高中数学讲义第七章立体几何初步(超级详细)

高中数学复习讲义 第七章 立体几何初步

【方法点拨】

立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图 形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置 关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点：

1 .注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置 关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本 图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。

2 .归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间 中角与距离的计算。

3 .抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心 的核心，角与距离的计算已经降低要求。

4 .复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化 成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空 间向量的运算。

【知识图解】 空间几何体 —►

构成几何体 的基本元素

直观认识线 囿平行与垂

—►

中心投影与 平行投影

*

---

►

柱、锥、台、 球的特征

——►

表面积与体 积

直观图与三 视图的画法

*

点、线、面 之间的位置 关系

第1课空间几何体

【考点导读】

1 .观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2 .能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视

图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；

3 .通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；

4 . 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

【基础练习】

1 .一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有J4 条棱，8 个面；②如果它是棱柱，

那么它有12 条棱6 个面。

2 . (1)如图，在正四面体A— BCD中，E、F、G分别是三角形ADC ABD BCD的中心，则^ EFG在该正四

面体各个面上的射影所有可能的序号是③④

(2)如图，E、F分别为正方体的面ADEA、面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的面上的射影可能是图的②③ (要求：把可能的图的序号都填上).

①②③ @

【范例导析】

例1.下列命题中，假命题是(1) (3)。(选出所有可能的答案)

(1)有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

(2)四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

(3)有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

(4)若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体

分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。

(1)中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。(3)中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。

例2. ABC是正△ ABC勺斜二测画法的水平放置图形的直观图，若ABC的面积为J3 ,那么△ ABC

的面积为_________________

解析：2展。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。

(2)某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

(2)该几何体为一个正四棱锥。

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不

难得出该几何体的形状。

【反馈演练】

1 . 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是

2 .如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水 .若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰

好升高则R=3

例3. (1)画出下列几何体的三视图

分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

解析：水面高度升高r,则圆柱体积增加nR2-r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有3汽「3=汽

3

t 拓R 2 ,3.生42 3

R r。故- -------- 。答案为

----------------- 。

点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能

力。

3.在^ ABC43, AB=2, BG1.5 , / AB(=120 (如图所示)，若将△ ABCg直线BC旋转

周，则所形成的旋转体的体积是

4.空间四边形ABCD中，AC 8, BD 12, E、F、G、H 分另ij是AB、BC、CD、DA

边上的点，且EFGH为平行四边形，则四边形EFGH的周长的取值范围是

(16,24)

O

5.三棱锥P ABC中，PC

(1)求证：PC AB;

其余棱长均为1。

(2)求三棱锥P ABC的体积的最大值。

解：(1) ・•・AB ••• AB ••• AB 取AB中点M，: PAB与CAB均为正三角形, PM

平面

PC

,AB CM ,

PCM o

(2)当PM 平面ABC时，三棱锥的高为PM ,此时V max 1S ABC PM

6.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心面的交线是焦参数(焦点到准线的距离)为p的抛物线.

(1)求圆锥的母线与底面所成的角；

(2)求圆锥的全面积.

解：(1)设圆锥的底面半径为R,母线长为I,

由题意得：I 2 R,。且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧

即cosACO〔R 1，l 2

所以母线和底面所成的角为

60°.

(2)设截面与圆锥侧面的交线为其中。为截面与AC的交点,

MON

则OO/AB 且OO]1AB.

2

在截面MONft,以OO所在有向直线为则。为抛物线的顶点，所以抛物线方程为点N的坐标为(R, —R),代入方程得: 得：R=2p, l =2R=4p.y轴，。为原点, 建立坐标系, x2=- 2py, R=

— 2p (— R),

2 •••圆锥的全面积为Rl R

说明：将立体几何与解析几何相链接

2 2 2

4 p 12 p .

,颇具新意，预示了高考命题的新动向