常数与幂函数的导数 导数公式表
8个基本初等函数的导数公式
8个基本初等函数的导数公式一、常数函数的导数公式：对于常数函数f(x)=c，其中c为任意常数，则有f'(x)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平线，斜率为0，所以它的导数恒为0。
二、幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为一个实数常量，则有f'(x)=nx^(n-1)。
这是因为幂函数的图像是一条由原点出发，通过点(x,x^n)的曲线，斜率与该点的切线斜率相等，而切线的斜率正好等于x^n的导数。
三、指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=a^x*ln(a)。
这是因为指数函数的导数与函数自身成正比例关系，比例常数为该指数的底数乘以自然对数。
四、对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为一个大于0且不等于1的实数常量，则有f'(x)=1/(x*ln(a))。
这是因为对数函数的导数与函数自身成反比例关系，比例常数为导数函数的定义域上的所有值的倒数。
五、三角函数的导数公式：(1) 对于正弦函数f(x)=sin(x)，则有f'(x)=cos(x)。
(2) 对于余弦函数f(x)=cos(x)，则有f'(x)=-sin(x)。
(3) 对于正切函数f(x)=tan(x)，则有f'(x)=sec^2(x)。
(4) 对于余切函数f(x)=cot(x)，则有f'(x)=-csc^2(x)。
(5) 对于割函数f(x)=sec(x)，则有f'(x)=sec(x)*tan(x)。
(6) 对于余割函数f(x)=csc(x)，则有f'(x)=-csc(x)*cot(x)。
这是因为三角函数的导数与函数自身有一定的关系，可以通过极限的方法证明出来。
六、双曲函数的导数公式：(1) 对于双曲正弦函数f(x)=sinh(x)，则有f'(x)=cosh(x)。
2.1-3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表全面版
求导时,先将其转化为指数式的形式.
题型一
题型二
导数公式的应用
【例 2】
求曲线 y=sin x 在点 P
π 2
,1
处的切线方程.
分析利用导数公式求出该处的导数,即切线的斜率,再由点斜
式写出切线方程即可.
解∵y'=(sin x)'=cos x,∴y'|������=π2=cosπ2=0. ∴所求直线方程为 y-1=0,即 y=1.
题型一
题型二
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数: (1)y=���1���5;(2)y=5 x3;(3)y=3x;(4)y=log2x.
分析对于基本初等函数的求导,直接利用导数公式求导.但要注
意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形
式,以免在求导时发生不必要的错误.
解(1)y'=
1 x5
'=(x-5)'=-5x-6=-x56;
(2)y'=(5 ������3)'=(������35)'=35 ������-25 = 553������2;
(3)y'=3xln 3;
(4)y'=x������1������2.
反思基本初等函数求导的关键:①熟记导数公式表;②根式、分式
题型一
题型二
【例3】 已知点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上,直线l是以点P为切点的 切线,求过点P且与直线l垂直的直线的方程.(字母e是一个无理数,是 自然对数的底数)
所有导数公式大全
以下是一些常见的导数公式：1. 常数函数的导数：(c)' = 0，其中c为常数。
2. 幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为实数。
3. 指数函数的导数：(e^x)' = e^x。
4. 对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x。
5. 三角函数的导数：- (sin(x))' = cos(x)- (cos(x))' = -sin(x)- (tan(x))' = sec^2(x)- (cot(x))' = -csc^2(x)- (sec(x))' = sec(x)tan(x)- (csc(x))' = -csc(x)cot(x)6. 反三角函数的导数：- (arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)- (arccos(x))' = -1/√(1-x^2)- (arctan(x))' = 1/(1+x^2)- (arccot(x))' = -1/(1+x^2)- (arcsec(x))' = 1/(|x|√(x^2-1))- (arccsc(x))' = -1/(|x|√(x^2-1))7. 求和规则：(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)，其中f(x)和g(x)是可导函数。
8. 乘积规则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)，其中f(x)和g(x)是可导函数。
9. 商规则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中f(x)和g(x)是可导函数且g(x)≠0。
10. 链式法则：如果y = f(g(x))，则dy/dx = f'(g(x))g'(x)，其中f(u)和g(x)是可导函数。
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . . ( x . ) n x n
C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . .( .x ) n
x
x0
x
x0 x x x x
lim
1
1
x0 x x x 2 x
即 x 1 x 0 P/15注意事项： 2x
注意事项:
x 1、，在求导数时，当 x 0时， 是不变
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
5
5 5x2
练习2:求下列函数的导数
(1) y=5x2-4x+1
(2) y=-5x2+3x+7
(3) y=(2+x)(3-x) (4) y=(2x-1)(3x+2) (5)y=x2-cosx
1.2.2导数公式表及数学软件的应用
数学 组
孙靓
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
公式2: x 1
设yf xx
xlimf
xxf
x xxx
lim
1
x0
x
x0
x
即x1
在同一平面直角坐标系中，
探 画出y=2x,y=3x,y=4x的 究 图象，并根据导数定义， ？ 求它们的导数。
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
课件4：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
解：(1)y′＝3x2.
3
(2)y＝x2
，y′＝32x21 ＝32
x.
(3)∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
(4)∵y＝x－2，∴y′＝－2x－3＝－x23.
方法总结：
(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但 运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求 导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．
方法总结 (1)利用导数求曲线上某点处的切线方程的步骤： ①先求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)， 即切线斜率 k＝f′(x0)． ②根据直线方程的点斜式得切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)求过不在曲线上的点的切线方程的一般方法：先设出切 点的坐标，切点在曲线上，再利用导数的几何意义求解即可．
(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰 当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行 化简整理．这样能够简化运算过程．
跟踪训练 1 求下列函数的导数． (1)y＝ax(a>0 且 a≠1)； (3)y＝ex；
(2)y＝log3x； (4)y＝lnx.
解：(1)y′＝axlna. (2)y′＝xl1n3. (3)y′＝ex. (4)y′＝1x.
教材自主预习
2．幂函数的导数 (1)函数 f(x)＝x 的导数 f′(x)＝1. (2)函数 f(x)＝x2 的导数为 f′(x)＝2x. (3)函数 f(x)＝1x的导数为 f′(x)＝－x12.
以上几个常见幂函数的导数，由它们的形式可以推测出幂
函数的导数公式：(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
跟踪训练 3 求曲线 y＝cosx 在点 A(6π， 23)处的切线方程． 解：∵y＝cosx，∴y′＝－sinx. y′|x＝π6＝－sin6π＝－12，∴k＝－12. ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12(x－6π)． 即 6x＋12y－6 3－π＝0.
常数与幂函数的导数、导数公式表课件
π 3 求曲线 y＝cosx 在点 A(6， 2 )处的切线方程．
[ 解析]
∵y＝cosx，∴y′＝－sinx.
π π 1 1 y′|x＝6＝－sin6＝－2，∴k＝－2. 3 1 π ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 2 ＝－2(x－6)． 即 6x＋12y－6 3－π＝0.
易错疑难辨析
已知函数 y＝(－x)8，求 y′.
成才之路· 数学
人教B版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
导数及其应用
第三章
3.2
导数的运算
第三章
第1课时 常数与幂函数的导数、导数公式表
第三章
课前自主预习
易错疑难辨析
课堂典例讲练
方法警示探究 课后强化作业
课前自主预习
• 在17世纪60年代，牛顿就已经发现利用导数 能解决数学和物理学科的许多问题．但是运 用定义法求解导数运算太复杂，有时甚至无 法完成．是否有更简单的求导方法呢？
∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
π π 2 ∴y′|x＝4＝cos4＝ 2 . 2 ∴经过这点的切线的斜率为 2 ，从而可知适合题意的直线 的斜率为－ 2. ∴由点斜式得适合题意的直线方程为 2 π 2 2 y－ 2 ＝－ 2(x－4)，即 2x＋y－ 2 － 4 π＝0.
• [点评] 在确定与切线垂直的直线方程时， 应注意考察函数在切点处的导数y′是否为零， 当y′＝0时，切线平行于x轴，过切点P垂直 于切线的直线斜率不存在．
•求导函数
求下列函数的导数． (1)y＝x3； (2)y＝x x； x x (3)y＝2sin2cos2； 1 (4)y＝x2.
[ 解析]
(1)y′＝3x2.
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是一个基本的概念。
它描述了函数在给定点的变化率。
了解导数的基本公式对于求解微积分问题是至关重要的。
在本文中，我们将详细讨论16个基本导数公式，每个公式都将包含定义、求导法则和常见的具体例子。
1.常数函数的导数：定义：如果函数$f(x)$是一个常数，则$f'(x)=0$。
求导法则：常数的导数是0。
例如：对于函数$f(x)=5$，它的导数$f'(x)=0$。
2.幂函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是一个正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。
求导法则：对于幂函数，使用幂函数的指数作为系数，然后将指数减1例如：对于函数$f(x)=x^2$，它的导数$f'(x)=2x$。
3.指数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a \neq 1$，则 $f'(x)=a^x \ln(a)$。
求导法则：对于指数函数，使用指数和常数的乘积，并且乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数 $f'(x)=2^x \ln(2)$。
4.对数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\log_a(x)$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln(a)}$。
求导法则：对于对数函数，使用1除以输入的自变量乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=\log_2(x)$，它的导数 $f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}$。
5.正弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\sin(x)$，则 $f'(x)=\cos(x)$。
求导法则：正弦函数的导数是余弦函数。
例如：对于函数 $f(x)=\sin(2x)$，它的导数 $f'(x)=2\cos(2x)$。
6.余弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\cos(x)$，则 $f'(x)=-\sin(x)$。
高等数学常用导数公式大全
高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。
导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。
本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。
常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。
2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。
3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。
4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。
5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。
6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。
高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。
隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。
常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。
高等数学导数公式大全
高等数学导数公式大全一、基本导数公式1. 设常数a为导数常数，则有：（1）导数为零：d(ax)/dx = 0（2）导数为常数：d(ax)/dx = a2. 幂函数导数：（1）常数的幂函数导数：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为正整数（2）自然指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x（3）指数函数的导数：d(a^x)/dx = ln(a)*a^x，其中a>0且a≠1（4）对数函数的导数：d(logₐx)/dx = 1/(xlna)，其中a>0且a≠1 3. 三角函数导数：（1）正弦函数的导数：d(sin x)/dx = cos x（2）余弦函数的导数：d(cos x)/dx = -sin x（3）正切函数的导数：d(tan x)/dx = sec^2 x（4）余切函数的导数：d(cot x)/dx = -csc^2 x（5）正割函数的导数：d(sec x)/dx = sec x * tan x（6）余割函数的导数：d(csc x)/dx = -csc x * cot x4. 反三角函数导数：（1）反正弦函数的导数：d(arcsin x)/dx = 1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（2）反余弦函数的导数：d(arccos x)/dx = -1/√(1-x²)，(-1≤x≤1)（3）反正切函数的导数：d(arctan x)/dx = 1/(1+x²)（4）反余切函数的导数：d(arccot x)/dx = -1/(1+x²)（5）反正割函数的导数：d(arcsec x)/dx = 1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)（6）反余割函数的导数：d(arccsc x)/dx = -1/(x√(x²-1))，(x>1或x<-1)二、导数运算法则1. 基本导数运算法则：（1）和差法则：d(u±v)/dx = du/dx ± dv/dx（2）常数倍法则：d(cu)/dx = c * du/dx，其中c为常数（3）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx（4）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v²，其中v≠02. 复合函数的导数：若y=f(u)和u=g(x)是可导函数，则有：d(f(g(x)))/dx = d(f(u))/du * d(g(x))/dx3. 反函数的导数：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则有：d(g(y))/dy = 1 / d(f(x))/dx，其中d(f(x))/dx≠0三、高级导数公式1. 高阶导数：（1）二阶导数：d²y/dx² = d(dy/dx)/dx（2）三阶导数：d³y/dx³ = d(d²y/dx²)/dx = d²(dy/dx)/dx²2. 高阶导数公式：（1）幂函数的n阶导数：d^n(x^m)/dx^n = (m)(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^(m-n)（2）指数函数的n阶导数：d^n(e^x)/dx^n = e^x（3）对数函数的n阶导数：d^n(logₐx)/dx^n = (-1)^(n-1)(n-1)!/x^n四、隐函数求导公式设x和y是关于变量t的函数，则有：dy/dx = dy/dt / dx/dt例如，对于方程x^2 + y^2 = R^2，其中R为常数，可得：dy/dx = -x/y以上是高等数学导数公式的大全，涵盖了基本导数公式、导数运算法则、高级导数公式和隐函数求导公式。
导数的公式及证明
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4．对数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x 5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx 6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx 7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀： 常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量’ 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3． 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2．这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。 所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。 可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=logae/x。 也可以进一步用换底公式 limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。 这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2) Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2) 所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx 6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。 7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。 对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。 y=x^n 由指数函数定义可知，y>0 等式两边取自然对数 ln y=n*ln x 等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 幂函数同理可证 导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率 上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。 x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1. 建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸. 并且要认识到导数是一个比值。
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
x 0
x 0
2 x
lim sin x 1 x0 x
2
sin x
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证 明 ： ln x lim ln x x ln x
x 0
x
ln lim
x 0
x x
x x
lim
x 0
lnБайду номын сангаас
1
x x
x
li
x
m
0
ln
1
x x
1
x
1
x x
lim
ln
1
x 0
1 x
x
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例 3 .求 下 列 函 数 的 导 数 . (1 )yx3sinxco sx (2 )y2sinxco sx2 x2 1
22
(1 )解 :y' (x3 six nco x ) 's (x3 ) ( ' sx ) i n ( ' cx )o 3 x2 co x ssixn
( 2 ) 解 y ' ( 2 s ； x i cn x o 2 x 2 s 1 ) ( ' s x ) ( i 2 'x 2 n ) 1 '' cx o 4 xs 22
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练习1：求下列函数的导数。
(1 )y 2 x 3 1 (2 )y x 1 2(3 )y x(4 )y 5x 3
( 1 )解 y ' ： 2 3 x 3 1 6 x 2
( 2 )解 :y ' (x 1 2 ) ( 'x 2 ) '2 (x ) 2 1 2 x 3 x 2 3
已知:函数f ( x )是可导的奇函数,求证:其导函
导数公式微分公式和积分公式
导数公式微分公式和积分公式一、导数公式1.基本导数公式：(1)常数函数的导数为0：(c)'=0(2) 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)(3) 指数函数的导数：(a^x)'=a^xlna (其中a>0，a≠1)(4) 对数函数的导数：(log_ax)'=1/(xlna) (其中a>0，a≠1)(5) 正弦函数和余弦函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx(6) 正切函数的导数：(tanx)'=sec^2x(7) 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的导数：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)，(arccosx)'=-1/√(1-x^2)，(arctanx)'=1/(1+x^2)2.导数的四则运算：(1)和差的导数：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'(2) 函数与常数的乘积的导数：(cf)'=cf'(3) 积的导数：(fg)'=f'g+fg'(4) 商的导数：(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 (其中g≠0)(5)复合函数的导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)二、微分公式微分可以看作函数在其中一点上对自变量的微小变化与函数值的微小变化之间的比率。
微分公式是导数概念的一个应用，常用于近似计算。
1.一阶微分公式：(1) 一个变量的微分：df=f'(x)dx(2) 两个变量的微分：df=f_xdx+f_ydy (其中f_x和f_y分别是函数f关于x和y的偏导数)2.高阶微分公式：(1) 一个变量的n阶微分：d^n f/dx^n(2) 两个变量的混合n阶微分：d^n f/dx^mdy^n-m (其中m+n为n阶)三、积分公式积分是微分的逆运算，可将一个函数的导数还原为原函数，同时也可以用于计算曲线下的面积、体积等。
常数与幂函数的导数、导数公式表
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在 点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
可导与连续关系
可导必连续
如果函数在某点可导，则该函数 在该点必定连续。
连续不一定可导
即使函数在某点连续，也不一定 在该点可导。例如，函数$y = |x|$在$x = 0$处连续但不可导。
常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
若$f(x) = c$（$c$为常 数），则$f^{prime}(x) = 0$。
若$f(x) = x^n$（$n$为 实数），则$f^{prime}(x) = nx^{n-1}$。
若$f(x) = a^x$（$a > 0, a neq 1$），则 $f^{prime}(x) = a^x ln a$。
导函数。
如果$u = g(x)$在点$x$可导，且$y = f(u)$在点$u = g(x)$可导，则复合 函数$y = f[g(x)]$在点$x$也可导，
且其导数为$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx}$或
写作$y' = f'(u) cdot g'(x)$。
限为-1/6。
练习
求解极限lim(x->∞) (x^2 - 2x + 1) / (3x^2 + 4x + 1)，并说明求解过程中洛必达法则 的应用。
06
泰勒公式与泰勒级数
泰勒公式简介
泰勒公式定义
泰勒公式的意义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法， 通过在某点的各阶导数值来构造一个多项式， 以此多项式来近似表示该函数在该点附近的 性态。
常数函数与幂函数的导数和导数公式表
解：设切点为P(x0 , y0 ) 则y' (x4 x2 3) ' 4x3 2x
y ' xx0 4x03 2x0 6 x0 1
y0 x04 2x0 3 6,故P的坐标(1,6).
4
4
2 24
24
例3.求下列函数的导数. (1) y x3 sin x cosx
(2) y 2sin x cos x 2x2 1 22
例4、求在曲线y=cosx上一点P( ，1)处
的切线方程
32
变式： 已知点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π）， 且在点P处的切线斜率大于0，求点P的 横坐标的取值范围。
例5、若直线y=-x+b为函数 y 1 x
图象的切线，求b及切点的坐标
变式:直线 y 1 x 3 能作为下列函数图象的切线 2
吗？若能，求出切点的坐标，若不能，简述理由
(1) f (x) 1 (2) f (x) 1
x
x
(3) f(x)=sinx (4)f(x)=ex
例6.求曲线y x4 x2 3的斜率为6的切线方程. 分析：函数在某处的导数的几何意义
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
xn nxn1 n N
（loga
x)
x
1 ln
a
;
(ax ) ax lna;
(sin x) cos x;
(x ) x1(为实数）； （ln x) 1 ;
x (ex ) ex; (cos x) sin x;
导数常用公式
导数常用公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数常常用于求解最优化问题、优化控制问题等。
下面介绍一些导数常用公式。
1. 常数函数的导数对于常数函数f(x)=c，它的导数为0，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数对于指数函数f(x)=a^x，它的导数为f'(x)=a^xlna。
4. 对数函数的导数对于对数函数f(x)=lnx，它的导数为f'(x)=1/x。
5. 三角函数的导数对于正弦函数f(x)=sinx，它的导数为f'(x)=cosx；对于余弦函数f(x)=cosx，它的导数为f'(x)=-sinx；对于正切函数f(x)=tanx，它的导数为f'(x)=sec^2x。
6. 复合函数的导数对于复合函数f(g(x))，它的导数为f'(g(x))g'(x)。
7. 和、差、积、商的导数对于函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积、商的导数分别为：f(x)+g(x)的导数为f'(x)+g'(x)；f(x)-g(x)的导数为f'(x)-g'(x)；f(x)g(x)的导数为f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；f(x)/g(x)的导数为[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)。
以上是导数常用公式的介绍，它们在微积分中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们可以利用这些公式来求解函数的导数，从而得到函数在某一点处的变化率。
同时，这些公式也为我们提供了一些求解最优化问题、优化控制问题等的工具。
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1．若f (x )＝cos π4
，则f ′(x )为( ) A ．－sin π4 B ．sin π4
C ．0
D ．－cos π4 解析：f (x )＝
22
，f ′(x )＝0. 答案：C
2．(2011·江西高考)曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )
A ．1
B ．2
C ．e D.1e 解析：y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1.
答案：A
3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e
B ．－1e
C ．－e
D ．e 解析：y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则
⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝k x 0y 0＝e
x 0
k ＝e x 0
∴e x
0·x 0＝e x 0
，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案：D
4．设曲线y ＝x n ＋
1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x n 等于 ( ) A.1n
B.1n ＋1
C.n n ＋1
D ．1 解析：y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1
.
答案：C
5．已知函数f (x )＝x m －
n (m ，n ∈Q )的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________. 解析：∵f (x )＝x m －n ，∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4，∴m ＋n ＝12. 答案：12
6．函数f (x )＝sin x (x ∈[0,2π])，若f ′(x 0)＝12
，则x 0＝________. 解析：∵f (x )＝sin x ，
∴f ′(x )＝cos x ，
cos x 0＝12
，又x 0∈[0,2π]， ∴x 0＝π3或x 0＝5π3
. 答案：π3或5π3
7．求曲线y ＝1x 2和y ＝1x 在它们的交点处的切线方程． 解：由⎩⎨⎧ y ＝1x 2，
y ＝1x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1.∴交点坐标为(1,1)． 对于y ＝1x 2＝x －2，y ′＝－2x －3，∴k 1＝y ′|x ＝1＝－2， 对于y ＝1x ＝x －1，y ′＝－x －2，∴k 2＝y ′|x ＝1＝－1.
∴曲线y ＝1x 2在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋3. 曲线y ＝1x 在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.
8．设点P 是y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最短距离．
解：y ′＝(e x )′＝e x ，
由题意得当点P 为平行于y ＝x 的直线与曲线相切的切点时，点P
到直线y ＝x 的距离最短．
e x ＝1，得x ＝0，
代入y ＝e x ，y ＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最短距离为22.。