数学：1.2.1《常数函数与幂函数的导数》

yc
O
x
y 所以 y` lim lim 0 0. x 0 x x 0 y` 0表示函数 y c图象1.2 1上每一点处的 切线的斜率都为 .若y c表示路程关于时间的 0 函数, 则 y` 0 可以解释为某物体的瞬 时速度始 终为0, 即一直处于静止状态 .
1 4. 函数 y f x 的导数 x
y 1 1 所以 y` lim lim 2 2. x 0 x x 0 x x x x
1 探究 画出函数y 的图象.根据图象, 描述它的 x 变化情况, 并求出曲线在点1,1处的切线方程 .
由上述推导，你发现了什么规律？
三、概念形成
.幂函数的导数
问题2：运用导数定义，求下列几个幂函数的导数. 幂函数的导数公式：
(x ) ' x

1
, Q
练习:求以下几个幂函数的导数. (1)y=x8 (2)y=x12 (3)y=x4/3
四、应用举例
例1：求下列函数的导数。
(1) y 5
四、应用举例
1 例2.质点运动方程是 S ，求质点在 t 2 时的速度。 t5 1 5 6 解：因为 S ，所以 S ' (t ) ' 5t t5 5 6 S ' |t 2 5 2 64
5 答：质点在 t 2 时的速度是 。 64
五、课堂练习
y` 2 x 表示函数 y x 图象1.2 3 上点 x, y 处
2
切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率
另一方面, 从导数作为函数在一点 的瞬 也在变化 . ' 时变化率来看 y 2 x 表明: 当x 0 时, 随着x 的增 ,
加, y x 减少得越来越慢当x 0时, 随着x的增加, ;
三、概念形成
概念2.幂函数的导数
问题2：运用导数定义，下列几个幂函数的导数. (1) (2)
(3)
(4) (5)
yx 2 yx 3 yx
1 yx x
1
x' 1 2 (x ) ' 2x 3 2 ( x ) ' 3x
1
1 1 2 (x ) ' ( ) ' 2 x x x 1 1 1 1 1 2 2 2 y x x (x ) ' ( x ) ' x 2 x 2
图1.2 1
2. 函数 y f x x的导数
y f x x f x 因为 x x x x x 1, x y 所以 y` lim lim 1 1. x 0 x x 0
y
yx
O
x
图1.2 2
y` 1表示函数 y x图象1.2 2上每一点处的 切线的斜率都为 .若y x表示路程关于时间的 1 函数, 则 y` 1 可以解释为某物体做瞬 时速度为 1的匀速运动 .
2
若y x2表示路程关于时 y x 增加得越来越快.
2
间的函数, 则 y 2 x, 可以解释为某物体作变 速运
'
动,它在时刻x的瞬时速度为 x. 2
1 1 y f x x f x 因为 x x x x x x
x x x 1 2 , x x x x x x x
1.2.
导数的运算
1.2.1 常数函数与幂函数的导数
一、复习引入
导数的定义： 设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义，当自变量x在点x0 处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) 如果当Δx0时，Δy/Δx的极限存在，这个极限就叫做函 数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 f ( x )或y | , 0 x x0 即:
f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim x 0 x x 0 x
我们知道, 导数的几何意义是曲线 在某 点处的切线的斜率物理意义是运动物 , 体在某一时刻的瞬时速 .那么, 对于函 度 数 y f x , 如何求它的导数呢?
3
(1)解：y ' ( 3 5 )' 0
2 3 5 3 5 3 (2)解：y ' ( x ) ' ( x ) ' ( x) 5 5 5 x2 6 7 (3)解：y ' ( x ) ' 6 x 3 5
(2)y x
5
3
(3)y x
6
小结： 对于简单函数的求导，关键是学会合理转化关系式， 以便可以直接利用公式求解。
3. 函数 y f x x2 的导数 y f x x f x 因为 x x x x 2 x2 x
x 2 x x x x 2 x 2 x x,
2 2
y
y x2
O
x
图1.2 3
y 所以 y` lim lim 2 x x 2 x. x 0 x x 0
课本第18页，练习A，1，2，3
六、课堂总结
(x ) ' x

1
, Q
七、布置作业
课本第18页，练习B，1，2，3
弹性作业：
5. 函数 y f x x 的导数
y f x x f x 因为 x x
x x x x


x x x x x x x x x x




1 , x x x
y 1 1 所以 y` lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
根据函数的定义 求函数y f x 的导数, , y 就是求出当x趋近于0时, 所趋于的那 x 个定值.
下面我们求几个常用函 数的导数.
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1. 函数 y f x c的导数
y f x x f x 因为 x x cc 0, x
y