一元二次方程根与系数的关系(1)

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一元二次方程根与系数的关系及应用题

一元二次方程根与系数的关系及应用题一、根与系数的关系(韦达定理)；1、定理来源，用配方法推导出来的一元二次方程的求根公式中，由两个根的相互运算而得，2、定理内容，（1）12b x x a +=- （2） 12cx x a=3、定理特征：和与积的形式特点。

4、定理的延伸：当二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积为常数项。

5、解一元二次方程的又一种方法：观察法，总结观察法的知识要点：用了根的定义和韦达定理，是一种综合性题目，是竞赛中常见的一种题型。

若0a b c ++=，则有：11x =，2c x a =，（2）若0a b c -+=，则有：11x =-，2cx a= 这里的0a b c ++=是指各项系数不变号和为零的情况，这里的0a b c -+=是指要改变一次项系数符号后和为零的情况。

如: （1）2543215432210x x ++= （2）()219981997199910x x -⨯-=例1.(1)如果x x 12、是方程3x x 2720-+=的两个根，那么x x 12+=_______ x x 12=_______. (2)如果x x 12、是方程2x x 2350--=的两个根，那么x x 12+=________ x x 12=________. (3)如果方程20542=--x x 的两个根是x 1和x 2，则21x x +________ 21x x =_________.例2 已知32-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一根是；例3 已知关于x 的一元二次方程230x x --=的两个实数根分别为βα、，求：（1）11αβ+；（2）()()33++βα的值；（3）22αβ+；（4）αβ-.例 4 已知βα、是关于x 的一元二次方程()03222=+++m x m x 的两个不相等的实数根，且满足1-11=+βα，求m 的值.例5 △ABC 的一边长为4，另外两边是方程23150x x m -+=的两根，求m 的取值范围.变式练习：1.设1x ，2x是方程220x -+=的两根,求1211x x +的值.2.下列方程中，两根均为正数的有个。

一元二次方程根与系数的关系

12.4一元二次方程的根与系数的关系【1 】中考考点1．懂得一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）.2．会应用根与系数的关系,由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数.3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和.考点讲授1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=-,x1·x2=.2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0,睁开代入两根和与两根积,仍得到方程ax2+bx+c=0(a≠0).3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.反之,以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0,睁开代入两根和与两根积,仍得到方程：x2+px+q=0.4．一元二次方程的根与系数关系的应用重要有以下几方面：（1）已知一元二次方程的一个根,求另一个根,可用两根和或两根积的关系求另一个根.（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根,求另一个根及字母系数的值.可用根与系数关系式,一个关系式求得另一个根,再用另一个关系式求得字母系数的值.（3）已知一元二次方程,不解方程,可求与所给方程两根和.两根积的某些代数式的值.如,方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2,不解方程,求x12+x22的值.[∵x1+x2=,x1·x2=,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2×=]（4）验根.求根.肯定根的符号.（5）已知两根,求作一元二次方程（留意最后成果要化为整系数方程）.（6）已知两数和与积,求这两个数.（7）解特别的方程或方程组.考题评析1．(北京市东城区)假如一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1,x2,那么x1+x2与x1·x2的值分离为（）（A）3,2（B）-3,-2（C）3,-2（D）-3,2考点：一元二次方程的根与系数关系.评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2,知足x1+x2=,x1x2=可直接盘算,答案为B.2．(杭州市)若是方程的两个根,则的值为（）（A）–7（B）1（C）（D）答案：A考点：一元二次方程根与系数的关系评析思绪：由韦达定理知,,先求出x1+x2,x1·x2的值,然后将代数式(x1+1)(x2+1)睁开,最后将x1+x2,x1·x2的值代入即可.3．（辽宁省）下列方程中,两根分离为的是（）（A）（B）（C）（D）答案：B考点：一元二次方程根与系数的关系评析思绪：因给出了二根,所以好求二根和二根积,再依据x1+x2=-p x1·x2=q,即可肯定准确答案为B.4．（辽宁省）已知α,β是方程的两个实数根,则的值为.考点：一元二次方程根与系数的关系评析思绪：由根与系数的关系可知a+b=-2,a·b= -5.而所求式中有a2+2a部分,因a是方程的根,所以有a2+2a-5=0,即a2+2a=5,再加a·b,原式值为0.答案：05．（河南省）关于x的方程,是否消失负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于4？若消失,求出知足前提的k的值;若不消失,解释来由.答案：解：设方程的两个实数根是x1.x2.由根与系数关系,得 x1+x2=5k+1,x1x2=k2-2.又∵,=4,∴=4.∴4k2-5k-9=0.解这个方程,得k1=-1,k2=（不合题意,舍去）.当k=-1时,原方程的判别式△=b2-4ac=[-(5k+1)]2-4(k2-2)=(-4)2-4(1-2)=20>0.所以消失知足前提的负数k,k=-1.考点：一元二次方程根的判别式的应用,根与系数的应用.评析：此题是消失型的试题,一般结论都是在消失成立的前提下,按照给出的前提进行评论辩论,是以题是关于两个实根的关系,所以在评论辩论时必留意△>0.6．（福州市）以2,-3为两个根的一元二次方程是（）.（A）x2-x-6=0（B）x2+x-6=0（C）x2-x+6=0（D）x2+x+6=0答案：B考点：一元二次方程根与系数关系.评析：应用一元二次方程x2+px+q=0的根x1,x2与系数关系：直接盘算即得答案.7．（广州市）已知2是关于x的方程x2+3mx-10=0的一个根,则m=.考点：一元二次方程的根与系数关系评析：依据方程解的概念,将未知数的值代入方程求出m,或应用根与系数的关系解方程组求出.答案：18．（贵阳市）若x1,x2是方程x2-2x+m=0的两个根,且=2,则m=.考点：一元二次方程根与系数关系评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1.x2与系数的关系,得x1+x2=2 x1x2=ｍ,求的值,代入已知的等式求出ｍ.答案：19．（河北省）在Rt△ABC中,∠C=900,a.b.c分离是∠A.∠B.∠C的对边,a.b是关于x的方程的两根,那么AB边上的中线长是（）（A）（B）（C）5（D）2考点：直角三角形三边关系勾股定理.根与系数的关系评析思绪：因直角三角形两直角边a.b是方程的二根,∴有a+b=7①a·b=c+7②,由勾股定理知c2=a2+b2③,联立①②③构成方程组求得c=5,∴斜边上的中线为斜边的一半,故选B.10．（北京市海淀区）已知：关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3,关于x的方程②有实数根且k为正整数,求代数式的值.考点：根的判别式,根与系数的关系.评析：先依据根与系数的关系求得a值,再将a代入到第二个方程.因第二个方程只证有实根,所以k可以等于1,然后再依据Δ的规模再肯定k值,分离代入所求代数式就可以了.答案：0解释学生往往疏忽k=1的这种情形：以为一元二次方程有实根,必是两个,这是不周全的,也有的不斟酌Δ的规模.11.（河北省）若x1.x2是一元二次方程3x2+x-1=0的两个根,则+的值是( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2考点：一元二次方程根与系数的关系评析：依据一元二次方程根与系数的关系,先求出x1+x2, x1·x2的值,然后将求的代数式变形为,最后将x1+x2=-,x1·x2=-代入即可,故选C.12．（哈尔滨市）已知：△ABC的双方AB.AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5.（1）k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.（2）k为何值时,△ABC是等腰三角形,并求出△ABC的周长.考点：Rt△三边关系,等腰三角形底与腰的关系,一元二次方程根与系数关系评析：（1）已知一元二次方程的两根,起首想到不解方程,而是应用根与系数的关系达到目标,又依据Rt△三边的关系AB2+AC2=BC2可知,经由过程AB2+AC2=(AB+AC)2－2AB·AC可实现.答案： k=2或k= -5注：假如应用根与系数关系不克不及求解,再应用解方程求根的办法.（2）起首应用断定式断定AB与AC是否相等,再斟酌其它情形,即AB=BC或AC=BC,当AB=BC或AC=BC时,BC=5是一元二次方程的一个根,故可求k的值,也就可求另一个根,三角形的周长可求.答案：14或16.注：在求周长时,应断定是否能构成三角形.13．（安徽）已知方程x2+(1-)x-=0的两根为x1.x2,求x+x的值.考点：一元二次方程根与系数的关系评析：依据根与系数的关系,先求出x1+x2.x1·x2的值然后将x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2变成以上情势,再将x1+x2=-1,x1·x2=-代入即可.解：由根与系数关系,x1+x2=-1+, x1x2=-,∴ x+x=(x1+x2)2-2x1x2=(-1)2+2=3-2+2=3.解释：假如先解出根x1.x2,再求出x+x的准确值可以.14．（北京市东城区）已知关于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4,求实数k的值.考点：一元二次方程根与系数的关系评析：先设方程二根为x1.x2,分离求出x1+x2,x1·x2的值,再依据两根的平方和是4,求出k值,但必须包管方程有两个实根,所以还必须包管△≥0才干肯定k的值,此题一些考生疏忽△≥0的隐含前提的.解：设方程x2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根是x1, x2,那么x1+x2=k-1, x1·x2=k+1.由 x+x=4,得 (x1+x2)2-2x1x2=4.即 (k-1)2-2(k+1)=4k2-4k-5=0解这个方程,得k=5或k=-1.当k=5时, Δ=(5-1)2-4(5+1)<0,原方程无实数根,故x=5舍去.当k=-1时,Δ=(-1-1)2-4(-1+1)>0,是以,k=-1为所求.真题实战1．（常州市）已知关于x的方程x2+mx－6=0的一个根是2,则另一个根是,m=.答案：-3;12．（天门市）若方程的两根是x1.x2,则代数式的值是.答案：63．已知x1.x2是方程x2－x－1=0的两个根,则的值是（）A.1B.－1C.±1D.0答案：B4．（石家庄市）设方程的两根为x1和x2,且,则m等于（）A．－8 B．－4 C．8 D．4答案：C5．（潍坊市）下列方程中,两实数根的和等于2的方程是（）A．2x2－4x+3=0 B．2x2－2x－3=0C．2x2+4x－3=0 D．2x2－4x－3=0答案：D6．（山西省）若方程x2-2x-1=0的二根为x1,x2,则代数式的值是（）A．6 B．4 C．2 D．-2答案：A7．(南昌市)已知方程2x2+kx－10=0的一个根是－2,求它的另一根及k的值.解：设方程的另一根为x1,那么-2x1=-5,又,∴k=-1.答：方程的另一根是,k的值是-1.8．（姑苏市）已知关于x的方程x2+(m－2)x+m－3=0.（1）求证：无论m取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根;（2）若这个方程的两个实数根x1,x2知足2x1+x2=m+1,求m的值.(1)证实:∵∴无论m取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根.(2)解∵x1,x2是这个方程的两个实数根,∴又2x1+x2=m+1,(3)(3)-(1),得x1=2m-1 (4)把(4)代入(1),得x2=3-3m (5)把(4).(5)代入(2),得(2m-1)(3-3m)=.∴.∴9．（南通市）设x1.x2是关于x的方程x2－(k+2)+2k+1=0的两个实数根,且x12+x22=11.（1）求k的值;（2）应用根与系数的关系求一个一元二次方程,使它的一个根是原方程两个根的和,另一根是原方程两根差的平方.解：（1）由题意得x1+x2=k+2,x1·x2=2k+1,又,∴,解得k=±3.又∵Δ=[-(k+2)]2-4(2k+1)=k2-4k,当k=3时,Δ=-3＜0,原方程无实数解;当k=-3时,Δ=21＞0,原方程有实数解.故k=-3.（2）当k=-3时,原方程为x2+x-5=0.设所求方程为y2+py+q=0,两根为y1.y2,则y1=x1+x2=-1,y2=(x1-x2)2=-2x1x2=11+10=21.∴y1+y2=20,y1·y2=-21所求方程是y2-20y-21=010．（昆明）已知一元二次方程x2-2x-1=0的两根是x1.x2,则+的值是（）A. B.2 C.- D.-2答案：D11．（沈阳）设x1.x2是方程2x2-4x-3=0的两个根,则+=_________.答案：-。

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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解——————————————☆知识点一元二次方程根与系数的关系B重难点解读—————————☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2-4k-12=0，解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）A ．-1或2B ．1或-2C ．-2D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2）x+m=0，（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值.解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵2111x x +=2121x x x x +=-mm 2+=-2，解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）A ．x 2-11x+30=0B ．x 2+11x+30=0C ．x 2+11x-30=0D ．x 2-11x-30=05.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +21x = 43- ；x 12+ x 22=47-；21x x -= 423-. 6.已知关于x 的方程x 2+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .7.以3+2和3-28.已知方程5x 2+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ，则-5k=-2，解得52k =，又k-5=5m -，得m=23.9.已知关于x 的一元二次方程kx 2+x-2=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22+3x 1•x 2=3，求k 的值．12（1）求实数m 的取值范围；（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5的值．解：（1）△=（2m-3）2-4m 2=4m 2-12m+9-4m 2=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤43；（2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2，∴m 2-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤43，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2-x 1x 2-5=52-1-5=19．能力提升11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．1512.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2-b-2018=0，则ba 11+= 20181-. 13.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4.15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．。

一元二次方程的根与系数之间的关系

一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是数学中经常遇到的一类方程，它由一个未知数的二次多项式等于一个常数构成，通常的一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。

解一元二次方程的根是求出使得方程成立的未知数的值。

在研究一元二次方程的根之前，我们先来了解一下一元二次方程的系数。

系数是指方程中各个项的系数，即a、b和c。

在一元二次方程中，系数与根之间存在着一些规律和关系。

首先，我们来探讨一元二次方程的两个根与系数之间的关系。

根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

从该公式中可以看出，根的值与方程的系数a、b和c有关。

具体来说，b^2 - 4ac称为判别式，它决定了方程有多少个根以及根的性质。

1. 当判别式大于0时（b^2 - 4ac > 0），方程有两个不相等的实根。

这意味着方程在坐标系中图像与x轴交于两个点。

此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为实数，且有两个解分别为x1和x2。

可以推导出，这两个解与系数的关系为：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a2. 当判别式等于0时（b^2 - 4ac = 0），方程有两个相等的实根。

这意味着方程在坐标系中图像与x轴有且只有一个交点。

此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为0，解的公式变为：x = -b/(2a)。

可以看出，根与系数的关系为：x1 = x2 = -b/(2a)3. 当判别式小于0时（b^2 - 4ac < 0），方程没有实根，而是有两个共轭复根。

也就是说，方程在坐标系中与x轴没有交点。

此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为纯虚数，解的公式可以写成：x = (-b ± i√(|b^2 - 4ac|)) / (2a)，其中i为虚数单位。

因此，系数与根的关系可以表示为： x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = -c/a由上述关系可知，一元二次方程的根与系数之间确实存在一些规律。

一元二次方程根与系数的关系(1)

（1）x2＋2x－5＝0；（2）2x2＋x＝1.
归纳总结：
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴方程要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－时，注意“－ ”不要漏写。 a
(3)利用公式的前提条件为b2-4ac≥0
练一练：
写出下列各方程的两根之和与两根之积：
例题讲解
例1 ：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0 两根的 (1)平方和；(2)倒数和.
例3:已知关于x 的一元二次方程x2-mx+2m-1=0
的两个实数根的平方和为7，求m 的值。
加油！！
初中数学九年级(上册)
1.3
一元二次方程的根与系数的关系（1）
பைடு நூலகம்
【总结发现】
如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
的两个根分别是
b x1 x2 a
x1
、 x2 ，那么：
c x1 x2 a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
快速求下列方程两根的和与两根的积：

一元二次方程根与系数的关系(5种题型)-2023年新九年级数学(苏科版)(解析版)

一元二次方程根与系数的关系（5种题型）1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（重点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（难点）韦达定理：如果12x x ，是一元二次方程 20(0)ax bx c a −+=≠的两个根,由解方程中的公式法得,12x x ==．那么可推得1212b cx x x x a a+=−⋅=，这是一元二次方程根与系数的关系．题型1：求根与系数关系例1．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若1x ，2x 是一元二次方程2230x x −−=的两个根，则12x x +的值是（） A ．2 B ．2− C ．3 D ．3−【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得12x x +的值．【详解】解：一元二次方程2230x x −−=的二次项系数是1a =，一次项系数2b =−，∴由根与系数的关系，得122x x +=．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，12b x x a +=−，12cx x a =，牢记公式是解题的关键．12x x 是【答案】D【分析】利用两根之积等于ca 即可解决问题．【详解】解：一元二次方程22410x x −+=的两个根为1x、2x ，1212x x ∴=，故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于ba −，两根之积等于c a ”是解题的关键．题型2：利用根与系数的关系式求代数式的值【答案】4/0.75【分析】根据根与系数的关系求出12x x +和12x x ⋅的值，然后代入221212x x x x +计算即可．【详解】解：∵22310x x +−=，∴1232x x +=−，1212x x ⋅=−，∴()2212121212313224x x x x x x x x ⎛⎫==−⨯−=⎪⎝++⎭．故答案为：34．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若1x ，2x 为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则1x ，2x 与系数的关系式：12b x x a +=−，12cx x a ⋅=．例4．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）若m ，n 分别是一元二次方程2410x x −+=的两个根，则23m m n −+的值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到2410m m −+=，m ＋n ＝4，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m ，n 分别是一元二次方程2410x x −+=的两个根，∴2410m m −+=，m ＋n ＝4， ∴241m m −=−，∴2234143m m n m m m n −+=−++=−+=，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的两根时，12b x x a +=−，12cx x a ⋅=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．例5.已知12x x ，是方程2133022x x −−=的两根，求下列各式的值：（1）1211x x +；（2）2212x x −；（3）2212x x +；（4）12||x x−．【答案】（1）2−；（2）−3）42；（4）．【解析】解：由韦达定理，得：126x x +=，123x x =−．原式=12122x x x x +=−；原式()()()1212126x x xx x x=+−=−=±6=±=±•=±原式=()21212242x x x x +−=；原式12x x −==．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用．例6.已知2212510520.1m m n n mn n m−−=+−=≠+，，求的值．【答案】5−．【解析】由22510m m −−=，可得：25120m m −−=，整理得：21520m m +−=，又由于2520n n +−=，所以可知1m 、n 是方程2520x x +−=的两根，由韦达定理，可得：15n m +=−．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用，而且还考查了一元二次方程的根的灵活应用，要注意观察．例7.已知αβ，是方程：2240x x −−=的两根，求代数式3+8+6αβ的值．【答案】30．【解析】由题及韦达定理可得：2240αα−−=，2αβ+=，得：224αα=+．3+8+6αβ=286ααβ⋅++=()2486ααβ+++=22486ααβ+++=()224486ααβ++++=()81430αβ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用，运用了降次等的思想方法．题型3：已知含字母的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母的值例8．（2023春·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程220x x a +−=的一个根为2，则另一个根是______．【答案】4−【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解：设方程220x x a +−=的另一个根为2x ，则222x +=− 解得：24x =−，故答案为：4−．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200axbx c a ++=≠的两根，12b x x a +=−，12cx x a =，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．例9.若方程：2980kx x −+=的一个根为1x =，则k =________；另一个根为________．【答案】1；8x =．【解析】将1x =代入方程，可得：1k =，再由韦达定理可得：128x x =，得另一根为8x =．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的应用．题型4：有关一元二次方程的根与系数关系的创新题例10.已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：22870x x −+=两个根，求这个直角三角形的周长．【答案】7．【解析】解：设直角三角形的三边长为a ，b ，c ，且c 是斜边长，由题知，4a b +=，72ab =，由勾股定理，可得：222c a b =+，所以3c =，所以直角三角形的周长7a b c ++=．【总结】本题考查韦达定理12b x x a +=−，12cx x a =的灵活应用，并且考查了直角三角形的性质，即勾股定理的应用．例11．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）已知关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若0m >，且该方程的两个实数根的差为2，求m 的值．【答案】（1）见详解；（2）1m =【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为12,x x ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得212124,3x x m x x m +=⋅=，进而可得()2124x x −=，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：21,4,3a b m c m ==−=，∴22224164134b ac m m m ∆=−=−⨯⨯=，∵20m ≥，∴240m ∆=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为12,x x ，则有：212124,3x x m x x m +=⋅=，∵122x x −=，∴()()2222121212416124x x x x x x m m −=+−=−=，解得：1m =±， ∵0m >， ∴1m =．根与系数的关系是解题的关键．【答案】(1)③；(2)4；(3)10【分析】（1）分别求出①②③三个方程的根，然后根据题中所给定义可进行求解；（2）设关于x 的方程260x x c −+=的两个根为12,x x ，然后根据“三倍根方程”可令213x x =，进而根据一元二次方程根与系数的关系及方差的解可进行求解；（3）先把一元二次方程进行因式分解变形，然后根据“三倍根方程”的关系可进行求解．【详解】（1）解：由2320x x −+=可得：121,2x x ==，不满足“三倍根方程”的定义；由230x x −=可得：120,3x x ==，不满足“三倍根方程”的定义；由28120x x −+=可得：122,6x x ==，满足“三倍根方程”的定义；故答案为③；（2）解：设关于x 的方程260x x c −+=的两个根为12,x x ，由一元二次方程根与系数的关系可知：126x x +=，12x x c =，令213x x =，则有146x =， ∴132x =，292x =， ∴274c =；（3）解：由()20x m n x mn −++=可得：()()0x m x n −−=，∴12,x m x n==，令3m n =，则有：2222233910mn n m n n n ==++．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及解法，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．一、单选题1．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）关于下列一元二次方程，说法正确的是（） A ．2560x x ++=的两根之和等于5 B ．231x x −=的两根之积等于1C ．20x x m ++=两根不可能互为倒数D ．210x mx ++=中m =0时，两根互为相反数【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系进行判断即可求解．【详解】A. 2560x x ++=的两根之和等于5−，故该选项不正确，不符合题意；B. 231x x −=，即方程2310x x −−=的两根之积等于1−，故该选项不正确，不符合题意；C. 20x x m ++=，∵1,1,a b c m ===，24140b ac m ∆=−=−≥，解得14m ≤，∵1m ≠，两根之积为m ，∴方程两根之积不可能互为倒数，故该选项正确，符合题意；D. 210x mx ++=中0m =时，即21x =−，此方程无实根，故该选项不正确，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，12bx x a +=−，12c x x a =．一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．【答案】A【分析】利用根与系数的关系12bx x a +=−即可求解．【详解】解：利用根与系数的关系，可得：1222b a a x x a +=−−=−=，x 的方程220ax ax c −+=的一个解为11x =−，()212213x x ∴=−=−−=，故选：A ．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．【答案】D【分析】根据两根之和为10−，以及两根之间的数量关系，求出两个根，再根据两根之积等于26a +，求出a 的值即可．【详解】解：设方程的两个根为,m n ，4=m n ，由根与系数的关系可得：10m n +=−，即：410n n +=−，解得：2n =−， ∴()428m =⨯−=−，∵()268216mn a =+=−⨯−=，∴5a=；故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握两根之和等于ba −，两根之积等于c a ，是解题的关键．【答案】A【分析】根据：若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠ 两根分别为12x x ，，则有：1212b x x a c x x a ⎧+=−⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，代入数据计算即可.【详解】解：设方程的另一根为1x ，由根据根与系数的关系可得：11115x mx +=⎧⎨⨯=⎩，解得：156x m =⎧⎨=⎩故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键要理解一元二次方程的两根之和只与二次项系数和一次项系数有关，两根之积只与二次项系数和常数项有关，从而快速计算结果.5．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）方程()()1210x x +−+=的根的情况，下列结论中正确的是（） A ．两个正根 B ．两个负根 C ．一个正根，一个负根 D ．无实数根【答案】C 【分析】先把方程()()1210x x -++=化为210x x +−=，再根据2Δ41450b ac =-=+=>可得方程有两个不相等的实数根．【详解】解：∵()()1210x x -++=（p 为常数），∴210x x +−=，∴2Δ41450b ac =-=+=>，∴方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为1−， ∴一个正根，一个负根．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数关系，注意利用偶次方的非负性判断代数式的符号是解决问题的关键．二、填空题6．（2023·江苏盐城·统考一模）已知关于x 的一元二次方程280x kx +−=的一个根是2-，则它的另一个根为______．【答案】4【分析】利用根与系数之间的关系来求解．【详解】解：设方程的另一个根为m ，关于x 的一元二次方程280x kx +−=的一个根是2-，由根与系数之间的关系可得 28m −=− 4m ∴=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数之间的关系．解题的关键是一元二次方程20ax bx c ++=的两根如果为1x 、2x ，则有12b x x a +=−，12cx x a ⋅=． 7．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）已知一元二次方程2202210x x −−=的两个根分别是1x 、2x ，则代数式221212x x x x +的值为______．【答案】2022−【分析】结合题意利用一元二次方程根与系数的关系求得122022x x +=，121x x =−，代入即可求解．【详解】解：一元二次方程2202210x x −−=的两个根分别是1x、2x ，122022x x ∴+=，121x x =−，()2212121212x x x x x x x x ∴+=+12022=−⨯2022=−，故答案为：2022−．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值；熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【答案】2【分析】由根与系数的关系可得12123x x x x m+==，，结合12121x x x x +−=可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵12x x ，是方程230x x m −+=的两个根，∴12123x x x x m+==，， ∵121231x x x x m +−=−=，∴2m =．故答案为2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根时，1212cb a a x x x x +=−=，．9．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）已知1x、2x 是关于x 的方程2250x x −−=的两个根，则12x x +值等于________．【答案】2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出两根之和即可求解．【详解】解：1x 、2x 是关于x 的方程2250x x −−=的两个根，12221x x −∴+=−=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与系数的关系为：12b x x a +=−，12cx x a ⋅=．【答案】6【分析】根据根与系数关系得到两根和与两根积的值，将式子通分代入求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得， ∵1x ，2x 是一元二次方程2560x x +−=的两个根，∴12551x x +=−=−，12661x x −==−，∴121212115566x x x x x x +−+===− 故答案为：56．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是熟练掌握12b x x a +=−，12cx x a =．11．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）关于x 的方程221x x p −−=（p 为常数）有两个不相等的正根，则p 的取值范围是______．【答案】21p −<<−【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数得关系解答即可．【详解】由题意得： 221x x p −−=，∴22(1)0x x p −−+=，∴[]224(2)41(1)48b ac p p ∆=−=−−⨯⨯−+=+，∴122b x x a +=−=，12(1)cx x p a ⋅==−+，∵关于x 的方程221x x p −−=（p 为常数）有两个不相等的正根，∴480(1)0p p +>⎧⎨−+>⎩，解得：21p −<<− ∴p 的取值范围是：21p −<<− 故答案为：21p −<<−【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．【答案】1−/1−【分析】依据根与系数的关系即12bx x a +=−，12c x x a =代入即可求出m n 、的值，最后代入计算即可．1是方程20x mx n ++=的两个根，))11m∴+=−，)()1·1n=，即m =−1n =，1m n ∴+=−，故答案为：1−．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次根式的混合运算；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．13．（2023·江苏南京·统考二模）若α、β为2240x x +−=的两根，则22ααβα++的值为______．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程2240x x +−=的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．【详解】解：α，β是方程2240x x +−=的两个实数根，可得2αβ+=−，∴22()2220ααβαααβααα++=++=−+=．∴22ααβα++的值为0．故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，b a αβ+=−，ca αβ=．14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）设12,x x 是关于x 的方程2320x x −+=的两个根，则12x x +=_____________．【答案】3【分析】直接利用根与系数的关系12bx x a +=−求解．【详解】解∶根据根与系数的关系12bx x a +=−得123x x +=．故答案为：3．【点睛】本题考車了根与系数的关系∶若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,b cx x x x a a +=−=．15．（2023秋·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）设1x 、2x 是方程230x mx m +−+=的两个根，则1212x x x x +−=___________．【答案】3−【分析】根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积即可．【详解】解：1x 、2x 是方程230x mx m +−+=的两个根，所以，12x x m+=−，123x x m =−+，1212(3)3x x x x m m +−=−−−+=−，故答案为：3−．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题根据是熟记根与系数关系，求出两根之和、两根之积．16．（2022秋·江苏淮安·九年级校考期末）若一元二次方程2220x x −−=有两个实数根1x ，2x ，则1212x x x x +−的值是________．【答案】4【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得．【详解】解：一元二次方程2220x x −−=有两个实数根1x ，2x，122x x ∴+=，122x x =−，()1212224x x x x ∴+−=−−=，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．三、解答题17．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m −−+−=(1)求证：该方程总有两个实数根．(2)若该方程两个实数根的差为3，求m 的值．【答案】(1)证明见解析 (2)0或6【分析】（1）由()2120x m x m −−+−=，可知1a =，()1b m =−−，2c m =−，根据()()()222414230b ac m m m =−=−−−−=−≥⎡⎤⎣⎦，证明即可；（2）由()2120x m x m −−+−=，可得121bx x m a +=−=−，122c x x m a ⋅==−，由该方程两个实数根的差为3，可得()2129x x −=，即()()221212124x x x x x x −=+−⋅，()()21429m m −−−=，计算求解即可．【详解】（1）证明：()2120x m x m −−+−=，1a =，()1b m =−−，2c m =−，∴()()()222414230b ac m m m =−=−−−−=−≥⎡⎤⎣⎦，∴该方程总有两个实数根；（2）解：∵()2120x m x m −−+−=，∴121b x x m a +=−=−，122cx x m a ⋅==−，∵该方程两个实数根的差为3，∴()2129x x −=，∵()()221212124x xx x x x −=+−⋅，∴()()21429m m −−−=，解得0m =或6m =， ∴m 的值为0或6．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18．（2020秋·江苏南京·九年级统考期中）已知关于x 的方程()220x mx m −+=−．(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是2，求m 的值以及方程的另一个根．【答案】(1)见解析(2)m 的值为2，另一个根为0【分析】（1）先计算判别式的值得到2(2)4m ∆=−+，然后根据判别式的意义得到结论；（2）设方程的另一个为t ，利用根与系数的关系得到2,22t m t m +==−，然后解方程组即可．【详解】（1）证明：∵1,,2a b m c m ==−=−，∴22224()41(2)48(2)4b ac m m m m m −=−−⨯⨯−=−+=−+， ∵2(2)0m −≥， ∴2(2)40m −+>，∴0∆>，∴不论m 为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）解：设方程的另一个为t ，根据根与系数的关系得：2,22t m t m +==−， ∴222t t +−=，解得0=t ， ∴2m =，∴m 的值为2，另一个根为0．【点睛】本题考查了判别式的意义以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,b cx x x x a a +=−=．一、单选题1．（2022·江苏·九年级专题练习）设一元二次方程2210x x −−=的两根为1x ，2x ，则1122x x x x −+的值为（） A ．1 B ．﹣1 C ．0 D ．3【答案】D【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得122x x +=，121x x =−，再变形得到11221212x x x x x x x x −+=+−，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得122x x +=，121x x =−，∴1122x x x x −+1212x x x x =+−()21=−−3=，故选：D ．【点睛】本题考查利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，若1x ，2x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根，则12b x x a +=−，12cx x a =，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．2．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）若m 、n 是方程210x x +−=的两个实数根，则22m m n ++的值为( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．-1【答案】C【分析】根据根与系数的关系及方程的解的定义即可求解．【详解】∵m 、n 是方程210x x +−=的两个实数根，∴210m m +−=，1bm n a +=−=−，∴21m m +=，∴()()222110m m n m m m n ++=+++=−=，故选：C ．【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系、一元二次方程根的定义． 3．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）若关于x 的方程260x mx =--的一个根是2−，则另一个根是（） A ．2 B ．﹣2 C ．﹣3 D ．3【答案】D【分析】根据根与系数关系得出两根之积为-6，进而可以求出另一个根．【详解】解：关于x 的方程260x mx =--的一个根是2−，根据根与系数关系可知，两根之积为-6，则另一个根为632=−-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是利用根与系数关系求出两根之积为-6． 4．（2022秋·九年级课时练习）若α和β是关于x 的方程210x bx +−=的两根，且2211αβαβ−−=−，则b 的值是（） A ．－3 B ．3C ．－5D ．5【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b αβαβ−=−，代入2211αβαβ−−=−得到关于b 的方程，求出b 的值即可．【详解】解：∵α和β是关于x 的方程210x bx +−=的两根，∴+=,1b αβαβ−=−，∴222()1211b αβαβαβαβ−−=−+=−+=− ∴=5b − 故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-b a ，两根之积为ca 是解题的关键．5．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）设x 1，x 2是方程x 2＋5x ﹣6＝0的两个根，则x 12＋x 22的值是（） A ．5 B ．13C ．35D ．37【答案】D【分析】根据根与系数的关系可以得到x1+x2=-5，x1x2=-6，然后利用将代数式的值代入，计算x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2的值．【详解】解：根据题意得x1+x2=-5，x1x2=-6， x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=25+12=37．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，12bx x a +=−，12cx x a •=．【答案】C【分析】设直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a 与b ．根据一元二次方程根与系数关系可得8a b +=，14ab =．再根据勾股定理即可求．【详解】解：设直角三角形的斜边为c ，两直角边分别为a 与b ，直角三角形两直角边是方程28140x x −+=的两根，8a b ∴+=，14ab =，根据勾股定理可得：2222()2642836c a b a b ab =+=+−=−=，6c ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．7．（2020秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）两根均为负数的一元二次方程是（） A ．2712+5=0x x - B ．26135=0x x -- C ．24215=0x x ++ D ．2158=0x x -+【答案】C【分析】因为两根均为负数，所以两实数根的和小于零，两根之积大于零．解题时检验两根之和ba −是否小于零，及两根之积ca 是否大于零．【详解】解：A.125>07x x =，1212>07x x +=，两根均为正数；B.125<06x x =-，1213>06x x +=，两根为一正一负；C.125>04x x =，1221<04x x +=-，两根均为负数；D.128<0x x =-，1215<0x x +=-，两根为一正一负．故答案为：C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程()2=00ax bx c a ++¹的两根时，12=bx x a +−，12=c x x a ．二、填空题8．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若a ，b 是方程2220x x +−=的两个实数根，则代数式23a a b ++的值为______．【答案】0【分析】由一元二次方程的解的定义可得出2220a a +−=，即得出222a a +=．根据一元二次方程根与系数的关系可得出2a b +=−，从而即可求出22320a a b a a a b ++=+++=．【详解】∵a ，b 是方程2220x x +−=的两个实数根，∴2220a a +−=，221a b +=−=−，∴222a a +=，∴22322(2)0a b a a a a b ++=+++=+−=．故答案为：0．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值和熟记一元二次方程根与系数的关系：12b x x a +=−、12cx x a ⋅=是解题关键． 9．（2023春·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）设方程2202310x x −−=的两个根分别为12x x 、，则1212x x x x +−的值是___________．【答案】2024【分析】先根据根与系数的关系可求121220231x x x x +==−，，再把12x x +，12x x 的值整体代入所求代数式计算即可．【详解】解：∵方程2202310x x −−=的两个根分别为12x x、，∴121220231x x x x +==−，，∴1212202312024x x x x =−++=．故答案是：2024．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数的关系：若方程的两根为12x x、，则1212b cx x x x a a +=−⋅=，．10．（2023·江苏南京·九年级专题练习）已知1x 、2x 是一元二次方程250x x −−=的两个实数根，则221122x x x x −+的值是________．【答案】16【分析】先根据根与系数的关系得到121215x x x x +==−，，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据题意得121215x x x x +==−，，所以()222211221212313516x x x x x x x x −+=+−=−⨯−=（）．故答案为：16．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，1212,b cx x x x a a +=−⋅=．11．（2022春·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知：m 、n 是方程2310x x +−=的两根，则22(33)(33)m m n n ++++=_____．【答案】16【分析】根据m 、n 是方程2310x x +−=的两根，即可得到3m n +=−，1mn =−，2310m m +−=，2310n n +−=，从而得到231m m +=，231n n +=，代入计算即可得到答案．【详解】解：∵m 、n 是方程2310x x +−=的两根，∴3m n +=−，1mn =−，2310m m +−=，2310n n +−=，∴231m m +=，231n n +=，∴()()22(33)(33)131316m m n n ++++=++=，故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键．三、解答题12．（2022秋·江苏·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个实数根1x ，2x ． (1)求m 的取值范围；(2)当11x =−时，求另一个根2x 的值．【答案】(1)3m ≤ (2)23x =【分析】（1）根据题意得()()22420m ∆=−−−≥，解不等式即可求解；（2）根据根与系数的关系得122x x +=，根据11x =−，即可求解．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个实数根1x ，2x∴()()22420m ∆=−−−≥，解得3m ≤，所以m 的取值范围为3m ≤；（2）解：∵关于x 的一元二次方程2220x x m −+−=有两个实数根1x ，2x∴122x x +=， ∵11x =−， ∴23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．13．（2022秋·江苏盐城·九年级滨海县第一初级中学校联考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若0m >，且该方程的两个实数根的平方和为10，求m 的值．【答案】(1)见解析 (2)1m =【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为1x，2x ，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得124x x m+=，2123x x m ⋅=，再根据两个实数根的平方和为10，可得()222121212210x x x x x x +=+−=，由此可解．【详解】（1）证明：由题意得：1a =，4b m =−，23c m =，∴22224164134b ac m m m ∆=−=−⨯⨯=，∵20m ≥，∴240m ∆=≥，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x 的一元二次方程22430x mx m −+=的两实数根为1x ，2x ，则有124x x m +=，2123x x m ⋅=，∵221210x x +=，∴()222222121212216231010x x x x x x m m m +=+−=−⨯==，解得：1m =±， ∵0m >， ∴1m =．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．14．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程()21360x m x m −++−=．(1)求证：方程总有两个实数根； (2)若12127x x x x ++=，求m 的值．【答案】(1)见解析 (2)3m =【分析】（1 （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得1212136x x m x x m +=+=−，，整体代入12127x x x x ++=中，解出m 的值即可．【详解】（1）∵该一元二次方程为()21360x m x m −++−=，∴()1136a b m c m ==−+=−，，，∴()()2222414361025(5)0b ac m m m m m ⎡⎤−=−+−⨯−=−+=−≥⎣⎦，∴该方程总有两个实数根；（2）∵1212136b cx x m x x m a a +=−=+==−，，又∵12127x x x x ++=，∴1367m m ++−=，解得：3m =．【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系．掌握一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式为24b ac ∆=−，且当0∆>时，该方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，该方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：12b x x a +=−和12cx x a ⋅=是解题关键． 15．（2022秋·江苏·九年级专题练习）关于x 的方程：2（x ﹣k ）＝x ﹣4①和关于x 的一元二次方程：（k ﹣1）x 2+2mx+（3﹣k ）+n ＝0②（k 、m 、n 均为实数），方程①的解为非正数．（1）求k 的取值范围；（2）如果方程②的解为负整数，k ﹣m ＝2，2k ﹣n ＝6且k 为整数，求整数m 的值；（3）当方程②有两个实数根x 1、x 2，满足（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+2m （x 1﹣x 2+m ）＝n+5，且k 为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．【答案】（1）k≤2且k≠1；（2）m ＝﹣2或﹣3；（3）成立，见解析【分析】（1）先解出方程①的解，根据一元二次方程的定义和方程①的根为非正数，得出k 的取值范围，即可；（2）先把k ＝m+2，n ＝2m ﹣2代入方程②化简，通过因式分解法，用含m 的代数式表示出一元二次方程的两个实数根，根据方程②的解为负整数，m 为整数，即可求出m 的值；（3）根据（1）中k 的取值范围和k 为正整数得出k ＝2，化简一元二次方程，并将两根和与积代入计算，得出关于m 、n 的等式，结合根的判别式，即可得到结论．【详解】（1）∵关于x 的方程：2（x ﹣k ）＝x ﹣4，解得：x ＝2k ﹣4，∵关于x 的方程2（x ﹣k ）＝x ﹣4的解为非正数， ∴2k ﹣4≤0，解得：k≤2， ∵由一元二次方程②，可知k≠1， ∴k≤2且k≠1；（2）∵一元二次方程（k ﹣1）x2+2mx+（3﹣k ）+n ＝0中k ﹣m ＝2，2k ﹣n ＝6， ∴k ＝m+2，n ＝2k ﹣6＝2m+4﹣6＝2m ﹣2，∴把k ＝m+2，n ＝2m ﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m ﹣1＝0，因式分解得，[（m+1）x+（m ﹣1）]（x+1）＝0，∴x1＝﹣11mm−+=211m−+，x2＝﹣1，∵方程②的解为负整数，m为整数，∴m+1＝﹣1或﹣2，∴m＝﹣2或﹣3；（3）|m|≤2成立，理由如下：由（1）知：k≤2且k≠1，∵k是正整数，∴k＝2，∵（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝21mk−−＝﹣2m，x1x2＝31k nk−+−＝1+n，∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，∴2m2＝n+5 ①，△＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣4（n+1）≥0 ②，把①代入②得：4m2﹣8m2+16≥0，即m2≤4，∴|m|≤2．【点睛】本题主要考查一元一次方程与一元二次方程，涉及解一元一次方程，一元二次方程以及一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，是解题的关键．16．（2022秋·江苏·九年级专题练习）关于x的方程2220x ax a−++=有两个不相等的实数根，求分别满足下列条件的取值范围：（1）两根都小于0；（2）两根都大于1；（3）方程一根大于1，一根小于1．【答案】（1）-2＜a＜-1；（2）2＜a＜3；（3）a＞3【分析】由关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，得出△=（-2a）2-4（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，利用根与系数的关系得到α+β=2a，αβ=a+2，再分别根据：（1）由两根都小于0，得出α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，此求出a的取值范围；（2）由两根都大于1，得出（α-1）（β-1）＞0，且对称轴212a−−>，依此求出a的取值范围；（3）由一根大于1，一根小于1，得出（α-1）（β-1）＜0，依此求出a的取值范围；【详解】解：∵关于x的方程x2-2ax+a+2=0有两个不相等的实根，∴△=（-2a）2-4（a+2）＞0，∴a＜-1或a＞2．设方程x2-2ax+a+2=0的两根为α，β，α+β=2a，αβ=a+2．（1）∵两根都小于0，∴α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，解得：-2＜a＜0，又22a−−<，a＜0；∵a＜-1或a＞2，∴-2＜a＜-1；（2）∵两根都大于1，∴（α-1）（β-1）＞0，∴αβ-（α+β）+1＞0，∴a+2-2a＞-1，∴a＜3，又212a−−>，a＞1；又a＜-1或a＞2，∴2＜a＜3；（3））∵一根大于1，一根小于1，∴（α-1）（β-1）＜0，∴αβ-（α+β）+1＜0，∴a+2-2a＜-1，∴a＞3.【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，属于基础题，关键是要熟记x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=ba−，x1x2=ca.17．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：【答案】（1）43（2）4（3）存在，当k=﹣2时，1212212x xy yx x−−=【分析】（1）根据a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出a bb a+的值．（2）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=16c，a、b是方程x2+cx+16c=0的解，再根据c2-4•16c≥0，即可求出c的最小值．（3）运用根与系数的关系求出x1+x2=1，x1•x2=k+1，再解y1y2-1221x xx x−=2，即可求出k的值．【详解】（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，∴a+b=﹣15，ab=5，∴a bb a+=()22a b abab+−215255−−⨯=43，故答案是：43；（2）∵a+b+c=0，abc=16，∴a+b=﹣c，ab=16 c，∴a、b是方程x2+cx+16c=0的解，∴c2﹣4•16c≥0，c2﹣34c≥0，∵c是正数，∴c3﹣43≥0，c3≥43，c≥4，∴正数c的最小值是4．（3）存在，当k=﹣2时，1212212x xy yx x−−=．由x2﹣y+k=0变形得：y=x2+k ，由x ﹣y=1变形得：y=x ﹣1，把y=x ﹣1代入y=x2+k ，并整理得：x2﹣x+k+1=0，由题意思可知，x1 ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的两个不相等的实数根，故有：()()()()()()()212112121221212121212211214101112112k x x x x k y y x x x x x x x x y y x x x x x x =⎧−−+>⎪+⎪⎪=+⎪⎪=−−⎨⎪+−⎪−−=−−−=⎪⎪⎪⎩即：23420k k k ⎧<−⎪⎨⎪+=⎩解得：k=﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．【答案】(1)x1x2=x3x4= (2)454．【分析】（1）利用换元法解方程，设y ＝x2，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，解关于y 的方程得到y1＝2，y2＝3，则x2＝2或x2＝3，然后分别解两个元二次方程即可；（2）根据已知条件，把a2、b2看作方程2x2﹣7x+1＝0的两不相等的实数根，然后根据根与系数的关系求解．【详解】（1）解：42560x x −+=，设2y x =，则原方程可化为2560y y −+=，解得12y =，23y =，当=2y 时，22x =，解得1x 2=x当=3y 时，23x =，解得3x 4=x −所以原方程的解为1x 2=x 3x 4x =故答案为：1x ，2=x 3x =4x =（2）解：∴实数a ，b 满足：422710a a −+=，422710b b −+=且a b ≠，2a ∴、2b 可看作方程22710x x −+=的两不相等的实数根，2272a b ∴+=，2212a b =g ；∴2424222714522224a b a b a b +=+-=-´=g （）（）；故答案为：454．【点睛】本题主要考查了用“换元法”把高次方程转化为一元二次方程，韦达定理，完全平方公式，其中转化思想是解决问题的关键．。

一元二次方程根与系数的关系

第一讲一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a-+= (1) 当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-； (3) 当240b ac -<时，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：∆=24b ac -.二、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．例1：已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．例2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．例3：已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．练习：1.已知一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不等的实数根，求k 的取值范围.2.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．3.已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．图（12）第二讲一次函数、反比例函数、二次函数1.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝．2.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而；当x ＞2ba-时，y 随着x 的增大而；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝．3.二次函数的三种表示方式：一般式顶点式交点式注：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．例1：如图，反比例函数ky x=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于A (1)B n -，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．例2：求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例3：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1）；（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．巩固练习1.若函数12-+=a ax y 在11≤≤-x 上的值有正也有负，则a 的取值范围是_________2.若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，则实数a 的取值范围是_____________．3.二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为．4.把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为________________.第三讲解不等式一、一元一次不等式（组）及其解法 :例1：（1）解关于x 的不等式组0,231x a x -<⎧⎨-+<⎩二、一元二次不等式及其解法形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式例2：解下列不等式：(1) 260x x +->； (2)(2)(3)6x x +-< (3) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+例:3：已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13x -<<，求k 的值．二、简单分式不等式的解法例4：解下列不等式： (1) 2301x x -<+； (2)2301x x x +≥-+.例5：解不等式132x ≤+.三、含绝对值不等式的解法例6：解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；练习：1、二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是________.2、如果22()530x a b x b x x ++⋅+=--，则b =___________.3、若2是关于x 的一元二次方程23100x mx +-=的一个根，则m =________.4、若一次函数(12)y k x k =--的图像不经过第二象限，则k 的取值范围是________.5、若函数2y x b =--与24y x =+的图像交于x 轴上一点A ，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC ∆的面积为________.6、已知一个直角三角形的两个直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为____________.7、当22x -≤≤时，函数223y x x =--的最大值为______.8、不等式260x x -+<的解为_______.9、已知关于x 的方程22310x x m -++-=的两个实根同号，则实数m 的取值范围为____.10、函数231y ax x =-+的最小值大于0，则实数a 的取值范围为_________.11、两个数的和为60，它们的积的最大值为___________.12、如果不等式210ax ax ++<无解，则a 的取值范围是_________.13、已知(3,2),(1,1)M N -，点P 在y 轴上，且PM PN +最短，则点P 的坐标为_______.14、解下列不等式：(1) 23180x x --≤ ； (2)31221x x +<-； (3)116x x -++>． 15、已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围．16、解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．17、已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x . （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.18、已知二次函数212y x bx c =-++的图像经过(2,0),(0,6)A B -两点. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 设该二次函数图像的对称轴与x 轴交于点C ，连接,BA BC ，求ABC ∆的面积.19、已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上. (1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值.。

一元二次方程根与系数的关系

（2）解：当a=5为底边长时，b=c 当a=5为腰长时，不妨设a=b=5，由根与系数的关系：5+c=2k-3 2 ∴Δ = （2K-5） =0，k=2.5， 5c=2k-4 2 原方程为：x -2x+1=0 解得：c=1，k=4.5 ∴b=c=1 ∵b+c<a ∴此三角形的周长为a+b+c=11 ∴此时不构成三角形，舍去。
_年 _月 _日
星期_______
天气_____ 自我评价:___________ 悄悄话:老师我想对你说______ _______________________ _______________________ ________________________
学习课题:_____________ 知识归纳与整理:________ _____________________ 有那些数学思想方法_____ 我的收获与困惑_________
分析解答
2、已知关于的方程。x2－(2k－3)x +2k－4=0 （1）求证：无论取什么实数值，方程总有实数根。（2）若等腰三角形的一边长a=5，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长？
（1）证明： ∵Δ =[-（2k-3）]2-4（2k-4） =（2K-5）2 ∴不论k取何值，（2K-5）2 ≥0，即Δ ≥0，原方程总有实数根。
2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：
（1） x1 x2 x2 x1 ;
分析解答
由根与系数的关系得：x1+x2=3/2 x1x2=1/2
x x ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系【基础知识精讲】1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a+=-，a c x x =∙212．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙>-=+002121a c x x a b x x,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙<-=+002121a c x x a b x x,0)3(21<>x x 时，有21<=∙ac x x3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++=【例题巧解点拨】 1．探索韦达定理例1：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，求21x x +， 21x x ∙的值。

例2.（2010•毕节地区）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m 的取值范围；（2）当x 12-x 22=0时，求m 的值．2．已知一个根，求另一个根.例3.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

3．求根的代数式的值例4：设x 1，x 2是方程x 2-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) x 13 x 24+ x 14 x 23； 2112)2(x xx x +4．求作新的二次方程例4：1.以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.2.已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：a+1、b+15．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

一元二次方程的跟与系数的关系

第二课时
1、已知两数求作新方程。
2、由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
第三课时
方程判别式、根与系数的关系的综合应用。
第一课时一元二次方程根与系数的关系（1）
一、教学目标
1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
（二）学法指导
1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。
2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。
3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。
四、课时划分及教学过程
（一）课时划分
共分3课时
第一课时
1、根与系数的关系。
2、根与系数的关系的应用。
（1）求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。
根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。
通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。
一元二次方程的根与系数的关系（一）
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。

一元二次方程与系数之间的关系

一元二次方程与系数之间的关系
一元二次方程里，根与系数的关系称为韦达定理，在条件为a≠0，且a，b，c 皆为常数的一元二次方程ax²+bx+c中，两根为x1、x2，那么两根的关系是：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，前提条件是判别式△=b²-4ac大于等于0。

韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系。

韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。

无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。

判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。

韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系解一元二次方程的根可以通过求根公式得到，即 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

根据这个公式，我们可以看到根与系数之间有以下几个关系。

1.一元二次方程的根与a的关系：系数a出现在求根公式的分母位置，因此当a为0时，求根公式中将出现分母为零的情况，方程则不再是二次方程。

而当a不为0时，方程为一元二次方程，并且a的绝对值越大，求根公式的分母则越大，从而根的倒数也越大，因此a的变化会影响根的大小。

2.一元二次方程的根与b的关系：系数b出现在求根公式的分子位置，因此b的变化将直接影响根的值。

当b为正数时，根的值有两种可能：一种是两个实数根都为正数，另一种是两个实数根中一个为正数，另一个为负数。

当b为负数时，根的值也有两种可能：一种是两个实数根都为负数，另一种是两个实数根中一个为负数，另一个为正数。

3.一元二次方程的根与c的关系：系数 c 出现在求根公式中的平方根部分，从而 c 的变化对根的值起到重要的影响。

当 c 为正数时，根的值可能为两个实数，也可能为两个虚数。

当 c 为负数时，根的值为两个虚数。

而当 c 为零时，即方程为ax^2 + bx = 0，其中 a 和 b 不同时为零，方程则简化为 bx = 0，解为x = 0。

根据以上的分析，我们可以得出一些结论：-当a和b的值都相同时，方程的根的形态也相同。

例如，方程x^2+x+1=0和2x^2+2x+2=0都是只有虚根的方程。

-当a的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当a的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

-当b的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当b的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

-当c的绝对值很小时，方程的根的绝对值也较小；当c的绝对值很大时，方程的根的绝对值也较大。

综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在着一定的关系，系数的变化会对根的大小、正负以及虚实等性质产生影响。

一元二次方程的根与系数的关系知识点

一元二次方程的根与系数的关系知识点嘿，小伙伴们！今天咱来聊聊一元二次方程的根与系数的关系，这可有意思啦！
比如说方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，它的两个根是$2$和$3$。

那根与系
数有啥关系呢？嘿嘿，它们之间的关系可神奇啦！
咱先来看，如果一个一元二次方程是$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq
0$），那两根之和$x_1 + x_2$就等于$-\frac{b}{a}$呀！就像上面那个例子，$a=1$，$b=-5$，那两根之和$2+3$不就等于$-\frac{-5}{1}=5$嘛，神奇吧！比如再举个例子，方程$x^2 + 3x - 4 = 0$，根据这个关系，两根之和不就得$-3$嘛。

然后呢，两根之积$x_1 x_2$就等于$\frac{c}{a}$呀！还是上面那例子，$c=6$，$a=1$，那两根之积$2 \times 3$不就是$\frac{6}{1}=6$嘛！像方程$2x^2 - 5x - 3 = 0$，两根之积就应该是$-\frac{3}{2}$呀。

这关系多奇妙呀，就好像是方程里隐藏的小秘密！小伙伴们，你们说是不是很有趣呢？
我的观点结论就是：一元二次方程的根与系数的关系真的太神奇啦，能让我们更深入地理解方程，快好好去探索发现吧！。

一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程根与系数的关系
由于文本生成模型的字数限制是2048个字，我无法提供3000字的回答。

以下是一个简短版本的一元二次方程根与系数的关系的说明。

一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数且a不等于0。

该方程的解也被称为方程的根。

方程的根可以通过求解二次方程的解进行确定。

根的个数有三种可能的情况：
1. 如果二次方程有两个不同的实根，那么方程的判别式D = b^2 - 4ac大于0。

2. 如果二次方程有两个相等的实根，那么方程的判别式D = b^2 - 4ac等于0。

3. 如果二次方程没有实根，那么方程的判别式D = b^2 -
4ac小于0。

当判别式D大于0时，方程的两个根可以通过以下公式计算：
x = (-b + √D)/(2a) 和 x = (-b - √D)/(2a)
当判别式D等于0时，方程有两个相等的实根，即重根。

此时，根可以通过以下公式计算：
x = -b/(2a)
当判别式D小于0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。

复根可以表示为：
x = (-b ± √(-D))/(2a)
由上述说明可以看出，一元二次方程的根与系数之间存
在密切的关系。

判别式D的正负与方程的根的性质有直接关系。

判别式的值与a、b和c的值有关，因此，改变方程的系数（a、b或c）也会影响到根的性质。

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一元二次方程的根与系数的关系1

* 一元二次方程的根与系数的关系1．了解一元二次方程的根与系数的关系．2．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．阅读教材P49～50，完成下列问题：(一)知识探究如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________.(二)自学反馈1．设方程x 2－4x －1＝0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )A ．－4B ．－1C ．1D ．02．如果x 1，x 2是一元二次方程x 2－6x －2＝0的两个实数根，那么x 1＋x 2的值是( )A ．－6B ．－2C ．6D ．23．设一元二次方程x 2－7x ＋3＝0的两个实数根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝________，x 1x 2＝________.活动1 小组讨论例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x 2＋7x ＋6＝0; (2)2x 2－3x －2＝0.解：(1)这里a ＝1，b ＝7，c ＝6.Δ＝b 2－4ac ＝72－4×1×6＝49－24＝25＞0，∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－7，x 1x 2＝6.(2)这里a ＝2，b ＝－3，c ＝－2.Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25＞0，∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝－1. 先将方程化为一般形式，找对a 、b 、c.例2 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．解：设另一根为x ，由根与系数的关系得－3·x ＝－92，解得x ＝32. 又∵－3＋32＝－k 2，解得k ＝3. ∴另一根是32，k 的值是3. 本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数关系解答．活动2 跟踪训练1．两根均为负数的一元二次方程是( )A ．7x 2－12x ＋5＝0B ．6x 2－13x －5＝0C ．4x 2＋21x ＋5＝0D ．x 2＋15x －8＝0两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．2．已知x 1、x 2是方程x 2－3x －2＝0的两个实根，则(x 1－2)(x 2－2)＝________.3．利用根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：(1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2；(3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0；4．已知x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求代数式1x1＋1x2的值．活动3 课堂小结1．一元二次方程的根与系数的关系．2．一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件．【预习导学】(一)知识探究－baca(二)自学反馈1．B 3【合作探究】活动2跟踪训练1．C 2.－4 3.(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15.(2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1.(3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8.(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36. 4.由根与系数的关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝2.∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝42＝2.。

一元二次方程根与系数的关系1

1 2 k x x y 0 2 y k ( 2 x 1 ) x x 1 x x 2
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【例5】已知，关于x的方程(n-1)x2+mx+1=0①有两个相等的实数根. (1)求证：关于 y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0②必有两个不相等的实数根； (2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2n+12n的值. 14
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4.(2008年· 桂林)已知方程x2+3x-1=0的两根为α、β， -11 那么。

5.(2008年· 沈阳市)阅读下列解题过程： 2 已知：方程x +3x+1=0的两个根为α、β，求的值。解：∵△＝32-4×1×1＝5>0……（1）∴α≠β 由一元二次方程的根与系数的关系，得 α +β ＝-3， α β ＝1 ……（2） ∴ 3 3 ……（3）
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1.(2008年· 黄冈)下列说法中不正确的是 A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2 B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5 C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18 D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/5 (A )
2.(2008 年 · 河北省 ) 若 x1,x2 是一元二次方程 2x2-3x+1=0 的两个根，则x12+x22 的值是 ( A ) A.5/4 B.9/4 C.11/4 D.7 3.(2008 年 · 沈阳市 )请写出一个二次项系数为 1，两实根之和为3的一元二次方程： x2-3x-4=0 。
a b
2
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一元二次方程根与系数关系(1)

2、根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积。 1）2x2–6x–15=0 2）3x2+7x–9=0 –7/3 X1+X2 = ___ 3 X1+X2 = ___ –15/2 –3 X1X2 = ___， X1X2 = ___， 3）5x–1=4x2 4）2x2+5x+4=0 –5/2 X1+X2 = ___ 5/4 X1+X2 = ___ 1/4 X1X2 = ____。 2 X1X2 = ___， 3、下列方程两根之和为2的是（ C ） A、x2–2x+2=0 B、x2+2x+1=0 C、x2–2x –4=0 D、x2+2x–4=0
4、已知，关于x的方程x2–(m–1）x+m–2=0 4 ； (1)若两根的和为3，则m=____ 1 ； (2)若两根互为相反数，则m=____ 3 (3)若两根互为倒数，则m=____ ； (4)若两根的积为0，则m=____2 ；温馨提示： x1+x2=m–1, x1x2=m–2
例1.已知方程x -(k+1)x+3k=0的一个根是 2,求另一根及k的值. 解：(方法一) 设另一根为x1 将x=2代入方程， 4-2(k+1)+3k=0 解得 k=2 , 由根与系数关系得，2x1=3k 解得：x1=-3 解：（方法二）设另一根为x1 由根与系数关系,得 x1+2=k+1 x1=-3 2x1=3k 解得 k=-2
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则：注意： b c x1+x2= - － x • x = 1)一元二次－ 1 2 a a
关于x的方程:x2+px+q=0两根为