【全国百强校】北大附中2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(原卷版)

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北京市清华附中2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析

【答案】，则A. B. C. D.【答案】∵∴∴的夹角等于，则【答案】，利用三角函数的诱导公式化简αα∴故选：C．2x-向左平移向右平移向左平移个单位长度向右平移函数cos2x），cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数．与满足且，则△ABCB. 直角三角形D. 等边三角形根据得出，A，∴，∴cos，cos，＝C，△ABC是等腰三角形；又∴1×1×cos A，，A，ABC是等边三角形．x=，A. B.C. D.【答案】Cx对称，可得：2cos2cos，排除选项x，sin x，]时，2x∈[，]y＝sin x）是单调增函数，【点睛】函数的性质周期求对称轴求增区间由求减区间定义在R上的偶函数f（x）满足，则有αββ又由函数f[0，1]为第四象限的角，且(2). -为第四象限的角，且＝2sinθcosθ＝2×（）故答案为：，．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，所对的边，若【答案】【解析】，由余弦定理得，1（舍）．ABC B故答案为：本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题．【答案】【解析】（（），故答案为：．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．），则）α）（]α（α，∴α＝sin[）]sin（）cos cos（）sin故答案为：；．本题考查两角和与差的三角函数，中，，分别是线段和上的动点，则的取值范围是__________．【答案】2m-3n-4，，，a上有解，则有解，∵∴a+1．[，[，]，内的对称轴是对称的．）1θk]又[0，且θ∴对称轴x．2（x1+x2）＝（θ，即，θ，（x1+x2）故答案为：．本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，）x）的最小正周期；]；x）根据周期公式求解即可；，（cosxcos-sinxsin）=2=2x+（）（）=2sin）周期T=[0，]∴2x+∈[，，2x+=，即，=，即，【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质，属于中档题．；）是否存在实数与共线？，求实数k的值．）k=所以：解得：，所以：•（-）=．使λ+与（-2）共线-2）共线故：，所以：．）若（k则：整理得：∴k=【点睛】（）化简要求的式子），,∴sinB=，锐角三角形中B==cosA+sin-A=cosA+cosA+sin A+）．∵B=，∴A∈（）A+∈（，）∴sin（A+）∈（，），∴sin（A+）∈（cosA+sinC的取值范围为（本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，，求记（θ）∈[0，）﹣θ）﹣））∵向量=2-2cos-∴|+|==2|cos）（（t∈[-2t-）≤2，≤∴t=t）有最小值∴f（．本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，；）≤a＜-a+时，最小值为为a+；当-＜a＜时，最小值为【解析】、a的【详解】（1）当x＞1时，x-1＞0，；=[（3a-1）x+4a]h=由y=G（x）是R可得，解得≤a＜）），可得，可得）时，可得，可得（=a+，可得（x F（a≥时，-在区间（-）上单调递增，在区间（-）为最小值，且为-+a+1=a+a＜时，）在区间（a）上单调递减，在区间（）的最小值为-）上单调递减，-）的最小值为-=-a+（）的最小值为；时，）的最小值为为a+＜a F（【点睛】本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，.的最大值是A时；时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．的最大值是时，取a==b且可以作为某个三角形的三边长，个数的正弦值、=sinx，x∈（时，对于任意的三角形的三边长）a+b+c≥2--=，同理可得，，∴a、b、c∈（）∴sina、、sinc∈（，1]=1≥sinc，即sinb，则＜当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤∴0＜sin sin当＞时，由于a+b，∴0＜＜＜∴0＜sin sin综上可得，sin＜sin，以及=cos＞＞＞∴sina+sinb=2sin cos2sin cossina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina时，的最大值为．要想判断。

北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题(含精品解析)

2017-2018学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）A. 40∘B. 140∘C. −130∘D. −310∘ 2. 设向量a⃗ =（0，2），b ⃗ =（√3，1），则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角等于（） A. π3B. π6C. 2π3D. 5π63. 已知角α的终边经过点P （4，-3），则sin(π2+α)的值为（）A. 35B. −35C. 45D. −454. 为了得到函数y =cos （2x -π3）的图象，只需将函数y =cos2x 的图象（）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5. 已知非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则△ABC 为（） A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形6. 同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x =π3对称；③在[π6，π3]上是增函数”的一个函数是（）A. y =sin(x 2−π3) B. y =cos(2x +π6) C. y =sin(2x −π6)D. y =cos(2x +2π3)7. 定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（） A. f (sinα)>f (cos β) B. f (sinα)<f (cos β) C. f (sin α)>f (sin β) D. f (cosα)<f (cos β)8. 若定义[-2018，2018]上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈[-2018，2018]有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2017，且当x ＞0时，有f （x ）＞2017，设f （x ）的最大值、最小值分别为M ，m ，则M +m 的值为（） A. 0 B. 2018 C. 4034 D. 4036 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若θ为第四象限的角，且sinθ=−13，则cosθ=______；sin2θ=______．10. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b =√3，A +C =2B ，则△ABC的面积为______． 11. 已知tan x =2，则cos2x +sin （π+x ）cos （π2+x ）=______12. 已知α∈（0，π）且sin （α+π6）=13，则cos （α+π6）=______；sinα=______ 13. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //DC ，∠ABC =90°，AB =3，BC =DC =2，若E ，F分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______． 14. 已知函数f （x ）=2sin2x -2sin 2x -a ．①若f （x ）=0在x ∈R 上有解，则a 的取值范围是______；②若x 1，x 2是函数y =f （x ）在[0，π2]内的两个零点，则sin （x 1+x 2）=______ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知函数f （x ）=4sin x cos （x +π6）+1．（1）求f （π12）的值；（2）求f （x ）的最小正周期；（3）求f （x ）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．16. 已知不共线向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=5，（a ⃗ -3b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=20．（1）求a ⃗ •（a ⃗ -b ⃗ ）；（2）是否存在实数λ，使λa ⃗ +b ⃗ 与（a ⃗ -2b ⃗ ）共线？（3）若（k a⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ），求实数k 的值．17. 设锐角三角形的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin A -cos C =cos （A -B ）．（1）求B 的大小；（2）求cos A +sin C 的取值范围．18. 已知向量a ⃗ =（cosθ，sinθ），b ⃗ =（cosβ，sinβ）．（1）若|θ−β|=π3，求|a ⃗ −b ⃗ |的值；（2）若θ+β=π3记f （θ）=a ⃗ ⋅b ⃗ −λ|a ⃗ +b ⃗ |，θ∈[0，π2]．当1≤λ≤2时，求f （θ）的最小值．19. 借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数ℎ(x)={0(x <0)1(x≥0)，例如要表示分段函数g （x ）={x(x ＞2)0(x =2)−x(x ＜2)Z 可以将g （x ）表示为g （x ）=xh （x -2）+（-x ）h （2-x ）．（1）设f （x ）=（x 2-2x +3）h （x -1）+（1-x 2）h （1-x ），请把函数f （x ）写成分段函数的形式；（2）已知G （x ）=[（3a -1）x +4a ]h （1-x ）+log a x ⋅h （x -1）是R 上的减函数，求a 的取值范围；（3）设F （x ）=（x 2+x -a +1）h （x -a ）+（x 2-x +a +1）h （a -x ），求函数F （x ）的最小值．20. 一个函数f （x ），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在f （x ）的定义域内，就有f （a ），f （b ），f （c ）也是某个三角形的三边长，则称f （x ）为“保三角形函数”．（1）判断f 1（x ）=x ，f 2（x ）=log 2（6+2sin x -cos 2x ）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g （x ）=ln x （x ∈[M ，+∞））是“保三角形函数”，求M 的最小值；（3）若函数h （x ）=sin x （x ∈（0，A ））是“保三角形函数”，求A 的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由50°的角终边相同的角的集合为{α|α=50°+k•360°，k∈Z}．取k=-1，可得α=-310°．∴与50°的角终边相同的角是-310°．故选：D．写出与50°的角终边相同的角的集合，取k=-1得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵=（0，2），=（，1），∴•=||||cos＜，＞=0×+2×1=2，又||=||=2，∴cos＜，＞==，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．故选：A．利用向量的数量积即可求得，的夹角的余弦，继而可求得，的夹角．本题考查向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：∵角α的终边经过点P（4，-3），∴p到原点的距离为5∴sinα=，cosα=∴故选：C．利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．已知一个角的终边过某一个点时，利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值．4.【答案】B【解析】解：函数=cos2（x-），故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率可得结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：△ABC中，=，∴=，∴cos＜，＞=cos＜，＞，∴B=C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cosA=，∴cosA=，A=，∴△ABC是等边三角形．故选：D．根据=得出B=C，得出A=，由此判断△ABC是等边三角形．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：“①最小正周期是π，可得ω=2，排除选项A；②图象关于直线x=对称，可得：2×+=，cos=-，排除选项B，2×+=，cos=-，排除选项D；对于C，函数y=sin（2x-），最小正周期为π，且2×-=，sin=1，函数图象关于x=对称；x∈[，]时，2x-∈[，]，∴y=sin（2x-）是单调增函数，C满足条件．故选：C．根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则有f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β＞，则有α＞-β，则有sinα＞sin（-β）=cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A ．根据题意，分析可得f （-x ）=f （x+2），即函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，据此分析可得f （x ）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f （x ）在（0，1）上是增函数即可得出f （sinα）＞f （cosβ），即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性． 8.【答案】C【解析】解：令x 1=x 2=0得f （0）=2f （0）-2017，∴f （0）=2017，令x 1=-x 2得f （0）=f （-x 2）+f （x 2）-2017=2017， ∴f （-x 2）+f （x 2）=4034，令g （x ）=f （x ）-2017，则g max （x ）=M-2017，g min （x ）=m-2017， ∵g （-x ）+g （x ）=f （-x ）+f （x ）-4034=0， ∴g （x ）是奇函数，∴g max （x ）+g min （x ）=0，即M-2017+m-2017=0， ∴M+m=4034．故选：C ．计算f （0）=2017，构造函数g （x ）=f （x ）-2017，判断g （x ）的奇偶性得出结论．本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．9.【答案】2√23；-4√29【解析】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（-）×=-．故答案为：，-．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】√32【解析】解：∵A+C=2B ，A+B+C=π， ∴B=，由余弦定理得cosB===，解得c=2或c=-1（舍）． ∴S △ABC =sinB==．故答案为：．利用三角形的内角和解出B ，使用余弦定理解出c ，代入三角形的面积公式计算．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题． 11.【答案】15【解析】解：∵tanx=2，则cos2x+sin （π+x ）cos （+x ）=cos2x-sinx•（-sinx ）=+=+=+=，故答案为：．利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin （π+x ）cos （+x ）的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】−2√23；√3+2√26【解析】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（），又sin （α+）=，∴cos （α+）=；则sinα=sin[（）-]=sin （）cos-cos （）sin==．故答案为：；．直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α+）；再由sinα=sin[（）-]，展开两角差的正弦求解．本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.【答案】[-4，6]【解析】解：∵AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），又=+，=+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[-4，6]，故答案为：[-4，6]．依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），由=+，=+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），并求得=9λ+4μ是关键，考查平面向量加法的三角形法与共线向量基本定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】[−1−√5，√5−1]；2√55【解析】解：f（x）=2sin2x-2sin2x-a=2sin2x-（1-cos2x）-a=2sin2x+cos2x-1-a=-1-a．其中tanθ=①f（x）=0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）=a+1有解，∵∴≤a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）=-1-a．其中tanθ=其对称轴2x+θ=+kπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．∴对称轴x==∴x1+x2=．则sin（x1+x2）=sin（）=cosθ．∵tanθ=，即，∴cosθ=，则sin（x1+x2）=．故答案为：．①利用三角函数的公式化简，f（x）=0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题． 15.【答案】解：函数f （x ）=4sin x （cos x cos π6-sin x sin π6）+1，=2√3sin x cosx-2sin 2x +1，=√3sin2x +cos2x ，=2sin （2x +π6），（1）f （π12）=2sin （2×π12+π6）=2sin π3=√3（2）周期T =2π2=π；（3）由x 在[0，π2]上，∴2x +π6∈[π6，7π6]，当2x +π6=7π6，即x =π2，f （x ）取得最小值为-1；当2x +π6=π2，即x =π6，f （x ）取得最大值为2．【解析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f （x ）化简为f （x ）=2sin （2x+），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x 在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．本题考查三角函数的恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数图象与性质的综合应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于中档题16.【答案】解：（1）不共线向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=5，（a ⃗ -3b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=20．所以：2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅b ⃗ −3b ⃗ 2=20，解得：a⃗ ⋅b ⃗ =775，所以：a ⃗ •（a ⃗ -b ⃗ ）=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =9−775=-325．（2）存在实数λ=12使λa⃗ +b ⃗ 与（a ⃗ -2b ⃗ ）共线．由于：λa ⃗ +b ⃗ =λ(a ⃗ −2b ⃗ )，故：（1-2λ）b ⃗ =0⃗ ，所以：λ=12．（3）若（k a ⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ），则：18k −775k 2+2⋅775−50k =0，整理得：k 2+16077k +2=0，由于△＜0，故方程无解．所以不存在实数，使（k a ⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ）．【解析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果．（2）利用向量的共线求出λ的值．（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.【答案】解：（1）设锐角三角形中，sin A -cos C =cos （A -B ），即sin A +cos （A +B ）=cos （A -B ），即sin A +cos A cos B -sin A sin B =cos A cos B +sin A sin B ，即sin A =2sin A sin B ，∴sin B =12，∴B =π6．（2）cos A +sin C =cos A +sin （π-A -B ）=cos A +sin （5π6-A ）=cos A +sin （π6+A ）=cos A +12cos A +√32sin A =√3sin （A +π3）． ∵B =π6，∴A ∈（π3，π2），A +π3∈（2π3，5π6），∴sin （A +π3）∈（12，√32），∴√3sin （A +π3）∈（√32，32），即cos A +sin C 的取值范围为（√32，32）．【解析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sinB 的值，可得B 的值．（2）化简要求的式子sin （A+），根据A ∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cosA+sinC 的取值范围．本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵向量a ⃗ =（cosθ，sinθ），b ⃗ =（cosβ，sinβ）， ∴a ⃗ -b ⃗ =（cosθ-cosβ）+（sinθ-sinβ），∴|a ⃗ -b ⃗ |2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos （θ-β）=2-2cos π3=2-1=1，∴|a ⃗ -b ⃗ |=1；（2）a ⃗ •b ⃗ =cosθcosβ+sinθsinβ=cos （θ-β）=cos （2θ-π3），∴|a ⃗ +b ⃗ |=√2+2cos(θ−β)=2|cos （θ-π6）|=2cos （θ-π6），∴f （θ）=cos （2θ-π3）-2λcos （θ-π6）=2cos 2（θ-π3）-2λcos （θ-π6）-1令t =cos （θ-π6），则t ∈[12，1]，∴f （t ）=2t 2-2λt -1=2（t -λ2）2-λ24-1，又1≤λ≤2，12≤λ2≤1，∴t =λ2时，f （t ）有最小值-λ24-1， ∴f （θ）的最小值为-λ24-1．【解析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f （θ）=2cos 2（θ-）-2λcos （θ-）-1，令t=cos （θ-），根据二次函数的性质即可求出．本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）当x ＞1时，x -1＞0，1-x ＜0，可得f （x ）=（x 2-2x +3）+0•（1-x 2）=x 2-2x +3；当x =1时，f （x ）=2；当x ＜1时，x -1＜0，1-x ＞0，可得f （x ）=1-x 2．即有f （x ）={x 2−2x +3，x ＞12，x =11−x 2，x ＜1；（2）G （x ）=[（3a -1）x +4a ]h （1-x ）+log a x ⋅h （x -1）={log ax,x >1(3a−1)x+4a,x≤1，由y =G （x ）是R 上的减函数，可得{3a −1＜03a −1+4a ≥00＜a ＜1，解得17≤a ＜13；（3）F （x ）=（x 2+x -a +1）h （x -a ）+（x 2-x +a +1）h （a -x ），当x ＞a 时，x -a ＞0，可得F （x ）=x 2+x -a +1；若a ≥-12，可得F （x ）在x ＞a 递增，可得F （x ）＞F （a ）=a 2+1；若a ＜-12，可得F （x ）的最小值为F （-12）=34-a ；当x =a 时，可得F （x ）=2（a 2+1）；当x ＜a 时，x -a ＜0，a -x ＞0，则F （x ）=x 2-x +a +1．若a ≥12，可得F （x ）在x ＜a 的最小值为F （12）=a +34；若a ＜12，可得F （x ）在x ＜a 递减，即有F （x ）＞F （a ）=a 2+1．①当a ≥12时，F （x ）在区间（-∞，-12）上单调递减，在区间（-12，a ）上单调递增，在区间（a ，+∞）上单调递增，可得F （-12）为最小值，且为14-12+a +1=a +34；②当-12＜a ＜12时，F （x ）在区间（-∞，a ）上单调递减，在区间（a ，+∞）上单调递增．F （x ）的最小值为F （a ）=a 2+1；③当a ≤-12时，在区间（-∞，a ）上单调递减，在区间（a ，-12）上单调递减，在区间（-12，+∞）上单调递增．所以F （x ）的最小值为F （12）=-a +34；综上所述，得当a ≤-12时，F （x ）的最小值为-a +34；当a ≥12时，F （x ）的最小值为为a +34；当-12＜a ＜12时，F （x ）的最小值为F （a ）=a 2+1．【解析】（1）分当x ＞1、当x=1和当x ＜1时3种情况加以讨论，分别根据S （x ）的对应法则代入，可得f （x ）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f （x ）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G （x ），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a 的范围；（3）由题意，讨论x ＞a ，x=a ，x ＜a ，求得F （x ）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a≥、-＜a ＜和a≤-的4种情况进行讨论，最后综合可得F （x ）的最小值．本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.【答案】解：（1）不妨设a ≤c ，b ≤c ，由a +b ＞c ，可得f 1（a ）+f 1（b ）＞f 1（c ），即有f 1（x ）=x 为“保三角形函数”；由6+2sin x -cos 2x =sin 2x +2sin x +5=（sin x +1）2+4∈[4，8]，可得f 2（x ）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f 2（x ）为“保三角形函数”；（2）函数g （x ）=ln x （x ∈[M ，+∞））是“保三角形函数”，可得a ≥M ，b ≥M ，a +b ＞c ，即有a -1≥M -1；b -1≥M -1，则（a -1）（b -1）≥（M -1）2，即ab ≥a +b -1+（M -1）2＞c -1+（M -1）2，只要-1+（M -1）2≥0，解得M ≥2，即M 的最小值为2；（3）A 的最大值是5π6．①当A ＞5π6时，取a =5π6=b ，c =π2，显然这3个数属于区间（0，A ），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值12、12、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h （x ）=sin x ，x ∈（0，A ）不是保三角形函数．②当A =5π6时，对于任意的三角形的三边长a 、b 、c ∈（0，5π6），若a +b +c ≥2π，则a ≥2π-b -c ＞2π-5π6-5π6=π3，即a ＞π3，同理可得b ＞π3，c ＞π3，∴a 、b 、c ∈（π3，5π6），∴sin a 、sin b 、sin c ∈（12，1]．由此可得sin a +sin b ＞12+12=1≥sin c ，即sin a +sin b ＞sin c ，同理可得sin a +sin c ＞sin b ，sin b +sin c ＞sin a ，故sin a 、sin b 、sin c 可以作为一个三角形的三边长．若a +b +c ＜2π，则a+b 2+c 2＜π，当a+b 2≤π2时，由于a +b ＞c ，∴0＜c 2＜a+b 2≤π2， ∴0＜sin c 2＜sin a+b 2≤1．当a+b 2＞c 2时，由于a +b ＞c ，∴0＜c 2＜a+b 2＜π2， ∴0＜sin c 2＜sin a+b2＜1．综上可得，0＜sin c 2＜sina+b2≤1．再由|a -b |＜c ＜5π6，以及y =cos x 在（ 0，π）上是减函数，可得cos a−b2=cos |a−b|2＞cos c 2＞cos 5π12＞0，∴sin a +sin b =2sin a+b2cos a−b2＞2sin c 2cos c2=sin c ，同理可得sin a +sin c ＞sin b ，sin b +sin c ＞sin a ，故sin a 、sin b 、sin c 可以作为一个三角形的三边长．故当A =5π6时，h （x ）=sin x ，x ∈（0，A ）是保三角形函数，故A 的最大值为5π6．【解析】（1）不妨设a≤c ，b≤c ，由函数的值域，即可得到结论；（2）由对数函数的性质和对数的运算性质，可得M 的最小值；（3）A 的最大值是，讨论①当A ＞时；②当A=时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于综合题．。

易错汇总2017-2018年北京市清华附中高一上学期数学期末试卷带答案

，则△ ABC的面积为
．
【解答】解：∵ A+C=2B，A+B+C=π， ∴ B= ，
由余弦定理得 cosB= 解得 c=2 或 c=﹣ 1（舍）． ∴ S△ABC= sinB=
=
=，
=．
故答案为：．
11．（ 5 分）已知 tanx=2，则 cos2x+sin（π+x）cos（ +x） =
【解答】解：∵ tanx=2，则 cos2x+sin（π+x） cos（ +x）
17．（13 分）设锐角三角形的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且 sinA﹣ cosC=cos （A﹣B）．
（ 1）求 B 的大小；（ 2）求 cosA+sinC的取值范围．
18．（ 13 分）已知向量 =（cos θ， sin θ）， =（ cos β，sin β）．
（ 1）若
，求
设 f（x）的最大值、最小值分别为 M ，m，则 M +m 的值为（）
A．0
B．2018
C．4034
D．4036
【解答】解：令 x1=x2=0 得 f（ 0）=2f（0）﹣ 2017，∴ f（ 0） =2017，令 x1=﹣x2 得 f（ 0）=f（﹣ x2）+f （x2）﹣ 2017=2017， ∴ f（﹣ x2）+f（x2） =4034，令 g（x） =f（x）﹣ 2017，则 gmax（x）=M﹣2017，gmin（ x）=m﹣2017， ∵ g（﹣ x） +g（x）=f（﹣ x） +f （x）﹣ 4034=0， ∴ g（ x）是奇函数， ∴ gmax（x）+gmin（x） =0，即 M﹣2017+m﹣2017=0， ∴ M+m=4034．故选： C．

北大附中上学期高一数学期末考试

北大附中上学期高一数学期末考试一、选择题：将下列各题的答案填入表中（每小题3分，共3×12=36分）1.设集合P={(x,y)|y=x 2}，集合Q={(x,y)|y=x}则P ∩Q 等于（A ）{（0,0）} （B ）{（1,1）} （C ）{(0,0),(1,1)} （D ）{(0,1)}2.命题“若a=0，则ab=0 ”的逆否命题是（A ）若ab=0，则a=0 （B ）若a ≠0，则ab ≠0 （C ）若ab=0，则a ≠0 （D ）若ab ≠0，则a ≠03.函数y= )1lg(23x xx ---+的定义域是（A ）[) 13-，（B ）（2，3）（C ）（3，+∞）（D ）（1，2） 4.设1＜a ＜b ＜c 则下列不等式中正确的是（A ）c a ＜b a （B ）a c ＜a b （C ）log c b ＜log c a （D ）log c a ＜log b a5.已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+…+a 91=0，则有（A ）a 3+a 89=0 （B ）a 2+a 90＜0 （C ）a 1+a 91＞0 （D ）a 46=466.若指数函数满足f （﹣2）=4，则有f ﹣1（x ）的解析式是（A ） f ﹣1（x ）=log 2x （B ）f ﹣1（x ）=log 4x（C ）f ﹣1（x ）=﹣log 2x （D ）f ﹣1（x ）=﹣log 4x7.某人从2003年起，每年1月14日到银行新存入a 元（一年定期）。

若年利率为r 保持不变，且每年到期存款及利息转为新的一年定期存款，到2008年1月14日将所有存款及利息全部取回（不考虑利息税），他可取回的钱数为（A ）a(1+r)5元（B ）r a [(1+r)5－(1+r)]元（C ）a(1+r)6元（D ）ra [(1+r)6－(1+r)]元 8.设f （x ），g （x ）都是定义在R 上的单调函数，有如下四个命题：①若f （x ）单调递增，g （x ）单调递增，则f （x ）•g （x ）单调递增；②若f （x ）单调递增，g （x ）单调递减，则f （x ）－g （x ）单调递增；③若f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，则f （x ）－g （x ）单调递减；④若f （x ）单调递减，g （x ）单调递增且g （x ）≠0，则)()(x g x f 单调递减。

北京101中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(原卷版)

北京101中学2017-2018学年上学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题共10小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 计算：sin=（）A. B. C. D.2. 若0<a<1，b＞0则函数f（x）=a x+b的图象一定经过（）A. 第一、二象限B. 第二、四象限C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限3. 下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（）A. y=e xB. y=tanxC. y=lnxD. y=x3+x4. 已知函数g（x）=f（x）-x，若f（x）是偶函数，且f（2）=1，则g（-2）=（）A. 1B. 2C. 3D. -15. 设向量a，b满足|a+b|=|a-b|=，则a·b=（）A. 0B. mC. -mD.6. 不等式的解集是（）A. （-3，2）B. （-2，3）C. （-，-3）（2，+）D. （-，-2）（3，+）7. 函数y=ln（-x2+2x+3）的减区间是（）A. （-1，1]B. [1，3）C. （-，1）D. （1，+）8. 已知函数y=A sin（x+）+B（A>0，>0，||<）的周期为T，如图为该函数的部分图象，则正确的结论是（）...A. A=3，T=2B. B=-1，=2C. A=3，=D. T=4，=9. 某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10％，但数学成绩每次都比上次降低了10％，期末时这两科分值恰好均为m分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果（）A. 提高了B. 降低了C. 不提不降（相同）D. 是否提高与m值有关系10. 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，=，=。

若=l，=，则+=（）A. B. C. D.二、填空题共6小题。

【全国名校】2017-2018学年北京市101中学高一(上)期末数学试题(解析版)

2017-2018学年北京市101中学高一（上）期末数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．计算：A ．B ．C ．D ．2．若0<a<1，则函数f （x ）=a x +6的图象一定经过 A ．第一、二象限 B ．第二、四象限 C ．第一、二、四象限 D ．第二、三、四象限 3．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是 A ．y=e x B ．y=tanx C ．y=lnx D ．y=x 3+x4．已知函数，若是偶函数，且，则 A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．若向量，满足，则 A ．0 B ．m C ． D ．6．不等式2633x x -+>的解集是A ．（-3，2）B ．（-2，3）C ．（-∞，-3）⋃（2，+∞）D ．（-∞，-2）⋃（3，+∞） 7．函数的减区间是A ．B ．C ．D ．8．已知函数的周期为T ，在一个周期内的图像如图所示，则正确的结论是A ．B ．C ．D ．9．某学生在期中考试中，数学成绩较好，英语成绩较差，为了在后半学期的月考和期末这两次考试中提高英语成绩，他决定重点加强英语学习，结果两次考试中英语成绩每次都比上次提高了10％，但数学成绩每次都比上次降低了10％，期末时这两科分值恰好均为m 分，则这名学生这两科的期末总成绩和期中比，结果A ．提高了B ．降低了C ．不提不降（相同）D ．是否提高与m 值有关系10．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BEBC= λ， DFDC= μ。

2017-2018学年北大附中高一(上)期末数学试卷-含详细解析

2017-2018学年北大附中高一（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，应采用的算法是（）A. ，B. ，，C. ，，D. ，，2.从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A. 1 000名学生是总体B. 每个被抽查的学生是个体C. 抽查的125名学生的体重是一个样本D. 抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A.B. 0C. 1D. 34.一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A. 抽签法B. 分层抽样法C. 随机数表法D. 系统抽样法5.下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）A. 某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本B. 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C. 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D. 从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本6.某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是（）A. 42名B. 38名C. 40名D. 120名7.当x=5，y=-20时，下面程序运行后输出的结果为（）A. 22，B. 22，22C. 12，D. ，128.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A. ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B. ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C. ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D. ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样9.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A. 2B. 4C. 8D. 1610.读程序，当输出的值y的范围大于1时，则输入的x值的取值范围是（）A.B.C.D.11.用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A. 3B. 9C. 17D. 5112.如图给出了一个程序框图，其作用是输入x值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.给出一个算法：根据以上算法，可求得f（-1）+f（2）=______．14.把89化为五进制数为______．15.某小学三个年级共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要用抽样方法抽取10人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254．其中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为______．（填序号）16.执行下边的程序框图，输出的T=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．18.某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为调查，应当怎样进行抽样？19.画出计算12+32+52+…+9992的程序框图，并编写相应的程序．20.某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量．21.已知函数f（x）=，，＜编写一个程序，对每输入的一个x值，都得到相应的函数值，画出程序框图并编写相应的程序计算．22.如图所示，利用所学过的算法语句编写相应的程序．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由算法规则引入中间变量c，语句如下c=aa=bb=c故选D交换两个数的赋值必须引入一个中间变量，其功能是暂时储存的功能，根据赋值规则即可得到答案．本题考查赋值语句，解题关键是理解赋值语句的作用，格式．2.【答案】C【解析】解：从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，在A中，1000名学生的体重是总体，故A错误；在B中，每个被抽查的学生的体重是个体，故B错误；在C中，抽查的125名学生的体重是一个样本，故C正确；在D中，125是样本容量，故D错误．故选：C．利用总体、个体、样本、样本容量的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查总体、个体、样本、样本容量的定义等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】B【解析】解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选B本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题．涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．4.【答案】D【解析】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．故选D．当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．本题考查系统抽样，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．5.【答案】C【解析】解：系统抽样的特点是从比较多比较均衡的个体中抽取一定的样本，并且抽取的样本具有一定的规律性，在所给的四个抽样中，从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本或从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本，它们都是一个简单随机抽样；对于某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本，由于个体是由差别明显的几部分组成，故采用分层抽样，只有在从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本，这是一个最适宜用系统抽样法的．故选C．根据系统抽样的特点，样本是在总体个数比较多的情况下，遵循一定的规则，具有相同的间隔，得到的一系列样本．本题考查系统抽样方法，考查四个抽样方法哪一个是系统抽样，主要观察个体得到的方法是不是符合系统抽样．本题是一个基础题．6.【答案】C【解析】解：∵C专业的学生有1200-380-420=400，由分层抽样原理，应抽取120×=40名．故选C．根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．本题考查分层抽样，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一．7.【答案】A【解析】解：由题意，该程序运算的原理是若x＜0，则用y-3的值赋给x；否则，即当x≥0时，则用y+3的值赋给y最后将算出的x-y，y-x的值输出．由此，可得∵x=5＞0，∴y+3=-20+3=-17，赋值给y后得y=-17因此，x-y=5+17=22，y-x=-17-5=-22．故选：A．根据题中所给的条件语句，可得当x=5时，因为不满足x＜0，所以执行ELSE 后的语句y=y+3，可得输出的y值为-20+3=-17，由此可得出最后输出的值．本题给出伪代码语段，要我们计算输出的x-y值，着重考查了条件语句的理解和伪代码程序的逻辑处理等知识，属于基础题．8.【答案】A【解析】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选：A．观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．9.【答案】C【解析】解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：故S=2时，输出n=8．故选C根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由图可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．当x≤0时，输出值y＞1时，2-x-1＞1，得x＜-1，当x＞0时，＞1，可得x＞1，综上所述，输入值x的取值范围是x＜-1或x＞1，即输入的x值的取值范围是：（-∞，-1）（1，+∞）．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．分类讨论即可得解．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．11.【答案】D【解析】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．12.【答案】C【解析】解：当x≤2时，x2=x，有x=0或x=1；当2＜x≤5时，2x-3=x，有x=3；当x＞5时，x=，x无解．故可知这样的x值有3个．故选：C．由程序框图可确定此程序框图的算法功能为求分段函数的值，在各段中令y=x解方程即可．本题考查条件结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，属于基础题．13.【答案】0【解析】解；由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数f（x）=的值，当x=-1时，满足x≤0，可得f（-1）=-4，当x=2时，满足x＞0，可得f（2）=4，∴f（-1）+f（2）=-4+4=0．∴输出的f（x）值为0．故答案为：0．由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数f（x）=的值，即可计算得解．本题考查的知识点是伪代码，分段函数，其中由已知中的程序代码，分析出分段函数的解析式是解答的关键．14.【答案】324【解析】解：89÷5=17+4，余数是4，17÷5=3+2，余数是2，3÷5=0+3，余数是3．=324（5）故89（10）故答案为：324．利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以5，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．本题主要考查是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．比较基础．15.【答案】①④【解析】解：先考虑那种情况为分层抽样，分层抽样需按年级分成三层，一年级抽4个人，二三年级个抽3个人，也即1到108号抽4个，109到189号抽3个，190到270号抽3个，可判断①②④是分层抽样，在判断①②④中那几个是系统抽样，系统抽样需把1到270号分成均与的10部分，每部分按事先约定好的方法抽取1个，则②为系统抽样．故答案为：①④．利用分层抽样和系统抽样的性质直接求解．本题考查分层抽样和系统抽样方法的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、系统抽样的性质的合理运用．16.【答案】30【解析】解：根据程序框图，运行如下：S=0 N=0 T=0S=5 N=2 T=2S=10 N=4 T=6S=15 N=6 T=12S=20 N=8 T=20S=25 N=10 T=30此时T＞S，故输出T=30．故答案为：30．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．17.【答案】解：辗转相除法：470=1×282+188，282=1×188+94，188=2×94，∴282与470的最大公约数为94．更相减损术：470-282=188，282-188=94，188-94=94．∴470与282的最大公约数为94．【解析】分别用辗转相除法和更相减损术即可得出．本题考查了用辗转相除法和更相减损术求最大公约数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：可用分层抽样方法，其总体容量为12000，“很喜爱”占，应取（人），“喜爱”占，应取（人），“一般”占，应取（人），“不喜爱”占，应取（人），因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2435人、4567人、3926人和1072人中分别抽取12人，23人，20人和5人．【解析】可用分层抽样方法，其总体容量为12000，采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2435人、4567人、3926人和1072人中分别抽取12人，23人，20人和5人．本题考查抽样方法的选择及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．19.【答案】解：程序框图如下图：程序如下：S═0i=1WHILEi＜=999s=s+i2i=i+2WENDPRINT SEND（l2分）【解析】这是一个累加求和问题，共999项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．本题主要考查设计程序框图解决实际问题．在一些算法中，也经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构．循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件分支结构来判断．在循环结构中都有一个计数变量和累加变量．计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次，属于基础题．20.【答案】解：因为系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以n是36的约数，且是6的约数，即n是的倍数，或n=6，12，18，n+1是35的约数，故n只能是4，6，34，综合得n=6，即样本容量为6．【解析】根据系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样的定义是解决本题的关键．21.【答案】解：用变量x，y分别表示自变量和函数值，步骤如下：第一步，输入x值．第二步，判断x的范围．若x≥0，则用解析式y=x2-1求函数值；否则，用y=2x2-5求函数值．第三步，输出y值．程序框图如图所示：程序如下：INPTU“x=“；xIFx＞=0 THENy=x^2-1ELSEy=2*2^2-5ENDIFPRINT“y=“；yEND【解析】利用条件结构和条件语句可实现分段函数求值的算法，进而可得程序框图并编写相应的程序．本题考查了条件结构与条件语句，注意条件语句的格式．属于基础题．22.【答案】解：程序为：INPUTx，nm=0，N=0，i=0WHILEi＜nN=x*10^i+Nm=m+Ni=i+1WENDPRINT mEND【解析】由已知条件利用程序框图，编写相应的程序即可得解．本题考查算法的求法和编写程序，解题时要认真审题，注意程序框图的合理运用，属于基础题．。

XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷

XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷XXX2017-2018学年第一学期高一期末数学试卷一、填空题（每题3分，共36分）1、已知全集$U=\mathbb{R}$，集合$A=\{x|y=\pi x\}$，则$C_UA=$ $\{x|x\notin A\}$2、函数$f(x)=x^{-1}$在$(-\infty,0)$内的零点为$x=-1$3、关于$x$的方程$2^x=3$的解集为$\{\log_2 3\}$4、函数$f(x)=\dfrac{1}{x+a}$为奇函数，则实数$a$的值为$0$5、集合$A=\{x|x<a\},B=\{x|x<1\}$，若$A\subseteq B$，则实数$a$的取值范围为$a\leq 1$6、比较两数大小: $2^{e^{5031}}$ $>$ $e^{2^{5031}}$7、函数$y=f(x)$的定义域为$(0,1)$，则函数$y=f(2x)$的定义域为$(0,\dfrac{1}{2})$8、幂函数$y=x^{-2}$的单调递减区间为$(0,+\infty)$9、函数$y=f(x)$过定点$(0,2)$，则函数$y=f(x-2)$过定点$(2,2)$10、不等式$|x|-a\geq 0$ 对任意$x\in[-1,2]$恒成立，则实数$a$的最大值为$a=2$11、若函数$f(x)=\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}$，则$f(x)-f(2-x)=\dfrac{4x-10}{x-2}$12、方程$f(x+2018)+f(\dfrac{e-|2-x|}{x-2x-1})-a=0$在$(-\infty,5)$内有两个零点，则实数$a$的取值范围为$a\in(-\infty,4)$二、选择题(每题3分,共12分)13.四个说法中,与“不经冬寒,不知春暖”意义相同的是() C.若知春暖，必经冬寒14、已知实数$x>y$，下列不等式中一定成立的是() B。

【100所名校】2017-2018北京市中国人民大学附属中学高一期末数学试题(解析版)

2017-2018北京市中国人民大学附属中学高一期末数学注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{}1,3,5A =， ()(){}|130 B x x x =--=，则A B ⋂= （）A. ∅B. {1}C. {3}D. {1,3}2．2πsin()=3-（）A. 2-B. 12-C. 2D. 123．下列函数为奇函数的是（）A. 2x y =B. []sin ,0,2y x x π=∈C. 3y x =D. lg y x =4．若幂函数()y fx =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（）A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（）A. 3CD BC =B. 0CA CE ⋅=C. AB 与DE 共线D. CA CB CE CD ⋅=⋅ 6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（） A. 每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位 B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位 C. 先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 7．已知()21log 2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数a ，b ，c 满足0＜a ＜b ＜c ，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（） A. 0x a < B. 0x a > C. 0x c < D. 0x c > 8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ， P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（） A. 无最大值，但有最小值 B. 既有最大值，又有最小值 C. 有最大值，但无最小值班级姓名准考证号考场号座位号D. 既无最大值，又无最小值第II 卷（非选择题）二、填空题9．已知向量=(1,2)a ，写出一个与a 共线的非零向量的坐标__________.10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ=____________.11．向量a ， b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅=_____.12．函数()2,{ ,0.x x t f x x x t ≥=<<，（0t >）是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是_____________.13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从__________年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据： lg20.3010≈， lg30.4771≈）14．已知函数()sin f x x ω=在区间π06（，）上是增函数，则下列结论正确的是_________.（将所有符合题意的序号填在横线上）① 函数()sin f x x ω=在区间(π6-,0)上是增函数；② 满足条件的正整数ω的最大值为3； ③ππ412f f ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.15．错误！未找到引用源。

2017-2018学年北京市清华附中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）A. B. C. D.2.设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于（）A. B. C. D.3.已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A. B. C. D.4.为了得到函数y=cos（2x-）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度5.已知非零向量与满足=且，则△ABC为（）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形6.同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在[，]上是增函数”的一个函数是（）A. B.C. D.7.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A. fB. fC. fD. f8.若定义[-2018，2018]上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[-2018，2018]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2017，且当x＞0时，有f（x）＞2017，设f（x）的最大值、最小值分别为M，m，则M+m的值为（）A. 0B. 2018C. 4034D. 4036二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若θ为第四象限的角，且，则cosθ=______；sin2θ=______．10.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则△ABC的面积为______．11.已知tan x=2，则cos2x+sin（π+x）cos（+x）=______12.已知α∈（0，π）且sin（α+）=，则cos（α+）=______；sinα=______13.如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，若E，F分别是线段DC和BC上的动点，则的取值范围是______．14.已知函数f（x）=2sin2x-2sin2x-a．①若f（x）=0在x∈R上有解，则a的取值范围是______；②若x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=______三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=4sin x cos（x+）+1．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16.已知不共线向量，满足||=3，||=5，（-3）•（2+）=20．（1）求•（-）；（2）是否存在实数λ，使λ+与（-2）共线？（3）若（k+2）⊥（-k），求实数k的值．17.设锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且sin A-cos C=cos（A-B）．（1）求B的大小；（2）求cos A+sin C的取值范围．18.已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ）．（2）若记f（θ）=，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f（θ）的最小值．19.借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数＞Z可以将g（x）表示为，例如要表示分段函数g（x）=＜g（x）=xh（x-2）+（-x）h（2-x）．（1）设f（x）=（x2-2x+3）h（x-1）+（1-x2）h（1-x），请把函数f（x）写成分段函数的形式；（2）已知G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x h（x-1）是R上的减函数，求a 的取值范围；（3）设F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），求函数F（x）的最小值．20.一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断f1（x）=x，f2（x）=log2（6+2sin x-cos2x）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g（x）=ln x（x∈[M，+∞））是“保三角形函数”，求M的最小值；（3）若函数h（x）=sin x（x∈（0，A））是“保三角形函数”，求A的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由50°的角终边相同的角的集合为{α|α=50°+k•360°，k∈Z}．取k=-1，可得α=-310°．∴与50°的角终边相同的角是-310°．故选：D．写出与50°的角终边相同的角的集合，取k=-1得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵=（0，2），=（，1），∴•=||||cos＜，＞=0×+2×1=2，又||=||=2，∴cos＜，＞==，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．故选：A．利用向量的数量积即可求得，的夹角的余弦，继而可求得，的夹角．本题考查向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：∵角α的终边经过点P（4，-3），∴p到原点的距离为5∴sinα=，cosα=∴故选：C．利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简已知一个角的终边过某一个点时，利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值．4.【答案】B【解析】解：函数=cos2（x-），故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率可得结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：△ABC中，=，∴=，∴cos＜，＞=cos＜，＞，∴B=C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cosA=，∴cosA=，A=，∴△ABC是等边三角形．故选：D．根据=得出B=C，得出A=，由此判断△ABC是等边三角形．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，6.【答案】C【解析】解：“①最小正周期是π，可得ω=2，排除选项A；②图象关于直线x=对称，可得：2×+=，cos=-，排除选项B，2×+=，cos=-，排除选项D；对于C，函数y=sin（2x-），最小正周期为π，且2×-=，sin=1，函数图象关于x=对称；x∈[，]时，2x-∈[，]，∴y=sin（2x-）是单调增函数，C满足条件．故选：C．根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则有f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β＞，则有α＞-β，则有sinα＞sin（-β）=cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A．根据题意，分析可得f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，据此分析可得f（x）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便（cosβ），即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．8.【答案】C【解析】解：令x1=x2=0得f（0）=2f（0）-2017，∴f（0）=2017，令x1=-x2得f（0）=f（-x2）+f（x2）-2017=2017，∴f（-x2）+f（x2）=4034，令g（x）=f（x）-2017，则g max（x）=M-2017，g min（x）=m-2017，∵g（-x）+g（x）=f（-x）+f（x）-4034=0，∴g（x）是奇函数，∴g max（x）+g min（x）=0，即M-2017+m-2017=0，∴M+m=4034．故选：C．计算f（0）=2017，构造函数g（x）=f（x）-2017，判断g（x）的奇偶性得出结论．本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．9.【答案】；-【解析】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（-）×=-．故答案为：，-．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】【解析】解：∵A+C=2B，A+B+C=π，∴B=，由余弦定理得cosB===，解得c=2或c=-1（舍）．∴S△ABC=sinB==．故答案为：．利用三角形的内角和解出B，使用余弦定理解出c，代入三角形的面积公式计算．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题．11.【答案】【解析】解：∵tanx=2，则cos2x+sin（π+x）cos（+x）=cos2x-sinx•（-sinx）=+=+=+=，故答案为：．利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin（π+x）cos（+x）的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】；【解析】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（），又sin（α+）=，∴cos（α+）=；则sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin故答案为：；．直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α+）；再由sinα=sin[（）-]，展开两角差的正弦求解．本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.【答案】[-4，6]【解析】解：∵AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），又=+，=+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[-4，6]，故答案为：[-4，6]．依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），由=+，=+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），并求得=9λ+4μ是关键，考查平面向量加法的三角形法与共线向量基本定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】[，]；解：f（x）=2sin2x-2sin2x-a=2sin2x-（1-cos2x）-a=2sin2x+cos2x-1-a=-1-a．其中tanθ=①f（x）=0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）=a+1有解，∵∴≤a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）=-1-a．其中tanθ=其对称轴2x+θ=+kπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．∴对称轴x==∴x1+x2=．则sin（x1+x2）=sin（）=cosθ．∵tanθ=，即，∴cosθ=，则sin（x1+x2）=．故答案为：．①利用三角函数的公式化简，f（x）=0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题．15.【答案】解：函数f（x）=4sin x（cos x cos-sin x sin）+1，=2sin x cosx-2sin2x+1，=sin2x+cos2x，=2sin（2x+），（1）f（）=2sin（+）=2sin=（2）周期T=；（3）由x在[0，]上，∴2x+∈[，]，当2x+=，即x=，f（x）取得最小值为-1；当2x+=，即x=，f（x）取得最大值为2．【解析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．本题考查三角函数的恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数图象与性质的综合应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于中档题16.【答案】解：（1）不共线向量，满足||=3，||=5，（-3）•（2+）=20．所以：，解得：，所以：•（-）==-．（2）存在实数使λ+与（-2）共线．由于：，故：（1-2λ），所以：．（3）若（k+2）⊥（-k），则：，整理得：，由于△＜0，故方程无解．所以不存在实数，使（k+2）⊥（-k）．【解析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果．（2）利用向量的共线求出λ的值．（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.【答案】解：（1）设锐角三角形中，sin A-cos C=cos（A-B），即sin A+cos（A+B）=cos（A-B），即sin A+cos A cos B-sin A sin B=cos A cos B+sin A sin B，即sin A=2sin A sin B，∴sin B=，∴B=．（2）cos A+sin C=cos A+sin（π-A-B）=cos A+sin（-A）=cos A+sin（+A）=cos A+cos A+sin A=sin（A+）．∵B=，∴A∈（，），A+∈（，），∴sin（A+）∈（，），∴sin（A+）∈（，），即cos A+sin C的取值范围为（，）．【解析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sinB的值，可得B的值．（2）化简要求的式子sin（A+），根据A∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cosA+sinC的取值范围．本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ），∴ -=（cosθ-cosβ）+（sinθ-sinβ），∴|-|2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos（θ-β）=2-2cos=2-1=1，∴|-|=1；（2）•=cosθcosβ+sinθsinβ=cos（θ-β）=cos（2θ-），∴|+|==2|cos（θ-）|=2cos（θ-），∴f（θ）=cos（2θ-）-2λcos（θ-）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1令t=cos（θ-），则t∈[，1]，∴f（t）=2t2-2λt-1=2（t-）2--1，又1≤λ≤2，≤≤1，∴t=时，f（t）有最小值--1，∴f（θ）的最小值为--1．【解析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1，令t=cos（θ-），根据二次函数的性质即可求出．本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）当x＞1时，x-1＞0，1-x＜0，可得f（x）=（x2-2x+3）+0•（1-x2）=x2-2x+3；当x=1时，f（x）=2；当x＜1时，x-1＜0，1-x＞0，可得f（x）=1-x2．即有f（x）=，＞，，＜；（2）G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x h（x-1）=，由y=G（x）是R上的减函数，可得＜＜＜，解得≤a＜；（3）F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），当x＞a时，x-a＞0，可得F（x）=x2+x-a+1；若a≥-，可得F（x）在x＞a递增，可得F（x）＞F（a）=a2+1；若a＜-，可得F（x）的最小值为F（-）=-a；当x=a时，可得F（x）=2（a2+1）；当x＜a时，x-a＜0，a-x＞0，则F（x）=x2-x+a+1．若a≥，可得F（x）在x＜a的最小值为F（）=a+；若a＜，可得F（x）在x＜a递减，即有F（x）＞F（a）=a2+1．①当a≥时，F（x）在区间（-∞，-）上单调递减，在区间（-，a）上单调递增，在区间（a，+∞）上单调递增，可得F（-）为最小值，且为-+a+1=a+；②当-＜a＜时，F（x）在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．F（x）的最小值为F（a）=a2+1；③当a≤-时，在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，-）上单调递减，在区间（-，+∞）上单调递增．所以F（x）的最小值为F（）=-a+；综上所述，得当a≤-时，F（x）的最小值为-a+；当a≥时，F（x）的最小值为为a+；当-＜a＜时，F（x）的最小值为F（a）=a2+1．【解析】（1）分当x＞1、当x=1和当x＜1时3种情况加以讨论，分别根据S（x）的对应法则代入，可得f（x）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f（x）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G（x），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a 的范围；（3）由题意，讨论x＞a，x=a，x＜a，求得F（x）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a≥、-＜a＜和a≤-的4种情况进行讨论，最后综合可得F （x）的最小值．本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.【答案】解：（1）不妨设a≤c，b≤c，由a+b＞c，可得f1（a）+f1（b）＞f1（c），即有f1（x）=x为“保三角形函数”；由6+2sin x-cos2x=sin2x+2sin x+5=（sin x+1）2+4∈[4，8]，可得f2（x）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f2（x）为“保三角形函数”；（2）函数g（x）=ln x（x∈[M，+∞））是“保三角形函数”，可得a≥M，b≥M，a+b＞c，即有a-1≥M-1；b-1≥M-1，则（a-1）（b-1）≥（M-1）2，即ab≥a+b-1+（M-1）2＞c-1+（M-1）2，只要-1+（M-1）2≥0，解得M≥2，即M的最小值为2；（3）A的最大值是．①当A＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，A），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sin x，x∈（0，A）不是保三角形函数．②当A=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π-b-c＞2π--=，即a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sin a、sin b、sin c∈（，1]．由此可得sin a+sin b＞+=1≥sin c，即sin a +sin b＞sin c，同理可得sin a+sin c＞sin b，sin b+sin c＞sin a，故sin a、sin b、sin c可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a-b|＜c＜，以及y=cos x在（0，π）上是减函数，可得cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sin a+sin b=2sin cos＞2sin cos=sin c，同理可得sin a+sin c＞sin b，sin b+sin c＞sin a，故sin a、sin b、sin c可以作为一个三角形的三边长．故当A=时，h（x）=sin x，x∈（0，A）是保三角形函数，故A的最大值为．【解析】（1）不妨设a≤c，b≤c，由函数的值域，即可得到结论；（2）由对数函数的性质和对数的运算性质，可得M的最小值；（3）A的最大值是，讨论①当A＞时；②当A=时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于综合题．。

【全国名校】2017-2018学年北京师范大学附属中学上学期高一年级期中考试数学试题(解析版)

2017-2018学年北京师范大学附属中学上学期高一年级期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合A ={0，1，2}，B ={2，3}，则集合A ∪B = A ． 2， B ． 1，2， C ． D ． 1， 2．下列函数中，在其定义域内是减函数的是A ．B ．C ．D ．3．已知，那么下列不等式成立的是A ．B ．C ．D ． 4．“a=0”是“为奇函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 5．下列不等式中，不正确的是 A ．B ．C ．D ．若，则6．函数满足对任意的x ，均有，那么，，的大小关系是A ．B ．C ．D ．7．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.58．已知为定义在[-1，1]上的奇函数，且在[0，1]上单调递减，则使不等式成立的x 的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知集合，，且，则实数a=___________。

10．设，则 ________11．已知命题，，则为_______；其中为真命题的是_________（填“p”或“ ”）12．函数，则该函数的定义域为_________，值域为__________. 13．定义运算“ ”：（，）.当，时，的最小值是 .14．函数的定义域为D ，若对于任意，，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：① ；②；③ ，则 _________；___________.三、解答题15．已知集合， . （1）当m=8时，求；（2）若，求实数m 的值.此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号16．已知函数.（1）函数是否具有奇偶性？若具有，则给出证明；若不具有，请说明理由；（2）试用函数单调性的定义证明：在（1，+）上为增函数.17．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看做一次函数的关系（图象如下图所示）．（1）根据图象，求一次函数的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为元,①求关于的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．18．已知函数，其中a,.（1）当，时，求在区间[-5，5]上的值域；（2）当时，对任意的，都有成立，求实数b的取值范围；（3）若函数的图像过点（-2，-1），且在区间（1，2）上有一个零点，求实数a的取值范围.19．设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，求不等式的解集；20．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.（1）若是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围。

北京市首师大附中2017-2018学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合A={1，3，5}，B={x|（x-1）（x-3）=0}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.=（）A. B. C. D.3.若幂函数y=f（x）的图象经过点（-2，4），则在定义域内（）A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值4.下列函数为奇函数的是（）A. B. ，C. D.5.如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A. B.C. 与共线D.6.函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sin x函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A. 每个点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向左平移个单位B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再向左平移个单位C. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变D. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变7.已知，若实数a，b，c满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是A. B. C. D.8.如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A. 无最大值，但有最小值B. 既有最大值，又有最小值C. 有最大值，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标______．10.已知角θ的终边经过点（3，-4），则cosθ=______．11.已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=______．12.函数，，＜＜（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是______．13.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14.函数f（x）=sinωx在区间，上是增函数，则下列结论正确的是______（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间，上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.已知向量=（sin x，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α（0，π），求tanα．16.已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=-3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：______；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17.某同学用“五点法”画函数f（x）=A sin（ωx+φ）＞，＞，＜在某一个周期内的图象时，列表并填（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数（）的解析式为（）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间，上的最大值和最小值．18.定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是______ （直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）-x为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sin x+kx为线周期函数，求k的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵B={x|（x-1）（x-3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D．根据集合的交集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：=-sin=-．故选：A．利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数取值，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查幂函数的解析式和性质，利用待定系数法是解决本题的关键．利用待定系数法求出函数的解析式，结合幂函数的性质进行判断即可．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，由f（-2）=4，得（-2）α=4=（-2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选C．4.【答案】C【解析】解：y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（-x）=-f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=f（x），为偶函数．故选：C．运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，即可得到结论．本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法和常见函数的奇偶性，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D．根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定．本题考查了直角三角形的性质，向量线性运算，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）=Asin（ωx+φ），可得A=2，=-，ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，φ=-，f（x）=2sin（2x-），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2x+-）=2sin2x的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sinx函数的图象，故选：C．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵f（x）=log2x-（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．结合f（x0）=0，可得当x＜x0时，f（x）＞0，当x＞x0时，f（x）＜0，由此可得x0＞a一定成立．本题考查函数零点判定定理，考查函数单调性的性质，是中档题．8.【答案】A【解析】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）C（1，2）+=2+=（-2cosθ，-2sinθ）+（-1-cosθ，2-sinθ）+（1-cosθ，2-sinθ）=（-4cosθ，4-4sinθ）∴==∵cosθ（0，1]，∴[0，4）故选：A设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（-2cosθ，-2sinθ）+（-1-cosθ，2-sinθ）=（-1-3cosθ，-3sinθ）即可求得．本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．9.【答案】（2，4）【解析】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可．本题考查向量的坐标的求法，考查共线向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】【解析】解：∵角θ的终边经过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，则cosθ==．故答案为：．根据任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．11.【答案】3【解析】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．向量坐标，利用向量的数量积求解即可．本题考查平面向量的数量积是定义域，平面向量的坐标运算，考查计算能力．12.【答案】[1，+∞）【解析】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．画出分段函数的图象，即可判断t的取值范围．本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．13.【答案】2021【解析】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3-lg2）=1，∴n（0.4771-0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，代值计算即可求出答案．本题考查了对数的运算和性质在实际生活中的应用，属于中档题．14.【答案】①②③【解析】解：函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，由f（-x）=sin（-ωx）=-sinωx=-f（x），可得f（x）为奇函数，则①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴x≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．运用函数的奇偶性和单调性可判断①；由单调性可得ω≤，即可判断②；运用正弦函数的对称性，即可判断③．本题考查正弦函数的图象和性质，主要是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin x，1），b=（1，k），f（x）=，∴f（x）==sin x+k．--------------------------（2分）关于x的方程f（x）=1有解，即关于x的方程sin x=1-k有解．--------------------------（3分）∵sin x[-1，1]，∴当1-k[-1，1]时，方程有解．--------------------------（4分）则实数k的取值范围为[0，2]．--------------------------（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．--------------------------（6分）当，时，，．---------------------（8分）当，时，，．-------------------------（10分）【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用三角函数的有界性，方程f（x）=1有解，即可求实数k 的取值范围；（Ⅱ）利用方程求出正弦函数的值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力．16.【答案】[-2，2]【解析】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=-3，∴解的b=-4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2-4x，∵函数g（x）是奇函数，∴g（-x）=-g（x），假设x＜0，则-x＞0，则g（-x）=f（-x）=x2+4x，∴g（x）=-x2-4x，∴g（x）=，（i）g（x）的单调减区间为[-2，2]．故答案为：[-2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或-5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或-5＜a＜0．（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先根据函数的奇偶性求出g（x）的解析式，（i）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数的单调减区间，（ii）根据函数单调性性质可得或解得即可本题考查了二次函数的性质和函数的奇偶性的性质，属于中档题17.【答案】f（x）=2sin（2x+）【解析】根据表格可得=-，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间为，k Z．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为-2．当即x=0时，f（x）在区间上的最大值为1．（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数f（x）在区间上的最大值和最小值．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题．18.【答案】③【解析】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意x R，g（x+T）=g（x）+T恒成立．∵G（x）=g（x）-x，∴G（x+T）=g（x+T）-（x+T）=g（x）+T-（x+T）=g（x）-x=G（x）．∴G（x）=g（x）-x为周期函数．（Ⅲ）∵φ（x）=sinx+kx为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意x R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．∴sin（x+T）+kT=sinx+T．令x=0，得sinT+kT=T；令x=π，得-sinT+kT=T；①②两式相加，得2kT=2T．∵T≠0，∴k=1检验：当k=1时，φ（x）=sinx+x．存在非零常数2π，对任意x R，φ（x+2π）=sin（x+2π）+x+2π=sinx+x+2π=φ（x）+2π，∴φ（x）=sinx+x为线周期函数．综上，k=1．（Ⅰ）根据新定义判断即可，（Ⅱ）根据新定义证明即可，（Ⅲ）φ（x）=sinx+kx为线周期函数，可得存在非零常数T，对任意x R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．即可得到2kT=2T，解得验证即可．本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题，属于中档题．。

2017-2018学年北京师大附中高一(上)期末数学试卷-含详细解析

2017-2018学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角2.下列函数中，在R上为奇函数的是（）A. f(x)=cos xB. f(x)=sin xC. f(x)=e xD. f(x)=lg x3.函数f(x)=sin(x−π4)的一个对称中心是（）A. (π2,0) B. (π4,0) C. (−π4,0) D. (−π2,0)4.设全集U=R，集合A={x|12＜2x＜8}，B={x|ln x＞0}，则A∩B=（）A. (−1,+∞)B. (−1,3)C. (1,3)D. (1,+∞)5.已知a=2log32，b=log35，c=(13)0.2，则（）A. c<b<aB. a<b<cC. b<a<cD. c<a<b6.已知π3＜α＜π，则“α=π2”是“sin(α+π6)=32”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.把函数y=cos(3x−π4)的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos3x的图象（）A. 向左平行移动π4个单位 B. 向右平行移动π4个单位C. 向左平行移动π12个单位 D. 向右平行移动π12个单位8.设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），则f（-100）的值为（）A. −12B. 12C. −2D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：log14+(−8)23=______．10.当x∈(π3，π2)时，函数f（x）=tan x的值域为______．11.角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=______．12.已知a＞0，则不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为______．13.若存在x＞0，使得x+2x−a＜0，则实数a的取值范围是______．14.已知函数y=f（x）是定义在区间[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a．设函数F（x）=|f（x）|-|f（-x）|，且F（x）不恒等于0，则下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的序号） ①F （x ）的定义域为[-b ，b ]； ②F （x ）是奇函数； ③F （x ）的最小值为0；④F （x ）在定义域内单调递增．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知sinα−cosα=12，且α∈（0，π）．（Ⅰ）求cosα；（Ⅱ）求sin (α+π4)sin 2α+cos 2α+1的值．16. 已知函数f (x )=sin 2x + 3sinxcosx ．（Ⅰ）求f (3π4)；（Ⅱ）当x ∈[0，π2]时，求函数f （x ）的最值及对应x 的值．17. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，N 为f （x ）图象的一个最高点，M 、Q 为f （x ）图象与x 轴的交点．（Ⅰ）若M (π6，0)，N (5π12，3)，求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ 为直角三角形，求A •ω的值．18.某港口的水深y（单位：m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，下面是该港口经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，已知该曲线可近似的看成函数y=A sinωt+B的图象．（Ⅰ）试根据水深表和曲线，求A，ω，B的值；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）请说明理由．19.已知函数f(x)=ln x−2．x+2（Ⅰ）若f（a）=1，求a的值；（Ⅱ）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）写岀方程f（x）=sin x+2根的个数（不需证明）．20.给定函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：对任意的x∈[t-a，t+b]，|f（x）-f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（Ⅰ）是否存在函数f（x），使得H（t）是R上的常值函数？试说明理由；（Ⅱ）若f（x）=x2，当t∈[l，2]时，①求函数H（t）的解析式；②求函数H（t）的值域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2.【答案】B【解析】解：对于A，f（x）是偶函数，对于B，f（x）是奇函数，对于C，D，f（x）是非奇非偶函数，故选：B．根据函数的奇偶性的定义判断即可．本题考查了函数的奇偶性，熟练掌握函数的单调性的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：令x-=kπ，k∈Z，求得x=kπ+，故函数的对称中心为（kπ+，0），令k=0，可得函数的一个对称中心是（，0），故选：B．利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的一个对称中心．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵=（-1，3），B={x|lnx＞0}=（1，+∞），∴A∩B=（1，3）．故选：C．求解指数不等式和对数不等式化简A，B，再由交集运算得答案．本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交集运算，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵1=log33＜a=2log32=log34＜b=log35＜log39=2，＜（）0=1，∴c＜a＜b．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵，∴＜＜，又“”∴α+=，解得α=．∴“”是“”的充要条件．故选：C．由，知＜＜，又可得α+=，解得α．即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：把函数的图象向左平行移动个单位，可得函数y=cos（3x+3•-）=cos3x的图象，故选：C．由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，得出结论．本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．∴对任意实数x，有f（x+7）•f（x+14）=-1．即f（x）=f（x+14），即函数是周期为14的周期函数，故f（-100）=f（-2），∵当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），∴f（5）=2，∵f（-2）•f（5）=-1．，故f（-100）=f（-2）=-，故选：A．先由已知得到函数是周期为14的周期函数，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数运算，难度不大，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：=-2+4=2．故答案为：2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式的化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】（3，+∞）【解析】解：当时，函数f（x）=tanx单调递增，故：当时，函数在x=时，函数存在最小值，即：y=．所以f（x）的值域为：．故答案为：直接利用正切函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用．11.【答案】−43【解析】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===-．故答案为：．求出角的正切函数值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查任意角的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．12.【答案】(−1，1)a【解析】解：不等式ax2+（1-a）x-1＜0，即（ax+1）（x-1）＜0，∵a＞0，∴，不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为：故答案为：利用因式分解，结合二次函数的性质即可求解．本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a＞22【解析】解：存在x＞0，使得，则a＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴a＞2，故答案为：．分离参数则a＞x+，求出x+的最小值即可得到a的取值范围．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题14.【答案】①②【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）-f2（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，而又由0＜b＜-a，则F（x）=f2（x）-f2（-x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；对于②，F（-x）=f2（-x）-f2（x）=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，则F（x）为奇函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x-2-2x=22x-无最小值，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[-b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；故答案为：①②对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定义域，可得①正确；对于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案本题考查函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．15.【答案】解：（Ⅰ）∵sinα−cosα=12，∴可得：sinα=cosα+12，∵sin2α+cos2α=1，∴（cosα+12）2+cos2α=1，可得：8cos2α+4cosα-3=0，∴cosα=−1±74，∵α∈（0，π）．cosα=sinα-12∈（-12，12），∴cosα=7−14．（Ⅱ）∵cosα=7−14，sinα=7+14．∴sin2α=2sinαcosα=34，cos2α=2cos2α-1=-74，∴sin(α+π4) sin2α+cos2α+1=22(sinα+cosα)sin2α+cos2α+1=1447−74=14+26．【解析】（Ⅰ）由已知及同角三角函数基本关系式可得8cos2α+4cosα-3=0，结合范围α∈（0，π）．可求cosα的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα，sin2α，cos2α的值，利用两角和的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）函数f(x)=sin2x+3sinxcosx．那么f(3π4)=（sin3π4）2+3sin3π4cos3π4=12+3×22×(−22)=1−32；（Ⅱ）由函数f(x)=sin2x+3sinxcosx=12−12cos2x+32sin2x=sin（2x-π6）+12，∵x∈[0，π2]时，∴2x-π6∈[−π6，5π6]，∴当2x-π6=−π6，即x=0时，有最小值为0，当2x-π6=π2，即x=π3时，有最大值32．【解析】（Ⅰ）将x=带入计算即可；（Ⅱ）利用二倍角和辅助角化简，时，求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得最值及对应x 的值．本题考查三角函数的最值的求解，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）若M (π6，0)，N (5π12，3)，则A =3，T 4=5π12-π6=3π12=π4，即周期T =π，又2πω=π，则ω=2，则f （x ）=3sin （2x +φ），∵f （5π12）=3sin （2×5π12+φ）=3，∴sin （5π6+φ）=1，即5π6+φ=π2+k π，k ∈Z ，则φ=-π3+k π，∵|φ|＜π2，∴当k =0时，φ=-π3，则f （x ）=3sin （2x -π3）．（2）由2k π+π2≤2x -π3≤2k π+3π2，k ∈Z ，得k π+5π12≤x ≤k π+11π12，k ∈Z即函数的单调递减区间为[5π12+kπ，11π12+kπ]，k ∈Z ．（Ⅲ）设M ，Q 的中点是P ，若△MNQ 为直角三角形，则AP =MP ，即△MNP 是等腰三角形，则(T 4)2+A 2=(T 2)2，即A 2=T 24−T 216=3T 216，则A = 34T = 34⋅2πω，则Aω=32π．【解析】（Ⅰ）根据M，N的坐标，找出A，T之间的关系求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）利用三角函数单调性的性质即可求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ为直角三角形，结合勾股定理建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，．可知A=13−72=3，B=13+72=10．图象过（3，13）即可求解ω．那么：13=3sin3ω+10，可得：sin3ω=1，∴ω=π6故得：A=3，ω=π6，B=10．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，即y=3sinπ6t+10≥11.5，∴sinπ6t≥1 2，∵0≤t≤24，∴1≤t≤5或13≤t≤17．故：该船在凌晨1点-5点，或13点-17点能够安全进港；若该船当天港内停留的时间最长，应从凌晨1点进港，17点前离港，最长停留时间为16小时．【解析】（Ⅰ）由题意提供函数y=Asinωt+B的图象．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么水深y≥11.5，结合三角函数的性质即可求解；本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系19.【答案】解：（Ⅰ）由f（a）=ln a−2a+2=1，即a−2a+2=e，解得a=2+2e1−e；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．由x−2x+2＞0，解得x＞2或x＜-2，故函数f（x）的定义域是（-∞，-2）∪（2，+∞），关于原点对称，而f（-x）=ln−x−2−x+2=ln x+2x−2=-ln x−2x+2=-f（x），故函数是奇函数；（Ⅲ）1个．【解析】（Ⅰ）由f（a）=1，结合对数的定义，解方程可得a的值；（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．运用函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得；（Ⅲ）结合f（x）的图象和y=sinx+2的图象，可得根的个数．本题考查函数的奇偶性和方程的根的个数，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）存在一次函数f（x）=kx+m（k≠0），使得H（t）是R上的常值函数．事实如下：当f（x）=kx+m时，由|f（x）-f（t）|≤2，得|kx+m-kt-m|≤2，即|k|•|x-t|≤2，解得t−2|k|≤x≤t+2|k|，则a=−2|k|，b=2|k|，∴H（t）=a+b=0为R上的常值函数；（Ⅱ）①由|f（x）-f（t）|≤2，得f（t）-2≤f（x）≤f（t）+2，即t2-2≤x2≤t2+2，（*）当1≤t≤2时，解（*）得：2+2≤x≤ t2+2，此时a−b=2 t2+2；当2＜t≤2时，解（*）得：− t2−2≤x≤ t2+2，此时a−b= t2+2− t2−2．综上，有H（t）=2 t2+2(1≤t≤2)t2+2− t2−2(2＜t≤2)．②由函数单调性可得H（t）∈[6−2，2)∪[23，4]．∴函数H（t）的值域为[6−2，2)∪[23，4]．【解析】（Ⅰ）根据题意，当f（x）=kx+m（k≠0）时，由不等式|f（x）-f（t）|≤2可得t≤x≤t+，则a=，b=，得出H（t）为常值函数；（Ⅱ）①根据题意，当f（x）=x2且t∈[1，2]时，不等式|f（x）-f（t）|≤2化为|x2-t2|≤2，利用不等式的性质求出x的取值范围，写出函数H（t）的解析式；②由函数的单调性求解H（t）的值域．本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．。