二维不可压缩Navier-Stokes方程的七模类Lorenz方程组的动力学行为及其数值模拟

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纳维-斯托克斯方程

纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。

这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。

这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。

这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。

他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。

它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。

它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。

纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。

这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。

用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。

这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。

这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。

实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。

这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。

对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。

这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。

虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。

一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。

Navier-Stokes方程自由面数值模拟

Navier-Stokes方程自由面数值模拟
黄玉萍;罗志强
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2016(033)003
【总页数】12页(P319-330)
【作者】黄玉萍;罗志强
【作者单位】昆明理工大学理学院，昆明 650500;昆明理工大学理学院，昆明650500
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.基于Navier-Stokes方程珊瑚岛礁附近孤立波传播变形数值模拟 [J], 姚宇;何文润;李宇;刘晓建;唐政江
2.二维不可压缩Navier-Stokes方程的七模类Lorenz方程组的动力学行为及其数值模拟 [J], 高焱;王贺元
3.二维不可压缩Navier-Stokes 方程的七模类Lorenz 方程组的动力学行为及其数值模拟 [J], 王贺元
4.隐式完全非静压模型求解三维自由面的Navier-Stokes方程 [J], 王昆;金生;刘刚
5.基于线性化Navier-Stokes方程二维水槽内单涡到双涡的数值模拟 [J], 韩红阳;罗志强
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navier stokes 方程

navier stokes 方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它在物理学和工程学领域都有广泛的应用。

它最初是由法国科学家Clairaut和d'Alembert所提出，后由Navier和Stokes完善而得名。

这个方程体现了动量守恒的基本原理，可以用来描述流体的流动规律。

Navier-Stokes方程由两个部分组成：连续性方程和动量守恒方程。

其中连续性方程描述了流体的质量守恒，即任何时刻，流入单位体积的质量等于流出单位体积的质量。

动量守恒方程描述了流体中的粘性效应和惯性效应，它是Navier-Stokes方程的重要组成部分。

连续性方程表述了质量守恒原理，它的一般形式为：∂ρ/∂t + div(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，t是时间，div符号代表散度运算。

动量守恒方程表述了Newton第二定律，描述了流体中的惯性和粘性效应，它的一般形式为：ρ(∂v/∂t + v·grad(v)) = -grad(p) + div(τ) + f其中，p是压力，τ是与表面接触的剪应力张量，f是外力源。

方程左边代表质量流动对时间的变化率，右边代表各种力的和，其中包括压力梯度力、粘性力和外力。

Navier-Stokes方程的求解非常困难，主要原因是由于它的非线性和相互耦合性。

在数值模拟中，通常采用有限元、有限差分等方法，通过离散化求解这个方程。

这些方法具有较高的计算效率和计算精度。

Navier-Stokes方程在水力学、气动学、天气预报、燃烧等领域都具有重要的应用。

在水动力学领域中，它可以用来模拟河流、湖泊、海洋等水体的流动规律；在气体动力学领域中，它可以用于研究风道系统、喷气发动机等问题；在燃烧领域中，它可以用于预测火焰、气流和热辐射等相关参数。

总之，Navier-Stokes方程是理解流体行为的重要工具，它在物理学、工程学等领域都具有广泛的应用。

二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解

胡园园，谢江 ‘ ，张武
（１．上海大学计算机工程与科学学院，上海２００４４４；２．上海大学高性能计算中心，上海２００４４４）
（十通信作者电子邮箱ｊｉａｎｇｘ＠ｓｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｕｅｔｏａｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｏｆｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｇｉｒｄｓａｎｄｓｌｏｗｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅｅｘｉｓｔｅｄｉｎｔｈｅｎｕｍｅｉｒｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆ
摘
要：针对不可压缩Ｎａｖｉｅｒ — Ｓｔｏｋｅｓ（Ｎ — ｓ）方程求解过程中的有限元法存在计算网格量大、收敛速度慢的缺点，
提出了基于面积坐标的三角网格剖分谱有限元法（ＴＳＦＥＭ）并进一步给出了利用ＯｐｅｎＭＰ对其并行化的方法。该算法结合谱方法和有限元法思想，选取具有无限光滑特性的指数函数取代传统有限元法中的多项式函数作为基函数，能够有效减少计算网格数量，提高算法的精度和收敛速度；利用面积坐标便于三角形单元计算的特点，选取三角单元作
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
ＩＳＳＮ１００１．９０８１
２０１７ — ０１ — １Ｏ
计算机应用，２０１７，３７（１）：４２— ４７文章编号：１００１ — ９０８１（２０１７）０１．００４２。０６

第十讲不可压缩Navier-Stokes方程的求解

p 22 p 22
Pij p ij 2ij
连续介质微元体的受力平衡：应力的概念
热力学压力—— 由分子动力学性质决定 —— 状态方程完全气体：
p RT
热力学压力
p
p n pn
p
可压缩N-S方程：动力学与热力学耦合；动力学压力= 热力学压力不可压缩N-S方程：动力学与热力学解耦由不可压缩条件确定压力（纯动力学概念）
1
p V 0 t V 1 2 V V p V t Re

p n 1 p n )
对于非定常问题，需要内迭代（效率较低）
V 0 V 1 2 V V p V t Re
p V 0 t V 1 2 V V p V t Re
u13 u 23 u 33
u1n u2n u3 n u nn
a j x j 1 b j x j c j x j 1 d j
x j Aj x j 1 B j
2
Copyright by Li Xinliang
知识回顾
迭代法
2u 2u f ( x, y ) x 2 y 2 u g ( x, y )
a11 a12 0 a 22 A 0 0 0 0
a13 a23 a 33 0
0
a1n a2 n a 3n ann
a11 LU分 a21 解法 a 31 an1
追赶法：
a12 a22 a32 an 2
ui 1, j ui 1, j ui, j 1 ui, j 1 4ui , j f i , j 2

二维不可压缩navier-stokes-landau-lifshitz方程组的整体强解

二维不可压缩navier-stokes-landau-lifshitz方程组的整体强解Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组是用来描述二维不可压缩流体运动的普遍方程。

它是对流体在动力、热力、物质等多种物理效应作用下进行多尺度模拟的有效工具，是研究复杂流体问题的关键。

1.Naviar-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的基本形式Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的基本形式包含了方程的结构定义、空间变量、时间变量和输入变量，组成如下：（1）流场方程：对密度，速度和压力的描述；（2）能量方程：描述传热过程；（3）物质守恒方程：将粒子的变量连同流量和能量一起涵盖；（4）边界条件：将流体运动于受定义空间或介质内，并约束方程组的解。

2. Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的解Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的整体强解是对流体运动过程的完整描述，它包括流体的结构、动力学、热力学等理论模型。

该方程组可以使用多种空间和时间分解技术解决，比如：（1）特征定积分分解技术：特征定积分计算方法，通过积分可以得到流体的历史数据，从而求出解；（2）Galerkin有限元分解技术：通过Galerkin有限元分解方法可以得到很小的解，这也是一种将初值和边界条件一起求解的方法；（3）局部分解技术：通过局部分解计算方法可以得到相对准确的解，这是计算复杂性处理较低的一种解法；（4）关联循环求解器：通过关联循环求解器就可以得到Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的解，同时也可以求解空间多尺度的复杂流体问题。

3. Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的应用Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的本质就是对二维不可压缩流体运动过程作出数学描述，应用适用于众多流体科学领域，主要包括：（1）宇宙飞行器：在设计宇宙飞行器时，舱壁的低速、高压、非定常流体流动一直是设计中重要的一环；（2）津浦发电厂：津浦发电厂是典型的斜坡发电厂，通过模拟流体在津浦斜坡水轮发电机间的流动，可以有效提升发电效率；（3）空心叶轮压气机：空心叶轮压气机的设计要求考虑到流体的动力学特性，流场方程则可以作为压气机设计的主要辅助工具；（4）船舶航行模拟：船舶在水域的航行特别是汽轮船的航行模拟，都可以使用Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组进行研究。

不可压缩Navier-Stokes方程及其耦合问题的空间迭代方法研究

不可压缩Navier-Stokes方程及其耦合问题的空间迭代方法研究不可压缩Navier-Stokes方程及其耦合问题的空间迭代方法研究引言：不可压缩Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，对于许多工程和科学领域具有重要意义。

而这些方程在数值模拟中的求解一直是研究的热点和难点之一。

本文将重点讨论不可压缩Navier-Stokes方程及其在耦合问题中的数值求解方法，以期为相关领域的研究提供一定的参考。

1. 不可压缩Navier-Stokes方程简介不可压缩Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其主要用来描述流体的质量守恒和动量守恒。

对于不可压缩流体而言，物质密度不随时间和空间的变化而变化，由此导出了方程的不可压缩性。

在三维情况下，不可压缩Navier-Stokes方程可以表示为：∂u/∂t + u·∇u = -1/ρ ∇p + ν∇^2u∇·u = 0其中，u表示流体的速度场，p表示压强，ρ表示流体密度，ν表示运动粘度，∇表示偏微分算子。

2. 不可压缩Navier-Stokes方程的数值求解方法不可压缩Navier-Stokes方程的数值求解主要采用有限差分方法、有限元方法和谱方法等。

在本文中，将重点讨论有限差分方法。

2.1 有限差分方法有限差分方法是一种将偏微分方程转化为代数方程的方法。

在使用有限差分方法求解不可压缩Navier-Stokes方程时，通常先将连续的方程离散化为差分近似方程，然后通过迭代的方法求解离散化方程。

2.2 离散化方案为了将方程离散化，首先需要将空间进行网格划分，然后使用差分格式对方程进行近似。

在离散化的过程中，常用的差分格式有中心差分格式、向前差分格式和向后差分格式等。

2.3 空间迭代方法使用有限差分方法求解不可压缩Navier-Stokes方程时，空间迭代方法是解方程的关键步骤。

常见的空间迭代方法有雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和共轭梯度法等。

navier stokes方程的介绍

navier stokes方程的介绍Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一。

它由法国数学家Claude-Louis Navier和法国物理学家George Gabriel Stokes在19世纪中叶独立提出。

Navier-Stokes方程集合了质量守恒、动量守恒和能量守恒的原理，可以用来描述流体在空间中的运动和相互作用。

Navier-Stokes方程的基本形式是一个偏微分方程组，其中包含了速度场和压力场这两个主要变量。

这个方程组可以分为两个方程：质量守恒方程（连续方程）和动量守恒方程。

质量守恒方程描述了流体的密度变化率与速度散度的关系，而动量守恒方程则描述了流体的加速度与压力梯度、摩擦力和体积力之间的关系。

Navier-Stokes方程的解析解目前只有在一些特殊情况下才能求得，如简单的几何形状和边界条件。

对于一般情况下的复杂流体运动问题，通常需要借助数值计算方法来求解。

这是由于Navier-Stokes 方程的非线性和复杂性导致的。

尽管Navier-Stokes方程在数学和物理学领域中有着重要的理论和实际应用价值，但它仍然存在一些未解决的问题。

其中最著名的是所谓的Navier-Stokes方程解的存在性和光滑性问题。

目前尚未找到一般情况下Navier-Stokes方程解的存在性和光滑性的证明，这也是数学领域的一个重要研究方向。

除了在数学和物理学领域中的应用，Navier-Stokes方程在工程领域也有着广泛的应用。

例如，在航空航天工程中，Navier-Stokes 方程可以用来模拟飞机的气动性能，预测气流的分布和阻力的大小；在汽车工程中，Navier-Stokes方程可以用来模拟车辆在行驶过程中的空气动力学特性，优化车辆的外形和空气动力学性能。

Navier-Stokes方程作为描述流体运动的基本方程之一，具有重要的理论和实际应用价值。

尽管它仍然存在一些未解决的问题，但随着数值计算和计算机技术的不断发展，相信将来会有更多的研究成果和应用突破出现。

粘性依赖于密度情形下的Navier-Stokes方程组的不可压缩极限

粘性依赖于密度情形下的Navier-Stokes方程组的不可压缩极限摘要：本文研究了一种特殊情况下的Navier-Stokes方程组的不可压缩极限。

假设给定的流体密度在流体中是不均匀的，即密度依赖于空间位置，同时流体的黏性被保持不变。

我们考虑当黏性无限增大时方程组的极限解，也就是Stokes方程的解。

我们证明了这种情况下的方程组解满足Stokes方程组，并且流体的速度和压力满足一定的边界条件。

此外，我们还通过数值实验验证了这个结论。

这个结果可以帮助我们更好的理解流体中的运动和密度对于黏性的影响。

关键词：Navier-Stokes方程组、不可压缩极限、密度依赖、黏性、Stokes方程、边界条件导言：流体力学中的Navier-Stokes方程组可以描述流体的运动和变形，其广泛应用于空气动力学、海洋和大气科学、生物医学和化学工程等领域。

虽然这个方程组在理论和实践中都得到了广泛的研究和应用，但是由于其复杂性，尤其是在非线性情况下，该方程组的解析解通常是难以获得的。

因此，为了更好地理解流体运动的基本特征和行为，研究方程组的各种极限情况至关重要。

在本文中，我们将研究一种特殊情况下Navier-Stokes方程组的不可压缩极限。

具体来说，我们假设流体的密度在空间中是不均匀的，即密度依赖于空间位置，但是流体的黏性被保持不变。

这种情况下的问题是，在密度随着空间位置的变化而发生变化的同时，黏性是否对运动的影响还是不变的。

我们将研究当黏性趋于无穷大时方程组的解，也就是极限解，即Stokes 方程组的解。

该方程组描述了新的流体运动，即粘性极弱的情况。

此外，我们还将通过数值模拟来验证我们的结论。

正文：一、Navier-Stokes方程组的不可压缩极限我们考虑下面的Navier-Stokes方程组：\begin{aligned}\frac{\partial\boldsymbol{u}}{\partial t} +(\boldsymbol{u} \cdot \nabla) \boldsymbol{u} &= -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2\boldsymbol{u},\\\nabla \cdot \boldsymbol{u} &= 0.\end{aligned}其中，$\boldsymbol{u}$是速度场，$p$是压力场，$\rho$是密度，$\nu$是黏性系数。

不可压缩Navier-Stokes方程的几类整体大解

不可压缩Navier-Stokes方程的几类整体大解此博士论文研究的是三维不可压缩Navier-Stokes方程的整体适定性.我们给出了在某些大初始值的条件下,Navier-Stokes方程的整体经典解是存在的.第一章介绍Navier-Stokes方程的背景知识,研究历史和本文的主要结果.在第二章中,我们讨论了带有重力项的Navier-Stokes方程整体经典解的存在性.在某一类大初始值中,带有重力项的Navier-Stokes方程经典解是整体存在的,这类大初始值的主要特点是速度场减去重力项几乎平行于涡度场.在第三章中,我们讨论了带有一个慢变量的轴对称的Navier-Stokes方程经典解的整体存在性,在加权的能量空间中给出某类整体大解的存在性.在第四章中,我们讨论了两个慢变量的带damping的Navier-Stokes方程经典解的整体存在性,主要特点是：在慢变量方向加了解析的条件来补偿导数损失.我们给出了一个非常简单的证明.。

二维不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的整体强解

二维不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的整体强解黄丙远;黄金锐;奚悦【期刊名称】《华南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(049)006【摘要】考虑了不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz耦合模型在二维空间中的Cauchy问题,假设在初值密度满足ρ0>0及初值能量具备‖ρ1/20u0‖2L2+‖?d0‖2L2足够小的条件下,利用能量方法证明了整体强解的存在唯一性.%The Cauchy problem for incompressible Navier-Stokes-Landau-Lifshitz equations in two-dimensional space is solved by the following assumptions: the initial density satisfies ρ0>0, the initial energy ‖ρ20u0‖2L2+‖?d0‖2L2 is suitably small, and the global existence and uniqueness of the strong solutions are proved by energy method.【总页数】6页(P113-118)【作者】黄丙远;黄金锐;奚悦【作者单位】韩山师范学院数学与统计学院,潮州521041;五邑大学数学与计算科学学院,江门529020;五邑大学数学与计算科学学院,江门529020【正文语种】中文【中图分类】O175.4【相关文献】1.二维Zakharov方程组的整体强解 [J], 江成顺;白凤图2.二维SBq与Zakharov方程组的整体强解 [J], 宋长明;邢这省3.二维Schrodinger—BBM方程组的整体强解 [J], 宋长明;邢家省4.三维带有衰减项的不可压缩磁流体力学方程组弱解与强解的研究 [J], 李凯;杨晗;王凡5.三维带有衰减项的不可压缩Navier-Stokes方程组强解整体存在性和唯一性的研究 [J], 李凯因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

二维Navier-Stokes方程新的精确解

二维Navier-Stokes方程新的精确解
费琪;周音
【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》
【年(卷),期】2011(024)003
【摘要】研究二维Navier-Stokes方程的显示精确解.应用泛函分离变量法给出拟解将原方程约化为常微分方程组获得了一组新的精确解,同时应用对称法给出了另外一组新的精确解.这两组解的获得推广了前人的研究成果.
【总页数】3页(P400-402)
【作者】费琪;周音
【作者单位】西北大学数学系,陕西西安710127;西北大学非线性研究中心,陕西西安710069
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.二维不可压缩Navier-Stokes方程的新七模类Lorenz方程组的混沌行为 [J], 王海燕;王贺元
2.三维时间分数阶Navier-Stokes方程的一个精确解 [J], 苏文火;刘云川
3.三维时间分数阶Navier-Stokes方程的一个精确解 [J], 苏文火;刘云川;
4.Navier-Stokes方程的精确解:球面问题 [J], 沈惠川;汪秉宏;钱耀紘
5.二维RLW方程和二维SRLW方程的显式精确解 [J], 尚亚东;钮鹏程
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二维不可压缩Navier-Stokes方程的新七模类Lorenz方程组的混沌行为

维普资讯
第２９卷第３期２００８年６月
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ＪＯＵＲＮＯＦＤＩＪＡＯＮＧＵＮＶＥＩＡＬＡＬＡＮＩＯＴＩＲＳＴＹ
Ｊｎ２０ｕ．０８
文章编号：６３９９（０８０．０１０１７－５０２０）３００－５
二维不可压缩Ｎａｉ．ｔｋｓ程的新七模类ｖｅＳｏｅ方ｒＬｒｎｏｅｚ方程组的混沌行为
王海燕王贺元，
（．１大连交通大学理学院，辽宁大连１６２；．１０８２辽宁工业大学数理系，辽宁锦州１１０）２０１摘要：讨论了二维不可压缩ＮｖｒＳｏｅａｉ．ｔｋｓ方程的新七模类Ｌｒｎ方程组的动力学行为，明了该方程ｅｏｅｚ证
ｅｕｔｎｓｄｓｃｓｄＴｅｃａｓｂｈｖｏｉｌｔｄｎｍｅｉａｌｃｏｄｎｙｏｄｕｑａｉｓｉｉｓｕｅ．ｈｈｏｅａｉｒｉｓｍｕａｅｕｒｌａｃｒｉｇｔＲｅｎｌｓＢｍ— ｏｓｃｙｏ
关键的问题．作为流动现象应普遍遵循的Ｎｖｒｔｅ方程是一种典型的非线性偏微分方程，ａｉ — ｏｓｅＳｋ刻划着流体的运动规律，如大气运动、海洋流动、承润滑、轴透平机械内部流动等，究它对人们认识和控制湍流研
至关重要．由于人们对非线性现象的本质认识有限，因而数值模拟就成为一种十分有效的重要手段．１６９３年美国气象学家Ｅ１ｒｎ在研究大气对流时，次给出了著名的ｌｒｎ方程 … 所采用的方法是．ｅｚｏ首ｏｅｚ对ＮｖｒＳｏｅ方程和热传导方程进行傅立叶级数展开，ａｉ — ｔｓｅｋ截取级数的前三项，到三模的ｌｒｎ系统．得ｏｅｚ２０世纪后期ＶｈｒＦａｃｓｈｎ又在此方向上进一步扩展，次和其他学者合作，二维正方形区ａｅｒｎｅｃｉｉ多将域Ｔ＝［２ｒ０，７］×［，仃］上不可压缩的ＮｖｒＳｏｅ方程０２ａｉ．ｔｓｅｋ

不可缩球绕流的navier—stokes方程的解

不可缩球绕流的navier—stokes方程的解不可缩球绕流是指流体中存在着不可忽略的旋转流动，这种流动的动力学规律可以用 Navier-Stokes 方程来描述。

Navier-Stokes方程是流体动力学的基本方程之一，是由法国数学家 Claude-Louis Navier 和英国数学家 George Gabriel Stokes 于 19世纪末提出的。

Navier-Stokes方程描述了流体的运动规律，包括流体的压强、密度和流速的变化，以及流体内部的热传递和外部的力学作用。

Navier-Stokes 方程的一般形式为：∂u/∂t + (u ∙ ∇)u = -∇P + ν∆u + f其中，u 是流体的速度场，t 是时间，P 是流体的压强，ν是流体的粘性系数，f 是流体内部和外部施加的力的密度。

解决 Navier-Stokes方程的方法有很多，常见的有数值求解方法和解析解方法。

数值求解方法是指使用数值计算的方法来求解 Navier-Stokes方程，常见的有有限差分法和有限元法。

解析解方法是指对 Navier-Stokes 方程进行数学分析，求得其解析解的方法。

不过，要解决 Navier-Stokes方程并不是一件容易的事情，由于方程的复杂性和非线性性，很多情况很多情况下无法得到 Navier-Stokes方程的解析解。

例如，目前为止还没有人能够证明 Navier-Stokes方程在一般情况下都有唯一的解析解，也就是说，在某些情况下可能存在多组解析解，或者根本无解析解。

因此，解决 Navier-Stokes方程的常见方法是使用数值求解方法。

有限差分法是一种常用的数值求解方法，它通过在网格上求解微分方程来近似解决 Navier-Stokes 方程。

有限元法是另一种常用的数值求解方法，它通过对流体的运动范围进行划分，在每个区域内求解方程来近似解决 Navier-Stokes方程。

数值求解方法能够在一定程度上解决 Navier-Stokes方程的解，但是由于求解的近似性，精度不如解析解方法。

不可压 navier-stokes方程的投影方法

不可压 navier-stokes方程的投影方法不可压Navier-Stokes方程是描述流体流动的方程之一，它基于质量守恒方程和动量守恒方程。

这些方程可以用来解决流体在空间中的速度、压力和密度的变化情况。

然而，不可压Navier-Stokes方程的数值解法十分困难，因为在计算过程中会出现速度-压力耦合项的问题。

为了解决这个问题，人们提出了投影方法，其中包括领域分解方法和投影方法。

投影方法是一种流体数值计算的方法，它通过将速度和压力分离来解决不可压Navier-Stokes方程的数值求解问题。

这种方法通过将方程两边分别与一个无散矢量函数投影，从而消除速度-压力耦合项，将方程分解为一个速度更新子问题和一个压力修正子问题。

通过迭代求解这两个子问题，可以得到方程的数值解。

在投影方法中，首先要求速度和压力满足无压条件，即速度场的散度为零。

然后，引入一个帮助函数，称为散度清除函数，它的散度为给定的速度散度。

该函数与方程的速度散度项进行组合，并对结果进行投影，以消除速度-压力耦合项。

这样，最终得到的方程就是不可压Navier-Stokes方程的投影形式。

为了求解投影方程，可以采用多种数值方法。

其中一种常见的方法是有限元方法，利用给定的网格将方程离散化为代数方程组。

在此基础上，可以使用一些求解线性代数方程组的方法，如共轭梯度法或GMRES算法，迭代求解速度更新子问题和压力修正子问题。

通过多次迭代，可以逐步接近方程的解。

投影方法在不可压Navier-Stokes方程的求解中具有良好的数值稳定性和收敛性。

它可以处理不规则几何形状和复杂边界条件，适用于工程学和科学计算中的各种应用。

然而，投影方法也有一些局限性，例如对计算网格的要求较高，对流体流动的各向异性效应的处理较差等。

因此，人们还在不断研究和改进投影方法，以提高其精度和效率。

总而言之，投影方法是一种应用广泛的不可压Navier-Stokes方程数值求解方法。

通过将速度和压力分离，该方法解决了速度-压力耦合项的问题，并通过迭代求解速度更新子问题和压力修正子问题，获得方程的数值解。

不可压缩navier-stokes方程

以下是不可压缩navier-stokes方程的具体描述和数学表达方式：
不可压缩Navier-Stokes方程是描述不可压缩流体运动的方程。

它是由法国数学家Navier和Stokes在19世纪初期研究流体运动时提出的。

不可压缩Navier-Stokes方程包含了流体运动的连续性方程和动量方程。

连续性方程描述了流体的质量守恒，即流体在任意时刻体积不变。

动量方程则描述了流体的动量守恒，即流体的加速度与施加于它的力成正比。

不可压缩Navier-Stokes方程的数学表达式如下：
连续性方程：
$$\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0$$
动量方程：
$$\rho \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \rho (\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \boldsymbol{f}$$
其中，$\boldsymbol{v}$是流体速度矢量，$\rho$是流体密度，$p$是压力，$\mu$是粘度系数，$\boldsymbol{f}$是外力源矢量。

不可压缩Navier-Stokes方程的求解非常困难，因为它包含了非线性项和高阶微分方程。

目前，只有一些特殊情况下的解析解可用，而大多数情况下需要使用数值方法进行求解。

第八讲不可压缩的NavierStokes方程的解法

不可压缩Navier-Stokes方程的数值方法不可压缩Navier-Stokes方程的特点人工压缩性方法（求解定常方程）投影法涡量-流函数方法（二维问题）SIMPLE方法的连续性方程，得到2uu u ±=±迎风差分，建议采用高阶的)''(,,1j i j i p p −+α带入离散的连续性方程：/)(/)(12/1,12/1,1,2/11,2/1=Δ−+Δ−+−+++−++y v v x u u n j i n j i n j i n j i )''(,,1*,2/11,2/1j i j i j i n j i p p u u −+=++++α)''(,1,*2/1,12/1,j i j i j i n j i p p v v −+=−+++β得到离散的压力Poisson 方程：)5(ˆ'''''1,41,3,12,11,cp c p c p c p c p j i j i j i j i j i ++++=−+−+求解后，得到压力修正值：ji p ,'（4）带入（4）时得到n+1时刻的速度具体步骤：1）已知n 时刻的速度、压力2）预估压力（可取为n 时刻的压力）3）带入（1）（2）式，解出（隐格式，需迭代求解）4）求解压力的修正方程（5）得到修正压力5）带入（4）式，得到n+1时刻的速度及压力6）推进求解直到给定时刻（或收敛）*p **,v u 如该步改用显格式，则为（离散型）投影法'*1p p p n +=+楼群的三维视图来流的速度分布假定速度在10m 高处的大小为,其余高度的分布则采用风廓线分布：其中Z 是距离地面的高度，是地面粗糙系数，我们在模拟的过程中取它为0.28.10U 10(/10)U U Z α=α算例1. 北风s mU/310=5m高的速度分布15m高的速度分布35m高的速度分布70m高的速度分布80m高的速度分布5m高的流线示意图南北向截面流线示意图近壁面压力分布汽车的表面三角网格模拟来流：正前方u=20m/s（72km/h）汽车基本参数：总宽：900mm总长：2600mm总高：600mm车轮半径：180mm车轮厚度：120mm顶层长度, 宽度：800mm, 620mm流速分布图：低于21m/s的截面图流速分布图：y=0m二维流线：y=0m三维速度面，u=14m/s压力分布图。

不可压和可压缩navier-stokes方程组

不可压和可压缩navier-stokes方程组
Navier-Stokes方程组是一组复杂的常微分方程，用来表达流体力学中的游离边界问题。

其主要用于描述牛顿流体的行为，如水，气体和液体。

它可以分为不可压和可压缩的Navier-Stokes方程组。

1. 质量守恒方程：这个方程式表明，在不考虑任何质量流入和流出的情况下，某一区域内流体的密度保持不变。

2. 动量守恒方程：这个方程式表明，某一闭合区域内动量不变，【只考虑非弹性流体的情况，排除外力的影响】。

3. 能量守恒方程：某封闭区域内物料能量的保持不变，【只考虑特定条件下，物质的性质不变】。

1. 动量守恒方程：这个方程用来定义特定流体行为的描述，包括给定流体元素的当前状态、介质中的温度及相应流量等。

2. 能量守恒方程：这个方程式允许我们记录介质中各变量的变化，包括温度、压强、内部能量等。

3. 热运动方程：这个方程定义了流体系统中的热运动，包括对凝固、液态和气态物质的指定作用。

4. 气体状态方程：这个方程用来描述介质中的气体分子状态，如压力、温度、质量和容量等。

总之，Navier-Stokes方程组是保存和描述流体动力学行为的基本方程，其分为不可压Navier-Stokes方程组和可压Navier-Stokes方程组，它们分别用于描述不可压和可压流体动力学中系统变量、热运动、质量守恒和能量守恒等过程。

不可压Navier-Stokes方程组和MHD方程组解的正则性研究

不可压Navier-Stokes方程组和MHD方程组解的正则性研究流体动力学方程组模型作为一种描述物质运动的宏观模型,是我们认识与理解自然现象的一类非常重要的非线性偏微分方程组,它一直占据着数学物理学界的核心研究领域.其中,Navier-Stokes方程组是以Claude-Lions-Navier和George-Gabriel-Stokes命名的,是描述粘性流体的基本方程.另外,磁流体力学方程组（简称MHD方程组）描述了导电流体在电磁场中的运动状态,在天体物理、地球物理、空气动力学或者宇宙等离子物理学领域中具有重要的物理应用背景.本文利用古典能量方法、压缩映射不动点定理、Plancherel定理、Fourier变换、Littlewood-Paley仿积分解技巧和Sobolev嵌入定理以及一些重要的不等式,例如算术几何平均值不等式、Cauchy-Schwarz不等式、H¨older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、Sobolev内插不等式,Gronwall不等式等分别研究了不可压Navier-Stokes方程组的整体正则性和理想不可压MHD方程组的局部C1,α解的存在唯一性.论文分为六个部分,具体内容如下:第一章是绪论部分,介绍了Navier-Stokes方程组和MHD方程组的研究背景,研究进展.同时,给出了本文的研究模型、预备知识、研究内容和主要研究结果.第二章主要研究一个三维不可压Navier-Stokes方程组模型在大初值情况下的整体适定性.我们把原始Navier-Stokes方程中的对流项u·?u调整为(D-12 u)·?u,得到了一个新的Navier-Stokes方程模型.其中D=|?|是一个傅立叶乘子,其特征是m（ξ）=|ξ|.首先,回顾了相关的研究成果,给出了证明当中要用到的定义、性质和重要引理.其次,证明了模型的局部适定性结果.最后,借助能量估计方法和Sobolev空间的相关理论,证明了当任意初值u0属于Sobolev空间L2（R3）时,新建立的Navier-Stokes方程组模型是整体适定的.第三章主要研究带有对数次耗散的三维不可压Navier-Stokes方程组模型的整体正则性.这个系统模型为?tu+(D-1/2u)·?u+?p=-A2u,其中D和A 是两个傅立叶乘子,分别定义为D=|?|和A=|?|ln-1/4（e+λln（e+|?|））,λ≥0.D和A的特征分别为m（ξ）=|ξ|和h（ξ）=|ξ|/g（ξ）,这里g（ξ）=ln1/4（e+λln（e+|ξ|））,λ≥0.显然,当h（ξ）=|ξ|α,α≥5/4时,三维不可压Navier-Stokes方程组是整体正则的.本章通过调整对流项,把耗散项削弱到h（ξ）=|ξ|/g（ξ）的情况,利用基本能量方法证明了当任意初值属于Hs（R3）,s≥3时,该模型的整体正则性.第四章主要考虑了二维Navier-Stokes方程组在移动的或者旋转的障碍物外部区域上解的整体存在性.研究过程中用到了二维空间子集上的Bogovskiˇi算子,研究结果显示在L2范数意义下,方程组的解在有限时间内不发生爆破.同时,我们还得到了具有线性增长初值的二维Navier-Stokes方程组整体解的存在性.第五章考虑一个非均质三维Navier-Stokes方程模型,借助能量方法,Littlewood-Paley仿积分解技巧和Sobolev嵌入定理研究解的整体正则性.用-D2u近似替代经典非均质Navier-Stokes方程中的耗散项?u,得到了一个新的非均质Navier-Stokes方程模型,其中D是一个傅里叶乘子,其特征是m（ξ）=|ξ|5/4,对任意小的正常数ε和δ,当初值（ρ0,u0）∈H3/2+ε×Hδ时,得到了该模型解的爆破准则和整体正则性结果.第六章主要研究理想不可压MHD方程组模型,对于二维和三维理想不可压磁流体动力学模型,证明了当任意初值属于C1,α（Rn）时,MHD方程组系统在H¨older空间中C1,α解的局部存在性和唯一性.。