金新学案北师大高中数学选修22检测：第三章导数应用 22 含答案

合集下载

北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试(含答案解析)

一、选择题1．已知函数()()ln 0f x ax x a =->有两个零点1x ，2x ，且122x x <，则a 的取值范围是（）A ．2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,ln 3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．230,ln 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（） A ．()f x 是奇函数B ．若0a =，则()f x 是增函数C ．当3a=-时，函数()f x 恰有三个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点3．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <14．已知函数()32f x x bx cx =++的图象如图所示，则2212x x +等于（）A ．23B ．43C ．83D ．1635．等差数列{a n }中的a 2、a 4030是函数321()4613f x x x x =-+- 的两个极值点，则log 2（a 2016）=（） A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．定义域为R 的连续可导函数()f x 满足()()xf x f x e '-=，且()00f =，若方程()()21016m f x f x ++=⎡⎤⎣⎦有四个根，则m 的取值范围是（） A ．2416e e m -<-D ．2e m >8．已知定义在R 上的函数()y xf x '=的图象（如图所示）与x 轴分别交于原点、点(2,0)-和点(2,0)，若3-和3是函数()f x 的两个零点，则不等式()0f x >的解集（）A ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞B ．(-∞，3)(3-，)+∞C ．(-∞，3)(0-⋃，2)D ．(3-，0)(3⋃，)+∞9．直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+，ln y x x =+相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（） A ．1B ．2C 2D 310．设函数()'f x 是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<，则函数31()()g x f x x =-的零点个数为（） A ．3 B ．2 C ．1D ．011．已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为（） A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(,1)-∞-12．已知函数22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．[)28,4,e ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 二、填空题13．已知函数()2e 2=++xf x ax a ，若不等式()()1≥+f x ax x 对任意[]2,5x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________．14．已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的取值范围为___________15．已知函数()24ln f x x x a x =++，若函数()f x 在()1,2上是单调函数，则实数a 的取值范围是______．16．设动直线x m =与函数()32f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则线段MN 长度的最小值为______．17．如图，等腰直角ABC 底边4BC =，E 为BC 上异于B ，C 的一个动点，点F 在AB上，且EF BC ⊥，现将BEF 沿EF 折起到B EF '的位置，则四棱锥B AFEC '-体积的最大值为___________.18．设函数()21ln 12f x x x bx =+-+（b 为常数），若函数()f x 在[]1,3上存在单调减区间，则实数b 的取值范围是______. 19．已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x 都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是____20．已知函数()32sin f x x x =-，若2(3)(3)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ，()()()g x f x f x '=+是偶函数．（1）求函数()g x 的极值以及对应的极值点．（2）若函数43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++，且()h x 在[]2,5上单调递增，求实数c 的取值范围．22．已知函数()xf x ax e =-(a R ∈，e 为自然对数的底数).（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥-，()232f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最大值.23．已知函数()ln 1x f x ae x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）证明：当1a e≥时，()0f x ≥． 24．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少. 25．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围. 26．已知32()1,f x x ax a R =++∈. （1）若()f x 在23x =处取极值，求()f x 在点(,1)a -处切线方程；（2）若函数()f x 在区间[]01，最小值为－1，求a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据已知可进行分离参数后，构造函数，两个零点1x ，2x ，求解a 的范围和切点，可得1201x x <<<，且()()12f x f x =，结合1x 与2x 的大小关系及函数的性质可求1x 的范围，然后结合函数单调性进行求解即可．【详解】解：函数()()ln 0f x ax x a =-> 有两个零点1x ，2x ，令()0f x =，可得e xa x =令()e xg x x=即()()2e 1x x g x x-'=，令()0g x '=，可得1x =，可得当()0,1x ∈时，则()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，则()0g x '>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得1201x x <<<，（i ）若1102x <<，则21120x x >>>，符合题意；（ii ）若1112x <<，则2121x x >>，根据单调性，可得()()122f x f x <，即()()112f x f x <，可得1111ln 22ln ax x ax x -<-，1ln 2x ∴>，综合（i ）（ii ）得，1x 的取值范围是()ln 2,1．又()g x 在()ln 2,1上单调递减，可得()()ln 2g x g >，即2ln 2a．故选：A ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数求解参数的取值范围，体现了转化思想的应用．导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2．C解析：C 【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''= 所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-对B, 当0a =时，()2'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确.对C,当3a=-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时，()2cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=>所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10fx '=，()20f x '=成立则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.所以函数()3sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在()2,x +∞单调递增.所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 3．D解析：D 【解析】因为f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x)<0⇒－2<x<2，所以函数f(x)＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f(x)在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以221212m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩从中解得－1≤m<1，选D.点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.4．C解析：C 【分析】先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可【详解】由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，解得3,2b c =-=，又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，121222,3x x x x ∴+==， ()222121212482433x x x x x x ∴+=+-=-=，故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.5．A解析：A 【解析】2240302016220162()86084,log log 42f x x x a a a a =-+=∴+=⇒='== ，选A.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，注意利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.6．B解析：B 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，，故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.7．A解析：A 【分析】构造函数()()xf x x b e =+，根据()00f =求出0b =，利用导数判断函数的单调性，作出其大致图像，令()t f x =，只需21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由()()()()()()()()221x xxxxx x f x e f x e f x f x e e f x e ef x e '-'-=-=⇒'=⇒，则()()()()1xx xf x f x x b x x b e e e f ⎡⎤=⇒=+=+⎢⎥⎣⎦⇒，由()000f b =⇒=，则()xf x e x =⋅.由()()1xf x ex '=+，当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增；当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，当x →-∞，()0f x <，x →+∞，()0f x >，如图所示：令()t f x =，则21016mt t ++=，由已知可得21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()2116g t mt t =++，由12121001016t t m m t t m ⎧+=-<⎪⎪⇒>⎨⎪⋅=>⎪⎩，则()21000,41601102g e e g m e em ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪>⇒∈-⎨⎪∆>⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩. 故选：A 【点睛】本题考查了构造函数判断函数的单调性、根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了二次函数根的分布，此题综合性比较强，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据()y xf x '=的图像可得()'f x 在R 上的正负值，进而求得原函数的单调性，再结合()f x 的零点画出()f x 的简图，进而求得不等式()0f x >的解集.【详解】由图，当(),2x ∈-∞-时()0xf x '>，故()0f x '<，()f x 为减函数；当()2,0x ∈-时()0xf x '<，故()0f x '>，()f x 为增函数；当()0,2x ∈时()0xf x '<，故()0f x '<，()f x 为减函数；由图，当()2,x ∈+∞时()0xf x '>，故()0f x '>，()f x 为增函数；又3-和3是函数()f x 的两个零点，画出()f x 的简图如下：故不等式()0f x >的解集为()(),33,-∞-+∞.故选：B【点睛】本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.9．B解析：B 【分析】设A （a ，2 a+1），B （a ，a+lna ），求出|AB |，利用导数求出|AB |的最小值．【详解】设A （a ，2a+1），B （a ，a+lna ），∴|AB |＝211a a lna a lna +-+=+-（），令y 1x lnx =+-，则y ′=11x-， ∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴x ＝1时，函数y 的最小值为20>，∴|AB |＝2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-（），其最小值为2.故选B ．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．10．D解析：D 【分析】构造函数3()()1F x x f x =-，可得出3()()F x g x x=，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数3()()F x g x x =的零点个数. 【详解】设3()()1F x x f x =-，则3233()()()3()()f x F x x f x x f x x f x x '''⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<，当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在(0,)+∞上单调递减；当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(,0)-∞上单调递增. 所以max ()(0)10F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点，故331()()()F x g x f x x x=-=也没有零点.故选：D . 【点睛】本题考查函数零点个数的判断，解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.11．C解析：C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在[0，)+∞上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【详解】解：2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=，则()f x 是偶函数，()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+，当0x 时，()0f x '，即函数在[0，)+∞上为增函数，则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<，即()()|23|1f x f +<，则|23|1x +<，得1231x -<+<，得21x -<<-，即不等式的解集为(2,1)--，故选：C ．【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．12．D解析：D 【分析】函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有两个不同的交点，当2x >时，()22xx xf x e+=对其求导判断单调性，作出()y f x =的图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()0g x f x m =-=可得()f x m =，所以函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有两个不同的交点，当2x >时，()22x x x f x e +=，()()()2222222x x x x x e e x x x f x e e+-+-'==，当2x >时()220xx f x e-'=<，()f x 单调递减，当2x ≤时，()2f x x =+单调递增，所以()f x 图象如图所示：当2x =时，()22222282f e e+⨯==，所以280x e <<，故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题13．【分析】原不等式可化为当时该不等式恒成立当时不等式可化为从而构造函数求导并判断单调性可求出令即可【详解】由题意不等式可化为当时恒成立；当时不等式可化为令则求导得所以在上单调递减在上单调递增所以则综上解析：(3,e ⎤-∞⎦【分析】原不等式可化为()e 2xa x ≥-，当2x =时，该不等式恒成立，当(]2,5x ∈时，不等式可化为e 2x a x ≥-，从而构造函数()e 2xg x x =-，求导并判断单调性，可求出()min g x ，令()min g x a ≥即可. 【详解】由题意，不等式()2e 21x ax a ax x ++≥+可化为()e 2xa x ≥-，当2x =时，()e 2xa x ≥-恒成立；当(]2,5x ∈时，不等式可化为e 2xa x ≥-，令()e 2xg x x =-，(]2,5x ∈，则()min g x a ≥，求导得()()()2e 32x x g x x -'=-，所以()g x 在()2,3上单调递减，在[]3,5上单调递增，所以()()3min 3e g x g ==，则3e a ≤，综上所述，实数a 的取值范围是(3,e ⎤-∞⎦. 故答案为：(3,e ⎤-∞⎦.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为e 2xa x ≥-，通过构造函数()e 2xg x x =-，令()min g x a ≥，可求出a 的取值范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.14．【分析】直线与曲线有公共点等价于方程在时有解即有解构造函数利用导数求出函数的取值情况即可求出k 的取值范围【详解】直线与曲线有公共点等价于方程在时有解即有解设则由解得此时函数单调递增由解得此时函数单调解析：1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，等价于方程ln kx x =在0x >时有解，即ln xk x=有解，构造函数()ln xf x x=，利用导数求出函数的取值情况，即可求出k 的取值范围. 【详解】直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，∴等价于方程ln kx x =在0x >时有解，即ln xk x=有解，设()ln xf x x =，则()21ln xf x x -'=，由()0f x '>，解得0x e <<，此时函数单调递增，由()0f x '<，解得x e >，此时函数单调递减，当x e =时，函数()f x 取得极大值，同时也是最大值()ln 1e f e e e==，所以()1f x e ≤，1k e∴≤，即k 的取值范围为1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了等价转化的思想，属于中档题.15．【分析】对函数进行求导导函数在区间上恒非正或恒非负进行求解即可【详解】由题意得：函数的定义域为由题意可知：或在区间上恒成立当在区间上恒成立时当时因此有；当在区间上恒成立时当时因此有综上所述：实数的取解析：(,16][6,)-∞-+∞【分析】对函数进行求导，导函数在区间()1,2上恒非正或恒非负进行求解即可. 【详解】由题意得：函数()f x 的定义域为()0+∞，， 2'()+4ln ()2+4af x x x a x f x x x=+⇒=+，由题意可知：'()0f x ≥或'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立.当'()0f x ≥在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2ax a x x x x+≥⇒≥--=-+，当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈--，，因此有6a ≥-；当'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2ax a x x x x+≤⇒≤--=-+，当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈-，，因此有16a ≤-，综上所述：实数a 的取值范围是(,16][6,)-∞-+∞. 故答案为：(,16][6,)-∞-+∞. 【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.16．【分析】构造函数利用导数求得的最小值进而求得线段长度的最小值【详解】构造函数则所以在上递增令解得所以在上递增在上递减所以的最小值为也即的最小值为故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值解析：()11ln 63+ 【分析】构造函数()()()()0h x f x g x x =->，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得线段MN 长度的最小值. 【详解】构造函数()()()()32ln 0h x f x g x x x x =-=->，则()()'2''2116,120h x x h x x x x=-=+>，所以()'h x 在()0,∞+上递增，令()'0h x =解得136x -==. 所以()h x 在130,6-⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在136,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以()h x 的最小值为()3111333111626ln 6ln 61ln 6333h ---⎛⎫⎛⎫=⨯-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.也即MN 的最小值为()11ln 63+. 故答案为：()11ln 63+【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17．【分析】设则设根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥体积为利用正弦函数的最大值以及导数求得的最大值可得结果【详解】设则设则四棱锥的高四边形的面积为则四棱锥体积为当且仅当时取等号令则令得令得所以函数在上递增【分析】设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥B AFEC '-体积为31sin (8)6x x θ-，利用正弦函数的最大值以及导数求得31(8)(04)6y x x x =-<<的最大值可得结果.【详解】设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，则四棱锥B AFEC '-的高sin sin h B E x θθ'==，四边形AFEC 的面积为22111424222x x ⨯⨯-=-，则四棱锥B AFEC '-体积为211sin (4)32x x θ⨯-3311sin (8)(8)66x x x x θ=-≤-，当且仅当sin 1θ=，2πθ=时取等号，令31(8)(04)6y x x x =-<<，则21(83)6y x '=-，令0y '>，得0x <<0y '<4x <<，所以函数31(8)(04)6y x x x =-<<在上递增，在上递减，所以当x =31(8)6y x x =-所以当,23x πθ==时，四棱锥B AFEC '-【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考查了正弦函数的最值，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.18．【分析】根据题意将函数在上存在单调减区间转化为在上有解则只需：只需在内即可结合基本不等式即可求出的取值范围【详解】解：由题意知：在上存在单调减区间在上有解即在上有解即在上有解只需在内即可当且仅当时取解析：()2,+∞【分析】根据题意，将函数()f x 在[]1,3上存在单调减区间，转化为()0f x '<在[]1,3上有解，则只需：只需在[]1,3内min1b x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭即可，结合基本不等式，即可求出b 的取值范围. 【详解】解：由题意知：()()21ln 102f x x x bx x =+-+>，()211x bx f x x b x x-+'∴=+-=， ()f x 在[]1,3上存在单调减区间，()0f x '∴<在[]1,3上有解，即10x b x+-<在[]1,3上有解，即1>+b x x 在[]1,3上有解，只需在[]1,3内，min 1b x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭即可， 0x，12x x∴+≥，当且仅当1x =时取得最小值2，即在在[]1,3内min12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以：2b >，则b 的取值范围是：()2,+∞. 故答案为：()2,+∞. 【点睛】本题考查导数的应用，以及基本不等式的应用，考查转化思想和计算能力.19．【分析】由条件不妨设恒成立即为恒成立构造函数只需在上为增函数即可即求恒成立时的取值范围【详解】依题意不妨设恒成立恒成立设即在上为增函数恒成立只需的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性求参解析：[1,)+∞【分析】由条件不妨设12x x >，()()12122f x f x x x ->-恒成立，即为()()112222f x x f x x ->-恒成立，构造函数()()2g x f x x =-，只需()g x 在(0,)+∞上为增函数即可，即求()0g x '≥恒成立时a 的取值范围. 【详解】依题意，不妨设12x x >，()()12122f x f x x x ->-恒成立，()()112222f x x f x x ->-恒成立，设()()2g x f x x =-即12()(),()g x g x g x >在(0,)+∞上为增函数，2()2,()1220ln ag x x g x x x a x x'=-+-+=≥， 22,(0,)a x x x ≥-+∈+∞恒成立，只需2max (2)1,(0,)a x x x ≥-+=∈+∞,a ∴的取值范围是[1,)+∞.故答案为:[1,)+∞. 【点睛】本题考查函数的单调性求参数范围，构造函数把问题等价转化为函数的单调性是解题的关键，属于中档题.20．(13)【分析】确定函数为奇函数增函数化简得到解得答案【详解】函数为奇函数函数单调递增即即解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式意在考查学生对于函数性质的灵活运用解析：(1,3) 【分析】确定函数为奇函数，增函数，化简得到233a a a -<-，解得答案. 【详解】()32sin f x x x =-，()()32sin f x x x f x -=-+=-，函数为奇函数，'()32cos 0f x x =->，函数单调递增，2(3)(3)0f a a f a -+-<，即2(3)(3)(3)f a a f a f a -<--=-，即233a a a -<-，解得13a <<. 故答案为：()1,3. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.三、解答题21．（1）函数()g x的一个极大值点为，对应的极大值为9，另一个极大值点为9；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为0；（2）4,13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】(1)求出()g x 的表达式，结合函数的奇偶性即可求出140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，从而可确定()g x 的解析式，求出导数即可求出函数的极值点和极值.(2)结合第一问可得()h x 的解析式，从而可求出2()32h x cx x c '=-+，由()h x 的单调性可得213c x x≥+在[]2,5上恒成立，设()13m x x x=+，利用导数求出()m x 在[]2,5上的最小值，从而可求出实数c 的取值范围. 【详解】解：（1）∵432()f x ax x bx =++，∴32()432f x ax x bx '=++，∴432()()()(41)(3)2g x f x f x ax a x b x bx '=+=+++++，因为()g x 为偶函数，∴41020a b +=⎧⎨=⎩，解得140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴431()4f x x x =-+，则421()34g x x x =-+，∴3()6(g x x x x x x '=-+=-，由()0g x '>，解得x <或0x <<()0g x '<，解得>x0x <<；∴()g x在(,-∞，(单调递增；在()，)+∞单调递减．∴函数()g x的一个极大值点为(9g =，9g =；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为()00g =. （2）由（1）知431()4f x x x =-+，∴43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++322cx x cx c =-++，∴2()32h x cx x c '=-+，因为函数()h x 在[]2,5上单调递增， ∴2320cx x c -+≥在[]2,5上恒成立，即2221313x c x x x≥=++在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，令()22213130x m x x x -'=-==，解得[]2,5x =，当[]2,5x ∈时，()0m x '>，所以()13m x x x=+在[]2,5上单调递增，则()()1322m x m ≥=，所以24=13132c ≥. 【点睛】方法点睛：已知奇偶性求函数解析式时，常用方法有：一、结合奇偶性的定义，若已知偶函数，则()()f x f x -=，若已知奇函数，则()()f x f x -=-，从而可求出函数解析式；二、由奇偶性的性质，即偶函数加偶函数结果也是偶函数，奇函数加奇函数结果也是奇函数. 22．（1）见解析；（2）1. 【分析】（1）按照0a ≤、0a >分类，结合导函数的正负即可得解；（2）转化条件为2231e xx ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立，令()223,1xx ax a g x x e++-=≥-，按照4a ≥、4a <分类，结合导数确定函数()g x 的最大值即可得解. 【详解】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()xf x a e '=-，故当ln x a <时，有()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递增；当ln x a >时，有()0f x '<，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递减；所以当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减；（2）因为当1x ≥-时，()232f x a x ≤--恒成立，所以2231e xx ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立，令()223,1xx ax a g x x e ++-=≥-，则()()()()22313e exx x a x a x x a g x ⎡⎤-+-+--++-⎣⎦'==，①当31a -≤-即4a ≥时，()0g x '≤，()g x 在[)1,-+∞单调递减，则要使()()121g a e -=-≤，解得12a e≤+(不合题意)； ②当31a ->-即4a <时，则当()1,3x a ∈--时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当()3,x a ∈-+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；则要使()()()()233max3323631aa a a a a ag x g a e e ---+-+--=-==≤ 令31t a =->-，3a t =-，设()3,1tt h t t e +=>-，则要使()1h t ≤，因为()20e tth t --'=<，所以()h t 在()1,-+∞单调递减，而()11h >，()21h <，所以整数t 的最小值为2，故整数a 的最大值为1. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及解决不等式恒成立问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.23．（1）在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）由()20f '=可得212a e =，由导函数的符号可得函数的单调区间；（2）当1a e 时，()ln 1x e f x x e--()g x =，利用导数证明()0g x ≥即可. 【详解】（1）()f x 的定义域为1(0,),()e x f x a x'+∞=-．由题设知，()20f '=，所以212a e =．从而22111()ln 1,()22x x f x e x f x e e e x'=--=-．当02x <<时，()0f x <′；当2x >时，()0f x >′．所以()f x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增．（2）证明：当1a e 时，()ln 1x e f x x e--．设()ln 1x e g x x e =--，则1()x e g x e x'=-为(0,)+∞上的增函数，当01x <<时，()0(1)g g x '<'=；当1x >时，()(1)0g x g ''>=．所以()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以1x =是()g x 的最小值点．故当0x >时，()()10g x g ≥=．因此，当1ae时，()()0f x g x ≥≥．【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.24．（1）见解析；（2）若c<3102，则当v ＝3102时，总用氧量最少；若c≥3102，则当v ＝c 时，总用氧量最少．【分析】（1）结合题意可得y 关于v 的函数关系式．（2）由（1）中的函数关系，求导后得到当0<v<3102时，函数单调递减；当v>3102时，函数单调递增．然后再根据c 的取值情况得到所求的速度．【详解】(1)由题意，下潜用时 (单位时间)，用氧量为×＝＋ (升)，水底作业时的用氧量为10×0．9＝9(升)，返回水面用时＝ (单位时间)，用氧量为×1．5＝ (升)，因此总用氧量232409,(0)50v y v v=++>． (2)由（1）得232409,(0)50v y v v=++>， ∴y′＝－＝，令y′＝0得v ＝3102，当0<v<3102时，y′<0，函数单调递减；当v>3102时，y′>0，函数单调递增．①若c<3102 ，则函数在(c ，3102)上单调递减，在(3102，15)上单调递增， ∴ 当v ＝3102②若c≥3102，则y 在[c ，15]上单调递增，∴ 当v ＝c 时，总用氧量最少．【点睛】（1）在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．（2）用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．25．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）32a e > 【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围；【详解】解：（1）因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞，∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又a b =，∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．26．（1）y x =；（2）3a=-. 【分析】（1）求出导函数，结合()f x 在23x =处取极值，导函数为0，求解a ，然后求解切线的斜率，求解切线方程．（2）令()0f x '=，求出极值点，若0a ，若32a -，若302a >>-，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果．【详解】解：（1）∵2()3()3f x x x a '=+，又()f x 在23x =处取极值， ∴2()03f '=得1a =-，当1a =-时2()33f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在(),0-∞和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；∴32()1f x x x =-+，切点为(1,1)，切线斜率为(1)1k f '==∴()f x 在点(1,1)的切线方程为y x = （2）∵2()3()3a f x x x '=+，令()0f x '=得0x =或23a - 若0a ≥，则(0,1)x ∈时()0f x '>，()f x 在[0，1]为增函数此时min ()(0)11f x f ==>-舍去若32a ≤-，则213a -≥，此时(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在[0，1]为减函数 min ()(1)21f x f a ==+=-，得33(,)2a =-∈-∞-满足题意若302a >>-，则2013a <-<，此时2(0,)3x a ∈-时()0f x '<，2(,1)3a x ∈-时()0f x '>()f x 在2(0,)3a -单调递减，在2(,1)3a -单调递增，此时3min24()()11327a a f x f =-=+=-解得3(,0)2a =-舍去综合以上得3a=-【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．。

金新学案北师大高中数学选修22：阶段质量评估3 含答案

第三章导数应用一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1x 2等于( ) A ．9 B ．－9 C ．1D ．－1解析： f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，则x 1x 2＝1. 答案： C2．函数y ＝x ＋e －x 的增区间为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，1)解析：由y ′＝1－e －x ＞0解得x ＞0. 答案： B3．函数f (x )＝13x 3＋ax ＋1在(－∞，－1)上为增加的，在(－1,1)上为减少的，则f (1)等于( )A.73 B ．1 C.13D ．－1 解析： ∵f ′(x )＝x 2＋a ，又f ′(－1)＝0，∴a ＝－1，f (1)＝13－1＋1＝13.答案： C4．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c解析：由f ′(x )的图像知：x ＝0是f (x )的极小值点， ∴f (x )min ＝f (0)＝c . 答案： D5．函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图像如图所示．记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3] B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83 C.⎣⎡⎦⎤－32，12∪[1,2) D.⎣⎡⎦⎤－32，－13∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎦⎤43，3 解析：由条件f ′(x )≤0知，选择f (x )图像的减区间即为解．答案： A6．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析： y ′＝e x ＋a ，令y ′＝0，得x ＝ln(－a )，易知x ＝ln(－a )为函数的极值点，所以ln(－a )＞0，解得a ＜－1，故选A.答案： A7．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值是( ) A ．－π2B ．2 C.π6＋3 D.π3＋1 解析： f ′(x )＝1－2sin x ，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， ∴f ′(x )＞0，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－π2.答案： A8．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积为最大，则高为( ) A.33cm B.1033 cmC.1633cmD.2033 cm解析：设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2，其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)V ′＝π3(400－3x 2)令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0，所以当x ＝2033(cm)时，V 取最大值．答案： D9．已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3－4x 且图像过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：由题意知f (x )＝x 4－2x 2－5，令f ′(x )＝4x 3－4x ＝0，得x 的值为0，±1.答案： B10．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32解析：因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 11．函数y ＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]的最大值为_______，最小值为_________．解析： y ′＝3x 2－6x ＋6＝3[(x －1)2＋1]＞0，所以函数f (x )在[－1,1]上为增函数，最大值为f (1)＝2，最小值为f (－1)＝－12.答案： 2 －1212．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________________．解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解问题，即方程a ＝2x －e x 有解．令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为：g (ln 2)＝2ln 2－2.因此，a 的取值范围就是函数g (x )的值域，所以，a ∈(－∞，2ln 2－2]．答案： (－∞，2ln 2－2]13.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图像如图，则函数y ＝x 2＋23bx ＋c3的单调递增区间为____．解析：由f (x )的图像可知：f (x )的减区间为[－2,3]． ∴f ′(x )＝0的两根为－2,3，又∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴⎩⎨⎧－2b 3＝1c3＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝－18.∴y ＝x 2＋23bx ＋c 3＝x 2－x －6，其增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案： ⎝⎛⎭⎫12，＋∞14．若函数f (x )＝－x 3＋6x 2＋a 的极大值等于13，则实数a ＝__________. 解析： f ′(x )＝－3x 2＋12x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或4，由f ′(x )的图像(如图)，可知在x ＝4处f (x )取得极大值， ∴f (4)＝13，即－64＋96＋a ＝13， ∴a ＝－19. 答案：－19三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋1.求f (x )的单调区间和极值．解析： f ′(x )＝x 2－2x －3，由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝3. 列表如下：∴函数f (x )的极大值为83，极小值为－8，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1) 和(3，＋∞)，递减区间是(－1,3)．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )＜2|c |恒成立，求c 的取值范围．解析： (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ， ∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎨⎧－1＋3＝23a ，－1×3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：要使f (x )＜2|c |恒成立，只需c ＋54＜2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54＜2c ， ∴c ＞54；当c ＜0时，c ＋54＜－2c ，∴c ＜－18，∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．17．(本小题满分12分)已知某厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解析： (1)设平均成本为y 元，则 y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x40.y ′＝⎝⎛⎭⎫25 000x ＋200＋x 40′＝－25 000x 2＋140. 令y ′＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)．当在x ＝1 000附近左侧时，y ′＜0；在x ＝1 000附近右侧时，y ′＞0，故当x ＝1 000时，y 取得极小值，由于函数只有一个点使y ′＝0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值．因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为L ＝500x －⎝⎛⎭⎫25 000＋200x ＋x240 ＝300x －25 000－x 240，L ′＝⎝⎛⎭⎫300x －25 000－x 240′＝300－x20. 令L ′＝0，解得x ＝6 000.当在x ＝6 000附近左侧时，L ′＞0；在x ＝6 000附近右侧时，L ′＜0.故当x ＝6 000时，L 取得极大值．由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax ＋ax －3ln x .(1)当a ＝2时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )在[1，e]上为单调函数，求实数a 的取值范围．解析： (1)当a ＝2时，f (x )＝2x ＋2x－3ln x ，f ′(x )＝2－2x 2－3x ＝2x 2－3x －2x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝2或－12(∵x ＞0，舍去负值)，∴当a ＝2(2)∵f ′(x )＝ax 2－3x －ax 2，令h (x )＝ax 2－3x －a ＝a⎝⎛⎭⎫x －32a 2－9＋4a 24a，要使f (x )在[1，e]上为单调函数，只需f ′(x )在(1，e)内满足： f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，且等号只在孤立点取得． ∵h (1)＝－3＜0，∴h (e)＝a e 2－3e －a ≤0. ∴a ≤3ee 2－1. ①当0≤a ≤3ee 2－1时，f ′(x )≤0恒成立．②当a ＜0时，x ＝32a ∉[1，e]，∴h (x )＜0(x ∈[1，e])． ∴f ′(x )＜0，符合题意．综上可知，当a ≤3ee 2－1时，f (x )在[1，e]上为单调函数．。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测卷(包含答案解析)(3)

一、选择题1．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（）A ．()f x 是奇函数B ．若0a =，则()f x 是增函数C ．当3a=-时，函数()f x 恰有三个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点 2．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<3．已知函数()3ln f x x x =-与()3g x x ax =-的图像上存在关于x 轴的对称点,则实数a的取值范围为( ) A ．()e -∞，B ．1e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．(]e -∞， D ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，4．f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f （x ）+x •f '（x ）＜0，且f （﹣3）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集为（） A ．（﹣3，0）∪（3，+∞） B ．（﹣3，0）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） 5．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)6．若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为（） A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7．已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（） A ． 1b <-或2b > B ．1,b ≤-或b 2≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤8．若1201x x ，则（）A ．2121ln ln xxe e x x ->-B ．2121ln ln x x e e x x -<-C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e < 9．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃10．若121x x >>，则（） A ．1221xxx e x e > B ．1221x xx e x e < C ．2112ln ln x x x x >D ．2112ln ln x x x x <11．如果不等式3310x ax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．2,3⎡-⎢⎣⎦D ．2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦12．已知函数22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．[)28,4,e ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数1()cos ,()(0)2axf x xg x e a a π==-+≠，若1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为________.14．已知关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________．15．现有一块边长为3的正方形铁片，在铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值是______. 16．321313y x x x =--+的极小值为______． 17．已知函数()321213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在()2,2-上有极值，则实数a 的取值范围为______.18．设函数()22ln f x x x x =+-，若关于x 的方程()2f x x x a =++在(]0,2上恰有两个相异实根，则实数a 的范围是______.19．已知函数()32sin f x x x =-，若2(3)(3)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．20．若函数()2ln 12f x x mx x -+=有极值,则函数()f x 的极值之和的取值范围是________. 三、解答题21．已知函数()()ln 0af x x a a x=-+>．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，求a 的值；（2）求函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数；（3）若1x ∀、()21,x e ∈，()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，试写出a 的取值范围.（只需写出结论） 22．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. 23．已知2()2ln f x x x =- （1）求()f x 的最小值；（2）若21()2f x tx x ≥-在(]0,1x ∈内恒成立，求t 的取值范围. 24．已知函数f(x)＝12x 2＋lnx. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：当x>1时，12 x 2＋lnx<23x 3. 25．已知函数()ln ()af x x a R x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值是2，求a 的值. 26．设函数21()2x f x x e =. (1)求f （x ）的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''= 所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-对B, 当0a =时，()2'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确.对C,当3a=-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时，()2cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=>所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10fx '=，()20f x '=成立则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.所以函数()3sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在()2,x +∞单调递增.所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 2．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x -=，所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．3．B解析：B 【分析】由题中对称知f （x ）＝﹣g （x ）有解，即lnx a x =在（0，+∞）有解，令()lnxh x x=，求函数导数，分析单调性可得值域，进而可得解.函数f （x ）＝lnx ﹣x 3与g （x ）＝x 3﹣ax 的图象上存在关于x 轴的对称点， ∴f （x ）＝﹣g （x ）有解， ∴lnx ﹣x 3＝﹣x 3+ax ， ∴lnx ＝ax ，即lnxa x=在（0，+∞）有解，令()lnx h x x =，则()1'lnxh x x-=. 当()()()0,,0,?x e h x h x >'∈单调递增； ()()(),,0?x e h x h x ∈+'∞<，单调递减.()()1max h x h e e==，且()0,x h x →→-∞，所以1a e≤. 故选B. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，涉及函数对称的处理，考查了计算能力，属于中档题.4．B解析：B 【分析】构造函数()()g x xf x =，根据条件确定()g x 奇偶性与单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】令()()g x xf x =，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，又(0)0g = 因此()g x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （﹣3）＝0，所以(3)0(3)0g g -=∴=，当(3,0)x ∈-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <-=∴<>；当(,3)x ∈-∞-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >-=∴><；当(0,3)x ∈时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >=∴>>；当(3,)x ∈+∞时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <=∴<<；综上，不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，0）∪（0，3）故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.5．C解析：Cy ′＝3x 2＋1>0对于任何实数都恒成立．6．C解析：C 【分析】先假设函数()f x 不存在增区间，则()f x 单调递减，利用()f x 的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数a 的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数a 的取值范围. 【详解】若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减，此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立，可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选C. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用三次函数()321233y x bx b x =++++的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．【详解】∵()321233y x bx b x =++++，∴222y x bx b '=+++， ∵函数是R 上的单调增函数，∴2220x bx b +++≥在R 上恒成立， ∴0∆≤，即244(2)0b b -+≤.∴12b -≤≤ 故选：D. 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上()0f x '≥（或()0f x '≤）（()'f x 在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式0∆≤来进行求解.8．C【分析】令()x e f x x=，(01)x <<，()()ln 01xg x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】令()x e f x x =，(01)x <<，则2(1)()0x e x f x x -'=<，故()f x 在(0,1)递减，若1201x x ，则12()()f x f x >，故1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故C 正确，D 不正确；令()()ln 01xg x e x x =-<<，则11()x xxe g x e x x-'=-=，令()1x h x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =，则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减，当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增，所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.9．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.10．A解析：A 【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小. 【详解】①令()()1x e f x x x =>，则()()21'0x x e f x x-=>，∴()f x 在1,上单调递增，∴当121x x >>时，1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故A 正确．B 错误. ②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln 'xg x x-=，令()0g x =，则x e =，当1x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <，∴()g x 在()1,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，易知C ，D 不正确，故选A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.11．A解析：A 【分析】分0x =、10x -≤<、01x <≤三种情况讨论，利用参变量分离法计算出实数a 在各种情况下的取值范围，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】由已知，不等式3310x ax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立. ①当0x =时，则有10≥恒成立，此时a R ∈； ②当10x -≤<时，由3310x ax ++≥可得213a x x≤--，令()21f x x x =--，()32211220x f x x x x-'=-+=>，所以，函数()f x 在区间[)1,0-上为增函数，则()()min 10f x f =-=，则30a ≤，得0a ≤；③当01x <≤时，由3310x ax ++≥可得213a x x≥--，令()32120x f x x -'==可得x =，列表如下：此时，函数()f x在x =处取得极大值，亦即最大值，即()2maxf x =-=⎝⎭3a ∴≥2a ≥-.综上所述，实数a的取值范围是⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12．D解析：D 【分析】函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x xx f x ex x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有两个不同的交点，当2x >时，()22xx xf x e+=对其求导判断单调性，作出()y f x =的图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()0g x f x m =-=可得()f x m =，所以函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有两个不同的交点，当2x >时，()22x x x f x e +=，()()()2222222x x x x x e e x x x f x e e+-+-'==，当2x >时()220xx f x e-'=<，()f x 单调递减，当2x ≤时，()2f x x =+单调递增，所以()f x 图象如图所示：当2x =时，()22222282f e e+⨯==，所以280x e <<，故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题13．【分析】根据余弦型函数的性质求出当时函数的值域分类讨论利用指数型函数的性质求出函数在时的值域然后根据存在的定义进行求解即可【详解】因为所以因此在时单调递减所以有当时函数是单调递增函数当时即因为使得所解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据余弦型函数的性质求出当1[0,1]x ∈时，函数()1y f x =的值域，分类讨论利用指数型函数的性质，求出函数()2y g x =在2[0,1]x ∈时的值域，然后根据存在的定义进行求解即可. 【详解】因为1[0,1]x ∈，所以1[0,]x ππ∈，因此1()f x 在1[0,1]x ∈时，单调递减，所以有11(1)()(0)1()1f f x f f x ≤≤⇒-≤≤.当0a >时，函数1()2axg x e a =-+是单调递增函数，当2[0,1]x ∈时， ()2(0)(1)g g x g ≤≤，即231()22a a g x e a -≤≤-+，因为1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =，所以有：()3121112a a e a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩，令'1()(0)()12aa h a e a a h a e =-+>⇒=-，因为0a >，所以'()0h a >，因此函数 ()h a 单调递增，所以有3()(0)2h a h >=，因此不等式组(1)的解集为：12a ≥，而0a >，所以12a ≥；当0a <时，函数1()2axg x e a =-+是单调递减函数，当2[0,1]x ∈时， ()2(1)(0)g g x g ≤≤，即213()22a e a g x a -+≤≤-，因为1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =，所以有()1122312ae a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩：，令'1()(0)()12aa h a e a a h a e =-+<⇒=-，因为0a <，所以'()0h a <，因此函数 ()h a 单调递减，所以有3()(0)2h a h >=，因此不等式组 (2)的解集为空集，综上所述：12a ≥. 故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点睛：根据不等式112ae a -+≥构造新函数，利用导数求出新函数的最小值是解题的关键.14．【分析】把关于x 的方程有2个不相等的实数根转化为与函数的图象有两个不同的交点利用导数求得函数的单调性与极值即可求解【详解】由题意关于x 的方程有2个不相等的实数根即函数与函数的图象有两个不同的交点设则解析：(22ln2,)-+∞【分析】把关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，转化为y k =与函数2x y e x =-的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数()2x f x e x =-的单调性与极值，即可求解. 【详解】由题意，关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，即函数y k =与函数2x y e x =-的图象有两个不同的交点，设()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，令()20x f x e '=-=，解得ln 2x =，所以函数的减区间为(,ln 2)-∞，增区间为(ln 2,)+∞，所以函数()f x 的最小值为(ln 2)22ln 2f =-，且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞时，()f x →+∞，要使得2x e x k -=有2个不相等的实数根，所以22ln 2k >-．即实数k 的取值范围是(22ln2,)-+∞. 故答案为：(22ln2,)-+∞. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，其中解答中把方程根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用导数求得函数的单调性与极值是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.15．【分析】根据题意得到方盒底面是正方形边长为高为建立方盒容积的函数模型为再用导数法求解最值【详解】由题意得：方盒底面是正方形边长为高为所以方盒的容积为当时时所以当时取得最大值最大值为2故答案为：2【点解析：2【分析】根据题意得到方盒底面是正方形，边长为32x -，高为x ，建立方盒容积的函数模型为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<，再用导数法求解最值. 【详解】由题意得：方盒底面是正方形，边长为32x -，高为x ，所以方盒的容积为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<， 213122491222V x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当102x <<时，0V '>，1322x <<时，0V '<，所以当12x =时，V 取得最大值，最大值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查导数的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】求导根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为计算得到答案【详解】则当和时函数单调递增；当时函数单调递减故函数极小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求极值意在考查学生的计算能力和应解析：8-【分析】求导，根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为()3f ，计算得到答案. 【详解】()321313y f x x x x ==--+，则()()()2'2331f x x x x x =--=-+，当()3,x ∈+∞和(),1x ∈-∞-时，()'0f x >，函数单调递增；当()1,3x ∈-时，()'0f x <，函数单调递减，故函数极小值为()32313333183f ⨯--⨯+=-=. 故答案为：8-. 【点睛】本题考查了利用导数求极值，意在考查学生的计算能力和应用能力.17．【分析】求出函数的导数利用函数的极值点转化列出不等式求解即可【详解】解：可得导函数的对称轴为x ＝﹣1f （x ）在（﹣22）上有极值可得或可得或解得故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用函数的极值的解析：1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数的导数，利用函数的极值点，转化列出不等式求解即可. 【详解】解：()321213f x x x ax =+-+，可得()'222fx x x a =+-，导函数的对称轴为x ＝﹣1，f （x ）在（﹣2，2）上有极值，可得(2)0(1)0f f >⎧⎨-<''⎩或(2)0(1)0f f ->⎧⎨-<''⎩，可得44201220a a +->⎧⎨--<⎩或44201220a a -->⎧⎨--<⎩，解得1,42a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 故答案为：1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力.18．【分析】根据题意得转化为直线和函数的图像有两个不同的交点利用导数研究函数的单调性和最值即可得出实数a 的范围【详解】由及得令根据题意可得：直线和函数的图像有两个不同的交点令得此时函数单调递减令得此时函解析：(]1,2ln 2-【分析】根据题意得ln a x x =-，转化为直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，利用导数研究函数()g x 的单调性和最值，即可得出实数a 的范围. 【详解】由()22ln f x x x x =+-及()2f x x x a =++，得ln a x x =-，令()ln g x x x =-，根据题意可得：直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，1()1g x x'=-，令()0g x '<，得01x <<，此时函数()g x 单调递减，令()0g x '>，得12x <≤，此时函数()g x 单调递增，所以，当1x =时，函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈取得最小值，值为(1)1g =，又(2)2ln 2g =-，且当210x e <<时， 2211()22ln 2g x g e e⎛⎫>=+>- ⎪⎝⎭，故当12ln 2a <≤-时，直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，所以实数a 的范围是(]1,2ln 2-. 故答案为：(]1,2ln 2-. 【点睛】本题主要考查的是函数零点问题，本题解题的关键是转化为两函数图像的交点问题，利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生的分析问题能力，是中档题.19．(13)【分析】确定函数为奇函数增函数化简得到解得答案【详解】函数为奇函数函数单调递增即即解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式意在考查学生对于函数性质的灵活运用解析：(1,3) 【分析】确定函数为奇函数，增函数，化简得到233a a a -<-，解得答案. 【详解】()32sin f x x x =-，()()32sin f x x x f x -=-+=-，函数为奇函数，'()32cos 0f x x =->，函数单调递增，2(3)(3)0f a a f a -+-<，即2(3)(3)(3)f a a f a f a -<--=-，即233a a a -<-，解得13a <<. 故答案为：()1,3. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.20．【分析】先求导方程在上有根求出的范围根据韦达定理即可化简根据的范围即可求出【详解】解：的定义域是存在极值在上有根即方程在上有根设方程的两根为即故函数的极值之和的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了解析：(,3)-∞-【分析】先求导，方程210x mx -+=在(0,)+∞上有根求出m 的范围，根据韦达定理即可化简12()()f x f x +，根据m 的范围即可求出．【详解】解：()f x 的定义域是(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=-+=，()f x 存在极值，()0f x ∴'=在(0,)+∞上有根，即方程210x mx -+=在(0,)+∞上有根．设方程210x mx -+=的两根为1x ，2x ，∴240m ∆=->，120x x m +=>，121=x x即2m >22121212121()()()()()2f x f x x x m x x lnx lnx ∴+=+-+++，2121212121()()2x x x x m x x lnx x =+--++， 22112m m =--，21132m =--<-，故函数()f x 的极值之和的取值范围是(,3)-∞- 故答案为：(,3)-∞- 【点睛】本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题三、解答题21．（1）1a =；（2）答案见解析；（3）(][)0,1,e +∞.【分析】（1）由题意可得()10f '=，由此可解得实数a 的值；（2）求得()2x af x x-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间()1,e 上的单调性，结合零点存在定理可得出结论；（3）根据（2）中的讨论可写出实数a 的取值范围. 【详解】（1）()221a x af x x x x'-=-=，因为()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，且()10f =，所以()110f a '=-=，解得1a =. 经检验1a =符合题意；（2）由（1）知()2x af x x-'=，令()0f x '=，得x a =. （i ）当01a <≤时，()1,x e ∈，()0f x '>，函数()f x 在区间()1,e 上单调递增，所以()()10f x f >=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（ii ）当1a e <<时，若1x a <<，则()0f x '<，若a x e <<，则()0f x '>. 函数()f x 在区间()1,a 上单调递减，在区间(),a e 上单调递增，且()10f =，()1ea f e a =-+. 当()10af e a e=-+>，即11e a e <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点；当()10af e a e=-+≤时，即当e e e 1a <-≤时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（iii ）当a e ≥时，()1,x e ∈，()0f x '<，函数()f x 在区间()1,e 上单调递减，所以()()10f x f <=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点.综上：当01a <≤或ee 1a ≥-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；当11ea e <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点. （3）01a <≤或a e ≥. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22．（1）1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈．（2）存在4k =，使得()f x 是[-1,4]上的“4阶收缩函数”．（31b <≤ 【解析】试题分析：（1）根据()f x 的最大值可求出1()f x ，2()f x 的解析式；（2）根据函数2()f x x =，[14]x ∈-，上的值域，先求出1()f x ，2()f x 的解析式，再根据21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围得到答案.(3)先对函数()f x 求导判断函数的单调性，进而写出1()f x ，2()f x 的解析式，然后再由21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围. 试题（1）由题意可得：()1cos f x x =，[]0x π∈，，()21f x =，[]0x π∈，. （2）()[)[]2110004x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()[)[]2211114x f x x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()()[)[)[]221211010114x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，，，，，，当[]10x ，∈-时，()211x k x -≤+，∴1k x ≥-，2k ≥；当()01x ∈，时，()11k x ≤+，∴11k x ≥+，∴1k ≥；当[]14x ∈，时，()21x k x ≤+，∴21x k x ≥+，165k ≥综上所述，165k ≥.即存在4k =，使得()f x 是[]14-，上的“4阶收缩函数”. （3）()()23632f x x x x x =-+'=--，令()0f x '=得0x =或2x =.函数()f x 的变化情况如下：令0f x =得0x =或3x =.（1）当2b ≤时，()f x 在[]0b ，上单调递增，因此，()()3223f x f x x x ==-+，()()100f x f ==.因为()323f x x x =-+是[]0b ，上的“二阶收缩函数”，所以，①()()()2120f x f x x -≤-，对[]0x b ，∈恒成立； ②存在[]0x b ，∈，使得()()()210f x f x x ->-成立. ①即：3232x x x -+≤对[]0x b ，∈恒成立，由3232x x x -+≤解得01x ≤≤或2x ≥. 要使3232x x x -+≤对[]0x b ，∈恒成立，需且只需01b <≤. ②即：存在[]0x b ，∈，使得()2310x x x -+<成立.由()2310x x x -+<解得0x <或3322x <<.所以，只需32b >.综合①②1b <≤ （2）当23b <≤时，()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()100f x f ==，()()214f x f x -=，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立，（3）当3b >时，()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()10f x f b =<，()()()2144f x f x f b -=->，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立.综合（1）（2）（31b <≤. 23．（1）1 ；（2）(],1-∞. 【分析】（1）先求函数的导函数，求出函数的极值，并将它与函数的端点值进行比较即可.（2）要求若21()2f x tx x ≥-在(]0,1x ∈内恒成立，即转化为312ln 2xt x x x≤+-在(]0,1x ∈内恒成立，只需求312ln ()xh x x x x=+-(]0,1x ∈内的最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+设()()2112()2x x f x x x x+-'=-=，由()0f x '>得：1x >，由()0f x '<得：01x <<，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，min ()(1)1f x f ==，（2）若21()2f x tx x ≥-在(]0,1x ∈内恒成立，可得312ln 2x t x x x≤+-在(]0,1x ∈内恒成立，令312ln ()x h x x x x =+-，4224232ln ()x x x xh x x--+'=，因为(]0,1x ∈，所以430x -<，220x -<，22ln 0x x <，40x >，所以()0h x '<，可得()h x 在()0,1上单调递减，所以当1x =时，312ln ()xh x x x x=+-有最小值2，得22t ≤，所以1t ≤，故t 的取值范围是(],1-∞，【点睛】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及求函数恒成立问题，属于基础题. 24． (1) f(x)的单调增区间为(0，＋∞) (2)略【分析】（1）对函数求导，根据定义域，即可判断其单调性，从而知单调区间．（2）证明当x>1时，2312ln 23x x x +<，只需证当x>1时，3221ln 032x x x -->，可设3221()ln 32g x x x x =--，只需证明1x >时，()0>g x ，因此，利用导数研究()g x 的单调性，得出()(1)0g x g >>，结论得证．【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，∵f′(x)＝x ＋，故f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．(2)设g(x)＝x 3－x 2－lnx ，∴g′(x)＝2x 2－x －，∵当x>1时，g′(x)＝>0，∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)>g(1)＝>0，∴当x>1时， x 2＋lnx<x 3.【点睛】（1）求函数的单调区间，首先要考虑函数的定义域，然后求导，导函数大于0，可求单调递增区间，导函数小于0，可求单调递减区间．对于单调函数只需说明导函数大于0（小于0）即可．（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可转化为求函数最值（或值）的问题处理．25．（1）见解析；（2），a e =.【分析】（1）求得()2x a f x x ='-，分类讨论，即可求解函数的单调性；（2）当1a ≤时，由（1）知()f x 在[]1,e 上单调递增，分1a e <<和a e ≥两种情况讨论，求得函数的最小值，即可求解.【详解】（1）定义域为()0,+∞,求得()221a x a f x x x x='-=-, 当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,+∞单调递增 ,当0a >时，令()0f x '=，得 x a =，所以当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.（2）当1a ≤时，由（1）知()f x 在[]1,e 上单调递增，所以 ()()min 12f x f a ===（舍去）,当1a e <<时，由（1）知()f x 在[]1,a 单调递减，在[],a e 单调递增所以()()min ln 12f x f a a ==+=，解得a e = （舍去）,当a e ≥时，由（1）知()f x 在[]1,e 单调递减，所以()()min ln 12a a f x f e e e e==+=+=，解得a e = , 综上所述，a e =.【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中熟记函数的导数与函数的关系，准确判定函数的单调性，求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.26．（1）(,2)(0,)()f x -∞-+∞和为的增区间，(2,0)()f x -为的减区间. （2）m ＜0 ．【详解】解：（1）21()(2)22xxx e f x xe x e x x '=+=+ 令(2)0,02,(,2)(0,)()2xe x x x xf x +>><-∴-∞-+∞或和为的增区间， (2)0,20,(2,0)()2xe x x xf x +<-<<∴-为的减区间. （2）x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立等价于min ()f x >m, 令：21()(2)022xxx e f x xe x e x x =+'=+= ∴x=0和x=－2,由（1）知x=－2是极大值点，x=0为极小值点2222(2),(2)2,(0)0,()[0,2]f f e f f x e e -===∴∈, ∴m ＜0。

金版新学案2016-2017学年(北师大版)高中数学选修2-2：阶段质量评估3含答案

第三章导数应用一、选择题(本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数f（x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1x2等于( ）A．9 B．－9C．1 D．－1解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1x2＝1。

答案：C2．函数y＝x＋e－x的增区间为( ）A．(1,＋∞）B．(0，＋∞）C．(－∞，0) D．（－∞,1)解析: 由y′＝1－e－x＞0解得x＞0。

答案：B3．函数f(x)＝错误!x3＋ax＋1在（－∞，－1)上为增加的，在（－1,1)上为减少的，则f(1)等于( )A。

错误!B．1解析：∵f′（x)＝x2＋a,又f′(－1)＝0，∴a＝－1，f（1)＝错误!－1＋1＝错误!.答案：C4．已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′（x）的图像如图所示,则函数f（x)的极小值是( ）A．a＋b＋c B．8a＋4b＋cC．3a＋2b D．c解析：由f′(x)的图像知：x＝0是f（x）的极小值点，∴f（x）min＝f（0)＝c。

答案: D5．函数y＝f（x）在定义域错误!内可导，其图像如图所示．记y＝f(x）的导函数为y＝f′（x)，则不等式f′(x）≤0的解集为( ）A.错误!∪[2，3］B。

错误!∪错误!C。

错误!∪[1,2）D.错误!∪错误!∪错误!解析：由条件f′(x)≤0知，选择f（x)图像的减区间即为解．答案：A6．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则（）A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－错误!D．a＜－错误!解析: y′＝e x＋a，令y′＝0,得x＝ln(－a），易知x＝ln（－a）为函数的极值点，所以ln（－a)＞0，解得a＜－1，故选A.答案：A7．函数f(x)＝x＋2cos x在区间错误!上的最小值是（）A．－错误!B．2C。

错误!＋错误! D.错误!＋1解析：f′(x）＝1－2sin x，∵x∈错误!，∴f′(x)＞0，∴f(x)min＝f错误!＝－错误!。

金新学案北师大高中数学选修22检测：第三章导数应用含答案

第三章§1 1.2一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内有图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：函数在极小值点附近的图像应有先减后增的特点，因此根据导函数的图像，应该在导函数的图像上找从x轴下方变为x轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数只有1个极小值点．答案： A2．函数y＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n为()A．0 B．1C．2 D．4解析：y′＝3x2－3，令y′＝0，即3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝1，x2＝－1.当x∈(－∞，－1)时，y′＞0；当x∈(－1,1)时，y′＜0；当x∈(1，＋∞)时，y′＞0；∴函数在x＝－1处取得极大值，m＝f(－1)＝2，在x＝1处取得极小值，n＝f(1)＝－2，∴m＋n＝2＋(－2)＝0，故选A.答案： A3．已知函数y ＝ax 3－15x 2＋36x －24在x ＝3处有极值，则函数的递减区间为( ) A ．(－∞，1)，(5，＋∞) B ．(1,5)C ．(2,3)D ．(－∞，2)，(3，＋∞)解析： y ′＝3ax 2－30x ＋36 当x ＝3时，y ′＝27a －90＋36＝0 ∴a ＝2，∴y ′＝6x 2－30x ＋36 令y ′＜0得2＜x ＜3. ∴函数的递减区间是(2,3)．答案： C4．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＞－3 B ．a ＜－3 C ．a ＞－13D ．a ＜－13解析： y ′＝a e ax ＋3，令y ′＝0得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－3a a ，即为极值点．由题意得ln ⎝⎛⎭⎫－3a a ＞0，所以a ＜－3，故选B.答案： B 二、填空题5．函数y ＝cos 2x 在(0，π)内的极________值是___________．解析： y ′＝－2sin 2x ，令y ′＝0， ∵0＜x ＜π， ∴x ＝π2，又0＜x ＜π2时，y ′＜0；π2＜x ＜π时，y ′＞0 ∴当x ＝π2时，y 取极小值－1.答案：小－16．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是__________．解析： f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)． ∵y ＝f (x )既有极大值又有极小值， ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0. 解得a ＞2或a ＜－1. 答案： a ＞2或a ＜－1 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m ＞0)有极大值9. (1)求m 的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y ＝f (x )的切线，求此直线方程．解析： (1)f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，则x ＝－m 或x ＝13m ，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9，∴m ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋1，依题意知f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝－5， ∴x ＝－1或x ＝－13.又f (－1)＝6，f ⎝⎛⎭⎫－13＝6827，所以切线方程为y －6＝－5(x ＋1)，或y －6827＝－5⎝⎛⎭⎫x ＋13，即5x ＋y －1＝0，或135x ＋27y －23＝0.8．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极大值还是极小值，并说明理由．解析： (1)方法一：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， ∵x ＝±1是函数的极值点，∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧－2b3a ＝0， ①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.方法二：由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．因此当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.9．设函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0. 求证：(1)当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点．(2)当ab ＜0时，函数f (x )有且只有一个极值点并求极值．证明： (1)因为f (x )＝ax 2＋b ln x ，ab ≠0，所以f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx.当ab ＞0时，如果a ＞0，b ＞0，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；如果a ＜0，b ＜0，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．所以当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点．(2)当ab ＜0时， f ′(x )＝2a ⎝⎛⎭⎫x ＋－b 2a ⎝⎛⎭⎫x －－b 2a x，令f ′(x )＝0，得x 1＝－－b2a ∉(0，＋∞)(舍去)， x 2＝－b2a∈(0，＋∞)，当a ＞0，b ＜0时，f ′(x )、f (x )随x 的变化情况如下表：函数f (x )有且只有一个极小值点，极小值为f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝－b 2⎣⎡⎦⎤1－ln ⎝⎛⎭⎫－b 2a . 当a ＜0，b ＞0时，f ′(x )、f (x )随x 的变化情况如下表：函数f (x )有且只有一个极大值点，极大值为f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝－b 2⎣⎡⎦⎤1－ln ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，综上所述，当ab ＜0时，若a ＞0，b ＜0时，函数f (x )有且只有一个极小值点，极小值为－b 2⎣⎡⎦⎤1－ln ⎝⎛⎭⎫－b 2a . 若a ＜0，b ＞0时，函数f (x )有且只有一个极大值点，极大值为－b 2⎣⎡⎦⎤1－ln ⎝⎛⎭⎫－b 2a .。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()()ln 0f x ax x a =->有两个零点1x ，2x ，且122x x <，则a 的取值范围是（）A ．2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D ．⎛ ⎝⎭2．已知函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是（） A ．(,]e -∞- B ．(,1] -∞-C ．[1,) -+∞D ．[,)e3．已知3()ln 44x f x x x=-+，2()24g x x ax =--+，若对1(0,2]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（） A ．1[,)8-+∞B ．258ln 2[,)16-+∞ C ．15[,]84-D ．5(,]4-∞4．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（）A ．()()()223log af f f a << B ．()()()23log 2af f a f << C ．()()()2log 32af a f f <<D ．()()()2log 23af a f f <<5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2xB ．y ＝x 3－xC ．y ＝x e xD ．y ＝－x ＋ln(1＋x )6．若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（） A ．01a <- B ．2121ln ln x x ee x x -<-C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e <9．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（）A ．2eB ．eC ．1D ．1210．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++=（）A ．1011B ．1012C ．2019D ．202011．如果不等式3310x ax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2,3⎡-⎢⎣⎦D ．2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．定义在R 上的函数()f x 满足：()()22f x f x x -+=，且当0x <时，()2f x x '<，则不等式()()424f x f x x +≥-+的解集为______.14．若函数的()1,2ln ,x m x e f x x x x e⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域是[)1,e -+∞，其中e 是自然对数的底数，则实数m 的最小值是______.15．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2f x f x '+>，()01f =，则不等式()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦的解集为______．16．若函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是______.17．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且()10f =，当0x <时，()()+0f x f x x'>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________． 18．函数()()21xf x x =-的最小值是______.19．已知函数()ln g x a x =，若对[1,]x e ∀∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，则实数a 的取值范围是________.20．已知函数()ln =-xf x e a x 在[]1,4上单调递增，则a 的取值范围是______.三、解答题21．函数()21xf x xe x =-+.（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()()ln g x f x x x m =-+-的零点个数. 22．设函数()xf x e x =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当0x ≥时，()2112f x x ≥+. 23．已知函数()()2ln 1f x ax x =-+()0a ≠. （1）讨论()f x 的极值点的个数；（2）当0a >时，设()f x 的极值点为0x ，若()()00121f x x >-+，求a 的取值范围.24．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-；（1）若12a <≤，求函数()f x 的单调递减区间；（2）求证：若15a <<，则对任意的120x x >>，有1212()()1f x f x x x ->--．25．已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ，()()()g x f x f x '=+是偶函数．（1）求函数()g x 的极值以及对应的极值点．（2）若函数43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++，且()h x 在[]2,5上单调递增，求实数c 的取值范围．26．已知函数()2xf x e x a =-+，x ∈R ，曲线()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为y bx =.（1）求,a b ，并证明()2f x x x ≥-+；（2）若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A【分析】根据已知可进行分离参数后，构造函数，两个零点1x ，2x ，求解a 的范围和切点，可得1201x x <<<，且()()12f x f x =，结合1x 与2x 的大小关系及函数的性质可求1x 的范围，然后结合函数单调性进行求解即可．【详解】解：函数()()ln 0f x ax x a =-> 有两个零点1x ，2x ，令()0f x =，可得e xa x =令()e xg x x=即()()2e 1x x g x x-'=，令()0g x '=，可得1x =，可得当()0,1x ∈时，则()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，则()0g x '>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得1201x x <<<，（i ）若1102x <<，则21120x x >>>，符合题意；（ii ）若1112x <<，则2121x x >>，根据单调性，可得()()122f x f x <，即()()112f x f x <，可得1111ln 22ln ax x ax x -<-，1ln 2x ∴>，综合（i ）（ii ）得，1x 的取值范围是()ln 2,1．又()g x 在()ln 2,1上单调递减，可得()()ln 2g x g >，即2ln 2a．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数求解参数的取值范围，体现了转化思想的应用．导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2．B解析：B 【分析】根据题中条件，得到方程1ln xa e ex x x ⎛⎫=--++⎪⎝⎭有解，令1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域，对函数()h x 求导，判定其单调性，研究其值域，即可得出结果. 【详解】函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点，即方程1ln 0xe ex a x x -+++=有解，即方程1ln x a e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭有解，令1()ln xh x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域，因为()22111()xx x h x e e e e x x x -⎛⎫⎡⎤'=--+-=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当1x =时，()0h x '=；当01x <<时，0x e e -<，210x x -<，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+>⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递增；当1x >时，0x e e ->，210x x ->，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+<⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递减；所以max ()(1)1h x h ==-，画出函数()h x 的大致图像如下，由图像可得，()(],1h x ∈-∞-，所以a 的取值范围(],1-∞-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.3．A解析：A 【分析】先求()f x 最小值，再变量分离转化为对应函数最值问题，通过求最值得结果【详解】因为()(]3ln x 0,244x f x x x=-+∈，，所以22113(1)(3)()01444x x f x x x x x ---'=--==⇒=,(3舍去) 从而01,()0;12,()0;x f x x f x ''<<<<<>即1x =时()f x 取最小值12，因此[]x 1,2∃∈，使得21242x ax ≥--+成立，724x a x ≥-+的最小值，因为724x x -+在[]1,2上单调递减，所以724x x -+的最小值为271288-+=-，因此18a ≥-，选A. 【点睛】本题考查不等式恒成立与存在性问题，考查综合分析与转化求解能力，属中档题.4．C解析：C 【分析】由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，可知函数关于2x =对称，根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减，因为24a <<所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<，所以22log 32aa <<<，所以2(log )(3)(2)af a f f <<，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.5．C解析：C 【解析】A 在R 上是周期函数，2sin cos y x x =' ，导函数在(0，＋∞)上有正有负，故原函数有增有减；.B 231,y x -'= 在(0，＋∞)，有正有负，所以原函数不是增函数，C x x y xe e '=+ 0> ，恒成立，故原函数单调递增；D 1111x y x x-=-+=++' ，在(0，＋∞)上导函数为负，原函数应该是减函数．故选C ．点睛：判断函数的单调性的方法，可以根据导函数的正负来判断原函数的单调性．6．C解析：C 【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解.【详解】由题得211()0f x x x'=+>在区间()1,e 上恒成立，所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数，所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，可得111a e-<<.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．D解析：D 【分析】根据函数1()ln xf x x ax-=+，求导得到()'f x ，然后根据函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，转化为()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立求解. 【详解】函数1()ln xf x x ax-=+， ()2211()aax f x x ax ax --'=+=，因为函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立，又0a >，所以 10ax -≥在[1,)+∞上恒成立，即1a x≥在[1,)+∞上恒成立，令()()max 11g x g x x==，，所以1a ≥，故选：D 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．C解析：C 【分析】令()x e f x x=，(01)x <<，()()ln 01xg x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】令()x e f x x =，(01)x <<，则2(1)()0x e x f x x -'=<，故()f x 在(0,1)递减，若1201x x ，则12()()f x f x >，故1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故C 正确，D 不正确；令()()ln 01xg x e x x =-<<，则11()x xxe g x e x x-'=-=，令()1x h x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =，则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减，当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增，所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.9．C解析：C 【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果. 【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ，则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<，而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x+=，()2ln x f x x -'=，令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数，由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立，即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1. 故选：C. 【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()32f x nx x n =+-，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设函数()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数，因为当2n ≥时，()323()()2()(1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++，且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+，所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=，因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++=.故选：A. 【点睛】方法点睛：构造新函数()32f x nx x n =+-，结合导数和零点的存在定理，求得当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+是解答的关键. 11．A解析：A 【分析】分0x =、10x -≤<、01x <≤三种情况讨论，利用参变量分离法计算出实数a 在各种情况下的取值范围，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】由已知，不等式3310x ax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立. ①当0x =时，则有10≥恒成立，此时a R ∈； ②当10x -≤<时，由3310x ax ++≥可得213a x x≤--，令()21f x x x =--，()32211220x f x x x x-'=-+=>，所以，函数()f x 在区间[)1,0-上为增函数，则()()min 10f x f =-=，则30a ≤，得0a ≤；③当01x <≤时，由3310x ax ++≥可得213a x x≥--，令()32120x f x x -'==可得2x =，列表如下：()2max 2f x ⎛=-= ⎝⎭3a ∴≥2a ≥-. 综上所述，实数a 的取值范围是⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12．A解析：A【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解.【详解】由题意，函数32()42x x f x x x e e =-+-的定义域为R ，又由3322()42e (42)()e x x x xf x x x x x e f x e -=-++-=--+-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥，当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤，故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略：1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义.具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 二、填空题13．【分析】先由两边对求导根据题意得到推出时都有构造函数对其求导得到在上单调递减再由将原不等式化简得到根据函数单调性即可求出结果【详解】因为两边对求导得到令则因为当时所以因此又直线过原点所以因此时都有；解析：(],1-∞【分析】先由()()22f x f x x -+=两边对x 求导，根据题意，得到()f x x '-<-2，推出x ∈R 时，都有()2f x x '<，构造函数()()()424F x f x f x x =+---，对其求导，得到()F x 在R 上单调递减，再由()10F =，将原不等式化简得到()()1F x F ≥，根据函数单调性，即可求出结果.【详解】因为()()22f x f x x -+=，两边对x 求导，得到()()4f x f x x ''--+=，令0x >，则0x -<，因为当0x <时，()2f x x '<，所以()f x x '-<-2，因此()()42f x x f x x ''=+-<，又()00f =，直线2y x =过原点，所以()00f '≤，因此x ∈R 时，都有()2f x x '≤；令()()()424F x f x f x x =+---，则()()()()2422240F x f x f x x x '''=+--<---=，即函数()F x 在R 上单调递减，又()()()114140F f f =+--=，所以不等式()()424f x f x x +≥-+可化为()0F x ≥，即()()1F x F ≥，所以1x ≤，即原不等式的解集为(],1-∞.故答案为：(],1-∞.【点睛】本题主要考查由函数单调性解不等式，以及导数的方法判定函数的单调性，属于常考题型. 14．【分析】利用导数可求得当时函数的值域是；当时函数的值域是从而可得进而可得结果【详解】当时此时函数在上递增值域是当时是减函数其值域是因为函数的值域是所以于是解得即实数的最小值是故答案为：【点睛】本题主解析：312e - 【分析】利用导数可求得当x e ≥时，函数()f x 的值域是[)1,e -+∞；当x e <时，函数的值域是,2e m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭，从而可得,2e m ⎛⎫-++∞⊆ ⎪⎝⎭[)1,e -+∞，进而可得结果. 【详解】当x e ≥时，'1(ln )10,x x x-=->此时函数()f x 在[),e +∞上递增，值域是[)1,e -+∞. 当x e <时，12x m -+是减函数，其值域是,2e m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭. 因为函数()1,2,x m x e f x x lnx x e⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩的值域是[)1,e -+∞，所以,2e m ⎛⎫-++∞⊆ ⎪⎝⎭ [)1,e -+∞. 于是1,2e m e -+≥-解得312e m ≥-，即实数m 的最小值是312e -. 故答案为：312e -. 【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，以及利用导数求函数的最值，考查对基础知识掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.15．【分析】构造函数则所以的单调递减将转化成又再根据函数单调性即可求出结果【详解】设所以因为所以所以在上为减函数因为函数是定义在上的增函数所以所以在上恒成立又因为所以所以即因为所以所以又在上为减函数所以解析：(),0-∞【分析】构造函数()()2+=x f x g x e ，则()()()()20'-+'=<x f x f x g x e，所以()g x 的单调递减，将()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦转化成()23+>x f x e ，又()03g =，再根据函数单调性即可求出结果.【详解】设()()2+=x f x g x e ，所以()()()()()()()222''-+-+'==x x x x f x e f x e f x f x g x e e，因为()()2f x f x '+>，所以()0g x '<，所以()()2+=xf xg x e 在R 上为减函数，因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()0f x '>，所以()()20'+>>f x f x 在R 上恒成立，又因为()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦，所以()2ln 3+>f x x ，所以()23+>x f x e ，即()23+>x f x e ，因为()01f =，所以()()00203+==f g e ，所以()()0g x g >，又()()2+=xf xg x e 在R 上为减函数，所以0x <. 故答案为：(),0-∞【点睛】本题主要考查导数在判断单调性中的应用，解题的关键是合理构造函数，利用导函数判断构造的函数的单调性.16．或【分析】首先求出函数的导函数当时可得在定义域上单调递减再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点当时由导数可得函数的单调性及最小值为令利用导数说明的单调性即可求出参数的值；【详解】解：因为定义域为解析：0a ≤或1a =【分析】首先求出函数的导函数，当0a ≤时，可得()f x 在定义域上单调递减，再根据零点存在性定理可得()f x 在()0,1上存在唯一的零点，当0a >时，由导数可得函数()f x 的单调性及最小值为()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞利用导数说明()g a 的单调性，即可求出参数a 的值；【详解】解：因为()()2212ln 1f x ax a x x =+---，定义域为()0,∞+，所以()()()()()222122112221ax a x ax x f x ax a x x x+---+'=+--== 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，即()f x 在定义域上单调递减，()()1310f a =-<，当0x +→时，20ax →，()210a x -→，2ln x -→+∞，所以()f x →+∞，所以()f x 在()0,1上存在唯一的零点，满足条件；当0a >时，令()()()2110ax x f x x -+'=>，解得1x a >即函数在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()()()2110ax x f x x -+'=<，解得10x a <<即函数在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()f x 在1x a =取值极小值即最小值，()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞，则()2221210a g a a a a +'=+=>恒成立，即()112ln g a a a=+-在定义域上单调递增，且()112ln110g =+-=，所以要使函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则()min 1112ln 0f x f a a a ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭，解得1a =，综上可得0a ≤或1a =；故答案为：0a ≤或1a =【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.17．【分析】结合所给不等式构造函数可证明在时单调递减根据为偶函数且可得单调性的示意图结合函数图像即可求得使成立的的取值范围【详解】令则由题意可知当时不等式两边同时乘以可得即所以在时单调递减因为定义在上的解析：()()1,00,1- 【分析】结合所给不等式，构造函数()()g x x f x =⋅，可证明()g x 在0x <时单调递减，根据()f x 为偶函数且()10f =，可得()g x 单调性的示意图，结合函数图像即可求得使()0f x >成立的x 的取值范围.【详解】令()()g x x f x =⋅，则()()()g x f x x f x '=+⋅'由题意可知当0x <时，()()+0f x f x x'>，不等式两边同时乘以x 可得()()+0xf x f x '<，即()0g x '<，所以()()g x x f x =⋅在0x <时单调递减，因为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的()f x 为偶函数，所以()()g x x f x =⋅为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且()10f =，所以()()110g g =-=，由奇函数性质可得()()g x x f x =⋅函数图像示意图如下图所示：所以当0x <时，()0f x >的解集为()1,0-，当0x >时，()0f x >的解集为()0,1，综上可知，()0f x >的解集为()()1,00,1- 故答案为：()()1,00,1-.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，构造函数判断函数的单调性，数形结合法解不等式，属于中档题. 18．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为解析：14-【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值,【详解】因为()()21xf x x =-，故可得()()311x f x x ---'=，令()0f x '=，解得1x =-；故当(),1x ∈-∞-时，()f x 单调递减；当()1,1x ∈-时，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减.且()114f -=-，当x 趋近于1时()f x 趋近于正无穷；当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零.函数图像如下所示：故()f x 的最小值为14-. 故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.19．【分析】由已知条件推导出令由此利用导数性质能求出的取值范围【详解】解：由题意得到：且等号不能同时取所以即因而令又当时从而（仅当时取等号）在上为增函数的最小值为的取值范围是即故答案为：【点睛】本题考查解析：(],1-∞-【分析】由已知条件推导出22x x a x lnx--，([1,])x e ∈，令22()x x f x x lnx -=-，([1,])x e ∈，由此利用导数性质能求出a 的取值范围．【详解】解：由题意得到：2()2a x lnx x x --．[]1,x e ∈，1lnx x ∴且等号不能同时取，所以lnx x <，即0x lnx ->，因而22x x a x lnx--，([1,])x e ∈ 令22()x x f x x lnx-=-，([1,])x e ∈，又2(1)(22)()()x x lnx f x x lnx -+-'=-，当[]1,x e ∈时，10x -，1lnx ，220x lnx +->，从而()0f x '（仅当1x =时取等号），()f x 在[]1,e 上为增函数， ()f x ∴的最小值为()11f =-，a ∴的取值范围是1a -，即(],1a ∈-∞-故答案为：(],1-∞-．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用，属于中档题．20．【分析】求出函数的导数问题转化为在恒成立令根据函数的单调性求出的范围即可【详解】解：若在递增则在恒成立即在恒成立令则在递增故故故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性最值问题考查导数的应用以及函数恒解析：(],e -∞【分析】求出函数的导数，问题转化为x a xe 在[]1,4恒成立，令()x h x xe =，[]1,4x ∈，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【详解】解：()x a f x e x'=-，若()f x 在[]1,4递增，则()0f x '在[]1,4恒成立，即x a xe 在[]1,4恒成立，令()x h x xe =，[]1,4x ∈，则()(1)0x h x x e '=+>，()h x 在[]1,4递增，故()()1min h x h e ==，故a e ，故答案为：(],e -∞．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．三、解答题21．（1）1y x =-+；（2）答案见解析.【分析】（1）利用导数求出函数()f x 在0x =处的切线的斜率，并求出切点的坐标，利用点斜式可求得所求切线的方程；（2）令()()ln ln 1xh x f x x xe x x =-=--+，则问题转化为直线y m =与函数()y h x =的图象的交点个数，利用导数分析函数()h x 的单调性与极值，数形结合可得出直线y m =与函数()y h x =的图象的交点个数，由此可得出结论.【详解】（1）因为()()12xf x x e '=+-，所以()01f '=-，又()01f =，切点坐标为()0,1，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为：1y x =-+；（2）构造函数()()()ln ln 10xh x f x x x xe x x x =-+=--+> 则()()()()11111x x x xe h x x e x x+-'=+--=，令()1x m x xe =-，()()10xm x x e '=+>，则()m x 在()0,∞+单调递增，且11022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110m e =->，所以存在0,112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00m x =，即001x e x =，从而00ln x x =-. 所以当()00,x x ∈时，()0m x <，即()0h x '<，则()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0m x >，即()0h x '>，则()h x 单调递增.所以()()00000000min 01ln 112x h x h x x e x x x x x x ==--+=⋅-++=，如下图所示：所以当2m <时，()g x 没有零点；当2m =时，()g x 有1个零点；当2m >时，()g x 有2个零点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22．（1）函数()f x 的增区间为()0,∞+，减区间为(),0-∞；（2）证明见解析.【分析】（1）求出()f x '，解不等式()0f x '>、()0f x '<可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）构造函数()()2112g x f x x =--，利用导数证得()()00g x g ≥=，即可证得所证不等式成立.【详解】（1）函数()x f x e x =-的定义域为R ，且()1x f x e '=-. 令()0f x '>，可得0x >；令()0f x '<，可得0x <.因此，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞；（2）构造函数()()22111122x g x f x x e x x =--=---，则()1x g x e x '=--，当0x ≥时， ()10x g x e ''=-≥，所以，函数()g x '在区间[)0,+∞上为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ''≥=，所以，函数()g x 在区间[)0,+∞上为增函数，当0x ≥时，()()()211002f x x g x g --=≥=，()2112f x x ∴≥+. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.23．（1）答案见解析；（2）⎛⎫⎪+∞⎪⎭. 【分析】（1）()21221211ax ax f x ax x x +-'=-=++，令()2221g x ax ax =+-，分两种情况讨论，判断方程()0g x =根的个数即可；（2）由（1）知()00g x =，即2002210ax ax +-=，()20012a x x =+，先求得01x ，进而可得答案即可.【详解】（1）()21221211ax ax f x ax x x +-'=-=++，令()2221g x ax ax =+- 当0a >时，由()10g -<知，()g x 在()1,-+∞有唯一零点，故()f x 在()1,-+∞有一个极值点；当0a <时，()10g -<，()g x 的对称轴为12x =-，若方程()0g x =的0∆>，即2480a a +>，2a <-时，()g x 在()1,-+∞有两个零点，()f x 在()1,-+∞有两个极值点；若方程()0g x =的0∆≤，即2480a a +≤，20a -≤<时，()0g x ≤，()f x 在()1,-+∞上单减，无极值点.（2）由（1）知()00g x =，即2002210ax ax +-=，()20012a x x =+……（*）由0a >且010x +>得00x >，又∵()()00121f x x >-+，∴()()20001ln 121ax x x -+>-+代入（*）式，()()()00001ln 12121x x x x -+>-++，即()01ln 102x -+>解得01x <，∴001x <<， ∴.()20012a x x ⎛⎫⎪=∈+∞⎪+⎭. 【点睛】求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数fx ；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查fx 在0fx的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 24．（1）{}|11x a x -<<；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出()f x 的导函数，根据12a <≤可得到单调递减区间；（2）令21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+()0x >，判断出单调性，利用12()()g x g x >可得答案.【详解】（1）21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-的定义域为(0+)∞，， [](1)(1)1()x x a a f x x a x x----'=-+=，因为12a <≤，所以011a <-≤，当11a -=即2a =时，()f x 在(0+)∞，单调递增，当011a <-<时，即02a <<，令()0f x '<得11a x -<<，所以()f x 单调递减，单调递减区间为{}|11x a x -<<，综上所述，2a =时，()f x 无单调递减区间； 02a <<时， ()f x 单调递减区间为{}|11x a x -<<. （2）设21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+()0x >，则21(1)1()1a x a x a g x x a x x-+-+-'=-++=，令2()(1)1M x x a x a =+-+-，所以2(1)4(1)(1)(5)a a a a ∆=---=--，因为15a <<，所以(1)(5)0a a ∆=--<，所以()0M x >，即()0g x '>，所以()g x 在(0+)∞，上单调递增，对任意的120x x >>，有12()()g x g x >，即1122()()f x x f x x +>+，1212()()()f x f x x x ->--，所以1212()()1f x f x x x ->--.【点睛】利用导数()0f x '<求得函数的单调递减区间，利用导数()0f x '>求得函数的单调递增区间.25．（1）函数()g x的一个极大值点为，对应的极大值为9，另一个极大值点为9；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为0；（2）4,13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】(1)求出()g x 的表达式，结合函数的奇偶性即可求出140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，从而可确定()g x 的解析式，求出导数即可求出函数的极值点和极值.(2)结合第一问可得()h x 的解析式，从而可求出2()32h x cx x c '=-+，由()h x 的单调性可得213c x x≥+在[]2,5上恒成立，设()13m x x x=+，利用导数求出()m x 在[]2,5上的最小值，从而可求出实数c 的取值范围. 【详解】解：（1）∵432()f x ax x bx =++，∴32()432f x ax x bx '=++，∴432()()()(41)(3)2g x f x f x ax a x b x bx '=+=+++++，因为()g x 为偶函数，∴41020a b +=⎧⎨=⎩，解得140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴431()4f x x x =-+，则421()34g x x x =-+，∴3()6(g x x x x x x '=-+=-，由()0g x '>，解得x <或0x <<()0g x '<，解得>x0x <<；∴()g x在(,-∞，(单调递增；在()，)+∞单调递减．∴函数()g x的一个极大值点为(9g =，9g=；函数()g x极小值点为0，对应的极小值为()00g=.（2）由（1）知431()4f x x x=-+，∴43221()()(1)4h x f x x c x x cx c=++--++322cx x cx c=-++，∴2()32h x cx x c'=-+，因为函数()h x在[]2,5上单调递增，∴2320cx x c-+≥在[]2,5上恒成立，即2221313xcx xx≥=++在[]2,5上恒成立，设()13m x xx=+，令()22213130xm xx x-'=-==，解得[]2,5x=，当[]2,5x∈时，()0m x'>，所以()13m x xx=+在[]2,5上单调递增，则()()1322m x m≥=，所以24=13132c≥.【点睛】方法点睛：已知奇偶性求函数解析式时，常用方法有：一、结合奇偶性的定义，若已知偶函数，则()()f x f x-=，若已知奇函数，则()()f x f x-=-，从而可求出函数解析式；二、由奇偶性的性质，即偶函数加偶函数结果也是偶函数，奇函数加奇函数结果也是奇函数. 26．（1）1a=-，1b=，证明见解析；（2）(),2e-∞-.【分析】（1）先求出()21xf x e x=--，则()()21xg x f x x x e x=+-=--，利用导数求出()()min00g x g==，不等式即得证；（2）价于()f xkx>对任意的0,恒成立，令()()f xxxϕ=，0x>，求出函数()y xϕ=的最小值即得解.【详解】（1）根据题意，函数()2xf x e x a=-+，则()2xf x e x'=-，则()01f b'==，由切线方程y bx=可得切点坐标为()0,0，将其代入()y f x=，解得1a=-，故()21xf x e x=--，则()()21xg x f x x x e x=+-=--，则()10xg x e'=-=，得0x=，当(),0x∈-∞，0g x，函数y g x单调递减；当()0,x ∈+∞，0g x，函数y g x 单调递增；所以()()min 00g x g ==，所以()2f x x x ≥-+. （2）由()f x kx >对任意的当()0,x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的0,恒成立，令()()f x x xϕ=，0x >，得()()()()()()()22222111x x xx e x e x x e x xf x f x x x x xϕ-------'-'===，由（1）可知，当()0,x ∈+∞时，10x e x -->恒成立，令()0ϕ'>x ，得1x >；()0ϕ'<x ，得01x <<，所以()y x ϕ=的单调增区间为1,，单调减区间为0,1，故()()min 12x e ϕϕ==-，所以()min 2k x e ϕ<=-. 所以实数k 的取值范围为(),2e -∞-. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测(含答案解析)

一、选择题1．已知函数()23ln 6f x x kx x =-+，若()0f x >的解集为(),m n ，且(),m n 中只有两个整数，则（） A ．k 无最值 B ．k 的最小值为123ln 24+ C ．k 的最大值为123ln 24+ D ．k 的最小值为6ln33+ 2．已知函数()()ln 0f x ax x a =->有两个零点1x ，2x ，且122x x <，则a 的取值范围是（）A ．2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,ln 3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．230,ln 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．1a e<B ．0a <C ．0a ≤D ．10a e<<4．已知函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．0,1B ．(),1-∞C ．0,D ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[1,2]-上是减函数，那么b c + （） A ．有最小值152 B ．有最大值152 C ．有最小值152- D ．有最大值152-7．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为f x ，对任意[)0,x ∈+∞，均满足：()()2xf x f x >-'．若()()2g x x f x =，则不等式()()21g x g x <-的解集是（）A ．(),1-∞-B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭8．定义域为R 的连续可导函数()f x 满足()()xf x f x e '-=，且()00f =，若方程()()21016m f x f x ++=⎡⎤⎣⎦有四个根，则m 的取值范围是（） A ．2416e e m -<-D ．2e m >9．若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．2(,]e -∞B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．2[,)e+∞10．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为（） A ．(21e-，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e) 11．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（）A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭12．已知函数()2x f x e =+，2()21g x x x =-+，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得*122-1122-1()()()()+()()()()()+(),N n n n n n n f x f x f x g x g x g x g x g x f x f x n --++++=++++∈成立，则n 的最大值为（）（注：=2.71828e 为自然对数的底数）A ．9B ．8C ．7D ．6二、填空题13．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是_____．14．已知函数()2xe f x ax x =-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________.15．现有一块边长为3的正方形铁片，在铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值是______.16．如图所示，ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积3()V cm 最大，则EF 的长为________cm .17．321313y x x x =--+的极小值为______． 18．已知函数()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出如下命题：①当20x -<<时，()0f x >；②(1)(0)f f -<；③函数()f x 在12x =-处切线的斜率小于零；④0是函数()f x 的一个极值点；其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）19．已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x 都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是____20．设函数()'f x 是偶函数()(0)f x x ≠的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________.三、解答题21．函数()21xf x xe x =-+.（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()()ln g x f x x x m =-+-的零点个数. 22．设函数()xf x e x =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当0x ≥时，()2112f x x ≥+. 23．已知函数()()ln 0af x x a a x=-+>．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，求a 的值；（2）求函数()f x 在区间()1,e 上的零点个数；（3）若1x ∀、()21,x e ∈，()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，试写出a 的取值范围.（只需写出结论）24．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值；（2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围. 25．已知函数()()21()xf x x e ax a R =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围. 26．已知函数()ln f x x x =-.（1）若函数2()2y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）记函数()()212g x f x x bx =+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】原不等式化为3ln 6x kx x >-，设()()3ln ,6xg x h x kx x==-，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可. 【详解】由()23ln 60f x x kx x =-+>，得3ln 6xkx x>-，设()()3ln ,6xg x h x kx x==-， ()()231ln x g x x-'=，()()00,0g x x e g x x e >⇒<<⇒''所以()g x 在()0,e 的上单调递增，在(),e +∞单调递减，而()6h x kx =-的图象是一条恒过点()0,6-的直线，函数()g x 与()h x 的图象如图所示，依题意得，01m <<，若(),m n 中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，则()()()()2233g h g h ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即3ln 2262ln 336k k ⎧>-⎪⎨⎪≤-⎩，解得6ln 3123ln 234k ++≤<，故k 的最小值为6ln33+，故选：D. 【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．2．A解析：A 【分析】根据已知可进行分离参数后，构造函数，两个零点1x ，2x ，求解a 的范围和切点，可得1201x x <<<，且()()12f x f x =，结合1x 与2x 的大小关系及函数的性质可求1x 的范围，然后结合函数单调性进行求解即可．【详解】解：函数()()ln 0f x ax x a =-> 有两个零点1x ，2x ，令()0f x =，可得e xa x =令()e xg x x=即()()2e 1x x g x x-'=，令()0g x '=，可得1x =，可得当()0,1x ∈时，则()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，则()0g x '>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得1201x x <<<，（i ）若1102x <<，则21120x x >>>，符合题意；（ii ）若1112x <<，则2121x x >>，根据单调性，可得()()122f x f x <，即()()112f x f x <，可得1111ln 22ln ax x ax x -<-，1ln 2x ∴>，综合（i ）（ii ）得，1x 的取值范围是()ln 2,1．又()g x 在()ln 2,1上单调递减，可得()()ln 2g x g >，即2ln 2a．故选：A ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数求解参数的取值范围，体现了转化思想的应用．导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．D解析：D 【分析】求出()f x 的导数，可得0a ≤时函数单调递增，不满足题意，0a >时，利用()max 0f x >可得.【详解】可知()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，则()f x 不可能有两个零点；当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在1x a=处取得极大值即最大值11ln 1f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要满足()ln f x x ax =-有两个零点，则1ln 10a ->，解得10a e<<，综上，10a e<<. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）；（3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值；（4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.4．A解析：A 【分析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意得2ln x xa x +=有两个零点 2431(1)(ln (2)12ln x x x x x x x a x x +-+-='-=）令()12ln (0)g x x x x =--> ,则2()10g x x'=--<且(1)0g = 所以(0,1),()0,0x g x a ∈>'>，2ln x xa x +=在(0,1)上为增函数，可得),(1a ∈-∞，当(1,),()0,0x g x a ∈+∞<<'，2ln x xa x+=在(1,)+∞上单调递减，可得(0,1)∈a ，即要2ln x xa x +=有两个零点有两个零点，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：A 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．5．A解析：A 【解析】函数的定义域为0x ≠ ，当0()ln()x f x x x <⇒=-- ，为增函数，故排除B ，D ，当0()ln x f x x x >⇒=-，'111()x xf x x --==，当1,()0.01()0x f x x f x >'<<⇒'><故函数是先减后增；故选A ．6．D解析：D 【解析】试题分析：由f （x ）在[-1，2]上是减函数，知f′（x ）=3x 2+2bx+c≤0，x ∈[-1，2]，则f′(-1)=3-2b+c≤0,且f′(2)=12+4b+c≤0，⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤-152，故选D. 考点：本题主要考查了函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．点评：解决该试题的关键是先对函数f （x ）求导，然后令导数在[-1，2]小于等于0即可求出b+c 的关系，得到答案．7．C解析：C 【解析】试题分析：[)0,x ∈+∞时()()()()()22(2)0g x xf x x f x x f x xf x =+='+'>'，而()()2g x x f x =也为偶函数，所以()()()()21212121321013g x g x g x g x x x x x x <-⇔<-⇔<-⇔+-<⇔-<<，选C.考点：利用函数性质解不等式【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等8．A解析：A 【分析】构造函数()()xf x x b e =+，根据()00f =求出0b =，利用导数判断函数的单调性，作出其大致图像，令()t f x =，只需21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由()()()()()()()()221x xxxxx x f x e f x e f x f x e e f x e ef x e '-'-=-=⇒'=⇒，则()()()()1xx xf x f x x b x x b e e e f ⎡⎤=⇒=+=+⎢⎥⎣⎦⇒，由()000f b =⇒=，则()xf x e x =⋅.由()()1xf x ex '=+，当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增；当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，当x →-∞，()0f x <，x →+∞，()0f x >，如图所示：令()t f x =，则21016mt t ++=，由已知可得 21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()2116g t mt t =++，由12121001016t t m m t t m ⎧+=-<⎪⎪⇒>⎨⎪⋅=>⎪⎩，则()21000,41601102g e e g m e e m ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪>⇒∈-⎨⎪∆>⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩. 故选：A【点睛】本题考查了构造函数判断函数的单调性、根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了二次函数根的分布，此题综合性比较强，属于中档题.9．C解析：C 【分析】求出函数导数，由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立，利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--，由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立，即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立，令ln 1()x g x x+=，则2ln ()x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于基础题.10．C解析：C 【分析】由函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()0F x =，可得y k =和()2ln x g x x =有两个交点；当0x <时，y k =和()1g x x =有一个交点，求得0k >，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，要使得函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，当0x >时，令()()0F x f x kx =-=，可得2ln xk x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和()2ln xg x x =有两个交点，又由()312ln xg x x -'=，令12ln 0x -=，可得x e =，当(0,)x e ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以当x e =时，()max 12g x e=，若直线y k =和()2ln xg x x=有两个交点，则1(0,)2k e∈，当0x <时，y k =和()21g x x =有一个交点，则0k >，综上可得，实数k 的取值范围是1(0,)2e. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的综合应用，着重考查了转化思想以及推理与运算能力.属于中档题.11．C解析：C 【分析】本题首先可根据题意得出2241ax ax f xx，令2241g xax ax ，然后根据()f x 在()1,3上不单调得出函数()g x 与x 轴在()1,3上有交点，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】()2124124ax ax f x ax a x x--'=--=，若()f x 在()1,3上不单调，令2241g xax ax ，对称轴为1x =，则函数2241g xax ax 与x 轴在()1,3上有交点，当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，则()()21680130a a g g ⎧∆=+>⎪⎨⋅<⎪⎩，解得16a >或12a <-，易知()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性问题，若函数在否个区间内不单调，则函数的导函数在这个区间内有零点且穿过x 轴，考查二次函数性质的应用，考查充分条件与必要条件的判定，是中档题.12．D解析：D 【分析】构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数研究函数的单调性，求出函数的值域即可求解. 【详解】由122-1()()()()+()n n n f x f x f x g x g x -++++*122-1()()()()+(),N n n n g x g x g x f x f x n -=++++∈，变形为：()()()()()()112222n n f x g x f x g x f x g x ---+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()11n n n n f x g x f x g x --=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，设()()()h x f x g x =-，则()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，()()()()2222121x x h x f x g x e x x e x x =-=+--+=-++，()22'=-+x h x e x ，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以[]0,1x ∈时，()h x 单调递增，()22h x e ∴≤≤+， ()()()122n h x h x h x -∴++的值域为()()()22,22n e n -+-⎡⎤⎣⎦，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，则()42224n e ≤-≤+，44n e ∴≤≤+，且n *∈N ，n ∴的最大值为6.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究函数方程的根，解题的关键是构造函数()()()h x f x g x =-，考查了运算能力、分析能力. 二、填空题13．（﹣∞﹣3）∪（3+∞）【分析】令当x ＞0时可得x ∈（0+∞）上函数单调递增由可得由函数是定义在R 上的奇函数可得函数是定义在R 上的偶函数进而得出不等式的解集【详解】解：令当x ＞0时∴x ∈（0+∞）上解析：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【分析】令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝，当x ＞0时，()()0f x xf x '+>，可得x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．由()30f ＝，可得()30g ＝．由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得函数()g x 是定义在R 上的偶函数．进而得出不等式的解集．【详解】解：令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝当x ＞0时，()()0f x xf x '+>∴x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．()30f ＝，∴()30g ＝．∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数．由()()03g x g >＝，即()()3g x g ＞， ∴|x |＞3，解得x ＞3，或x ＜﹣3．∴不等式()0xf x ＞的解集是()(),33-，-∞⋃+∞．故答案为：()(),33-，-∞⋃+∞．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当解析：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.【详解】因为当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，所以()230xg x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立，即23xe a x ≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立，令2()3xe h x x=，所以()32()3x e x h x x-'=，当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212e ，所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】根据题意得到方盒底面是正方形边长为高为建立方盒容积的函数模型为再用导数法求解最值【详解】由题意得：方盒底面是正方形边长为高为所以方盒的容积为当时时所以当时取得最大值最大值为2故答案为：2【点解析：2【分析】根据题意得到方盒底面是正方形，边长为32x -，高为x ，建立方盒容积的函数模型为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<，再用导数法求解最值. 【详解】由题意得：方盒底面是正方形，边长为32x -，高为x ，所以方盒的容积为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<， 213122491222V x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当102x <<时，0V '>，1322x <<时，0V '<，所以当12x =时，V 取得最大值，最大值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查导数的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积解析：10【分析】设EF x =cm ，根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式，利用导数研究体积(x)V 的最大值即可. 【详解】设EF x =cm ，则302x AE BF -== cm ，包装盒的高为2GE x = cm ，因为302x AE AH -==cm ，2A π∠=，所以包装盒的底面边长为=)2HE x - cm ，所以包装盒的体积为232())]60900)V x x x x x =-=-+，030x <<，则2()120900)V x x x '=-+，令()0V x '=解得10x =，当(0,10)x ∈时，()0V x '>，函数(x)V 单调递增；当(10,30)x ∈时，()0V x '<，函数(x)V 单调递减，所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4V x V cm ==-+=，即当10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .故答案为：10【点睛】本题考查柱体的体积，利用导数解决面积、体积最大值问题，属于中档题.17．【分析】求导根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为计算得到答案【详解】则当和时函数单调递增；当时函数单调递减故函数极小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求极值意在考查学生的计算能力和应解析：8-【分析】求导，根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为()3f ，计算得到答案. 【详解】()321313y f x x x x ==--+，则()()()2'2331f x x x x x =--=-+，当()3,x ∈+∞和(),1x ∈-∞-时，()'0f x >，函数单调递增；当()1,3x ∈-时，()'0f x <，函数单调递减，故函数极小值为()32313333183f ⨯--⨯+=-=. 故答案为：8-. 【点睛】本题考查了利用导数求极值，意在考查学生的计算能力和应用能力.18．②④【分析】由导数的图象推不出当时；当时函数单调递增由此可判断②正确由可判断③错误由时时时可判断④正确【详解】由导数的图象推不出当时故①不一定正确当时函数单调递增所以故②正确因为所以函数在处切线的斜解析：②④ 【分析】由导数的图象推不出当20x -<<时，()0f x >；当20x -<<时0f x ，函数()f x 单调递增，由此可判断②正确，由102f ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭可判断③错误，由0x >时0f x，0x =时0fx ，0x <时0f x 可判断④正确【详解】由导数的图象推不出当20x -<<时，()0f x >，故①不一定正确. 当20x -<<时0f x ，函数()f x 单调递增，所以(1)(0)f f -<，故②正确因为102f ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在12x =-处切线的斜率大于零，故③错误因为0x >时0f x ，0x =时0f x ，0x <时0f x所以0是函数()f x 的一个极值点，故④正确故答案为：②④ 【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要熟练掌握导函数的图象和性质.19．【分析】由条件不妨设恒成立即为恒成立构造函数只需在上为增函数即可即求恒成立时的取值范围【详解】依题意不妨设恒成立恒成立设即在上为增函数恒成立只需的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性求参解析：[1,)+∞【分析】由条件不妨设12x x >，()()12122f x f x x x ->-恒成立，即为()()112222f x x f x x ->-恒成立，构造函数()()2g x f x x =-，只需()g x 在(0,)+∞上为增函数即可，即求()0g x '≥恒成立时a 的取值范围. 【详解】依题意，不妨设12x x >，()()12122f x f x x x ->-恒成立，()()112222f x x f x x ->-恒成立，设()()2g x f x x =-即12()(),()g x g x g x >在(0,)+∞上为增函数，2()2,()1220ln ag x x g x x x a x x'=-+-+=≥， 22,(0,)a x x x ≥-+∈+∞恒成立，只需2max (2)1,(0,)a x x x ≥-+=∈+∞,a ∴的取值范围是[1,)+∞.故答案为:[1,)+∞. 【点睛】本题考查函数的单调性求参数范围，构造函数把问题等价转化为函数的单调性是解题的关键，属于中档题.20．【分析】构造函数讨论单调性和奇偶性结合特殊值即可求解【详解】设函数是偶函数所以函数是奇函数且当时即当时单调递减所以当时当时是偶函数所以当时当时所以使得成立的的取值范围是故答案为：【点睛】此题考查利用解析：()()1,00,1-⋃【分析】构造函数()()f x F x x=，讨论单调性和奇偶性，结合特殊值即可求解. 【详解】设函数()()f x F x x =，()f x 是偶函数，()()()()f x f x F x F x x x--=-=-=-，所以函数()F x 是奇函数，且()()()()1110,10F f f F ==-=-=，当0x >时，()2()()0xf x f x F x x'-'=<，即当0x >时，()F x 单调递减，()01F =，所以当01x <<时，()()0f x F x x=>，()0f x >，当1x >时，()()0f x F x x=<，()0f x <， ()f x 是偶函数，所以当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是()()1,00,1-⋃. 故答案为：()()1,00,1-⋃ 【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性解决不等式相关问题，关键在于准确构造函数，需要在平常的学习中多做积累，常见的函数构造方法.三、解答题21．（1）1y x =-+；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数()f x 在0x =处的切线的斜率，并求出切点的坐标，利用点斜式可求得所求切线的方程；（2）令()()ln ln 1xh x f x x xe x x =-=--+，则问题转化为直线y m =与函数()y h x =的图象的交点个数，利用导数分析函数()h x 的单调性与极值，数形结合可得出直线y m =与函数()y h x =的图象的交点个数，由此可得出结论. 【详解】（1）因为()()12xf x x e '=+-，所以()01f '=-，又()01f =，切点坐标为()0,1，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为：1y x =-+；（2）构造函数()()()ln ln 10xh x f x x x xe x x x =-+=--+>则()()()()11111xx x xe h x x e x x+-'=+--=，令()1xm x xe =-，()()10xm x x e '=+>，则()m x 在()0,∞+单调递增，且11022e m ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()110m e =->，所以存在0,112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00m x =，即01x e x =，从而00ln x x =-. 所以当()00,x x ∈时，()0m x <，即()0h x '<，则()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0m x >，即()0h x '>，则()h x 单调递增.所以()()00000000min 01ln 112xh x h x x e x x x x x x ==--+=⋅-++=，如下图所示：所以当2m <时，()g x 没有零点；当2m =时，()g x 有1个零点；当2m >时，()g x 有2个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22．（1）函数()f x 的增区间为()0,∞+，减区间为(),0-∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出()f x '，解不等式()0f x '>、()0f x '<可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）构造函数()()2112g x f x x =--，利用导数证得()()00g x g ≥=，即可证得所证不等式成立. 【详解】（1）函数()xf x e x =-的定义域为R ，且()1xf x e '=-.令()0f x '>，可得0x >；令()0f x '<，可得0x <.因此，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞；（2）构造函数()()22111122x g x f x x e x x =--=---，则()1x g x e x '=--，当0x ≥时， ()10xg x e ''=-≥，所以，函数()g x '在区间[)0,+∞上为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ''≥=，所以，函数()g x 在区间[)0,+∞上为增函数，当0x ≥时，()()()211002f x x g x g --=≥=，()2112f x x ∴≥+. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.23．（1）1a =；（2）答案见解析；（3）(][)0,1,e +∞.【分析】（1）由题意可得()10f '=，由此可解得实数a 的值；（2）求得()2x af x x-'=，对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间()1,e 上的单调性，结合零点存在定理可得出结论；（3）根据（2）中的讨论可写出实数a 的取值范围. 【详解】（1）()221a x a f x x x x'-=-=，因为()y f x =在点()()1,1f 处与x 轴相切，且()10f =，所以()110f a '=-=，解得1a =. 经检验1a =符合题意；（2）由（1）知()2x af x x-'=，令()0f x '=，得x a =. （i ）当01a <≤时，()1,x e ∈，()0f x '>，函数()f x 在区间()1,e 上单调递增，所以()()10f x f >=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（ii ）当1a e <<时，若1x a <<，则()0f x '<，若a x e <<，则()0f x '>. 函数()f x 在区间()1,a 上单调递减，在区间(),a e 上单调递增，且()10f =，()1ea f e a =-+. 当()10af e a e=-+>，即11e a e <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点；当()10a f e a e=-+≤时，即当ee e 1a <-≤时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；（iii ）当a e ≥时，()1,x e ∈，()0f x '<，函数()f x 在区间()1,e 上单调递减，所以()()10f x f <=，所以函数()f x 在区间()1,e 上无零点. 综上：当01a <≤或ee 1a ≥-时，函数()f x 在区间()1,e 上无零点；当11ea e <<-时，函数()f x 在区间()1,e 上有一个零点. （3）01a <≤或a e ≥. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.24．（1）最大值为24e ，最小值为2e -；（2）[)2,-+∞. 【分析】（1）2a =-代入()f x ，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>，来确定()f x 在()1,+∞上单增，()0f x '≥，再对32310x x a x -++-≥分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】（1）()()3231xf x exx a x '=-++-当2a =-时，()()()()()3233311xx f x exx x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正，在(),3-∞-和()1,1-上为负， ∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增，在(),3-∞-和()1,1-上单减，有()21f e-=-，()224f e =，()12f e =-，故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ，最小值为2e -；（2）由()()3231xf x exx x a '=+-+-知，当x →+∞时，()0f x '>，若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增，∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即32310x x a x -++-≥ ∴3231a x x x ≥--++，令()3231g x x x x =--++，1x >，则()23610g x x x '=--+<，∴()g x 在()1,+∞递减，()()12g x g <=-，∴[)2,a ∈-+∞. 【点睛】（1）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可. （2）函数()f x 在区间I 上递增，则()0f x '≥恒成立；函数()f x 在区间I 上递减，则()0f x '≤恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.25．（1）()f x 在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减；（2）1(,)2+∞. 【分析】(1)将1a =代入，求出函数解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间； (2)求导后对a 讨论，判定单调性结合0x =是()f x 的极大值点，可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()()21x f x x e x =--，()()2x f x x e '=-，()'0f x >得0x <或ln 2x > ，()'0f x <得0ln 2x <<，()f x ∴在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减；（2）()()2xf x x e a '=-，当0a ≤时，20x e a ->，故()00f x x '>⇒>，()f x ∴在()0-∞，上单减，在上(0,)+∞单增，0x =为极小值点，不合题意；当0a >时，由()0f x '=得0x =或ln 2x a =，0x =是极大值点， ln 20a ∴>，即12a >，故1(,)2a ∈+∞. 【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数极大值，掌握利用导函数研究函数的性质是解题的关键，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题. 26．（1）5ln 224m +≤<；（2）152ln 28- 【分析】（1）利用导数研究三次函数的单调性和极值，根据单调性和极值列不等式组即可解得结果；（2）根据已知条件将12()()g x g x -化为关于1x 的函数，再利用导数求出其最小值，则可得到实数k 的最大值. 【详解】（1）因为()ln f x x x =-，∴函数()()2223ln 0y f x m x x x x x m x =+-+=-++>，令()()23ln 0h x x x x m x =-++>，则()()()211123x x h x x x x--'=-+=，令()0h x '=得112x =，21x =，列表得：∴当1x =时，()h x 的极小值为()12h m =-，又ln 224h m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()22ln 2h m =-+.∵函数()22y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，∴102(1)0(2)0h h h ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩即5ln 204202ln 20m m m ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩，解得5ln 224m +≤<. （2）()()21ln 12g x x x b x =+-+， ∴()()()21111x b x g x x b x x-++'=+-+=，令()0g x '=得()2110x b x -++=，∵1x ，2x 是()g x 的极值点，∴121x x b +=+，121=x x ，∴211x x =，∵32b ≥，∴121215210x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<=⎪⎩解得：1102x <≤，.∴()()()()()22112121221ln12x g x g x x x b x x x -=+--+-， ()2221121112111112ln 2ln ,0222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()221112ln ,022F x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22331210x F x x x xx --'=--=<，∴()F x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；∴当12x =时，()min 1152ln 228F x F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据()()12g x g x k -≥恒成立，可得152ln 28k ≤-， ∴k 的最大值为152ln 28-. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于中档题.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测题(含答案解析)

一、选择题1．已知函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是（） A ．(,]e -∞- B ．(,1] -∞-C ．[1,) -+∞D ．[,)e2．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．－1≤m ≤1 B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <13．已知3()ln 44x f x x x=-+，2()24g x x ax =--+，若对1(0,2]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（）A ．1[,)8-+∞B ．258ln 2[,)16-+∞ C ．15[,]84-D ．5(,]4-∞4．已知函数()32f x x bx cx =++的图象如图所示，则2212x x +等于（）A ．23B ．43C ．83D ．1635．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-6．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为A ．r 2B 3C 3D ．r7．f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f （x ）+x •f '（x ）＜0，且f （﹣3）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集为（） A ．（﹣3，0）∪（3，+∞） B ．（﹣3，0）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 9．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃10．设动直线x m =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于,M N ，则MN 的最小值为（） A ．11ln 222+ B ．11ln 222- C ．1ln2+ D ．ln21-11．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++=（）A ．1011B ．1012C ．2019D ．202012．已知0a >，函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围为（） A ．14a <<B ．24a <<C ．48a <<D ．28a <<二、填空题13．已知函数()24f x x ax =++（a ∈R ），()ln 2xg x x=+，若方程()0f g x ⎡⎤=⎣⎦有三个实根1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则2312123ln ln ln 222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为______.14．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是_____．15．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.16．已知函数()e e xxf x -=-，有以下命题：①()f x 是奇函数； ②()f x 单调递增函数；③方程()22f x x x =+仅有1个实数根；④如果对任意(0,)x ∈+∞有()f x kx >，则k 的最大值为2. 则上述命题正确的有_____________.（写出所有正确命题的编号） 17．函数()f x 在(0，+∞)上有定义，对于给定的正数K ，定义函数()()()(),,K f x f x K f x K f x K⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，取函数()2253ln 2f x x x x =-，若对任意x ∈(0，+∞)，恒有()()K f x f x =，则K 的最小值为______． 18．函数()3212132a f x x x x =-++的递减区间为()2,1--，则实数a 的值________. 19．设函数3()32()f x ax x x =-+∈R ，若对于任意[1,1]x ∈-，都有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________. 20．下列五个命题：①“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件； ②函数()3113f x x x =++有两个零点； ③集合A ={2，3}，B ={1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是13； ④动圆C 即与定圆()2224x y -+=相外切，又与y 轴相切，则圆心C 的轨迹方程是()280y x x =≠⑤若对任意的正数x ，不等式x e x a ≥+ 恒成立，则实数的取值范围是1a ≤ 其中正确的命题序号是_____．三、解答题21．已知函数()()()3222110f x ax a x a =--+≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，若α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<，求m 的取值范围.22．已知函数2(),()sin x f x ae x g x x bx =+=+，一条直线与()f x 相切于点(0,)a 且与()g x 相切于点,122b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（1）求a ，b 的值；（2）证明：不等式()()f x g x >恒成立. 23．已知函数()32122f x ax x x =+-，其导函数为()f x '，且(1)0f '-=. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程 (Ⅱ)求函数()f x 在[1,1]-上的最大值和最小值. 24．设函数()(1)f x lnx m x =-+，2()2m g x x =，(0,)x m R >∈．（Ⅰ）若对任意121x x >>，1212()()1f x f x x x -<--恒成立，求m 的取值范围；（Ⅱ）()()()h x f x g x =+，讨论函数()y h x =的单调性． 25．已知2()2ln f x x x =- （1）求()f x 的最小值；（2）若21()2f x tx x≥-在(]0,1x ∈内恒成立，求t 的取值范围. 26．已知函数321()12f x x x ax =-++. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题中条件，得到方程1ln xa e ex x x ⎛⎫=--++⎪⎝⎭有解，令1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域，对函数()h x 求导，判定其单调性，研究其值域，即可得出结果.【详解】函数()xf x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点，即方程1ln 0xe ex a x x -+++=有解，即方程1ln x a e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭有解，令1()ln xh x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域，因为()22111()xx x h x e e e e x x x -⎛⎫⎡⎤'=--+-=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当1x =时，()0h x '=；当01x <<时，0x e e -<，210x x -<，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+>⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递增；当1x >时，0x e e ->，210x x ->，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+<⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递减；所以max ()(1)1h x h ==-，画出函数()h x 的大致图像如下，由图像可得，()(],1h x ∈-∞-，所以a 的取值范围(],1-∞-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.2．D解析：D 【解析】因为f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x)<0⇒－2<x<2，所以函数f(x)＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f(x)在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以221212m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩从中解得－1≤m<1，选D.点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.3．A解析：A 【分析】先求()f x 最小值，再变量分离转化为对应函数最值问题，通过求最值得结果【详解】因为()(]3ln x 0,244x f x x x=-+∈，，所以22113(1)(3)()01444x x f x x x x x ---'=--==⇒=,(3舍去) 从而01,()0;12,()0;x f x x f x ''<<<<<>即1x =时()f x 取最小值12，因此[]x 1,2∃∈，使得21242x ax ≥--+成立，724x a x ≥-+的最小值，因为724x x-+在[]1,2上单调递减，所以724x x -+的最小值为271288-+=-，因此18a ≥-，选A. 【点睛】本题考查不等式恒成立与存在性问题，考查综合分析与转化求解能力，属中档题.4．C解析：C 【分析】先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可【详解】由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，解得3,2b c =-=，又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，121222,3x x x x ∴+==，()222121212482433x x x x x x ∴+=+-=-=，故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.5．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '，则00,12y y x x +==-，所以02y y =--，而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--，所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =，所以ln122AC k k =-=-=-；（2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=，故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.6．D解析：D 【解析】设=COB θ∠，则上底为2cos r θ，高为sin r θ，因此梯形面积为21(2cos 2)sin (1cos )sin 022S r r r r πθθθθθ=+=+∈，（，）因为由22222=(sin cos cos )(1cos 2cos )0S r r θθθθθ'-++=-++=，得1cos 2θ=，根据实际意义得1cos 2θ=时，梯形面积取最大值，此时上底为2cos =r r θ，选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '=得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.7．B解析：B 【分析】构造函数()()g x xf x =，根据条件确定()g x 奇偶性与单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】令()()g x xf x =，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，又(0)0g =因此()g x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （﹣3）＝0，所以(3)0(3)0g g -=∴=，当(3,0)x ∈-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <-=∴<>；当(,3)x ∈-∞-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >-=∴><；当(0,3)x ∈时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >=∴>>；当(3,)x ∈+∞时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <=∴<<；综上，不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，0）∪（0，3）故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.8．C解析：C 【解析】函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=- ，22222210cos 22a cb b ac ac B ac +-=--+≤⇒=≥()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3π．故答案为C ． 9．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.10．A解析：A 【分析】将两个函数作差，得到函数()()y f x g x =-，利用导数再求此函数的最小值，即可得到结论. 【详解】设函数()()()2ln 0=-=->y f x g x x x x ，()212120-'∴=-=>x y x x x x，令0y '<，0x，0∴<<x ，函数在⎛ ⎝⎭上为单调减函数；令0y '>，0x，2∴>x ，函数在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为单调增函数.2x ∴=时，函数取得极小值，也是最小值为111ln ln 22222-=+.故所求MN 的最小值即为函数2ln y x x =-的最小值11ln 222+. 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题.11．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()32f x nx x n =+-，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设函数()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数，因为当2n ≥时，()323()()2()(1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++，且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+，所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=，因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++=.故选：A. 【点睛】方法点睛：构造新函数()32f x nx x n =+-，结合导数和零点的存在定理，求得当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+是解答的关键. 12．D解析：D 【分析】根据分段函数，看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题，分0x =，0x ≤，0x >讨论求解. 【详解】当0x =时，()502f a =，对于直线()2y a x =-，2y a =，因为0a >，所以无交点；当0x ≤时，()2f x x '=，令2x a =-，解得 2ax =-，要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 2a >；当0x >时，()2f x x '=-，令2x a -=-，解得 2ax =，因为0x ≤时，方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则0x >时，无交点，则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 8a <,综上：a 的取值范围为28a << 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0，确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况：当0x ≤时，方程恰有2个互异的实数解，当0x >时，方程无实数解.二、填空题13．16【分析】利用导数画出函数的大致图象数形结合可得有两个不等实根满足且即可得解【详解】因为所以令得所以当时函数单调递增；当时函数单调递减又故可画出函数的大致图象如图所示：因为方程有三个实根故有两个不解析：16 【分析】利用导数画出函数()g x 的大致图象，数形结合可得()0f x =有两个不等实根，满足124t t =、121022t t e<<<<+，且111ln 2x t x =+，32223ln ln 22x x t x x =+=+，即可得解. 【详解】因为()ln 2xg x x=+，()0,x ∈+∞，所以()21ln xg x x-'=，令()0g x '=得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又()12g e e=+，故可画出函数()g x 的大致图象，如图所示：因为方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有三个实根，故()0f x =有两个不等实根，不妨设两根为1t ，2t ，且12t t <，则124t t =，所以121022t t e<<<<+，则111ln 2x t x =+，32223ln ln 22x x t x x =+=+，所以()22223121212123ln ln ln 22216x x x t t t t x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：16. 【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.14．（﹣∞﹣3）∪（3+∞）【分析】令当x ＞0时可得x ∈（0+∞）上函数单调递增由可得由函数是定义在R 上的奇函数可得函数是定义在R 上的偶函数进而得出不等式的解集【详解】解：令当x ＞0时∴x ∈（0+∞）上解析：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【分析】令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝，当x ＞0时，()()0f x xf x '+>，可得x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．由()30f ＝，可得()30g ＝．由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得函数()g x 是定义在R 上的偶函数．进而得出不等式的解集．【详解】解：令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝当x ＞0时，()()0f x xf x '+>∴x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．()30f ＝，∴()30g ＝．∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数．由()()03g x g >＝，即()()3g x g ＞， ∴|x |＞3，解得x ＞3，或x ＜﹣3．∴不等式()0xf x ＞的解集是()(),33-，-∞⋃+∞．故答案为：()(),33-，-∞⋃+∞．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图：设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际解析：33【分析】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+3(2)(2)x x =+-，令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值. 【详解】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：设,OE x CE y ==，则224x y +=，所以等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+(x =+2x =<<令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+，(0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增， (1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.16．①②④【分析】根据题意依次分析4个命题对于①由奇函数的定义分析可得①正确；对于②对函数求导分析可得分析可得②正确；对于③分析可得即方程有一根进而利用二分法分析可得有一根在之间即方程至少有2跟故③错误解析：①②④ 【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数()x xf x e e -=-求导，分析可得()0f x '>，分析可得②正确；对于③、2()2x x g x e e x x -=---，分析可得(0)0g =，即方程2()2f x x x =+有一根0x =，进而利用二分法分析可得()g x 有一根在(3,4)之间，即方程2()2f x x x =+至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、()x x f x e e -=-，定义域是R ，且()()x xf x e e f x --=-=-，()f x 是奇函数；故①正确；对于②、若()x xf x e e -=-，则()0x x f x e e -'=+>，故()f x 在R 递增；故②正确；对于③、2()2f x x x =+，令2()2x x g x e e x x -=---，令0x =可得，(0)0g =，即方程2()2f x x x =+有一根0x =， ()3313130g e e =--<，()4414200g e e =-->，则方程2()2f x x x =+有一根在(3,4)之间，故③错误；对于④、如果对任意(0,)x ∈+∞，都有()f x kx >，即0x x e e kx --->恒成立，令()x xh x e ekx -=--，且(0)0h =，若()0h x >恒成立，则必有()0x x h x e e k -'=+->恒成立，若0x x e e k -+->，即1x xx x k e ee e-<+=+恒成立，而12x xe e +，若有2k <，故④正确；综合可得：①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，③关键是利用二分法，属于中档题．17．【分析】根据题意利用导数求出函数的最大值即可【详解】由得当时函数单调递减当时函数单调递增所以函数的最大值为：即所以要想恒有只需所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求函数最大值问题考查了解析：2332e【分析】根据题意，利用导数求出函数()2253ln 2f x x x x =-的最大值即可. 【详解】由()2253ln 2f x x x x =-得()()213ln f x x x '=-，当13x e >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当130x e <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =的最大值为：231332e f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()2332f x e ≤，所以要想恒有()()K f x f x =，只需2332K e ≥，所以K 的最小值为2332e .故答案为：2332e【点睛】本题考查了利用导数求函数最大值问题，考查了学生的数学阅读和运算求解能力.18．【分析】根据题意求出函数的导函数则方程的两根为和利用韦达定理即可得到结论【详解】由题意因函数的递减区间为所以方程的两根为和由韦达定理可得：即故答案为：【点睛】本题考查了导函数的运算法则一元二次方程根解析：3-【分析】根据题意，求出函数的导函数，则方程220x ax -+=的两根为2-和1-，利用韦达定理即可得到结论. 【详解】由题意，()22f x x ax =-+'，因函数()f x 的递减区间为()2,1--，所以，方程220x ax -+=的两根为2-和1-，由韦达定理可得：21a --=，即3a =-. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查了导函数的运算法则，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.19．【分析】求出时的值讨论函数的增减性得到的最小值让最小值大于等于0即可求出的范围【详解】解：由可得当时令解得且①当时为递增函数②当时为递减函数③当时为递增函数所以即解得故答案为：【点睛】考查学生理解函解析：15a ≤≤【分析】求出()0f x '=时x 的值，讨论函数的增减性得到()f x 的最小值，让最小值大于等于0即可求出a 的范围. 【详解】解：由(1)0f ≥可得1a ≥，2'()33f x ax =-，当1a ≥时，令2'()330f x ax =-=解得x =，且1>-<①当1x a-<<-时，()0,()f x f x '>为递增函数， ②当x <<()0,()f x f x '<为递减函数， ③1x <<时，()f x 为递增函数.所以()010f a f ⎧⎛≥⎪ ⎨⎝⎭⎪-≥⎩，即3320320a a a a ⎧⎛⎛⎫⎪-+≥ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪-++≥⎩，解得15a ≤≤. 故答案为：15a ≤≤. 【点睛】考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及利用导数求函数最值的能力.20．①③⑤【分析】①通过导数研究函数的单调性可得结论正确；②利用导数可知函数为增函数函数最多一个零点；③根据古典概型求得概率为；④根据条件直接求得轨迹方程；⑤利用导数研究不等式恒成立可得的范围【详解】对解析：①③⑤ 【分析】①通过导数研究函数的单调性可得结论正确； ②利用导数可知函数为增函数，函数最多一个零点；③根据古典概型求得概率为13； ④根据条件直接求得轨迹方程；⑤利用导数研究不等式恒成立，可得a 的范围. 【详解】对于①，当2a >时，()cos f x a x '=-0>恒成立，所以，()sin f x ax x =-为R 上的增函数；而当12a ≤≤时，()cos f x a x '=-0>也恒成立，()sin f x ax x =-在R 上也是增函数，所以“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件是正确的；对于②，2()10f x x '=+>恒成立，所以()f x 在R 上为增函数，最多只有一个零点，故②是错误的；对于③，所有基本事件为：21,22,23,31,32,33++++++共6个，其中和为4的有22,31++共2个，根据古典概型可得所求概率为2163=，故③正确；对于④，设(,)(0)C x y x ≠||x =2+，两边平方并化简得244||y x x =+，当0x >时，得28y x =，当0x <时，得0y =，所以所求轨迹方程是：28(0)y x x =>或0,0y x =<，故④不正确；对于⑤，依题意得x a e x ≤-对任意的正数x 恒成立，令()xf x e x =-，则()1x f x e =-'，因为0x >，所以()0f x '>，所以()xf x e x =-在(0,)+∞上为增函数，所以()(0)1f x f >=，所以1a ≤，故⑤时正确的. 故答案为：①③⑤ 【点睛】本题考查了；利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立，考查了古典概型，考查了两圆外切，考查了求曲线的轨迹方程，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）()8,+∞. 【分析】（1）求得()2163a f x ax x a -⎛⎫'=-⎪⎝⎭，分0a <、102a <<、12a =、12a >四种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）由题意可知，当[]1,1x ∈-时，()()max min m f x f x >-，由（1）中的结论求得()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值，即可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）()()221622163a f x ax a x ax x a -⎛⎫'=--=-⎪⎝⎭. ①当0a <时，2103a a ->，由()0f x '>，得2103a x a -<<，则()f x 在210,3a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；由()0f x '<，得0x <或213a x a ->，则()f x 在(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减； ②当102a <<时，2103a a-<，由()0f x '<，可得2103a x a -<<；由()0f x '>，可得213a x a-<或0x >. ()f x 在21,03a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+上单调递增；③当12a =时，()230f x x '=≥，()f x 在R 上单调递增； ④当12a >时，2103a a ->，由()0f x '<可得2103a x a -<<；由()0f x '>可得0x <或213a x a->. ()f x 在210,3a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为210,3a a -⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭；当102a <<时，函数()f x 的单调递减区间为21,03a a -⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间为21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+；当12a =时，函数()f x 在R 上单调递增；当12a >时，函数()f x 的单调递减区间为210,3a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为(),0-∞，21,3a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为[]sin 1,1x ∈-，所以α∀、R β∈，()()sin sin f f m αβ-<等价于()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的差小于m ，即()()max min m f x f x >-.当2a =时，()32431f x x x =-+，由（1）知，()f x 在[)1,0-，1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.因为()16f -=-，()01f =，1324f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()12f =，所以()min 6f x =-，()max 2f x =，所以()268m >--=，即m 的取值范围为()8,+∞. 【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数不等式问题，解本题的关键在于利用下面的结论：1x ∀、2x D ∈，()()()()12max min f x f x m m f x f x -<⇔>-.22．（1）1,1a b ==；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出两条切线方程，根据两条切线重合可得结果；（2）转化为证明2sin x e x x x +->，不等式左边构造函数，利用导数求出其在0x =时取得最小值，又因为函数sin y x =在R 上最大值为1，当且仅当2()2x k k ππ=+∈Z 取到最大值，且函数()h x 的最小值与函数sin y x =的最大值不会同时取到，所以所证不等式成立. 【详解】（1）由题知()2,()cos xf x ae xg x x b =+'=+'，∴(0),2f a g b π⎛⎫'⎝'==⎪⎭， ∴()y f x =在点(0,)a 处的切线方程为：y ax a =+，()y g x =在点,122b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为：122y b x b ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即1y bx =+， ∵两条切线重合. ∴1,1a b ==.（2）证明：由（1）知要证不等式()()f x g x >恒成立，即证2sin x e x x x +>+恒成立，即证2sin x e x x x +->恒成立，令2()xh x e x x =+-，则()21xh x e x '=+-. 易知()21x h x e x '=+-为增函数，且(0)0h '=.当(,0)x ∈-∞时，()(0)0h x h ''<=，函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ''>=，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增.∴min ()(0)1h x h ==.又函数sin y x =在R 上最大值为1，当且仅当2()2x k k ππ=+∈Z 取到最大值.∵函数()h x 的最小值与函数sin y x =的最大值不会同时取到. ∴不等式()()f x g x >恒成立. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式，属于中档题. 23．(1) 4250x y --=. (2) ()max 32f x =，min 22()27f x =-. 【解析】分析：（1）先由'(1)0f -=求出a 的值，再求出函数()y f x =在点(1,(1))f 的切线方程；（2）先求出函数的极值，列表格，根据单调性求出最大值和最小值．详解： (Ⅰ)()232f x ax x '=+-∵()10f '-=，∴3120a --=.解得1a = ∴()32122f x x x x =+-，()232f x x x '=+- ∴()1f 12=-，()12f '=. ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为4250x y --=(Ⅱ)出(Ⅰ)，当()0f x '=时，解得1x =-或23x =当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：∴()f x 的极小值为327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又()312f -=，()112f =- ∴()()max 312f x f =-=，()min 222327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数最值的步骤等，属于中档题．求出a 的值是解题的关键．24．（Ⅰ）1m ；（Ⅱ）答案见解析. 【分析】（Ⅰ）依题意，1122()()f x x f x x +<+，构造函数()()(1)k x f x x lnx mx x =+=->，则1()0(1)k x m x x'=->恒成立，由此即可求得m 的取值范围；（Ⅱ）表示出()h x ，求导，分类讨论即可得出其单调性情况．【详解】（Ⅰ）依题意，121x x >>，1212()()1f x f x x x -<--，即1212()()()f x f x x x -<--，亦即1122()()f x x f x x +<+，令()()(1)k x f x x lnx mx x =+=->，由题意即知函数()y k x =在区间(1,)+∞上单调递减，则1()0(1)k x m x x'=->恒成立， ∴1m x在区间(1,)+∞上恒成立，故1m ．（Ⅱ）2()(1)(0)2m h x lnx m x x m =-++>，1(1)(1)()(1)mx x h x m mx x x--'=-++=，当0m =时，1()xh x x-'=，(0,1)x ∈，()0h x '>，()h x 递增，(1,)x ∈+∞，()0h x '<，()h x 递减，当0m <时，101m<<， (0,1)x ∈，()0h x '>，()h x 递增，(1,)x ∈+∞，()0h x '<，()h x 递减，当1m =时，()0h x '，()h x 的单调递增区间为(0,)+∞，当1m 时，令()0h x '=，得1x =或1x m =；101m<<，当x 变化，()h x '，()h x 变化如下表即单调增区间为1(0,)m，(1,)+∞，减区间为(,1)m ．当01m <<时，令()0h x '=，得1x =或1x m =；11m>，当x 变化，()h x '，()h x 变化如下表即单调增区间为(0,1)，1(,)m+∞，减区间为(1,)m．综上：当0m 时，单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，当01m <<时，单调增区间为(0,1)，1(,)m+∞，减区间为1(1,)m，当1m =时，()h x 的单调递增区间为(0,)+∞，当1m 时，单调增区间为1(0,)m，(1,)+∞，减区间为1(,1)m．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查构造思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题． 25．（1）1 ；（2）(],1-∞. 【分析】（1）先求函数的导函数，求出函数的极值，并将它与函数的端点值进行比较即可.（2）要求若21()2f x tx x ≥-在(]0,1x ∈内恒成立，即转化为312ln 2xt x x x≤+-在(]0,1x ∈内恒成立，只需求312ln ()xh x x x x=+-(]0,1x ∈内的最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+设()()2112()2x x f x x x x+-'=-=，由()0f x '>得：1x >，由()0f x '<得：01x <<，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，min ()(1)1f x f ==，（2）若21()2f x tx x≥-在(]0,1x ∈内恒成立，可得312ln 2x t x x x≤+-在(]0,1x ∈内恒成立，令312ln ()x h x x x x =+-，4224232ln ()x x x xh x x --+'=，因为(]0,1x ∈，所以430x -<，220x -<，22ln 0x x <，40x >，所以()0h x '<，可得()h x 在()0,1上单调递减，所以当1x =时，312ln ()xh x x x x=+-有最小值2，得22t ≤，所以1t ≤，故t 的取值范围是(],1-∞，【点睛】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及求函数恒成立问题，属于基础题. 26．（1）210x y -+=；（2）4927. 【分析】(1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式方程即可求出切线方程。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．－1≤m ≤1 B ．－1<m ≤1 C ．－1<m <1 D ．－1≤m <12．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞ B ．[)1,+∞C ．()1,+∞D ．()+∞3．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（）A ．(1)(1,)-∞-⋃+∞，B ．(1,+)∞C ．1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞4．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（）A ．()()()223log af f f a <时，有()()2xf x f x x'->恒成立，则不等式()0f x >的解集为（） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()()1,00,1-⋃ C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-6．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()2f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()f x x '>.若()()222f k f k k --≥-，则k 的取值范围是（）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知函数()y f x =在R 上可导且()02f =，其导函数()f x '满足()()02f x f x x '>--，对于函数()()x f x g x e=，下列结论错误．．的是（）. A ．函数()g x 在()2,+∞上为单调递增函数 B ．2x =是函数()g x 的极小值点 C ．0x ≤时，不等式()2xf x e ≤恒成立D ．函数()g x 至多有两个零点9．已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（） A ． 1b <-或2b > B ．1,b ≤-或b 2≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤10．若121x x >>，则（） A ．1221xxx e x e > B ．1221x xx e x e < C ．2112ln ln x x x x >D ．2112ln ln x x x x <11．已知函数22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．[)28,4,e ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设02m <≤，已知函数()3125016x x f x m -+=，对于任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤，则实数m 的取值范围为（）A ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有且只有一个极小值，则实数b 的取值范围是________14．已知函数()24ln f x x x a x =++，若函数()f x 在()1,2上是单调函数，则实数a 的取值范围是______．15．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且()1y f x e =+-是奇函数，则不等式()0x xf x e ->的解集是_________．16．有如下命题：①函数sin y x =与y x =的图象恰有三个交点；②函数sin y x =与y =③函数sin y x =与2y x 的图象恰有两个交点；④函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，其中真命题为_____17．321313y x x x =--+的极小值为______． 18．已知函数()32sin f x x x =-，若2(3)(3)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．19．已知()3226f x x x a =-+(a 为常数)在[]22-,上有最小值3，则()f x 在[]22-,上的最大值为______20．若函数()32ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______.三、解答题21．已知函数)(21ln 2f x x ax x =-+有两个极值点)(1212,x x x x <．（1）求a 的取值范围；（2）求证：21>x 且)(2132f x x <-． 22．已知函数2()ln (2)f x x a x ax =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意()0,x ∈+∞，函数()f x 的图象不在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 23．如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上.（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积. 24．已知函数()2f x x ax b =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求方程()4ln f x x x =根的个数．25．近年来，网上购物已经成为人们消费的一种习惯.假设某淘宝店的一种装饰品每月的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)之间满足如下的关系式:24(6),26,,2ay x x a R a x =+-<<∈-为常数.已知销售价格为4元/件时,每月可售出21千件.（1）求实数a 的值；（2）假设该淘宝店员工工资、办公等所有的成本折合为每件2元（只考虑销售出的装饰品件数），试确定销售价格x 的值，使该店每月销售装饰品所获得的利润最大.（结果保留一位小数）26．如图是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图C 是半径OB 上一点，D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA .现在线段OC ，线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问：x 为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】因为f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x)<0⇒－2<x<2，所以函数f(x)＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f(x)在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以221212m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩从中解得－1≤m<1，选D.点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.2．B解析：B 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+≥即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4x x xf x e x a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0xe >04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭xsin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.3．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x x y -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.4．C解析：C 【分析】由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，可知函数关于2x =对称，根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减，因为24a <<所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<，所以22log 32aa <<<，所以2(log )(3)(2)af a f f <<，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.5．A解析：A 【分析】构造函数()()(0)f x g x x x=≠，可得()g x 在定义域内为偶函数，并得到()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，则在(,0)-∞上单调递减，且(1)0g =，(1)0g -=，结合函数的大致图像分析即可得到()0f x >的解集．【详解】构造函数()()(0)f x g x x x =≠，则()()2()xf x f x g x x '-'= 由于()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()g x 在定义域内为偶函数，图像关于y 轴对称；()10f =，则(1)0g =，(1)0g -=；又0x >时，有()()20xf x f x x'->恒成立，故()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，即()g x 在(0,)+∞ 上单调递增；根据偶函数的对称性可得()g x 在(,0)-∞上单调递减，所以()g x 的大致图像如下图：()0f x >，即为当0x <时，()0<g x ，当0x >时，()0>g x 的解集，所以()0f x >，则10x -<<或1x >；即()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ 故选：A. 【点睛】本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性，根据函数单调性解不等式，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题目．6．C解析：C 【解析】函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=- ，22222210cos 22a cb b ac ac B ac +-=--+≤⇒=≥()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3π．故答案为C ．7．B解析：B 【分析】构造函数()()212g x f x x =-，可得()g x 在[)0,+∞上单调递增，利用奇偶性的定义知()g x 是奇函数，进而求解不等式即可.【详解】由题意当0x ≥时，()f x x '>，构造函数()()212g x f x x =-，则()()'0g x f x x '=->，得()g x 在[)0,+∞上单调递增，又由条件()()2f x f x x +-=得()()0g x g x +-=.所以()g x 是奇函数，又()g x 在[)0,+∞上单调递增且()00g =，所以()g x 在R 上单调递增，由()()222f k f k k --≥-，得()()20k g k g --≥，即()()2g k g k -≥，根据函数()g x 在R 上单调递增，可得2k k -≥，解得1k ≤. 故选：B 【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，考查函数的奇偶性，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由()()02f x f x x '>--，利用导数求出函数()g x 的单调区间以及函数的极值，根据单调性、极值判断每个选项，从而可得结论．【详解】()()xf xg x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=， 2x >时，()()0f x f x '->，故()y g x =在(2,)+∞递增，A 正确；2x <时，()()0f x f x '-<，故()y g x =在(,2)-∞递减，故2x =是函数()y g x =的极小值点，故B 正确；若g （2）0<，则()y g x =有2个零点，若g （2）0=，则函数()y g x =有1个零点，若g （2）0>，则函数()y g x =没有零点，故D 正确；由()y g x =在(,2)-∞递减，则()y g x =在(,0)-∞递减，由0(0)(0)2f g e ==，得0x 时，()(0)g x g ，故()2xf x e，故()2x f x e ≥，故C 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题，考查了构造函数法的应用，是一道综合题．9．D解析：D 【分析】利用三次函数()321233y x bx b x =++++的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．【详解】∵()321233y x bx b x =++++，∴222y x bx b '=+++， ∵函数是R 上的单调增函数，∴2220x bx b +++≥在R 上恒成立， ∴0∆≤，即244(2)0b b -+≤.∴12b -≤≤ 故选：D. 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上()0f x '≥（或()0f x '≤）（()'f x 在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式0∆≤来进行求解.10．A解析：A 【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小. 【详解】①令()()1x e f x x x =>，则()()21'0x x e f x x-=>，∴()f x 在1,上单调递增，∴当121x x >>时，1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故A 正确．B 错误. ②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln 'xg x x-=，令()0g x =，则x e =，当1x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <，∴()g x 在()1,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，易知C ，D 不正确，故选A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.11．D解析：D 【分析】函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有两个不同的交点，当2x >时，()22xx xf x e+=对其求导判断单调性，作出()y f x =的图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()0g x f x m =-=可得()f x m =，所以函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有两个不同的交点，当2x >时，()22x x x f x e +=，()()()2222222x x x x x e e x x x f x e e+-+-'==，当2x >时()220xx f x e-'=<，()f x 单调递减，当2x ≤时，()2f x x =+单调递增，所以()f x 图象如图所示：当2x =时，()22222282f e e+⨯==，所以280x e <<，故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．B解析：B 【分析】令()31250g x x x =-+，用导数法得到()g x 在[]2,m m -上递减；再根据02m <≤，则()f x 在[]2,m m -上递减，然后再根据对任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤，由()()max min 1f x f x -≤求解.【详解】设()31250g x x x =-+，则()()2231234g x x x '=-=-，当2x <-或2x >时()0g x '>，()g x 递增；当22x -<<时()0g x '<，()g x 递减；当02m <≤时，[]2,m m - []22-,，所以()g x 在[]2,m m -上递减；所以()f x 在[]2,m m -上递减；所以()()()()max min 2,f x f m f x f m =-=因为任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤，所以()()max min 1f x f x -≤，即()()()()332122501250211616m m m m f m f m m m---+-+--=-≤，即23280m m +-≥，解得2m ≤-或43m ≥，又02m <≤，所以实数m 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键有两点：一是对任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤等价于()()max min 1f x f x -≤，二是()f x 在[]2,m m -上的单调性，由()31250g x x x =-+，利用导数法求解. 二、填空题13．【分析】对函数求导得令得在根据题意求解即可【详解】对函数求导得因为函数在内有且只有一个极小值所以有实数根所以所以根据图像在和上单调递增在上单调递减所以当时函数取得极小值故由题知所以故答案为：【点睛】解析：()0,1【分析】对函数求导得()2'33f x x b =-，令()'=0f x ，得x =0b >，在根据题意()0,1求解即可.【详解】对函数()333f x x bx b =-+求导得，()2'33f x x b =-，因为函数在()0,1内有且只有一个极小值，所以()2'33=0f x x b =-有实数根，所以0b >，x =所以根据()2'33f x x b =-图像，()f x 在(-∞-，和)+∞上单调递增，在(上单调递减，所以当x =()0,1，所以()0,1b ∈故答案为：()0,1 【点睛】本题考查函数导数与极值的关系，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解．14．【分析】对函数进行求导导函数在区间上恒非正或恒非负进行求解即可【详解】由题意得：函数的定义域为由题意可知：或在区间上恒成立当在区间上恒成立时当时因此有；当在区间上恒成立时当时因此有综上所述：实数的取解析：(,16][6,)-∞-+∞【分析】对函数进行求导，导函数在区间()1,2上恒非正或恒非负进行求解即可. 【详解】由题意得：函数()f x 的定义域为()0+∞，，2'()+4ln ()2+4af x x x a x f x x x=+⇒=+，由题意可知：'()0f x ≥或'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立.当'()0f x ≥在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2ax a x x x x+≥⇒≥--=-+，当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈--，，因此有6a ≥-；当'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2ax a x x x x+≤⇒≤--=-+，当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈-，，因此有16a ≤-，综上所述：实数a 的取值范围是(,16][6,)-∞-+∞. 故答案为：(,16][6,)-∞-+∞. 【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.15．【分析】将问题转化为解不等式令根据函数的单调性以及奇偶性求出的范围即可【详解】由可得令则故在上单调递增又是奇函数故故解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题考查导数的应用以及函数的奇偶解析：()1,+∞【分析】将问题转化为解不等式()1xxf x e >，令()()xxf x g x e=，根据函数的单调性以及奇偶性求出x 的范围即可. 【详解】由()0xxf x e ->可得()1xxf x e>，令()()x xf x g x e =，则()()()()10x x f x xf x g x e-+''=>，故()g x 在R 上单调递增，又()1y f x e =+-是奇函数，故()1f e =，()11g =，故()()1g x g >，解得：1x >，故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性，属于中档题.16．②③④【分析】①构造函数求出函数的导数研究函数的导数和单调性进行判断即可；②利用与x 的关系进行转化判断；③设函数利用导数研究其单调性根据零点存在原理得出零点个数判断其真假④设函数利用导数研究其单调性解析：②③④【分析】①构造函数()sin f x x x =-，求出函数的导数，研究函数的导数和单调性，进行判断即可；②x 的关系进行转化判断；③设函数()2sin g x x x =-,利用导数研究其单调性，根据零点存在原理得出零点个数，判断其真假.④设函数()3sin h x x x =-,利用导数研究其单调性，根据零点存在原理得出零点个数，判断其真假. 【详解】①设()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 为减函数， ∵()0=0f ，∴函数()f x 只有一个零点，即函数sin y x =与y x =的图象恰有一个交点，故①错误， ②由①知当0x >时，sin x x <，当01x <≤sin x x >>，当1x >sin x >，当0x =sin x =，综上当0x >sin x >恒成立，函数sin y x =与y =②正确，③设函数()2sin g x x x =-，则()cos 2g x x x '=-，又()sin 20g x x ''=--<，所以()g x '在R 上单调递减. 又()01g '=，02g ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= 即当0x x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增. 当0x x >时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 由函数()g x 在()0，x -∞上单调递增且()00g =，所以函数()g x 在(]0-∞，上有且只有一个零点. 由()00g =，函数()g x 在()0，x -∞上单调递增，则()00g x >又21024g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且函数()g x 在()0x +∞，上单调递减. 所以()g x 在()0x +∞，上有且只有一个零点. 即()g x 在()0+∞，上有且只有一个零点.所以()g x 有2个零点，即函数sin y x =与2yx 的图象恰有两个交点，故③正确.④设函数()3sin h x x x =-,()h x 为奇函数，且()00h =.所以只需研究()h x 在()0+∞，上的零点个数即可. 则()2cos 3h x x x '=-,则()sin 6h x x x ''=--，所以()cos 60h x x '''=--<，所以()h x ''在()0+∞，上单调递减. 所以当()0x ∈+∞，时，()()00h x h ''''<=，则()h x '在()0+∞，上单调递减. 又()01h '=，203024h ππ⎛⎫'=-⨯< ⎪⎝⎭. 所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=.即当00x x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增. 当0x x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.()00h =，由函数()h x 在()00x ，上单调递增，则()00h x >又31028h ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且函数()h x 在()0x +∞，上单调递减. 所以()h x 在()0x +∞，上有且只有一个零点. 即()h x 在()0+∞，上有且只有一个零点. 由()h x 为奇函数，所以()h x 在()0-∞，上有且只有一个零点，且()00h =. 所以()h x 有3个零点，即函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数零点个数，利用数形结合或构造函数，利用导数是解决本题的关键．属于中档题.17．【分析】求导根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为计算得到答案【详解】则当和时函数单调递增；当时函数单调递减故函数极小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数求极值意在考查学生的计算能力和应解析：8-【分析】求导，根据导数正负得到函数单调区间得到函数的极小值为()3f ，计算得到答案. 【详解】()321313y f x x x x ==--+，则()()()2'2331f x x x x x =--=-+，当()3,x ∈+∞和(),1x ∈-∞-时，()'0f x >，函数单调递增；当()1,3x ∈-时，()'0f x <，函数单调递减，故函数极小值为()32313333183f ⨯--⨯+=-=. 故答案为：8-. 【点睛】本题考查了利用导数求极值，意在考查学生的计算能力和应用能力.18．(13)【分析】确定函数为奇函数增函数化简得到解得答案【详解】函数为奇函数函数单调递增即即解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式意在考查学生对于函数性质的灵活运用解析：(1,3) 【分析】确定函数为奇函数，增函数，化简得到233a a a -<-，解得答案. 【详解】()32sin f x x x =-，()()32sin f x x x f x -=-+=-，函数为奇函数， '()32cos 0f x x =->，函数单调递增，2(3)(3)0f a a f a -+-<，即2(3)(3)(3)f a a f a f a -<--=-，即233a a a -<-，解得13a <<. 故答案为：()1,3. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.19．43【分析】通过函数的导数可判断出在上单调递增在上单调递减比较和的大小从而可得在上的最小值再结合已知其最小值为3即可求出的值进而可求出函数在上的最大值【详解】因为所以当时；当时所以函数在上单调递增在解析：43 【分析】通过函数()f x 的导数可判断出()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，比较(2)f -和(2)f 的大小，从而可得()f x 在[2,2]-上的最小值，再结合已知其最小值为3，即可求出a 的值，进而可求出函数()f x 在[2,2]-上的最大值．【详解】因为32()26f x x x a =-+，所以2()6126(2)f x x x x x '=-=-，当(2,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,2)x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以()f x 的最大值为(0)f a =，又(2)40f a -=-+，(2)8f a =-+，因为(8)(40)320a a -+--+=>，所以408a a -+<-+，所以()f x 在[2,2]-上的最小值为(2)403f a -=-+=，所以43a =，所以()f x 的最大值为(0)43f =．故答案为：43 【点睛】本题考查利用导数求闭区间上的函数最值问题．一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，最值必在端点处或极值点处取得．20．【分析】转化条件得有两个不同实数根令通过导数画出函数的草图后数形结合即可得解【详解】函数的定义域为函数函数有两个不同的零点即为有两个不同实数根令则当时单调递增；当时单调递减可画出函数的草图如图：由图解析：(),0-∞【分析】转化条件得2ln a x x x =-+有两个不同实数根，令()2ln g x x x x =-+，通过导数画出函数()g x 的草图后数形结合即可得解. 【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，∴函数()32322ln 0ln ln f x x x x x ax ax x x x x a x x x =-+-=⇔=-+⇔=-+， ∴函数()f x 有两个不同的零点即为2ln a x x x =-+有两个不同实数根，令()2ln g x x x x =-+，则()()()211121x x g x x x x+-+'=-+=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减.()10g =，∴可画出函数()g x 的草图，如图：由图可知，要使2ln a x x x =-+有两个不同实数根，则0a <. 故答案为：(),0-∞. 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了数形结合思想，属于中档题.三、解答题21．（1）2a >；（2）证明见解析．【分析】（1）利用题中的条件函数有两个极值点，相当于导数等于零有两个解，对函数求导，对函数加以分析，最后求得结果；（2）构造相应的函数，研究函数的图像，找出其对应的最值，最后求得结果. 【详解】解：（1）)(211x ax f x x a x x='-+=-+，即方程210x ax -+=有两相异正根，即方程1a x x =+有两相异正根，由1y x x=+图象可知2a >．（2）要证)(2132f x x <-，只要证2222113ln 22x ax x x -+<-， 1x 、2x 为方程210x ax -+=的两根，121=x x ，2221ax x =+．只要证)(2222221311ln 22x x x x -++<-；只要证3222213ln 22x x x x --+<-； 2x 为方程210x ax -+=的较大根，212ax >>．令)()(32222221ln 12g x x x x x x =--+>． )()(222223ln 12g x x x x '=-+>，)()(222221301g x x x x =-+<'>'；)(22223ln 2g x x x +'=-在)(1,+∞上单调减，所以)(()210g x g ''<<恒成立；)(2g x 在)(1,+∞上单调减，)(()2312g x g <=-．【点睛】：思路点睛：该题属于导数的综合题，在做题的过程中，紧紧抓住导数与函数性质的关系，导数大于零单调增，导数小于零，函数单调减，借用二阶导来进一步研究函数的性质，对于不等式的证明问题，注意转化为最值来处理. 22．（1）详见解析；（2）[1,)-+∞. 【分析】（1）对函数求导[]()(2)121()a x x f x x-+-+'=，分20a +≤ 和20a +>，讨论导函数的正负即可.（2）由对任意()0,x ∈+∞，函数()f x 的图象不在x 轴上方，则()0f x ≤，()0,x ∈+∞恒成立，转化为22ln 2x x a x x -≥+，()0,x ∈+∞恒成立，令()22ln 2x x g x x x-=+，用导数法求其最大值即可. 【详解】（1）函数2()ln (2)f x x a x ax =-+-定义域为()0,∞+，则[]()(2)1211()2(2)a x x f x a x a x x-+-+'=-+-=，当20a +≤时，()0f x '>，()f x 递增，当20a +>时，令()0f x '>，解得102x a <<+，令()0f x '<，解得12x a >+，所以()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭递减；（2）若对任意()0,x ∈+∞，函数()f x 的图象不在x 轴上方，则2()ln (2)0f x x a x ax =-+-≤，()0,x ∈+∞恒成立，则22ln 2x x a x x-≥+，()0,x ∈+∞恒成立，令()22ln 2x x g x x x-=+，则()()()()22211ln x x x g x x x +-+-'=+，令()1ln h x x x =-+-，则()110h x x'=--<，所以()h x 在()0,∞+递减，而()10h =，所以当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得最大值1-，所以1a ≥-，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞. 【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性：关键在于准确判定导数的符号，当()f x 含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．． 2、恒成立问题的解法：（1）若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.23．（1）取BC为时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2900cm ；（2）取BC为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为π.【分析】（1）设BC x =，矩形ABCD 的面积为S，2S ==基本不等式求解最值；（2）设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由229002AB x r π=-=，得2900x r π-=，()231900V r h x x ππ==-，其中030x <<，利用导函数求解最值.【详解】（1）连结OC .设BC x =，矩形ABCD 的面积为S . 则22900AB x =-030x <<.所以()()2222229002900900900S x x x x x x =-=-+-=. 当且仅当22900x x =-，即152x =时，S 取最大值为2900cm . 所以，取BC 为152cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2900cm . （2）设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由229002AB x r π=-=，得2900x r -=所以()231900V r h x x ππ==-，其中030x <<. 由()2190030V x π='-=，得103x =因此()31900V x x π=-在(0,103上是增函数，在()103,30上是减函数.所以当103x =V 60003.取BC 为103cm 360003.【点睛】此题考查函数模型的应用：（1）合理设未知数，建立函数关系，需要注意考虑定义域；（2）利用基本不等式求最值，要注意最值取得的条件；（3）利用导函数讨论函数单调性求解最值，注意自变量的取值范围. 24．（1）()223f x x x =--；（2）有且只有一个根.【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的对应关系，列出关于,a b 的方程组，从而求解出,a b 的值，则()f x 的解析式可求；（2）将问题转化为求方程34ln 20x x x---=根的数目，构造新函数()34ln 2g x x x x=---，利用导数分析()g x 的单调性和极值，由此判断出()g x 的零点个数，从而方程()4ln f x x x =根的个数可确定.【详解】解：（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-， ∴20x ax b ++=的两个根分别为1-和3．∴()()1313a b ⎧-=-+⎪⎨=-⨯⎪⎩．即2a =-，3b =-，故函数()f x 的解析式为()223f x x x =--．（2）由（1），设()22334ln 4ln 2x x g x x x x x x--=-=---，∴()g x 的定义域为()0,∞+，()()()2213341x x g x x x x--'=+-=，令()0g x '=，得11x =，23x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的取值变化情况如下表：当03x <≤时，140g x g ≤=-<，当3x >时，()55553ee 202212290eg =--->--=>．又因为()g x 在()3,+∞上单调递增，因而()g x 在()3,+∞上只有1个零点，故()g x 仅有1个零点．即方程()4ln f x x x =有且只有一个根．【点睛】思路点睛：利用导数分析方程根的个数的思路：（1）将方程根的个数问题转化为函数零点的个数问题；（2）将原方程变形，构造新函数，分析新函数的单调性、极值、最值；（3）根据新函数的单调性、极值、最值得到新函数的零点个数，则方程根的个数可确定. 25．(1)10a =；(2) 3.3. 【分析】(1)将“销售价格为4元/件时,每月可售出21千件”带入关系式中即可得出结果； (2)首先可通过题意得出每月销售装饰品所获得的利润24(6102)2f x x x x ，然后通过化简并利用导数求得最大值，即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，当销售价格为4元/件时,每月可售出21千件，所以2214(46)42a ，解得10a =．(2)设利润为()f x ，则2f xy x ，26x <<，带入2104(6)2y x x =+--可得： 224(6)(6)10210422f x xx x x x ，化简可得32456240278f xx x x ，函数()f x 的导函数21211224043106f xx x x x ，26x <<，当0f x 时，1032x ，函数()f x 单调递增；当0f x 时，1036x ，函数()f x 单调递减；当0fx时，103x，函数()f x 取极大值，也是最大值，所以当103x，函数()f x 取最大值，即销售价格约为每件3.3元时，该店每月销售装饰品所获得的利润最大．【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查函数的实际应用以及利用导数求函数的最值，本题的关键在于能够通过题意得出题目所给的销售量、销售价格以及每月销售装饰品所获得的利润之间的关系，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，是中档题．26．（1）2cos ,0,33y a x x x x ππ⎫⎛⎫=+-+∈⎪ ⎪⎭⎝⎭；（2）当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为26a π⎫⎪⎭元. 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得OC 的值，再求弧长DB ，求出函数y 的解析式，写出x 的取值范围；（2）求函数y 的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x 的值．【详解】(1)因为//CD OA ，所以ODC AOD xrad ∠=∠=.在OCD ∆中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD km =. 由正弦定理，得2432sin 3sinsin 33OC CD xx ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，得43sin 3OC xkm =，43sin 33CD x km π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 又圆弧DB 长为23x km π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以43432sin sin 23333y a x a x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23sin cos ,0,33a x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)记()23sin cos 3f x a x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则()()'23cos sin 122cos 16f x ax x a x π⎡⎤⎛⎫=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()'0f x =，得6x π=.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值，即2323666f a a πππ⎛⎫⎫⎫=⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭.故当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为236a π⎫⎪⎭元．【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，考查利用导数知识处理最值问题，考查函数与方程思想，是中档题．。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(含答案解析)(3)

一、选择题1．已知函数()23ln 6f x x kx x =-+，若()0f x >的解集为(),m n ，且(),m n 中只有两个整数，则（） A ．k 无最值 B ．k 的最小值为123ln 24+ C ．k 的最大值为123ln 24+ D ．k 的最小值为6ln33+ 2．已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（）A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)3．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()1F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．0或24．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[4e ，)+∞D ．2(0,]4e5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2xB ．y ＝x 3－xC ．y ＝x e xD ．y ＝－x ＋ln(1＋x )6．已知定义在R 上的函数()y xf x '=的图象（如图所示）与x 轴分别交于原点、点(2,0)-和点(2,0)，若3-和3是函数()f x 的两个零点，则不等式()0f x >的解集（）A ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞B ．(-∞，3)(3-，)+∞C ．(-∞，3)(0-⋃，2)D ．(3-，0)(3⋃，)+∞ 7．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)8．已知函数()3227f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ab 的值为（） A ．23-B ．23或2 C ．2D ．13-9．已知可导函数()()f x x R ∈满足()()f x f x '>，则当0a >时，()f a 和(0)a e f 的大小关系为（） A ．()(0)a f a e f >B ．()(0)a f a e f <C ．()(0)a f a e f =D ．()(0)a f a e f ≤10．若121x x >>，则（） A ．1221xxx e x e > B ．1221x xx e x e < C ．2112ln ln x x x x >D ．2112ln ln x x x x <11．已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为（） A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(,1)-∞-12．函数()21xy x e =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数1()cos ,()(0)2axf x xg x e a a π==-+≠，若1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为________.14．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.15．若函数()2xf x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是______.16．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，()f x '是()f x 的导函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+，则整数m 的值是__________.17．已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正实数1x ，2x 都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是____18．已知函数2()2ln af x x x =+，其中0a >，若()2f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．19．已知函数()ln =-xf x e a x 在[]1,4上单调递增，则a 的取值范围是______.20．已知()3226f x x x a =-+(a 为常数)在[]22-,上有最小值3，则()f x 在[]22-,上的最大值为______三、解答题21．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值；（2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围. 22．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. 23．已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值．（1）求,a b 的值及函数()f x 的单调区间；（2）若对[2,3]x ∈-，不等式23()2f x c c +<恒成立，求c 的取值范围． 24．已知函数()ln f x x x =-.（1）若函数2()2y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）记函数()()212g x f x x bx =+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值. 25．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 26．设函数f （x ）＝ln x ＋kx，k ∈R ．（1）若曲线y ＝f （x ）在点(e ，f （e ）)处的切线与直线x －2＝0垂直，求f （x ）的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；（2）若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】原不等式化为3ln 6x kx x >-，设()()3ln ,6xg x h x kx x==-，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可. 【详解】由()23ln 60f x x kx x =-+>，得3ln 6xkx x>-，设()()3ln ,6xg x h x kx x==-， ()()231ln x g x x-'=，()()00,0g x x e g x x e >⇒<<⇒''所以()g x 在()0,e 的上单调递增，在(),e +∞单调递减，而()6h x kx =-的图象是一条恒过点()0,6-的直线，函数()g x 与()h x 的图象如图所示，依题意得，01m <<，若(),m n 中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，则()()()()2233g h g h ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即3ln 2262ln 336k k ⎧>-⎪⎨⎪≤-⎩，解得6ln 3123ln 234k ++≤<，故k 的最小值为6ln33+，故选：D. 【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．2．A解析：A 【分析】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，利用导数可知()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，将不等式()0f x >化为1x >且()(2021)g x g >，再利用()g x 的单调性可解得结果.【详解】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，则1()ln ()()()()ln f x x xf x g x f x f x x x x'+''=+=，因为1≥x ，()ln ()0f x x xf x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，当1x =时，由()ln ()0f x x xf x '+<可知(1)0f <，不满足()0f x >；当1x >时，ln 0x >，所以()0f x >可化为()ln 0f x x >(2021)ln 2021f =，即()(2021)g x g >，因为()g x 在(1,)+∞上为单调递减函数，所以12021x <<，所以不等式()0f x >的解集为(1,2021). 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知不等式构造函数()ln ()g x xf x =，利用导数判断其单调性是本题解题关键.3．A解析：A 【分析】利用导数分析出函数()()1g x xf x =+在区间(),0-∞和()0,∞+上的单调性，由此可判断出函数()()1g x xf x =+的函数值符号，由此可求得函数()y F x =的零点个数. 【详解】构造函数()()1g x xf x =+，其中0x ≠，则()()()g x f x xf x ''=+，当0x ≠时，()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x. 当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'，此时，函数()y g x =单调递减，则()()01g x g >=；当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，此时，函数()y g x =单调递增，则()()01g x g >=.所以，当0x <时，()()()110xf x F x f x x x+=+=<；当0x >时，()()()110xf x F x f x x x+=+=>. 综上所述，函数()y F x =的零点个数为0. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，构造函数()()1g x xf x =+是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得a 的范围. 【详解】由2(0)y axa =>，得2y ax '=，由x y e =，得x y e '=，曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则设公切线与曲线1C 切于点211(,)x ax ，与曲线2C 切于点22(,)xx e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，将212x e ax =代入2211212x e ax ax x x -=-，可得2122=+x x ，11212+∴=x e a x ，记12()2+=x e f x x，则122(2)()4xex f x x +-'=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴当2x =时，2()4mine f x =. a ∴的范围是2[,)4e +∞.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．C解析：C【解析】A 在R 上是周期函数，2sin cos y x x =' ，导函数在(0，＋∞)上有正有负，故原函数有增有减；.B 231,y x -'= 在(0，＋∞)，有正有负，所以原函数不是增函数，C x x y xe e '=+ 0> ，恒成立，故原函数单调递增；D 1111x y x x-=-+=++' ，在(0，＋∞)上导函数为负，原函数应该是减函数．故选C ．点睛：判断函数的单调性的方法，可以根据导函数的正负来判断原函数的单调性．6．B解析：B 【分析】根据()y xf x '=的图像可得()'f x 在R 上的正负值，进而求得原函数的单调性，再结合()f x 的零点画出()f x 的简图，进而求得不等式()0f x >的解集.【详解】由图，当(),2x ∈-∞-时()0xf x '>，故()0f x '<，()f x 为减函数；当()2,0x ∈-时()0xf x '<，故()0f x '>，()f x 为增函数；当()0,2x ∈时()0xf x '<，故()0f x '<，()f x 为减函数；由图，当()2,x ∈+∞时()0xf x '>，故()0f x '>，()f x 为增函数；又3-和3是函数()f x 的两个零点，画出()f x 的简图如下：故不等式()0f x >的解集为()(),33,-∞-+∞.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.7．C解析：C 【解析】y ′＝3x 2＋1>0对于任何实数都恒成立．8．A解析：A 【分析】求导，根据题意得到()()11010f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩，代入数据解得答案，再验证排除即可.【详解】()3227f x x ax bx a a =++--，则()'232f x x ax b =++，根据题意：()()2117101320f a b a a f a b '⎧=++--=⎪⎨=++=⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或69a b =-⎧⎨=⎩，当21a b =-⎧⎨=⎩时，()()()'2341311f x x x x x =-+=--，函数在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故1x =处取得极小值，舍去；当69a b =-⎧⎨=⎩时，()()()'23129313f x x x x x =-+=--，函数在(),1-∞上单调递增，在()1,3上单调递减，故1x =处取得极大值，满足.故6293a b -==-. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.9．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()()x f x g x e=，求导可知()g x 单调递增，比较(),(0)g a g 的大小，可得()f a 和(0)a e f 的大小关系.【详解】解：令()()x f x g x e =，则'''2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e--==，因为()()f x f x '>，所以'()0g x >，所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增；因为0a >，所以()(0)g a g >，即0()(0)af a f e e>，即()(0)a f a e f >. 故选：A. 【点睛】本题考查构造函数法比较大小，考查利用导数求函数的单调性，属于基础题.10．A解析：A 【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小. 【详解】①令()()1x e f x x x =>，则()()21'0x x e f x x-=>，∴()f x 在1,上单调递增，∴当121x x >>时，1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故A 正确．B 错误. ②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln 'xg x x-=，令()0g x =，则x e =，当1x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <，∴()g x 在()1,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，易知C ，D 不正确，故选A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.11．C解析：C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在[0，)+∞上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【详解】解：2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=，则()f x 是偶函数，()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+，当0x 时，()0f x '，即函数在[0，)+∞上为增函数，则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<，即()()|23|1f x f +<，则|23|1x +<，得1231x -<+<，得21x -<<-，即不等式的解集为(2,1)--，故选：C ．【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．12．A解析：A【分析】根据函数图象，当12x <时，()210xy x e =-<排除CD ，再求导研究函数单调性得()21x y x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，排除B 得答案.【详解】解：因为12x <时，()210xy x e =-<，所以C ，D 错误；因为()'21xy x e =+，所以当12x <-时，'0y <，所以()21xy x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，所以A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.二、填空题13．【分析】根据余弦型函数的性质求出当时函数的值域分类讨论利用指数型函数的性质求出函数在时的值域然后根据存在的定义进行求解即可【详解】因为所以因此在时单调递减所以有当时函数是单调递增函数当时即因为使得所解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据余弦型函数的性质求出当1[0,1]x ∈时，函数()1y f x =的值域，分类讨论利用指数型函数的性质，求出函数()2y g x =在2[0,1]x ∈时的值域，然后根据存在的定义进行求解即可. 【详解】因为1[0,1]x ∈，所以1[0,]x ππ∈，因此1()f x 在1[0,1]x ∈时，单调递减，所以有11(1)()(0)1()1f f x f f x ≤≤⇒-≤≤.当0a >时，函数1()2axg x e a =-+是单调递增函数，当2[0,1]x ∈时，()2(0)(1)g g x g ≤≤，即231()22a a g x e a -≤≤-+，因为1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =，所以有：()3121112a a e a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩，令'1()(0)()12aa h a e a a h a e =-+>⇒=-，因为0a >，所以'()0h a >，因此函数 ()h a 单调递增，所以有3()(0)2h a h >=，因此不等式组(1)的解集为：12a ≥，而0a >，所以12a ≥；当0a <时，函数1()2axg x e a =-+是单调递减函数，当2[0,1]x ∈时， ()2(1)(0)g g x g ≤≤，即213()22a e a g x a -+≤≤-，因为1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =，所以有()1122312ae a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩：，令'1()(0)()12aa h a e a a h a e =-+<⇒=-，因为0a <，所以'()0h a <，因此函数 ()h a 单调递减，所以有3()(0)2h a h >=，因此不等式组 (2)的解集为空集，综上所述：12a ≥. 故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点睛：根据不等式112ae a -+≥构造新函数，利用导数求出新函数的最小值是解题的关键.14．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论解析：（1）（3）（4）利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦，所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-，由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->，由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点，所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）.本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．【分析】求导函数求出函数的极值利用函数恰有三个零点即可求实数的取值范围【详解】解：函数的导数为令则或可得函数在上单调递减和上单调递增或是函数的极值点函数的极值为：函数恰有三个零点则实数的取值范围是：解析：240,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围．【详解】解：函数2x y x e =的导数为22(2)x x x y xe x e xe x '=+=+，令0y '=，则0x =或2-，可得函数在()2,0-上单调递减，(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，0∴或2-是函数y 的极值点，函数的极值为：(0)0f =，224(2)4f e e --==．函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是：240,e ⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．16．2【分析】先通过已知求出得到再利用导数研究得到函数在内没有零点函数的零点在内即得的值【详解】因为函数是定义在上的单调函数且对任意的都有所以是一个定值设所以所以或（舍去）所以所以所以所以函数在是增函数解析：2 【分析】先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--，再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点，函数()F x 的零点在(2,3)内，即得m 的值.【详解】因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，所以2()f x x -是一个定值，设2()f x x t -=，所以2()=+f x x t ，()2f t =所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-（舍去）. 所以2()=+1,()2f x x f x x '=，所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--，所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-，所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数，在(0,1)是减函数，因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数，所以函数()F x 的零点在(2,3)内，所以2m =. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．【分析】由条件不妨设恒成立即为恒成立构造函数只需在上为增函数即可即求恒成立时的取值范围【详解】依题意不妨设恒成立恒成立设即在上为增函数恒成立只需的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查函数的单调性求参解析：[1,)+∞【分析】由条件不妨设12x x >，()()12122f x f x x x ->-恒成立，即为()()112222f x x f x x ->-恒成立，构造函数()()2g x f x x =-，只需()g x 在(0,)+∞上为增函数即可，即求()0g x '≥恒成立时a 的取值范围. 【详解】依题意，不妨设12x x >，()()12122f x f x x x ->-恒成立，()()112222f x x f x x ->-恒成立，设()()2g x f x x =-即12()(),()g x g x g x >在(0,)+∞上为增函数，2()2,()1220ln ag x x g x x x a x x'=-+-+=≥， 22,(0,)a x x x ≥-+∈+∞恒成立，只需2max (2)1,(0,)a x x x ≥-+=∈+∞,a ∴的取值范围是[1,)+∞.故答案为:[1,)+∞. 【点睛】本题考查函数的单调性求参数范围，构造函数把问题等价转化为函数的单调性是解题的关键，属于中档题.18．【分析】恒成立只需即可求出得出单调区间进而求出求解即可得出结论【详解】由得又函数的定义域为且当时；当时故是函数的极小值点也是最小值点且要使恒成立需则∴的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查应用导数求解析：[),e +∞【分析】()2f x ≥恒成立，只需min ()2f x ≥即可，求出()f x '，得出单调区间，进而求出min ()f x ，求解即可得出结论.【详解】由2()2ln a f x x x =+，得()233222()x a a f x x x x-'=-+=，又函数()f x 的定义域为(0,)+∞且0a >，当0x <<()0f x '<；当x ()0f x '>，故x =()f x 的极小值点，也是最小值点，且ln 1f a =+，要使()2f x ≥恒成立，需ln 12a +≥，则a e ≥， ∴a 的取值范围为[),e +∞．故答案为：[),e +∞．【点睛】本题考查应用导数求函数的最值，恒成立问题等价转化为函数的最值，考查计算求解能力，属于中档题.19．【分析】求出函数的导数问题转化为在恒成立令根据函数的单调性求出的范围即可【详解】解：若在递增则在恒成立即在恒成立令则在递增故故故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性最值问题考查导数的应用以及函数恒解析：(],e -∞【分析】求出函数的导数，问题转化为x a xe 在[]1,4恒成立，令()x h x xe =，[]1,4x ∈，根据函数的单调性求出a 的范围即可．【详解】解：()xa f x e x'=-，若()f x 在[]1,4递增，则()0f x '在[]1,4恒成立，即x a xe 在[]1,4恒成立，令()x h x xe =，[]1,4x ∈，则()(1)0x h x x e '=+>，()h x 在[]1,4递增，故()()1min h x h e ==，故a e ，故答案为：(],e -∞．【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．20．43【分析】通过函数的导数可判断出在上单调递增在上单调递减比较和的大小从而可得在上的最小值再结合已知其最小值为3即可求出的值进而可求出函数在上的最大值【详解】因为所以当时；当时所以函数在上单调递增在解析：43 【分析】通过函数()f x 的导数可判断出()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，比较(2)f -和(2)f 的大小，从而可得()f x 在[2,2]-上的最小值，再结合已知其最小值为3，即可求出a 的值，进而可求出函数()f x 在[2,2]-上的最大值．【详解】因为32()26f x x x a =-+，所以2()6126(2)f x x x x x '=-=-，当(2,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,2)x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以()f x 的最大值为(0)f a =，又(2)40f a -=-+，(2)8f a =-+，因为(8)(40)320a a -+--+=>，所以408a a -+<-+，所以()f x 在[2,2]-上的最小值为(2)403f a -=-+=，所以43a =，所以()f x 的最大值为(0)43f =．故答案为：43 【点睛】本题考查利用导数求闭区间上的函数最值问题．一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，最值必在端点处或极值点处取得．三、解答题21．（1）最大值为24e ，最小值为2e -；（2）[)2,-+∞. 【分析】（1）2a =-代入()f x ，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>，来确定()f x 在()1,+∞上单增，()0f x '≥，再对32310x x a x -++-≥分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】（1）()()3231xf x exx a x '=-++-当2a =-时，()()()()()3233311x xf x e x x x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正，在(),3-∞-和()1,1-上为负， ∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增，在(),3-∞-和()1,1-上单减，有()21f e-=-，()224f e =，()12f e =-，故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ，最小值为2e -；（2）由()()3231xf x exx x a '=+-+-知，当x →+∞时，()0f x '>，若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增，∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即32310x x a x -++-≥ ∴3231a x x x ≥--++，令()3231g x x x x =--++，1x >，则()23610g x x x '=--+<，∴()g x 在()1,+∞递减，()()12g x g <=-，∴[)2,a ∈-+∞. 【点睛】（1）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可. （2）函数()f x 在区间I 上递增，则()0f x '≥恒成立；函数()f x 在区间I 上递减，则()0f x '≤恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.22．（1）1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈．（2）存在4k =，使得()f x 是[-1,4]上的“4阶收缩函数”．（31b <≤ 【解析】试题分析：（1）根据()f x 的最大值可求出1()f x ，2()f x 的解析式；（2）根据函数2()f x x =，[14]x ∈-，上的值域，先求出1()f x ，2()f x 的解析式，再根据21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围得到答案.(3)先对函数()f x 求导判断函数的单调性，进而写出1()f x ，2()f x 的解析式，然后再由21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围. 试题（1）由题意可得：()1cos f x x =，[]0x π∈，，()21f x =，[]0x π∈，. （2）()[)[]2110004x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()[)[]2211114x f x x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()()[)[)[]221211010114x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，，，，，，当[]10x ，∈-时，()211x k x -≤+，∴1k x ≥-，2k ≥；当()01x ∈，时，()11k x ≤+，∴11k x ≥+，∴1k ≥；当[]14x ∈，时，()21x k x ≤+，∴21x k x ≥+，165k ≥综上所述，165k ≥.即存在4k =，使得()f x 是[]14-，上的“4阶收缩函数”. （3）()()23632f x x x x x =-+'=--，令()0f x '=得0x =或2x =.函数()f x 的变化情况如下：令0f x =得0x =或3x =.（1）当2b ≤时，()f x 在[]0b ，上单调递增，因此，()()3223f x f x x x ==-+，()()100f x f ==.因为()323f x x x =-+是[]0b ，上的“二阶收缩函数”，所以，①()()()2120f x f x x -≤-，对[]0x b ，∈恒成立； ②存在[]0x b ，∈，使得()()()210f x f x x ->-成立. ①即：3232x x x -+≤对[]0x b ，∈恒成立，由3232x x x -+≤解得01x ≤≤或2x ≥. 要使3232x x x -+≤对[]0x b ，∈恒成立，需且只需01b <≤. ②即：存在[]0x b ，∈，使得()2310x x x -+<成立. 由()2310x x x -+<解得0x <或3322x <<.所以，只需32b >.综合①②1b <≤ （2）当23b <≤时，()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()100f x f ==，()()214f x f x -=，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立，（3）当3b >时，()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()10f x f b =<，()()()2144f x f x f b -=->，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立.综合（1）（2）（3）可得：312b <≤. 23．（1）3{26a b =-=-，()f x 的减区间为(1,2)-，增区间为(,1)-∞-，(2,)+∞；（2）7(,1)(,)2-∞-⋃+∞．【详解】试题分析：（1）求出()'f x 并令其0=得到方程，把1x =-和2x =代入求出,a b 即可；（2）求出函数的最大值为()1f -，要使不等式恒成立，既要证()2312f c c -+<，即可求出c 的取值范围. 试题（1）()232f x x ax b =++'，由题意得：()()10{20f f ''-==即320{1240a b a b -+=++=，解得3{26a b =-=-∴()32362f x x x x c =--+，()2336f x x x '=--．令()0f x '<，解得12x -<<，令()0f x '>，解得1x <-或2x > ∴()f x 的减区间为()1,2-，增区间为(),1-∞-，()2,+∞．（2）由（1）知，()f x 在(),1-∞-上单调递增；在()1,2-上单调递减；在()2,+∞上单调递增．∴[]2,3x ∈-时，()f x 的最大值即为()1f -与()3f 中的较大者．()712f c -=+，()932f c =-+，∴当1x =-时，()f x 取得最大值，要使()232f x c c +<，只需()2312c f c >-+，即2275c c >+，解得1c <-或72c >． ∴c 的取值范围为()7,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．24．（1）5ln 224m +≤<；（2）152ln 28- 【分析】（1）利用导数研究三次函数的单调性和极值，根据单调性和极值列不等式组即可解得结果；（2）根据已知条件将12()()g x g x -化为关于1x 的函数，再利用导数求出其最小值，则可得到实数k 的最大值. 【详解】（1）因为()ln f x x x =-，∴函数()()2223ln 0y f x m x x x x x m x =+-+=-++>，令()()23ln 0h x x x x m x =-++>，则()()()211123x x h x x x x--'=-+=，令()0h x '=得112x =，21x =，列表得：∴当1x =时，()h x 的极小值为()12h m =-，又ln 224h m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()22ln 2h m =-+.∵函数()22y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，∴102(1)0(2)0h h h ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩即5ln 204202ln 20m m m ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩，解得5ln 224m +≤<. （2）()()21ln 12g x x x b x =+-+，∴()()()21111x b x g x x b x x-++'=+-+=，令()0g x '=得()2110x b x -++=，∵1x ，2x 是()g x 的极值点，∴121x x b +=+，121=x x ，∴211x x =， ∵32b ≥，∴121215210x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<=⎪⎩解得：1102x <≤，.∴()()()()()22112121221ln12x g x g x x x b x x x -=+--+-， ()2221121112111112ln 2ln ,0222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()221112ln ,022F x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22331210x F x x x x x --'=--=<，∴()F x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；∴当12x =时，()min 1152ln 228F x F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据()()12g x g x k -≥恒成立，可得152ln 28k ≤-， ∴k 的最大值为152ln 28-. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于中档题.25．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）6π．【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．令()'=0f θ，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.26．（1）在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，极小值为2；（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）求导后，根据导数的几何意义以及两直线垂直关系可得k ＝e ，再根据导数得到函数的单调性和极值；（2）转化为h （x ）＝f （x ）－x ＝ln x ＋kx－x (x >0)在(0，＋∞)上单调递减，接着转化为()h x '≤0在(0，＋∞)上恒成立，即，k ≥－x 2＋x ＝21124x 恒成立，利用二次函数求出最大值可得答案. 【详解】（1）由题意，得21()(0)kf x x x x '=->， ∵曲线y ＝f （x ）在点(e ，f （e ）)处的切线与直线x －2＝0垂直， ∴()0f e '=，即210ke e -=，解得k ＝e ， ∴221()(0)e x ef x x x x x-'=-=>，由()'f x <0，得0<x <e ；由()'f x >0，得x >e ， ∴f （x ）在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增．当x ＝e 时，f （x ）取得极小值，且f （e ）＝ln e ＋ee＝2． ∴f （x ）的极小值为2．（2）由题意知，对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立，设h （x ）＝f （x ）－x ＝ln x ＋kx－x (x >0)，则h （x ）在(0，＋∞)上单调递减， ∴21()1kh x x x'=--≤0在(0，＋∞)上恒成立，即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝21124x 恒成立， ∴k ≥14．故k 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了减函数的定义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试(答案解析)(3)

一、选择题1．函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a的取值范围为（）A ．11,27⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭3．已知函数322()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10，则a b -=（）． A ．6-B ．15-C ．15D ．6-或154．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]12，上是增函数，则实数m 的取值范围为（） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤5．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（）A ．()()()223log af f f a <，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞7．定义域为R 的连续可导函数()f x 满足()()xf x f x e '-=，且()00f =，若方程()()21016m f x f x ++=⎡⎤⎣⎦有四个根，则m 的取值范围是（） A ．2416e e m -<-D ．2e m >8．直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+，ln y x x =+相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．1B ．2C D 9．设12x <<，则ln x x ，2ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22ln x x 的大小关系是（） A ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<<⎪⎝⎭10．已知函数()y f x =在R 上可导且()02f =，其导函数()f x '满足()()02f x f x x '>--，对于函数()()x f x g x e=，下列结论错误．．的是（）. A ．函数()g x 在()2,+∞上为单调递增函数 B ．2x =是函数()g x 的极小值点 C ．0x ≤时，不等式()2xf x e ≤恒成立D ．函数()g x 至多有两个零点11．已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（） A ． 1b <-或2b > B ．1,b ≤-或b 2≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤12．已知函数22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．[)28,4,e ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___． 14．已知()(sin )x f x e x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．15．已知||()cos x f x e x =+，则不等式(21)(1)f x f x -≥-的解集为__________. 16．已知函数()e e xxf x -=-，有以下命题：①()f x 是奇函数； ②()f x 单调递增函数；③方程()22f x x x =+仅有1个实数根；④如果对任意(0,)x ∈+∞有()f x kx >，则k 的最大值为2. 则上述命题正确的有_____________.（写出所有正确命题的编号）17．已知数列()*4n n b n N =∈.记数列{}n b 的前n 项和为n T ．若对任意的*n N ∈，不等式4843n T k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，则实数k 的取值范围为______．18．某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销售收入()R x （万元）满足()32191882R x x x x =-++（其中x 是该产品的月产量，单位：百台，08x <<），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大..19．设函数3()32()f x ax x x =-+∈R ，若对于任意[1,1]x ∈-，都有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________.20．若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是________.三、解答题21．设函数()()2ln 1f x x x ax =--+.（1）若()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若存在正数0x ，使得()001ln f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围. 22．设函数()22f x x x k x =++，k ∈R . （Ⅰ）当1k =-时，解不等式()3f x >；（Ⅱ）若对任意[]1,2x ∈时，直线21y x =+恒在曲线()y f x =的上方，求k 的取值范围. 23．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值；（2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围. 24．已知函数()212f x x =，()ln g x a x =.设()()()h x f x g x =+ （1）试讨论函数()h x 的单调性. （2）若对任意两个不等的正数12,x x ，都有()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围；25．有一边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长为的小正方形，然后做成一个无盖方盒．（1）试把方盒的容积表示成的函数；（2）求多大时，做成方盒的容积最大．26．已知函数()22x bg x ax +=+，()1,1x ∈-，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b 的值，并解答后面的问题. ①已知函数()3f x b x a=+-，满足()()220f x f x -++=； ②已知函数()()0,1xf x a b a a =+>≠在[]1,2上的值域为[]2,4③已知函数()24f x x ax =-+，若()1f x +在定义域[]1,1b b -+上为偶函数.（1）证明()g x 在()1,1-上的单调性；（2）解不等式()()120g t g t -+<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解；【详解】解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．C解析：C 【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<. 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由题，可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，通过求方程组的解，即可得到本题答案，记得要检验.【详解】因为322()f x =x ax bx a +++，所以2()32f x x ax b '=++，由题，得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，因为当3,3a b =-=时，2()3(1)0f x x '=-≥恒成立，()f x 在R 上递增，无极值，故舍去，所以4(11)15a b -=--=.故选：C 【点睛】本题主要考查含参函数的极值问题，得到两组解后检验，是解决此题的关键.4．D解析：D 【分析】求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，分离参数m ，即可得到答案．【详解】由题得2()4f x x mx '=-+，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，即240x mx -+≥，则244x m x x x+≤=+在[]12，上恒成立，又44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以4m ≤，故答案选D 【点睛】本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题．5．C解析：C 【分析】由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，可知函数关于2x =对称，根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减，因为24a <<所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<，所以22log 32aa <<<，所以2(log )(3)(2)af a f f <<，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.6．B解析：B【解析】令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e-=∴=<'=' 所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等7．A解析：A 【分析】构造函数()()xf x x b e =+，根据()00f =求出0b =，利用导数判断函数的单调性，作出其大致图像，令()t f x =，只需21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】由()()()()()()()()221x xxxxx x f x e f x e f x f x e e f x e ef x e '-'-=-=⇒'=⇒，则()()()()1xx xf x f x x b x x b e e e f ⎡⎤=⇒=+=+⎢⎥⎣⎦⇒，由()000f b =⇒=，则()xf x e x =⋅.由()()1xf x ex '=+，当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增；当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，当x →-∞，()0f x <，x →+∞，()0f x >，如图所示：令()t f x =，则21016mt t ++=，由已知可得 21016mt t ++=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()2116g t mt t =++，由12121001016t t m m t t m ⎧+=-<⎪⎪⇒>⎨⎪⋅=>⎪⎩，则()21000,41601102g e e g m e em ⎧⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪>⇒∈-⎨⎪∆>⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩. 故选：A 【点睛】本题考查了构造函数判断函数的单调性、根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了二次函数根的分布，此题综合性比较强，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设A （a ，2 a+1），B （a ，a+lna ），求出|AB |，利用导数求出|AB |的最小值．【详解】设A （a ，2a+1），B （a ，a+lna ），∴|AB |＝211a a lna a lna +-+=+-（），令y 1x lnx =+-，则y ′=11x-， ∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴x ＝1时，函数y 的最小值为20>，∴|AB |＝2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-（），其最小值为2.故选B ．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．9．A解析：A 【解析】试题分析：令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以222ln ln ln ()x x x x x x<<，故应选.考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.10．C解析：C 【分析】由()()02f x f x x '>--，利用导数求出函数()g x 的单调区间以及函数的极值，根据单调性、极值判断每个选项，从而可得结论．【详解】()()xf xg x e =，则()()()xf x f xg x e '-'=， 2x >时，()()0f x f x '->，故()y g x =在(2,)+∞递增，A 正确；2x <时，()()0f x f x '-<，故()y g x =在(,2)-∞递减，故2x =是函数()y g x =的极小值点，故B 正确；若g （2）0<，则()y g x =有2个零点，若g （2）0=，则函数()y g x =有1个零点，若g （2）0>，则函数()y g x =没有零点，故D 正确；由()y g x =在(,2)-∞递减，则()y g x =在(,0)-∞递减，由0(0)(0)2f g e==，得0x 时，()(0)g x g ，故()2xf x e，故()2x f x e ≥，故C 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题，考查了构造函数法的应用，是一道综合题．11．D解析：D【分析】利用三次函数()321233y x bx b x =++++的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．【详解】∵()321233y x bx b x =++++，∴222y x bx b '=+++， ∵函数是R 上的单调增函数，∴2220x bx b +++≥在R 上恒成立， ∴0∆≤，即244(2)0b b -+≤.∴12b -≤≤ 故选：D. 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上()0f x '≥（或()0f x '≤）（()'f x 在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式0∆≤来进行求解.12．D解析：D 【分析】函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有两个不同的交点，当2x >时，()22xx xf x e+=对其求导判断单调性，作出()y f x =的图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()0g x f x m =-=可得()f x m =，所以函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有两个不同的交点，当2x >时，()22x x x f x e +=，()()()2222222x x x x x e e x x x f x e e+-+-'==，当2x >时()220xx f x e-'=<，()f x 单调递减，当2x ≤时，()2f x x =+单调递增，所以()f x 图象如图所示：当2x =时，()22222282f e e+⨯==，所以280x e <<，故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题13．a≥﹣1【分析】将函数f （x ）在（0）上单调递减转化在（0）上恒成立即在（0）上恒成立再求最大值即可【详解】因为函数f （x ）在（0）上单调递减所以在（0）上恒成立即在（0）上恒成立因为所以所以所以故解析：a ≥﹣1．【分析】将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx+=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立，即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，所以1(,1]cos x-∈-∞-，所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥- 【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.14．【分析】利用在上恒成立等价于在上恒成立利用正弦函数的性质得出在的最小值即可得出的范围【详解】在上恒成立即在上恒成立则故答案为：【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围属于中档题解析：[)1,-+∞【分析】利用()0f x '≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦4x a π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值，即可得出a 的范围. 【详解】()(sin )cos (sin cos )04x x x x f x e x a e x e x x a e x a π⎤⎛⎫'=++=++=++≥ ⎪⎥⎝⎭⎦在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立4x a π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦sin 42x π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭则1,1a a ≥-≥- 故答案为：[)1,-+∞ 【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围，属于中档题.15．【分析】首先根据题意得到为偶函数利用导数求出的单调区间再根据单调区间解不等式即可【详解】又因为所以为偶函数当时因为所以故在为增函数又因为为偶函数所以在为减函数因为所以解得或故答案为：【点睛】本题主要解析：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 为偶函数，利用导数求出()f x 的单调区间，再根据单调区间解不等式即可. 【详解】又因为x ∈R ，()()()||||cos cos x x f x e x e x f x --=+-=+=，所以()f x 为偶函数.当0x >时，()cos x f x e x =+，()sin x f x e x '=-，因为0x >，e 1x >，所以()sin 0x f x e x '=->，故()f x 在()0,∞+为增函数.又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0-∞为减函数. 因为(21)(1)f x f x -≥-，所以211x x -≥-，解得23x ≥或0x ≤. 故答案为：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶，属于中档题.16．①②④【分析】根据题意依次分析4个命题对于①由奇函数的定义分析可得①正确；对于②对函数求导分析可得分析可得②正确；对于③分析可得即方程有一根进而利用二分法分析可得有一根在之间即方程至少有2跟故③错误解析：①②④ 【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数()x x f x e e -=-求导，分析可得()0f x '>，分析可得②正确；对于③、2()2x x g x e e x x -=---，分析可得(0)0g =，即方程2()2f x x x =+有一根0x =，进而利用二分法分析可得()g x 有一根在(3,4)之间，即方程2()2f x x x =+至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、()x x f x e e -=-，定义域是R ，且()()x x f x e e f x --=-=-，()f x 是奇函数；故①正确；对于②、若()x x f x e e -=-，则()0x x f x e e -'=+>，故()f x 在R 递增；故②正确；对于③、2()2f x x x =+，令2()2x x g x e e x x -=---，令0x =可得，(0)0g =，即方程2()2f x x x =+有一根0x =， ()3313130g e e =--<，()4414200g e e =-->，则方程2()2f x x x =+有一根在(3,4)之间，故③错误；对于④、如果对任意(0,)x ∈+∞，都有()f x kx >，即0x x e e kx --->恒成立，令()x x h x e e kx -=--，且(0)0h =，若()0h x >恒成立，则必有()0x x h x e e k -'=+->恒成立，若0x x e e k -+->，即1x xx xk e ee e -<+=+恒成立，而12xxe e +，若有2k <，故④正确；综合可得：①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，③关键是利用二分法，属于中档题．17．【分析】先求得然后利用分离常数法通过构造函数法结合导数求得的取值范围【详解】由于公比为所以所以对任意的不等式恒成立即恒成立即对任意的恒成立构造函数则令解得而所以所以在上递增在上递减令所以故故答案为：解析：34k ≥【分析】先求得n T ，然后利用分离常数法，通过构造函数法，结合导数，求得k 的取值范围. 【详解】由于14,4nn b b ==，公比为4，所以()()141441441414333n n n n T +-==-=--，所以对任意的*n N ∈，不等式4843n T k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭恒成立，即114843n k n +⋅≥-恒成立，即124126344n nn n k +--≥=对任意的*n N ∈恒成立. 构造函数()()6314x x f x x -=≥，则()()'6ln 43ln 464xx f x -⋅++=，令'0f x解得041log 2x e =+. 而4411log log 2122e +>+=，44113log log 4222e +<+=，所以012x <<.所以()f x 在[)01,x 上递增，在()0,x +∞上递减. 令634n n n a -=，1239,416a a ==，12a a >. 所以134n a a ≤=，故34k ≥. 故答案为：34k ≥ 【点睛】本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查不等式恒成立问题的求解，考查数列的单调性和最值的判断，属于难题.18．6【分析】设销售利润为利用导数求出的最大值即可【详解】设销售利润为依题意可得当时当时所以在单调递增在单调递减所以时取得极大值也是最大值所以当公司每月生产6百台时获得利润最大故答案为：6【点睛】本题考解析：6 【分析】设销售利润为1(),()()12g x g x R x x =--，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】设销售利润为()g x ，依题意可得，3232191119()11,(0,8)882288g x x x x x x x x =-++--=-+-∈，2393()(6)848g x x x x x '=-+=--，当(0,6)x ∈时，()0g x '>，当(6,8)x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在(0,6)单调递增，在(6,8)单调递减，所以6x =时，()g x 取得极大值，也是最大值，所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数应用问题以及运用导数求最值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题.19．【分析】求出时的值讨论函数的增减性得到的最小值让最小值大于等于0即可求出的范围【详解】解：由可得当时令解得且①当时为递增函数②当时为递减函数③当时为递增函数所以即解得故答案为：【点睛】考查学生理解函解析：15a ≤≤【分析】求出()0f x '=时x 的值，讨论函数的增减性得到()f x 的最小值，让最小值大于等于0即可求出a 的范围. 【详解】解：由(1)0f ≥可得1a ≥，2'()33f x ax =-，当1a ≥时，令2'()330f x ax =-=解得x =，且1>-<①当1x -<<()0,()f x f x '>为递增函数， ②当x <<()0,()f x f x '<为递减函数， ③1x <<时，()f x 为递增函数.所以()010f f ⎧≥⎪⎨⎝⎭⎪-≥⎩，即3320320a a a a ⎧⎛⎛⎫⎪-+≥ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪-++≥⎩，解得15a ≤≤. 故答案为：15a ≤≤. 【点睛】考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及利用导数求函数最值的能力.20．【分析】依题意可得在上恒成立参变分离得到在上恒成立令求出的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为的定义域为且函数在上单调递增在上恒成立即在上恒成立令当时所以即故答案为：【点睛】本题考查利用导解析：18a ≥【分析】依题意可得()210af x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22g x x x =-，求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，()210af x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ 当14x =时()max 18g x =所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.三、解答题21．（1）(],1-∞-；（2）[)0,+∞ 【分析】（1）由函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，则()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，即()2ln 10f x x a x=--'+≥在[)1,+∞上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为2ln 1a x x ≤+-在[)1,+∞上恒成立，设函数()2ln 1g x x x≤+-，于是只需满足()min a g x ≤即可，问题转化为求函数()g x 的最小值；（2）存在正数0x ，使得()001ln f x x ≤-，即()0001ln x x ax -<，分离参数可得()001ln x x a x -≥，构造函数()()()1ln ,0,x x g x x x-=∈+∞，利用导数求出()()1ln x x g x x-=的最小值即可求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2ln 1f x x a x=+--'，要使()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，只需()0f x '≥，即2ln 1x a x+-≥在[)1,+∞上恒成立即可，由对数函数、反比例函数的性质可得2ln 1y x x=+-在[)1,+∞上单调递增，所以只需min a y ≤即可，当1x =时，y 取最小值，min 2ln1111y =+-=-， ∴实数a 的取值范围是(],1-∞-.（2）存在正数0x ，使得()001ln f x x ≤-成立，即()0001ln x x ax ≤-，即存在()00x ∈+∞,使得()001ln x x a x -≥，令()()()1ln ,0,x x g x x x-=∈+∞，则()2ln 1x x g x x+-'=，令()()ln 1,0,h x x x x =+-∈+∞，则()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，所以()g x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增，则()()min 10g x g ==，故0a ≥，即实数a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】思路点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数最值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考虑到分离参数方法或分类讨论的方法.22．（Ⅰ）()1,+∞；（Ⅱ）31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（Ⅰ）由1k =-时，不等式为223x x x -+>，然后分2x ≥，2x <讨论求解. （Ⅱ）将任意[]1,2x ∈时，不等式()21f x x <+恒成立，转化为112x k x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭且112k x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈恒成立求解.【详解】（Ⅰ）当1k =-时，不等式()3f x >，即223x x x -+>，所以2(2)23x x x x ≥⎧⎨-+>⎩，或2(2)23x x x x <⎧⎨-+>⎩，，即得223x x ≥⎧⎨>⎩，或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，，解得2x ≥或12x <<，所以原不等式的解集是()1,+∞；（Ⅱ）因为对任意[]1,2x ∈时，不等式()21f x x <+恒成立，即21x x k +<当[]1,2x ∈时恒成立，即12x k x+<，即111122x k x x x ⎛⎫⎛⎫-+<<-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故只要112x k x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭且112k x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈恒成立即可，即当[]1,2x ∈时，只要k 大于112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值且k 小于112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值，因为当[]1,2x ∈时，211111022x x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为减函数，max 1112x x ⎡⎤⎛⎫-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 211111022x x x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为减函数，min 11324x x ⎡⎤⎛⎫-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故所求k 的取值范围是31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；23．（1）最大值为24e ，最小值为2e -；（2）[)2,-+∞. 【分析】（1）2a =-代入()f x ，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>，来确定()f x 在()1,+∞上单增，()0f x '≥，再对32310x x a x -++-≥分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】（1）()()3231xf x exx a x '=-++-当2a =-时，()()()()()3233311x x f x e x x x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正，在(),3-∞-和()1,1-上为负，∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增，在(),3-∞-和()1,1-上单减，有()21f e-=-，()224f e =，()12f e =-，故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ，最小值为2e -；（2）由()()3231x f x e x x x a '=+-+-知，当x →+∞时，()0f x '>，若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增，∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即32310x x a x -++-≥∴3231a x x x ≥--++，令()3231g x x x x =--++，1x >，则()23610g x x x '=--+<，∴()g x 在()1,+∞递减，()()12g x g <=-，∴[)2,a ∈-+∞.【点睛】（1）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.（2）函数()f x 在区间I 上递增，则()0f x '≥恒成立；函数()f x 在区间I 上递减，则()0f x '≤恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.24．（1）答案见解析；（2）[)1,+∞.【分析】（1）求导后，分别在0a ≥和0a <两种情况下讨论导函数的正负即可得到结果；（2）将恒成立的不等式转化为()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立，从而只需构造函数()()2t x h x x =-，证明()t x 在()0,∞+上单调递增即可，从而将问题进一步转化为()0t x '≥在()0,∞+上恒成立，进而利用分离变量的方法可求得结果.【详解】（1）()()21ln 02h x x a x x =+>，则()()20a x a h x x x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在()0,∞+上单调递增；当0a <时，若(x ∈，()0h x '<；若)x ∈+∞，()0h x '>；()h x ∴在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. （2）设12x x >，则()()12122h x h x x x ->-等价于()()112222h x x h x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-对于任意的12x x >恒成立. 令()()212ln 22t x h x x x a x x =-=+-，则只需()t x 在()0,∞+上单调递增， ()2a t x x x '=+-，∴只需()0t x '≥在()0,∞+上恒成立即可. 令()200a x x x+-≥>，则()220a x x x ≥-+>，当1x =时，()2max 21x x-+=，1a ∴≥，即实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想､逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.25．（1）见解析；(2)6a . 【详解】解： 2322221212(1)(2?44(0)2(2)'128'0,()26v a x x a x ax a x x v ax ax a a a v x x x x =-=-+<<=-+===）令舍，根据，列表，得到函数的极值和单调性06a （，） 6a(,)62a a V’+9 - v增极大值减6x =时，max ()27v x =【点睛】此题是一道应用题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．26．选法见解析；2a =，0b =；（1）证明见解析；（2）103t <<. 【分析】（1）根据函数的对称性，定义域和值域，奇偶性计算得到2a =，0b =，再求导证明单调性.（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式得到答案.【详解】（1）①由()()220f x f x -++=得()f x 对称中心为()2,0即得2a =，0b =； ②(i )当1a >时，()xf x a b =+在[]1,2上单调递增，则有224a b a b +=⎧⎨+=⎩得220a a --=，得2a =，0b =； (ii )当01a <<时，()xf x a b =+在[]1,2上单调递减，则242a b a b +=⎧⎨+=⎩得220a a -+=，无解，所以2a =，0b =； ③由()24f x x ax =-+得()()2125f x x a x a +=+-+-，因为()1f x +在[]1,1b b -+上是偶函数，则202a -=，且()()110b b -++=，所以2a =，0b =；由①或②或③得()222x g x x =+，()1,1x ∈-，()()222121x g x x -'=+，由11x -<<得()0g x '>，则()g x 在()1,1-上单调递增.（2）因为()()222x g x g x x --==-+，则()g x 为奇函数. 由()()120g t g t -+<即()()21g t g t <-又因为()g x 在()1,1-上单调递增，则121,111,21,t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩解得103t <<. 【点睛】本题考查了函数对称性，奇偶性，单调性，函数的定义域和值域，解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知函数()()2xf x ax e x =+-（其中2a >-），若函数()f x 为R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（） A ．()2,1--B ．(]2,0-C ．(]1,0-D ．(]2,1--2．已知函数322()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10，则a b -=（）． A ．6- B ．15- C ．15 D ．6-或15 3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝x 3－xC ．y ＝x e xD ．y ＝－x ＋ln(1＋x )4．设12x <<，则ln x x ，2ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22ln x x 的大小关系是（） A ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<<⎪⎝⎭5．函数2()(3)x f x x e =-的单调递增区间是（）A ．(,0)-∞B ．(0)+∞，C ．(,3)-∞和(1)+∞， D ．（-3,１） 6．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（） A ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,)eD ．(,)e +∞8．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（） A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ 9．已知函数(),2021,0x e x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩，若函数()()g x f x kx =-恰好有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e10．函数()21ln 2f x x x =-在区间()0,2上的最大值为（） A ．12-B ．0C ．12D ．无最大值11．已知函数()22ln f x x x =-，若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]1,e 上有实数解，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,2e -∞-B ．(2,2e ⎤-∞-⎦C ．(],1-∞D ．(),1-∞12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．已知()(sin )x f x e x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．14．若关于x 的方程()2ln ln x ax x x -=有且只有三个不相等的实根，则实数a 的取值范围是__________.15．已知函数()e e xxf x -=-，有以下命题：①()f x 是奇函数； ②()f x 单调递增函数；③方程()22f x x x =+仅有1个实数根；④如果对任意(0,)x ∈+∞有()f x kx >，则k 的最大值为2. 则上述命题正确的有_____________.（写出所有正确命题的编号）16．有如下命题：①函数sin y x =与y x =的图象恰有三个交点；②函数sin y x =与y x =的图象恰有一个交点；③函数sin y x =与2y x 的图象恰有两个交点；④函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，其中真命题为_____17．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，()f x '是()f x 的导函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+，则整数m 的值是__________.18．如图，等腰直角ABC 底边4BC =，E 为BC 上异于B ，C 的一个动点，点F 在AB 上，且EF BC ⊥，现将BEF 沿EF 折起到B EF '的位置，则四棱锥B AFEC '-体积的最大值为___________.19．设e 为自然对数的底数，已知函数222,0,(),0x x x a x f x e ax e x ⎧++<=⎨-+-≥⎩恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.20．设函数()2()1xf x x e =-，当0x ≥时，()1(0)f x ax a ≤+>恒成立，则a 的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()2ln f x ax bx x =+-.（,a b ∈R ）（1）当1a =-时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图像与x 轴交于()1,0A x ，()()212,0B x x x <，线段AB 中点为()0,0C x ，求证：()00f x '≠.22．已知函数2(),()sin x f x ae x g x x bx =+=+，一条直线与()f x 相切于点(0,)a 且与()g x 相切于点,122b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求a ，b 的值；（2）证明：不等式()()f x g x >恒成立. 23．已知函数()ln f x x x =-.（1）若函数2()2y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）记函数()()212g x f x x bx =+-，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值. 24．设函数()(1)f x lnx m x =-+，2()2m g x x =，(0,)x m R >∈．（Ⅰ）若对任意121x x >>，1212()()1f x f x x x -<--恒成立，求m 的取值范围；（Ⅱ）()()()h x f x g x =+，讨论函数()y h x =的单调性． 25．已知函数f(x)＝12x 2＋lnx. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求证：当x>1时，12 x 2＋lnx<23x 3. 26．已知函数22()ln a f x a x x x=⋅++(0a ≠).（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()2g a e ≤.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】令()()(2)1x g x f x ax a e ='=++-，则()(2)x g x ax a e '=++．分0a =，0a >，20a -<<三类讨论，即可求得实数a 的取值范围即可．【详解】解：令()()(2)1x g x f x ax a e ='=++-，则()(22)x g x ax a e '=++，（ⅰ）当0a =时，()20x g x e '=>，()g x 在R 递增，即()21x f x e '=-在R 递增，令()0f x '=，解得：2x ln =-，故()f x 在(,2)ln -∞-递减，在(2,)ln -+∞递增，()f x 不单调，与题意不符；（ⅱ）当0a >时，由2()0(2)g x x a'>⇒>-+，2()0(2)g x x a '<⇒<-+，222()(2)10aming x g ae a--∴=--=--<，(0)10g a =+>，∴此时函数()f x '存在异号零点，与题意不符；（ⅲ）当20a -<<，由()0g x '>，可得2(2)x a <-+，由()0g x '<可得2(2)x a>-+，()g x ∴在2(,2)a -∞--上单调递增，在2(2a--，)+∞上单调递减，故222()(2)1amaxg x g ae a--=--=--，由题意知，2210a ae ----恒成立，令22t a--=，则上述不等式等价于12t e t+，其中1t >，易证，当0t >时，112tte t >+>+，当(1t ∈-，0]时12te t+成立，由2120a-<--，解得21a -<-．综上，当21a -<-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减；故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，突出考查等价转化思想与分类讨论思想的应用，考查逻辑思维能力与推理证明能力，考查参数范围问题及求解函数的值域，属于函数与导数的综合应用．2．C解析：C 【分析】由题，可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，通过求方程组的解，即可得到本题答案，记得要检验.【详解】因为322()f x =x ax bx a +++，所以2()32f x x ax b '=++，由题，得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，因为当3,3a b =-=时，2()3(1)0f x x '=-≥恒成立，()f x 在R 上递增，无极值，故舍去，所以4(11)15a b -=--=.故选：C 【点睛】本题主要考查含参函数的极值问题，得到两组解后检验，是解决此题的关键.3．C解析：C 【解析】A 在R 上是周期函数，2sin cos y x x =' ，导函数在(0，＋∞)上有正有负，故原函数有增有减；.B 231,y x -'= 在(0，＋∞)，有正有负，所以原函数不是增函数，C x x y xe e '=+ 0> ，恒成立，故原函数单调递增；D 1111xy x x-=-+=++' ，在(0，＋∞)上导函数为负，原函数应该是减函数．故选C ．点睛：判断函数的单调性的方法，可以根据导函数的正负来判断原函数的单调性．4．A解析：A 【解析】试题分析：令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以222ln ln ln ()x x x x x x<<，故应选.考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.5．D解析：D 【解析】∵函数f(x)=(3-x 2)e x ， ∴f′(x)=-2xe x +(3-x 2)e x =(3-2x-x 2)e x . 由f′(x)＞0，得到f′(x)=(3-2x-x 2)e x ＞0，即3-2x-x 2＞0，则x 2+2x-3＜0，解得-3＜x ＜1，即函数的单调增区间为（-3，1）. 本题选择D 选项.6．C解析：C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C7．B解析：B 【分析】根据题意，得到方程有两不等实根，构造函数2()x e g x x-=，0x ≠，对其求导，判定函数单调性，求出极值，画出函数大致图像，结合图像，即可得出结果. 【详解】显然，0x =不是函数()f x 的零点，令2()0x f x mx e-=-+=，得2x e m x-=，构造函数2()x e g x x -=，0x ≠，则22(1)()x e x g x x--'=，令()0g x '>得到1x >，令()0g x '<得到1x <且0x ≠，即函数2()x e g x x -=在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以函数2()x e g x x-=有极小值1(1)g e =；画出函数()g x 的图象，如图所示，由图像可知，当0m ≤时，直线y m =与()g x 的图象不可能有两个交点，当0m >，只需1m e>，()g x 的图象与直线y m =即有两个不同的交点，即函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点， ∴m 的取值范围为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.8．C解析：C 【分析】本题首先可根据题意得出2241ax ax fxx，令2241g xax ax ，然后根据()f x 在()1,3上不单调得出函数()g x 与x 轴在()1,3上有交点，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】()2124124ax ax f x ax a x x--'=--=，若()f x 在()1,3上不单调，令2241g xax ax ，对称轴为1x =，则函数2241g xax ax 与x 轴在()1,3上有交点，当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，则()()21680130a a g g ⎧∆=+>⎪⎨⋅<⎪⎩，解得16a >或12a <-，易知()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性问题，若函数在否个区间内不单调，则函数的导函数在这个区间内有零点且穿过x 轴，考查二次函数性质的应用，考查充分条件与必要条件的判定，是中档题.9．C解析：C 【分析】求得y kx =与x y e =的图象相切时的k 值，结合图象可得结论．【详解】()()0g x f x kx =-=，()f x kx =，作出()f x 的图象，及直线y kx =，如图，∵0x ≤时，221y x x =-++是增函数，0x =时，1y =，无论k 为何值，直线y kx =与()(0)y f x x =≤都有一个交点且只有一个交点，而()g x 有两个零点，∴直线y kx =与()(0)x f x e x =>只能有一个公共点即相切．设切点为00(,)x y ，()x f x e '=，00()x f x e '=，切线方程为000()-=-xx y e e x x ，切线过原点，∴000x x ee x -=-⋅，01x =，∴(1)kf e '==，故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查函数零点个数问题，解题方法是把零点转化为直线与函数图象交点个数，再转化为求直线与函数图象相切问题．10．A解析：A 【分析】利用导数分析函数()f x 在区间()0,2上的单调性，由此可求得该函数在区间()0,2上的最大值. 【详解】()21ln 2f x x x =-，()211x f x x x x-'∴=-=.当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增；当12x <<时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，当()0,2x ∈时，()()max 112f x f ==-. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.11．B解析：B 【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，存在[]1,3x ∈，使得()m f x ≤，则()max m f x ≤.()22ln f x x x =-，则()()()22112222x x x f x x x x x-+-'=-==，当[]1,3x ∈时，()0f x '≥，所以，函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，则()()2max 2f x f e e ==-，22m e ∴≤-，因此，实数m 的取值范围是(2,2e ⎤-∞-⎦.故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xx f x x x e e=-+-的定义域为R ，又由3322()42e (42)()e x xx x f x x x x x e f x e-=-++-=--+-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x xf x x e x x e '=-++≥-+=≥，当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤，故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．【分析】利用在上恒成立等价于在上恒成立利用正弦函数的性质得出在的最小值即可得出的范围【详解】在上恒成立即在上恒成立则故答案为：【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围属于中档题解析：[)1,-+∞【分析】利用()0f x '≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦4x a π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值，即可得出a 的范围. 【详解】()(sin )cos (sin cos )04x x x x f x e x a e x e x x a e x a π⎤⎛⎫'=++=++=++≥ ⎪⎥⎝⎭⎦在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立4x a π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦sin 4x π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭则1,1a a ≥-≥- 故答案为：[)1,-+∞ 【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围，属于中档题.14．【分析】由参变量分离法得出令（且）作出函数的图象由题意可知关于的方程的两根满足数形结合可得出实数的取值范围【详解】显然不满足方程；当且时由得令对函数求导得令得列表如下：单调解析：1,e e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 【分析】由参变量分离法得出ln ln x x a x x=-，令ln x t x =（0x >且1x ≠），1y t t =-，作出函数ln x t x =的图象，由题意可知，关于t 的方程1a t t=-的两根1t 、2t 满足110t e <<，20t <，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】显然1x =不满足方程()2ln ln x ax x x -=；当0x >且1x ≠时，由()2ln ln x ax x x -=得ln ln x xa x x=-，令ln x t x =，1y t t =-，对函数ln xt x=求导得21ln xt x，令0t '=得x e =，列表如下：所以，函数t x =在x e =处取得极大值，即t e=极大值，如下图所示：由于关于x 的方程()2ln ln x ax x x -=有且只有三个不相等的实根，则关于t 的方程1a t t =-要有两个根1t 、2t ，且110t e<<，20t <，如下图所示：所以，1a e e<-. 综上所述，实数a 的取值范围是1,e e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 故答案为：1,e e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查了利用导数研究函数的零点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．①②④【分析】根据题意依次分析4个命题对于①由奇函数的定义分析可得①正确；对于②对函数求导分析可得分析可得②正确；对于③分析可得即方程有一根进而利用二分法分析可得有一根在之间即方程至少有2跟故③错误解析：①②④ 【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数()x x f x e e -=-求导，分析可得()0f x '>，分析可得②正确；对于③、2()2x x g x e e x x -=---，分析可得(0)0g =，即方程2()2f x x x =+有一根0x =，进而利用二分法分析可得()g x 有一根在(3,4)之间，即方程2()2f x x x =+至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、()x x f x e e -=-，定义域是R ，且()()x x f x e e f x --=-=-，()f x 是奇函数；故①正确；对于②、若()x x f x e e -=-，则()0x x f x e e -'=+>，故()f x 在R 递增；故②正确；对于③、2()2f x x x =+，令2()2x x g x e e x x -=---，令0x =可得，(0)0g =，即方程2()2f x x x =+有一根0x =， ()3313130g e e =--<，()4414200g e e =-->，则方程2()2f x x x =+有一根在(3,4)之间，故③错误；对于④、如果对任意(0,)x ∈+∞，都有()f x kx >，即0x x e e kx --->恒成立，令()x x h x e e kx -=--，且(0)0h =，若()0h x >恒成立，则必有()0x x h x e e k -'=+->恒成立，若0x x e e k -+->，即1x xx x k e ee e-<+=+恒成立，而12xxe e +，若有2k <，故④正确；综合可得：①②④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，③关键是利用二分法，属于中档题．16．②③④【分析】①构造函数求出函数的导数研究函数的导数和单调性进行判断即可；②利用与x 的关系进行转化判断；③设函数利用导数研究其单调性根据零点存在原理得出零点个数判断其真假④设函数利用导数研究其单调性解析：②③④ 【分析】①构造函数()sin f x x x =-，求出函数的导数，研究函数的导数和单调性，进行判断即可；②x 的关系进行转化判断；③设函数()2sin g x x x =-,利用导数研究其单调性，根据零点存在原理得出零点个数，判断其真假.④设函数()3sin h x x x =-,利用导数研究其单调性，根据零点存在原理得出零点个数，判断其真假. 【详解】①设()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 为减函数， ∵()0=0f ，∴函数()f x 只有一个零点，即函数sin y x =与y x =的图象恰有一个交点，故①错误， ②由①知当0x >时，sin x x <，当01x <≤sin x x >>，当1x >sin x >，当0x =sin x =，综上当0x >sin x >恒成立，函数sin y x =与y =②正确，③设函数()2sin g x x x =-，则()cos 2g x x x '=-，又()sin 20g x x ''=--<，所以()g x '在R 上单调递减. 又()01g '=，02g ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= 即当0x x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增. 当0x x >时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 由函数()g x 在()0，x -∞上单调递增且()00g =，所以函数()g x 在(]0-∞，上有且只有一个零点. 由()00g =，函数()g x 在()0，x -∞上单调递增，则()00g x >又21024g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且函数()g x 在()0x +∞，上单调递减. 所以()g x 在()0x +∞，上有且只有一个零点. 即()g x 在()0+∞，上有且只有一个零点.所以()g x 有2个零点，即函数sin y x =与2yx 的图象恰有两个交点，故③正确.④设函数()3sin h x x x =-,()h x 为奇函数，且()00h =.所以只需研究()h x 在()0+∞，上的零点个数即可. 则()2cos 3h x x x '=-,则()sin 6h x x x ''=--，所以()cos 60h x x '''=--<，所以()h x ''在()0+∞，上单调递减. 所以当()0x ∈+∞，时，()()00h x h ''''<=，则()h x '在()0+∞，上单调递减. 又()01h '=，203024h ππ⎛⎫'=-⨯< ⎪⎝⎭. 所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=.即当00x x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增. 当0x x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.()00h =，由函数()h x 在()00x ，上单调递增，则()00h x >又31028h ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且函数()h x 在()0x +∞，上单调递减. 所以()h x 在()0x +∞，上有且只有一个零点. 即()h x 在()0+∞，上有且只有一个零点. 由()h x 为奇函数，所以()h x 在()0-∞，上有且只有一个零点，且()00h =. 所以()h x 有3个零点，即函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数零点个数，利用数形结合或构造函数，利用导数是解决本题的关键．属于中档题.17．2【分析】先通过已知求出得到再利用导数研究得到函数在内没有零点函数的零点在内即得的值【详解】因为函数是定义在上的单调函数且对任意的都有所以是一个定值设所以所以或（舍去）所以所以所以所以函数在是增函数解析：2 【分析】先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--，再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点，函数()F x 的零点在(2,3)内，即得m 的值.【详解】因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，所以2()f x x -是一个定值，设2()f x x t -=，所以2()=+f x x t ，()2f t =所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-（舍去）. 所以2()=+1,()2f x x f x x '=，所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--，所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-，所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数，在(0,1)是减函数，因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数，所以函数()F x 的零点在(2,3)内，所以2m =. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．【分析】设则设根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥体积为利用正弦函数的最大值以及导数求得的最大值可得结果【详解】设则设则四棱锥的高四边形的面积为则四棱锥体积为当且仅当时取等号令则令得令得所以函数在上递增【分析】设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，根据四棱锥的体积公式可求得四棱锥B AFEC '-体积为31sin (8)6x x θ-，利用正弦函数的最大值以及导数求得31(8)(04)6y x x x =-<<的最大值可得结果.【详解】设BE x =，则B E EF x '==(04)x <<，设B EC θ'∠=，则四棱锥B AFEC '-的高sin sin h B E x θθ'==，四边形AFEC 的面积为22111424222x x ⨯⨯-=-，则四棱锥B AFEC '-体积为211sin (4)32x x θ⨯-3311sin (8)(8)66x x x x θ=-≤-，当且仅当sin 1θ=，2πθ=时取等号，令31(8)(04)6y x x x =-<<，则21(83)6y x '=-，令0y '>，得0x <<0y '<4x <<，所以函数31(8)(04)6y x x x =-<<在上递增，在上递减，所以当x =31(8)6y x x =-所以当,23x πθ==时，四棱锥B AFEC '-【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考查了正弦函数的最值，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.19．或【分析】时求出分析单调性确定零点的个数当通过配方结合二次函数的图像分析出零点的情况综合二者即可求出结论【详解】当时当时单调递减且没有零点当时单调递增单调递减取得极大值当当或时在存在唯一零点而在没有解析：01a <<或2a e > 【分析】0x ≥时，求出2(),(0)1x f x e a f e '=-+=--，分析单调性确定零点的个数，当0x <，通过配方结合二次函数的图像，分析出零点的情况，综合二者，即可求出结论. 【详解】当0x ≥时，()xf x e a '=-+，当1a ≤时，()0f x '≤，()f x 单调递减，且2(0)10f e =--<，()f x ∴没有零点，当1a >时，(0,ln ),()0,()x a f x f x '∈>单调递增，(ln ,),()0,()x a f x f x '∈+∞<单调递减， ln ,()x a f x ∴=取得极大值.当20,()(1)1x f x x a <=++-，当0a ≤或1a =时， ()f x 在0x <存在唯一零点，而()f x 在0x ≥没有零点，()f x ∴只有一个零点，不合题意，当01a <<时，0,()0x f x a →→>，()f x 在0x <有两个零点，而此时()f x 在0x ≥没有零点，()f x ∴有两个零点，满足题意，当1a >时，()f x 在0x <不存在零点，则需()f x 在0x ≥存在两个零点，而(0)0,,()f x f x <→+∞→-∞，2(ln )ln 0f a a a a e ∴=-+->，设2()ln ,1g x x x x e x =-+->，()ln 0,1g x x x '=>>恒成立，()g x ∴在(1,)+∞单调递增，且2()0g e =，2ln 0a a a e ∴-+->的解为2a e >，综上，01a <<或2a e >时，()f x 恰有两个零点. 故答案为:01a <<或2a e >. 【点睛】本题考查二次函数的零点、利用导数研究函数的零点，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20．【分析】求得在处的切线的斜率结合图像求得的取值范围【详解】函数对于一次函数令解得（负根舍去）所以在上递增在上递减画出的图像如下图所示由图可知要使当时恒成立只需大于或等于在处切线的斜率而所以故答案为：解析：[1,)+∞【分析】求得()f x 在0x =处的切线的斜率，结合图像，求得a 的取值范围. 【详解】函数()2()1xf x x e =-，()01f =.对于一次函数()()10g x ax a =+>，()01g =.()()'221,0x f x xx e x =--+⋅≥，令'0f x，解得01x （负根舍去），所以()f x 在()00,x 上递增，在()0,x +∞上递减，画出()f x 的图像如下图所示.由图可知，要使当0x ≥时，()1(0)f x ax a ≤+>恒成立，只需a 大于或等于()f x 在0x =处切线的斜率.而()'01f=，所以1a ≥.故答案为：[1,)+∞【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）证明见解析 . 【分析】（1）先对函数求导，得()1122f x x b x b x x ⎛⎫'=-+-=-++ ⎪⎝⎭，由于1222x x +≥以分22b ≤22b >两种情况判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间；（2）由题意可得()()()()222212111222121212ln ln ln ln f x f x ax bx x ax bx x a x x b x x x x =⇒+-=+-⇒-+-=-，再由对数平均值不等式可得()()()()()212221212121212122ln ln 20x x a x x b x x x x a x x b x x x x --+-=-<⇒+++->+，而1202x x x +=，代入化简可得结果【详解】（1）解：当1a =-时，()()2ln 0f x x bx x x =-+->.()1122f x x b x b x x ⎛⎫'=-+-=-++ ⎪⎝⎭. 因为1222x x+≥22b ≤()0f x '≤恒成立，即()f x 在0,上单调递减；当b >()20210f x x bx b '>⇒-+<⇒∈⎝⎭，此时()f x在⎝⎭上单调递增，在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. （2）解：由题意得()()12f x f x =，1202x x x +=，()12f x ax b x '=+-.()()()()222212111222121212ln ln ln ln f x f x ax bx x ax bx x a x x b x x x x =⇒+-=+-⇒-+-=-利用对数平均值不等式ln ln 2b a a bb a -+<-，上式可变形为()()()()()212221212121212122ln ln 20x x a x x b x x x x a x x b x x x x --+-=-<⇒+++->+()22121200000121021020022x x x x a b ax bx ax b f x x ++⎛⎫⎛⎫'⇒+->⇒+->⇒-+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即证. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区，第2问解题的关键是利用对数平均值不等式得()()()()()212221212121212122ln ln 20x x a x x b x x x x a x x b x x x x --+-=-<⇒+++->+，然后化简即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 22．（1）1,1a b ==；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出两条切线方程，根据两条切线重合可得结果；（2）转化为证明2sin x e x x x +->，不等式左边构造函数，利用导数求出其在0x =时取得最小值，又因为函数sin y x =在R 上最大值为1，当且仅当2()2x k k ππ=+∈Z 取到最大值，且函数()h x 的最小值与函数sin y x =的最大值不会同时取到，所以所证不等式成立. 【详解】（1）由题知()2,()cos x f x ae x g x x b =+'=+'，∴(0),2f a g b π⎛⎫'⎝'==⎪⎭， ∴()y f x =在点(0,)a 处的切线方程为：y ax a =+，()y g x =在点,122b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为：122y b x b ππ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即1y bx =+， ∵两条切线重合. ∴1,1a b ==.（2）证明：由（1）知要证不等式()()f x g x >恒成立，即证2sin x e x x x +>+恒成立，即证2sin x e x x x +->恒成立，令2()x h x e x x =+-，则()21x h x e x '=+-. 易知()21x h x e x '=+-为增函数，且(0)0h '=.当(,0)x ∈-∞时，()(0)0h x h ''<=，函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ''>=，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ∴min ()(0)1h x h ==.又函数sin y x =在R 上最大值为1，当且仅当2()2x k k ππ=+∈Z 取到最大值.∵函数()h x 的最小值与函数sin y x =的最大值不会同时取到. ∴不等式()()f x g x >恒成立. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数证明不等式，属于中档题. 23．（1）5ln 224m +≤<；（2）152ln 28- 【分析】（1）利用导数研究三次函数的单调性和极值，根据单调性和极值列不等式组即可解得结果；（2）根据已知条件将12()()g x g x -化为关于1x 的函数，再利用导数求出其最小值，则可得到实数k 的最大值. 【详解】（1）因为()ln f x x x =-，∴函数()()2223ln 0y f x m x x x x x m x =+-+=-++>，令()()23ln 0h x x x x m x =-++>，则()()()211123x x h x x x x--'=-+=，令()0h x '=得112x =，21x =，列表得：∴当1x =时，()h x 的极小值为()12h m =-，又ln 224h m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()22ln 2h m =-+.∵函数()22y f x m x x =+-+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，∴102(1)0(2)0h h h ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩即5ln 204202ln 20m m m ⎧--≥⎪⎪-<⎨⎪-+≥⎪⎩，解得5ln 224m +≤<. （2）()()21ln 12g x x x b x =+-+， ∴()()()21111x b x g x x b x x-++'=+-+=，令()0g x '=得()2110x b x -++=，∵1x ，2x 是()g x 的极值点，∴121x x b +=+，121=x x ，∴211x x =， ∵32b ≥，∴121215210x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<=⎪⎩解得：1102x <≤，.∴()()()()()22112121221ln12x g x g x x x b x x x -=+--+-， ()2221121112111112ln 2ln ,0222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()221112ln ,022F x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22331210x F x x x x x --'=--=<，∴()F x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；∴当12x =时，()min 1152ln 228F x F ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据()()12g x g x k -≥恒成立，可得152ln 28k ≤-， ∴k 的最大值为152ln 28-. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于中档题. 24．（Ⅰ）1m ；（Ⅱ）答案见解析. 【分析】（Ⅰ）依题意，1122()()f x x f x x +<+，构造函数()()(1)k x f x x lnx mx x =+=->，则1()0(1)k x m x x'=->恒成立，由此即可求得m 的取值范围；（Ⅱ）表示出()h x ，求导，分类讨论即可得出其单调性情况．【详解】（Ⅰ）依题意，121x x >>，1212()()1f x f x x x -<--，即1212()()()f x f x x x -<--，亦即1122()()f x x f x x +<+，令()()(1)k x f x x lnx mx x =+=->，由题意即知函数()y k x =在区间(1,)+∞上单调递减，则1()0(1)k x m x x'=->恒成立， ∴1m x在区间(1,)+∞上恒成立，故1m ．（Ⅱ）2()(1)(0)2m h x lnx m x x m =-++>，1(1)(1)()(1)mx x h x m mx x x--'=-++=，当0m =时，1()xh x x-'=， (0,1)x ∈，()0h x '>，()h x 递增，(1,)x ∈+∞，()0h x '<，()h x 递减，当0m <时，101m<<， (0,1)x ∈，()0h x '>，()h x 递增，(1,)x ∈+∞，()0h x '<，()h x 递减，当1m =时，()0h x '，()h x 的单调递增区间为(0,)+∞，当1m 时，令()0h x '=，得1x =或1x m =；101m<<，当x 变化，()h x '，()h x 变化如下表x1(0,)m1m1(,1)m1 (1,)+∞()h x ' 正零负零正 ()h x递增极大值递减极小值递增即单调增区间为1(0,)m，(1,)+∞，减区间为1(,1)m．当01m <<时，令()0h x '=，得1x =或1x m =；11m>，当x 变化，()h x '，()h x 变化如下表x(0,1)1 1(1,)m 1m1(,)m+∞()h x ' 正零负零正 ()h x递增极大值递减极小值递增即单调增区间为(0,1)，1(,)m+∞，减区间为1(1,)m．综上：当0m 时，单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，当01m <<时，单调增区间为(0,1)，1(,)m+∞，减区间为1(1,)m，当1m =时，()h x 的单调递增区间为(0,)+∞，当1m 时，单调增区间为1(0,)m，(1,)+∞，减区间为1(,1)m．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查构造思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．25． (1) f(x)的单调增区间为(0，＋∞) (2)略【分析】（1）对函数求导，根据定义域，即可判断其单调性，从而知单调区间．（2）证明当x>1时，2312ln 23x x x +<，只需证当x>1时，3221ln 032x x x -->，可设3221()ln 32g x x x x =--，只需证明1x >时，()0>g x ，因此，利用导数研究()g x 的单调性，得出()(1)0g x g >>，结论得证．【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，∵f′(x)＝x ＋，故f′(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．(2)设g(x)＝x 3－x 2－lnx ，∴g′(x)＝2x 2－x －， ∵当x>1时，g′(x)＝>0，∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴g(x)>g(1)＝>0， ∴当x>1时， x 2＋lnx<x 3. 【点睛】（1）求函数的单调区间，首先要考虑函数的定义域，然后求导，导函数大于0，可求单调递增区间，导函数小于0，可求单调递减区间．对于单调函数只需说明导函数大于0（小于0）即可．（2）证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立，解题时可转化为求函数最值（或值）的问题处理． 26．（1）1a =-或32a =；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数几何意义列方程解得结果；（2）先求导函数，再根据a 的正负分类讨论，对应确定导函数符号，进而确定单调性；（3）根据（2）单调性确定()g a 解析式，再利用导数求()g a 最大值，即证得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222()1a af x x x=-+'，根据题意有(1)2f '=-，则2230a a --=，解得1a =-或32a =；（2）22222222()(2)()1a a x ax a x a x a f x x x x x +--+=-'+==， ①当0a >时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >，由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<， ∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，②当0a <时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-，由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-， ∴()f x 在(2,)a -+∞上单调递增，在(0,2)a -上单调递减，（3）证明：由（2）知，当(,0)a ∈-∞时()f x 的最小值为(2)-f a ，即22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a =-=⋅-+-=⋅---，2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a -=-+⋅=-'---，令()0g a '=，得212a e =-，当21(,)2a e ∈-∞-时()0g a '>，当21(,0)2a e ∈-时()0g a '<，则212a e =-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点， ∴22222max 11111()()ln[2()]3()22222g a g e e e e e =-=-⋅-⨯--⨯-=， ∴当(,0)a ∈-∞时，21()2g a e ≤恒成立. 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数求单调性、利用导数求函数最值与证不等式，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（） A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f ->>2．已知函数()322f x x ax x =--+,则“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知3()ln 44x f x x x=-+，2()24g x x ax =--+，若对1(0,2]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈，使得12()()f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（） A ．1[,)8-+∞ B ．258ln 2[,)16-+∞ C ．15[,]84-D ．5(,]4-∞4．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-5．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f =，当0x >时，有()()2xf x f x x '->恒成立，则不等式()0f x >的解集为（） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()()1,00,1-⋃ C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-7．已知函数()3227f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ab 的值为（） A ．23-B ．23或2 C ．2D ．13-8．函数2()(3)x f x x e =-的单调递增区间是（） A ．(,0)-∞B ．(0)+∞，C ．(,3)-∞和(1)+∞， D ．（-3,１） 9．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（） A ．(0,1)(2,3)⋃ B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃10．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．若函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（） A ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,)eD ．(,)e +∞12．已知0a >，函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围为（）A ．14a <⎩，若方程()f x x =恰有三个零点，则实数m 的取值范围为______.16．设函数3()32()f x ax x x =-+∈R ，若对于任意[1,1]x ∈-，都有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________.17．已知a R ∈，设函数()2,1,1x x ax a x f x ae x x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为______. 18．函数()()21xf x x =-的最小值是______.19．已知函数()ln g x a x =，若对[1,]x e ∀∈，都有2()(2)g x x a x ≥-++恒成立，则实数a 的取值范围是________.20．已知函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩方程2()2()0()f x mf x m R -=∈有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()cos x f x e x x =-，()(sin 1)g x x x =-. （1）讨论()f x 在区间(,0)2π-上的单调性；（2）判断()()f x g x -在区间[,]22ππ-上零点的个数，并给出证明. 22．已知函数()()2ln 0,1xf x a x x a a a =+->≠．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求a 的取值范围．23．已知函数()42ln af x ax x x=--. （1）当1a =时,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围；（3）设函数6()eg x x=,若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围.24．已知函数()321f x x bx cx =++-的图象在()()1,1f 处的切线经过点()2,4，且()f x 的一个极值点为-1.（1）求()f x 的极值；（2）已知方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根，求m 的取值范围. 25．已知函数22()ln a f x a x x x=⋅++(0a ≠).（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()2g a e ≤. 26．已知函数()22x bg x ax +=+，()1,1x ∈-，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b 的值，并解答后面的问题.①已知函数()3f x b x a=+-，满足()()220f x f x -++=； ②已知函数()()0,1xf x a b a a =+>≠在[]1,2上的值域为[]2,4 ③已知函数()24f x x ax =-+，若()1f x +在定义域[]1,1b b -+上为偶函数.（1）证明()g x 在()1,1-上的单调性；（2）解不等式()()120g t g t -+<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31log 2转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小. 【详解】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数，将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像，所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭，又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2．A解析：A 【分析】由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立，再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“114a ≤”的充分必要性即可. 【详解】解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()23210f x x ax '=--≥,即23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以114a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件. 故选A. 【点睛】本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.3．A解析：A 【分析】先求()f x 最小值，再变量分离转化为对应函数最值问题，通过求最值得结果【详解】因为()(]3ln x 0,244x f x x x=-+∈，，所以22113(1)(3)()01444x x f x x x x x---'=--==⇒=,(3舍去) 从而01,()0;12,()0;x f x x f x ''<<<<<>即1x =时()f x 取最小值12，因此[]x 1,2∃∈，使得21242x ax ≥--+成立，724x a x ≥-+的最小值，因为724x x-+在[]1,2上单调递减，所以724x x -+的最小值为271288-+=-，因此18a ≥-，选A.【点睛】本题考查不等式恒成立与存在性问题，考查综合分析与转化求解能力，属中档题.4．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '，则00,12y y x x +==-，所以02y y =--，而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--，所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =，所以ln122AC k k =-=-=-；（2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=，故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．B解析：B 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，，故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <．故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.6．A解析：A 【分析】构造函数()()(0)f x g x x x=≠，可得()g x 在定义域内为偶函数，并得到()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，则在(,0)-∞上单调递减，且(1)0g =，(1)0g -=，结合函数的大致图像分析即可得到()0f x >的解集．【详解】构造函数()()(0)f x g x x x =≠，则()()2()xf x f x g x x'-'=由于()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()g x 在定义域内为偶函数，图像关于y 轴对称；()10f =，则(1)0g =，(1)0g -=；又0x >时，有()()20xf x f x x'->恒成立，故()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，即()g x 在(0,)+∞ 上单调递增；根据偶函数的对称性可得()g x 在(,0)-∞上单调递减，所以()g x 的大致图像如下图：()0f x >，即为当0x <时，()0<g x ，当0x >时，()0>g x 的解集，所以()0f x >，则10x -<<或1x >；即()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ 故选：A. 【点睛】本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性，根据函数单调性解不等式，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题目．7．A解析：A 【分析】求导，根据题意得到()()11010f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩，代入数据解得答案，再验证排除即可.【详解】()3227f x x ax bx a a =++--，则()'232f x x ax b =++，根据题意：()()2117101320f a b a a f a b '⎧=++--=⎪⎨=++=⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或69a b =-⎧⎨=⎩，当21a b =-⎧⎨=⎩时，()()()'2341311f x x x x x =-+=--，函数在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故1x =处取得极小值，舍去；当69a b =-⎧⎨=⎩时，()()()'23129313f x x x x x =-+=--，函数在(),1-∞上单调递增，在()1,3上单调递减，故1x =处取得极大值，满足.故6293a b -==-. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.8．D解析：D 【解析】∵函数f(x)=(3-x 2)e x ， ∴f′(x)=-2xe x +(3-x 2)e x =(3-2x-x 2)e x . 由f′(x)＞0，得到f′(x)=(3-2x-x 2)e x ＞0，即3-2x-x 2＞0，则x 2+2x-3＜0，解得-3＜x ＜1，即函数的单调增区间为（-3，1）. 本题选择D 选项.9．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.10．C解析：C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C11．B解析：B 【分析】根据题意，得到方程有两不等实根，构造函数2()x e g x x-=，0x ≠，对其求导，判定函数单调性，求出极值，画出函数大致图像，结合图像，即可得出结果. 【详解】显然，0x =不是函数()f x 的零点，令2()0x f x mx e-=-+=，得2x e m x-=，构造函数2()x e g x x -=，0x ≠，则22(1)()x e x g x x --'=，令()0g x '>得到1x >，令()0g x '<得到1x <且0x ≠，即函数2()x e g x x -=在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以函数2()x e g x x-=有极小值1(1)g e =；画出函数()g x 的图象，如图所示，由图像可知，当0m ≤时，直线y m =与()g x 的图象不可能有两个交点，当0m >，只需1m e>，()g x 的图象与直线y m =即有两个不同的交点，即函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点， ∴m 的取值范围为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.12．D解析：D 【分析】根据分段函数，看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题，分0x =，0x ≤，0x >讨论求解.【详解】当0x =时，()502f a =，对于直线()2y a x =-，2y a =，因为0a >，所以无交点；当0x ≤时，()2f x x '=，令2x a =-，解得 2ax =-，要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 2a >；当0x >时，()2f x x '=-，令2x a -=-，解得 2ax =，因为0x ≤时，方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则0x >时，无交点，则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 8a <,综上：a 的取值范围为28a <<故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0，确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况：当0x ≤时，方程恰有2个互异的实数解，当0x >时，方程无实数解.二、填空题13．【分析】设出圆柱的底面半径和高求出体积表达式通过求导求出体积的最大值【详解】设圆柱底面半径高圆柱轴截面的周长为定值则求导可得：令可得当时当时当时圆柱体积的有最大值圆柱体积的最大值是：故答案为：【点睛解析：3216l π 【分析】设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．【详解】设圆柱底面半径R ，高H ，圆柱轴截面的周长l 为定值，则42R H l +=22lH R ∴=- 22232222l l V SH R H R R R R ππππ⎛⎫∴===-=- ⎪⎝⎭求导可得：26V Rl R ππ'=- 令0V '=，可得260Rl R ππ-=，(6)0R l R π∴-= 60l R ∴-=6lR ∴=当6lR >时，(6)0V R l R π'=-< 当6lR <时，(6)0V R l R π'=-> 当6l R =时，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：32322216l l V R R πππ=-=故答案为：3216l π．【点睛】本题主要考查了根据导数求最值，解题关键是掌握根据导数求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．14．【分析】画出函数图像计算直线和函数相切时和过点的斜率根据图像得到答案【详解】故画出图像如图所示：当直线与函数相切时设切点为此时故解得；当直线过点时斜率为故故答案为：【点睛】本题考查了根据函数零点个数解析：3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】()f x ax =，画出函数图像，计算直线和函数相切时和过点()8,ln8的斜率，根据图像得到答案. 【详解】()()0h x f x ax =-=，故()f x ax =，画出图像，如图所示：当直线与函数相切时，设切点为()00,x y ，此时()ln f x x =，()1'f x x=，故01a x =，00y ax =，00ln y x =，解得0x e =，01y =，1a e=；当直线过点()8,ln8时，斜率为3ln 28k =，故3ln 218a e<<.故答案为：3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.15．【分析】将问题转化为与图像交点个数有3个的问题利用导数研究函数单调性和最值数形结合即可求得结果【详解】当时等价于；当时等价于；令则方程恰有三个零点等价于与直线有三个交点当时则令解得故该函数在区间单调解析：221m <-【分析】将问题转化为()2,0,0x x xh x lnx x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩与1y m =+图像交点个数有3个的问题，利用导数研究函数单调性和最值，数形结合即可求得结果. 【详解】当0x <时，22y x mx x =-+=，等价于21x m x+=+；当0x >时，y lnx mx x =-=，等价于1lnxm x=+；令()2,0,0x x xh x lnx x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则方程()f x x =恰有三个零点，等价于()y h x =与直线1y m =+有三个交点. 当lnx y x =时，则21lnx y x-='，令0y '=，解得x e =，故该函数在区间()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减. 且x e =时，1y e=；又x e >时，0y >；而当2y x x=+时，由对勾函数性质，容易知：当2x =-时，函数取得最大值22y =-. 故()h x 的图像如下所示：数形结合可知，要满足题意，只需122m +<-，解得221m <-. 故答案为：221m <-. 【点睛】本题考查由方程根的个数求参数范围，涉及利用导数研究函数单调性，对勾函数，属综合中档题.16．【分析】求出时的值讨论函数的增减性得到的最小值让最小值大于等于0即可求出的范围【详解】解：由可得当时令解得且①当时为递增函数②当时为递减函数③当时为递增函数所以即解得故答案为：【点睛】考查学生理解函解析：15a ≤≤【分析】求出()0f x '=时x 的值，讨论函数的增减性得到()f x 的最小值，让最小值大于等于0即可求出a 的范围. 【详解】解：由(1)0f ≥可得1a ≥，2'()33f x ax =-，当1a ≥时，令2'()330f x ax =-=解得a x =，且1a a >-<①当1ax a-<<-时，()0,()f x f x '>为递增函数， ②当a ax a a-<<时，()0,()f x f x '<为递减函数，③1x <<时，()f x 为递增函数.所以()010f f ⎧≥⎪⎨⎝⎭⎪-≥⎩，即3320320a a ⎧⎪-+≥⎨⎝⎭⎝⎭⎪-++≥⎩，解得15a ≤≤. 故答案为：15a ≤≤. 【点睛】考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及利用导数求函数最值的能力.17．【分析】考虑和两种情况分别计算得到利用均值不等式得到；证明单调递增得到得到答案【详解】当时即对恒成立当时符合题意；当时参变分离得：因为当时等号成立故上式恒成立时；当时即对恒成立参变分离得：令故单调递解析：14a e≤≤【分析】考虑1x ≥和1x <两种情况，分别计算得到211211x a x x x ≤=-++--，利用均值不等式得到4a ≤；x x a e ≥，证明()xx p x e =单调递增，得到1a e ≥，得到答案. 【详解】当1x ≥时，()0f x ≥，即20x ax a -+≥对1x ≥恒成立，当1x =时，符合题意；当1x >时，参变分离得：211211x a x x x ≤=-++--，因为11241x x -++≥-，当2x =时等号成立，故上式恒成立时4a ≤；当1x <时，()0f x ≥，即0x ae x -≥对1x <恒成立，参变分离得：x x a e ≥，令()x x p x e =，()10xxp x e-'=>，故()p x 单调递增， ∴()()11x x p x p e e=<= 要使0x ae x -≥对1x <恒成立，则1a e≥. 综上所述：a 的取值范围为14a e≤≤. 故答案为：14a e≤≤.【点睛】本题考查了恒成立问题，参数分离转化为函数的最值问题是解题的关键.18．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为解析：14-【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值, 【详解】因为()()21xf x x =-，故可得()()311x f x x ---'=，令()0f x '=，解得1x =-；故当(),1x ∈-∞-时，()f x 单调递减；当()1,1x ∈-时，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减. 且()114f -=-，当x 趋近于1时()f x 趋近于正无穷；当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零. 函数图像如下所示：故()f x 的最小值为14-. 故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.19．【分析】由已知条件推导出令由此利用导数性质能求出的取值范围【详解】解：由题意得到：且等号不能同时取所以即因而令又当时从而（仅当时取等号）在上为增函数的最小值为的取值范围是即故答案为：【点睛】本题考查解析：(],1-∞-【分析】由已知条件推导出22x x a x lnx--，([1,])x e ∈，令22()x x f x x lnx -=-，([1,])x e ∈，由此利用导数性质能求出a 的取值范围．【详解】解：由题意得到：2()2a x lnx x x --．[]1,x e ∈，1lnx x ∴且等号不能同时取，所以lnx x <，即0x lnx ->，因而22x x a x lnx --，([1,])x e ∈令22()x x f x x lnx-=-，([1,])x e ∈，又2(1)(22)()()x x lnx f x x lnx -+-'=-，当[]1,x e ∈时，10x -，1lnx ，220x lnx +->，从而()0f x '（仅当1x =时取等号）， ()f x 在[]1,e 上为增函数，()f x ∴的最小值为()11f =-，a ∴的取值范围是1a -，即(],1a ∈-∞-故答案为：(],1-∞-．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用，属于中档题．20．【分析】作出函数的图象结合图象可求实数的取值范围【详解】当时当时函数为增函数；当时函数为减函数；极大值为且；作出函数的图象如图方程则或由图可知时有2个解所以有五个不相等的实数根只需要即；故答案为：【解析：1(0,)2【分析】作出函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，结合图象可求实数m 的取值范围.【详解】当0x >时，2ln ()xf x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数为增函数；当1x >时，()0f x '<，函数为减函数；极大值为(1)1f =，且x →+∞，()0f x →；作出函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，如图，方程2()2()0()f x mf x m R -=∈，则()0f x =或()2f x m =，由图可知()0f x =时，有2个解，所以2()2()0f x mf x -=有五个不相等的实数根，只需要021m <<，即102m <<；故答案为：1(0,)2. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.三、解答题21．（1）()f x 在(,0)2π-上单调递减；（2）有且仅有2个零点. 证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性判断即可；（2）令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，求出函数的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可证明结论成立. 【详解】（1）()cos sin 12cos()14x xx f x e x e x e x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭'，()2cos 2sin 44x x f x e x e x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝'⎝⎭2cos()2sin 2x x e x e x π=+=-.(,0)2x π∈-，sin 0x ∴<， ()0f x ''∴>，所以()'f x 在(,0)2π-上单调递增，()(0)0f x f ''<=，()f x ∴在(,0)2π-上单调递减.（2）()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 证明：令()()()cos sin xF x f x g x e x x x =-=-，所以()()()cos sin cos sin xF x e x x x x x '=--+，①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，因为()()cos sin 0,cos sin 0x x x x x ->-+>，()()0,F x F x '∴>在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增，又()010,022F F ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭. ()F x ∴在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有一个零点； ②当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0,0x x x e x ≥>>>，()cos sin sin sin sin ()0x x x F x e x x x e x x x x e x ∴=-≥-=->恒成立.()F x ∴在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦，上无零点；③当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，0cos sin x x <<，()()()cos sin cos sin 0x F x e x x x x x '∴=--+<，()F x ∴在42ππ⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递减；又40,022424F F e πππππ⎫⎛⎫⎛⎫=-<=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()F x ∴在42ππ⎛⎤⎥⎝⎦，上必存在一个零点；综上，()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.22．（1）()0,∞+（2）[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）先求原函数的导数得：f'（x ）=()ln 2ln 21ln x xa a x a x a a +-=+-，再对a 进行讨论，得到f'（x ）＞0，从而函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．（2）f （x ）的最大值减去f （x ）的最小值大于或等于e ﹣1，由单调性知，f （x ）的最大值是f （1）或f （﹣1），最小值f （0）=1，由f （1）﹣f （﹣1）的单调性，判断f （1）与f （﹣1）的大小关系，再由f （x ）的最大值减去最小值f （0）大于或等于e ﹣1求出a 的取值范围．试题（1）由于()()ln 2ln 21ln 0x xf x a a x a x a a =+'-=+->，1° 当1,2a y x >=单调递增，ln 0a >，所以()1ln xy a a =-单调递增，故()21ln xy x a a =+-单调递增，∴()()21ln 201ln 0x x a a a a +->⨯+-=，即()()0f x f '>'，所以0x >，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；2° 当01,2a y x <<=单调递增，ln 0a <，所以()1ln xy a a =-单调递增，故()21ln x y x a a =+-单调递增，∴()()21ln 201ln 0x x a a a a +->⨯+-=，即()()0f x f '>'，所以0x >，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；综上，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞．（2）因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，所以当[]1,1x ∈-时，()()()()()()()()maxmin max min 1f x f x f x f x e -=-≥-，由（1）知，()f x 在[]10-，上递减，在[]0,1上递增，所以当[]1,1x ∈-时()()()()()()(){}minmax01,max 1,1f x f f x f f ===-，而()()()11111ln 1ln 2ln f f a a a a a a a ⎛⎫--=+--++=--⎪⎝⎭，记()()12ln 0g t t t t t =-->，因为()22121110g t t t t ⎛⎫=+-=-≥ ⎪⎝⎭'（当2t =时取等号），所以()12ln g t t t t=--在()0,t ∈+∞上单调递增，而()10g =．1° 当1a >时，()0g a >， ∴()()11f f >-， ∴当1a >时，()()101f f e -≥-，即ln 1a a e -≥-，易知：ln y a a =-，在()1,a ∈+∞上递增， ∴a e ≥． 2° 当01a <<时，()0g a <， ∴()()()()111,101,ln 1f f f f e a e a<---≥-+≥-，易知1ln y a a =+在()0,1a ∈上递减， ∴10,a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上：[)10,,a e e ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦． 23．(1) 3y x = (2) 1[,)2+∞（3）28(,)41ee +∞- 【分析】（1）求出f （x ）的导数，求出f′（1），f （1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a 的具体范围；（3）构造函数ϕ（x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，e]，只需ϕ（x ）max ＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x ）max ，从而求出a 的范围．【详解】（1）解: 当1a =时,()142ln f x x x x =--,()1412ln13f =--=, ()212'4f x x x=+-, 曲线()f x 在点()()1,1f 处的斜率为()'13f =, 故曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x -=-,即3y x =（2）解: ()222242'4a ax x a f x a x x x-+=+-=. 令()242h x ax x a =-+,要使()f x 在定义域()0,+∞内是增函数,只需()h x ≥0在区间()0,+∞内恒成立. 依题意0a >,此时()242h x ax x a =-+的图象为开口向上的抛物线,()211444h x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其对称轴方程为()10,4x a =∈+∞,()min 14h x a a =-,则只需14a a -≥0,即a ≥12时,()h x ≥0,()'f x ≥0,所以()f x 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （3）解: 构造函数()()()x f x g x φ=-,[]1,x e ∈,依题意()max 0x φ>, 由（2）可知a ≥12时,()()()x f x g x φ=-为单调递增函数, 即()1642ln e x a x x x x φ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,e 上单调递增, ()()max 1480x e a e e φφ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭,则2288214142eea e e e >>=>-,此时,()()()0e f e g e φ=->,即()()f e g e >成立. 当a ≤2841e e -时,因为[]1,x e ∈,140x x->, 故当x 值取定后,()x φ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则()x φ≤281642ln 41e ex x e x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭,[]1,x e ∈, 故()x φ≤281642ln 041e ee e e e e⎛⎫---= ⎪-⎝⎭, 即()f x ≤()g x ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是28,41e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 24．（1）()0f x =极大值，()3227f x -=极小值.（2）(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）首先求出函数的导函数，求出函数在()()1,1f 处的切线方程，由点()2,4过切线，即可得到321b c +=，再由函数的一个极值点为1-则()'1320f b c -=-+=，即可求出函数解析式，最后利用导数求出函数的极值；（2）依题意可得函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点，结合函数图象，即可得解；【详解】解：（1）∵()2'32f x x bx c =++，∴()'132f b c =++，∴()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程为()()()321y b c b c x -+=++-. ∵该切线经过点()2,4，∴()()()43221b c b c -+=++-，即321b c +=①. 又∵()f x 的一个极值点为-1，∴()'1320f b c -=-+=②. 由①②可知1b =，1c =-，故()321f x x x x =+--.()2'321f x x x =+-，令()'0f x =，得1x =-或13x =.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：故()()10f x f =-=极大值，()327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭极小值. （2）∵方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根， ∴函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点. ∵()23f -=-，()29f =，结合函数()f x 的图象，∴(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，函数与方程思想，数形结合思想的应用，属于中档题. 25．（1）1a =-或32a =；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数几何意义列方程解得结果；（2）先求导函数，再根据a 的正负分类讨论，对应确定导函数符号，进而确定单调性；（3）根据（2）单调性确定()g a 解析式，再利用导数求()g a 最大值，即证得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222()1a af x x x=-+'，根据题意有(1)2f '=-，则2230a a --=，解得1a =-或32a =；（2）22222222()(2)()1a a x ax a x a x a f x x x x x+--+=-'+==， ①当0a >时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >，由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，②当0a <时，∵0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-，由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-， ∴()f x 在(2,)a -+∞上单调递增，在(0,2)a -上单调递减，（3）证明：由（2）知，当(,0)a ∈-∞时()f x 的最小值为(2)-f a ，即22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a =-=⋅-+-=⋅---，2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a -=-+⋅=-'---，令()0g a '=，得212a e =-，当21(,)2a e ∈-∞-时()0g a '>，当21(,0)2a e ∈-时()0g a '<，则212a e =-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点， ∴22222max 11111()()ln[2()]3()22222g a g e e e e e =-=-⋅-⨯--⨯-=， ∴当(,0)a ∈-∞时，21()2g a e ≤恒成立. 【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数求单调性、利用导数求函数最值与证不等式，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.26．选法见解析；2a =，0b =；（1）证明见解析；（2）103t <<. 【分析】（1）根据函数的对称性，定义域和值域，奇偶性计算得到2a =，0b =，再求导证明单调性.（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式得到答案. 【详解】（1）①由()()220f x f x -++=得()f x 对称中心为()2,0即得2a =，0b =；②(i )当1a >时，()x f x a b =+在[]1,2上单调递增，则有224a b a b +=⎧⎨+=⎩得220a a --=，得2a =，0b =；(ii )当01a <<时，()xf x a b =+在[]1,2上单调递减，则242a b a b +=⎧⎨+=⎩得220a a -+=，无解，所以2a =，0b =；③由()24f x x ax =-+得()()2125f x x a x a +=+-+-，因为()1f x +在[]1,1b b -+上是偶函数，则202a -=，且()()110b b -++=，所以2a =，0b =；由①或②或③得()222x g x x =+，()1,1x ∈-，()()222121x g x x -'=+，由11x -<<得()0g x '>，则()g x 在()1,1-上单调递增. （2）因为()()222xg x g x x --==-+，则()g x 为奇函数. 由()()120g t g t -+<即()()21g t g t <-又因为()g x 在()1,1-上单调递增，则121,111,21,t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩解得103t <<.【点睛】本题考查了函数对称性，奇偶性，单调性，函数的定义域和值域，解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．已知函数()ln f x x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1a e，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（） A ．15a <≤ B ．25a <≤ C ．25a ≤≤ D ．35a <≤3．函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <15．已知函数()32f x x bx cx =++的图象如图所示，则2212x x +等于（）A ．23B ．43C ．83D ．1636．已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()32f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a的取值范围为（）A ．11,27⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,C ．5,127⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,127⎛⎫-⎪⎝⎭8．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞D ．()8,+∞9．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞10．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[4e ，)+∞D ．2(0,]4e11．函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()2x f x e =+，2()21g x x x =-+，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得*122-1122-1()()()()+()()()()()+(),N n n n n n n f x f x f x g x g x g x g x g x f x f x n --++++=++++∈成立，则n 的最大值为（）（注：=2.71828e 为自然对数的底数）A ．9B ．8C ．7D ．6二、填空题13．已知函数1()cos ,()(0)2axf x xg x e a a π==-+≠，若1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为________.14．关于x 的不等式2ln 0x x kx x -+≥恒成立，实数k 的取值范围是__________. 15．若函数()2xf x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是______.16．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且()10f =，当0x <时，()()+0f x f x x'>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________． 17．已知函数()1ln f x x a x x=-+，存在不相等的常数m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()f m f n -的最小值为____________.18．设函数()f x '是奇函数()f x ()x R ∈的导函数， ()20f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则不等式()0f x >的解集为______________.19．已知()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>的解集为______.20．已知定义在R 上的连续函数()y f x =对任意实数x 满足(4)()f x f x -=，(()2)0x f x -'>，则下列命题正确的有________.①若(2)(6)0f f <，则函数()y f x =有两个零点； ②函数(2)y f x =+为偶函数；③(sin12cos12)f f >︒+︒； ④若12x x <且124x x +>,则12()()f x f x <.三、解答题21．已知函数2()ln (2)f x x a x ax =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意()0,x ∈+∞，函数()f x 的图象不在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. 23．已知函数2()ln(1)(0,0),()2x f x ax x a g x x -=+≥>=+. （1）讨论函数()()y f x g x =-的单调性；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =时，证明：1111+35721n +++<+…*1()(N )2f n n ∈. 24．设函数()(1)f x lnx m x =-+，2()2m g x x =，(0,)x m R >∈．（Ⅰ）若对任意121x x >>，1212()()1f x f x x x -<--恒成立，求m 的取值范围；（Ⅱ）()()()h x f x g x =+，讨论函数()y h x =的单调性．25．图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M ．已知HM = 5 m ，BC = 10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH = θ π(0)4θ<<．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k （k 为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k ．现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？26．已知函数()2(1)xf x x e ax =--，（a R ∈）．（1）若12a =，求()f x 的极值；（2）若0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】求出()f x 的导数，可得0a ≤时函数单调递增，不满足题意，0a >时，利用()max 0f x >可得.【详解】可知()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，则()f x 不可能有两个零点；当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在1x a=处取得极大值即最大值11ln 1f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要满足()ln f x x ax =-有两个零点，则1ln 10a ->，解得10a e<<，综上，10a e<<. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：（1）求出函数的定义域，求出函数的导数；（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）；（3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值；（4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.2．A解析：A 【分析】由图象过定点可得0b =，设()()F x f x x =+，结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增，求()F x 的导数，令()()211g x x a x a =--+-，由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，从而可求出实数a 的范围. 【详解】解：因为2x b y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，所以()()()21=1ln ,12f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+，即()()()()()22111ln =11ln 22F x ax a x x x f x x x a x a x =+=-+-+--+-，所以()()()21111x a x a a F x x a x x--+--'=--+=，令()()211g x x a x a =--+-，因为1a >，则102a x -=>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故()21111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()150a a --≤，解得15a <≤，故选:A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数()()F x f x x =+，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.3．B解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解；【详解】解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．D解析：D 【解析】因为f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x)<0⇒－2<x<2，所以函数f(x)＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f(x)在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以221212m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩从中解得－1≤m<1，选D.点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.5．C解析：C 【分析】先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可【详解】由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，解得3,2b c =-=，又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，121222,3x x x x ∴+==，()222121212482433x x x x x x ∴+=+-=-=，故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.6．A解析：A 【解析】函数的定义域为0x ≠ ，当0()ln()x f x x x <⇒=-- ，为增函数，故排除B ，D ，当0()ln x f x x x >⇒=-，'111()x xf x x --==，当1,()0.01()0x f x x f x >'<<⇒'><故函数是先减后增；故选A ．7．C解析：C 【分析】根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()32g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.又()2321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-，∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0g x '>.∴()15327g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，()()11g x g ==极大值，5127a ∴-<<. 故选：C 【点睛】本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.8．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++，因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0，所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以28b x x>--，设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根，所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-，故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.9．B解析：B 【解析】令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e-=∴=<'=' 所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等10．C解析：C 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得a 的范围. 【详解】由2(0)y axa =>，得2y ax '=，由x y e =，得x y e '=，曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则设公切线与曲线1C 切于点211(,)x ax ，与曲线2C 切于点22(,)xx e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，将212x e ax =代入2211212x e ax ax x x -=-，可得2122=+x x ，11212+∴=x e a x ，记12()2+=x e f x x，则122(2)()4xex f x x +-'=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴当2x =时，2()4mine f x =. a ∴的范围是2[,)4e +∞. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．D解析：D 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，能过导数求解函数极值点的个数，求出()f π的值，从而可判断选项【详解】解：因为()ln sin()ln sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，故排除B当0πx <≤时，()ln sin f x x x =+，则'1()cos f x x x=+，令'()0f x =，则1cos x x=-，作出1,cos y y x x==-的图像如图，可知两个函数图像有一个交点，就是函数的极值点，所以排除A 因为()ln 1f ππ=>，所以排除C ，当0x x =时，'0()0f x =，故0(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递增，当0(,)x x π∈时，函数()f x 单调递减，所以D 满足. 故选：D 【点睛】此题考查了与三角函数有关的函数图像识别，利用了导数判断函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题12．D解析：D 【分析】构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数研究函数的单调性，求出函数的值域即可求解. 【详解】由122-1()()()()+()n n n f x f x f x g x g x -++++*122-1()()()()+(),N n n n g x g x g x f x f x n -=++++∈，变形为：()()()()()()112222n n f x g x f x g x f x g x ---+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()11n n n n f x g x f x g x --=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，设()()()h x f x g x =-，则()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，()()()()2222121x x h x f x g x e x x e x x =-=+--+=-++，()22'=-+x h x e x ，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以[]0,1x ∈时，()h x 单调递增，()22h x e ∴≤≤+， ()()()122n h x h x h x -∴++的值域为()()()22,22n e n -+-⎡⎤⎣⎦，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，则()42224n e ≤-≤+，44n e ∴≤≤+，且n *∈N ，n ∴的最大值为6.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究函数方程的根，解题的关键是构造函数()()()h x f x g x =-，考查了运算能力、分析能力. 二、填空题13．【分析】根据余弦型函数的性质求出当时函数的值域分类讨论利用指数型函数的性质求出函数在时的值域然后根据存在的定义进行求解即可【详解】因为所以因此在时单调递减所以有当时函数是单调递增函数当时即因为使得所解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据余弦型函数的性质求出当1[0,1]x ∈时，函数()1y f x =的值域，分类讨论利用指数型函数的性质，求出函数()2y g x =在2[0,1]x ∈时的值域，然后根据存在的定义进行求解即可. 【详解】因为1[0,1]x ∈，所以1[0,]x ππ∈，因此1()f x 在1[0,1]x ∈时，单调递减，所以有11(1)()(0)1()1f f x f f x ≤≤⇒-≤≤.当0a >时，函数1()2axg x e a =-+是单调递增函数，当2[0,1]x ∈时， ()2(0)(1)g g x g ≤≤，即231()22a a g x e a -≤≤-+，因为1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =，所以有：()3121112a a e a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥-⎪⎩，令'1()(0)()12aa h a e a a h a e =-+>⇒=-，因为0a >，所以'()0h a >，因此函数 ()h a 单调递增，所以有3()(0)2h a h >=，因此不等式组(1)的解集为：12a ≥，而0a >，所以12a ≥；当0a <时，函数1()2axg x e a =-+是单调递减函数，当2[0,1]x ∈时， ()2(1)(0)g g x g ≤≤，即213()22a e a g x a -+≤≤-，因为1x ∃、2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =，所以有()1122312ae a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩：，令'1()(0)()12aa h a e a a h a e =-+<⇒=-，因为0a <，所以'()0h a <，因此函数 ()h a 单调递减，所以有3()(0)2h a h >=，因此不等式组 (2)的解集为空集，综上所述：12a ≥. 故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点睛：根据不等式112ae a -+≥构造新函数，利用导数求出新函数的最小值是解题的关键.14．【分析】根据不等式恒成立分离参数并构造函数求得导函数结合导数性质可判断的单调区间与最小值即可求得的取值范围【详解】在恒成立即恒成立即令则当即解得当即解得所以在上为减函数在上增函数所以所以故答案为：【解析：1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】根据不等式恒成立，分离参数并构造函数()ln 1g x x x =+，求得导函数()g x '，结合导数性质可判断()g x 的单调区间与最小值，即可求得k 的取值范围. 【详解】2ln 0x x kx x -+≥在()0,∞+恒成立，即ln 10x x k -+≥恒成立，即ln 1k x x ≤+，令()ln 1g x x x =+，则()ln 1g x x '=+，当()0g x '≥，即ln 10x +≥，解得1x e≥，当()0g x '<，即ln 10x +<，解得10x e<< 所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上增函数，所以()min 1111ln 11g x g e e e e⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭，所以11k e≤-故答案为：1,1e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了分离参数与构造函数法的应用，由导函数求函数的最值及参数的取值范围，属于中档题.15．【分析】求导函数求出函数的极值利用函数恰有三个零点即可求实数的取值范围【详解】解：函数的导数为令则或可得函数在上单调递减和上单调递增或是函数的极值点函数的极值为：函数恰有三个零点则实数的取值范围是：解析：240,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围．【详解】解：函数2x y x e =的导数为22(2)x x x y xe x e xe x '=+=+，令0y '=，则0x =或2-，可得函数在()2,0-上单调递减，(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，0∴或2-是函数y 的极值点，函数的极值为：(0)0f =，224(2)4f e e --==．函数2()x f x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．16．【分析】结合所给不等式构造函数可证明在时单调递减根据为偶函数且可得单调性的示意图结合函数图像即可求得使成立的的取值范围【详解】令则由题意可知当时不等式两边同时乘以可得即所以在时单调递减因为定义在上的解析：()()1,00,1-【分析】结合所给不等式，构造函数()()g x x f x =⋅，可证明()g x 在0x <时单调递减，根据()f x 为偶函数且()10f =，可得()g x 单调性的示意图，结合函数图像即可求得使()0f x >成立的x 的取值范围.【详解】令()()g x x f x =⋅，则()()()g x f x x f x '=+⋅' 由题意可知当0x <时，()()+0f x f x x'>，不等式两边同时乘以x 可得()()+0xf x f x '<，即()0g x '<，所以()()g x x f x =⋅在0x <时单调递减，因为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的()f x 为偶函数，所以()()g x x f x =⋅为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且()10f =，所以()()110g g =-=，由奇函数性质可得()()g x x f x =⋅函数图像示意图如下图所示：所以当0x <时，()0f x >的解集为()1,0-，当0x >时，()0f x >的解集为()0,1，综上可知，()0f x >的解集为()()1,00,1-故答案为：()()1,00,1-.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的综合应用，构造函数判断函数的单调性，数形结合法解不等式，属于中档题.17．【分析】求出由已知可得为的两根求出关系并将用表示从而把表示为关于的函数设为利用的单调性即可求解【详解】因为的定义域为令即因为存在使得且即在上有两个不相等的实数根且所以∴令则当时恒成立所以在上单调递减解析：4e【分析】求出()f x '，由已知可得,m n 为()0f x '=的两根，求出,,m n a 关系，并将,n a 用m 表示，从而把()()f m f n -表示为关于m 的函数设为()h m ，利用()h m 的单调性，即可求解. 【详解】因为()1ln f x x a x x=-+的定义域为()0,∞+， ()22211'1a x ax x x xf x ++=++=，令()'0f x =，即210x ax ++=，()0,x ∈+∞，因为存在m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根m ，n ，且m n a +=-，1⋅=m n ，所以1n m =，1a m m=--， ∴()()11111ln ln f m f m m m m m m m m m m n ⎛⎫⎛⎫=-+---+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11l 2n m m m m m ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，令()112ln h m m m m m m ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()()()22211121ln l 'n m m m m h m m m -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，当10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0h m <恒成立，所以()h m 在10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 14h m h e e⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()()f m f n -的最小值为4e .故答案为：4e. 【点睛】本题考查最值问题、根与系数关系、函数的单调性，应用导数是解题的关键，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.18．【分析】根据当时构造函数求导在上是减函数再根据是奇函数在上是增函数由写出的解集【详解】设所以因为当时则所以在上是减函数又因为是奇函数所以在上是增函数因为所以所以当或时所以不等式的解集为故答案为：【点解析：(),2(0,2)-∞-⋃【分析】根据当0x >时，()()0xf x f x '-<，构造函数()()f x g x x=，求导 ()()()20xf x f x g x x'-'=<，()g x 在()0,∞+上是减函数，再根据()f x 是奇函数，()g x 在(),0-∞上是增函数，由()20f -=，()20f =，写出()0f x >的解集. 【详解】设()()f x g x x=，所以()()()2xf x f x g x x '-'=，因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，则()0g x '<，所以()g x 在()0,∞+上是减函数，又因为()f x 是奇函数，所以()g x 在(),0-∞上是增函数，因为()20f -=，所以()20f =，所以当2x <- 或02x <<时，()0f x >，所以不等式()0f x >的解集为(),2(0,2)-∞-⋃. 故答案为：(),2(0,2)-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查构造函数，用导数研究函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数；又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答解析：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在0x >递增，从而将不等式转化为()()lg2f x f>，进一步可得不等式lg2x>，解对数不等式即可得答案.【详解】()2sin cosf x x x x x=++的定义域为R，且()()()()()22sin cos sin cosf x x x x x x x x x-=--+-+-=++，即有()()f x f x-=，即()f x为偶函数；又0x>时，()()sin cos sin22cos0f x x x x x x x x'=+-+=+>，则()f x在0x>递增，不等式()()1lg lg22f x fxf⎛⎫+ ⎪⎝⎭>，即为()()()lg lg22f x f xf+->，即有()()lg2f x f>，可得()()lg2f x f>，即有lg2x>，即lg2x>或lg2x<-，解得100x>或1100x<<，则解集为()10,100,100⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：()10,100,100⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意偶函数(||)()f x f x=这一性质的应用. 20．①②④【分析】根据已知条件得到函数的对称轴以及函数的单调性结合题意对选项进行逐一判断即可【详解】因为故关于对称；又故当时单调递增；时单调递减对①：若根据函数单调性显然则根据零点存在定理和函数单调性在解析：①②④【分析】根据已知条件得到函数的对称轴，以及函数的单调性，结合题意，对选项进行逐一判断即可.【详解】因为(4)()f x f x-=，故()f x关于2x=对称；又(()2)0x f x -'>，故当2x >时，()f x 单调递增；2x <时，()f x 单调递减. 对①：若(2)(6)0f f <，根据函数单调性，显然()()20,60f f ，则()20f -> 根据零点存在定理和函数单调性，()f x 在()()2,2,2,6-上各有1个零点，故①正确；对②：因为()f x 关于2x =对称，故()2f x +关于0x =对称，故是偶函数，则②正确；对③：121257sin cos ︒+︒=︒<(),2-∞单调递减可知，()1212ff sin cos <︒+︒，故③错误；对④：因为12x x <，故可得1222x x -<-；因为124x x +>，故可得1222x x -<- 故2122x x ->-，又函数关于2x =对称，结合函数单调性，故可得()()21f x f x >，故④正确. 综上所述：正确的有①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查根据导数的正负判断函数的单调性，函数对称轴的识别，涉及辅助角公式的使用，利用函数单调性比较大小，属综合性中档题.三、解答题21．（1）详见解析；（2）[1,)-+∞. 【分析】（1）对函数求导[]()(2)121()a x x f x x-+-+'=，分20a +≤ 和20a +>，讨论导函数的正负即可.（2）由对任意()0,x ∈+∞，函数()f x 的图象不在x 轴上方，则()0f x ≤，()0,x ∈+∞恒成立，转化为22ln 2x x a x x -≥+，()0,x ∈+∞恒成立，令()22ln 2x x g x x x-=+，用导数法求其最大值即可. 【详解】（1）函数2()ln (2)f x x a x ax =-+-定义域为()0,∞+，则[]()(2)1211()2(2)a x x f x a x a x x-+-+'=-+-=，当20a +≤时，()0f x '>，()f x 递增，当20a +>时，令()0f x '>，解得102x a <<+，令()0f x '<，解得12x a >+，所以()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭递减；（2）若对任意()0,x ∈+∞，函数()f x 的图象不在x 轴上方，则2()ln (2)0f x x a x ax =-+-≤，()0,x ∈+∞恒成立，则22ln 2x x a x x-≥+，()0,x ∈+∞恒成立，令()22ln 2x x g x x x-=+，则()()()()22211ln x x x g x x x +-+-'=+，令()1ln h x x x =-+-，则()110h x x'=--<，所以()h x 在()0,∞+递减，而()10h =，所以当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得最大值1-，所以1a ≥-，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞. 【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性：关键在于准确判定导数的符号，当()f x 含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．． 2、恒成立问题的解法：（1）若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.22．（1）1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈．（2）存在4k =，使得()f x 是[-1,4]上的“4阶收缩函数”．（31b <≤ 【解析】试题分析：（1）根据()f x 的最大值可求出1()f x ，2()f x 的解析式；（2）根据函数2()f x x =，[14]x ∈-，上的值域，先求出1()f x ，2()f x 的解析式，再根据21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围得到答案.(3)先对函数()f x 求导判断函数的单调性，进而写出1()f x ，2()f x 的解析式，然后再由21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围. 试题（1）由题意可得：()1cos f x x =，[]0x π∈，，()21f x =，[]0x π∈，.（2）()[)[]2110004x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()[)[]2211114x f x x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()()[)[)[]221211010114x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，，，，，，当[]10x ，∈-时，()211x k x -≤+，∴1k x ≥-，2k ≥；当()01x ∈，时，()11k x ≤+，∴11k x ≥+，∴1k ≥；当[]14x ∈，时，()21x k x ≤+，∴21x k x ≥+，165k ≥综上所述，165k ≥.即存在4k =，使得()f x 是[]14-，上的“4阶收缩函数”. （3）()()23632f x x x x x =-+'=--，令()0f x '=得0x =或2x =.函数()f x 的变化情况如下：令0f x =得0x =或3x =.（1）当2b ≤时，()f x 在[]0b ，上单调递增，因此，()()3223f x f x x x ==-+，()()100f x f ==.因为()323f x x x =-+是[]0b ，上的“二阶收缩函数”，所以，①()()()2120f x f x x -≤-，对[]0x b ，∈恒成立； ②存在[]0x b ，∈，使得()()()210f x f x x ->-成立. ①即：3232x x x -+≤对[]0x b ，∈恒成立，由3232x x x -+≤解得01x ≤≤或2x ≥. 要使3232x x x -+≤对[]0x b ，∈恒成立，需且只需01b <≤. ②即：存在[]0x b ，∈，使得()2310x x x -+<成立. 由()2310x x x -+<解得0x <x <<.所以，只需b >. 综合①②1b <≤ （2）当23b <≤时，()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()100f x f ==，()()214f x f x -=，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立，（3）当3b >时，()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()10f x f b =<，()()()2144f x f x f b -=->，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立.综合（1）（2）（31b <≤. 23．（1）见解析；（2）[1，＋∞)；（3）证明见解析. 【分析】（1）求导数可得2244(1)(2)ax a y ax x +-'=++，当1a 时函数在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时易得函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减；（2）由（1）知当1a 时，不等式()()1f x g x +在[0x ∈，)+∞时恒成立，当01a <<时，不等式00()()1f x g x +不成立，综合可得a 的范围；（3）由（2）的单调性易得11[(1)]122ln k lnk k <+-+，进而可得11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+，将上述式子相加可得结论．【详解】解：（1）求导数可得2224441(2)(1)(2)a ax a y ax x ax x +-'=-=++++，当1a 时，0y '，∴函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由0y '>可得x >∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减；（2）由（1）知当1a 时，函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增， ()()(0)(0)1f x g x f g ∴--=，即不等式()()1f x g x +在[)0x ∈+∞，时恒成立，当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得00()()(0)(0)1f x g x f g -<-=，即不等式00()()1f x g x +不成立，综上可知实数a 的取值范围为[1，)+∞；（3）由（2）得当1a 时，不等式()()1f x g x >+在(0,)x ∈+∞时恒成立，即2(1)2x ln x x +>+，12(1)12ln k k∴+>+，*()k N ∈．即11[(1)]122ln k lnk k <+-+， ∴11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+，将上述式子相加可得11111111(1)(1)()357212222lnn ln lnn ln n f n n +++⋯+<-=<+=+ 原不等式得证．【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的单调性和恒成立以及不等式的证明，属于中档题． 24．（Ⅰ）1m ；（Ⅱ）答案见解析. 【分析】（Ⅰ）依题意，1122()()f x x f x x +<+，构造函数()()(1)k x f x x lnx mx x =+=->，则1()0(1)k x m x x'=->恒成立，由此即可求得m 的取值范围；（Ⅱ）表示出()h x ，求导，分类讨论即可得出其单调性情况．【详解】（Ⅰ）依题意，121x x >>，1212()()1f x f x x x -<--，即1212()()()f x f x x x -<--，亦即1122()()f x x f x x +<+，令()()(1)k x f x x lnx mx x =+=->，由题意即知函数()y k x =在区间(1,)+∞上单调递减，则1()0(1)k x m x x'=->恒成立， ∴1m x在区间(1,)+∞上恒成立，故1m ．（Ⅱ）2()(1)(0)2m h x lnx m x x m =-++>，1(1)(1)()(1)mx x h x m mx x x--'=-++=，当0m =时，1()xh x x-'=， (0,1)x ∈，()0h x '>，()h x 递增，(1,)x ∈+∞，()0h x '<，()h x 递减，当0m <时，101m<<， (0,1)x ∈，()0h x '>，()h x 递增，(1,)x ∈+∞，()0h x '<，()h x 递减，当1m =时，()0h x '，()h x 的单调递增区间为(0,)+∞，当1m 时，令()0h x '=，得1x =或1x m =；101m<<，当x 变化，()h x '，()h x 变化如下表即单调增区间为1(0,)m，(1,)+∞，减区间为(,1)m．当01m <<时，令()0h x '=，得1x =或1x m =；11m>，当x 变化，()h x '，()h x 变化如下表即单调增区间为(0,1)，1(,)m+∞，减区间为(1,)m．综上：当0m 时，单调增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，当01m <<时，单调增区间为(0,1)，1(,)m+∞，减区间为1(1,)m，当1m =时，()h x 的单调递增区间为(0,)+∞，当1m 时，单调增区间为1(0,)m，(1,)+∞，减区间为1(,1)m．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查构造思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题． 25．（1）1600cos 4S πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；（2）当θ为π6时该别墅总造价最低【分析】（1）由题知FH ⊥HM ，在Rt △FHM 中，所以5FM cos θ=，得△FBC 的面积25cos θ，从而得到屋顶面积FBC ABFE 160S 2S2S cos θ梯形=+=；（2）别墅总造价为y S k h 16k =⋅+⋅=2sin θ80k 96k cos θ-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，令()2sin θf θcos θ-=，求导求最值即可【详解】（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ，又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ．在Rt △FHM 中，HM = 5，FMH θ∠=，所以5FM cos θ=．因此△FBC 的面积为1525102cos θcos θ⨯⨯=．从而屋顶面积FBCABFE S 2S2S =+梯形 252516022 2.2cos θcos θcos θ=⨯+⨯⨯=．所以S 关于θ的函数关系式为160S cos θ=(π0θ4<<)．（2）在Rt △FHM 中，FH 5tan θ=，所以主体高度为h 65tan θ=-．所以别墅总造价为y S k h 16k =⋅+⋅()160k 65tan θ16k cos θ=⋅+-⋅ 16080sin θk k 96k cos θcos θ=-+ 2sin θ80k 96k cos θ-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭记()2sin θf θcos θ-=，π0θ4<<，所以()22sin θ1f θcos θ-='，令()f θ0'=，得1sin θ2=，又π0θ4<<，所以πθ6=．列表：所以当θ6=时，()f θ有最小值．答：当θ为π6时该别墅总造价最低．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S 表示为θ函数是关键，求最值要准确，是中档题 26．（1）极大值是112e-，()f x 的极小值是0（2）1a ≤ 【分析】（1）()()2112xx f x e x =--，求导()()()110x f x x e '=+-=，判断()f x '，()f x 变化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a 的范围，解法二: ()xf x e a '=-，讨论a 的范围得解【详解】（1）当12a =时，()()2112xx f x e x =-- ()()()110x f x x e '=+-=时，则1x =-，0x =.当x 变化时，()f x '，()f x 变化状态如下表：所以()f x 的极大值是()12f e-=-，()f x 的极小值是()00f = （2））等价于当0x ≥时，()()10xf x x e ax =--≥恒成立解法一: 当0x =，等号成立，当x>0，()10x e f x a x -≥⇔≤，设()1x e g x x-=()min a g x ≤，由经典不等式1x e x >+ ∴1a ≤或者()21x x xe e g x x-+'=，()1x x x xe e ϕ=-+，()0x x x xx e xe e xe ϕ='+-=> ()x ϕ↑，()()00ϕϕ>=x ∴()0g x '>，()g x ↑，又()0,1x g x →→ ∴1a ≤解法二: ()xf x e a '=-，0x ≥，1x e ≥若1a ≤，则()0xf x e a ='-≥，()f x ↑，∴()()00f x f ≥=，即不等式恒成立.（充分性）若1a >，()0xf x e a '=-= ∴0ln 0x a =>()00,x x ∈，()0f x '<，()f x ↓，()()00f x f ≤=，这与当0x ≥时，()10xf x e ax =--≥恒成立相矛盾（必要性）【点睛】本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(有答案解析)(3)

一、选择题1．已知函数()()()21=)1ln 2(,1+f x x a x a a b x -+->，函数2x b y +=的图象过定点0,1（），对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则实数a 的范围为（） A ．15a <≤ B ．25a <≤ C ．25a ≤≤ D ．35a <≤2．函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]12，上是增函数，则实数m 的取值范围为（） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤4．若曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[4e ，)+∞D ．2(0,]4e5．已知定义在R 上的函数()y xf x '=的图象（如图所示）与x 轴分别交于原点、点(2,0)-和点(2,0)，若3-和3是函数()f x 的两个零点，则不等式()0f x >的解集（）A ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞B ．(-∞，3)(3-，)+∞C ．(-∞，3)(0-⋃，2)D ．(3-，0)(3⋃，)+∞6．若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．2(,]e -∞B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．2[,)e+∞7．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f =，当0x >时，有()()2xf x f x x '->恒成立，则不等式()0f x >的解集为（） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()()1,00,1-⋃ C ．()(),11,-∞-⋃+∞ D ．()(),10,1-∞-8．若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）A ．01a <<B ．11a e<< C ．111a e -<< D ．111a e+<< 9．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．函数()ln sin f x x x =+（x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()22ln f x x x =-，若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]1,e 上有实数解，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,2e -∞-B ．(2,2e ⎤-∞-⎦C ．(],1-∞D ．(),1-∞12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．函数()21ln 2f x x x ax =+-存在与直线30x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是________. 14．若函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，则实数a 的取值范围为___． 15．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '->，其中()'f x 是函数()f x 的导函数.若2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，则实数k 的范围为________ 16．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．17．已知函数32()1f x x ax x =+++在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数，则实数a 的取值范围是________．18．已知a R ∈，设函数()2,1,1x x ax a x f x ae x x ⎧-+≥=⎨-<⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为______.19．已知()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>的解集为______.20．若函数()2122f x x x aInx =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题21．已知函数()()2ln 0,1xf x a x x a a a =+->≠．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求a 的取值范围．22．已知函数()42ln af x ax x x=--. （1）当1a =时,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围；（3）设函数6()eg x x=,若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围. 23．已经x ∈R ，（1）求证：1x e x ≥+ (其中， 2.71828e =)；（2）n N +∈，求证：1(1)n n e +≤. 24．已知函数()sin x f x e x =. ⑴求函数()f x 的单调区间； ⑵如果对于任意的[0,]2x π∈，()f x kx ≥总成立，求实数k 的取值范围.25．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围. 26．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝()f x x－4ln x 的零点个数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由图象过定点可得0b =，设()()F x f x x =+，结合已知条件可得()F x 在()0,∞+递增，求()F x 的导数，令()()211g x x a x a =--+-，由二次函数的性质可得102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，从而可求出实数a 的范围. 【详解】解：因为2x b y +=的图象过定点0,1（），所以21b =，解得0b =，所以()()()21=1ln ,12f x x ax a x a -+->，因为对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞>，有()()1221f x f x x x ->-，则()()1122f x x x f x +>+，设()()F x f x x =+，即()()()()()22111ln =11ln 22F x ax a x x x f x x x a x a x =+=-+-+--+-，所以()()()21111x a x a a F x x a x x--+--'=--+=，令()()211g x x a x a =--+-，因为1a >，则102a x -=>，所以要使()0F x '≥在()0,∞+恒成立，只需102a g -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故()21111022a a a a --⎛⎫⎛⎫--+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()150a a --≤，解得15a <≤，故选:A. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数()()F x f x x =+，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解；【详解】解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3．D解析：D 【分析】求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，分离参数m ，即可得到答案．【详解】由题得2()4f x x mx '=-+，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，即240x mx -+≥，则244x m x x x+≤=+在[]12，上恒成立，又44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以4m ≤，【点睛】本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题．4．C解析：C 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得a 的范围. 【详解】由2(0)y axa =>，得2y ax '=，由x y e =，得x y e '=，曲线21:(0)C y ax a =>与曲线2:xC y e =存在公共切线，则设公切线与曲线1C 切于点211(,)x ax ，与曲线2C 切于点22(,)xx e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-，将212x e ax =代入2211212x e ax ax x x -=-，可得2122=+x x ，11212+∴=x e a x ，记12()2+=x e f x x，则122(2)()4xex f x x +-'=，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴当2x =时，2()4mine f x =. a ∴的范围是2[,)4e +∞. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了方程有根的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．B解析：B 【分析】根据()y xf x '=的图像可得()'f x 在R 上的正负值，进而求得原函数的单调性，再结合()f x 的零点画出()f x 的简图，进而求得不等式()0f x >的解集.由图，当(),2x ∈-∞-时()0xf x '>，故()0f x '<，()f x 为减函数；当()2,0x ∈-时()0xf x '<，故()0f x '>，()f x 为增函数；当()0,2x ∈时()0xf x '<，故()0f x '<，()f x 为减函数；由图，当()2,x ∈+∞时()0xf x '>，故()0f x '>，()f x 为增函数；又3-和3是函数()f x 的两个零点，画出()f x 的简图如下：故不等式()0f x >的解集为()(),33,-∞-+∞.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.6．C解析：C 【分析】求出函数导数，由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立，利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--，由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立，即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立，令ln 1()x g x x+=，则2ln ()x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于基础题.解析：A 【分析】构造函数()()(0)f x g x x x=≠，可得()g x 在定义域内为偶函数，并得到()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，则在(,0)-∞上单调递减，且(1)0g =，(1)0g -=，结合函数的大致图像分析即可得到()0f x >的解集．【详解】构造函数()()(0)f x g x x x =≠，则()()2()xf x f x g x x '-'= 由于()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()g x 在定义域内为偶函数，图像关于y 轴对称；()10f =，则(1)0g =，(1)0g -=；又0x >时，有()()20xf x f x x'->恒成立，故()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，即()g x 在(0,)+∞ 上单调递增；根据偶函数的对称性可得()g x 在(,0)-∞上单调递减，所以()g x 的大致图像如下图：()0f x >，即为当0x <时，()0<g x ，当0x >时，()0>g x 的解集，所以()0f x >，则10x -<<或1x >；即()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ 故选：A. 【点睛】本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性，根据函数单调性解不等式，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题目．解析：C 【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解.【详解】由题得211()0f x x x'=+>在区间()1,e 上恒成立，所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数，所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，可得111a e-<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．C解析：C 【解析】函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=- ，22222210cos 22a cb b ac ac B ac +-=--+≤⇒=≥()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3π．故答案为C ．10．D解析：D 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，能过导数求解函数极值点的个数，求出()f π的值，从而可判断选项【详解】解：因为()ln sin()ln sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，故排除B当0πx <≤时，()ln sin f x x x =+，则'1()cos f x x x=+，令'()0f x =，则1cos x x=-，作出1,cos y y x x==-的图像如图，可知两个函数图像有一个交点，就是函数的极值点，所以排除A 因为()ln 1f ππ=>，所以排除C ，当0x x =时，'0()0f x =，故0(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递增，当0(,)x x π∈时，函数()f x 单调递减，所以D 满足. 故选：D 【点睛】此题考查了与三角函数有关的函数图像识别，利用了导数判断函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题11．B解析：B 【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，存在[]1,3x ∈，使得()m f x ≤，则()max m f x ≤.()22ln f x x x =-，则()()()22112222x x x f x x x x x-+-'=-==，当[]1,3x ∈时，()0f x '≥，所以，函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，则()()2max 2f x f e e ==-，22m e ∴≤-，因此，实数m 的取值范围是(2,2e ⎤-∞-⎦.故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xx f x x x e e=-+-的定义域为R ，又由3322()42e (42)()e x xx x f x x x x x e f x e-=-++-=--+-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x xf x x e x x e '=-++≥-+=≥，当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤，故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．【分析】原命题等价于有解再求的最小值即得解【详解】由题意得故存在切点使得所以有解因为所以（当且仅当时取等号）所以即则实数的取值范围是故答案为：【点睛】方法点睛：形如的有解问题等价于不是所以本题只要求解析：[)1,-+∞. 【分析】原命题等价于13t a t +=+有解，再求1tt +的最小值即得解. 【详解】由题意，得()1f x x a x'=+-，故存在切点()(),P t f t ，使得13t a t+-=，所以13t a t+=+有解，因为0t >，所以12t t+（当且仅当1t =时取等号），所以32a +，即1a -，则实数a 的取值范围是[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】方法点睛：形如()a f x =的有解问题，等价于[()]min a f x ≥，不是[()]max a f x ≥，所以本题只要求出1tt +的最小值即得解.14．a≥﹣1【分析】将函数f （x ）在（0）上单调递减转化在（0）上恒成立即在（0）上恒成立再求最大值即可【详解】因为函数f （x ）在（0）上单调递减所以在（0）上恒成立即在（0）上恒成立因为所以所以所以故解析：a ≥﹣1．【分析】将函数f （x ）cosx a sinx +=在（0，2π）上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f （x ）cosx asinx +=在（0，2π）上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在（0，2π）上恒成立，即1cos a x ≥-在（0，2π）上恒成立，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 0,1x ∈，所以1(,1]cos x-∈-∞-，所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥- 【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】构造函数利用导数研究在区间的单调性由此求得实数的取值范围【详解】设函数在单调递增依题意的定义域为所以故故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式属于中档题解析：()2020,2022【分析】构造函数()()()0f x g x x x=>，利用导数研究()g x 在区间()0,∞+的单调性，由此求得实数k 的取值范围. 【详解】设函数()()()0f x g x x x=>，2()()()0xf x f x g x x='-'>， ()g x ∴在()0,∞+单调递增.依题意，()f x 的定义域为()0,∞+，所以20200,2020k k ->>，2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，(2020)(2)20202f k f k -∴<-，故020202k <-<，20202022k ∴<<. 故答案为：()2020,2022 【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式，属于中档题.16．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln xy x=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，等价于函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，对函数ln x y x =求导，得21ln xy x-'=，()0,x e ∈,0y '>，函数ln xy x=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<，函数ln xy x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e，对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e -分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.17．【分析】求导得转化条件为在区间内恒成立令求导后求得即可得解【详解】函数在区间内是减函数在区间内恒成立即在区间内恒成立令则当时单调递减；当时单调递增；又故答案为：【点睛】本题考查了导数的综合应用考查了解析：2a ≥【分析】求导得2()321f x x ax '=++，转化条件为1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，求导后求得()max 2g x =即可得解. 【详解】32()1f x x ax x =+++，∴2()321f x x ax '=++，函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内是减函数， ∴()0f x '≤在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，即1223x x a --≥在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内恒成立，令()12122333x g x x x ⎛⎫--≤≤-= ⎝-⎪⎭，则()2221312232x x x x g -++='=-，∴当2,3x ⎛∈- ⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当13x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增；又2734g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，123g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()2g x <， ∴2a ≥.故答案为：2a ≥. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.18．【分析】考虑和两种情况分别计算得到利用均值不等式得到；证明单调递增得到得到答案【详解】当时即对恒成立当时符合题意；当时参变分离得：因为当时等号成立故上式恒成立时；当时即对恒成立参变分离得：令故单调递解析：14a e≤≤【分析】考虑1x ≥和1x <两种情况，分别计算得到211211x a x x x ≤=-++--，利用均值不等式得到4a ≤；x x a e ≥，证明()xx p x e =单调递增，得到1a e ≥，得到答案. 【详解】当1x ≥时，()0f x ≥，即20x ax a -+≥对1x ≥恒成立，当1x =时，符合题意；当1x >时，参变分离得：211211x a x x x ≤=-++--，因为11241x x -++≥-，当2x =时等号成立，故上式恒成立时4a ≤；当1x <时，()0f x ≥，即0x ae x -≥对1x <恒成立，参变分离得：x x a e ≥，令()x x p x e =，()10xxp x e-'=>，故()p x 单调递增， ∴()()11x x p x p e e=<= 要使0x ae x -≥对1x <恒成立，则1a e≥. 综上所述：a 的取值范围为14a e≤≤. 故答案为：14a e≤≤. 【点睛】本题考查了恒成立问题，参数分离转化为函数的最值问题是解题的关键.19．【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数；又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答解析：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在0x >递增，从而将不等式转化为()()lg 2f x f >，进一步可得不等式lg 2x >，解对数不等式即可得答案.【详解】()2sin cos f x x x x x =++的定义域为R ，且()()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x x x -=--+-+-=++，即有()()f x f x -=，即()f x 为偶函数；又0x >时，()()sin cos sin 22cos 0f x x x x x x x x '=+-+=+>，则()f x 在0x >递增，不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>，即为()()()lg lg 22f x f x f +->，即有()()lg 2f x f >，可得()()lg 2fx f >，即有lg 2x >，即lg 2x >或lg 2x <-，解得100x >或10100x <<，则解集为()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意偶函数(||)()f x f x =这一性质的应用.20．【分析】对函数求导要满足题意只需导函数在定义域内有两个零点数形结合即可求得【详解】由可得函数定义域为且若满足有两个不同的极值点则需要满足有两个不同的实数根即在区间上有两个不同的实数根也即直线与函数有解析：()0,1【分析】对函数求导，要满足题意，只需导函数在定义域内有两个零点，数形结合即可求得. 【详解】由()2122f x x x aInx =-+可得函数定义域为()0,∞+且()2a f x x x=+-' 若满足()f x 有两个不同的极值点，则需要满足()20af x x x=-'+=有两个不同的实数根，即22a x x =-+在区间()0,∞+上有两个不同的实数根，也即直线y a =与函数()22,0,y x x x =-+∈+∞有两个交点，在直角坐标系中作图如下：数形结合可知，故要满足题意，只需()0,1a ∈. 故答案为：()0,1. 【点睛】本题考查由函数极值点的个数，求参数范围的问题，属基础题；本题也可转化为二次函数在区间()0,∞+上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进行求解.三、解答题21．（1）()0,∞+（2）[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：（1）先求原函数的导数得：f'（x ）=()ln 2ln 21ln x xa a x a x a a +-=+-，再对a 进行讨论，得到f'（x ）＞0，从而函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．（2）f （x ）的最大值减去f （x ）的最小值大于或等于e ﹣1，由单调性知，f （x ）的最大值是f （1）或f （﹣1），最小值f （0）=1，由f （1）﹣f （﹣1）的单调性，判断f （1）与f （﹣1）的大小关系，再由f （x ）的最大值减去最小值f （0）大于或等于e ﹣1求出a 的取值范围．试题（1）由于()()ln 2ln 21ln 0x xf x a a x a x a a =+'-=+->，1° 当1,2a y x >=单调递增，ln 0a >，所以()1ln xy a a =-单调递增，故()21ln xy x a a =+-单调递增，∴()()21ln 201ln 0x x a a a a +->⨯+-=，即()()0f x f '>'，所以0x >，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；2° 当01,2a y x <<=单调递增，ln 0a <，所以()1ln xy a a =-单调递增，故()21ln x y x a a =+-单调递增，∴()()21ln 201ln 0x x a a a a +->⨯+-=，即()()0f x f '>'，所以0x >，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；综上，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞．（2）因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，所以当[]1,1x ∈-时，()()()()()()()()maxmin max min 1f x f x f x f x e -=-≥-，由（1）知，()f x 在[]10-，上递减，在[]0,1上递增，所以当[]1,1x ∈-时()()()()()()(){}minmax01,max 1,1f x f f x f f ===-，而()()()11111ln 1ln 2ln f f a a a a a a a ⎛⎫--=+--++=--⎪⎝⎭，记()()12ln 0g t t t t t =-->，因为()22121110g t t t t ⎛⎫=+-=-≥ ⎪⎝⎭'（当2t =时取等号），所以()12ln g t t t t=--在()0,t ∈+∞上单调递增，而()10g =．1° 当1a >时，()0g a >， ∴()()11f f >-， ∴当1a >时，()()101f f e -≥-，即ln 1a a e -≥-，易知：ln y a a =-，在()1,a ∈+∞上递增， ∴a e ≥． 2° 当01a <<时，()0g a <， ∴()()()()111,101,ln 1f f f f e a e a<---≥-+≥-，易知1ln y a a =+在()0,1a ∈上递减， ∴10,a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上：[)10,,a e e ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦． 22．(1) 3y x = (2) 1[,)2+∞（3）28(,)41ee +∞- 【分析】（1）求出f （x ）的导数，求出f′（1），f （1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a 的具体范围；（3）构造函数ϕ（x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，e]，只需ϕ（x ）max ＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x ）max ，从而求出a 的范围．【详解】（1）解: 当1a =时,()142ln f x x x x =--,()1412ln13f =--=, ()212'4f x x x=+-, 曲线()f x 在点()()1,1f 处的斜率为()'13f =, 故曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x -=-,即3y x =（2）解: ()222242'4a ax x a f x a x x x-+=+-=. 令()242h x ax x a =-+,要使()f x 在定义域()0,+∞内是增函数,只需()h x ≥0在区间()0,+∞内恒成立. 依题意0a >,此时()242h x ax x a =-+的图象为开口向上的抛物线,()211444h x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其对称轴方程为()10,4x a =∈+∞,()min 14h x a a =-,则只需14a a -≥0,即a ≥12时,()h x ≥0,()'f x ≥0,所以()f x 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （3）解: 构造函数()()()x f x g x φ=-,[]1,x e ∈,依题意()max 0x φ>, 由（2）可知a ≥12时,()()()x f x g x φ=-为单调递增函数, 即()1642ln e x a x x x x φ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,e 上单调递增, ()()max 1480x e a e e φφ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭,则2288214142eea e e e >>=>-,此时,()()()0e f e g e φ=->,即()()f e g e >成立. 当a ≤2841e e -时,因为[]1,x e ∈,140x x->, 故当x 值取定后,()x φ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则()x φ≤281642ln 41e ex x e x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭,[]1,x e ∈, 故()x φ≤281642ln 041e ee e e e e⎛⎫---= ⎪-⎝⎭, 即()f x ≤()g x ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是28,41e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）构造函数()1x f x e x =--，求函数的最小值大于等于零即可；（2）由（1）得1n e n ≥+，n N +∈，两边取对数得ln(1)n n ≥+，进而得11ln(1)n n ≥+，即1(1)n n e +≤. 【详解】解：（1）构造函数()1x f x e x =--，x ∈R()1x f x e =-'，令()0f x '=，则0x =当x 在R 上变化时，()f x ，()'f x 变化如下表：x(,0)-∞0 (0,)+∞()'f x_ 0+ ()f x递减递增从而：min ()(0)0f x f == 则：10x e x --≥则：1x e x ≥+在R 上恒成立.（2）由（1）可得：1x e x ≥+在R 上恒成立，则n ∈+N 时，1n e n ≥+，两边取对数，有：ln(1)n n ≥+ 则：11ln(1)n n≥+ 则：11ln(1)n n ≥+，从而：1(1)n e n ≥+ 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查化归转化思想，是中档题. 24．（1）()f x 的单调递增区间为3(2,2)44k k ππππ-+，单调递减区间为37(2,2)44k k ππππ++()k Z ∈；（2）(,1]-∞ 【详解】试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减函数；⑵令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2x π∈时min ()0g x ≥，对讨论,利用导数求的最小值.试题(1) 由于()sin x f x e x =，所以'()sin cos (sin cos )2sin()4x x x x f x e x e x e x x e x π=+=+=+.当(2,2)4x k k ππππ+∈+，即3(2,2)44x k k ππππ∈-+时，'()0f x >；当(2,22)4x k k πππππ+∈++，即37(2,2)44x k k ππππ∈++时，'()0f x <. 所以()f x 的单调递增区间为3(2,2)44k k ππππ-+()k ∈Z ，单调递减区间为37(2,2)44k k ππππ++()k ∈Z . (2) 令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥总成立，只需[0,]2x π∈时min ()0g x ≥.对()g x 求导得()(sin cos )x g x e x x k =+-'，令()(sin cos )x h x e x x =+，则()2cos 0x h x e x '=>，((0,)2x π∈)所以()h x 在[0,]2π上为增函数，所以2()[1,]h x e π∈.对分类讨论：① 当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[0,]2π上为增函数，所以min ()(0)0g x g ==，即()0g x ≥恒成立；② 当21k e π<<时，()0g x '=在上有实根0x ，因为()h x 在(0,)2π上为增函数，所以当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，所以0()(0)0g x g <=，不符合题意；③ 当2k e π≥时，()0g x '≤恒成立，所以()g x 在(0,)2π上为减函数，则()(0)0g x g <=，不符合题意.综合①②③可得，所求的实数的取值范围是(,1]-∞.考点：利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数. 25．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）32a e > 【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222aln a a af ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围；【详解】解：（1）因为()2xf x e ax b =-+所以()()220xf x ea a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞， ∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222aa a af e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即ln 0222a a aa -+< 所以3ln02a -< 所以32a e > 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题． 26．（1）f (x )＝x 2－2x －3；（2）1个. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，再结合f (x )的最小值为－4即可求出a 的值，得到函数f (x )的解析式；（2）对g (x )求导可以得到g (x )的单调区间，在每个单调区间上研究函数g (x )的零点情况即可. 【详解】（1）∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.（2）由（1）知g (x )＝223x x x--－4ln x ＝x －3x －4ln x －2，∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋23x －4x＝2(1)(3)x x x --，令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋－＋g (x )极大值极小值当x >3时，g (e 5)＝e 5－53e－20－2>25－1－22＝9>0. 又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点，故g (x )仅有1个零点. 【点睛】本题主要考查二次函数和导数在研究函数中的应用.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试(答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数()23ln 6f x x kx x =-+，若()0f x >的解集为(),m n ，且(),m n 中只有两个整数，则（） A ．k 无最值 B ．k 的最小值为123ln 24+ C ．k 的最大值为123ln 24+ D ．k 的最小值为6ln33+ 2．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论错误的是（） A ．()f x 是奇函数B ．若0a =，则()f x 是增函数C ．当3a=-时，函数()f x 恰有三个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点 3．函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[),e +∞ B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞5．若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．2(,]e -∞B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．2[,)e+∞6．f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f （x ）+x •f '（x ）＜0，且f （﹣3）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集为（） A ．（﹣3，0）∪（3，+∞） B ．（﹣3，0）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） 7．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（） A ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,)eD ．(,)e +∞9．若函数1()21x f x e x =--(e 为自然对数的底数)，则()y f x =图像大致为（）A ．B ．C ．D ．10．函数()21ln 2f x x x =-在区间()0,2上的最大值为（） A ．12-B ．0C ．12D ．无最大值11．已知0a >，函数()225,0,2,0,x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若关于x 的方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围为（）A ．14a <<B ．24a <<C ．48a <<D ．28a <<12．如果不等式3310x ax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．32,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．322,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．2,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦二、填空题13．已知()2ln 1f x x x mx =++-在区间()1,2上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是__________．14．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，,,DBC ECA FAB 分别是以BC,CA,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB 为折痕折起,,DBC ECA FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当所得三棱锥体积（单位：3cm ）最大时，ABC 的边长为_________（cm ）.15．若函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是______.16．已知函数()2221,204ln 2,0x mx m x f x x m x xe ⎧----<≤⎪=⎨+->⎪⎩在区间()2,-+∞上有且只有三个零点，则实数m 的取值范围为______.17．设函数()22ln f x x x x =+-，若关于x 的方程()2f x x x a =++在(]0,2上恰有两个相异实根，则实数a 的范围是______.18．已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________. 19．若函数()ln 1f x ax x =--有零点，则实数a 的取值范围是___________．20．若函数()2ln 12f x x mx x -+=有极值,则函数()f x 的极值之和的取值范围是________. 三、解答题21．已知函数()()211ln ,022f x x a x a R a =--∈≠. （1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 22．已知函数()xf x ax e =-(a R ∈，e 为自然对数的底数).（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥-，()232f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最大值.23．设函数()ln 1x f x x+=，（1）求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）当1≥x 时，不等式()()211a x f x x x--≥恒成立，求a 的取值范围． 24．已知函数()2xf x e x a =-+，x ∈R ，曲线()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为y bx =.（1）求,a b ，并证明()2f x x x ≥-+；（2）若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.25．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}.（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝()f x x－4ln x 的零点个数.26．已知函数()(2)()x f x x e alnx ax a R =-+-∈．（1）若1x =为()f x 的极大值点，求a 的取值范围；（2）当0a 时，判断()y f x =与x 轴交点个数，并给出证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】原不等式化为3ln 6x kx x >-，设()()3ln ,6xg x h x kx x==-，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可. 【详解】由()23ln 60f x x kx x =-+>，得3ln 6xkx x>-，设()()3ln ,6xg x h x kx x==-， ()()231ln x g x x-'=，()()00,0g x x e g x x e >⇒<<⇒''所以()g x 在()0,e 的上单调递增，在(),e +∞单调递减，而()6h x kx =-的图象是一条恒过点()0,6-的直线，函数()g x 与()h x 的图象如图所示，依题意得，01m <<，若(),m n 中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，则()()()()2233g h g h ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即3ln 2262ln 336k k ⎧>-⎪⎨⎪≤-⎩，解得6ln 3123ln 234k ++≤<，故k 的最小值为6ln33+，故选：D. 【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．2．C解析：C 【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥,所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=,所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-,将a 的值代入分别计算分析，可判断选项B ，C ，D对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''= 所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-对B, 当0a =时，()2'cos 30f x x x =+>，所以()f x 是增函数，故B 正确.对C,当3a=-时，由上可知, ()()014f x f a ''≥=-=，所以()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时，()2cos 33f x x x '=+-，由上可知在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()min 0132f x f ''==-=-，()1cos10f '-=>，()1cos10f '=>所以存在()()121,0,0,1x x ∈-∈，使得()10fx '=，()20f x '=成立则在()1,x -∞上，()0f x '>，在()12,x x 上，()0f x '<，在()2,x +∞上，()0f x '>.所以函数()3sin 3f x x x x =+-在()1,x -∞单调递增，在()12,x x 的单调递减，在()2,x +∞单调递增.所以函数()f x 恰有两个极值点，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得()2cos 3f x x x a '=+-，则()sin 6f x x x ''=-+，()cos 60f x x ''=-+≥所以()sin 6f x x x ''=-+在R 上单调递增,且()00f ''=，所以当0x <时，()0f x ''<，当0x >时，()0f x ''>，则()2cos 3f x x x '=+在()0-∞，上单调递减，在()0+∞，上单调递增.则()()01f x f a ''≥=-，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 3．B解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解；解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．D解析：D 【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x x x++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x∴=-()1x >，不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，令()ln x g x x =-，则()()21ln ln x g x x -=′，令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减，∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln eg x g e e e==-=-， a e ∴≥-，∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 5．C解析：C 【分析】求出函数导数，由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立，利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--，由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立，即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立，令ln 1()x g x x+=，则2ln ()x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于基础题.6．B解析：B 【分析】构造函数()()g x xf x =，根据条件确定()g x 奇偶性与单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】令()()g x xf x =，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，又(0)0g = 因此()g x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （﹣3）＝0，所以(3)0(3)0g g -=∴=，当(3,0)x ∈-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <-=∴<>；当(,3)x ∈-∞-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >-=∴><；当(0,3)x ∈时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >=∴>>；当(3,)x ∈+∞时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <=∴<<；综上，不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，0）∪（0，3）故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.7．C解析：C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C8．B解析：B 【分析】根据题意，得到方程有两不等实根，构造函数2()x e g x x-=，0x ≠，对其求导，判定函数单调性，求出极值，画出函数大致图像，结合图像，即可得出结果.【详解】显然，0x =不是函数()f x 的零点，令2()0x f x mx e-=-+=，得2x e m x-=，构造函数2()x e g x x -=，0x ≠，则22(1)()x e x g x x--'=，令()0g x '>得到1x >，令()0g x '<得到1x <且0x ≠，即函数2()x e g x x -=在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以函数2()x e g x x-=有极小值1(1)g e =；画出函数()g x 的图象，如图所示，由图像可知，当0m ≤时，直线y m =与()g x 的图象不可能有两个交点，当0m >，只需1m e>，()g x 的图象与直线y m =即有两个不同的交点，即函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点， ∴m 的取值范围为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.9．C解析：C 【分析】代入特殊值()10f <可判断,A B 选项，记()21x g x e x =--，结合函数单调性可得当x →+∞时，()0f x >，从而可选出正确答案.【详解】记()21x g x e x =--，则有()2x g x e '=-，当ln 2x <时，()20x g x e -'=<，()g x 是减函数，当ln 2x >时，()20x g x e -'=>，()g x 是增函数，因为()130g e =-<，所以()10f <，排除,A B 选项；()2250g e =->，所以当x →+∞时，()0>g x ，即x →+∞时，()0f x >，则D 错误. 故选:C. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，属于中档题.10．A解析：A 【分析】利用导数分析函数()f x 在区间()0,2上的单调性，由此可求得该函数在区间()0,2上的最大值. 【详解】()21ln 2f x x x =-，()211x f x x x x-'∴=-=.当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增；当12x <<时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，当()0,2x ∈时，()()max 112f x f ==-. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.11．D解析：D 【分析】根据分段函数，看成函数()f x 与直线()2y a x =-的交点问题，分0x =，0x ≤，0x >讨论求解.【详解】当0x =时，()502f a =，对于直线()2y a x =-，2y a =，因为0a >，所以无交点；当0x ≤时，()2f x x '=，令2x a =-，解得 2ax =-，要使方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则252222a a a a ⎛⎫⎛⎫-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 2a >；当0x >时，()2f x x '=-，令2x a -=-，解得 2ax =，因为0x ≤时，方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解，则0x >时，无交点，则2222a a a ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 8a <,综上：a 的取值范围为28a <<故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由0a >和直线()2y a x =-过定点()2,0，确定方程()()2f x a x =-恰有2个互异的实数解只有一种情况：当0x ≤时，方程恰有2个互异的实数解，当0x >时，方程无实数解.12．A解析：A 【分析】分0x =、10x -≤<、01x <≤三种情况讨论，利用参变量分离法计算出实数a 在各种情况下的取值范围，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】由已知，不等式3310x ax ++≥对于[]1,1x ∈-恒成立. ①当0x =时，则有10≥恒成立，此时a R ∈； ②当10x -≤<时，由3310x ax ++≥可得213a x x≤--，令()21f x x x =--，()32211220x f x x x x -'=-+=>，所以，函数()f x 在区间[)1,0-上为增函数，则()()min 10f x f =-=，则30a ≤，得0a ≤；③当01x <≤时，由3310x ax ++≥可得213a x x≥--，令()32120x f x x -'==可得2x =，列表如下：()2max2f x ⎛=-= ⎝⎭3a ∴≥2a ≥-.综上所述，实数a 的取值范围是⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.二、填空题13．【分析】求出导函数由在上恒成立可得的范围【详解】由题意在时恒成立即在时恒成立由对勾函数性质知在单调递增所以所以即故答案为：【点睛】本题考查用函数在某个区间上单调性解题方法是把问题转化为不等式恒成立再解析：3m ≥-【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '≥在(1,2)上恒成立可得m 的范围．【详解】2121()2x mx f x x m x x ++'=++=，由题意()0f x '≥在(1,2)x ∈时恒成立，即2210x mx ++≥在(1,2)x ∈时恒成立，22112x m x x x+-≤=+，由对勾函数性质知12y x x=+在(1,2)单调递增，所以123x x +>，所以3m -≤，即3m ≥-．故答案为：3m ≥-．【点睛】本题考查用函数在某个区间上单调性，解题方法是把问题转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值．解题基础求出导函数．14．【分析】连接交于点设求出构造函数利用导数研究函数的单调性从而得出时所得三棱锥体积最大时进而得解【详解】如图连接交于点连接由题意知所以所以设则三棱锥的高则三棱锥的体积令则令即解得所以当时在上单调递增；解析：43【分析】连接OD ，交BC 于点G ，设OG x =，求出23BC x =，4532510V x x =⨯-，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出2x =时，所得三棱锥体积最大时，进而得解. 【详解】如图，连接OD ，交BC 于点G ，连接OB ，由题意，知ODBC ，12BG BC =，30OBG ∠=︒，所以，133tan 302OG BG BC BC =⨯︒==，所以23BC OG =，设OG x =，则23BC x =，5DG x =-，三棱锥的高()222252510h DG OG x x x =-=--=-21233332ABC S x x x =⨯⨯=△，则三棱锥的体积245113325103251033ABC V S h x x x x =⨯=⨯-=-△，令()452510f x x x =-502x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则()3410050f x x x =-′，令()0f x '=，即34100500x x -=，解得2x =，所以，当02x <<时，()0f x >′，()f x 在()0,2上单调递增；当522x <<时，()0f x <′，()f x 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以，当2x =时，()f x 取得极大值，也是最大值，此时，BC ==，所以，当所得三棱锥体积最大时，ABC 的边长为故答案为：【点睛】本题考查三棱锥体积的计算及利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求极值的方法，属于中档题.15．或【分析】首先求出函数的导函数当时可得在定义域上单调递减再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点当时由导数可得函数的单调性及最小值为令利用导数说明的单调性即可求出参数的值；【详解】解：因为定义域为解析：0a ≤或1a = 【分析】首先求出函数的导函数，当0a ≤时，可得()f x 在定义域上单调递减，再根据零点存在性定理可得()f x 在()0,1上存在唯一的零点，当0a >时，由导数可得函数()f x 的单调性及最小值为()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞利用导数说明()g a 的单调性，即可求出参数a 的值；【详解】解：因为()()2212ln 1f x ax a x x =+---，定义域为()0,∞+，所以()()()()()222122112221ax a x ax x f x ax a x x x+---+'=+--== 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，即()f x 在定义域上单调递减，()()1310f a =-<，当0x +→时，20ax →，()210a x -→，2ln x -→+∞，所以()f x →+∞，所以()f x 在()0,1上存在唯一的零点，满足条件；当0a >时，令()()()2110ax x f x x -+'=>，解得1x a >即函数在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()()()2110ax x f x x -+'=<，解得10x a <<即函数在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()f x 在1x a =取值极小值即最小值，()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞，则()2221210a g a a a a +'=+=>恒成立，即()112ln g a a a=+-在定义域上单调递增，且()112ln110g =+-=，所以要使函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则()min 1112ln 0f x f a a a ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭，解得1a =，综上可得0a ≤或1a =；故答案为：0a ≤或1a = 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.16．【分析】当时函数的图像是函数的图像进行上下平移而得到的求出的单调区间作出其图像可得在上函数至多有2个零点又当时则在上函数至多有1个零点根据条件所以在上有一个零点在上有2个零点则从而可得答案【详解】当解析：()22【分析】当0x >时，函数()f x 的图像是函数4ln xy x=的图像进行上下平移而得到的,求出4ln xy x=的单调区间，作出其图像，可得在()0+∞，上，函数()f x 至多有2个零点，又当20x -<≤时，()2010f m =--<，则在()20-，上，函数()f x 至多有1个零点，根据条件所以()f x 在20x -<≤上有一个零点，在()0,∞+上有2个零点，则()()()222042022210m e m f e e e m m +⎧>⎪⎪+⎪=->⎨⎪⎪--⨯--->⎪⎩，从而可得答案. 【详解】当0x >时，函数()f x 的图像是函数4ln xy x=的图像进行上下平移而得到的. 又由函数4ln x y x =有()241ln x y x-'=.由()241ln 0x y x -'=>，得x e <，()241ln 0x y x-'=<，得x e >. 所以函数4ln xy x=在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减,图像如图. 当1x >时，4ln 0xy x=>.所以在()0+∞，上，函数()f x 至多有2个零点. 当20x -<≤时，()2221f x x mx m =---，()2010f m =--<，其对称轴为x m =.此时二次方程22210x mx m ---=有两相异号的实根.所以在()20-，上，函数()f x 至多有1个零点. 因为函数()f x 在区间()2,-+∞上有且只有三个零点.所以()f x 在20x -<≤上有一个零点，在()0,∞+上有2个零点.则()()()222042022210m e m f e e e m m +⎧>⎪⎪+⎪=->⎨⎪⎪--⨯--->⎪⎩，解得:272m <故答案为：()27,2 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，属于中档题.17．【分析】根据题意得转化为直线和函数的图像有两个不同的交点利用导数研究函数的单调性和最值即可得出实数a 的范围【详解】由及得令根据题意可得：直线和函数的图像有两个不同的交点令得此时函数单调递减令得此时函解析：(]1,2ln 2-【分析】根据题意得ln a x x =-，转化为直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，利用导数研究函数()g x 的单调性和最值，即可得出实数a 的范围. 【详解】由()22ln f x x x x =+-及()2f x x x a =++，得ln a x x =-，令()ln g x x x =-，根据题意可得：直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，1()1g x x'=-，令()0g x '<，得01x <<，此时函数()g x 单调递减，令()0g x '>，得12x <≤，此时函数()g x 单调递增，所以，当1x =时，函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈取得最小值，值为(1)1g =，又(2)2ln 2g =-，且当210x e <<时， 2211()22ln 2g x g e e⎛⎫>=+>- ⎪⎝⎭，故当12ln 2a <≤-时，直线y a =和函数()ln g x x x =-，(]0,2x ∈的图像有两个不同的交点，所以实数a 的范围是(]1,2ln 2-. 故答案为：(]1,2ln 2-. 【点睛】本题主要考查的是函数零点问题，本题解题的关键是转化为两函数图像的交点问题，利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生的分析问题能力，是中档题.18．【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域即可得答案；【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的值解析：01a <<【分析】对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-，则方程ln 1x a x+=在0x >时有两个根，利用导数研究函数ln 1()x g x x+=的值域，即可得答案；【详解】()1ln2f x x x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f x lnx ax '=+-．∴ln 1x a x+=在0x >时有两个根，令ln 1()x g x x+=，令()1g x lnx ax =+-，'221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+==-当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且(1)1g =，当x →+∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，y a =与()y g x =要有两个交点，∴01a <<故答案为：01a <<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.19．【分析】变换得到设求导得到单调性画出图像得到答案【详解】由题可知函数的定义域为函数有零点等价于有实数根即设则则函数在上单调递增在上单调递减且画出图像如图所示：根据图像知故答案为：【点睛】本题考查了利解析：(,1]-∞【分析】变换得到ln 1x a x+=，设()ln 1x g x x +=，求导得到单调性，画出图像得到答案.【详解】由题可知函数()f x 的定义域为()0,∞+ 函数()ln 1f x ax x =--有零点，等价于()ln 10f x ax x =--=有实数根()ln 10f x ax x =--=，即ln 1x a x+=，设()ln 1x g x x +=，则()2ln 'xg x x-=. 则函数在()0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，且()11g =，画出图像，如图所示：根据图像知1a ≤. 故答案为：(,1]-∞. 【点睛】本题考查了利用导数研究零点，参数分离画出图像是解题的关键.20．【分析】先求导方程在上有根求出的范围根据韦达定理即可化简根据的范围即可求出【详解】解：的定义域是存在极值在上有根即方程在上有根设方程的两根为即故函数的极值之和的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了解析：(,3)-∞-【分析】先求导，方程210x mx -+=在(0,)+∞上有根求出m 的范围，根据韦达定理即可化简12()()f x f x +，根据m 的范围即可求出．【详解】解：()f x 的定义域是(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=-+=，()f x 存在极值，()0f x ∴'=在(0,)+∞上有根，即方程210x mx -+=在(0,)+∞上有根．设方程210x mx -+=的两根为1x ，2x ，∴240m ∆=->，120x x m +=>，121=x x即2m >22121212121()()()()()2f x f x x x m x x lnx lnx ∴+=+-+++，2121212121()()2x x x x m x x lnx x =+--++， 22112m m =--， 21132m =--<-，故函数()f x 的极值之和的取值范围是(,3)-∞-故答案为：(,3)-∞- 【点睛】本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题三、解答题21．（1）22y x =-+；（2）答案见解析；（3）()(],00,1-∞.【分析】（1）求出切点坐标和切线的斜率即得解；（2）先求导再对a 分类讨论即得函数的单调区间；（3）任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥，再对a 分类讨论即得解. 【详解】（1）3a =时，()2113ln 22f x x x =--，()10f = ()3f x x x'=-，()12f '=-∴()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22y x =-+ 所以所求的切线方程为22y x =-+;（2）()()20a x af x x x x x-'=-=>①当0a <时，()20x af x x-'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+②当0a >时，令()0f x '=，解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为(当0a <时，()20x af x x-'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+;当0a >时，函数()f x 的递增区间为)+∞，递减区间为(.（3）对任意的[)1,x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()10f ≥，而()111ln1022f a =--=，所以0a <满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()10f ≥ 而()111ln1022f a =--=，所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在⎡⎣上是减函数，)+∞上是增函数，所以只需0f ≥即可，而()10ff <=，从而1a >不满足题意；综合①②③实数a 的取值范围为()(],00,1-∞.【点睛】方法点睛：用导数求函数的单调区间的步骤：求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数的单调递增（减）区间.求函数的单调区间是函数的必备基本功，要熟练掌握灵活运用. 22．（1）见解析；（2）1. 【分析】（1）按照0a ≤、0a >分类，结合导函数的正负即可得解；（2）转化条件为2231exx ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立，令()223,1xx ax a g x x e++-=≥-，按照4a ≥、4a <分类，结合导数确定函数()g x 的最大值即可得解. 【详解】（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()xf x a e '=-，故当ln x a <时，有()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞单调递增；当ln x a >时，有()0f x '<，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递减；所以当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减；（2）因为当1x ≥-时，()232f x a x ≤--恒成立，所以2231e xx ax a ++-≤在[)1,-+∞上恒成立，令()223,1xx ax a g x x e++-=≥-，则()()()()22313e exx x a x a x x a g x ⎡⎤-+-+--++-⎣⎦'==，①当31a -≤-即4a ≥时，()0g x '≤，()g x 在[)1,-+∞单调递减，则要使()()121g a e -=-≤，解得12a e≤+(不合题意)； ②当31a ->-即4a <时，则当()1,3x a ∈--时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当()3,x a ∈-+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；则要使()()()()233max3323631aa a a a a ag x g a e e ---+-+--=-==≤ 令31t a =->-，3a t =-，设()3,1tt h t t e +=>-，则要使()1h t ≤，因为()20etth t --'=<，所以()h t 在()1,-+∞单调递减，而()11h >，()21h <，所以整数t 的最小值为2，故整数a 的最大值为1. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及解决不等式恒成立问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.23．（1）230x e y e +-=（2）(,0]-∞ 【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()'f e ，最后根据点斜式求切线方程（2）构造函数()()2ln 1g x x a x =--，利用导数并按0a ≤，10<2a <，12a ≥进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果. 试题（1）根据题意可得，()2f e e=， ()2ln 'xf x x -=，所以()22ln 1'e f e e e -==-，即21k e =-，所以在点()(),e f e 处的切线方程为()221y x e e e-=--，即230x e y e +-=．（2）根据题意可得，()()()221ln 110a x x a x f x x x x-----=≥在1≥x 恒成立，令()()2ln 1g x x a x =--，()1x ≥，所以()12g x ax x-'=，当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递增，所以()()10g x g ≥=，所以不等式()()21a x f x x->成立，即0a ≤符合题意；当0a >时，令120ax x-=，解得x =1=，解得12a =，当10<2a <1，所以()g x '在⎛ ⎝上()0g x '>，在+⎫∞⎪⎪⎭上()0g x '<，所以函数()y g x =在⎛ ⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎪⎭上单调递减， 21111ln 1ln g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()1ln h a a a a =--+，()222111'10a a h a a a a-+=-++=>恒成立，则()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增所以()1111ln 2ln2202222h a h ⎛⎫<=--+=+-< ⎪⎝⎭，所以存在10g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以102a <<不符合题意；②当12a ≥1≤ ()0g x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递减，所以()()10g x g ≤=显然12a ≥不符合题意；综上所述，a 的取值范围为{}|0a a ≤24．（1）1a =-，1b =，证明见解析；（2）(),2e -∞-. 【分析】（1）先求出()21xf x e x =--，则()()21xg x f x x x e x =+-=--，利用导数求出()()min 00g x g ==，不等式即得证；（2）价于()f x k x>对任意的0,恒成立，令()()f x x xϕ=，0x >，求出函数()y x ϕ=的最小值即得解.【详解】（1）根据题意，函数()2xf x e x a =-+，则()2xf x e x '=-，则()01f b '==，由切线方程y bx =可得切点坐标为()0,0，将其代入()y f x =，解得1a =-，故()21xf x e x =--，则()()21xg x f x x x e x =+-=--，则()10xg x e '=-=，得0x =，当(),0x ∈-∞，0g x ，函数y g x 单调递减；当()0,x ∈+∞，0g x，函数y g x 单调递增；所以()()min 00g x g ==，所以()2f x x x ≥-+. （2）由()f x kx >对任意的当()0,x ∈+∞恒成立等价于()f x k x>对任意的0,恒成立，令()()f x x xϕ=，0x >，得()()()()()()()22222111x x xx e x e x x e x xf x f x x x x xϕ-------'-'===，由（1）可知，当()0,x ∈+∞时，10x e x -->恒成立，令()0ϕ'>x ，得1x >；()0ϕ'<x ，得01x <<，所以()y x ϕ=的单调增区间为1,，单调减区间为0,1，故()()min 12x e ϕϕ==-，所以()min 2k x e ϕ<=-. 所以实数k 的取值范围为(),2e -∞-. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 25．（1）f (x )＝x 2－2x －3；（2）1个. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)，再结合f (x )的最小值为－4即可求出a 的值，得到函数f (x )的解析式；（2）对g (x )求导可以得到g (x )的单调区间，在每个单调区间上研究函数g (x )的零点情况即可. 【详解】（1）∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.（2）由（1）知g (x )＝223x x x--－4ln x ＝x －3x －4ln x －2，∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋23x －4x＝2(1)(3)x x x --，令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋－＋g (x )极大值极小值当x >3时，g (e 5)＝e 5－53e－20－2>25－1－22＝9>0. 又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点，故g (x )仅有1个零点. 【点睛】本题主要考查二次函数和导数在研究函数中的应用. 26．（1）a e >；（2）()f x 有唯一零点；证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件即可求解；（2）结合导数可判断函数的单调性，然后结合a 的范围及函数的性质可求．【详解】解：（1）()(1)x e x af x x x-'=-，0x >，设()x g x xe a =-，()(1)0x g x x e '=+>，()g x 在R 递增，故存在0x 使得0()0g x =，当a e =时，()(1)0x e x af x x x-'=-恒成立，故()f x 单调递增无极值，a e <时，易得0x x <时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，01x x <<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x >，()0f x '>，函数单调递增，当1x =时，函数取得极小值，不满足题意；a e >时，易得1x <时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，01x x <<，时，()0f x '<，函数单调递减，当0x x >，()0f x '>，函数单调递增，1x =为极大值点综上：a e >，（2）由（1）知：①a e =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，f （2）0<，f （3）0>，()f x 有唯一零点； ②a e <时，0x 满足()0g x =，01x <，()f x 在0(0,)x 递增，在0(x ，1)递减，在(1,)+∞递增，当(0,1)x ∈时，()0f x <恒成立，当(1,)x ∈+∞时，f （1）0<，2(2)(2)(2)0a f a ae aln a a a ++=++-+>，所以23a e a +>+，有唯一零点；③a e >，()f x 在(0,1)上单调递增，0(1,)x 单调递减，0(x ，)+∞单调递增， 0()f x f <（1）0<在0(0,)x 上无零点，在0(x ，)+∞上有唯一零点；综上：0a ，()f x 有唯一零点．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值及函数零点的研究，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测(答案解析)(1)

一、选择题1．已知函数x y a =（1a >）与log ay x =（1a >）的图象有且仅有两个公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．1e 1e a <2．已知函数()322f x x ax x =--+,则“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <14．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-5．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．6．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（）A ．(1)(1,)-∞-⋃+∞，B ．(1,+)∞C ．1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞7．若直角坐标系内A ，B 两点满足：（1）点A ，B 都在()f x 图象上；（2）点A ，B 关于原点对称，则称点对()A B ，是函数()f x 的一个“和谐点对”，()A B ，与()B A ，可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩则()f x 的“和谐点对”有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<9．f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，f （x ）+x •f '（x ）＜0，且f （﹣3）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集为（） A ．（﹣3，0）∪（3，+∞） B ．（﹣3，0）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 11．已知函数(),2021,0x e x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩，若函数()()g x f x kx =-恰好有两个零点，则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．函数()21ln 2f x x x ax =+-存在与直线30x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是________.14．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，,,DBC ECA FAB 分别是以BC,CA,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB 为折痕折起,,DBC ECA FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当所得三棱锥体积（单位：3cm ）最大时，ABC 的边长为_________（cm ）.15．如图所示，ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积3()V cm 最大，则EF 的长为________cm .16．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．17．已知函数()xf x e =，()g x ex =12,x x R ∈，使得()()12f x g x m ==，则21x x -的最小值为______.18．已知函数()2221,204ln 2,0x mx m x f x x m x xe ⎧----<≤⎪=⎨+->⎪⎩在区间()2,-+∞上有且只有三个零点，则实数m 的取值范围为______.19．已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______.20．已知函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩方程2()2()0()f x mf x m R -=∈有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．三、解答题21．如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上.（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积. 22．已知函数()3213f x x ax bx ab =-+++．（1）若()f x 是奇函数，且有三个零点，求b 的取值范围；（2）若()f x 在1x =处有极大值223-，求当[]1,2x ∈-时()f x 的值域． 23．已知函数()()2ln 1f x ax x =-+()0a ≠. （1）讨论()f x 的极值点的个数；（2）当0a >时，设()f x 的极值点为0x ，若()()00121f x x >-+，求a 的取值范围.24．已经x ∈R ，（1）求证：1x e x ≥+ (其中， 2.71828e =)；（2）n N +∈，求证：1(1)n n e +≤.25．已知函数21(),()ln 2f x xg x a x ==. （1）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若[]1,e 上存在一点x ，使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围.26．一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.5立方米，为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍，保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元，为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用和保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元. （1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用和保险费用之和；（2）为使气体费用和保险费用之和最低，保护罩该如何设计？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将问题转化为()1xy a a =>的图象与y x =有两个公共点，即ln ln xa x=有两解，再构造新函数()ln xf x x=，根据()f x 的单调性和取值分析ln a 的取值即可得到结果. 【详解】因为函数()()1,log 1xa y aa y x a =>=>的图象关于直线y x =对称，所以两个图象的公共点在y x =上，所以()1xy a a =>的图象与y x =有两个公共点，即x x a =有两解，即ln ln x x a =有两解，即ln ln xa x=有两解，令()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=，当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x 大致图象如下图所示：所以()10ln a f e e<<=，所以11e a e <<，故选：A. 【点睛】结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系：已知()()()h x f x g x =-，则有()h x 的零点个数⇔方程()()f x g x =根的数目⇔函数()f x 与函数()g x 的图象的交点个数. 2．A解析：A【分析】由()f x 在()2,4上单调递增，等价于23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立，再求得114a ≤，再判断“2a ≤”与“114a ≤”的充分必要性即可. 【详解】解：若()f x 在()2,4上单调递增，则()23210f x x ax '=--≥,即23131222x a x x x-≤=-在()2,4上恒成立. 又31()22h x x x =-在()2,4上单调递增,则3111224x x ->，所以114a ≤. 故“2a ≤”是“()f x 在()2,4上单调递增”的充分不必要条件. 故选A. 【点睛】本题考查了由函数的单调性研究参数的范围，重点考查了充分必要条件，属中档题.3．D解析：D 【解析】因为f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x)<0⇒－2<x<2，所以函数f(x)＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f(x)在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以221212m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩从中解得－1≤m<1，选D.点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.4．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '，则00,12y y x x +==-，所以02y y =--，而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--，所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =，所以ln122AC k k =-=-=-；（2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=，故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．B解析：B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x x y -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.7．B解析：B 【分析】问题转化为0,()x f x ≥关于原点对称的函数与2()2f x x x =+在(,0)-∞交点的个数，先求出0,()x f x ≥关于原点对称的函数()g x ，利用导数方法求出2()2g x x x =+在(,0)-∞解的个数，即可得出结论. 【详解】设(,)(0)P x y x ≤是()(0)y f x x =≥关于原点对称函数图象上的点，则点P 关于原点的对称点为()P x y '--，在()(0)y f x x =≥上， 2,2x x y y e e--==-，设()2(0)xg x e x =-≤， “和谐点对”的个数即为()g x 与()f x 在(,0)-∞交点的个数，于是222x e x x -=+，化为2220(0)x e x x x ++=<，令2()22(0)x x e x x x ϕ=++<，下面证明方程()0x ϕ=有两解，由于20x e >，所以220x x +<，解得20x -<<，∴只要考虑(20)x ∈-，即可， ()222x x e x ϕ'=++，()x ϕ'在区间(20)-，上单调递增，而2(2)2420e ϕ-'-=-+<，1(1)20e ϕ-'-=>， ∴存在0(2,1)x ∈--使得0()0x ϕ'=，当0(2,),()0,()x x x x ϕϕ∈-'<单调递减，0(,0),()0,()x x x x ϕϕ∈'>单调递增，而2(2)20e ϕ--=>，10()(1)210x e ϕϕ-<-=-<，(0)20ϕ=>，∴函数()ϕx 在区间(21)--，，(1,0)-分别各有一个零点，即()f x 的“和谐点对”有2个. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.8．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x -=，所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．9．B解析：B 【分析】构造函数()()g x xf x =，根据条件确定()g x 奇偶性与单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】令()()g x xf x =，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，()()()0g x f x xf x ''=+<，即()g x 在(,0)-∞上单调递减，又(0)0g = 因此()g x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （﹣3）＝0，所以(3)0(3)0g g -=∴=，当(3,0)x ∈-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <-=∴<>；当(,3)x ∈-∞-时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >-=∴><；当(0,3)x ∈时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x >=∴>>；当(3,)x ∈+∞时，()(3)0()0,()0g x g xf x f x <=∴<<；综上，不等式f （x ）＞0的解集为（﹣3，0）∪（0，3）故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、利用单调性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.10．C解析：C 【解析】函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=- ，22222210cos 22a cb b ac ac B ac +-=--+≤⇒=≥()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3π．故答案为C ．11．C解析：C 【分析】求得y kx =与x y e =的图象相切时的k 值，结合图象可得结论．【详解】()()0g x f x kx =-=，()f x kx =，作出()f x 的图象，及直线y kx =，如图，∵0x ≤时，221y x x =-++是增函数，0x =时，1y =，无论k 为何值，直线y kx =与()(0)y f x x =≤都有一个交点且只有一个交点，而()g x 有两个零点，∴直线y kx =与()(0)x f x e x =>只能有一个公共点即相切．设切点为00(,)x y ，()x f x e '=，00()x f x e '=，切线方程为000()-=-xx y e e x x ，切线过原点，∴000x x ee x -=-⋅，01x =，∴(1)kf e '==，故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查函数零点个数问题，解题方法是把零点转化为直线与函数图象交点个数，再转化为求直线与函数图象相切问题．12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42xxf x x x e e =-+-的定义域为R ，又由3322()42e (42)()e x xx xf x x x x x e f x e -=-++-=--+-=-，所以()f x 是R 上的奇函数，又因为22222()342342230x x x x f x x e x e x e e'=-++≥-+⋅=≥，当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+，所以221a a ≤+，解得112a ≤≤，故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：A 【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略： 1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义. 具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.二、填空题13．【分析】原命题等价于有解再求的最小值即得解【详解】由题意得故存在切点使得所以有解因为所以（当且仅当时取等号）所以即则实数的取值范围是故答案为：【点睛】方法点睛：形如的有解问题等价于不是所以本题只要求解析：[)1,-+∞. 【分析】原命题等价于13t a t +=+有解，再求1tt +的最小值即得解. 【详解】由题意，得()1f x x a x'=+-，故存在切点()(),P t f t ，使得13t a t+-=，所以13t a t+=+有解，因为0t >，所以12t t+（当且仅当1t =时取等号），所以32a +，即1a -，则实数a 的取值范围是[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞.【点睛】方法点睛：形如()a f x =的有解问题，等价于[()]min a f x ≥，不是[()]max a f x ≥，所以本题只要求出1tt +的最小值即得解.14．【分析】连接交于点设求出构造函数利用导数研究函数的单调性从而得出时所得三棱锥体积最大时进而得解【详解】如图连接交于点连接由题意知所以所以设则三棱锥的高则三棱锥的体积令则令即解得所以当时在上单调递增；解析：43【分析】连接OD ，交BC 于点G ，设OG x =，求出23BC x =，4532510V x x =⨯-，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而得出2x =时，所得三棱锥体积最大时，进而得解. 【详解】如图，连接OD ，交BC 于点G ，连接OB ，由题意，知ODBC ，12BG BC =，30OBG ∠=︒，所以，133tan 30236OG BG BC BC =⨯︒=⨯=，所以23BC OG =，设OG x =，则23BC x =，5DG x =-，三棱锥的高()222252510h DG OG x x x =-=--=-21233332ABC S x x x =⨯⨯=△，则三棱锥的体积245113325103251033ABC V S h x x x x =⨯=⨯-=-△，令()452510f x x x =-502x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则()3410050f x x x =-′，令()0f x '=，即34100500x x -=，解得2x =，所以，当02x <<时，()0f x >′，()f x 在()0,2上单调递增；当522x <<时，()0f x <′，()f x 在52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当2x =时，()f x 取得极大值，也是最大值，此时，2343BC x ==，所以，当所得三棱锥体积最大时，ABC 的边长为43. 故答案为：43. 【点睛】本题考查三棱锥体积的计算及利用导数研究函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求极值的方法，属于中档题.15．【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积解析：10【分析】设EF x =cm ，根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式，利用导数研究体积(x)V 的最大值即可. 【详解】设EF x =cm ，则302x AE BF -== cm ，包装盒的高为22GE x = cm ，因为302x AE AH -==cm ，2A π∠=，所以包装盒的底面边长为2=(30)2HE x - cm ，所以包装盒的体积为232222()[(30)](60900)224V x x x x x x =-⋅=-+，030x <<，则22()(3120900)4V x x x '=-+，令()0V x '=解得10x =，当(0,10)x ∈时，()0V x '>，函数(x)V 单调递增；当(10,30)x ∈时，()0V x '<，函数(x)V 单调递减，所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4V x V cm ==-+=，即当10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .故答案为：10【点睛】本题考查柱体的体积，利用导数解决面积、体积最大值问题，属于中档题.16．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln xy x=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，等价于函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，对函数ln x y x =求导，得21ln xy x-'=，()0,x e ∈,0y '>，函数ln xy x=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<，函数ln xy x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e，对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e -分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.17．【分析】由可得则设即求函数的最小值求导得出单调性即可得到答案【详解】由即且所以则设函数则令得令得所以函数在上单调递减在上单调递增则函数的最小值为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查根据题目条件构解析：ln 22【分析】由()()12f x g x m ==，可得212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e -=-，设()2ln x h x x e=-，即求函数()h x 的最小值，求导得出单调性即可得到答案.【详解】由()()12f x g x m ==，即12xe ex m ==且0m >.所以212ln ,m x m x e ==,则221ln m x x m e -=- 设函数()2ln x h x x e =-,则()2212x eh x x e x ex-'=-=. 令()0h x '>，得2e x >，令()0h x '<，得02ex <<所以函数()h x在0⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. 则函数()h x的最小值为11ln 222e h e =⨯-=. 所以21x x -的最小值为ln 22故答案为：ln 22【点睛】本题考查根据题目条件构造函数，利用导数求函数的最小值，属于中档题.18．【分析】当时函数的图像是函数的图像进行上下平移而得到的求出的单调区间作出其图像可得在上函数至多有2个零点又当时则在上函数至多有1个零点根据条件所以在上有一个零点在上有2个零点则从而可得答案【详解】当解析：()22【分析】当0x >时，函数()f x 的图像是函数4ln xy x=的图像进行上下平移而得到的,求出4ln xy x=的单调区间，作出其图像，可得在()0+∞，上，函数()f x 至多有2个零点，又当20x -<≤时，()2010f m =--<，则在()20-，上，函数()f x 至多有1个零点，根据条件所以()f x 在20x -<≤上有一个零点，在()0,∞+上有2个零点，则()()()222042022210m e m f e e e m m +⎧>⎪⎪+⎪=->⎨⎪⎪--⨯--->⎪⎩，从而可得答案. 【详解】当0x >时，函数()f x 的图像是函数4ln xy x=的图像进行上下平移而得到的. 又由函数4ln x y x =有()241ln x y x-'=. 由()241ln 0x y x -'=>，得x e <，()241ln 0x y x-'=<，得x e >. 所以函数4ln xy x=在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减,图像如图.当1x >时，4ln 0xy x=>.所以在()0+∞，上，函数()f x 至多有2个零点. 当20x -<≤时，()2221f x x mx m =---，()2010f m =--<，其对称轴为x m =.此时二次方程22210x mx m ---=有两相异号的实根.所以在()20-，上，函数()f x 至多有1个零点. 因为函数()f x 在区间()2,-+∞上有且只有三个零点.所以()f x 在20x -<≤上有一个零点，在()0,∞+上有2个零点.则()()()222042022210m e m f e e e m m +⎧>⎪⎪+⎪=->⎨⎪⎪--⨯--->⎪⎩，解得:272m <故答案为：()27,2 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．【分析】求出函数的导数问题转化为和在上有2个交点根据函数的单调性求出的范围从而求出的范围即可【详解】若函数有两个极值点则和在上有2个交点时即递增时递减故（1）而恒成立所以故答案为：【点睛】本题考查了解析：2(0,)e. 【分析】求出函数的导数，问题转化为y a =和2()x xg x e=在R 上有2个交点，根据函数的单调性求出()g x 的范围，从而求出a 的范围即可．【详解】()2x f x ae x '=-，若函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则y a =和2()xxg x e =在R 上有2个交点， 22()xxg x e -'=， (,1)x ∈-∞时，即()0g x '>，()g x 递增，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 递减，故()max g x g =（1）2e=，而20x xe >恒成立，所以20a e<<，故答案为：2(0,)e．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．20．【分析】作出函数的图象结合图象可求实数的取值范围【详解】当时当时函数为增函数；当时函数为减函数；极大值为且；作出函数的图象如图方程则或由图可知时有2个解所以有五个不相等的实数根只需要即；故答案为：【解析：1(0,)2【分析】作出函数21ln ,0()log ,0xx f x xx x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，结合图象可求实数m 的取值范围. 【详解】当0x >时，2ln ()xf x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数为增函数；当1x >时，()0f x '<，函数为减函数；极大值为(1)1f =，且x →+∞，()0f x →；作出函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，如图，方程2()2()0()f x mf x m R -=∈，则()0f x =或()2f x m =，由图可知()0f x =时，有2个解，所以2()2()0f x mf x -=有五个不相等的实数根，只需要021m <<，即102m <<；故答案为：1(0,)2. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.三、解答题21．（1）取BC 为152cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2900cm ；（2）取BC 为103cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为60003π.【分析】（1）设BC x =，矩形ABCD 的面积为S ，()22229002900S x x x x =-=-，利用基本不等式求解最值；（2）设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由229002AB x r π=-=，得2900x r π-=，()231900V r h x x ππ==-，其中030x <<，利用导函数求解最值.【详解】（1）连结OC .设BC x =，矩形ABCD 的面积为S . 则22900AB x =-030x <<.所以()222900900S x x ==+-=.当且仅当22900x x =-，即x =时，S 取最大值为2900cm .所以，取BC 为时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为2900cm . （2）设圆柱底面半径为r ，高为x ，体积为V .由2AB r π==，得r π=，所以()231900V r h x x ππ==-，其中030x <<.由()2190030V x π='-=，得x =因此()31900V x x π=-在(上是增函数，在()上是减函数.所以当x =V .取BC 为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为3cm π.【点睛】此题考查函数模型的应用：（1）合理设未知数，建立函数关系，需要注意考虑定义域；（2）利用基本不等式求最值，要注意最值取得的条件；（3）利用导函数讨论函数单调性求解最值，注意自变量的取值范围. 22．（1）()0,∞+；（2）5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先由函数奇偶性，得到0a =，得出()313f x x bx =-+，对其求导，分别讨论0b ≤和0b >两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；（2）先对函数求导，根据极大值求出2,5.a b =-⎧⎨=⎩，根据函数单调性，即可求出值域.【详解】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，所以0a =，且()00f =． ∴()313f x x bx =-+， ∴()2f x x b '=-+．当0b ≤时，()20f x x b '=-+≤，此时()f x 在R 上单调递减，()f x 在R 上只有一个零点，不合题意．当0b >时，()20f x x b '=-+>，解得x <<∴()f x 在(,-∞，)+∞上单调递减，在(上单调递增，∵()f x 在R 上有三个零点，∴0f >且(0f <，即3103f=-+>，即0>，而0>恒成立，∴0b >．所以实数b 的取值范围为()0,∞+．（2）()22f x x ax b '=-++，由已知可得()1120f a b '=-++=，且()122133f a b ab =-+++=-，解得2,3,a b =⎧⎨=-⎩或2,5.a b =-⎧⎨=⎩当2a =，3b =-时，()3212363f x x x x =-+--，()243f x x x '=-+-，令()0f x '≥，即2430x x -+-≥，解得13x ≤≤，令()0f x '<，即2430x x -+-<，解得1x <或3x >，即函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减；所以1x =是()f x 的极小值点，与题意不符．当2a =-，5b =时，()32125103f x x x x =--+-，()245f x x x '=--+．令()0f x '≥，即2450x x --+≥，解得51x -≤≤；令()0f x '<，即2450x x --+<，解得5x <-或1x >，即函数()f x 在(),5-∞-上单调递减，在()5,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以1x =是()f x 的极大值点，符合题意，故2a =-，5b =．又∵[]1,2x ∈-，∴()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]1,2上单调递减．又()5013f '-=-，()2213f =-，()3223f =-．所以()f x 在[]1,2-上的值域为5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】思路点睛：导数的方法求函数零点的一般步骤：先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.23．（1）答案见解析；（2）⎛⎫⎪+∞⎪⎭. 【分析】（1）()21221211ax ax f x ax x x +-'=-=++，令()2221g x ax ax =+-，分两种情况讨论，判断方程()0g x =根的个数即可；（2）由（1）知()00g x =，即202210ax ax +-=，()20012a x x =+，先求得01x ，进而可得答案即可.【详解】（1）()21221211ax ax f x ax x x +-'=-=++，令()2221g x ax ax =+- 当0a >时，由()10g -<知，()g x 在()1,-+∞有唯一零点，故()f x 在()1,-+∞有一个极值点；当0a <时，()10g -<，()g x 的对称轴为12x =-，若方程()0g x =的0∆>，即2480a a +>，2a <-时，()g x 在()1,-+∞有两个零点，()f x 在()1,-+∞有两个极值点；若方程()0g x =的0∆≤，即2480a a +≤，20a -≤<时，()0g x ≤，()f x 在()1,-+∞上单减，无极值点.（2）由（1）知()00g x =，即2002210ax ax +-=，()20012a x x =+……（*）由0a >且010x +>得00x >，又∵()()00121f x x >-+，∴()()20001ln 121ax x x -+>-+代入（*）式，()()()00001ln 12121x x x x -+>-++，即()01ln 102x -+>解得01x <，∴001x <<，∴.()20012a x x ⎛⎫⎪=∈+∞⎪+⎭. 【点睛】求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数fx ；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查fx 在0fx的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）构造函数()1x f x e x =--，求函数的最小值大于等于零即可；（2）由（1）得1n e n ≥+，n N +∈，两边取对数得ln(1)n n ≥+，进而得11ln(1)n n ≥+，即1(1)n n e +≤. 【详解】解：（1）构造函数()1x f x e x =--，x ∈R()1x f x e =-'，令()0f x '=，则0x =当x 在R 上变化时，()f x ，()'f x 变化如下表：从而：min 则：10x e x --≥则：1x e x ≥+在R 上恒成立.（2）由（1）可得：1x e x ≥+在R 上恒成立，则n ∈+N 时，1n e n ≥+，两边取对数，有：ln(1)n n ≥+ 则：11ln(1)n n≥+ 则：11ln(1)nn ≥+，从而：1(1)n e n ≥+ 【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查化归转化思想，是中档题.25．（1）2a =-（2）21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭【分析】（1）将(),()f x g x 的解析式代入曲线()()y f x g x =-，根据导数几何意义及垂直直线的斜率关系即可求得a 的值；（2）将0x 代入导函数(),()f x g x ''，并代入不等式中化简变形，构造函数1()ln am x x a x x+=-+，求得()m x '并令()0m x '=，对a 分类讨论即可确定满足题意的a 的取值范围.【详解】（1）由21()()ln 2y f x g x x a x =-=-，得()a y x x x'=-.在2x =处的切线斜率为22a -，直线370x y +-=的斜率为13-，由垂直直线的斜率关系可知232a-=，解得2a =-. （2）21(),()ln 2f x xg x a x ==，则(),()a f x x g x x'='=，不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln ax a x x x +<-. 整理得0001ln 0ax a x x +-+<. 构造函数1()ln am x x a x x+=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <.22221(1)(1)(1)()1a a x ax a x a x m x x x x x +--+--+'=--==. 因为0x >，所以10x +>，令0mx '=（），得1x a =+. ①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增.只需()120m a =+<，解得2a <-.②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值.令(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<即11ln(1)a a a ++<+，可得11ln(1)(*)a a a++<+. 令1t a =+，即1t e <≤，不等式（*）可化为1ln 1t t t +<-：因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立. ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需1()0a m e e a e +=-+<，解得211e a >e +-. 综上所述，实数的取值范围是21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及由垂直关系求参数，导函数在解不等式中的应用，构造函数法分析函数的单调性、最值的综合应用，属于中档题.26．（1）23055元；（2）保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱【分析】（1）根据定义先求保险费用，再计算正四棱柱体积，进而求气体费用，最后求和得结果；（2）先列出气体费用和保险费用之和函数关系式，再利用导数求最值，即得结果. 【详解】（1）保险费用为24800076802.5= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=（元）；（2）设正四棱柱底面边长为a 米，则 1.2a ≥ 因此气体费用和保险费用之和23224800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a=+⨯⨯-=+- 因为2396000300002y a a a'=-+=∴= 当2a >时，0y '>，当1.22a ≤<时，0y '<，因此当2a =时，y 取最小值，保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱时，气体费用和保险费用之和最低. 【点睛】本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题.。

金新学案北师大高中数学选修检测：第三章变化率与导数 22 含答案

第三章 §2 2.1、2.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知函数y ＝f (x )在x ＝a 处可导，则lim h →a f (h )－f (a )h －a 等于( )A ．f (a )B ．f ′(a )C ．f (h )D ．f ′(h )解析：令Δx ＝h －a ，则h ＝a ＋Δx故：lim h →a f (h )－f (a )h －a ＝lim Δx →a f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝f ′(a )．答案： B2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s 解析： ∵Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋3)2Δt＝Δt 2＋5Δt Δt ＝Δt ＋5∴s ′(3)＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(Δt ＋5)＝5. 答案： C3．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在此点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116D ．⎝⎛⎭⎫12，14解析： k ＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∵倾斜角为π4，∴k ＝1.∴2x ＝1，x ＝12，y ＝14，故选D.答案： D4．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－5解析：由题意切点A (1,3)在直线y ＝kx ＋1上． ∴3＝k ＋1，得斜率k ＝2，又∵y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋a (x ＋Δx )＋b －x 3－ax －bΔx＝3x 3＋a ＝k ＝2 即3x 2＋a ＝2∴把x ＝1代入上述方程得a ＝－1，再把切点A (1,3)坐标和a ＝－1代入曲线方程得b ＝3. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数y ＝2x 2＋4x ＋1，则y ′|x ＝－1＝______，y ′|x ＝3＝______. 解析：当x ＝－1时，Δy Δx ＝2(－1＋Δx )2＋4(－1＋Δx )＋1－[2×(－1)2＋4(－1)＋1]Δx＝2Δx当Δx →0时，ΔyΔx →0，当x ＝3时，ΔyΔx ＝16＋2Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →16.答案： 0 166．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．解析： y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－1Δx＝lim Δx →0(2＋3Δx )＝2.所以直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0 答案： 2x －y ＋4＝0三、解答题(每小题10分，共20分) 7．利用导数的定义求函数y ＝1x在x ＝1处的导数．解析： Δy ＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴Δy Δx＝－11＋Δx (1＋1＋Δx ). 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于－12.∴f ′(1)＝－12.8．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解析：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x ＝x 0＝lim Δx →01x 0＋Δx －1x 0Δx ＝lim Δx →0－ΔxΔx ·(x 0＋Δx )·x 0＝limΔx →0－1x 0(x 0＋Δx )＝－1x 20.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x 20y 0＝2－x 0，再由P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x 上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1，所以直线方程为x ＋y －2＝0. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：ΔyΔx＝(x＋Δx)2＋1－(x2＋1)Δx＝2x＋Δx则y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋Δx)＝2x，设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝f′(x0)＝2x0，由点斜式可得，所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)又因为切线过(1，a)，则y0＝x20＋1，所以a－(x20＋1)＝2x0(1－x0)即x20－2x0＋a－1＝0，因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)＞0，解得a＜2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是{a|a＜2}．。