高考数学复习题三角函数的图像与性质
2023年高考数学复习满分训练必做题(新高考专用)专题4-2 三角函数的图像与性质(练习版)
专题4.2 三角函数的图像与性质【647】．（2022·全国·高考真题·★★★）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【648】．（2020·全国·高考真题·★★★）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【649】．（2019·全国·高考真题·★★★）函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【650】．（2019·全国·高考真题·★★★★） 关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【651】．（2007·海南·高考真题·★★）函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A ．B ．C ．D ．【652】．（2015·全国·高考真题·★★）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【653】．（2012·浙江·高考真题·★★★）把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【654】．（2011·全国·高考真题·★★） 设函数，则（）A ．函数()f x 在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线对称； B ．函数()f x 在(0,)2π上单调递增，其图象关于直线对称； C ．函数()f x 在(0,)2π上单调递减,其图象关于直线对称； D ．函数()f x 在(0,)2π上单调递减,其图象关于直线对称；【655】．（2018·全国·高考真题·★★★）若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．4πB ．2π C ．34π D ．π【656】．（2018·天津·高考真题·★★★）将函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【657】．（2016·全国·高考真题·★★★） 函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=【658】．（2013·全国·高考真题·★★）若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图，则=ω（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【659】．（2020·海南·高考真题·★★）（多选题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【660】．（2022·全国·高考真题·★★★★）（多选题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ） A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线 【661】．（2021·全国·高考真题·★★）已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.【662】．（2021·全国·高考真题·★★★）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【663】．（2020·全国·高考真题·★★★★）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【664】．（2011·江苏·高考真题·★★★）函数()sin()(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0A ω>>）的部分图象如图所示，则_____________【665】．（2022·全国·模拟预测·★★★★）（多选题）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．()f xC ．()f x 的图像关于直线8x π=-对称D ．将()f x 的图像向右平移8π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数 【666】．（2022·全国·模拟预测·★★★）（多选题）已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()3cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 在()3,4ππ上单调递增C ．()32f x >的解集为()4,43k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ．D ．()f x 的图象的对称轴方程为()3x k k ππ=-∈Z【667】．（2022·全国·模拟预测·★★★）（多选题）函数()()()cos 02f x x ωϕϕπ=+≤<的部分图像如图所示，则（ ）A ．3ω=B ．65ϕπ=C ．函数()f x 在314,55ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 图像的对称轴方程为()315k x k ππ=-∈Z 【668】．（2022·山东师范大学附中模拟预测·★★★★）（多选题）已知函数()()sin 0,R f x x x x ωωω=>∈的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移π3个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的结论正确的是（ ） A ．函数()g x 是偶函数 B ．()g x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()g x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[1，2]【669】．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测·★★★）（多选题） 已知函数()cos 2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．直线2x π=为函数f (x )图像的一条对称轴B ．函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2π后得到()cos22sin 2g x x x =+ C ．函数f (x )在[－2π，2π]上单调递增D ．函数()f x 的值域为[－2 【670】．（2022·内蒙古包头·二模·★★★）已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则满足条件()54f x f π⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()703f x f π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭<⎝的最小正偶数x 为___________.【671】．（2022·天津河西·一模·★★★）函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0>ω，0A >，π2ϕ<）的图象如图所示，则()f x 在点,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为______． 【672】．（2022·四川·成都七中三模·★★★★）已知函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则函数()ln(1)y f x x =--的零点个数是______个．【673】．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测·★★★★）已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ） A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【674】．（2022·上海青浦·二模·★★★）已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为⎡-⎣，则b a -的取值范围是（ ） A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【675】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★）将函数()πsin(2)6f x x =+的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．π()sin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调C ．()g x 的图象关于直线π2x =对称D ．当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【676】．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测·★★★） 函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【677】．（2022·广东茂名·二模·★★★）已知函数π())(||)2f x x ϕϕ+< 的部分图象如图所示．将函数()f x 的图象向左平移 π12个单位得到()g x 的图象，则（ ）A ． ()3sin(2)6g x x π=+） B ．()3sin(2)12g x x 5π=+C ．()2g x x =D ．()2g x x =【678】．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测·★★★）若函数()f x 过点，其导函数()cos(2)0,02f x A x A πϕϕ⎛⎫'=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．0B ．12C ．22D ．2 【679】．（2022·黑龙江·哈九中三模·★★★★）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x ，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【680】．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测·★★）函数sin 22cos x x y x=-的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【681】．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测·★★）如图是函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数()2cos2g x x x =-的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 【682】．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测·★★★）函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ．【683】．（2022·山东潍坊·模拟预测·★★★）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，现将()f x 的图像向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则()g x 的表达式可以为（ ）A ．2sin 2g x xB ．()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()2sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2cos 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【684】．（2022·全国·模拟预测·★★★）已知函数()|sin()|0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ B ．()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．()3sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ D ．()3sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 【685】．（2022·上海金山·二模·★★）已知向量()()sin2,2cos ,3,cos a x x b x ==，则函数()1,,22f x a b x ππ⎡⎤=⋅-∈-⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为__________. 【686】．（2022·上海闵行·二模·★★）若函数cos y x x +的图像向右平移ϕ个单位后是一个奇函数的图像，则正数ϕ的最小值为___________；【687】．（2022·山东日照·三模·★★）已知函数()()(2sin 0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则ϕ=________．【688】．（2022·上海·模拟预测·★★★）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条7π4π()()043f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---< ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最大负整数x 为_________．【689】．（2022·北京工业大学附属中学三模·★★★） 已知函数ππ()sin()sin()44f x x x =+-给出下列四个结论： ①f (x )的值域是[1,1]-；②f (x )在π[0,]2上单调递减： ③f (x )是周期为π的周期函数④将f (x )的图象向左平移π2个单位长度后，可得一个奇函数的图象 其中所有正确结论的序号是___________．【690】．（2022·四川·模拟预测·★★★★）已知函数()cos 22cos 2f x x x π=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） ①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 是奇函数；③()f x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；④()f x 在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 【691】．（2022·江西·新余市第一中学三模·★★★★）已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><<，若函数()y f x =的部分图象如图，函数()g x =()sin A Ax ϕ-，则下列结论正确的是___________．（填序号） ①函数()g x 的图象关于直线π12x =-对称； ②函数()g x 的图象关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象；④函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【692】．（2022·天津红桥·二模·★★★）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=__________. 【693】．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模·★★★）函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωφωφπ=+>><<的部分图象如图所示，则φ=___________.【694】．（2022·江西·模拟预测·★★★★） 如图是函数()sin(2)||,02f x A x A πθθ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭的部分图像，()()0f a f b ==，且对不同的12,[,]x x a b ∈，若12()()f x f x =，有12()f x x +=θ=____________．【695】．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测·★★★）已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有______．（填序号）①方程()()3π60,2f x g x x ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为7π12；②不等式()()g x f x ≥ππ5ππ,3262k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于7π24x =对称．。
高考数学四海八荒易错集专题三角函数的图像与性质理
专题06 三角函数的图像与性质1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 由题意可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，故选D.2．若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 答案 B3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度答案 A5．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.833 B.163 3 C ．8 D ．16答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝2－a22＋a22＝25，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得，T2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6， 由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.6．义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．7．已知函数f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx － 3 (a >0，ω>0)的最大值为2，x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R |f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为6. (1)求函数f (x )的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．解 (1)f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝a sin2ωx ＋3cos2ωx . 由题意知f (x )的最小正周期为12， 则2π2ω＝12，得ω＝π12. 由f (x )的最大值为2，得a 2＋3＝2， 又a >0，所以a ＝1. 于是所求函数的解析式为f (x )＝sin π6x ＋3cos π6x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3，令π6x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝1＋6k (k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1＋6k (k ∈Z )．易错起源1、 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1、(1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32) D ．(－32，12)(2)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 (1)A (2)－1解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝2×－2－1－22＋1＝－1. 【变式探究】(1)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4 C.5π4 D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin2α＋cos2α＋11＋tan α＝________.答案 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.【名师点睛】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【锦囊妙计，战胜自我】1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．易错起源2、三角函数的图象及应用例2、(1)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f (π3)的值为________．答案 (1)B (2)1解析 (1)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位． (2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点(π6，2)，所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)，因此f (π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1.【变式探究】(1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(2)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 (1)A (2)C【名师点睛】(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【锦囊妙计，战胜自我】 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x―――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)10sin()y x ωωωϕ>−−−−−−−−→横坐标变为原来的()倍纵坐标不变＝＋―――――――――――→纵坐标变为原来的A A >0倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 易错起源3、 三角函数的性质例3、已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos2x )＝12sin2x －32cos2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．【变式探究】设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＋a (a ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin2x ＋a ＝1＋cos2x ＋sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )单调递增．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．【名师点睛】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式； 第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．三角函数的单调区间：y ＝sin x 的单调递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．1．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )答案 A解析 根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π.故选A.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3答案 C解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为y ＝cos[3(x ＋π3)－π3]＝cos(3x ＋2π3)，故选C. 3．已知tan α＝3，则cos π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3答案 A解析 cos π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13. 4．已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α等于( ) A ．－32 B.32C ．－12D.12答案 D 解析 由条件，得抛物线的准线方程为y ＝1，因为点A (－3，a )在抛物线y ＝－14x 2的准线上，所以a ＝1，所以点A (－3，1)，所以sin α＝13＋1＝12. 5.函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)的值为( )A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 2答案 A解析 由图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ， ∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2015＝8×251＋7，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2015)＝0.6．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________． 答案 2＋ 3解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6， 因此当πx 6－π3＝π2时， 函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最大值，即y max ＝2×1＝2. 当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最小值， 即y min ＝2sin(－π3)＝－3， 因此y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3. 7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________． 答案 [－32，3]8．已知α是三角形的内角，若sin α＋cos α＝15，则tan α＝________. 答案 －43解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＋cos α＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－35，cos α＝45.因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43. 方法二 由已知得(sin α＋cos α)2＝125， 化简得2sin αcos α＝－2425， 则可知角α是第二象限角，且(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925， 由于sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝75， 将该式与sin α＋cos α＝15联立， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43. 9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若f (α)＝35，其中π4<α<3π4，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值； (2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35， 且0<α－π4<π2， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)g (x )＝f (x )·f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos2x . x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 则当x ＝0时，g (x )的最大值为12； 当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14. 10．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 11．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f (12)＝________.答案 2212．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值． 解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1. 又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2， 所以f (x )＝2sin(x ＋π4)． 令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )． 故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )． (2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x＝3＋3sin2x ＋3(cos2x ＋1)＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)， 又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3， 即sin(2x ＋π6)＝－12. 因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)， 所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.。
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质一、单选题1．函数()41sin 2x xf x x -=⋅的部分图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．()sin 733x xxf x -=- B ．()sin 733x xxf x -=- C ．()cos 733x xxf x -=- D ．()cos 733x xxf x -=- 3．函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的部分图象如图，()f x 的最小正零点是512π，则()f x =（ ）A ．72sin 12x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2sin 26x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．sin(2)6x π+4．函数()43f x cos x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴可能是直线x =（ ）A ．53-B ．13- C ．3π D ．43π5．现有四个命题： ①()0,1x ∃∈，tan 2x x +=； ②ππ,42x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，1tan 4tan 1x x +≥-； ③函数()cos tan f x x x x =+的图象存在对称中心；④函数函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小为π．其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移6π个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的值可以为（ ） A ．2π-B ．6πC ．3π D ．2π 7．将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()g x 的周期为π B ．π162g ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数()g x 是奇函数D ．直线πx =是函数()g x 的一条对称轴8．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(]0,2C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦9．已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩若()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点，()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点，则正数a 的取值范围是（ ） A ．138,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1910,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．819,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，那么=2f π⎛⎫⎪⎝⎭（ ）AB ．12CD11．函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0>ω，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ）A ．()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12．下列函数为偶函数的是（ ） A ．2cos y x x = B ．sin y x =- C ．tan2y x = D ．cos sin y x x =+二、填空题13．设函数()sin f x x =，[],x a b ∈，其值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，设b a -最大值为M ，最小值为N ，则M N -=________14．函数sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为________．15．已知()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，π02ϕ<<）的图像过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，要使该函数解析式为()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，还应该给出的一个条件是________．16．若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图，则ω=________．三、解答题17．已知函数()sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0ϕπ<<，0>ω）图象的一条对称轴方程为12x π=，且()f x 相邻的两个零点间的距离为2π.（1）求()f x 的解析式； （2）求方程()34f x =在区间[]0,2π内的所有实数根之和.18．已知函数()4sin()10,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且(0)3f =.（1）求ω和ϕ的值.（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象， ①求函数()g x 的单调递增区间；②求函数()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.19．已知()()()()()()2sin cos sin 2cos 6211cos cos cos 22x x x x f x x x x πππππππ⎛⎫---⋅--⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫-⋅-++ ⎪⎝⎭．（1）化简函数()f x 的解析式； （2）设函数()324g x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调增区间．20．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域.21．已知函数()15sin 22cos 242f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期和单调区间；（2）若()2f x t =在744ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有4个解，求t 的取值范围.22．已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π. （1）求函数()f x 的单调减区间;（2）求函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域; （3）若方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解，求实数m 的取值范围.参考答案1．A 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再根据特殊的函数值排除一个后可得． 【详解】4141()sin()sin ()22x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=，为偶函数，排除BD ，又(0)0f =，排除C ． 故选：A ． 2．D 【分析】由图象知()f x 是奇函数且当0x +→时()f x →+∞，结合各选项的解析式，利用奇偶性定义排除偶函数选项及0lim ()x f x +→=-∞的选项即可. 【详解】由图象知：()f x 是奇函数，而()()sin(7)sin 7()3333()x x x x f x x xf x -----===---，即为偶函数，排除A ；同理B 中()f x 也是偶函数，排除；当0x +→时，由图知()f x →+∞，而cos 71x →且33x x ->，此时cos 73(3)x xxf x -=→-∞-，故排除C. 故选：D 3．B 【分析】由图可得2A =，令()0f x =有(61)6k x πω-=，根据()f x 的最小正零点是512π求ω，即可写出()f x 的解析式.【详解】由图知：2A =，令()2sin()06f x x πω=+=，∴sin()06x πω+=，则(61)66k k x πππωωω-=-=，∵()f x 的最小正零点是512π，且0>ω， ∴当1k =时，55612x ππω==，得2ω=. ∴()2sin(2)6f x x π=+.故选：B 4．A 【分析】先计算出函数的对称轴，再适当地取k 的值进而得到答案. 【详解】 令(3)Z x k k πππ-=∈，解得()1Z 3k x k =+∈. 当2k =-时，53x =-.故选：A. 5．B 【分析】根据单调性判断①，结合基本不等式判断②，根据函数的奇偶性判断③，由正切型函数的周期判断④． 【详解】因为()tan f x x x =+在()0,1上单调递增，且()00f =，()π11tan11tan 24f =+>+=， 所以()0,1x ∃∈，tan 2x x +=．①正确当ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 1x >，()1,x ∀∈+∞，1111311x x x x +=-++≥--，当且仅当2x =时等号成立，②错；因为()()cos tan f x x x x f x -=--=-，所以()cos tan f x x x x =+为奇函数， 图象关于原点对称．③正确；函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期π2T =．④错误．故①③为真命题． 故选：B ． 6．B写出平移后解析式，再由对称性得出ϕ值． 【详解】平移后解析式为()sin 2()sin(2)63g x x x ππϕϕ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦，它的图象关于y 轴对称，则,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈，只有B 满足．故选：B ． 7．C【分析】由三角函数图象变换写出()g x 的解析式，然后余弦函数性质判断各选项． 【详解】由题意()sin 2()sin(2)cos 2662g x x x x πππ⎡⎤=++=+=⎢⎥⎣⎦，最小正周期是22T ππ==，A 正确； 1cos 632g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，B 正确；()cos(2)cos 2()g x x x g x -=-==，()g x 是偶函数，C 错误；()cos 21g ππ==为最大值，x π=是()g x 的一条对称轴，D 正确．故选：C ． 8．D【分析】根据正弦型函数的单调性，结合题意进行求解即可. 【详解】 当22()22k x k k Z πππωπ-≤≤+∈时，因为0>ω，所以有11(2)(2)()22k x k k Z ππππωω-⋅≤≤+⋅∈，因此函数()sin (0)f x x ωω=>的递增区间为：2222[,]()k k k Z ππππωω-+∈，因为函数()sin (0)f x x ωω=>在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以令0k =，且有32424ππωππω⎧⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪-≥⎪⎩，因为0>ω，所以解得：203ω<≤，9．B 【分析】作出1sin 2x =-与1cos 2x =-的图象，结合图象即可求解【详解】因为方程1sin 2x =-在[),0π-上的解为56π-，6π-，所以当()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点时，100.3a π<<因为方程1cos 2x =-在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为23π，43π，所以当()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点时，136a π-≤-，即136a π≥ 综上，正数a 的取值范围是1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B 10．B 【分析】本题可根据最大值为1求出1A =，然后根据周期的14为4π求出2ω=，再然后根据过点,13π⎛⎫⎪⎝⎭求出6πϕ=-，最后代入2x π=，即可得出结果.【详解】因为最大值为1，所以1A =，()()sin f x x ωϕ=+，因为周期的14为4π，所以最小正周期为π，2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+，因为过点,13π⎛⎫⎪⎝⎭，2πϕ<，所以21sin 3πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，解得6πϕ=-，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则51sin sin6226f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11．C 【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可. 【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =， 由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=， 因为0>ω，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<， 所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：C 12．A 【分析】根据奇偶性的定义判断各选项函数的奇偶性即可. 【详解】A ：22()()cos()cos ()y f x x x x x f x =-=--==且x ∈R ，偶函数；B ：()sin()sin ()y f x x x f x =-=--==-且x ∈R ，奇函数；C ：()tan2()tan 2()y f x x x f x =-=-=-=-且24k x ππ≠+ ()k ∈Z ，奇函数； D ：()cos()sin()cos sin y f x x x x x =-=-+-=-且x ∈R ，非奇非偶函数. 故选：A 13．23π【分析】令117sin ,2+26x x k ππ=-∴=或2122,6x k k k Z ππ=-∈，.令33sin 1,2,2x x k k Z ππ=∴=+∈.求出,M N 即得解.令117sin ,2+26x x k ππ=-∴=或2122,6x k k k Z ππ=-∈，.令33sin 1,2,2x x k k Z ππ=∴=+∈.当172+6a k ππ=或2122,,6a k k k Z ππ=-∈，且332,2b k k Z ππ=+∈所以3122()3b a k k ππ-=--或3222()3b a k k ππ-=-+.当320k k -=时，23b a N π-==；当2126a k ππ=-，且172,6b k k Z ππ=+∈时， 所以1242()3b a k k ππ-=-+.当120k k -=时，43b a M π-==.所以23M N π-=.故答案为：23π 14．23π 【分析】根据正弦函数的周期求解． 【详解】函数sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23T π=．故答案为：23π． 15．2ω=或周期πT = 【分析】由余弦型三角函数的周期可判断所需条件. 【详解】解：由图像过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭可知3πϕ=，若求出解析式还需要一个和ω相关的量，故可直接给出条件2ω=或周期T π=. 故答案为：2ω=或周期T π=. 16．4根据正弦函数图象的对称性求得函数的周期，进而可求得ω. 【详解】由正弦函数图象的对称性得函数的周期00242T x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以22ππω=，解得4ω=.故答案为：4.17．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）133π. 【分析】（1）依题意可得T π=，即可求出ω，再根据函数的对称轴求出ϕ，即可求出函数解析式； （2）作出()y f x =与34y =的大致图象，根据函数的对称性计算可得； 【详解】 （1）()f x 相邻的两个零点间的距离2π， ∴()f x 的最小正周期222T πππω==⨯=，∴2ω=.又函数()f x 图象的一条对称轴方程为2x π=，∴21262k πππϕπ⨯+-=+()k Z ∈，即2k πϕπ=+()k Z ∈，而0ϕπ<<，∴2ϕπ=. 故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()f x 的最小正周期为π，所以()f x 在[]0,2π内恰有2个周期. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，即函数的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈，因为34<，作出()y f x =与34y =的大致图象如图.由图可知两个图象在[]0,2π内有4个交点，横坐标依次为1x ，2x ，3x ，4x ， 且1x 与2x 关于712x π=对称，3x 与4x 关于1912x π=对称， 所以1276x x π+=，34196x x π+=， 故所有实数根之和为133π18．（1）2ω=，6π=ϕ；（2）①,(k )2k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ；②最大值为3.【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到()g x 的解析式. ①根据余弦型函数的单调性进行求解即可； ②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】解：（1）()f x 的最小正周期为π，0>ω 所以2ππ=ω， 即2ω=. 又因为(0)3f =， 所以1sin 2ϕ=，因为|2πϕ<，所以6π=ϕ. （2）由（1）可知()4sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度(纵坐标不变)， 所以2()()4sin(2)14cos 21336g x f x x x πππ=-=-++=-+. ①由2[2,2]()x k k k Z πππ∈+∈，得函数()g x 的单调递增区间为,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.②因为03x π≤≤，所以2023x π≤≤. 当223x π=， 即3x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为33g π⎛⎫= ⎪⎝⎭.19．（1）()2cos f x x =-；（2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈． 【分析】（1）利用三角上的诱导公式，准确运算，即可求解；（2）由（1）得到()2sin 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）结合诱导公式得()()()()()()2sin cos sin 2cos 6211cos cos cos 22x x x x f x x x x πππππππ⎛⎫---⋅--⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫-⋅-++ ⎪⎝⎭ ()()()()22cos sin cos cos sin cos x x x x x xπ⋅-⋅-=-⋅-2sin cos 12cos 2cos cos sin cos x x x x x x x -=⋅⋅⋅=---， 所以函数()2cos f x x =-．（2）根据（1）可得()322cos 22sin 24244g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令222242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得388k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以函数()g x 的单调增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈． 20．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.【分析】（1）由最大值求得A ，由周期求得ω，代入一个点的坐标求得ϕ，得解析式； （2）求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数的性质得出值域． 【详解】解：(1)根据函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象，可得32134123πππω⋅=-，求得2ω=，∴最小正周期22T ππ==， 再根据五点法作图可得23πϕπ+=，;3πϕ∴=∴函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+．(2)?,44x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，52,366x πππ⎛⎤∴+∈- ⎥⎝⎦1sin 2,132x π⎛⎫⎛⎤∴+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，函数()f x 在区间,44ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦21．（1）2T π=，单调增区间是52244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，单调减区间是592244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈；（2）(22t ⎤⎡∈-⋃⎦⎣.【分析】（1）利用二倍角公式结合二次函数化简函数，利用周期的概念求得周期，利用复合函数单调性求得函数单调性；（2）根据x 的范围求得2t 的范围，从而求得结果. 【详解】解：（1）()215cos 22cos cos 2cos 2224244f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos 114x π⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()()22cos 211cos 12144x x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2T π=，设cos 4m x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，[]1,1m ∈-，则函数()211y m =-+在[]1,1-上单调递减，对于函数cos cos 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当224k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，即 x ∈52244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，时，cos 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减， 当2224k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，即 x ∈592244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，时，cos 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故函数()f x 单调增区间是52244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，单调减区间是592244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈.()2由上述单调性知若()2f x t =在744ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有4个解，且74f π⎛⎫ ⎪⎝⎭27cos 1144ππ⎛⎫⎛⎫=--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，且34f π⎛⎫ ⎪⎝⎭23cos 1144ππ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，()54f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭25cos 11544ππ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以225t ≤<，所以(22t ⎤⎡∈-⋃⎦⎣.22．（1）()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]0,2；（3）112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0- 【分析】（1）利用三角函数的定义求出ϕ的值，由题意知223T ππω==可得ω的值，进而可得()f x 的解析式，利用整体代入法以及正弦函数的单调性即可求解； （2）由x 的范围求出33x π-的范围，利用正弦函数的性质即可求解； （3）设()(]0,2f x t =∈，将问题转化为y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，数形结合可得112m -=-或010m ≤-<，即可求解. 【详解】（1）因为角ϕ的终边经过点(1,P ，所以tan ϕ= 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，因为当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 所以223T ππω==，可得：3ω=，所以()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈解得：()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调减区间为()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）当4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，033x ππ<-<， 所以0sin 313x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以()02sin 323f x x π⎛⎫<=-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域为(]0,2，（3）设()(]0,2f x t =∈，因为方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 则230t t m -+=在(]0,2t ∈内有一根或两个相等的实根，因为23m t t -=-，所以y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，作出y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象，由图知：当16t =时211136612y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭；当0t =时，0y = ；当2t =时，232210y =⨯-=， 所以112m -=-或010m ≤-≤直线y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点， 当10m -=时，2t =，此时方程()2sin 323f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭只有一解，不符合题意，所以112m -=-或010m ≤-<，即方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 所以：112m =或100m -<≤所以实数m 的取值范围为：112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0-。
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质一、单选题1．下列函数中，是奇函数且最小正周期为π的是（ ） A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．sin 2xy =D ．tan 2y x =2．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ） A ．132g π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()g x 在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．24x π=-是()g x 图象的一条对称轴D ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 图象的一个对称中心3．已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，若()f x 的图象向右平移2π个单位后与()f x 的图象重合，当ω最小时，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在30,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 在711,1616ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的图象关于点3(,0)16π中心对称4．已知函数()cos 22f x x x =，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 的周期为πB ．3x π=是()f x 的一条对称轴C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递增区间D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递减区间5．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度6．函数1()sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．关于函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列叙述正确的是（ ）A ．最小正周期为π，渐近线为直线：()2x k k Z ππ=+∈B ．最小正周期为2π，渐近线为直线：()6x k k Z ππ=+∈C ．最小正周期为π，渐近线为直线：()212k x k Z ππ=+∈ D ．最小正周期为2π，渐近线为直线：()212k x k Z ππ=+∈ 8．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭二、多选题9．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为23π，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．最大值为2D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称11．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．把()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到函数()2cos2g x x =的图象C ．()f x 在区间11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心12．下列函数在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数的是（ ）A ．sin y x =-B ．cos y x =C ．sin y x =D ．cos y x =三、填空题13．函数()2cos(2)6f x x π=-数在[0,]π上的单调增区间为________.14．函数()sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为________.15．已知()πcos 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），ππ63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内有最小值，无最大值，则ω=________．16．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 的图象向右平移2π个单位后与()f x 的图象重合，当ω最小时，给出下列结论： ①ω的最小值为4②()f x 在30,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增③()f x 在711,1616ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减④()f x 的图象关于直线2x π=对称⑤()f x 的图象关于点3,016π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中心对称其中，正确结论的编号是____________（填写所有正确结论的编号）． 四、解答题17．已知函数()4cos sin 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围.18．已知函数()22()cos )12sin f x x x x +--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并求取得最值时相应的x 的值．19．（1）用列表描点法画出1π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈的简图；（2）结合函数()f x 的图象，若方程()f x m =，其中[]0,2πx ∈有两个实数解，求m 的取值范围.20．已知函数()()24cos sin sin cos sin 1(co 24)s xf x x x x x x π=++⎛⎫+ ⎪⎝+-⎭.（1）常数0>ω，若函数()y f x ω=在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的取值范围；（2）若函数()()()21212g x f x af a x x af π⎛⎫+-⎡⎤=--⎢⎥⎣- ⎦⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，求实数a 的值.21．如图，已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<，点A ，B 分别是()f x 的图像与y轴，x 轴的交点，C ，D 分别是()f x 的图像上横坐标为π2，2π3的两点，//CD x 轴，且A ，B ，D 三点共线.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）若()1213f α=，ππ,123α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求π4f α⎛⎫- ⎪⎝⎭.22．函数()2cos2f x x x =+的部分图象如图所示．（1）将函数()f x 化为()()sin f x A x =+ωϕ的形式； （2）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （3）求()f x 的单调递减区间．参考答案1．B 【分析】根据三角函数奇偶性和周期公式逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A ：cos 2y x =是偶函数，周期为2ππ2=，故选项A 不正确； 对于B ：sin 2y x =是奇函数，周期为2ππ2=，故选项B 正确； 对于C ：sin 2x y =是奇函数，周期为2π4π12=，故选项C 不正确；对于D ：tan 2y x =是奇函数，周期为π2，故选项D 不正确； 故选：B. 2．C 【分析】利用三角函数的图象伸缩变换求得()g x ，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，坐标不变，得到函数()g x 的解析式 ()sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ：sin 4sin 0333g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：由()242,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得，()5,242242k k x k Z ππππ-+≤≤+∈，故()g x 在区间5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有增有减，故B 错误；对于C ：sin sin 124632g ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以24x π=-是()g x 图象的一条对称轴，故C 正确；对于D：2sin sin 6333g ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是()g x 图像的一个对称中心，故D 错误．故选：C ．3．D 【分析】依题意可得()πsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()f x 的单调递增区间可判断A 和B ；由2f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断C ；由316f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断D.【详解】因为()f x 的图象向右平移π2个单位后与()f x 的图象重合，所以π2是()f x 一个周期，又0>ω，所以π2π2k ω=⋅，Z k ∈，所以4k ω=，ω的最小值为4，所以()πsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由πππ2π42π242k x k -+≤+≤+，解得3ππππ,Z 162162k k x k -+≤≤+∈，当0k =时，()f x 的单调增区间为3ππ,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1k =时，()f x 的单调增区间为5π9π,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以A ，B 错误；而ππsin 2π124f ⎛⎫⎛⎫=+≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 错误；3π3ππsin 01644f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确. 故选：D. 4．C 【分析】根据余弦型函数()cos y A x ωϕ=+的性质依次判断. 【详解】因为()cos 222cos 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，最小正周期22T ππ==， ()23f π=-，故3x π=是()f x 的一条对称轴，且,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是单调递减区间， 2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是单调递增区间，所以C 错. 故选: C. 5．D 【分析】对函数进行变形sin 2sin 2666y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可得解.【详解】sin 2sin 2666y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移6π个单位长度.故选：D 6．C 【分析】直接求函数的零点，再确定区间,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数.【详解】 令23x k ππ-=，k Z ∈，解得：62k x ππ=+，k Z ∈， 因为,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦，所以2,363x πππ=-，，共3个零点.故选：C 7．D 【分析】直接利用正切型函数性质求解，即可得出结果. 【详解】解：由函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可知最小正周期2ππT ω==.令()232x k k Z πππ+=+∈，解得()122k x k Z ππ=+∈.故选：D. 8．D 【分析】根据题意，设()sin ,,22y x ππωϕϕ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，利用函数图象求得,ωϕ，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可. 【详解】由题意，设()sin ,,22y x ππωϕϕ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，由图象知：41264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以T π=， 所以22πωπ==，因为点,112π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，所以πsin φ16， 则2,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得3πϕ=，所以函数为sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即cos 2cos 2cos 22366y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D 9．AC 【分析】根据函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为23π，由223ππω=求得3ω=，再逐项判断. 【详解】因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为223ππω=，所以3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故函数sin 312f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭为奇函数，故A 正确；由,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，sin y x =在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，所以函数()f x 不单调，故B 错误； 当4x π=时，sin 3sin 14442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，故()f x 的图象关于直线4x π=对称，故C 正确；函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()sin 3sin 3sin 44y x x x πππ⎛⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭⎫⎪⎝⎭的图象，故D 错误，故选：AC ． 10．AD 【分析】首先根据辅助角公式化简函数()2244f x x x ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，然后根据选项，依次判断函数的性质. 【详解】()2244f x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以函数是偶函数，故A 正确；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；C 错误；当4x π=时，sin02y π==，所以函数图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确. 故选：AD 11．ACD 【分析】根据图象求出求出函数解析式，根据平移变换判定B ，结合图象判定C ，计算2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判定D【详解】 由图可得：3532,41234T A πππ==+=，所以最小正周期T π=，所以A 选项正确； 2,2T ππωω===()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，510102sin 2,21212122f k ππππϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，k Z ∈ 2,3k k Z πϕπ=-+∈，2πϕ<，所以3πϕ=-，()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到：()2sin 22sin 22cos 21232x x g x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，所以B 选项错误；结合图象和周期可得函数的一个减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以C 选项正确；2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心，D 选项正确.故选：ACD 12．AD 【分析】对AB ，直接根据正余弦函数的单调区间判断，对CD ，对正余弦函数在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的区间正负，去绝对值判断即可 【详解】对A, sin y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故sin y x =-在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；对B, cos y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数；对C, sin sin ,,2y x x x ππ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，故sin y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；对D, cos cos ,,2y x x x ππ⎡⎤==-∈⎢⎥⎣⎦，故cos y x =在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数故选：AD 【点睛】遇到绝对值时可先分析绝对值中的正负去绝对值，再根据正余弦函数的单调性判断变化后的函数单调性13．0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先根据余弦函数的性质求出函数的在R 上的单调递增区间，再与所给区间求交集即可； 【详解】解：因为()2cos(2)6f x x π=-，令2226k x k ππππ-+≤-≤，k Z ∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，又因为[0,]x π∈，所以5[0,],0,121212πππ⎡⎤⎡⎤π-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，7137[0,],,121212ππππ⎡⎤⎡⎤π=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 再在区间[0,]π上的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；故答案为：0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；14．23π 【分析】根据周期公式，即可求解. 【详解】函数的最小正周期23T π=. 故答案为：23π 15．143【分析】根据已知条件可得()f x 在π4x =时取得最小值，再由2πππ36T ω=≥-以及0>ω即可求解. 【详解】因为ππ63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的一条对称轴为πππ6324x +==， 又因为()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭内有最小值，无最大值，所以()f x 在π4x =时取得最小值，所以()πππ+2πZ 46k k ω⨯-=∈，可得：()14+8Z 3k k ω=∈，因为2ππππ366T ω=≥-=，可得012ω<≤， 所以0k =，143ω=， 故答案为：143. 16．①⑤ 【分析】()f x 的图象向右平移2π个单位后与()f x 的图象重合，从而可得π2π2k ω=⋅，k Z ∈，求出ω，从而可求出()πsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后求解其单调区间和对称轴，对称中心进行判断即可【详解】解析：因为()f x 的图象向右平移π2个单位后与()f x 的图象重合，所以π2是()f x 一个周期，又0>ω，所以π2π2k ω=⋅，k Z ∈，所以4k ω=，ω的最小值为4，所以①正确； 进而()πsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π42π242k x k -+≤+≤+，解得3ππππ,162162k k x k Z -+≤≤+∈，当0k =时，()f x 的单调增区间为3ππ,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1k =时，()f x 的单调增区间为5π9π,1616⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以②③错误，而ππsin 2π124f ⎛⎫⎛⎫=+≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以④错误，3π3ππsin 01644f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以⑤正确，故答案为：①⑤．17．（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，T π=；（2）(],2-∞. 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简得()f x =2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，由周期公式和正弦函数的单调性可得答案；（2）转化为max ()m f x ≤，由x 的范围得到sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）∵()4cos sin 4cos sin cos cos sin 333f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=⋅⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2sin 2cos 2)x x x x =-=+sin 222sin 23x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 令222232k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，解得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， ∴函数()f x 的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，由（1）可知，()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴当232x ππ-=，即512x π=，()f x 取得最大值2， ∴2m ≤，∴实数m 的取值范围(],2-∞.18．（1）π；（2）当6x π=-2；当4x π=时，最大值为【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步确定函数的最大和最小值． 【详解】（1）函数22()cos )(12sin )sin 2)cos22sin(2)6f x x x x x x x π=+--=+-=-．故函数的最小正周期为22T ππ==． （2）由于[,]44x ππ∈-，所以22[,]633x πππ-∈-，故sin(2)[6x π-∈-．故()f x ∈即当6x π=-2，当4x π=时，函数的最大值为19．（1）答案见解析；（2）332m ≤< 【分析】（1）由[]0,2πx ∈可得1ππ5π,2666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，将1π26x -看成一个整体分别取五个关键点和端点，利用五点法作图即可；（2）问题转化y m =的图象与函数1π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈的图象有两个不同的交点，数形结合即可求解.【详解】因为[]0,2πx ∈可得1ππ5π,2666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，列表如下：图象如图所示：（2）若1π()3sin 26f x x m ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭其中[]0,2πx ∈有两个实数解，则直线y m =的图象与函数1π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈的图象有两个不同的交点，因为1π3(2π)3sin 2π262f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，max ()3f x =，由图知：当332m ≤<时，直线y m =的图象与函数1π()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,2πx ∈的图象有两个不同的交点，即方程()f x m =，其中[]0,2πx ∈有两个实数解， 所以m 的取值范围是332m ≤<.20．（1）(0,1]；（2）2-【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式化简()f x ，即可得到()f x ω，根据正弦函数的性质求出函数的单调递增区间，再由函数在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的单调性，得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得()1sin 2cos i ()2s n g x x a x x a=+---，令cos sin t x x =-，则将函数化为22ay t at =-+-，利用辅助角公式及正弦函数的性质求出t 的取值范围，最后根据二次函数的性质分类讨论计算可得；【详解】解：（1）因为()()24cos sin sin cos sin 1(co 24)s xf x x x x x x π=++⎛⎫+ ⎪⎝+-⎭所以()2221cos sin sin cos 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=+++-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2221sin sin sin cos 12i (s )n x x x x x =-+-+=即()2sin f x x = 则()()2sin y f x x ωω== 由22,,022k x kx k Z πππωω-≤≤+∈>，得1122,,022k x kx k Z πππωωω⎛⎫⎛⎫-≤≤+∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故函数()y f x ω=的单调递增区间为112,2,,022k kx k Z πππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+∈> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为函数()y f x ω=在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以11,2,2,,03222k kx k Z πππππωωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⊂-+∈> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦易得0,k =即,,,,03222k Z ππππωωω⎡⎤⎡⎤-⊆-∈>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则32,022ππωωππω⎧-≥-⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩ 解得01ω<≤故ω的取值范围为(0,1]. （2）由（1）可得()12sin 22sin 2sin 122g x x a x a x a π⎡⎤⎛⎫=-+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 所以()n ()1sin 2co 2s si ,,22g x x x a a x x ππ⎡⎤=+---∈-⎢⎥⎣⎦设cos sin ,t x x =-则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，由3cos sin ,,4444t x x x x ππππ⎛⎫⎡⎤=-=++∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得[t ∈-.则222,224[a a ay t at t t ⎛⎫- ⎪⎝=-+-=--+∈⎭①当12a <-，即2a <-时，在1t =-处，12,2max ay a =---= 解得2a =-(舍去).②当12a -≤≤2a -≤≤2a t =处，2242max a a y =-=解得2,4a a =-=(舍去) ③当2a >a >t =处，222max ay =--=，解得()817a =≥综上，实数a 的值为2-21．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）513.【分析】（1）根据对称关系求解周期得2ω=，代入特殊点的坐标求解ϕ，从而求得函数的解析式； （2）由（1）代入得π12sin 2313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由角的范围求得π5cos 2313α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.再运用诱导公式可求得答案. 【详解】（1）根据题意，点A 与点D 关于点B 对称，∴B 点的横坐标为2π0π323+=. 又点C 与点D 关于直线π2π7π23212x +==对称， ∴()f x 的最小正周期T 满足7πππ41234T =-=，解得πT =，即2ω=. 又()0sin f ϕ=，2π2π4ππsin 2sin sin sin 3333f ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且0πϕ<<，∴π3ϕ=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()π12sin 2313f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又ππ,123α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2+,32παπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5cos 2313α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以πn 4π4si 23f παα⎡⎤⎛⎫=-⎛⎫- + ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎪⎭⎭⎦sin 2sin 2+632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦5cos 2+313πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π5413f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.22．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）π，076x π=，02y =；（3）2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）利用辅助角公式进行化简.（2）根据()f x 的解析式求得最小正周期以及00,x y . （3）利用整体代入法求得()f x 的的单调减区间. 【详解】（1）()2cos2f x x x +2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()f x 的最小正周期为22T ππ==. 由图可知02y =，令00572626x x πππ+=⇒=. （3）由3222262k x k πππππ+≤+≤+解得263k x k ππππ+≤≤+，所以()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.。
高中数学高考总复习三角函数的图像与性质习题及详解
高中数学高考总复习三角函数的图像与性质习题及详解一、选择题1．(2010·枣庄模考)下列函数中，以π为最小正周期的偶函数，且在⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin2x ＋cos2xB ．y ＝|sin x |C ．y ＝cos 2xD ．y ＝tan x[答案] B[解析] 由函数为偶函数，排除A 、D ；由⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数，排除C.2．(文)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992πD ．100π[答案] B[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波峰，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的周期T ＝4， ∴t ≥54T ＝5，故选C.3．(2010·深圳中学)函数y ＝lgsin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递减区间是( ) A ．[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )B ．[k π＋π3，k π＋5π6](k ∈Z )C ．[k π－π6，k π＋π12](k ∈Z )D ．[k π＋7π12，k π＋5π6](k ∈Z )[答案] C[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x >0，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0， ∴2k π－π<2x －π6<2k π，k ∈Z ，∴k π－5π12<x <k π＋π12，k ∈Z ，又在(k π－5π12，k π－π6]上u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单减， 在[k π－π6，k π＋π12)上，u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单增， ∴函数y ＝lg sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调减区间为 [k π－π6，k π＋π12)，k ∈Z .4．(文)将函数y ＝sin x －3cos x 的图象沿x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.7π6B.π2 C.π6D.π3[答案] C[解析] ∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，经平移后函数图象所对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π3，且其图象关于y 轴对称，∴－a －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴a min ＝π6.故选C.[点评] 考虑到偶函数的图象关于y 轴对称，又y ＝cos x 为偶函数，故可直接化y ＝sin x －3cos x ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故只须向右平移π6个单位即可． (理)(2010·广东六校)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 [答案] D[解析] 由函数最小正周期是π2，排除B 选项；由最大值为4，最小值为0可排除A 选项；由x ＝π3为其一条对称轴可知选D.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 [答案] A[解析] 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在函数图象上得，2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6.又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 6．(文)(2010·福建三明一中)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] 由图可知函数的最小正周期是8，根据最小正周期T ＝2πω可得ω＝π4，排除A 、B ，再根据0≤φ≤2π且当x ＝1时y ＝1，可知φ＝π4，故选C.(理)(2010·安徽马鞍山二中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)的值为( )A ．2008 B.40172C ．2009D.40192[答案] D[解析] 由f (x )的图象可以得到A ＝12，b ＝1，T ＝4，所以ω＝π2，故f (x )＝12sin(π2x ＋φ)＋1，再由点⎝⎛⎭⎫1，32在f (x )的图象上，可得φ＝2k π，k ∈Z ， 所以f (x )＝12sin πx2＋1.所以f (1)＝12＋1，f (2)＝0＋1，f (3)＝－12＋1，f (4)＝0＋1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＝2008＋f (2009)＝2008＋f (1)＝40192.7．(2010·山东东营模考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(|φ|<π2)的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称D ．关于直线x ＝π12对称[答案] B[解析] ∵周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，将y ＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位后得到图象对应函数为y ＝sin[2(x ＋π6)＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ为奇函数，∴φ＝－π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )得，x ＝k π2＋5π12，取k ＝0知x ＝5π12为其一条对称轴，故选B. 8．(2010·浙江金华十校)M 、N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．π B.2π C.3πD ．2π [答案] C[解析] 其中与原点最近的两交点M ⎝⎛⎭⎫π4，2π2，N ⎝⎛⎭⎫5π4，－2π2，∴|MN |＝3π.9．(文)已知函数f (x )＝x ·sin x ，x ∈R .则f ⎝⎛⎭⎫－π4，f (1)及f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π4>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫－π4 C ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π4 D ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫－π4>f (1) [答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π4＝f ⎝⎛⎭⎫π4，由于π3>1>π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫－π4，故选C. (理)已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f (x )＝x ＋sin x ，则( ) A ．f (1)<f (2)<f (3) B ．f (2)<f (3)<f (1) C ．f (3)<f (2)<f (1) D ．f (3)<f (1)<f (2) [答案] D[解析] ∵f (x )＝f (π－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，由条件知，f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上单调递减，∵π2<2<π－1<3<3π2，∴f (2)>f (π－1)>f (3)， ∴f (3)<f (1)<f (2)．故选D.10．(2010·山东肥城联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示，若点A 是函数f (x )的图象与x 轴的交点，点B 、D 分别是函数f (x )的图象的最高点和最低点，点C ⎝⎛⎭⎫π12，0是点B 在x 轴上的射影，则AB →·BD →的值是( )A ．8B ．－8 C.π28－8D ．－π28＋8[答案] C[解析] 由图可知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，由2·π3＋φ＝π知，φ＝π3，从而A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B ⎝⎛⎭⎫π12，2，D ⎝⎛⎭⎫7π12，－2，AB →＝⎝⎛⎭⎫π4，2，BD →＝⎝⎛⎭⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π28－8.二、填空题11．(文)(2010·山师大附中模考)将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．[答案] y ＝2cos 2x [解析] y ＝sin2x 错误!y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4――→向上平移1个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1， 即y ＝cos2x ＋1＝2cos 2x .答案不惟一，只要结果可化为y ＝2cos 2x 的都正确．(理)(2010·福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0,0<ω<2，－π2<φ<π2)的图象，列出的部分数据如下表：y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．[答案] y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6[解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x ＝1对称，故x ＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A ＝2，由过(0,1)点知2sin φ＝1，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，再将点(2,1)代入得， 2sin ⎝⎛⎭⎫2ω＋π6＝1， ∴2ω＋π6＝π6＋2k π或2ω＋π6＝5π6＋2k π，k ∈Z ，∵0<ω<2，∴ω＝π3，∴解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6.12．已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值，无最大值，则ω＝________.[答案]143[解析] ∵f (π6)＝f (π3)，∴sin(π6ω＋π3)＝sin(π3ω＋π3)，∴π3ω＋π3＝π6ω＋π3＋2k π (k ∈Z )① 或π3ω＋π3＝π－(π6ω＋π3)＋2k π (k ∈Z )② 由①得ω＝12k ，∵ω>0，k ∈Z ， ∴取k ＝1，ω＝12，周期T ＝2πω＝π6，故在(π6，π3)上既有最大值也有最小值，舍去．由②得ω＝4k ＋23，∵ω>0，k ∈Z ，∴取k ＝1，ω＝143，周期T ＝2π＝3π7，满足题设要求．13．(2010·山师大附中模考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．[答案] y ＝2sin ⎝⎛⎫2x ＋π6[解析] 由图象最高点⎝⎛⎭⎫π6，2知A ＝2， 又T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π6，2代入得2＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ，∵|φ|≤π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 14．(2010·上海大同中学模考)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝________.[答案] 6[解析] y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝－cot π4x ，其周期T ＝ππ4＝4，∴A (2,0)，由－cot π4x ＝1及0<x <4得，x ＝3，∴B (3,1)，∴OA →＝(2,0)，OB →＝(3,1)，AB →＝(1,1)， ∴(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6. 三、解答题15．(文)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．[解析] (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6 ∵T ＝2π2ω＝4π，∴ω＝14.(2)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6∵－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z∴－43π＋4k π≤x ≤23π＋4k π，k ∈Z∴f (x )的单调递增区间为[－4π3＋4k π，2π3＋4k π](k ∈Z )． (理)(2010·湖北黄冈)已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x (a >0，b >0)，f (x )的最大值为1＋a ，最小值为－12.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)f (x )＝a (1＋cos2x )＋b2sin2x＝a 2＋b 24sin(2x ＋φ)＋a ，由题设知a 2＋b 24＝1，a －a 2＋b 24＝－12，所以a ＝12，b ＝ 3所以f (x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为π. (2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z所以f (x )单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．16．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)已知电流I 与时间t 的关系式为I ＝A sin(ωt ＋φ)． (1)如图是I ＝A sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1100秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？[解析] (1)由图可知A ＝300，周期 T ＝2×[1180－(－1900)]＝175∴ω＝2πT＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫150π·1180＋φ＝0 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin(150πt ＋π6)．(2)依题意，周期T ≤1100，即2π≤1100，(ω>0)，高考总复习含详解答案 ∴ω≥200π>628，又ω∈N *，∴ωmin ＝629.17．(2010·湖北黄冈)已知a ＝(3，cos x )，b ＝(cos 2x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －32. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，求函数f (x )的取值范围； (3)函数f (x )的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？[解析] (1)函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32 ＝3⎝⎛⎭⎫1＋cos2x 2＋12sin2x －32 ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ∴由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得 －5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，(k ∈Z ) (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6 ∴当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时f (x )max ＝1 当2x ＋π3＝5π6即x ＝π4时，f (x )min ＝12，∴12≤f (x )≤1. (3)将f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y ＝sin2x 的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)。
高考数学真题09 三角函数的图象与性质问题(学生版)
专题09 三角函数的图象与性质问题【高考真题】1．(2022·北京)已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ，则( )A ．f (x )在(－π2，－π6)上单调递减B ．f (x )在(－π4，π12)上单调递增C ．f (x )在(0，π3)上单调递减D ．f (x )在(π4，7π12)上单调递增2．(2022·浙江) 为了得到函数y ＝2sin3x 的图象，只要把函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π5图象上所有的点( ) A ．向左平移π5个单位长度 B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度3．(2022·全国甲文) 将函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y轴对称，则ω的最小值是( )A ．16B ．14C ．13D ．124．(2022·全国乙理) 记函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T ，若f (T )＝32，x ＝π9为f (x ) 的零点，则ω的最小值为____________．5．(2022·新高考Ⅰ)记函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)＋b (ω＞0)，的最小正周期为T ．若2π3＜T ＜π，且y ＝f (x )的图象关于点(3π2，2)中心对称，则f (π2)＝( )A ．1B ．32C ．52D ．36．(2022·全国甲理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是( )A ．[53，136)B ．[53，196)C ．(136，83]D ．(136，196]【知识总结】1．三种三角函数的图象和性质2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0) 倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 【同类问题】题型一 三角函数的性质1．(2017·山东)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A ．π2B ．2π3 C ．π D ．2π2．函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π3．(2018·全国Ⅰ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π4．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C ．⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 5．(2018·全国Ⅰ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π6．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．57．(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 8．(2017·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 9．(2013·全国Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. 10．已知ω>0，函数f (x )＝sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx －32的最小正周期为π，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得函数g (x )＝cos2x 的图象D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－32题型二 三角函数的图象变换11．(2021·全国乙)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12 B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 12．(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度13．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 214．(2018·天津)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减 15．函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x ) 为偶函数，则φ的值为( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π315．将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．817．若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，为了得到函数g (x )＝sin2x 的图象，则只需将f (x )的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度18．(2019·天津)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝( )A ．－2B ．－2C ．2D ．219．(2016·全国)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )20．将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数A ．最小正周期为23π，最大值为2 B ．最小正周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0中心对称 C ．最小正周期为23π，图象关于直线x ＝π6对称 D ．最小正周期为π，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递减 题型三 关于ω的取值范围21．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在3[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．[2，)+∞B ．(0，2]C ．2[,)3+∞D ．2(0,]322．将函数()cos()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在5(,)44ππ上单调递减，则ω的最大值为( ) A ．14 B ．34 C ．12D ．1 23．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象向右平移4π个单位后所得函数图象与函数()f x 的图象关于x 轴对称，则ω最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．624．已知函数()3sin()f x x ωϕ=+，(0,0)2πωϕ><<，()03f π-=，2()()3f x f x π-=，且函数()f x 在区间(,)124ππ上单调，则ω的最大值为( ) A ．274 B ．214 C ．154 D ．9425．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，若()19f π=，(449)0f π=，()f x 在(,)93ππ上单调递减，那么ω的取值个数是( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．202226．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->，若函数()f x 在区间(0,)π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为( )A ．713(,)66B ．713(,]66C ．611(,)56D ．611(,]5627．已知函数()2sin()sin()(0)63f x x x ππωωω=-+>，若函数3()()2g x f x =+在[0，]2π上有且只有三个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[2，11)3 B ．11(2,)3 C ．710[,)33 D ．710(,)3328．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>在区间[,]43ππ-上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的 取值范围为( )A ．8[,7)3B ．8[,4)3C ．20[4,)3D ．20(,7)329．已知函数1()sin (sin cos )(0)2f x x x x ωωωω=+->在区间(0,)π上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是( )A ．711(,)88B ．711(,]88C ．79(,]88D ．79(,)8830．已知函数3()sin()sin()(0)21472xxf x ωππωω=+->在[0，)π上恰有6个零点，则ω的取值范围是 ( ) A ．4148(,]77B ．3441(,]77C ．4148[,)77D ．3441[,)77。
2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题三角函数的图像和性质1含解析
三角函数的图像和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.函数的定义域为A. B.C. D.2.函数的定义域是（）A. (0,]B. (0,)C. [0，]D. (0,]3.已知f（x）=cos x（cos x +sin x）在区间[-，m]上的最大值是，则实数m的最小值是（）A. B. C. D.4.若f(x )=(x -)在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为（）A. B. C. D.5.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋)(ω>0)在区间[－，]上单调递增，则ω的取值范围为( )A. (0，]B. (0，]C. [，]D. [，2]6.函数f(x )=(4x +)+的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。
在每小题有多项符合题目要求）7.函数f(x)=A (x +)(A >0,>0,||<)的部分图象如图所示,则（）1A. f(x)的图象的最小正周期为B. f(x)的图象的对称轴方程为x=+2k(k Z)C. f(x)的图象的对称中心为(+2k,0)(k Z)D. f(x)的单调递增区间为[4k-,4k+](k Z)8.已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值为1C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）9.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0≤φ＜π）关于直线对称，则f（0）= ．10.筒车是我国古代独创的一种水利浇灌工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的状况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中出现即时的位置时起先计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系设盛水筒M从点运动到点P时所经过的时间为单位：，且此时点P距离水面的高度为单位：，则h 与t的函数关系式为，点P第一次到达最高点须要的时间为四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
专题4.3三角函数的图象与性质(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 三角函数的图象与性质一、题型全归纳题型一 三角函数的定义域【题型要点】三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域． (2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．【例1】(2020·昆山一中模拟)1．函数y ＝lg(3tan x －3)的定义域为 ．【答案】：Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,2,6ππππ【解析】：要使函数y ＝lg(3tan x －3)有意义，则3tan x －3>0，即tan x >33.所以π6＋k π<x <π2＋k π，k ∈Z . 【例2】函数y ＝cos x －12的定义域为 ．【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ【解析】 要使函数有意义，则cos x －12≥0，即cos x ≥12，解得－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ. 题型二 三角函数的单调性命题角度一 确定三角函数的单调性(单调区间)【题型要点】求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．【易错提醒】要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【例1】(2020·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是( ) A.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,342,322ππππ B.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,344,324ππππ D.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,344,324ππππ 【解析】：由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ，故选B. 【例2】．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |【解析】A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递增，故A正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.命题角度二 利用三角函数的单调性比较大小利用单调性比较大小的方法：首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．【例3】已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx ，设a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ＝2sin 10π21，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＝2，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递增，且π3<10π21<π2，所以c <a <b .命题角度三 已知三角函数的单调区间求参数【题型要点】已知函数单调性求参数——明确一个不同，掌握两种方法(1)明确一个不同：“函数f (x )在区间M 上单调”与“函数f (x )的单调区间为N ”两者的含义不同，显然M 是N 的子集．(2)抓住两种方法．已知函数在区间M 上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M 上的保号性，由此列不等式求解．【例4】(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B.16 C.14D ．13【解析】 法一：因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，所以⎩⎨⎧－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2.解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.法二：易知f (x )＝3sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎨⎧－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B.命题角度四 利用三角函数的单调性求值域(最值)【题型要点】1.三角函数值域的求法 (1)利用y ＝sin x 和y ＝cos x 的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )的形式求值域． (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域． (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域． 2.换元法求三角函数的值域(最值)的策略(1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【例5】 (2019·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx －3cos x 的最小值为 ． 【解析】 f (x )＝sin(2x ＋3π2)－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝1－2cos 2x －3cos x ＝－2243cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋178，因为cosx ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－4.【例6】(2020·河北省中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+10πx －2在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，则实数a 的最大值是 ．【解析】：法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡5752ππ，上单调递减，所以a 的最大值为7π5.法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，而f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.题型三 三角函数的周期性与奇偶性【题型要点】(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．【例1】(2020·湖北宜昌联考)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，则( ) A ．ω＝2，θ＝π2 B ．ω＝12，θ＝π2 C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4【答案】因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，所以函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最小正周期是π. 由2πω＝π得ω＝2.因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，所以θ＝π2＋k π，k ∈Z . 又0＜θ＜π，所以θ＝π2，故选A.【例2】(2020·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4πϕωx ⎪⎭⎫⎝⎛<>2,0πϕω的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增 B ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递减 C ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递减 D ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递增 【解析】：.f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+4πϕωx ，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+42πϕx .f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，所以φ－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝－cos 2x ，所以f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛02-，π上单调递减，故选A. 题型四 三角函数的对称性【题型要点】对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解． (2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝（2k ＋1）π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【例1】(2020·北京西城区模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛13，π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛012，π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0125，π D ．⎪⎭⎫⎝⎛012-，π 【解析】 由题意可得2πω＝π，所以ω＝2，可得f (x )＝A sin(2x ＋φ)，再由函数图象关于直线x ＝π3对称，故⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ32＝±A ，故可取φ＝－π6. 故函数f (x )＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx ，令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 可得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0122，ππk ，k ∈Z . 所以函数f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛012，π. 【例2】已知函数f (x )＝|sin x ||cos x |，则下列说法错误的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的周期为π2C ．(π，0)是f (x )的一个对称中心D ．f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，上单调递减【解析】：f (x )＝|sin x ||cos x |＝|sin x cos x |＝12·|sin 2x |，则⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf ＝12|sin π|＝0，则f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；函数周期T ＝12×2π2＝π2，故B 正确；f (π)＝12|sin 2π|＝0，则(π，0)是f (x )的一个对称中心，故C 正确；当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，时，2x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，2，此时sin 2x ＞0，且sin 2x 为减函数，故D 正确．题型五 三角函数的图象与性质的综合问题【题型要点】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【例1】 已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx . (1)求函数的最大值及相应的x 值的集合；(2)求函数f (x )的图象的对称轴方程与对称中心．【解析】：(1)当sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx ＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2；故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,83ππ(2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .即函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .由2x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0,28ππk k ∈Z . 【例2】已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -23π－3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值． 【解析】 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋3＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ≤1，即0≤sin(2x －π3)＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.二、高效训练突破 一、选择题1．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π， B.⎥⎦⎤⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ， D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223， 【解析】：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数y 的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ，.故选C.法二：当x ＝π时，函数有意义，排除A ，D ；当x ＝5π4时，函数有意义，排除B.故选C.2．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0B ．3C ．－1D ．－2【解析】：因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，即tan b ＋sin b ＝1. 所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.3．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx ，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )的最大值为12D ．f (x )的最小值为－12【解析】：.f (x )＝1＋cos 2x 2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32＝12＋12cos 2x ＋12－12⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋1＝12sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1，则f (x )的最小正周期为π，最小值为－12＋1＝12，最大值为12＋1＝32. 4．(2020·福州市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π8D ．π【解析】：由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛4-2πx ，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡838-ππ，上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0＜m ≤3π8，即m 的最大值为3π8，故选C.5.若⎪⎭⎫⎝⎛08，π是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8【解析】：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx ，由题意，知⎪⎭⎫ ⎝⎛8πf ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48πωπ＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 6．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π【解析】：函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错；在区间(0，π3)上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于(π6，0)中心对称，故选C.7.(2020·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，则ω的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4【解析】：法一：因为x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，，所以ωx ＋π4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+484πωππ，，因为f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.法二：将选项逐个代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛80π，上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C.8．已知函数f (x )＝(x －a )k ，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( ) A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cos B ) B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B ) C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B ) D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )【解析】：A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，因为A ＋B ＞π2，所以π2＞A ＞π2－B ＞0，所以sin A ＞sin⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝cos B ，cos A ＜cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝sin B ，且sin A ，sin B ，cos A ，cos B ∈(0，1)．当k ＝1，a ＝2时，函数f (x )＝x －2单调递增，所以f (sin A )＞f (cos B )，f (cos A )＜f (sin B )，故A ，B 错误； 当k ＝2，a ＝1时，函数f (x )＝(x －1)2在(0，1)上单调递减，所以f (sin A )＜f (cos B )，f (cos A )＞f (sin B )，故C 错误，D 正确．9.已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，则正数ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx . 由f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π2，所以ω＝2ππ2＝4.10．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<<2,10πϕω的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3212ππ，上是减函数 B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0 C ．f (x )≥1的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32,2πππk k ，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛03-，π 【解析】：由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx .因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx .令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πf ＝0，所以⎪⎭⎫⎝⎛03-，π是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.二、填空题1．比较大小：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 【解析】：因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡02-，π上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π＞sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 2．已知函数f (x )＝4sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是 ． 【解析】：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )，又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡127--ππ，和⎥⎦⎤⎢⎣⎡012-，π 3．设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛6-πωx (ω>0)．若f (x )≤⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 【解析】：由于对任意的实数都有f (x )≤⎪⎭⎫⎝⎛4πf 成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故⎪⎭⎫⎝⎛4πf ＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin ＝23. 4．若函数y ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx (ω∈N *)图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛06，π，则ω的最小值为 ． 【解析】：由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )∈ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2.5．(2020·无锡期末)在函数∈y ＝cos|2x |；∈y ＝|cos 2x |；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ；∈y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．【解析】：∈y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；∈y ＝cos 2x ，最小正周期为π，由图象知y ＝|cos 2x |的最小正周期为π2；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx 的最小正周期T ＝2π2＝π；∈y ＝tan 2x 的最小正周期T ＝π2.因此∈∈的最小正周期为π.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为 ．【解析】：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.三 解答题1.已知函数f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡44-ππ，时，f (x )≥－12. 【解析】：(1)f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，所以T ＝2π2＝π. (2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡26-ππ，上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡652ππ，上单调递减，且sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＜sin 5π6， 所以f (x )≥sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＝－12，得证． 2．已知f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．【解析】：(1)f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1. (3)由f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋2＝1，可得sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.3.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<320πϕ的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛236，π，求f (x )的单调递增区间．【解析】：由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0， 已知上式对∈x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ＝32，所以sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ϕπ62＝32，即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．4.已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -2πsin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【解】：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx . 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛22-65x π＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ，又f (x 2)＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。
高考数学一轮复习全套课时作业4-4三角函数的图像和性质
题组层级快练4.4三角函数的图像和性质一、单项选择题1．函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为()A.π2B.2π3C ．πD ．2π2．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是()A ．{xx ≠π4}B ．{xx ≠－π4}C ．{xx ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{xx ≠k π＋3π4，k ∈Z }3．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是()A ．y ＝sin|x|B ．y ＝cos2xC ．y ＝D ．y ＝x 34．(2018·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan 2x 的最小正周期为()A.π4B.π2C ．πD ．2π5．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是()A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝06．函数f(x)＝sin 在区间0，π2上的最小值为()A ．－1B ．－22C.22D ．07．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]8．(2021·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)为偶函数，且在0，π4上是增函数，则φ的一个可能值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π39．(2020·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是()A ．(1，3)B ．[0，2]C ．[1，2)D ．[1，3]二、多项选择题10．(2017·课标全国Ⅲ，改编)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论正确的是()A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减11．已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，g(x)＝22sinx ·cosx ，则下列结论中正确的是()A －π4，B ．两函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称C －π4，D ．两函数的最大值相同三、填空题与解答题12．函数y ＝cos ________．13．(2020·保定市一模)设函数f(x)＝2sinxsin(x ＋π3＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝________．14．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．15．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x(x ∈R )，则f(x)的最小正周期为________；当x ∈0，π4时，f(x)的最小值为________．16．已知函数f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)>22，求x 的取值集合．17．(2017·北京)已知函数f(x)＝3cos(2x －π3)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．(2021·衡水中学调研)已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是()A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]19．(2018·北京，理)设函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．4.4三角函数的图像和性质参考答案1．答案C 2．答案D解析y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.3．答案C 4．答案C解析f(x)＝tanx 1＋tan 2x ＝sinx cosx 1＋sin 2x cos 2x＝sinxcosx cos 2x ＋sin 2x＝sinxcosx ＝12sin2x ，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.5．答案D解析若f(x)＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，则有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝∓ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.6．答案B 7．答案C解析由f(x)＝12(1－cos2x)＋12sin2x ＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调递增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得函数f(x)的一个单调递增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.8．答案C解析根据题意，f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝＋φ若f(x)为偶函数，则有φ＋π6＝k π＋π2，即φ＝k π＋π3，k ∈Z ，所以可以排除B 、D ，对于A ，当φ＝π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是减函数，不符合题意，对于C ，当φ＝4π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是增函数，符合题意．故选C.9．答案C解析因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈(π2，7π6]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2)，因此要有两个不相等实根，即m 与函数f(x)＝2sin 在π6，7π6上有两个交点，结合图象可知，m 的取值范围是[1，2)．故选C.10．答案ABC解析由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数，得f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确．11．答案CD解析f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sing(x)＝2sin2x ，因为＝2sin －π4＋＝2sin0＝0，所以f(x)－π4，因为＝2sin 2＝2sin ＝－2≠0，所以g(x)－π4，A 错误．由于f(x)－π4，g(x)关于x ＝－π4成轴对称，故B 错误．若－π4<x<π4，则0<x ＋π4<π2，此时函数f(x)为增函数，若－π4<x<π4，则－π2<2x<π2，此时函数g(x)为增函数，－π4，C 正确．两函数的最大值相同，都为2，故D 正确．12．答案k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )13．答案π6解析因为f(x)＝2sinxsin ＋π3＋y ＝sinx 也是奇函数，所以函数y ＝sin ＋π3＋函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6.14．答案2π3解析f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．15．答案π216．答案(1)π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z|－π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈解析(1)f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx －32＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＝因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12＋k π，7π12＋k π]，k ∈Z .(2)f(x)>22，即>22，由正弦函数的性质得π4＋2k π<2x ＋π3<3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋kπ<x<5π24＋k π，k ∈Z ，则x －π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈17．答案(1)π(2)证明见解析解析(1)f(x)＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．答案C解析方法一：由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.方法二(特值法)：取ω＝－1，则y ＝sin(－x)＝－sinx ，不合题意，故A 、B 不对．取ω＝2，则y ＝sin2x ，不合题意，故D 不对，所以选C.19．答案23解析由于对任意的实数都有f(x)≤f(π4)成立，故当x ＝π4时，函数f(x)有最大值，故f(π4)＝1，即πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.。
专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案
第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数 性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)； 单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性 奇 偶 奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和． 变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分． 阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质一、单选题1．函数43()cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()()sin 2f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称D ．函数()f x 是偶函数 3．若函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）关于直线3x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 4．函数()tan 2f x x π=和1()2g x x =-的图象在区间()1,5-上交点的横坐标之和为（ ） A ．6B ．4C ．8D ．125．设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为（ ）A ．23πB ．45π C ．56π D ．85π6．函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧且距y 轴最近的对称轴方程为（ ）A ．23x π= B ．3x π= C ．6x π= D ．2x π=7．函数()1π2sin π12f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭在[)(]3,11,5-上的所有零点之和等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．函数π6tan 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．ππ,212k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．ππ,212k x x k ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ,23k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．ππ,23k x x k ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z 9．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若π()|()|6f x f ≤对x ∈R 恒成立，且π()(π)2f f >，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．ππ[π,π]()36k k k -+∈ZB ．π2π[π,π]()63k k k ++∈ZC ．π[π,π]()2k k k +∈ZD ．π[π,π]()2k k k -∈Z10．设函数()2sin 1(0)f x x ωω=->，在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则ω的取值范围是（ ） A ．2610,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2658,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3458,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．26103458,,9399⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭11．若函数)(0)3y x πωω=->的图象上两相邻的对称轴之间的距离为2π，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．函数()cos f x x =是（ ） A ．奇函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．奇函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．偶函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．偶函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减二、填空题13．函数3tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是________.14．已知()sin 2y x ϕ=+(其中02)ϕπ<是偶函数，且在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格减函数，则实数ϕ的值是________.15．已知M 、N 是函数()()()2cos 0f x x ωϕω=+>图象与直线y .若MN 的最小值是12π，则ω=________.16．若函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>在[,]63ππ-上单调递增，则ω的取值范围是________．三、解答题17．已知函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象的两条对称轴的最小距离为3π.（1）求ω的值；（2）求函数()f x 的单调区间.18．已知函数()2sin()1(0)6f x x a πωω=+++>图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求a 和ω的值；（2）求函数()f x 在[0，]π上的单调递减区间.19．函数()y f x =的定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得()()122f x f x +=，则称区间D 为函数()y f x =的“P 区间”．（1）判断(,)-∞+∞是否是函数sin 312y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的“P 区间”，并说明理由；（2）设ω为正实数，若[,2]ππ是函数cos y x ω=的“P 区间”，求ω的取值范围．20．已知()sin 214f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．（1）求函数()y f x =的单调增区间；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-对,242x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数()cos 2.6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）用“五点法”画出()f x 在一个周期内的闭区间上的简图必须列表. （2）写出()f x 的对称中心.22．函数()()()26cos302xf x x ωωω=+->在一个周期内的图像如图所示，A 为图像的最高点，B 、C 为图像与x 轴的交点，且ABC 为正三角形．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()0f x =0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()01f x +的值；（3）若()()21y f x af x =-+的最小值为12，求a 的取值．参考答案1．B 【分析】根据奇偶性排除C 、D;根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时函数值的正负排除A,从而得到答案.【详解】43()cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，()()4433()cos cos ()f x x x x x f x -=--==，所以()f x 为偶函数，故排除C 、D;当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >,430x >,所以()0f x >,故排除A ；故选：B. 2．B 【分析】先化简函数得()()sin cos 2f x x x x R π⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭，然后逐个分析判断即可【详解】解：()()sin cos 2f x x x x R π⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭，对于A ，()f x 的最小正周期为2π，所以A 正确；对于B ，()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以B 错误；对于C ，因为()0cos01f ==，所以()f x 的图像关于直线0x =对称，所以C 正确； 对于D ，因为()()cos()cos f x x x f x -=-==，所以()f x 是偶函数，所以D 正确， 故选：B 3．D 【分析】求出()sin 2y x ϕ=+的对称轴，代入3x π=即可求出.【详解】sin(2)y x ϕ=+∵的对称轴为π2π()2x k k ϕ+=+∈Z ，π2π()2x k k ϕ=-++∈Z ∴，又sin(2)y x ϕ=+关于直线π3x =对称，2πππππ()326k k k ϕ=-++=-+∈Z ∴，又0ϕ>，ϕ∴的最小值为5π6.故选：D ． 4．C 【分析】由题意求得()tan2f x x π=的最小正周期和对称中心及1()2g x x =-的对称中心，分别作出它们的图像，得交点的个数与特征，即可求交点的横坐标之和. 【详解】 解：()tan 2f x x π=，2T =，令22k x ππ=，则,x k k Z =∈，所以函数()tan 2f x x π=的对称中心为(),0,k k Z ∈，因为1()2g x x =-是由函数1y x =向右平移2个单位得到的， 所以1()2g x x =-关于()2,0对称， 故()2,0是函数()tan2f x x π=和1()2g x x =-的对称中心， 画出两函数的图像如图所示：故两函数有四个交点，设从左到右依次为1234,,,x x x x ， 根据对称性，则12,x x 关于()2,0对称，34,x x 也关于()2,0对称，所以12348x x x x +++=， 即函数()tan 2f x x π=和1()2g x x =-的图象在区间()1,5-上交点的横坐标之和为8. 故选：C. 5．B 【分析】 由4()015f π=求得ω的表达式（结合正弦函数减区间较好），再由周期确定ω的一个范围，从而可求得ω值得最小正周期． 【详解】44sin()015153f ωπππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又点4(,0)15π在函数的减区间上，所以42,153k k Z ωππππ+=+∈，152(2)43k ω=+，又最小正周期4152T πππ+<<，所以23230πππω<<，60223ω<<， 由152(2)43k ω=+知 1k =-时，5ω=-不合题意，0k =时52ω=，1k =时，10ω=不合题意． 所以52ω=，55224T ππ==．故选：B ． 6．C 【分析】求出对称轴方程，判断在y 轴右侧且距y 轴最近的对称轴即可． 【详解】 由223x k ππ-=，得6x k ππ=+，k Z ∈，0k =时，6x π=即为所求．故选：C ． 7．D 【分析】 令()11g x x =--()1x ≠，()π2sin π2h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的零点等价于()y g x =与()y h x =两个函数图象交点的横坐标，作出()y g x =与()y h x =的图象，结合对称性即可求解.令()11g x x =--()1x ≠，()π2sin π2h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则()1,11111,11x x g x x x x ⎧<⎪⎪-=-=⎨-⎪>⎪-⎩， 所以函数()f x 的零点等价于()y g x =与()y h x =两个函数图象交点的横坐标， 因为()()112211g x g x x x -=-=-=---，所以()11g x x =--关于1x =对称，由正弦函数的性质可得：令()πππ22x k k Z π-=+∈可得：1x k =+()k Z ∈， 所以()y h x =的图象也关于1x =对称， 作出()y g x =与()y h x =两个函数图象：由图知：()y g x =与()y h x =两个函数图象共有8个交点，A 和1A ，B 和1B ，C 和1C ，D 和1D 关于1x =对称，可得122x x +=，342x x +=，562x x +=，782x x +=，所以所有交点的横坐标之和为1234567822228x x x x x x x x +++++++=+++=， 所有零点之和等于8， 故选：D. 8．C利用π2,62x k k ππ-≠+∈Z 直接求解即可. 【详解】为使函数π6tan 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有意义，只需π2,62x k k ππ-≠+∈Z ，即,32k x k ππ≠+∈Z ， 所以函数定义域为：ππ,23k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z . 故选：C. 9．B 【分析】根据π()|()|6f x f ≤对x ∈R 恒成立，结合函数最值的定义，易得π()6f 等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角ϕ的值，结合π()(π)2f f >，易求出满足条件的具体的ϕ的值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，可得到答案． 【详解】若π()|()|6f x f ≤对x ∈R 恒成立，则π()6f 等于函数的最大值或最小值，即ππ2π62k k ϕ⨯+=+∈Z ，，则ππ6k k Z ϕ=+∈，， ∵π()(π)2f f >，即sin 0ϕ<，令1k =-，此时5π6ϕ=-，满足条件，令5πππ2[2π2π]622x k k -∈-+，，k Z ∈，解得π2π[ππ]63x k k ∈++，，k Z ∈． 故选B ． 10．A 【分析】由题意，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根，结合正弦函数的图象和性质，求得ω的范围． 【详解】解：函数()2sin 1(0)f x x ωω=->，在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，即1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有2个不同的根，至多有3个不同的根．[4x ωπω∈，3]4ωπ， 当46ωππ<，则5352646πωπππ<+，求得ω∈∅； 当46ωππ=，3346ωππ=，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有1个根，不满足题意； 当5646πωππ<<，324646πωππππ+<+，求得261093ω<； 当546ωππ=，则3542ωππ=，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有3个不同的根，满足条件，此时，103ω=， 当246ωπππ=+，33646ωπππ=+，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上有5个不同的根，不满足题意； 当246ωπππ>+时，方程1sin 2x ω=在区间3[,]44ππ上至少有5个不同的根，不满足题意． 综上，可得261093ω， 故选：A ． 11．A 【分析】由图象上两相邻的对称轴之间的距离为2π可知22T π=，再利用余弦函数的最小正周期22T πω=，即可求ω. 【详解】由题意知：若函数周期为T ，则22T π=， ∴22T ππω==，可得1ω=. 故选：A 12．D 【分析】根据函数奇偶性的定义和余弦函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()cos f x x =的定义域R ，且()()cos()cos f x x x f x -=-==， 所以函数()cos f x x =为偶函数，又由余弦函数的性质，可得()cos f x x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为递减函数.故选：D.13．3,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】根据正切函数的定义域求解即可得出答案. 【详解】函数tan y x =的定义域为：π|π2x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，ππ3ππ424x k x k π∴-≠+∴≠+，即：函数π3tan 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为：3π|π4x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故答案为：3π|π4x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，14．2π【分析】由()sin 2y x ϕ=+是偶函数求出ϕ，结合函数()sin 2y x ϕ=+在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格减函数可得答案. 【详解】由于()sin 2y x ϕ=+(其中02)ϕπ<是偶函数， 所以()2k k Z πϕπ=+∈，其中02ϕπ<，所以2ϕπ=或32π，所以 sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的单调递减区间为()222k x k k Z πππ≤≤+∈，即()2k x k k Z πππ≤≤+∈，0k =时，满足在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格减函数；3sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭时的单调性与cos 2y x =相反，所以2ϕπ=. 故答案为：2π.15．4 【分析】令u x ωϕ=+，作出余弦函数cos y u =的图象，设M 、N 的横坐标为1x 、2x ，设11u x ωϕ=+，22u x ωϕ=+，可得出()2121u u x x ω-=-的最小值为3π，结合题意可得出关于ω的等式，即可解得ω的值. 【详解】由于M 、N 是函数()()()2cos 0f x x ωϕω=+>的图象与直线y = 故M 、N 的横坐标是方程()2cos x ωϕ+=即M 、N 的横坐标1x 、2x （不妨令12x x <）是方程()cos x ωϕ+的解， 设u x ωϕ=+，作出函数cos y u =的图象如下图所示：设11u x ωϕ=+，22u x ωϕ=+，当21x x -取最小值时，()2121u u x x ω-=-取得最小值， 即12663ππππω⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得4ω=. 故答案为：4. 16．(0，1]2【分析】由题意结合正弦函数的性质可得332632πππωπππω⎧+⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩，解不等式组可求出ω的取值范围【详解】 解：因为63x ππ-≤≤，0>ω，所以63333x πππππωωω-+≤+≤+，因为函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>在[,]63ππ-上单调递增，所以23322632k k πππωππππωπ⎧++⎪⎪⎨⎪-+-+⎪⎩，k Z ∈，解得162512kkωω⎧≤+⎪⎨⎪≤-⎩，k Z ∈， 因为0>ω，所以当0k =时上式有解， 所以102ω<， 故答案为：(0，1]2．17．（1）3ω=；（2）单调递增区间为()272,318318k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为()225,318318k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）求出函数()f x 的最小正周期，由此可求得ω的值； （2）解不等式()2326k x k k Z ππππ-≤+≤∈可得出函数()f x 的递增区间，解不等式()2326k x k k Z ππππ≤+≤+∈可得函数()f x 的递减区间.【详解】（1）因为函数()f x 图象的两条对称轴间的最小距离为3π，0>ω， 所以，函数()f x 的最小正周期为2233T ππ=⨯=，于是223ππω=，解得3ω=； （2）由（1）知()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2326k x k ππππ-≤+≤，k ∈Z ，得272318318k k x ππππ-≤≤-，k ∈Z . 由2326k x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ，得225318318k k x ππππ-≤≤+，k ∈Z . 所以，函数()f x 的单调递增区间为()272,318318k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为()225,318318k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 18．（1）1a =-，2ω=；（2）单调递减区间为[6π，2]3π. 【分析】（1）由最高点坐标求得a ，由周期求得ω；（2）利用正弦函数的单调性求减区间． 【详解】解：（1）函数()2sin()1(0)6f x x a πωω=+++>图象上最高点的纵坐标为2，10a ∴+=，1a =-.且图象上相邻两个最高点的距离为2ππω=，2ω∴=，()2sin(2)6f x x π=+. （2）对于()2sin(2)6f x x π=+，令3222262k x k πππππ+++， 求得263k x k ππππ++，故函数的单调减区间为[6k ππ+，2]3k ππ+，k Z ∈，再结合[0x ∈，]π，可得函数()f x 在[0，]π上的单调递减区间为[6π，2]3π.19．（1）不是，理由见解析；（2）{2}[3,)+∞. 【分析】(1)根据函数值的范围可判定(,)-∞+∞不是函数sin 312y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的“P 区间”；(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k ，l Z ∈，使得122,2.x k x l ωπωπ=⎧⎨=⎩，再分类讨论即可求出ω的取值范围. 【详解】(1) (,)-∞+∞不是函数sin 312y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的“P 区间”.理由如下：因为()sin 3212f x x π⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭，所以对于任意的1x ，()2,x ∈-∞+∞，都有()()124f x f x +≥，所以(,)-∞+∞不是函数sin 312y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的“P 区间”.(2)因为[],2ππ是函数cos y x ω=的“P 区间”，所以存在[]12,,2x x ππ∈，12x x ≠，使得12cos cos 2x x ωω+=.所以12cos 1,cos 1.x x ωω=⎧⎨=⎩所以存在,k l ∈Z ，使得122,2.x k x l ωπωπ=⎧⎨=⎩不妨设12π2πx x ≤<≤，又因为0>ω，所以12π2πx x ωωωω≤<≤，所以222k l ωω≤<≤. 即在区间[],2ωω内存在两个不同的偶数. ①当4ω≥时，区间[],2ωω的长度24ωω-≥，所以区间[],2ωω内必存在两个相邻的偶数，故4ω≥符合题意. ②当04ω<<时，有02228k l ωω<≤<≤<， 所以{}2,22,4,6k l ∈.当24,26k l =⎧⎨=⎩时，有4,62ωω≤⎧⎨≤⎩，即34ω≤≤. 所以34ω≤<也符合题意.当22,24k l =⎧⎨=⎩时，有2,42ωω≤⎧⎨≤⎩，即2ω=.所以2ω=符合题意.当22,26k l =⎧⎨=⎩时，有2,62ωω≤⎧⎨≤⎩，此式无解.综上所述，ω的取值范围是{}[)23,⋃+∞.20．（1）5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）⎛-∞ ⎝⎭，． 【分析】(1)根据整体代换法即可求出正弦函数的单调递增区间； (2)根据题意中的范围得出24x π+的范围，进而得出()f x 的范围，解不等式即可.【详解】 (1)由3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为：5[]88k k k Z ππππ++∈，，；(2)因为[]242x ππ∈，， 所以52344x πππ≤+≤，所以sin(2)14x π≤+≤，所以0()1f x ≤≤， 因为关于x 的不等式()1f x m <-对[]242x ππ∈，恒成立，所以11m -，解得m <，即m 的取值范围为：(-∞ 21．（1）答案见解析；（2）,0,26kk Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用五点法列表描点连线,在坐标系中画出函数图象即可. （2）利用余弦函数的性质即可求解. 【详解】 （1）在坐标系中画出图象如图所示：（2）令()262x k k Z πππ+=+∈可得：()62k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.22．（1）()43f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()01f x +=；（3）a =【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的图象的应用求出函数的关系式； （2）利用（1）的结论，进一步利用角的变换求出结果；（3）求出()f x 的值域，令()t f x =，利用二次函数的性质即可求解a 的值． 【详解】解：（1）函数2()6cos )33cos )23xf x x x x x ωπωωωω=-==+，由于ABC 为正三角形，所以三角形的高为4BC =． 所以函数()f x 的最小正周期为428T =⨯=，所以4πω=，从而得到())43f x x ππ=+．（2）若0()f x =0sin()43x ππ+=03sin()435x ππ+=，由于0102(,)33x ∈-，所以0(432x πππ+∈-，)2π，所以04cos()435x ππ+=，所以000034(1)sin()3[sin()coscos()sin ]3(44343443455f x x x x πππππππππ+=++=+++=+（3）())3f x x πω=+的值域为[-，令()t f x =，则[t ∈-，所以2()()1y f x af x =-+转化为2()1g t t at =-+，对称轴为2a t =，当232a ，即43a 时，min 1()1212g t g ==-+=，解得a =)；当232a -，即43a -时，min 1()(1212g t g =-=++=，解得a =)；当2a -<a -<22min 1()()12422a a a g t g ==-+=，解得a =综上可得a =。
高考数学专题《三角函数的图象与性质》习题含答案解析
专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。
高考数学三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质（1）一、知识梳理1二、例题讲解 1、函数的定义域例1、求下列函数的定义域 （1）xxx x f cos 1tan cos )(+⋅=（2）29)3sin 2lg()(x x x f -++=2、函数的值域例2、求下列函数的值域（1）x x x y cos sin 42cos 31++= （)22(cos 3sin ππ≤≤-+=x x x y ）（2）)3sin(sin π-=x x y （()()1cos 1sin ++=x x y ）(3) 1sin 23sin 4-+=x x y （2cos 1sin 2+-=x x y ）例3、（1）若ππ2<<x ，kk x --=432sin 有意义，求实数k 的取值范围； （2）问a 为何值时，函数()1sin 2cos 3log )(221++=x a x x f 的定义域为R ？例4、已知函数b a x x a x a x f ++-=cos sin 32sin 2)(2的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，值域为[]1,5-，求常熟b a ,的值。
作业：1、 1. 求函数x x y tan log 221++=的定义域；2. 已知函数)0)(63sin(>+-=b x b a y π的最大值为23，最小值为21-，分别求出b a ,的值。
3. 若x x f ωsin 2)(=（10<<ω）在区间]3,0[π上的最大值是2，求ω的值。
4. 求函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--的值域 5. 若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(xx a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值。
6. 求函数xx xx y cos sin 1cos sin ++⋅=的最大值和最小值。
7. 已知函数a x x x f ++-=sin sin )(2。
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高考数学复习 第19讲 三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中k ∈Z)函数 y=sin x y=cos x y=tan x图像定义域 R Rx|x ∈R,且x ≠ k π+π2,k ∈Z值域周期性 2π2ππ 奇偶性奇函数单调性2k π-π2,2k π+π2上为增函数; 上为减函数[2k π,2k π+π]上为减函数;上为增函数k π-π2,k π+π2上为增函数对称中心k π+π2,0 k π2,0对称轴x=k π+π2无常用结论1.函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的最小正周期T=2π|k |,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=π|k |.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y=A sin ωx或y=A tan ωx的形式,偶函数一般可化为y=A cos ωx+b的形式.题组一常识题1.[教材改编]函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2.[教材改编]若函数y=A sin x+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是.3.[教材改编]函数y=2cos x在[-π,0]上是函数,在[0,π]上是函数.4.[教材改编]函数f(x)=√tan k-1的定义域为.题组二常错题◆索引:忽视y=A sin x(或y=A cos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视正切函数的周期性.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是.6.函数y=cos x tan x的值域是.7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为.8.函数y=tan(k+π4)图像的对称中心是.探究点一三角函数的定义域例1 (1)函数f(x)=√2−log2k+tan(k+π3)的定义域为.(2)函数y=ln(2cos x+1)+√sin k的定义域为.[总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角函数的图像来求解.变式题 (1)函数y=√sin k -cos k 的定义域为 . (2)函数f (x )=√√3+2sin k的定义域是 .探究点二 三角函数的值域或最值例2 (1)函数y=2cos 2x-sin x+1的最大值是 . (2)[2018·沧州质检] 已知x ∈[-π4,π6],则函数f (x )=2cos x sin x+π3-√3sin 2x+sin x cosx 的最大值与最小值之和为 .[总结反思] 求解三角函数的值域(最值)的几种方法:①形如y=a sin x+b cos x+c 的三角函数,化为y=A sin(ωx+φ)+k 的形式,再求值域(最值); ②形如y=a sin 2x+b sin x+c 的三角函数,可设t=sin x ,化为关于t 的二次函数求值域(最值); ③形如y=a sin x cos x+b (sin x±cos x )+c 的三角函数,可设t=sin x±cos x ,化为关于t的二次函数求值域(最值).变式题 (1)函数f (x )=sin (k -π4)-cos (k -π4)的最大值为 ( )A .2B .√2C .2√2D .√22(2)函数y=cos x-sin x+4sin x cos x 的值域是 . 探究点三 三角函数性质的有关问题微点1 三角函数的周期性例3 (1)在函数①y=cos |2x|,②y=|cos x|,③y=cos (2k +π6),④y=tan (2k -π4)中,最小正周期为π的所有函数为 ( ) A .①②③B .①③④C .②④D .①③(2)若函数f (x )=1+a sin ax+π6(a>0)的最大值为3,则f (x )的最小正周期为 .[总结反思] (1)公式法:函数y=A sin(ωx+φ)或y=A cos(ωx+φ)的最小正周期T=2π|k |,y=A tan(ωx+φ)的最小正周期T=π|k |;(2)图像法:利用三角函数图像的特征求周期.微点2 三角函数的对称性例4 (1)[2018·广西贺州联考] 若函数f (x )与g (x )的图像有一条相同的对称轴,则称这两个函数互为同轴函数.下列四个函数中,与f (x )=12x 2-x 互为同轴函数的是( )A .g (x )=cos(2x-1)B .g (x )=sin πxC .g (x )=tan xD .g (x )=cos πx(2)[2018·重庆合川区三模] 函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图像关于直线x=π3对称,它的最小正周期为π,则函数f (x )的图像的一个对称中心是( )A .(π3,0) B .(π12,0) C .(5π12,0)D .(-π12,0)[总结反思] (1)对于函数f (x )=A sin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x 0或点(x 0,0)是否是函数图像的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期T 之间有如下结论:①若函数图像相邻的两条对称轴分别为x=a 与x=b ,则最小正周期T=2|b-a|;②若函数图像相邻的两个对称中心分别为(a ,0),(b ,0),则最小正周期T=2|b-a|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a ,0)与x=b ,则最小正周期T=4|b-a|.微点3 三角函数的单调性例5 (1)[2018·乌鲁木齐一检] 已知π3为函数f (x )=sin(2x+φ)0<φ<π2的一个零点,则函数f (x )的单调递增区间是 ( ) A .[2k π−5π12,2k π+π12](k ∈Z)B .[2k π+π12,2k π+7π12](k ∈Z)C .[k π−5π12,k π+π12](k ∈Z)D .[k π+π12,k π+7π12](k ∈Z)(2)[2018·合肥一中月考] 已知ω>0,函数f (x )=cos ωx+π3在(π3,π2)上单调递增,则ω的取值范围是( ) A .(23,103) B .[23,103] C .[2,103] D .(2,103)[总结反思] (1)形如y=A sin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图像利用y=sin x 的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性. 应用演练1.【微点3】[2018·西安八校联考] 已知函数f (x )=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3处取得最小值,则f (x )在[0,π]上的单调递增区间是 ( ) A .[π3,π] B .[π3,2π3]C .[0,2π3] D .[2π3,π]2.【微点3】[2018·浙江余姚中学月考] 设f (x )=cos x ,若a=f (ln 2),b=f (ln π),c=f (ln 13),则下列关系式正确的是 ( )A .a>b>cB .b>c>aC .a>c>bD .b>a>c3.【微点2】[2019·九江一中月考] 已知函数f (x )=A sin (kk +π6)的图像上相邻两个对称中心之间的距离为2,则函数的对称轴方程可能是 ( ) A .x=1 B .x=14C .x=23D .x=-14.【微点1】[2018·上海金山区二模] 函数y=3sin 2x+π3的最小正周期T= .第19讲 三角函数的图像与性质考试说明 1.能画出函数y=sin x ,y=cos x ,y=tan x 的图像,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等),理解正切函数在区间-π2,π2内的单调性.【课前双基巩固】 知识聚焦1.[-1,1] [-1,1] R 奇函数 偶函数2k π+π2,2k π+3π2[2k π-π,2k π] (k π,0)x=k π对点演练1.π [解析] 最小正周期T=2πk =2π2=π.2.-1 [解析] 依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.3.增 减 [解析] 由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x 在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.4.[π4+k π,π2+k π)(k ∈Z) [解析] 由题意知tan x ≥1,所以π4+k π≤x<π2+k π(k ∈Z).5.[2k π-π,2k π](k ∈Z) [解析] 函数y=1-2cos x 的单调递减区间即函数y=-cos x 的单调递减区间,即函数y=cos x 的单调递增区间,即为[2k π-π,2k π](k ∈Z).6.(-1,1) [解析] ∵x ≠π2+k π(k ∈Z),y=cos x tan x=sin x ,∴y=sin x ∈(-1,1),即函数y=cos x tan x 的值域是(-1,1).7.1 [解析] 设t=cos x ,则-1≤t ≤1,所以y=-t 2+3t-1=-t-322+54,当t=1时,函数取得最大值1. 8.(k π2-π4,0)(k ∈Z) [解析] 由x+π4=k π2(k ∈Z),得x=k π2-π4(k ∈Z),所以函数y=tan (k +π4)图像的对称中心为(k π2-π4,0)(k ∈Z).【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数、正弦函数、余弦函数的性质列出关于x 的不等式组求解. (1)x 0<x ≤4且x ≠π6且x ≠7π6(2)x 2k π≤x<2k π+2π3,k ∈Z [解析] (1)依题意得{2−log 2k ≥0,k +π3≠k π+π2,k ∈Z,得0<x ≤4且x ≠k π+π6,k ∈Z,所以函数f (x )的定义域是x 0<x≤4且x ≠π6且x ≠7π6.(2)由题意得{2cos k +1>0,sin k ≥0,即{cos k >−12,sin k ≥0,解得{2k π−2π3<k <2k π+2π3,k ∈Z,2k π≤k ≤2k π+π,k ∈Z,所以2k π≤x<2k π+2π3,k ∈Z,所以函数的定义域为x 2k π≤x<2k π+2π3,k ∈Z .变式题 (1)x 2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z(2)x 2k π-π3<x<2k π+4π3,k ∈Z[解析] (1)由题意知sin x-cos x ≥0.作出函数y=sin x 和y=cos x 的图像,如图所示.在[0,2π]内,满足sin x=cos x 的x 的值为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,得原函数的定义域为x 2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z .(2)依题意知,√3+2sin x>0,即sin x>-√32,结合函数y=sin x 的图像(图略),可得函数f (x )的定义域为x 2k π-π3<x<2k π+4π3,k ∈Z .例2 [思路点拨] (1)将函数转化为以sin x 为自变量的二次函数求最值;(2)将函数化为f (x )=A sin(ωx+φ)+k 的形式,再利用函数的单调性求最值.(1)4916 (2)1 [解析] (1)由题知,y=2cos 2x-sin x+1=2-4sin 2x-sin x+1=-4(sin k +18)2+4916,当sin x=-18时,函数取得最大值,最大值为4916. (2)由题可知,f (x )=2cos x (sin k cosπ3+cos k sin π3)-√3sin 2x+sin x cos x=2sin x cosx+√3cos 2x-√3sin 2x=sin 2x+√3cos 2x=2sin (2k +π3).因为x ∈[-π4,π6],所以2x+π3∈[-π6,2π3],所以当2x+π3=π2,即x=π12时,函数取得最大值,即为2sin π2=2;当2x+π3=-π6,即x=-π4时,函数取得最小值,即为2sin (-π6)=-1.所以最大值与最小值之和为2-1=1.变式题 (1)B (2)[-2-√2,178] [解析] (1)∵f (x )=sin (k -π4)-cos (k -π4)=√2sinx-π4-π4=√2sin x-π2=-√2cos x ,∴当x=(2k+1)π(k ∈Z)时,f (x )取得最大值√2.(2)令t=cos x-sin x ,则t=√2cos (k +π4)∈[-√2,√2],又t 2=1-2sin x cos x ,所以sin x cosx=1−k 22,所以y=t+4·1−k 22=-2t 2+t+2=-2(k -14)2+178.因为t ∈[-√2,√2],所以当t=14时,y 取得最大值178;当t=-√2时,y 取得最小值-2-√2.所以函数的值域是[-2-√2,178].例3 [思路点拨] (1)根据三角函数的周期性,求出各个函数的最小正周期,从而得出结论;(2)首先求出参数a ,再求最小正周期.(1)A (2)π [解析] (1)对于①,y=cos |2x|=cos 2x ,则它的最小正周期为2π2=π;对于②,y=|cos x|的最小正周期为12×2π1=π; 对于③,y=cos (2k +π6)的最小正周期为2π2=π;对于④,y=tan (2k -π4)的最小正周期为π2. 故选A .(2)∵函数f (x )=1+a sin (kk +π6)(a>0)的最大值为1+a ,∴1+a=3,∴a=2,因此f (x )的最小正周期为2πk =π.例4 [思路点拨] (1)函数f (x )的图像的对称轴为直线x=1,逐一验证各选项,可得符合条件的函数;(2)由周期求出ω=2,再由图像关于直线x=π3对称,求得φ=-π6,进而可求得f (x )的图像的对称中心.(1)D (2)B [解析] (1)易知f (x )=12x 2-x 的图像关于直线x=1对称.对于选项A,函数g (x )的图像的对称轴为直线x=12+k π2(k ∈Z);对于选项B,函数g (x )的图像的对称轴为直线x=12+k (k ∈Z);对于选项C,函数g (x )的图像不存在对称轴;对于选项D,函数g (x )的图像的对称轴为直线x=k (k ∈Z),当k=1时,其中有一条对称轴为直线x=1,符合题意.故选D . (2)由题意可得2πk=π,∴ω=2,∴f (x )=A sin(2x+φ).∵函数f (x )的图像关于直线x=π3对称,∴f (π3)=A sin (2π3+k )=±A ,即sin (2π3+k )=±1.∵|φ|<π2,∴φ=-π6,故函数f (x )=A sin (2k -π6).令2x-π6=k π,k ∈Z,可得x=k π2+π12,k ∈Z,故函数f (x )的图像的对称中心为k π2+π12,0,k ∈Z .结合选项可知,函数f (x )的图像的一个对称中心是(π12,0).故选B .例5 [思路点拨] (1)由条件求出φ,根据正弦函数的单调性求解;(2)先求出函数f (x )的单调递增区间,由(π3,π2)是所求单调递增区间的子集得出ω的取值范围.(1)C (2)C [解析] (1)∵π3为函数f (x )=sin(2x+φ)0<φ<π2的一个零点,∴f (π3)=sin (2π3+k )=0,∴2π3+φ=k π(k ∈Z),解得φ=k π-2π3(k ∈Z).∵0<φ<π2,∴φ=π3,∴f (x )=sin (2k +π3),令-π2+2k π≤2x+π3≤π2+2k π(k ∈Z),则k π-5π12≤x ≤k π+π12(k ∈Z),故选C .(2)令2k π-π≤ωx+π3≤2k π,k ∈Z,∵ω>0,∴2k πk-4π3k ≤x ≤2k πk-π3k ,k ∈Z,∴函数f (x )=cos (kk +π3)的单调递增区间为[2k πk -4π3k ,2k πk-π3k ],k ∈Z .∵f (x )在(π3,π2)上单调递增,∴{π2≤2k πk -π3k ,π3≥2k πk-4π3k,k ∈Z,解得6k-4≤ω≤4k-23,k ∈Z .由题意知,π2-π3≤12×2πk ,∴0<ω≤6,∴2≤ω≤103. 应用演练1.A [解析] ∵函数f (x )=cos(x+θ)(0<θ<π)在x=π3处取得最小值,∴cos (π3+k )=-1,∴π3+θ=π+2k π,k ∈Z,又∵0<θ<π,∴θ=2π3,即f (x )=cos (k +2π3).令-π+2k π≤x+2π3≤2k π,k ∈Z,解得-5π3+2k π≤x ≤-2π3+2k π,k ∈Z,又∵x ∈[0,π],∴k=1,∴f (x )在[0,π]上的单调递增区间是[π3,π],故选A .2.C [解析] 因为函数f (x )=cos x 是偶函数,所以c=f (ln 13)=f (ln 3).因为0<ln 2<ln 3<ln π<π,且函数f (x )在[0,π]上单调递减,所以f (ln 2)>f (ln 3)>f (ln π),即a>c>b.故选C . 3.C [解析] 由题可知,函数的最小正周期T=2×2=4,所以ω=2π4=π2.令π2x+π6=k π+π2,k ∈Z,解得x=2k+23,k ∈Z,结合选项可知,x=23满足条件.故选C . 4.π [解析] 易知T=2π2=π.【备选理由】 例1考查余弦函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域问题;例2考查根据函数在所给区间内无最值求参数范围的问题;例3考查抽象函数比较大小的问题,考查函数的单调性和对称性以及三角函数的知识,是较好的综合题;例4综合考查正弦函数与余弦函数的单调性,并结合充要条件进行考查.例1 [配合例2使用] 已知函数f (x )=1+4cos x-4sin 2x ,x ∈-π4,2π3,则f (x )的值域为 . [答案] [-4,5][解析] f (x )=1+4cos x-4sin 2x=1+4cos x-4(1-cos 2x )=4cos 2x+4cos x-3=4(cos k +12)2-4,因为x ∈[-π4,2π3],所以cos x ∈[-12,1],所以4(cos k +12)2-4∈[-4,5],故函数f (x )的值域为[-4,5].例2 [配合例2使用] 若函数f (x )=sin (kk +π6)(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值,则ω的取值范围是( )A .(0,112]∪[14,23] B .(0,16]∪[13,23] C .[14,23] D .[13,23][解析] B 由正弦函数的单调性可知,函数y=sin x 的单调区间为k π+π2,k π+3π2,k ∈Z .由k π+π2≤ωx+π6≤k π+3π2,k ∈Z,得k π+π3k≤x ≤k π+4π3k,k ∈Z .∵函数f (x )=sin (kk +π6)(ω>0)在区间(π,2π)内没有最值, ∴函数f (x )在区间(π,2π)内单调, ∴(π,2π)⊆[k π+π3k,k π+4π3k],k ∈Z,即{k π+π3k ≤π,k π+4π3k≥2π,k ∈Z,解得k+13≤ω≤k 2+23,k ∈Z .由k+13<k 2+23,k ∈Z,得k<23,k ∈Z,∴当k=0时,得13≤ω≤23;当k=-1时,得-23≤ω≤16,又ω>0,故0<ω≤16.综上得,ω的取值范围是(0,16]∪[13,23]. 故选B .例3 [配合例4使用] [2018·豫西南示范性高中联考] 已知定义在R 上的函数f (x )在区间(-1,0)上单调递减,f (x+1)的图像关于直线x=-1对称,若α,β是钝角三角形中的两个锐角,则f (sin α)和f (cos β)的大小关系为 ( ) A .f (sin α)>f (cos β) B .f (sin α)<f (cos β)C .f (sin α)=f (cos β)D .以上情况均有可能[解析] B 已知f (x+1)的图像关于直线x=-1对称,可得到f (x )的图像关于直线x=0对称,故函数f (x )是偶函数.因为α,β为钝角三角形中的两个锐角,所以α+β<π2,所以α<π2-β,故得到sin α<sin (π2-k )=cos β,且sin α∈(0,1),cos β∈(0,1).因为函数f (x )在区间(-1,0)上单调递减,所以函数f (x )在(0,1)上单调递增,故f (sin α)<f (cos β).故选B . 例4 [配合例5使用] [2018·四川双流中学一模] “φ=3π4”是“函数y=cos 2x 与函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] A 由题意可得,函数y=cos 2x 在区间[0,π4]上单调递减. 当φ=3π4时,函数y=sin (2k +3π4),x ∈[0,π4],可得2x+3π4∈[3π4,5π4],∴函数y=sin (2k +3π4)在区间[0,π4]上单调递减,∴充分性成立;易知当φ=2π3时,函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π4]上也单调递减,∴必要性不成立.∴“φ=3π4”是“函数y=cos 2x 与函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的充分不必要条件.。