最基本的 两种方 法 ,也是解决数学问题时常 用的思维方式 .
因此 a b c b c a 4 abc .
2 2 2 2
1 综合法
已知 a ,b 0 ,求证 a b
在数证明中 ,我们经常从已知条件和 某些数学定 义、公理、定理等出发 ,通过推理推导出所要的 结论 ,例如 : a 4abc . 2 2 证明 因为 b c 2 bc , a 0 ,
2 2 2 2
c bc
2 2 所以 a b c 2 abc . 22 22 又 c a 2 ac , b 0 , 所以 b c a 2 ab .
选修2-2第二章《直接证明和间接证明》
学科教师辅导讲义讲义编号学员编号： 年 级：高三 课时数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 直接证明和间接证明复习授课日期及时段教学目的1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，了解间接证明的一种基本方法：反证法；2、了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.教学内容一、课前检测1、已知0,,≠∈b a R b a 且，则在①ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； ③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是 （ ）A 1个B 2个C 3个D 4个答案：C2、已知c b a ,,均大于1，且4log log =⋅cb ca ，则下列各式中，一定正确的是 （ ）A b ac ≥B c ab ≥C a bc ≥D c ab ≤ 答案：B 。
3、设M 是),,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅∆定义且内一点，其中m 、n 、p 分别是yx y x P f MAB MCA MBC 41),,21()(,,,+=∆∆∆则若的面积的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18 答案：D 。
4、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存 储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨． 答案：205、给出下列四个命题：①若;11,0b a b a >>>则②若bb a a b a 11,0->->>则③若;22,0bab a b a b a >++>>则④ba b a b a 12,12,0,0+=+>>则且若的最小值为9.其中正确．．命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上） 答案：②④。
6、若c b a >>，*N n ∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是 。
2014年人教A版选修2-2课件 2.2 直接证明与间接证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
2.2.2 反证法
2.2.1的证明顺序是怎样的? 2. 什么是分析法? 它的证明顺序是怎样的? 3. 综合法与分析法有什么关系?
从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分 条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件 (已知、定理、定义、公理等). 这种证 明的方法叫做分析法. 用 Q 表示要证明的结论, 则可有框图表示为: QP1 P1P2 P2P3 …
明显成立的条件
例2. 求证 3 + 7 2 5 .
例3. 已知 a , b k + (k Z), 且 sinq+cosq=2sina, 2 sinq · cosq=sin2b. 求证: 1 - tan2 a = 1 - tan2 b . 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 证明: 由 sinq+cosq=2sina, sinq · cosq=sin2b 消去 q 得 4sin2a-2sin2b=1. 1 - tan2 a = 1 - tan2 b , 要证 1 + tan2 a 2(1 + tan2 b ) 2 2 sin b sin a 1- 2 1- 2 cos b cos a = , 只需证 2 2 1 + sin 2a 2(1 + sin 2 b ) cos a cos b cos2 a - sin2 a = cos2 b - sin2 b , 即证 cos2 a + sin2 a 2(cos2 b + sin2 b )
3. 已知 tana+sina=a, tana-sina=b, 求证 (a2-b2)2=16ab. 证明: 解关于 tana 和 sina 的方程组 tana + sina = a, tana - sina = b. 得 tana = a + b , sina = a - b . 2 2 又由 tana = sina 得 cosa = a - b . cosa a+b 因为 sin2a+cos2a=1, 所以得 ( a - b )2 + ( a - b )2 = 1, 2 a+b 整理得 (a2-b2)2=16ab.
2.2直接证明与间接证明PPT优秀课件
直接证明和间接证明课程教案
直接证明和间接证明课程教案一、教学目标1. 让学生理解直接证明和间接证明的概念。
2. 培养学生运用直接证明和间接证明解决问题的能力。
3. 引导学生掌握数学归纳法、反证法等间接证明方法。
二、教学内容1. 直接证明：定义、分类、方法及应用。
2. 间接证明：数学归纳法、反证法的原理与步骤。
3. 实例分析：利用直接证明和间接证明解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：直接证明和间接证明的概念、方法及应用。
2. 难点：数学归纳法、反证法的原理与步骤。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直接证明和间接证明的定义、分类、方法及应用。
2. 运用案例分析法，让学生通过实例掌握直接证明和间接证明的解题技巧。
3. 运用讨论法，引导学生探讨数学归纳法、反证法的原理与步骤。
五、教学准备1. 教案、课件、教材等相关教学资源。
2. 练习题及答案。
3. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。
六、教学过程1. 引入新课：通过讲解一个实际问题，引导学生思考如何运用直接证明和间接证明解决问题。
2. 讲解直接证明：介绍直接证明的定义、分类及方法，并通过例题展示如何运用直接证明解决问题。
3. 讲解间接证明：介绍数学归纳法和反证法的原理与步骤，并通过例题展示如何运用数学归纳法和反证法解决问题。
4. 练习与讨论：让学生分组练习，运用直接证明和间接证明解决给定的问题，并进行讨论交流。
5. 总结与拓展：总结本节课所学内容，强调直接证明和间接证明在数学论证中的重要性，并给出一些拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。
七、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固直接证明和间接证明的方法。
3. 选择一道拓展问题进行思考，下节课分享解答过程。
八、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习积极性。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评价学生的掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。
高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明222反证法课件新人教版选修12
5．用反证法证明命题“如果 a＞b，则3 a＞3 b时，
假设的内容是________．”
3
3
3
33
3
解析： a与 b的关系有三种情况： a＞ b， a＝ b，
3
3
3
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a＜ b.所以假设的内容应为 a≤ b.
3
3
答案： a≤ b
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0 无整 数根． [自主解答]假设 f(x)＝0 有整数根 n，则 an2＋bn＋c ＝0 又 f(0)，f(1)均为奇数，
解得－2＜a＜－1，则要使两方程至少有一个方程有
实数，则 a 的取值范围应为 a≤－2 或 a≥－1.
答案：A
归纳升华
1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨
论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什
么，避免出现错误．
2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结
论词”与“反设词”如下：
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
所以（1－2a）＋b≥ （1－a）b> 14＝12. 同理（1－2b）＋c>12，（1－2c）＋a>12. 三式相加得 （1－2a）＋b＋（1－2b）＋c＋（1－2c）＋a>32. 则32>32，矛盾，故假设不成立． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
八年级数学上册第2章三角形2.2命题与证明第3课时证明与反证法新版湘教版
3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E. 求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
证明： ∵ AB与CD 相交于点E ， ∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），
又∵∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180° （三角形内角和等于180°），
∴ ∠A+∠C=∠B+∠D.
课后小结
命题的证明
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的 三个外角.
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明: 如图，∵∠BAF=∠2+∠3， ∠CBD=∠1+∠3， ∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质). ∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)， ∴ ∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
∠B=∠C（已知）， ∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）. 又∵AE平分∠DAC（已知）， ∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）.
∴∠DAE=∠B（等量代换）.
∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角. 求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
2
证明与反证法
新课导入
观察、操作、实验是人们认识事物的重要 手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.
采用剪拼或度量的方法，猜测“三 角形的外角和”等于多少度.
推进新课
猜测任何三角形的三个外角之和等于360°.
需要推理加以证明
高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义(含解析)苏教版选
直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明 定义推证过程综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法已知条件⇒…⇒…⇒结论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法 结论⇐…⇐…⇐已知条件1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27]综合法的应用[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨]从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析]∵a 2＋19≥2a 3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通]综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab .又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ， 同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )， 即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ， 故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 又因为aπ，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c . ∵PO ⊥π，a π，∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ，b平面PAO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面PAO .又c平面PAO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．分析法的应用[例2] 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.[思路点拨]本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析]要证明(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b 成立，只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b 成立，即证(a －b )24a <(a －b )2<(a －b )24b 成立．只需证a －b 2a <a －b <a －b2b成立．只需证a＋b2a<1<a＋b2b成立，即证a＋b<2a且a＋b>2b，即b<a.∵a>b>0，∴b<a成立．∴(a－b)28a<a＋b2－ab<(a－b)28b成立．[一点通]在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，求证：P＜Q.证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a(a＋7)＜2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)，即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，即证0＜12.因为0＜12成立，所以P＜Q成立．4．已知a、b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥2ab.因为a，b为正实数，所以a＋b≥2ab成立，所以ab＋ba≥a＋b.综合法与分析法的综合应用[例3] 已知0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1， 求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1.[思路点拨]因为0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1，所以要证明1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1成立，可转化为证明1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc 成立．[精解详析]∵a >0，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ， 即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0. ∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )， 又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立， 即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通](1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ab ＋c ＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )(a ＋b )(b ＋c )＝1，即a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.下面证明：a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋c 2＋ab ＋bc a 2＋c 2－ac ＋ab ＋ac ＋bc＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数． 求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B.又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件．答案：充要2．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1(判断大小)．解析：要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.答案：<3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b4．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ， ∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心． 答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C 二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数， 所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ， 即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4， 从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数， 所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2， 即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)． 故f (a )＋f (c )＞2f (b )． 7．已知a >0，用分析法证明：a 2＋1a 2－2>a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(某某高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .。
第二章2.2直接证明与间接证明习题课
习题课 课时目标 1.进一步理解直接证明和间接证明的思想.2.利用两种证明方法解决简单的实际问题．1．________证明和________证明是数学证明的两类基本证明方法．________法和________法是直接证明中最基本的两种证明方法；__________是间接证明的一种基本方法．2．综合法和分析法经常结合使用；直接证明比较麻烦的结论，我们可以采用__________．一、选择题1．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A ．综合法B ．分析法C ．类比法D ．归纳法2．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A ．12B ．2abC ．a 2＋b 2D ．a3．在△ABC 中，“AB →·AC →>0”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( )A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数5．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”； ④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题6．已知sin θ＋cos θ＝15且π2≤θ≤3π4，则cos 2θ＝______. 7．在等差数列{a n }中，当a r ＝a s (r ≠s )时，{a n }必定是常数数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r 、s (r ≠s )，当a r ＝a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是____________．8．若一个圆和一个正方形的周长相等，则圆的面积比正方形的面积________(填“大”或“小”)．三、解答题9．△ABC 的三边长a 、b 、c 的倒数成等差数列．求证：B <90°.10．如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ；(2)平面BEF ⊥平面P AD .能力提升11．如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形) 12．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.1．综合法和分析法的证明思路截然相反；分析法既可作为一种证明方法，也可以用来探求解题思路方向．2．直接证明较复杂，可以考虑使用反证法．习题课答案知识梳理1．直接 间接 综合 分析 反证法2．反证法作业设计1．B [要证明3＋7<25， 只需证3＋7<5＋ 5.两边平方有10＋221<10＋10.即只要证221<10.再两边平方有84<100成立． 故3＋7<25成立．由证明过程可知分析法最合理．]2．C [∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12， 由a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12， 又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大．] 3．B [∵AB →·AC →>0，∴A 为锐角，但B 、C 不确定．]4．C5．B [①错，应为a ≤b ；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．]6．－725解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，∴1＋sin 2θ＝125， ∴sin 2θ＝－2425.∵π2≤θ≤3π4， ∴π≤2θ≤3π2.∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－725. 7．a n ＝(－1)n (答案不惟一)解析 设等比数列公比为q ，首项为a 1，由a r ＝a s ，得a 1q r －1＝a 1q s －1，即q r －s ＝1.∵r ≠s ，∴r －s ≠0.又q ≠1，∴q ＝－1，则数列{a n }可以为a n ＝(－1)n .8．大解析 设正方形和圆的周长都为a ，依题意圆的面积S 1＝π⎝⎛⎭⎫a 2π2，正方形的面积S 2＝⎝⎛⎭⎫a 42.要比较S 1与S 2的大小，只需比较1π与14的大小，因为π<4，所以圆的面积S 1比正方形的面积S 2大．9．证明 由题意知2b ＝1a ＋1c，∴b (a ＋c )＝2ac . ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＝1－b 22ac ＝1－b 2b (a ＋c )＝1－b a ＋c， 又△ABC 三边长a 、b 、c 满足a ＋c >b ，∴b a ＋c <1.∴1－b a ＋c>0.∴cos B >0，即B <90°. 10．证明 (1)在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD .(2)连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD .又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD .11．AC ⊥BD (或四边形ABCD 为菱形、正方形等)12．证明 假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.。
直接证明和间接证明教案
2．2直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比较法的基本步骤是：“作差变形断号”．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商变形判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.（5）关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明（比较法）教学目标1．掌握证明不等式的方法——比较法；2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．教学重点: 比较法的意义和基本步骤.教学难点: 常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：（－）导入新课教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小找学生回答问题．（学生回答：，，，）［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比较法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2. 已知都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>Q 2()0a b a b ≠∴->Q 又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比较法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立 小结：作商比较法的基本步骤是：“作商变形判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式． （最后是与1比较）(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题．练习：1．求证2．已知 ， ， ，d 都是正数，且，求证 目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．（四）布置作业2、已知：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 32211x x ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证： 2,()a ba b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时 综合法●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A (已知)⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a 2≥0或(a ±b )2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |. (3)ab b a ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有ab b a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号. (5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. (6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号.●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.●教学过程1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§ A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§ A)我们要掌握下面重要的不等关系:(1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab b a ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号； （6）33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号；（7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。
2014年人教A版选修1-2课件 2.2 直接证明与间接证明
因为两平面相交, 有且只有一条公共直线. 所以 P, Q, R 共线于平面 a 与平面 ABC 的交线.
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 分析: 所证三角形面积的式子 b 中是用向量的模以及向量的数量积 表示的, 于是我们考虑用三角形面 积公式 SABC = 1 AC BC sin C . 2 sinC 再通过向量的数量积转换.
综合法是由因导果的顺序.
习题 2.2 A组 第 1、2 题. B组 第 1、2 题.
习题 2.2 A组 1. 已知 A, B 都是锐角, 且 A+B≠ , 2 (1+tanA)(1+tanB)=2, 求证A+B= . 4 证明: 由 (1+tanA)(1+tanB)=2 得 1+tanA+tanB+tanAtanB=2, 整理得 tanA+tanB=1tanAtanB, ① tan A + tan B 又因为 tan( A + B) = , ② 1 tan Atan B 将①代入②得 1 tan A tan B =1, tan( A + B) = 1 tan Atan B 因为 A, B 都是锐角,
B
a C
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 证明: 如图, b SABC = 1 BC AC sin C , a C 2 B 又因为 CB = a, CA = b, ab , cos C = 则 | a | | b | 于是得 sin C = 1 cos2 C = 1 ( a b )2 , | a | | b | (a b)2 1 1 SABC = | a | | b | 1 2 2 = | a |2| b |2 (a b)2 . 2 | a | | b | 2
222直接证明与间接证明讲解
例4 已知a≠0， 证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴ a（x1 - x2）= 0 x1 x2 x1 x2 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
否定词 原词语
不等于 任意的
不是 至少有一个
不都是 至多有一个
不大于 至少有n个
不小于 至多有n个
存在某个x，对任何x，
不成立
不成立
否定词
某个
一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个 存在某个x, 成立
二、典例剖析---类型二：
例3.证明： 2, 3, 5 不可能成等差数列
证明: 假设 2, 3, 5 能成等差数列，则
2 3 2 5
两边平方得: (2 3)2 ( 2 5)2 化简得: 5 2 10
两边平方得: 25 40
此式显然不成立，所以假设错误
注：否定所型以 命题2(,命题3,的5结不论可是能“成不等可差数能列……”，
所以∠ A < 60°，∠B < 60°， ∠C < 60° ∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.
∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立.
先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理， 推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确。
反证法的思维方法：正难则反
三、典例剖析---类型一： 例1. 证明：如果a b 0,则 a b
证明方法(共5篇)
证明方法（共5篇）第1篇：证明方法2.2直接证明与间接证明BCA案主备人：史玉亮审核人:吴秉政使用时间：2012年2-1 1学习目标：1.了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法。
了解间接证明的一种基本方法——反证法。
2.了解综合法和分析法的思考过程与特点，并会用两种方法证明。
了解反证法的解题步骤，思维过程及特点。
重点：1.对综合法和分析法的考查是本课的重点。
应用反证法解决问题是本课考查的热点。
2.命题时多以考查综合法为主，选择题、填空题、解答题均有可能出现。
反证法仅作为客观题的判断方法不会单独命题。
B案一、直接证明1.定义：直接证明是从___________或___________出发的，根据已知的_________、________________，直接推证结论的真实性。
2.直接证明的方法：______________与________________。
二、综合法1.定义：综合法是从___________推导到______________的思维方法。
具体地说，综合法从__________除法，经过逐步的___________，最后达到_______________。
…三、分析法1.定义：分析法是从__________追溯到__________的思维方法，具体地说，分析法是从________出发，一步一步寻求结论成立的____________，最后达到_________或__________。
…四、反证法的定义由证明p q 转向证明p r t,t与_________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定_________，推出___________的方法，叫做反证法。
预习检测：1.已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是（）A.|x y||x y|≥2B.x yC.xy 1x yD.|x||y| ln2ln3ln5,b ,c，则（）235A.a b cB.c b aC.c a bD.b a c2.若a3.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角4.a b c d的必要不充分条件是（）A.a cB.b dC.a c且b dD.a c或b d5.“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的反证法设为（）A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个是偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数6.已知a是整数，a2为偶数，求证：a也是偶数。
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教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12
114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则
12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c
++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c
+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2. 练习：
① ,A B 为锐角，
且tan tan tan A B A B +=求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +）
② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c
+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：
113a b b c a b c
+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2
a b a b +>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1.
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？
→ 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示：
要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ
，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4
l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）
三、巩固练习：
1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.
略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，
即证：2cos C C -≥cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+
≤（成立）.
2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.
第三课时 2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，
则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，
即O 是l 与m 的交点。
但 ∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
① 练习：仿照以上方法，证明：如果a >b >0，那么b a >
② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分，∵P 不是圆心，连结O P ，
则由垂径定理：O P ⊥AB ，O P ⊥CD ，则过P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分. ② 出示例2
. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ）
/m n =（m ,n 为互质正整数），
从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数.
设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数.
这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）.
/m n =
.
③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数.
提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =.
由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
三、巩固练习： 1. 练习：教材P 54 1、2题 2. 作业：教材P 54 A 组3题.
A。