高中数学复习 任意角和弧度制及任意角的三角函数人教版必修4

断角α所在的象限. (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法 是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过 对集合中的参数k赋值来求得所需角.
类型二
扇形弧长,面积公式应用
解题准备:设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(弧度),半径为r,则 1 1 l=|α|²r;S扇形= lr |α|r2. 2 2 注意:这里给出的弧长､扇形面积公式是在弧度制下的,使用时 切记将圆心角用弧度来表示.
)
C.3个
D.4个
解析:根据任意角三角函数的定义知(1)正确; 2 sin sin ; 对(2),我们可举出反例 3 3 对(3),可指出 sin 0,但 不是第一､二象限的角;
2
对(4),因为α是第二象限的角,已有x<0,应是cosα= 答案:A
2
. x y2
2
x
5.若sinα<0且tanα>0,则α是( A.第一象限角

7．扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为圆心角 弧长l＝αR，即弧长等于该弧所对的圆心角的弧度数乘以半
径．扇形面积S＝ 1 l·R＝ 1 α·R2.
2 2
8．在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
：
注意：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定 相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． (2)一般地，终边相同的角或通式表达形式不唯一，如α＝ k·180°＋90°(k∈Z)与β＝k·180°－90°(k∈Z)都表示 终边在y轴上的所有角． (3)应注意整数k为奇数、偶数的讨论．
(2)在(0,π)内终边在直线
y 3x 上的角是 , 3
∴终边在直线 y 3x 上的角的集合为 +kπ,k∈Z}. {α|α= 3 2 2k 6 +2kπ(k∈Z),∴ (3)∵θ= (k∈Z). 3 7 3 7
2 2k 3 18 依题意0≤ 2 (k Z) ≤k (k Z). 7 3 7 7
5．弧度制 (1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以弧
度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符
号是rad，读作弧度． (2)一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个 负数，零角的弧度数是0.
6．度与弧度的换算关系 1 ∵周角的 为1度的角 360 1 1 即 周角＝1°， 周角＝1rad 2 360 ∴360°＝2πrad ∴180°=πrad,1°= rad,1rad＝ 180 180 °≈57°18′.
在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何 一个象限，即为象限界角(或轴线角)．
4．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}， 前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．
(2)若θ是第二பைடு நூலகம்限角,则
[分析] (1)由点P所在的象限,知道sinθ•cosθ,2cosθ的符号, 从而可求sinθ与cosθ的符号.
(2)由θ是第二象限角,可求cosθ,sin2θ的范围,进而把
cosθ,sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其 所在的象限,从而sin(cosθ),cos(sin2θ)的符号可定.
答案:B

4.有下列命题: (1)终边相同的角的同名三角函数的值相等;
(2)终边不同的角的同名三角函数的值不等;
(3)若sinα>0,则α是第一､二象限的角; (4)若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cosα=
x x2 y 2
.
其中正确的命题的个数是( A.1个 B.2个
【典例2】 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径为r. (1)若α=60°,r=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形
有最大面积?
[解] 1 设弧长为l,弓形面积为S弓, 60

3
, r 10,
10 1 10 1 2 l cm ,S弓 S扇 S 10 10 sin 3 2 3 2 3 3 50 cm2 . 3 2
若a 0, r 5a, 角在第四象限. 3 4 3 sin , cos , tan . 5 5 4
[反思感悟] (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时, 要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.
(2)熟记几组常用的勾股数组,如
(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41)等,会给我 们解题带来很多方便. (3)若角α已经给定,不论点P选择在α的终边上的什么位置,角 α的三角函数值都是确定的;另一方面,如果角α终边上一点
k 0,1, 2, 即在[0, 2 )内终边与 角的终边相同的角为 3 2 20 34 , , . 7 21 21

[反思感悟] (1)利用终边相同的角的集合 S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把
这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍,然后判
∴当扇形圆心角为2弧度时,扇形面积有最大值.
2
c 2
类型三
三角函数的定义
解题准备:(1)任意角的三角函数值,只与角的终边位置有关,而
与终边上的点的位置无关;(2)当点P的坐标中含字母时,表
达r时要注意分类讨论思想的应用.
【典例3】 已知α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα､ cosα､tanα的值.
[分析] 根据任意角三角函数的定义,应首先求出点P到原点的
距离r,由于含有参数a,要注意分类讨论.
[解]r (4a) 2 (3a) 2 5 | a | . y 3a 3 若a 0, r 5a, 角在第二象限.sin , r 5a 5 x 4a 4 y 3a 3 cos , tan . r 5a 5 x 4a 4
切线．
注意：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成 一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边
与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时
角α的正切值不存在．
考点陪练
1.已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的 角}，下列四个命题：①A＝B＝C，②AC，③CA，④
的定义：
注意：要特别注意三角函数的定义域．
10．各象限角的三角函数值和符号如图所示
三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余 弦．
11．终边相同的角的同一三角函数的值相等，即 sin(α＋k·2π)＝sinα
cos(α＋k·2π)＝cosα (其中k∈Z)
tan(α＋k·2π)＝tanα
12．三角函数线 图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正
与 角的终边相同的角. 3
6 7
[解] (1)由α是第三象限角得 3 π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z) 2 3 -2kπ<-α<-π-2kπ(k∈Z).
2
即
+2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z). 2
∴-α的终边在第二象限; 3 由π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z) 2 得2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z). ∴角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.
A∩C＝B，其中正确命题的个数为(
A．0 C．2 答案：A B．1 D．3
)
2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是(
)
A. C.

3
B. D.

3

6

6
答案:B
3 3.若扇形的面积为 , 半径为1, 则扇形的圆心角为 8 3 3 A. B. 2 4 3 3 C. D. 8 16
[解] (1)因为点P在第三象限, ∴sinθ•cosθ<0且2cosθ<0,
)
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析:∵sinα<0,∴α是第三､四象限的角或角的终边在y轴负 半轴上.又∵tanα>0,∴α是第一､三象限的角. ∴α是第三象限的角. 答案:C
类型一
角的集合表示
解题准备:(1)任意角β都可以表示成
β=α+k²360°(0°≤α<360°,k∈Z).
(2)并不是所有角都是某象限角,当角的终边落在坐标轴上时, 它就不属于任何象限. (3)相等的角终边一定相同,终边相同的角不一定相等,终边相 同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.
2

当且仅当
4

, 即 2( 2舍去)时, 扇形面积有最大值.
cl 解法二 :由已知2r l c, r (l c), 2 1 1 c l 1 S rl (cl l 2 ) l 2 2 2 4 1 c c2 l , 4 2 16 c c2 l 当l 时,Smax , 此时 2. 2 16 r c c 2 2
(4)注意“第一象限角”､“锐角”､“小于90°的角”是范
围不同的三类角,需加以区别.
【典例1】 (1)如果α是第三象限角,那么-α,2α的终边落在何 处?
(2)写出终边在直线 y 3x
(3)若角θ的终边与
上的角的集合;
角的终边相同,求在[0,2π)内终边