空间几何体求解中的误区警示
总结初中几何中的常见解题错误
总结初中几何中的常见解题错误初中几何学是数学中的一个重要分支，其涉及的知识点和解题方法对于学生来说常常是具有挑战性的。
然而，初中生在解决几何问题时经常会犯一些常见的错误。
本文将总结初中几何中的常见解题错误，帮助学生们避免这些错误，提高解题的准确性和效率。
一、理解题意错误理解题意错误是初中生在解几何题中最为常见的错误之一。
学生们在读题时可能会不仔细，导致对问题的要求和限制条件理解有误。
例如，当题目要求求解一个三角形的周长时，有的学生往往会错误地计算出三角形的面积。
这种错误的原因通常是对题目的理解不够准确或者偷懒没有认真阅读。
解决这类错误需要学生们提高阅读理解能力，并在解题中特别注重理解问题的要求。
学生们可以通过多读题、多归纳题目中的关键词，逐渐提高解题时对题意的准确理解。
二、图形勾画错误图形勾画是解几何题的关键步骤之一，但初中生在这一环节上也容易出现错误。
学生们可能会在勾画图形时不准确地绘制出各个元素的位置和属性，导致后续计算和推理出现偏差。
例如，在题目要求勾画一个等边三角形时，有的学生会错误地画出一个等腰三角形，从而影响了后续的计算。
学生们可以通过多多联系，提高对不同图形的勾画准确性。
在勾画图形时，可以借助直尺、量角器等工具，确保各个元素的位置和属性都符合题目要求。
三、问题分析错误问题分析错误是初中生在解几何题中常见的错误之一。
学生们可能会在解题过程中忽略一些重要的条件或者加入一些没有必要的条件，导致问题的分析错误。
例如，在解决一个相似三角形题目时，学生们可能会错误地认为两个角相等就可以得出两个三角形相似的结论，而忽略了对应的边比例相等的条件。
为了避免这类错误，学生们需要仔细分析题目中给出的条件，并根据几何学的基本原理进行思考和推理。
学生们可以通过练习各种类型的题目，加深对问题分析的理解和掌握。
四、计算过程错误计算过程错误是初中生在解几何题中较为常见的错误。
在进行计算时，学生们可能会出现数值计算、代数计算或者计算顺序错误的情况。
四年级几何学习中常见的错误有哪些
四年级几何学习中常见的错误有哪些在四年级的数学学习中，几何部分是一个重要的组成部分。
然而，学生们在学习几何的过程中，常常会出现一些错误。
下面我们就来详细探讨一下这些常见的错误。
一、对基本概念理解不清1、角的概念学生在认识角的时候，容易出现混淆角的大小和边的长短关系的错误。
他们可能会认为角的边越长，角就越大。
实际上，角的大小与边的长短无关，而是与两条边张开的程度有关。
2、直线、射线和线段的概念部分学生不能准确区分直线、射线和线段。
例如，认为直线和射线有长度，或者把线段两端无限延长后就变成了直线理解有误。
3、平行和垂直的概念对于平行和垂直的定义，有些学生理解不透彻。
比如，在判断两条直线是否平行时，只看表面是否相交，而没有考虑在同一平面内无限延长后是否相交；在判断垂直时，没有注意两条直线相交是否成直角。
二、测量和画图中的错误1、测量角度使用量角器测量角度时，可能会出现读错刻度的情况。
有的学生没有把量角器的中心与角的顶点重合，或者没有把量角器的 0 刻度线与角的一条边重合，导致测量结果错误。
2、画垂线和平行线画垂线时，没有保证三角尺的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边经过已知点；画平行线时，没有正确使用直尺和三角尺，或者没有做到平移三角尺时保持直尺不动，从而画出的平行线不平行。
3、图形的周长和面积计算在计算长方形、正方形等图形的周长和面积时，容易混淆公式。
比如，计算长方形的周长时，用长乘以宽；计算正方形的面积时，用边长乘以 4 。
还有的学生在计算组合图形的周长和面积时，没有正确地进行分割或添补，导致计算错误。
三、空间想象能力不足1、观察物体从不同的角度观察物体时，学生难以想象出物体的形状，不能准确判断看到的图形是从哪个方向观察得到的。
2、图形的折叠和展开对于一些立体图形的折叠和展开，学生空间想象能力不够，无法正确判断哪些面相对，哪些面相邻。
3、图形的旋转和平移在图形的旋转和平移过程中，学生不能准确把握图形的运动方向和距离，导致画出的图形位置或形状错误。
立体几何中的典型错误及错因剖析
立体几何中的典型错误及错因剖析作者：殷高荣来源：《中学课程辅导·高考版》2017年第12期立体几何重点培养同学们的空间想象能力，高考中重点考查空间点、线、面的位置关系及空间几何体的表面积和体积.但不少同学常因概念不清晰，平行与垂直关系的判定和性质定理理解出现偏差等等导致概念辨析题出现错误，证明题条件不全面导致格式不规范等.故在高三复习中，要在这些易错点上，强化正误辨析意识，加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在从剖析立体几何的常见错误出发，给同学们指引方向，养成良好的解题习惯.易错点一：概念不清导致错解例1给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.则以上命题正确的是（填序号）.错解：①②③错因分析：不理解确定一个平面的依据，思考问题时还停留在平面图形中，空间想象能力不够.①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因為此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.故④错误.正解：①例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，给出以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为（填序号）.错解：①②③④错因分析：没有掌握空间几何体中两条直线位置关系的判断方法.其中异面直线的判定可以通过其判定定理，相交直线必须有一个公共点.A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B 中，但C平面AD1C1B，C1AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N平面MBB1，BMB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确.正解：③④易错点二：定义理解不清导致错解例3若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是.错解：b与α相交或b∥α错因分析：直线与平面的位置关系的定义理解不清，在判断时最易忽视“线在面内”.直线b 与平面α的位置关系还有bα.所以b与α相交或bα或b∥α都可以.正解：b与α相交或bα或b∥α例4已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面.其中正确的是（填序号）.错解：③④错因分析：没有真正理解线面平行、线面垂直的定义、判定定理和性质定理.对于①，α，β可能相交，故错误；对于②，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；对于③，若mα，α∩β=n，m∥n，则m∥β，故错误；对于④，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故④正确.正解：④总之，判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理.要善于结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断.特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.易错点三：忽视判定定理中的条件导致解题格式不规范例5在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.（1）求证：AP∥平面BEF；（2）求证：GH∥平面PAD.错解：证明：（1）连接EC，∵AD∥BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴BC平行且等于AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，∴AP∥平面BEF.（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.错因分析：在第（1）问解题过程中的漏掉“FO平面BEF，AP平面BEF，”，缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完整.在第（2）问解题过程中直接从两相交直线平行证得两平面平行，跳步严重.正解：证明：（1）连接EC，∵AD∥BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴BC平行且等于AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，又FO平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF.（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又PD平面PAD，FH平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又∵AD平面PAD，OH平面PAD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.总之，判断或证明线面平行的常用方法有：①利用反证法（线面平行的定义）；②利用线面平行的判定定理（aα，bα，a∥ba∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，aαa∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，aβ，a∥αa∥β）.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.其中需要特别注意的是：在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交.运用性质定理，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.易错点四：空间几何体中一些结论直接应用导致解题不规范例6如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E.求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1.错解：（1）连接A1B，则点D为A1B的中点，又知AB1的中点为D，故DE∥A1C1；又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.错因分析：在第（1）问解题过程中直接得到点D为A1B的中点，这是不规范的.要先利用三棱柱的性质证明得到其侧面是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分得到点D 为A1B的中点.解题时可以避开这个易错点.正解：证明：（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.易错点五：盲目地套用性质定理导致错解例7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点.（1）求证：直线AE⊥直线DA1；（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.错解：在平面ABCD内，过点D在平面ABCD内作平面AEH的垂线DF.错因分析：不能说作平面的垂线，在一个平面内作另一个平面的垂线，若两个平面不垂直，则不能作出，若两个平面垂直，只需作交线的垂线即可.正解：（1）连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1=A，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.（2）所示G点即为A1点，证明如下：由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D=D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.總之，（1）证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥αb⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥βa⊥β）；④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β=a，l⊥a，lβl⊥α）.（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.（作者：殷高荣，如皋市教育局教研室）。
立体几何解答题存在的常见问题
缺乏对问题的多角度分析
01
在立体几何解答题中，学生往往只从一个角度思考问题，导致
解题思路受限。
缺乏对问题本质的深入理解
02
学生未能深入理解题目的本质，无法从多个角度挖掘问题的关
键信息。
缺乏对问题解法的探索
03
学生未能积极探索多种解法，限制了解题思路的拓展。
无法灵活运用多种方法解题
1 2
缺乏对多种解法的掌握
VS
详细描述
空间距离和角度的计算是立体几何中的基 本问题，需要学生掌握一定的数学技巧和 公式。然而，由于对公式的不熟悉或者计 算能力的欠缺，学生往往无法得出正确的 结果。
无法正确求解立体几何中的最值问题
总结词
求解立体几何中的最值问题需要学生具备较高的数学思维和计算能力，但很多学生在这 方面存在困难。
详细描述
最值问题在立体几何中是非常常见的问题类型，涉及到面积、体积、距离等方面的最优 化求解。由于需要综合考虑几何形状、约束条件和目标函数，所以对学生的数学思维和 计算能力要求较高。很多学生往往无法全面考虑问题，导致求解错误或者无法得出答案。
无法正确运用向量和坐标进行计算
总结词
详细描述
向量和坐标是解决立体几何问题的重要工具， 但学生在运用时常常出现错误。
详细描述
学生在推理过程中，常常因为对逻辑关系的把握不够准确，导致推理出现错误或混乱，从而影响了解 题的正确性。这种问题往往出现在较为复杂的题目中，对学生的逻辑思维能力和问题解决能力提出了 较高的要求。
03
计算能力的欠缺
无法正确计算空间距离和角度
总结词
在立体几何解答题中，学生常常因为缺 乏计算能力而无法正确计算空间距离和 角度。
缺乏对数学知识的综合运用能力
立体几何问题中的易错点剖析
解题篇易错题归类剖析高考数学2020年12月申w昴错氯剖橋■浙江省湖州市菱湖中学吴凯立体几何是高中数学重要内容之一，高实线，看不见的棱要画成虚线，因此，我们在考常考题型有三视图、线面位置关系的证明与判断、空间角的计算、动态问题、翻折问题看三视图时一定要看清楚虚实线$易错点2——混淆了三视图中长度的真等，其主要考查同学们的空间思维能力和逻正意义辑推理能力，有时一些角度和距离问题也可以用空间向量来解决，较多问题属于基础题,难度适中$同学们在复习过程中会因认知受限，容易出现错解，本文对立体几何中的易错问题归类剖析，以助同学们解题时能乘风破浪，所向披靡。
易错点1——忽视了三视图中的虛线!!若一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为W-l^+<-l->1正视图侧视图何体的三视图如图4所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则该几何体的最短棱长为_____，最长棱长为_____$错解：最短棱为2；最长棱长为22$!2已知某几/2V2</2正视图侧视图俯视图图4)$A.2B.—62C.1D.—俯视图'图1错解：A或B或C$错因剖析：根据俯视图是一个梯形，误以为底面是一个四边形，忽视俯视图中虚线的存在，就认为该几何体是一个四棱锥，如图2,此时体积V—11s^ABCD*$C—1-1（1+图22)•1•2=1,错选C。
正解：该几何体是一个斜三棱锥（如图3）,其底面是一个三角形（△A BD'，俯视图中的虚线在本题中起到了至关重要的作用，它代表着底部的一条棱，故体积V——S△ABD*图-112$C=——•2•1•2—百。
故选D。
点睛：在三视图中，规定看得见的棱画成错因剖析：将正视图和侧视图中的2当作了底面边长，实际上，正视图中的2指的是OA和OC的长，侧视图中的2指的是OB和OD的长$正解：根据二视图画出其直观图，该几何体是一个四棱锥（如图5）,通过计算，易知最短棱$D及底面边长均为2,最长棱为$B=23$B点睛：三视图中的线段长并不能简单地认为就是棱的实际长度，当棱平行于所视方向时，看到的只是一个点，当棱斜对所视方向时，看到的长度小于实际长度，只有当棱垂直所视方向时,它代表的才是实际长度$易错点-——无法判断翻折问题中角度的大小变化!#如图6,在矩形ABCD中，AB—4,AD—3,E为边AD上的一点,DE=1,现将A ABE沿直图6线BE折成W BE,使得点A'在平面24解题篇易错题归类剖析LLL L理高考数学2020年12月L工L丿BCDE上的射影在四边形BCDE内(不含边界'设二面角A-BE-C的大小为9,直线ABAC与平面BCDE成的角分别为a$,则('A*$*a*9B*$*9*aC.a*9*$D.a*$*9错解：A或B或C$错因剖析：翻折前后，对于长度、角度及相互的位置关系是否发生变化不能准确判断，尤其是线面角、二面角的大小就更加难于辨别正解：如图7所示，在矩形ABCD中，过A作A2丄BE于点O,将(ABE沿直线BE折成(ABE,则点A'在平面图7BCDE内的射影C在线段02上，设A'到平面BCDE上的距离为「则A (DAP)(CBP,所以而h=A，O,由线面角、二面角的定义得Ah9=oo,h h@玄口a—o—，如门$—o C°结合题目条件易知O'O*O'B,O'O* O'C,所以tan9最大，即9最大，当O'与O重h h h 合时，(tm a)max=，(@9$)m9=OC，因为0—h*0C，所以(@9a)max*(@9$'9，则@9a* @9$，所以a*$,所以a*$*9$故选D$点睛:在判断空间角度大小的时候，由角度的正切值可以知道，在高一样的条件下，角度的大小等价于考虑射影的长短，射影越短而角度越大$易错点4—未能将空间问题-平面化"!$如图8,已知平面a丄$,1$=l A^B是直线l上的两点C.D是平面$内的两点，且DA丄lCB丄lAD=3,图8 AB—6,CB=6,P是平面a上的一动点，且直线PD PC与平面a所成角相等，则二面角P-BC-D的余弦值的最小值是() A-//b//1C2D1错解：A或B或D$错因剖析：本题综合性较强，条件多且复杂，难度大，要求考生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力，尤其是在“过动点P形成的两条直线与平面a所成角相等”这个问题上需要合理的等价转化，得到PB—2PA的数量关系，进一步获得动点$的轨迹，最后通过数形结合找到结论所处的临界位置获得答案。
总结初中几何中的常见错误总结
总结初中几何中的常见错误总结初中几何是数学学科中的一门重要课程，涉及到平面几何和立体几何的基本概念、性质以及图形的推理和证明等等内容。
然而，由于初中生对于几何知识的理解和运用能力较弱，常会出现一些常见错误。
下面将对初中几何中的常见错误进行总结和分析。
1. 实际问题与几何图形的对应错误在解决与几何相关的实际问题时，学生常常将问题中的物理实体和几何图形之间的对应关系弄混。
例如，当问题描述到角度时，学生会将角度定义为物体的形状，而不是两条线之间的夹角。
这种错误通常会导致后面解题过程中出现混乱，进而影响到最终答案的正确性。
2. 变量设定的错误在解决几何问题的过程中，变量的设定是十分重要的一步。
然而，学生常常在设定变量时犯下错误。
例如，在证明两个几何图形相等时，学生会不恰当地将两个图形的边长设为相等的变量，而不是两个图形的对应边。
这样的设定错误会导致后续的证明过程出现错误，使得结论无法得到正确的证明。
3. 概念和定义的混淆初中几何中有许多重要的概念和定义，如角、直线、平行线等。
然而，学生往往会将这些概念和定义的含义弄混，导致在应用时出现错误。
例如，学生可能会将直线和线段的概念混淆，导致在题目中将线段误认为直线，从而得出错误的结论。
4. 图形的属性和性质的混淆初中几何中，图形的属性和性质是重要的基础知识。
然而，学生常常将图形的属性和性质混淆。
例如，在求解平行四边形的性质时，学生会将平行四边形的定义与其性质混淆，从而导致得出错误的结论。
正确理解和运用图形的属性和性质，是解决几何问题的重要基础。
5. 推理和证明的错误初中几何中，推理和证明是解决问题的重要方法。
然而，学生在进行推理和证明时常常出现错误。
例如，在证明两个三角形相似时，学生可能只根据边的比例关系来判断，而忽略了必要的角度相等条件。
这样的错误推理和证明会导致结论的错误，影响到问题的解决。
在总结和分析初中几何中的常见错误时，我们可以发现，这些错误大多源自于对几何知识的理解不深、记忆不牢固以及对问题的细节没有仔细思考等原因。
解立体几何题常见错误剖析
案例展示新课程NEW CURRICULUM学生在解答立体几何问题中暴露的诸多薄弱环节，突出表现为空间想象能力较差，空间概念模糊，从而导致计算、论证等方面的错误.本文根据平时常见错误加以剖析，仅供参考。
一、概念不清例1.一个正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 的棱长为a 。
（1）过它的上底两邻边A 1D 1、D 1C 1的中点E 1、F 1和下底的中心O 作一个截面，求这个截面的面积；（2）求E 1与BB 1的距离。
D 1A 1B 1C 1F 1E 1D ABCO 图1错解：（1）所求截面面积为△E 1F 1的面积。
（2）E1与BB 1中点连线的长，即为E 1与BB 1的距离。
诊断：（1）错因在于对平面这个基本性质未透彻理解。
根据公理1、2，过E 1、F 1、O 三点的平面与正方体的交线分别为E 1F 1、F 1C 和AE 1，所以梯形E 1F 1CA 才是所求截面。
（2）对点到直线的距离概念的理解不确切、不深刻所致。
实质上，E 1与B 1的连线的长，即为E 1与BB 1的距离。
改正：略。
二、直观图画错例2.求半径为R 的球内接正方体的体积。
错解：如图2，设正方体棱长为x ，则x 2+x 2=（2R ）2，∴x =2√2R .故V正方形=x 3=2√2R()3=2√4R 3。
xR OxxxxOR 图2图3图4诊断：本题需根据题意正确的建立所需的直观图，学生在作轴截面图形时，未想到：如果轴截面也是正方体的对角面，则内接的并非是正方形而应是长方形（对角线长为R 2-x 24√）不内接于圆，如图4。
改正：略。
三、空间图形处理错误例3.如图5，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，设A 与B 重合后的点为P ，则平面PCD 与平面ECD 所成的二面角为（）度。
（1993年全国高考理科23题）错解：∵PE ⊥PC ，∠PCE 就是所求二面角的平面角α。
小学空间与图形几何教学中实验常见失误及对策
王玉 霞
再如 教学“ 圆锥 的体积 时， 让 学生分 中。 有 的学 生在把 米 装入 时， 用手 使 劲压 实， 也有的学 生反复摇晃 圆锥使 它能多装
一
公式等 ， 就达 到了实验教学 的 目的。有的 力。 不惜 违背 实 事求 是 的科 学态度 ， 人为 的选 择数 据 。比如 教 学 “ 三 角形的 内角
小学空间与图形几何教学中实验常见失误及对策
习水 东皇镇 第 三 小学
几何 初步 知识 是 空间与 图形 教学 中 最重要 的内容。 科 学有效的实验不仅能帮 助学生探 索几何形体 的特 征 、 寻找有关计 算公式的重要方法 。 也是 发展 学生的空间 观念、 培养学 生动手实践 能力和实事求是
３ ， 实验过 程过于粗糙 ． 实验结论让学
生怀疑。 几何实验虽 然不像 实验 室那样有 严格 的实验条 件 、 程序 ， 但 是实验 过程也
省略 了这样 一个思 考 、 推理 的过程 ． 或者
说是这个过 程处理得过于轻描淡 写 ， 使得 实验教学有 虎头 蛇尾 的感 觉。 针对这些 失误 ． 结合小学几何实验 的 教 学特 点 ， 笔者提 出以下 五种主要对策 。 【 １ ） 精心创 设 问题情 境 ． 引导 学生 经 历 知识 、 方法的发生过程 。问题情境 起的 是 这样一种作 用 ， 它把学生已知 的和要探
是１ ８ ０度得 数据 。 结果虽然看上去能顺利
１ 。 重视 “ 怎样做 ” ， 忽 视 了“ 为什么要 推导 出“ 三角形 的内角和是 １ ８ ０ 度 ， 但是 这样做 实验 ” 。 通常情况下 ， 教师十分 强调 其 缺陷也是 显而 易见 的。
怎样做 实验 ， 如让 学生把平行 四边形 沿着 高剪开 再拼成一个长 方形 ， 把 圆柱 的侧面 沿高剪开再展开成长 方形 ， 把空 圆锥盛满
空间几何体教学过程中学生的典型困惑
如果 真是这 样 ， 那 么在 正 视 图和 侧 视 图 中都 应 该体现 两条 虚线 用来表 示截 去的 圆柱 的母线 。
十二 面体是 指 凸十二 面体 。 ７ 、 由五 种 正多 面体 ： 正 四面体 、 正 六面 体 、 正 八 面体 、 正十 二面体 和 正 二 十面 体 ， 陈挺 同学 提 出 ， 在
语 言表 述 。
一
５ 、 由“ 球 的结 构特 征” ， 肖晶晶 同学提 出 ， 球挖 掉
个 圆锥后 还是 封 闭的几 何体 吗？ 首先 ， “ 球 挖掉一 个 圆锥 ” 实 际上 指 的 是 球 挖 掉
一
２ 、 针对 “ 棱 柱的 结 构 特征 ” 中 的 六棱 柱 ， 侧 棱 有 ６条 ， 陈臻 中同学 提 出， 可 以说棱有 １ ８条 吗 ？ 可 以。把六 棱 柱视 为多 面 体 ， 相 邻 两面 的 公 共 边 叫做 多面 体 的棱 ， 侧 棱是 棱 的概念 的 内涵 。 棱是 侧 棱 的概 念 的外 延， 侧棱 是指 相邻 侧面 的公共 边 。 ３ 、 针对 “ 棱柱 的 结构 特 征 ” 中 的概 念 “ 棱 锥 的 顶
点” ， 陈志 卿 同学提 出 ， 棱 锥底 面 的顶 点 是 否也 可 以 叫做棱 锥 的顶 点？
个 圆锥 连带 与 圆锥 同底 的球 缺 。照这 样截 取后 留
下 的部分 还是封 闭 的几何 体 。因为 球体 是 由半 圆面
绕其 直径 旋 转 一 周 形 成 的旋 转 体பைடு நூலகம்， 所 以球 体 是 “ 实
正三 棱锥 的一 面往 外再 引一 个正 三 棱 锥， 不也 是 一
个 正六面 体吗 ？
１ ０ 、 “ 空 间几 何体 的三 视 图和 直观 图” 中的 习题
“空间向量与立体几何”学习中常见错误及纠错对策
“空间向量与立体几何”学习中常见错误及纠错对策作者：王吉瑞来源：《速读·中旬》2017年第02期我是滨州市沾化区第一中学高三学生，数学成绩在高中生中估计应属于较好的。
我在学习“空间向量与立体几何”时，深感由于没有掌握正确方法，基础性的知识也会难学。
在这里，我把自己遇到的有关错误做些分析，希望能帮助同样进行立体几何学习的同学减少错误，迅速准确地掌握好这部分学习内容。
一、“空间向量与立体几何”解题的常见错误（一）概念错误在“空间向量与立体几何”的学习中，有关空间向量概念的常见错误有两种：第一种是理解错误，第二种是概念混淆。
第一种错误主要源自忽略了某种定义条件或者对概念的认知模糊。
例如，我们往往会将二面角当作一个平面内直线和交线相互垂直的角，有时在理解两向量平行这一概念时完全忽略了成立条件。
第二种错误则源自对概念理解的肤浅，常见错误包括混淆向量相关的加法运算和数量积坐标运算；混淆向量和线段的概念等。
（二）运算错误虽然在进行空间向量坐标的基础运算时基本不会产生错误，尤其是在点坐标已知的情况下，向量坐标会比较容易计算，但是如果题目的综合性增强，关系的复杂程度上升，错误率就会直线提高。
值得注意的是，向量坐标计算在这类题目中往往属于前置问题，是后续问题的运算基础，所以一旦该计算出现错误，后面的解题步骤即使正确也无法得分。
（三）表述错误表述错误主要出现于“空间向量与立体几何”学习的初期阶段，在这期间，容易因固有观念尚未扭转、对基础定义的记忆不到位等因素而使用一些错误的向量表述语言。
常见的错误包括把向量a误表述为实数a；把向量的模误表述成向量本身等。
值得注意的是，该错误虽然在后期的考试、测验中出现率明显变低，但笔者发现在自行进行习题训练时反而会有较高的出现率，这与平时对表述习惯的不重视有一定的关系。
在日常练习时，明知道表述方法有问题，但只要不是考试解题就只求把题目解出来，不去关心表述方式有无问题，这种状况长期持续下去对解题习惯的养成有害。
四年级几何学习中常见误区有哪些
四年级几何学习中常见误区有哪些对于四年级的学生来说，几何学习是数学学习中的一个重要部分，但在这个过程中，他们往往会陷入一些常见的误区。
误区一：对图形的概念理解不清晰在学习几何图形时，比如三角形、四边形等，学生可能只是记住了图形的名称，而没有真正理解其定义和特征。
例如，对于三角形，学生可能知道它有三条边，但不明白三条边需要满足怎样的条件才能构成一个三角形，即任意两边之和大于第三边。
对于四边形，可能不清楚平行四边形、长方形、正方形和梯形之间的关系和区别。
误区二：忽略图形的属性和特征学生在观察图形时，有时会只看到图形的大致形状，而忽略了其重要的属性和特征。
比如在判断一个四边形是否是平行四边形时，只关注对边是否平行，而忘记了对边是否相等这个关键特征。
在计算图形的周长和面积时，也容易忽略单位的统一，导致计算错误。
误区三：空间想象力不足几何学习需要一定的空间想象力，而四年级的学生在这方面往往还比较薄弱。
例如，在学习从不同角度观察物体时，学生可能无法准确地想象出物体在不同视角下的形状。
在解决组合图形的问题时，也难以将复杂的图形分解或组合成简单的基本图形，从而无法正确计算其面积或周长。
误区四：作图不规范作图是几何学习中的重要技能，但学生在作图时常常出现不规范的情况。
比如画直线不直、画角的度数不准确、画垂线和平行线时没有使用工具等。
不规范的作图不仅会影响解题的准确性，还可能导致对图形的理解出现偏差。
误区五：周长和面积的概念混淆周长和面积是两个完全不同的概念，但学生很容易将它们弄混。
周长是指图形一周的长度，而面积是指图形所围成的面的大小。
在计算和应用中，学生可能会把求周长的问题当作求面积来解决，或者反之。
误区六：对几何公式的死记硬背许多学生在学习几何公式时，只是机械地记住公式，而不理解其推导过程和适用条件。
例如，在计算三角形面积时，知道公式是“底×高÷2”，但当遇到底和高不是直接给出的情况时，就不知道如何运用公式进行求解。
立体几何解答题注意事项
立体几何解答题注意事项《立体几何解答题注意事项：那些你不可不知的“几何小秘密”立体几何解答题，就像是一场在三维空间里的探险，充满了刺激，也处处是陷阱呢！且听我一一道来那些要注意的事儿。
一、读题要细，切莫想当然读题的时候一定要瞪大眼睛，像侦探寻找线索一样。
有时候出题老师就爱给咱们挖坑，那些看似不起眼的小条件，可能就是解题的关键。
比如说一个小小的字眼“正三棱柱”，这里面包含的信息可多了：侧面是矩形，底面是正三角形呢。
可别只看一眼，心里就想着“哦，棱柱嘛，我知道”，然后就按照自己想的去做，最后得出个南辕北辙的答案，那可就只能对着卷子干瞪眼啦。
二、空间想象，动起来的“脑内小剧场”立体几何，关键就在这个“立体”上。
这就需要我们发挥超强的空间想象力。
你可以把那些几何图形想象成是生活中的东西，正方体像个魔方，三棱锥像个金字塔。
要是空间感不太好咋办呢？那就动手画呀！多画几个不同角度的视图，从正面看、侧面看、俯视，就像给这个几何图形来了一场360度无死角的写真拍摄。
慢慢地，你就会发现这个图形在你脑袋里越来越清晰了。
而且，要能把平面图形和空间图形自由切换，比如展开图和立体图形之间的关系，看那展开图的时候就能想象到它折起来之后的模样。
三、定理不能错用、乱用各种立体几何的定理就像我们的武器库里的兵器，一定要熟得不能再熟，而且得清楚什么时候用哪一个。
比如说线面平行的判定定理是如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
可别张冠李戴，把别的定理的条件凑在一起就说线面平行了。
也不要在证明的时候瞎编定理，“自创”定理可是不会得分的哦。
这时候就像是一个厨师做菜，各种调料（定理）得按正确的配方（条件）来，不然做出来的就是黑暗料理（错误答案）了。
四、计算别怕烦，细致最关键立体几何中的计算，特别是涉及到一些角度、长度的计算，那可是容不得一点马虎。
有时候一个符号错了，那整个结果就完蛋了。
比如说求异面直线所成角的时候，利用余弦定理计算，首先要准确找出三角形的三边长度，这个过程中坐标向量都要算准确。
七年级几何知识学习中常见的误区有哪些
七年级几何知识学习中常见的误区有哪些对于七年级的学生来说，几何知识的学习是数学学习中的一个重要环节。
然而，在这个过程中，学生们常常会陷入一些误区，影响对几何知识的理解和掌握。
下面，我们就来探讨一下七年级几何知识学习中常见的误区。
一、概念理解不清几何中有很多基础概念，如点、线、面、角、三角形、四边形等。
学生们在学习这些概念时，往往只是死记硬背，而没有真正理解其内涵和本质。
例如，对于角的概念，有的学生只知道角是由两条射线组成，但不明白角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。
再比如，对于三角形的稳定性，一些学生不清楚为什么三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。
二、识图能力不足识图是几何学习的重要技能之一，但很多七年级学生在这方面存在困难。
他们不能准确地识别图形中的各种元素，如边、角、顶点等，也不能根据已知条件画出正确的图形。
例如，在学习三角形全等时，需要根据已知条件画出对应的三角形，如果识图能力不足，就很容易出现错误。
三、定理和性质运用不当几何中有很多定理和性质，如平行线的性质、三角形内角和定理等。
学生们在运用这些定理和性质时，经常会出现张冠李戴、条件不全等问题。
比如，在证明三角形全等时，没有正确使用对应的全等条件；在运用平行线的性质时，没有注意前提条件是两条平行线被第三条直线所截。
四、证明过程不规范几何证明是七年级几何学习的重点和难点，而很多学生在证明过程中存在不规范的情况。
比如，证明步骤不完整，逻辑不严密，没有清晰地写出因为、所以的推理过程；或者在证明过程中随意添加条件，导致证明错误。
五、缺乏空间想象力几何知识往往涉及到空间图形，需要学生具备一定的空间想象力。
但不少七年级学生在这方面较为薄弱，无法在脑海中构建出立体图形的形状和结构。
例如，在学习正方体、长方体的展开图时，难以想象出不同的展开方式。
六、忽略隐含条件在几何题目中，常常会存在一些隐含条件，学生们如果不仔细分析，很容易忽略。
比如，在一个三角形中，已知两条边的长度，求第三边的取值范围，就需要考虑三角形三边关系的隐含条件。
四年级几何学习中应该注意哪些常见误区
四年级几何学习中应该注意哪些常见误区在小学四年级的数学学习中，几何部分是一个重要的知识板块。
然而，同学们在学习几何的过程中，常常会陷入一些常见的误区，这些误区可能会影响他们对几何知识的理解和掌握。
下面我们就来详细探讨一下四年级几何学习中应该注意的常见误区。
一、概念理解不清1、对图形的定义模糊比如，在学习平行四边形时，有的同学可能只记住了平行四边形的形状，却没有真正理解“两组对边分别平行”这个关键定义。
这就导致在判断一个图形是否为平行四边形时，容易出现错误。
2、混淆相似图形的概念例如，正方形和长方形，它们都属于四边形，但各自的特征有所不同。
有些同学可能会把正方形的特征套用到长方形上，或者反之，从而产生概念混淆。
二、忽略图形的性质和特征1、不重视角的性质在学习角的度量和分类时，部分同学可能只关注角度的大小，而忽略了角的一些重要性质，如直角的度数是固定的 90 度，平角是 180 度等。
2、忽视图形的对称性对于一些具有对称性的图形，如等腰三角形、长方形等，同学们可能没有充分认识到对称轴的作用和图形在对称轴两侧的对应关系。
三、计算错误1、周长和面积的计算混淆在计算图形的周长和面积时，容易将两者的计算公式搞混。
例如，计算长方形的周长时用了面积的公式，或者计算面积时用了周长的公式。
2、单位换算出错在涉及到长度、面积单位的换算时，比如将米和厘米、平方米和平方厘米之间的换算弄错，从而导致计算结果错误。
四、空间想象力不足1、难以从平面图形想象立体图形当从平面图形过渡到立体图形的学习时，如长方体、正方体，一些同学难以在脑海中构建出相应的立体形象，从而影响对立体图形的表面积和体积等知识的理解。
2、无法准确判断图形的位置和方向在学习图形的平移、旋转等变换时，不能准确判断图形移动后的位置和方向，导致解题错误。
五、缺乏作图能力1、作图不规范在画几何图形时，比如画垂线、平行线，没有使用直尺、三角板等工具，导致线条不直、角度不准确。
四年级学生几何学习中常见的错误有哪些
四年级学生几何学习中常见的错误有哪些在四年级的数学学习中，几何部分是一个重要的组成部分。
然而，学生在学习几何知识的过程中，常常会出现一些错误。
了解这些常见错误，有助于教师和家长更好地指导学生，帮助他们提高几何学习的效果。
一、概念理解不清1、对图形的定义和特征混淆例如，学生可能会把平行四边形和梯形的定义弄混，认为只要有一组对边平行的四边形就是平行四边形，而忽略了平行四边形是两组对边分别平行。
2、周长和面积的概念混淆周长是指封闭图形一周的长度，而面积是指物体表面或平面图形的大小。
很多学生在计算时，会把求周长的问题当作求面积来解决，或者反之。
比如，计算一个长方形花坛的周长时，错误地用长乘以宽来计算。
二、观察不仔细1、忽略图形的细节在观察几何图形时，学生可能会忽略一些关键的细节，如直角、钝角的度数，或者图形的对称轴数量等。
2、对图形的方向和位置判断错误比如，在判断一个图形经过平移或旋转后的位置时，没有正确把握移动的方向和距离。
三、测量和计算错误1、长度、角度测量不准确使用尺子测量线段长度或用量角器测量角度时，读数错误或者测量方法不正确，导致结果偏差。
2、计算错误在计算图形的周长、面积或体积时，公式运用错误，或者在计算过程中出现加减乘除的运算失误。
比如，计算三角形面积时忘记除以 2，计算长方体体积时长度单位没有统一等。
四、空间想象力不足1、难以构建三维图形对于一些立体图形，如正方体、长方体、圆柱体等，学生在脑海中难以准确地构建出它们的形状和结构，导致在解决相关问题时遇到困难。
2、无法正确判断图形的组合和拆分当多个图形组合在一起或者一个图形拆分成几个部分时，学生不能清晰地想象出它们之间的关系，从而做出错误的判断。
五、作图不规范1、线条不直、图形不标准在绘制几何图形时，线条弯曲、不直，图形的边长比例失调，影响对图形的观察和分析。
2、忘记标注关键信息比如在画三角形时，没有标注顶点的字母，或者在画长方形时，没有标注长和宽的长度。
几何学习中的常见错误及纠正
几何学习中的常见错误及纠正在我们学习几何的过程中，常常会犯一些错误，就像在探索神秘几何世界的旅途中不小心走进了小岔道。
今天咱们就一起来瞧瞧这些常见的错误，顺便找找纠正的办法，让我们在几何的道路上走得更稳、更顺！先来说说我曾经碰到的一件小事儿。
有一次，我在课堂上让同学们画一个等边三角形。
结果呀，有个同学画得那叫一个歪歪扭扭，三条边的长度差得老远。
我就问他：“你这是等边三角形吗？”他一脸迷茫地看着我。
后来我才发现，他根本就没搞清楚等边三角形三条边相等这个最基本的概念。
咱们从小学开始接触简单的几何图形，比如正方形、长方形。
这时候，常见的错误之一就是搞混它们的特征。
有的同学会把正方形的四条边相等这个特点，错误地套用到长方形上，认为长方形的四条边也都一样长。
哎呀，这可就闹笑话啦！到了初中，学习三角形和多边形的时候，错误就更多啦。
比如，在证明三角形全等的时候，有些同学总是会忽略掉一些关键的条件。
就像有一次考试，题目要求证明两个三角形全等，给出了两条边和一个角相等。
有个同学想都没想，就直接说这两个三角形全等。
可是他没注意到，那个角不是两条边的夹角，这能全等吗？显然不能呀！还有计算多边形内角和的时候，也容易出错。
公式是（n 2）×180°，可有的同学总是会忘记乘以 180°，或者把 n 的值搞错。
我记得有个同学在做一道求八边形内角和的题目时，居然算出了一个超级离谱的数字，一问才知道，他把 n 当成 8 直接去减 2 了，压根就没想着后面还要乘以 180°。
再到高中，立体几何一来，那错误更是五花八门。
在求空间几何体的体积和表面积时，有些同学总是搞不清楚到底是哪个面的面积，哪个长度是高。
比如说求一个圆锥的体积，有的同学会把圆锥的母线当成高来计算，这结果能对吗？那面对这些错误，咱们该怎么纠正呢？首先，一定要把基本概念搞清楚，就像盖房子要打好地基一样。
比如说，什么是三角形的内角和定理，什么是平行四边形的性质，都得弄得明明白白。
2024年高考数学几何历年真题典型错误避免指南
2024年高考数学几何历年真题典型错误避免指南在高考数学中，几何是一个重要的考点，也是许多学生容易出现错误的地方。
充分了解历年真题中的典型错误并合理地避免这些错误，对于提高解题的准确性和效率至关重要。
本文将通过分析历年真题中数学几何部分的常见错误，并提供相应解决方案，帮助同学们在2024年的高考中避免这些典型错误。
一、平面几何部分1. 错误类型：错位平行线的判定错误解决方案：在判定错位平行线时，应使用平行线的判定定理，即两条直线如果被一组平行线截断，那么这两条直线也是平行的。
同时，要注意直线错位平行线与错位相交线的区别。
2. 错误类型：等腰三角形错误判定解决方案：在判定等腰三角形时，要注意边长相等与角度相等之间的区别。
仅凭据两边相等判定等腰三角形是不准确的，还需要结合角的性质进行判断。
3. 错误类型：平行四边形边长关系错误理解解决方案：在解决平行四边形问题时，一些学生容易混淆对边相等和对边平行的概念。
要充分理解这两个概念之间的区别，避免因对边平行而错误地认为对边相等。
二、立体几何部分1. 错误类型：正方体棱长与对角线长度错位解决方案：在计算正方体的对角线长度时，要使用勾股定理，即对角线的长度等于棱长的√3倍。
一些学生容易将这个关系忽略或混淆，导致计算出错。
2. 错误类型：球体体积与表面积的混淆解决方案：在计算球体的体积和表面积时，要注意各个参数之间的关系。
体积是三维空间内所包含的空间大小，表面积是球体外部的空间大小。
正确使用相应的公式能避免混淆。
3. 错误类型：棱台错位棱长的判定错误解决方案：在判定棱台的棱长时，要根据题目给出的信息确定真正的棱长。
有时候，一些学生会因为不确定上底、下底还是斜高的关系，而导致求解过程中出现错误。
三、综合题部分1. 错误类型：几何图形的投影错误解决方案：在解决几何图形投影相关问题时，要结合三维物体的性质和二维投影的关系。
正确理解投影的概念并运用相应的几何性质能帮助学生避免这类错误。
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ʏ王旭泷
对空间几何体的认知,
凸显空间问题平面化㊁模型化和代数化的本质属性㊂大家在解题中容易出现思维误区,本文结合实例 剖析 之㊂
误区1:确定三视图时,忽视 投影面和虚实线
例1 将正方体(如图1)截去两个三棱
锥,得到如图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为( )
㊂ 图1 图
2
错解:忽视正视,侧视,俯视三个两两垂直方向的正投影,分不清选项A 和B ,易选
A ㊂对三视图画法中的虚实线不明确易选C 或D ㊂
剖析:侧视图中能够看到线段A D 1,应画为实线,而看不到线段B 1C ,应画为虚线㊂由于A D 1与B 1C 不平行,
可知投影为相交线㊂应选B ㊂
警示:在画三视图时,应把握正视,侧视,
俯视三个两两垂直方向的最大直截面,要特别注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置,认清规定方向上平行投影的实际结果㊂画三视图时,分界线和可见轮廓线都
用实线,被遮住的部分的轮廓线用虚线,要注意 投射光源 的位置是投影面的正对面㊂
误区2:三视图还原几何体时 虚实不分,对应不当,不作检验
例2 如图3
,网格纸上的小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为
㊂
图3
错解:由三视图知,其直观图为四棱锥,四棱锥的底面为正方形,边长为2,四棱锥的高为2,则该棱锥的体积V =
8
3
㊂剖析:还原几何体时缺少模型化的意识㊂答案对了,但解题过程错误㊂
根据三视图,可知该几何体是一个棱长为2的正方体去掉一个三棱柱和一个三棱锥后的四棱锥E -A B C D ,
如图4所示㊂图4
3 解题篇㊃易错题归类剖析 高一数学 2018年11月
该四棱锥E -A B C D 的体积V =V 正方体-
V 三棱柱-V 三棱锥=
8
3
㊂警示:利用三视图还原直观图时,一定要全面把握几何体的特征,分清三视图中的虚线和实线,最后还应该对还原后的直观图进行检验㊂
误区3:三棱锥的体积求解中忽略 等积变换
例3 如图5,在棱长为5的正方体
A B C D -A 1B 1C 1D 1中,E F 是棱A B 上的一条线段,且E F =2,Q 是A 1D 1的中点,点P 是棱C 1D 1上的动点,则四面体P Q E F 的体积
( )
㊂图5
A.
是变量且有最小值B .
是变量且有最大值C .
是变量且没有最值D .
是一个不变的量错解:应选A 或B 或C ㊂
剖析:忽略三棱锥体积的等积变换易错选A 或B ㊂由A B ʅ侧面A A 1D 1D ,可知Q A 为Q 点到A B 的距离㊂因为E F =2
,所以S әQ E F 为定值㊂由C 1D 1ʊA B ,可得C 1D 1ʊ面Q E F ,则C 1D 1到面Q E F 的距离为定值,
而P 是棱C 1D 1上的动点,所以P 点到平面Q E F 的距离也为定值,由此可知四面体P Q E F 的底面积和高均为定值,
可得四面体P Q E F 的体积为定值㊂应选D ㊂警示:求三棱锥的体积的解题关键是寻找易求的底面和对应的高㊂
误区4:忽略共面的条件和面面平行性
质定理的应用
例4 下列正方体或四面体中,P ,Q ,R ,
S 分别是所在棱的中点,
这四个点不共面的一个图是( )
㊂错解:应选B 或C ㊂
剖析:错解的原因是不理解共面的条件和面面平行的性质定理㊂
直接作出截面或用反证法判断㊂对于A ,
可作出截面为梯形㊂对于B ,由面面平行的性质定理,可作出截面为正六边形㊂对于C ,
空间四边形的四边中点可构成平行四边形㊂对于D ,由反证法或异面直线的判定定理,可知四点构成异面直线,即四点不共面㊂
应选D ㊂
警示:要作两个相交平面的交线,只需找
出两个公共点㊂当平面较小不足以体现交线时,可采用作平行线或作延长线的方法延展平面,直到能作出交线为止㊂
误区5:盲目类比平面几何中的定理和性质
例5 如图6所示,已知E ,F 分别是长
方体A B C D -A 1B 1C 1D 1的棱A A 1,C C 1上的点,且A E =C 1F ㊂求证:四边形B E D 1F 是平行四边形
㊂
图6
错解:在长方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,
平面A 1A D D 1ʊ平面B 1B C C 1㊂由两平行平面与第三平面相交其交线平行,可知D 1E ʊF B ,同理可得D 1F ʊE B ,故四边形E B F D 1
为平行四边形㊂
剖析:上述解法盲目套用平面几何定理
1
3解题篇㊃易错题归类剖析 高一数学 2018年11月
致错㊂在D D1上取DM=A E=C1F,连接C M,E M㊂
由C F=D1M=C C1-C1F,C FʊD1M,可知四边形C MD1F为平行四边形,所以C MʊF D1,C M=F D1㊂同理可证四边形A DM E为平行四边形,所以E MʊB C, E M=B C,可知B C M E为平行四边形,可得B EʊC M,C M=B E㊂
所以B EʊF D1,B E=F D1,可知四边形E B F D1是平行四边形㊂
警示:平面几何中的有关结论在空间中不一定成立㊂平面几何的结论在立体几何中的应用遵循两点:①空间中放在同一平面内使用;②先证明在空间是真命题再使用㊂误区6:忽视空间中平行与垂直的判定定理的条件
例6设a,b为两条直线,α,β为两个平面,且a⊄α,a⊄β,则下列结论中不成立的是()㊂
A.若b⊂β,aʊb,则aʊβ
B.若aʅβ,αʅβ,则aʊα
C.若aʅb,bʅα,则aʊα
D.若αʅβ,aʅβ,bʊa,则bʊα
错解:应选A㊂
剖析:不能准确把握空间中平行与垂直关系的判定定理和性质定理中的条件导致出错㊂对于A,若b⊂β,aʊb,且a⊄β,则根据线面平行的判定定理可得aʊβ,A正确㊂对于B,若aʅβ,αʅβ,则根据空间线面位置关系可知a⊂α或aʊα,而a⊄α,所以aʊα,B 正确㊂对于C,若aʅb,bʅα,则a⊂α或aʊα,而a⊄α,所以aʊα,C正确㊂对于D,由a ʅβ,bʊa,可得bʅβ,因为αʅβ,所以b⊂α或bʊα,可知D错误㊂应选D㊂
警示:利用线面平行,线面垂直,面面平行或面面垂直的判定定理时,一定要注意定理的前提条件㊂
误区7:两直线位置关系的判断中忽略 反证法 的应用
例7已知m,n为异面直线,m⊂平面α,n⊂平面β,αɘβ=l,则直线l()㊂
A.与m,n都相交
B.与m,n中至少一条相交
C.与m,n都不相交
D.至多与m,n中的一条相交
错解:应选A㊂
剖析:忽略题设条件㊁缺少应用反证法研究问题的意识出错㊂
假设l与m,n都不相交㊂由m⊂平面α,n⊂平面β,可知mʊl,nʊl,即mʊnʊl,这与m,n为异面直线矛盾,故假设不成立,即直线l与m,n中至少一条相交㊂应选B㊂警示:简单的空间位置关系的判断问题,可以利用选项和题设条件,通过反证法进行推理判断㊂
误区8:忽视线线垂直和线面垂直的相互转化
例8如图7所示,在三棱柱A B C-A1B1C1中,点A1在平面A B C内的射影点D在A C上,øA C B=90ʎ,A C=C C1㊂
求证:A C1ʅA1B ㊂
图7
错解:缺少线面垂直转化为线线垂直的意识,导致思维混乱,从而无法证明㊂
剖析:证明线线垂直,可构造证明一条直线和一个平面垂直㊂
由A1Dʅ平面A B C和面面垂直的判定定理知,平面A A1C1Cʅ平面A B C㊂由B C ʅA C和面面垂直的性质定理知,B Cʅ平面A A1C1C,所以A C1ʅB C㊂由A C=C C1,可知A A1C1C为菱形,所以A C1ʅA1C㊂
因为A1CɘB C=C,所以A C1ʅ平面A1B C㊂又A1B⊂A1B C,所以A C1ʅA1B㊂警示:证明直线与平面垂直㊁平面与平面垂直,都可借助于直线和直线垂直加以证明㊂作者单位:浙江省绍兴市鲁迅高级中学
(责任编辑郭正华)
2 3解题篇㊃易错题归类剖析高一数学2018年11月。