高等代数课件-§3 向量的内积
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高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
向量内积的解析-概述说明以及解释
向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。
在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。
向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。
也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。
向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。
这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。
2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。
这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。
3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。
这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。
4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。
这里，u 表示向量u的长度。
向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。
在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。
在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。
在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。
通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。
未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。
每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。
第一部分是引言部分。
在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。
高等代数课件 第八章
由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
线性代数-向量的内积
故k1[1,1] 0,由于1 r是正交向量组，故1 0.
即[1,1] 0,故k1 0.
例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T
正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交
解：设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足a1Ta30 a2Ta30
§4.1向量的内积、长度及正交性
例3 ：齐次线性方程组的解集S{x| Ax0} 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间)
例4 ： 非齐次线性方程组的解集S{x| Axb} 不是向量空间 这是因为 当S为空集时 S不是向量空间
当S非空集时 若S 则A(2)2bb 知2S
规范正交基 :设n维向量a1 a2 ar是向量空间的一个基 如果a1 a2 ar两两正交 且都是单位向量 则称a1 a2 ar是V的一个规范正交基
• 一、向量的内积及其性质
§4.1
• 二、向量的长度及其性质
向
• 三、正交向量组
量
• 四、规范正交基及其求法
的
• 五、正交矩阵及其性质
内
• 复习小结
积
§4.1向量的内积、长度及正交性
本节概述
前面学习了向量的线性运算：加法和数乘， 但未涉及到向量的度量性质，如长度、距离等等。 从今天开始，我们就来学习一下这方面的概念。当 然学习这些概念也是为了进一步研究矩阵做准备的。
事实上 设a1e12e2 rer 则
eiTaieiTeii 即ieiTa [a ei]
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
b1a1
b2
a2
[b1, [b1,
a2] b1]
b1
br
向量的内积
高等工程数学
Advanced Engineering Mathematics
第二章 矩阵分析
续
向量的内积
一、内积的定义
x1 y1 x2 y2 定义1.设有n维向量 x ， y ... ... x y n n 令 [ x , y ] x1 y1 x2 y 2 ... xn yn , 称 [ x , y ]为向 量 x 与 y 的内积。 内积用矩阵乘法可表示为[ x , y ] x y y x
3
aT 1 1 1 1 解：记 A T ，则 a3 满足齐 a 2 1 2 1 次线性方程 AxO x1 1 1 1 0 即 1 2 1 x2 0 x 3 x1 x3 1 1 1 1 0 1 由 A~ 得 ， ~ 0 3 0 0 1 0 x2 0 1 1 从而有基础解系 0 。 取 a 3 0 即为所求。 1 1
上式是以 为未知量的一元 n 次方程，称为 方阵 A 的特征方程。 其左端 A E 是 的 n 次多项式，记 为f ( ) ，称为方阵 A 的特征多项式。显然，A 的特征值就是特征方程的解。 n 阶矩阵 A 在复 数范围内有 n 个特征值. 设 n 阶矩阵 A (aij ) 的特征值为 1 , 2 ,..., n， 由多项式根与系数的关系，易得 (i) 1 2 ... n a11 a22 ... ann (ii) 1 2 ... n A
1 1 4 例 2.设a1 2 , a2 3 , a3 1 试用施密 1 1 0 特正交化法把上述向量组范正交化。 ∧ 规 解：取b1 a1 1 1 1 [a 2 , b 1 ] 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 2 1 6 1 3 1 b1 [a3 , b1 ] [a3 , b2 ] b3 a3 b1 b2 2 2 b1 b2
Advanced Engineering Mathematics
第二章 矩阵分析
续
向量的内积
一、内积的定义
x1 y1 x2 y2 定义1.设有n维向量 x ， y ... ... x y n n 令 [ x , y ] x1 y1 x2 y 2 ... xn yn , 称 [ x , y ]为向 量 x 与 y 的内积。 内积用矩阵乘法可表示为[ x , y ] x y y x
3
aT 1 1 1 1 解：记 A T ，则 a3 满足齐 a 2 1 2 1 次线性方程 AxO x1 1 1 1 0 即 1 2 1 x2 0 x 3 x1 x3 1 1 1 1 0 1 由 A~ 得 ， ~ 0 3 0 0 1 0 x2 0 1 1 从而有基础解系 0 。 取 a 3 0 即为所求。 1 1
上式是以 为未知量的一元 n 次方程，称为 方阵 A 的特征方程。 其左端 A E 是 的 n 次多项式，记 为f ( ) ，称为方阵 A 的特征多项式。显然，A 的特征值就是特征方程的解。 n 阶矩阵 A 在复 数范围内有 n 个特征值. 设 n 阶矩阵 A (aij ) 的特征值为 1 , 2 ,..., n， 由多项式根与系数的关系，易得 (i) 1 2 ... n a11 a22 ... ann (ii) 1 2 ... n A
1 1 4 例 2.设a1 2 , a2 3 , a3 1 试用施密 1 1 0 特正交化法把上述向量组范正交化。 ∧ 规 解：取b1 a1 1 1 1 [a 2 , b 1 ] 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 2 1 6 1 3 1 b1 [a3 , b1 ] [a3 , b2 ] b3 a3 b1 b2 2 2 b1 b2
线性代数第五章(第一节内积)PPT课件
二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质： （1） <x, y> =<y, x>;
（2） <x, y> = <x, y>;
（3） <x + y, z> = <x, z> + <y, z>; （4） <x, x> 0, 且当 x 0 时有<x, x> > 0.
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积
定义1 设有 n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 <x, y> = x1y1 + x2y2 + … + xnyn , <x, y> 称为向
量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩 阵记号表示. 当 x 与 y 都是列向量时，有
<x, y> = xTy .
4
1
0
则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即
1 2 3 1 x1
1 1 1 5 4 1
0 0
x2 x3 x4
0,
解之得
五、正交规范基
1. 定义5 设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V ( V Rn )
的一个基, 如果 a1 , a2 , … , ar 两两正交, 则称
当 < x, y > = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向 量正交.
四、正交向量组
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质： （1） <x, y> =<y, x>;
（2） <x, y> = <x, y>;
（3） <x + y, z> = <x, z> + <y, z>; （4） <x, x> 0, 且当 x 0 时有<x, x> > 0.
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积
定义1 设有 n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 <x, y> = x1y1 + x2y2 + … + xnyn , <x, y> 称为向
量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩 阵记号表示. 当 x 与 y 都是列向量时，有
<x, y> = xTy .
4
1
0
则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即
1 2 3 1 x1
1 1 1 5 4 1
0 0
x2 x3 x4
0,
解之得
五、正交规范基
1. 定义5 设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V ( V Rn )
的一个基, 如果 a1 , a2 , … , ar 两两正交, 则称
当 < x, y > = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向 量正交.
四、正交向量组
第12讲 向量的内积.PPT
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1
1
1,
2
2
1
1
正交，试求3 使1 ,2 ,3 构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2, x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
这个基正交规范化， 也就是将一个线性无关 的向量组正交规范化.
将线性无关的向量组1,2, ,r正交规范化
（1）正交化
取 1 1,
2
2
1 , 1 ,
2 1
1
,
3
3
[1, [1,
3 1
] ]
1
[2, [2,
3 2
] ]
2
,
r
r
[1, [1,
r 1
] ]
1
[ [r
r 1
1 ,
,
r
r] 1 ]
e1
1 1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
1 2
2 2 2 2
e2
2 2
1 0,2,1,3 0, 2 , 1 ,
14
14 14
3 14
e3
3 3
1 1,1,2,0
6
1, 6
1 , 2 ,0 6 6
3
3
[3, 21] 1
1
[3, 22] 2
2
4 1 0
a b c d 0,
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1
1
1,
2
2
1
1
正交，试求3 使1 ,2 ,3 构成三维空间的一个正交
基.
解 设3 x1, x2, x3 T 0,且分别与1,2正交.
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[21,,33
] ]
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
这个基正交规范化， 也就是将一个线性无关 的向量组正交规范化.
将线性无关的向量组1,2, ,r正交规范化
（1）正交化
取 1 1,
2
2
1 , 1 ,
2 1
1
,
3
3
[1, [1,
3 1
] ]
1
[2, [2,
3 2
] ]
2
,
r
r
[1, [1,
r 1
] ]
1
[ [r
r 1
1 ,
,
r
r] 1 ]
e1
1 1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
1 2
2 2 2 2
e2
2 2
1 0,2,1,3 0, 2 , 1 ,
14
14 14
3 14
e3
3 3
1 1,1,2,0
6
1, 6
1 , 2 ,0 6 6
3
3
[3, 21] 1
1
[3, 22] 2
2
4 1 0
a b c d 0,
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
高等代数课件
变, 即对任意, V，有 (), ()＝, .
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
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1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
高等代数课件-§3 向量的内积
是a在方向e单位向量上的内射影则存在唯一的实数使得这个实命题17向量a在方向e单位向量上的分量定义18若向量其中是单位向量向量a的这种分解是唯一的我们表示向量我们用命题18设e为一个单位向量则对任意向114115证明建立直角标架由图117oppnnmzeyexeopmp所以是a在方向e上的内射影从而得op这说明就是a的第一个直角坐标于是据向量和的坐标等于对应坐标的和便得到
x a0 e1 cos a0 , e1 cos a, e1 0 y a e2 cos a, e2 0 z a e3 cos a, e3
2, 我们把一个向量a与直角坐标系中的基向量 e1 , e2 , e3 所成的角称为方向a的方向角 . 把方向角的余弦 cos , cos , cos 称为方向a的 方向余弦.
因此 e a a cos a, e .
4. 命题1.8 量a,b, 有
设e为一个单位向量，则对任意向
(1.14) (1.15)
e (a b) e a e b,
e (a ) ( e a ).
证明 知，
a OM OP PN NM
a = a a = a +a +a
2 1 2 2
两点 A x1 ,y1 ,z1 ,B x2 ,y2 ,z2 之间的距离为：
2 3
AB
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
注意：定理1.6及以上两式只在直角坐标系中才 成立！
a b : a b cos a, b ,
（1.16）
a b (b0 a) b .
(1.17)
由定义1.10可得到： b 的充分必要条件是 a b 0. a
x a0 e1 cos a0 , e1 cos a, e1 0 y a e2 cos a, e2 0 z a e3 cos a, e3
2, 我们把一个向量a与直角坐标系中的基向量 e1 , e2 , e3 所成的角称为方向a的方向角 . 把方向角的余弦 cos , cos , cos 称为方向a的 方向余弦.
因此 e a a cos a, e .
4. 命题1.8 量a,b, 有
设e为一个单位向量，则对任意向
(1.14) (1.15)
e (a b) e a e b,
e (a ) ( e a ).
证明 知，
a OM OP PN NM
a = a a = a +a +a
2 1 2 2
两点 A x1 ,y1 ,z1 ,B x2 ,y2 ,z2 之间的距离为：
2 3
AB
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
注意：定理1.6及以上两式只在直角坐标系中才 成立！
a b : a b cos a, b ,
（1.16）
a b (b0 a) b .
(1.17)
由定义1.10可得到： b 的充分必要条件是 a b 0. a
高等代数知识点总结ppt
高等代数知识点总结一、引言高等代数是一门研究数学结构、代数运算和线性方程系统的学科。
它在数学、物理学、通信、计算机等领域都有广泛的应用。
本文将对高等代数中的几个重要知识点进行总结。
二、向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，它是由一组向量构成的集合，并满足特定的代数运算法则。
2.1 向量空间的定义向量空间是一个非空集合，其中包含一组向量，满足以下几个条件：•加法封闭性：对于任意的向量u、v属于向量空间V，u + v也属于V。
•数乘封闭性：对于任意的向量u属于向量空间V和任意的标量c，cu 也属于V。
•零向量：向量空间V中存在一个零向量0，满足对于任意的向量u 属于V，u + 0 = u。
•相反向量：对于任意的向量u属于向量空间V，存在一个相反的向量-v，满足u + (-v) = 0。
2.2 子空间在向量空间V中，如果一个集合W也是一个向量空间，并且W是V的子集，则称W为向量空间V的子空间。
2.3 线性无关与线性相关在向量空间V中，如果存在一组向量{v1, v2, …, vn}以及一组不全为0的标量{c1, c2, …, cn}，满足c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称该组向量是线性相关的；否则，称该组向量是线性无关的。
2.4 基和维数在向量空间V中，如果存在一组线性无关的向量{v1, v2, …, vn}，并且该组向量可以通过线性组合得到V中的任意向量，则称该组向量是向量空间V的一组基。
向量空间V的基中向量的个数称为维数，记为dim(V)。
三、矩阵与线性方程组3.1 矩阵的定义矩阵是由数按矩形排列而成的一个数组，它是线性方程组的重要表示形式。
3.2 矩阵的运算矩阵与矩阵之间可以进行加法、数乘和乘法运算。
•矩阵加法：给定两个矩阵A和B，只有当它们的维数相同时，才能进行加法运算。
•数乘：给定一个矩阵A和一个标量c，可以通过将c乘以A的每个元素来得到标量乘法的结果。
•矩阵乘法：给定两个矩阵A和B，它们能够进行乘法运算的前提是A 的列数等于B的行数。
《向量的内积的概念》课件
投影法
通过向量的分解，将复杂的问题转化为简单的内积运算。
向量分解法
向量的内积与向量的模的关系
CATALOGUE
03
VS
向量$overset{longrightarrow}{a}$的模定义为$left| overset{longrightarrow}{a} right| = sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}}$，其中$a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$是向量$overset{longrightarrow}{a}$的分量。
《向量的内积的概念》ppt课件
目录
CATALOGUE
向量的内积定义向量的内积运算向量的内积与向量的模的关系向量的内积的应用
向量的内积定义
CATALOGUE
01
向量的内积是两个向量之间的一种数量关系，通过点乘运算得到。
总结词
向量的内积定义为两个向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$和$mathbf{B} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$的点乘，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$，计算公式为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$。
点乘的性质：$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \left| \overset{\longrightarrow}{a} \right| \cdot \left| \overset{\longrightarrow}{b} \right| \cdot \cos\theta$，其中$\theta$是向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$之间的夹角。
通过向量的分解，将复杂的问题转化为简单的内积运算。
向量分解法
向量的内积与向量的模的关系
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03
VS
向量$overset{longrightarrow}{a}$的模定义为$left| overset{longrightarrow}{a} right| = sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}}$，其中$a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$是向量$overset{longrightarrow}{a}$的分量。
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向量的内积定义向量的内积运算向量的内积与向量的模的关系向量的内积的应用
向量的内积定义
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01
向量的内积是两个向量之间的一种数量关系，通过点乘运算得到。
总结词
向量的内积定义为两个向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$和$mathbf{B} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$的点乘，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$，计算公式为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$。
点乘的性质：$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \left| \overset{\longrightarrow}{a} \right| \cdot \left| \overset{\longrightarrow}{b} \right| \cdot \cos\theta$，其中$\theta$是向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$之间的夹角。
线性代数第五章第一节向量的内积长度及正交性课件
a1 a1
a1T a2 a2T a2
a1T a2T
an an
1 0
0 1
0
0
anT
anT a1 anT a2
anT an
0
0
1
于是
[ai , a j ]
aiT a j
1, 0,
i j (i, j 1, 2,
i j
, n)
从而可得
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基．
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
b1
[b2 , a3 ] [b2 , b2 ]
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令
b1 a1
b2
a2
c2
a2
[b1 , [b1 ,
a2 b1
] ]
b1
br
ar
[b1 [b1
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
线性代数第19讲向量的内积
实现光照模型、纹理映射等技术。
思考题：向量内积的性质推导与证明
推导与证明
向量内积具有一些重要的性质，如对称性、正定性、交换律等。这些性质可以通过向量的定义和代数 运算规则进行推导和证明。
思考题
请根据向量的定义和代数运算规则，推导向量内积的对称性和正定性，并解释其几何意义。同时，请 思考向量内积在解决实际问题中的应用，并给出相应的实例。
分配性
$(lambdamathbf{u}
+
mumathbf{v}) cdot mathbf{w}
= lambda(mathbf{u} cdot
mathbf{w}) + mu(mathbf{v}
cdot mathbf{w})$。
向量内积与欧几里得范数的关系
向量内积与欧几里得范数的关系
对于任意向量$mathbf{u}$，有$|mathbf{u}|^2 = mathbf{u} cdot mathbf{u}$，其中$|cdot|$表示欧几里得范数。
可以用来计算向量在单位向量上的投影长度，即向量内积的长度。
向量内积的长度和角度解释
总结词
两个向量的夹角可以通过计算它们的内积后取反正切得到。
详细描述
两个向量的夹角可以通过计算它们的内积后取反正切得到。具体来说，对于任意两个向量A和B，它们的夹角 θthetaθ可以通过计算A·B∣A∣∣B∣arccos(frac{A cdot B}{|A| |B|})∣A∣∣B∣arccos(∣A∣∣B∣A⋅B)得到。其中，A⋅B A cdot B A⋅B表示向量A和B的内积，∣A∣ |A|∣A∣和∣B∣ |B|∣B∣分别表示向量A和B的模长。
正交性
如果两个向量正交，则它们的内积为0。反之，如果两个非零向量的内积为0， 则这两个向量正交。
思考题：向量内积的性质推导与证明
推导与证明
向量内积具有一些重要的性质，如对称性、正定性、交换律等。这些性质可以通过向量的定义和代数 运算规则进行推导和证明。
思考题
请根据向量的定义和代数运算规则，推导向量内积的对称性和正定性，并解释其几何意义。同时，请 思考向量内积在解决实际问题中的应用，并给出相应的实例。
分配性
$(lambdamathbf{u}
+
mumathbf{v}) cdot mathbf{w}
= lambda(mathbf{u} cdot
mathbf{w}) + mu(mathbf{v}
cdot mathbf{w})$。
向量内积与欧几里得范数的关系
向量内积与欧几里得范数的关系
对于任意向量$mathbf{u}$，有$|mathbf{u}|^2 = mathbf{u} cdot mathbf{u}$，其中$|cdot|$表示欧几里得范数。
可以用来计算向量在单位向量上的投影长度，即向量内积的长度。
向量内积的长度和角度解释
总结词
两个向量的夹角可以通过计算它们的内积后取反正切得到。
详细描述
两个向量的夹角可以通过计算它们的内积后取反正切得到。具体来说，对于任意两个向量A和B，它们的夹角 θthetaθ可以通过计算A·B∣A∣∣B∣arccos(frac{A cdot B}{|A| |B|})∣A∣∣B∣arccos(∣A∣∣B∣A⋅B)得到。其中，A⋅B A cdot B A⋅B表示向量A和B的内积，∣A∣ |A|∣A∣和∣B∣ |B|∣B∣分别表示向量A和B的模长。
正交性
如果两个向量正交，则它们的内积为0。反之，如果两个非零向量的内积为0， 则这两个向量正交。
向量内积的定义及运算规律经典实用
定义 当x 0, y 0时,
arcco[sx, y]
xy 称为n维向量 x与y的夹角 .
当[x, y]0时,称向量 x与y正交. 若x0,则x与任何向量都. 正交
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
定理 若 n维向 a1,量 a2, ,ar是一组两两 零向 ,则 量 a1,a2, ,ar线性.无关 定义 设 n维 向 e1,e2 量 , ,er是 向 量 V(V 空 Rn)间 的 一,如 个e果 1,基 e2, ,er两 两,则 正e称 1,交 e2, , er是 V的 一 个 规 . 范 正 交 基
2
;
( 2 ) 令 2 k 1 2 ,使 2 与 1 得 正 ,得 交
k[1,2]
1, 2
1 2
1 6
2
1 1
2
,
0
2
1 2
0
6 6
.
(3 )令 3 k 11 k 223 ,且 3 与 2 ,1 正 , 交
得
k1[1,3]1 2,
k2[2,3]1 6,
a0, aTa为一,非零数 故 a ( a T a ) a T ( a T a )a a ( T ),
A T A E [ 4 / a T a ( ) a a T ] [ 4 / a T a ( ) a a T ] E , 故A是正交矩.阵
特a 别 T a1 时 当 ,A E 2 aa T 是正 . 交
1 3
故
3
1 1
3 3
.
1
(4)将 1,2,3单位 ,得化
1 2
1
1 1
1
0 0
arcco[sx, y]
xy 称为n维向量 x与y的夹角 .
当[x, y]0时,称向量 x与y正交. 若x0,则x与任何向量都. 正交
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
定理 若 n维向 a1,量 a2, ,ar是一组两两 零向 ,则 量 a1,a2, ,ar线性.无关 定义 设 n维 向 e1,e2 量 , ,er是 向 量 V(V 空 Rn)间 的 一,如 个e果 1,基 e2, ,er两 两,则 正e称 1,交 e2, , er是 V的 一 个 规 . 范 正 交 基
2
;
( 2 ) 令 2 k 1 2 ,使 2 与 1 得 正 ,得 交
k[1,2]
1, 2
1 2
1 6
2
1 1
2
,
0
2
1 2
0
6 6
.
(3 )令 3 k 11 k 223 ,且 3 与 2 ,1 正 , 交
得
k1[1,3]1 2,
k2[2,3]1 6,
a0, aTa为一,非零数 故 a ( a T a ) a T ( a T a )a a ( T ),
A T A E [ 4 / a T a ( ) a a T ] [ 4 / a T a ( ) a a T ] E , 故A是正交矩.阵
特a 别 T a1 时 当 ,A E 2 aa T 是正 . 交
1 3
故
3
1 1
3 3
.
1
(4)将 1,2,3单位 ,得化
1 2
1
1 1
1
0 0
向量的内积PPT课件
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3
动脑思考 探索新知
如图，设有两个非零向量a， b，作 OA a，
A
a OB b，由射线OA与OB所形成的的角叫做向量
a与向量b的夹角，记作<a，b>．
O
b
B
两个向量a，b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b
的内积，记作a·b， 即 a·b＝|a||b|cos<a，b>
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13
巩固知识 典型例题
例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a＝(−2, 3), b＝(6, 4)； (2) a＝(0, −1), b＝(1, −2)．
解 (1) 因为a·b＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a⊥ b． (2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×(−2)＝2， 所以a与b不垂直．
F
O
s
没有产生位移，没有做功，水平方向
图7—21
上产生的位移为s，即 3
W＝｜F｜cos30° ·｜s｜＝100×2 ·10＝500 3 ．
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2
动脑思考 探索新知
W＝｜F｜cos30° ·｜s｜＝100×23 ·10＝500 3 ． 这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由 两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与 向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．
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16
自我反思 目标检测
学习方法
学习行为
学习效果
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17
继续探索 活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.3Ａ组（必做）
教材习题７.3Ｂ组（选做） 实践调查：试着编写一道关于向量
线性代数向量的内积
解 设 3 x1 , x 2 , x 3 T 0, 且分别与 1 , 2正交 . 则有
1 , 3 2 , 3 0
1 , 3 x1 x2 x3 0 即 2 , 3 x1 2 x2 x3 0 解之得 x1 x3 , x2 0. x1 1 3 x2 0 若令 x3 1, 则有 x 1 3
也为R4的一个正交规范基 .
如何构造向量空间的正交规范基？如何将一 组线性无关的向量化成正交规范基？下面介绍将 线性无关的向量组正交规范化的施密特(Schmidt) 正交化方法。
四、施密特(Schmidt)正交化方法
定理 设 1 , 2 ,L , s 是一组线性无关的向 量，则可以找到一组正交的向量 1 , 2 ,L , s 使得向量组 1 , 2 ,L , s 与 1 , 2 ,L , s 等价。 证明 首先，令 1 1 再令 2 2 k 1 及 1 , 2 0
试用施密特正交化方法把这组向量规范正交化。 解
取 b1 a1 ;
1 1 1 a2 , b1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 ; b1 , b1 3 1 6 1 1
称 x , y 为向量x与y的内积
说明 内积是向量的一种运算，如果x，y都是列 向量，内积可用矩阵记号表示为
x , y x T y x1 ,
x2 , L ,
y1 y xn 2 M yn
内积的运算性质
其中 x , y, z 为n维向量, 为实数 :
即 1 , 2 k 1 , 1 0 从而求出
《高数向量代数》PPT课件
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a a
0.
( 0 sin 0)
(2)
a // b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
27
证
() ()
a
b
0,
| a | 0,
|asain/b/b||
0, a || b
0,
0或
| sin
|b a//
| b
0,
sin
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
ax ay az
| a
|
a
| a
| | |
cos cos cos
向 量 的 方 向
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
余 弦
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2
| a |
ax2 a y2 az2 向量模长的坐标表示式
18
向量方向余弦的坐标表示式
特殊地：若a‖ b
b
分为同向和反向
c
| c || a
|
|
b
|
a
b a
|
c
|
|
a
|
c |
b
|
8
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）
a (a) 0.
[2] 减法
a b a (b)
b
关于向量积的说明：
(1)
a a
0.
( 0 sin 0)
(2)
a // b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
27
证
() ()
a
b
0,
| a | 0,
|asain/b/b||
0, a || b
0,
0或
| sin
|b a//
| b
0,
sin
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
ax ay az
| a
|
a
| a
| | |
cos cos cos
向 量 的 方 向
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
余 弦
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2
| a |
ax2 a y2 az2 向量模长的坐标表示式
18
向量方向余弦的坐标表示式
特殊地：若a‖ b
b
分为同向和反向
c
| c || a
|
|
b
|
a
b a
|
c
|
|
a
|
c |
b
|
8
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）
a (a) 0.
[2] 减法
a b a (b)
b
相关主题
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x a0 e1 cos a0 , e1 cos a, e1 0 y a e2 cos a, e2 0 z a e3 cos a, e3
2, 我们把一个向量a与直角坐标系中的基向量 e1 , e2 , e3 所成的角称为方向a的方向角 . 把方向角的余弦 cos , cos , cos 称为方向a的 方向余弦.
3.4 方向Байду номын сангаас和方向余弦
1设a在直角标架[O; e1 , e2 , e3 ] 中的坐标为 (a1 , a2 , a3 ), 则有 a a1e1 a2e2 a3e3 两边用 e1 作内积，得 a e1 a1 同理可得 a e2 a2 , a e3 a3 .
a 0 的直角坐标为： 特别地，单位向量
xe ye2 ze3 ,
建立直角标架 [O; e1 , e2 , e3 ]，由图1.17
OP xe, PN ye2 , NM ze3.
其中
由三垂线定理知，MP OP. 所以 OP 是a在方向e上的内射影，从而得 e a x.
这说明 e a 就是a的第一个直角坐标，于是据 “向量和的坐标等于对应坐标的和”便得到：
a = a a = a +a +a
2 1 2 2
两点 A x1 ,y1 ,z1 ,B x2 ,y2 ,z2 之间的距离为：
2 3
AB
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
注意：定理1.6及以上两式只在直角坐标系中才 成立！
因为BE⊥AC，所以BM AC 0, 即 ( AM AB) AC 0, 即 AM AC AB AC
因为CF⊥AB,
所以CM AB 0,
3.3 用坐标计算向量的内积
1. 取一个空间仿射坐标系 [O; e1 , e2 , e3 ], 设a, b 的坐标分别是 (a1 , a2 , a3 ),(b1 , b2 , b3 ), 有 则
a b (a1e1 a2e2 a3e3 ) (b1e1 b2e2 b3b3 ) a1b1e1 e1 a1b2e1 e2 a1b3e1 e3 a2b1e2 e1 a2b2e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3 e1 a3b2e3 e2 a3b3e3 e3
a b : a b cos a, b ,
（1.16）
a b (b0 a) b .
(1.17)
由定义1.10可得到： b 的充分必要条件是 a b 0. a
2. 定理1.5
对于任意的向量a, b, c, 我们有
(1)a b b.a (对称性)， (2) a) b (a b) (线性） ( (3) (a c ) b a b c b (线性)， (4)若 a 0, 则 a a 0 (正定性). 证明 由定义(1.10)立即得到
0 a,b
3. 命题1.7 向量a在方向e（单位向量）上的分量 为： a a cos a, e .
e
(1.13)
证明 用 表示 e a 则a1 e ，所以 a1 . 由直角三角形的解法知，
a1 a cos a, e .
a 当<a,e>为锐（钝）角时， 1与e同（反）向，从 而 0( 0).
由内积的对称性和线性还可得到：
a (b) (a b),
a (b c ) a b a c .
a b c b.
注：以上诸性质是内积的本质性质，在以后的 学习中，我们将用以上性质来刻画内积。
3. 例1.4
证明三角形的三条高线交于一点.
证明 设△ABC的两条高线BE，CF交 于M. 连接AM.
因此 e a a cos a, e .
4. 命题1.8 量a,b, 有
设e为一个单位向量，则对任意向
(1.14) (1.15)
e (a b) e a e b,
e (a ) ( e a ).
证明 知，
a OM OP PN NM
a的方向余弦就等于单位向量 a 0 的直角坐标. 从而有： 2 cos2 cos2 1. cos
e (a b) e a e b.
类似可得 e (a ) ( e a ).
3.2 向量内积的定义和性质
1. 定义1.10 两个向量a与b的内积（记作a· b）规 定为一个实数：
若a与b中有一个为 0 ，则a· 0 . b:= 若b≠ 0 ，则由（1.13）和（1.16）得
a b b a
由(1.17),(1.15)和(1.14)得
(a) b b0 (a) b (b0 a) b (a b) (a c) b b0 (a c) b (b0 a b0 c) b
2 由定义1.10立即得到：若 a 0 ，则 a a a 0.
§3 向量的内积
1. 定义1.8 若向量 a a1a2 ，其中a1 // e, a2 e, e 是单位向量（向量a 的这种分解是唯一的 ），我们 称 a1是a在方向e上的内射影（简称射影）；称 a2是 a沿方向e下的外射影.
3.1 射影和分量
2. 定义1.9 若a1是a在方向e（单位向量)上的内射 影，则存在唯一的实数 使得 a1 e ，这个实 数 被称为a在方向e上的分量，记作 e a . 我们用 a, b 表示向量 a与b 的夹角。这里约定：
从而得 AM AB AC AB. 于是有AM AC AM AB, 即得 AM BC 0.
这表明AM⊥BC. 延长AM与BC交于D，则 AD为BC边上的高. 所以三角形ABC的三条高线交于一点M.
若它为直角坐标系时， 则有 ei ei ei 1; ei e j 0, i j.
2
此时 a b a1b1 a2b2 a3b3.
2. 定理1.6 在直角坐标系中，两个向量的内积等于 它们的对应坐标的乘积之和.
由此，我们得到，向量 a a1 ,a2 ,a3 的长度为