(江苏版)高考数学二轮复习 专题三 第2讲 不等式的解法与“三个二次关系” 理

第2讲 不等式的解法与“三个二次关系”

一、 填空题

1. (2013·广东卷)不等式x 2

+x-2<0的解集为 .

2. (2012·南京二模)已知集合A={x|x 2

-2x≤0},B={}|x x a ≥,若A ∪B=B,则实数a 的取值范围

是 .

3. (2013·江西卷改编)不等式x<1

x

的解集为 .

4. (2013·重庆卷改编)若关于x 的不等式x 2

-2ax-8a 2

<0(a>0)的解集为(x 1,x 2),且x 2-x 1=15,则a= .

5. (2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时,f(x)=x 2

-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 .

6. 已知函数f(x)=23-4x-10,x 2,log (x-1)-6,x 2,x ⎧+≤⎨

>⎩若f(6-a 2

)>f(5a),则实数a 的取值范围是 .

7. 对于问题“已知关于x 的不等式ax 2

+bx+c>0的解集为(-1,2),求解关于x 的不等式ax 2

-bx+c>0”,现给出如下一种方法:

解:由ax 2

+bx+c>0的解集为(-1,2),得a(-x)2

+b(-x)+c>0的解集为(-2,1),即关于x 的不等式ax 2

-bx+c>0的解集为(-2,1).

参考上述方法,若关于x 的不等式k x a ++x b x c ++<0的解集为1-1,-3⎛⎫ ⎪⎝

⎭∪1,12⎛⎫ ⎪

⎝⎭,则关于x 的不等式1kx ax ++1

1bx cx ++<0的解集为 .

8. 已知函数f(x)=

2

(1),x-1,

2(1),-11,

1

-1,x1,

x

x x

x

⎧

⎪+≤

⎪

+<<

⎨

⎪

⎪≥

⎩若f(a)>1,则实数a的取值范围是.

二、解答题

9. 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0

对一切x∈R恒成立,试确定实数a的取值范围.

10. 某校心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分;当t∈[14,40]时,曲线是函数y=log a(x-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p≥80时,听课效果最佳.

(1) 试求p=f(t)的函数关系式;

(2) 教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生听课效果最佳?请说明理由.

(第10题)

11. (2013·苏州期末)定义函数φ(x)=

1,0,

-1,0,

x

x

≥

⎧

⎨

<

⎩f(x)=x2-2x(x2-a)φ(x2-a).

(1) 解关于a的不等式f(1)≤f(0);

(2) 已知函数f(x)在x∈[0,1]的最小值为f(1),求正实数a的取值范围.

第2讲不等式的解法与“三个二次关系”

1. (-2,1)

2. (-∞,0]

3. (-∞,-1)

4. 5 2

5. (-5,0)∪(5,+∞)

6. {a|-6

7. (-3,-1)∪(1,2)

8. (-∞,-2)∪

1 -,1 2

⎛⎫ ⎪⎝⎭

9. 当a=2时,原不等式变形为-4<0,恒成立,即a=2满足条件;

当a≠2时,要使不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,

则

2

-20,

4(-2)44(a-2)0, a

a

<

⎧

⎨

∆=+⨯<⎩

化简得

2,

(2)(-2)0, a

a a

<

⎧

⎨

+<⎩

解得-2

综上所述,实数a的取值范围是{a|-2

10. (1) 当t∈(0,14]时,设p=f(t)=λ(t-12)2+82,将(14,81)代入,得λ=-1 4,此

时,p=-1

4(t-12)2+82.当t∈[14,40]时,将(14,81)代入y=log

a(x-5)+83,得a=

1

3.

综上p=f(t)=

2

1

3

1

-(t-12)82,0t14, 4

log(t-5)83,14t40.⎧

+<≤

⎪

⎨

+<≤

⎪

⎩

(2) 当t∈(0,14]时,由-1

4(t-12)2+82≥80,解得12-22≤t≤12+22,此时t∈

[12-22,14].当t∈(14,40]时,由lo

1

3

g

(t-5)+83≥80,解得14

综上所得,当p≥80时,t∈[12-22,32].

即在t∈[12-22,32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.

11. (1) f(1)≤f(0),即1-2(1-a)φ(1-a)≤0.

当a>1时,φ(1-a)=-1,所以1+2(1-a)≤0,解得a≥3 2.

当a≤1时,φ(1-a)=1,所以1-2(1-a)≤0,解得a≤1 2.

综上,a的解集为{a|≤1

2或a≥

3

2}.

(2) 由题意,∀x∈[0,1],f(x)≥f(1)恒成立. 1°当a≥1时,

由f(x)≥f(1),得x2+2x(x2-a)≥3-2a,