4.5几种特殊类型的积分

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几种特殊类型函数的积分

x 6
1+ e2 + e3 + e6 1 3 3t + 3 6 dt = ∫ − = 6∫ dt − 2 2 t (1 + t )(1 + t ) t 1+ t 1+ t
3 3t + 3 6 dt = ∫ − − 2 t 1+ t 1+ t 2 1 3 d (1 + t ) dt − 3∫ = 6 ln t − 3 ln(1 + t ) − ∫ 2 2 1+ t 2 1+ t 3 2 = 6 ln t − 3 ln(1 + t ) − ln(1 + t ) − 3 arctan t + C 2
A B C 1 , = + + 例2 2 2 x ( x − 1) x − 1 x ( x −1 )
1 = A( x − 1) 2 + Bx + Cx ( x − 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, ⇒ A = 1 取 x = 1, ⇒ B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) ⇒ C = −1
2u + 1 + u2 − 1 − u2 du =∫ 2 (1 + u)(1 + u )
(1 + u)2 − (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du − ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u
1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) − ln | 1 + u | + C 2 x Q u = tan 2 x x = + ln | sec | − ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2

几种特殊类型函数的积分

几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分定义：设()P x 和()Q x 是两个多项式，凡形如()()P x Q x 的函数称为有理函数。

重要结论：任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如（称为简单分式）：（1） a x A -；（2） ka x A )(-；)2(≥k （3）)04(22<-+++q p q px x B Ax ；（4）)04()(22<-+++q p q px x B Ax k )2(≥k 。

的简单分式之和，其中A ，B ，,,,q p a 为常数，k 为正整数。

因此，对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。

（1） C a x a x dx +-=-⎰ln 。

（2） C a x k a x dx k k +--=--⎰1))(1(1)(， )1(>k 。

（3） dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222，令2p x t +=，并记4422p q r -=，2pA B N -=，则 dx p q p x B Ax dx q px x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222⎰+=22r t tdt A ⎰++22r t dt N C rt r N r t A +++=arctan )ln(222。

（4）同（3）可得 )2(≥k ， ⎰+++k q px x B Ax )(2⎰⎰+++=k k r t dt N r t tdt A )()(2222122))(1(2-+-=k r t k A ⎰++k r t dt N )(22。

记 ⎰+=k k r t dt I )(22，则 dt r t t r I r dt r t t r t r I k k k k ⎰⎰+-=+-+=-)(11)()(1222212222222 =))(1()1(2111212⎰--+-+k k r t td k r I r ])([)1(2111122212----+-+=k k k I r t t k r I r ，于是，有递推公式121222)1(232))(1(2----++-=k k k I k r k r t k r t I 。

几种特殊类型的函数的积分

dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2

山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
解原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例16 求
3
3
dx . 2 4 ( x 1) ( x 1)
2 4 3
x 1 4 ) ( x 1) 2 . 解 ( x 1) ( x 1) ( x1 2 x 1 则有 dt dx , 令t , 2 ( x 1) x1 4 1 dx 原式 t 3 dt x 1 4 2 2 3 ( ) ( x 1) x1 33 x 1 3 1 3 C. t C 2 x 1 2
ln 2 ln 3
C
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例2
计算
x2 dx 6 6 a x
3 3 1 1 3 1 x a 解:原式 3 2 dx ln 3 C 3 2 3 3 3 ( x ) (a ) 6a x a 例3 计算 1 cos x dx x sin x d ( x sin x ) ln | x sin x | C 解:原式 x sin x
x1 例10 求 2 dx. 2 x x 1 1 解令x , (倒代换)
1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t

几种特殊函数的积分

1 arctan u ln(1 u2 ) ln | 1 u | C 2
x x x ln sec ln 1 tan C 2 2 2
数学分析（上）
注意万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算先考虑其它方法, 不得已才用万能代换.
1 cos x 例如 d sin x dx 1 sin x 1 sin x
dx d cot x 又如 2 2 3 si n x 3 csc x 1
dx 1 C . (a sinx b cos x)2 a(a tan x b)
数学分析（上）Leabharlann 例5dx (1) 1 s i nx
dx ( 2) 2 cos x
dx ( 3) 2 si n x
A B 1 A 5 (3 A 2B ) 3 B 6 x3 5 6 2 （待定系数法） x 5x 6 x 2 x 3 x3 x 2 5 x 6 dx 5 ln x 2 6 ln x 3 C
数学分析（上）
dx 例3 求 I 1 x3 1 1 3 2 1 x (1 x )(1 x x )
1 A Bx C 2 2 (1 x )(1 x x ) 1 x 1 x x
1 1 2 , B ,C 可求得 A 3 3 3 1 1 1 1 2 I ln1 x ln(x x 1) arctan (2 x 1) C 3 6 3 3
Ak A1 A2 2 k x a ( x a) ( x a)
数学分析（上）
2）分母中若有因式 ( x
2
2
px q) ,其中

45几种特殊类型的积分

? A ? 2B ? 0,?Biblioteka ?B?2C
?
0,
?? A ? C ? 1,
?
1
(1 ? 2 x )(1 ?
?A x2)?
? 4, B 5 4 5
1? 2x
? ?
? 2,C ? 1, 55
? 2x? 1
5 1?
x25.
? 例3
求
x
3
? x
5x 2?
2? 5x
7 ?
x? 6
1dx
.
解
x3 ? 5x2 ? 7x ? 1 x2 ? 5x ? 6 ?
2 2 sec x
22
例4
求
?sin
sin x?
x cos
x
dx
.
解法（三）
?sin
sin x?
x cos
x
dx
?
1 2
(sin
?
x
?
cos x )(? sin x ?
sin x cos x
?
cos
x )?dx
?
1 2
????1dx
?
(sin
? sin
x x
? ?
cos cos
x )?dx x
? ??
? ?
? ?
? ?
an?1x ? an bm?1 x ? bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,? ,an 及
b0 , b1 ,? ,bm 都是实数，并且a0 ? 0 ，b0 ? 0 .
若n<m，上述函数称为有理真分式，否则，
称为有理假分式.
利用多项式除法, 有理假分式可以化成一个多项式函数和一个有理真分式之和.

高数资料(特殊积分法)

t =∫ ⋅ 2 sin t cos t ⋅ d t = −2 ∫ t ⋅ d cos t cos t
= −2t cos t + 2 ∫ cos t ⋅ d t = −2t cos t + 2 sin t + C = −2 1 − x arcsin x + 2 x + C
5 3 2 = ln( x + 2 x + 4) − ∫ 3 2
dx
2
x + 1 1+ 3 5 x +1 3 arctan +C = ln( x 2 + 2 x + 4) − 3 3 2
例2
8 x + 31 2x + 4 dx ⋅ dx = 4 ∫ 2 ⋅ d x+ 15 ∫ 2 ∫ ( x 2 + 4 x + 13)2 ( x + 4 x + 13) 2 ( x + 4 x + 13) 2
1 1 1 = ∫ + ⋅dt 3 3 − t 3 + t 1 3+ t = ln +C 3 3−t
x 1 3 + tan 2 = ln +C x 3 3 − tan 2
例 6 解一
1 ∫ sin 4 x dx .
x u = tan , 2
2u sin x = , 2 1+ u
2 2
1 3 = − cot x − cot x + C . 3 结论比较以上三种解法, 比较以上三种解法便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 方法故三角有理式的计算中先考虑其它手段不得已才用万能置换. 不得已才用万能置换

几种特殊函数的积分

2 2
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x

几种特殊类型函数的积分

几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()(ΛΛ （1）其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210Λ及m b b b b ,,,,210Λ都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如 12)1(112224+++-=+++x x x x x x ．多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--=ΛΛ．其中s r q p b a ,,,,,,,ΛΛ为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βαΛμλ,,Λ为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-ΛΛλββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-Λμλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-ΛΛsrx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμΛ．（2）其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,,ΛΛ都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：（1）ax A - ，（2）ka x A )(- （k 是正整数，2≥k ），（3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ），（4）k q px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(，（3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）．将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du au B pu A dx pq p x BAx dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au Ap B du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222C pq px p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222．其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(．第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k k k k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)( 122222)(+-++=k k k kI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+．于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ．（3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u a a u du I +=+=⎰arctan 1221．最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2．例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1．解 ⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u ]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u u C u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1．解因为2)1(1-x x 可分解为 1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ．其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ．（4）即A x C AB xC A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C ABC A ，从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112 C x x x +----=1ln 11ln ．例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22．解因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ，两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22．例4 求⎰+-+dx x x x 6532．解因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ．令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是C x x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ．从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232．解 dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114．解 ⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=．又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ．由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11．解设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222 C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ．例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx x x⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ．解 dx xx x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx x x dx xx ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1．例11 求dx x⎰+2cos 311．解 x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是du a nuu a b u R dx b ax x R n n n1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ．（5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211．解令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换 u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰．（6）（6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11．解令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 du u u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222C x xx x x ++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令u x x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=，于是 du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1 C x x C u +-+-=+-=3112323．精品文档。

几种特殊类型的函数积分

反三角函数积分公式
∫sin⁡xdx=−cos⁡x+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C
∫cos⁡xdx=sinx⁡+Cint cos x , dx = sin x + C∫cos⁡xdx=sinx⁡+C
∫tan⁡xdx=ln⁡|sec⁡x|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tan⁡xdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)，其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式

几种特殊类型函数地积分

几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1）其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如12)1(112224+++-=+++x x x x x x ．多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ．（2）其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：（1）a x A - ，（2）k a x A )(- （k 是正整数，2≥k ），（3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ），（4）kq px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(，（3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）．将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du a u B pu A dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au ApB du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222 C pq p x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222．其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k ++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(．第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k kk k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)(122222)(+-++=k k kkI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+．于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ．（3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u aa u du I +=+=⎰arctan 1221．最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2．例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1．解⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u uC u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1．解因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ．其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ．（4）即 A x C A B x C A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C A B C A ，从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122 ⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112C x x x +----=1ln 11ln ．例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22．解因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ，两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22．例4 求⎰+-+dx x x x 6532．解因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ．令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是Cx x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ．从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数围分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232．解dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122 ．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114．解⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=．又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ．由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11．解设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ．例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx xx ⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ．解 dx x x x dx xx x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx xx dx x x ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1．例11 求dx x ⎰+2cos 311．解x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是 du a nuu a b u R dx b ax x R n n n 1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ．（5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211．解令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰．（6）（6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11．解令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 duu u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222 C x x xx x++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解 ⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令ux x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=，于是du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1C x x C u +-+-=+-=3112323．。

几种特殊类型函数的积分

2
．
解设 3 x 2 u ．于是xu22，dx3u2d u ，从而
1
dx 3x
2
1
1 u
·3u2d u
3
u2 1
1du u
3 (u
1 1 )du 1 u
3(
u2 2
uln|1u|)C
3 3 (x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | +C． 2
练习
求积分：
(1)
2
dx cos
an bm
其中m和n都是非负整数；a0 ，a1 ，a2 ，… ，an 及b0 ，b1 ，b2
，… ，bm都是实数，并且a00，b00．当n<m时，称这有理函数
是真分式；而当nm时，称这有理函数是假分式．假分式总可以
化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如
x3 x 1 x2 1
x
1 x2 1
．
例2 求
x
2
x
2 2x
3
dx
．
解
x2
x
2
2 x
3
dx
(1 2
x
2x 2 2 2x
3
3
x
2
1 2
x
)dx 3
1 2
x
2x 2 2 2x
dx 3
3
x
2
1 2
x
dx 3
1 2
d (x2 2x 3) x2 2x 3
3
d (x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln(x2 2x 3) 3 arctan x 1 C ．
2
dx.
解
x2
3x 1 3x

几种特殊类型函数的积分

x 2 tan 2
2u 1 u
2 du dx 1 u
2
2
1 u 1 u
2
2
2
2 tan

万能代换
sin x dx. 例7. 求(1) 1 sin x
1 dx. (2) 3 cos x
利用万能公式处理比较复杂，更多地是利用三角恒等式化简被积函数
1 dx. 例8. 求 2 sec x sin x tan x
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) dx 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 2 x 2) 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2) 2
2
1 arctan(x 1) 2 C x 2x 2

( m n)
例9. 求
和差化积公式
解:
1 1 ∴原式 = sin 4 x dx sin 2 x d x 2 2 1 1 sin 4 x d(4 x) sin 2 x d(2 x) 4 8
1 sin x cos3x (sin 4 x sin 2 x) 2
解: (1)用赋值法
1 A B C 1 1 1 2 2 x( x 1) x x 1 ( x 1) x x 1 ( x 1) 2
右端通分后比较两端分子得
1 A( x 1)2 Bx( x 1) Cx 令 x=0 得 A=1 令 x=1 得 C=1 令 x=2 得 B=-1
例2. 求解: 原式 1
4 1 2x 1 dx dx 2 5 1 2x 5 1 x 2 d(1 2 x) 1 2 x dx 1 dx 1 x2 1 x2 5 5 5 1 2x 2 2 1 d ( 1 x ) 1 arctan x ln 1 2 x 5 5 5 1 x2

几种特殊类型的积分

03
瑕积分常常用于处理具有有限个间断点的连续函数。
性质
瑕积分具有与普通定积分相似的性质，如线性性质、可加性等。
瑕积分的一个重要性质是：如果函数f(x)在区间[a, b]上的瑕点c左侧连续，右侧无界，那么∫(a到 b)f(x)dx等于∫(a到c)f(x)dx加上
∫(c到b)f(x)dx。
此外，如果函数f(x)在区间[a, b] 上的瑕点c左侧无界，右侧连续，那么∫(a到b)f(x)dx等于∫(a到 c)f(x)dx加上∫(c到b)f(x)dx。
几种特殊类型的积分
目录
• 瑕积分 • 复积分 • 曲线积分 • 曲面积分
01 瑕积分
定义
01
瑕积分是定积分的种推广，它允许函数在积分区间内存在间断点。
02
瑕积分定义为：对于函数f(x)在区间[a, b]上的瑕点c，计算积分 ∫(a到c)f(x)dx和∫(c到b)f(x)dx的和，其中c在[a, b]内。
奇偶性是指曲面积分的结果与被积函数的奇偶性有关。如果被积函数是偶函数，则积分结果为正；如果被积函数是奇函数，则积分结果为0。
周期性是指曲面积分的结果可能与被积函数的周期性有关。如果被积函数具有周期性，则积分结果可能与该周期有关。
应用
01
曲面积分在物理学中有广泛的应用，如计算磁场强度、电场强度、引力场强度等。
02
在工程学中，曲面积分可以用于计算流体动力学中的压力分布、
温度分布等。
在经济学中，曲面积分可以用于计算供需曲线下的面积，从而
03
得到供需平衡点。
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曲线积分还具有积分区间的可加性，即对于两个区间的曲线积分，可以分别对每个区间进行曲线积分后再求和。

几种特殊类型函数的积分-34页PPT文档资料

) 1 arx c C t.an
5
5
5
19.09.2019
11
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例6 求
解: 原式 x22x3 dx
1 2
d(x22x3) x22x3
3
dx(1) (x1)2( 2)2
1lnx22x33arctxa1nC
19.09.2019
1
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一、有理函数的积分
(Integration of Rational Function) 有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数.
Q P ( (x x ) )b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
9
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例4 求积分
1
x3
2x2
dx. x
解：
1 dx
x3 2x2 x

x(
1 x
1)2dx
例2
19.09.2019
1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln|x|1 ln|x1|C. x1
k为正，整 p2数 4q0
19.09.2019
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3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 (xa)k，则分解后为 (x A 1 a)k(x A a 2)k1 xA ka,
其中 A1 , A2 ,, Ak都是待定的常数. （2）分母中若有因式 (x2px q)k，其中

常用特殊分数

常用特殊分数
特殊分数是我们常常遇到的一种分数，它们可以帮助我们更快速
地计算、比较数值大小以及简化运算。

下面介绍一些常用的特殊分数：
1. 二分之一：二分之一是最常用的特殊分数之一，它可以用来表
示许多实际生活中的情况，例如一杯水的一半、一个圆的一半、一个
棋子向前移动一步等等。

2. 三分之一：三分之一是另外一个常用的特殊分数，它可以用来
表示很多比例和概率问题，例如一个蛋糕切成三等份后，每份的大小
就是三分之一。

3. 四分之一：四分之一也是常用的特殊分数之一，它可以用来表
示许多表格、图表中的数据比例，例如四个季度中，每个季度的销售
额就可以表示为四分之一。

4. 五分之一：五分之一可以用来表示很多数学问题中的比例关系，例如一个长度为五的线段可以被分成五份，每份的长度就是五分之一，这样就可以很方便地计算出线段中某一份的长度。

5. 八分之一：八分之一也是一个常用的特殊分数，它可以用来表
示很多地图、图纸中的比例尺，例如如果一张地图的比例尺为1：8000，那么地图上的每个单位长度就相当于现实中的八分之一。

以上是一些常用的特殊分数，它们可以让我们的计算更加便捷、
准确。

当然，在日常生活中，我们还可以发现更多有趣的应用，例如
一瓶饮料喝了三分之二，还剩下多少、用红、黄、绿三种颜色分别表
示交通信号前进、减速和停止等等。

掌握这些特殊分数，不仅可以帮
助我们更好地理解知识，还可以让我们更好地应对现实生活中的问题，是一项很实用的技能。