1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用课件新人教B版选修2_22
知识点二 基本初等函数的导数公式表
y＝f(x) y＝c
0 nxn－1y′＝ μxμ－1 y′＝
y′＝f′(x) y′＝_
y＝xn(n∈N＋)
y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q) y＝ax(a>0，a≠1) y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝sin x y＝cos x
，n为正
，μ为有
axln a y′＝_______
3
4
5
解析
答案
2.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有 A.1条
C.3条
B.2条 √
D.不确定
解析 设切点为(x0，y0)，∵f′(x0)＝3x2 0＝1，
3 ∴x0＝± 3 .
故斜率等于1的切线有2条.
1
2
3
4
5
解析
答案
1 3.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则e a＝
.
1 1 1 解析 f′(x)＝xln a，则 f′(1)＝ln a＝－1，∴a＝e.
利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0) 处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最 值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象 分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.
跟踪训练3
已知A、B、C三点在曲线 xy＝
上，其横坐标依
次为1、
m、4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，m的值为
＝ . 解析 设切点坐标为 (x0 ， y0) ，
由题意得 y1
x＝x0
1 ＝x ＝k， 0
②
①
又y0＝kx0，
而且y0＝ln x0，
【数学】1.2.1《常数函数与幂函数的导数》课件(新人教B版选修2-2)
∆y 所以 y`= lim = lim − =− . ∆x → ∆x ∆x → x x + x ⋅ ∆x
究 出 数 探 画 函 y = 的 象 据 象描 它 图 .根 图 , 述 的 x 变 情 ,并 出 线 点 , )处 切 方 . 化 况 求 曲 在 ( 的 线 程
根 函 的 义 函 y = f ( x)的 数 据 数 定 ,求 数 导 , ∆y , 就 求 当 x趋 于 时 所 于 那 是 出 ∆ 近 趋 的 ∆x 个 值 定 .
面 们 几 常 函的 数 下 我 求 个 用数 导 .
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) 因为 = ∆x ∆x O x c−c = = , ∆x 图 . − ∆y 所以 y`= lim = lim = . ∆x → ∆x ∆x → y`= 表示函数 y = c图象( . − )上每一点处的 切线的斜率都为 .若y = c表示路程关于时间的 函数, 则 y`= 可以解释为某物体的瞬时速度始 终为 , 即一直处于静止状态.
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) 因为 = = ∆x ∆x
. 函数 y = f ( x ) = x 的导数
x + ∆x − x ∆x
( =
=
x + ∆x − x x + ∆x + x ∆x x + ∆x + x
(
)(
)
)
x + ∆x + x
,
∆y 所以 y`= lim = lim ∆x → ∆x ∆x →
课时作业9：1.2.1 常数函数与幂函数的导数
1.2.1 常数函数与幂函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝x ，则y ′＝12xD ．若y ＝x ，则y ′＝1 2．y ＝13x 2的导数为( )A ．23x －13B ．23x C ．23x-D ．－2353x -3．y ＝2x 在点A (1,2)处的切线方程为( )A ．2x ＋y －4＝0B ．2x －y ＋2＝0C ．2x ＋y ＋4＝0D ．2x －y －2＝04．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4C.π4D ．5π45．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为( )A ．9x －y －16＝0B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0D ．6x ＋y －12＝06．直线y ＝x 5的斜率等于5的切线的方程为( ) A ．5x －y ＋4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －y ＋4＝0或x －y －4＝0D ．5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝07．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B ．110523C.25523 D ．1105238．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x －2二、填空题9．曲线y ＝1x上一点P 处的切线的斜率为－4，则P 的坐标为________．10．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．三、解答题11．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．参考答案1．【答案】B【解析】本题主要考查几个常用函数的导数，解决此题的关键是熟练掌握几个常用函数的导数，A 正确；对于B ，y ′＝(1x )′＝(12x -)′＝－1232x -＝－12x 3，不正确．对于C ，y ′＝(x )′＝1212x -＝12x，正确．对于D ，正确． 2．【答案】D 【解析】y ′＝(23x -)′＝－23·53x -.∴选D. 3．【答案】A【解析】∵f ′(x )＝－2x 2，f ′(1)＝－2，∴由点斜式直线方程得y －2＝－2(x －1)， 即2x ＋y －4＝0. 4．【答案】C【解析】∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.5．【答案】A【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， ∵f ′(x )是偶函数，∴3(－x )2＋2a (－x )＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)， 解得a ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，则f (2)＝2，k ＝f ′(2)＝9， 即切点为(2,2)，切线的斜率为9，∴切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0. 故选A. 6．【答案】D【解析】∵0x x y ='＝5x 40＝5，∴x 0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x －y ＋4＝0或5x －y －4＝0.故选D. 7．【答案】B【解析】∵s ′|t ＝4＝1545t -|t ＝4＝110523.故选B.8．【答案】A【解析】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.9．【答案】(12，2)或(－12，－2)【解析】设P (x 0，y 0)，则k ＝0x x y ='＝－1x 20＝－4，∴x 20＝14，∴x 0＝12或－12， 当x 0＝12时，y 0＝2，当x 0＝－12时，y 0＝－2，∴P 点坐标为(12，2)或(－12，－2)．10．【答案】(2,1)【解析】∵y ＝4x －2，∴y ′＝－8x －3， ∴－8x －3＝－1， ∴x 3＝8， ∴x ＝2，∴P 点坐标为(2,1)．11．解：(1)设y ＝f (x )＝13x 3＋43，则y ′＝x 2，∴k ＝f ′(2)＝4，∴所求切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设切点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43， 则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． 又切线过点P (2,4)， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，即x30－3x20＋4＝0，∴x0＝－1或x0＝2，∴切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.。
(完整word版)1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数（预习案)编者：周敏(一）学习目标:1。
能用导数定义求常数函数与幂函数的导数2.掌握基本初等函数公式,会求简单函数的导数（二)知识链接：1.导数的概念2。
导数的几何意义3.利用定义求函数)(xfy 的导数的步骤是：(三)一试身手:利用导数的定义求下列函数的导数：（1)f（x)=2 （2）f（x）=x（3）f（x）=x+1 (4）f（x）=x21.2。
1常数函数与幂函数的导数(学案）（一)学习目标：1。
能用导数定义求常数函数与幂函数的导数2。
掌握基本初等函数公式，会求简单函数的导数（二)重点和难点：能用所给基本初等函数的导数公式求简单的函数的导数（三)学习探究:探究问题1：常数函数的导数是什么？探究问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数(1）y=x（2)y=x2（3）y=x3(4）1yx（5）y x12探究问题3:通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？探究问题4：幂函数a y x 的导数是什么？（四）典例示范：例1 求 (1)y=x 12 （2)41y x=(3)y =4）y=1变式训练：求下列函数的导数:（1）y ＝x 8； (2）y ＝x 错误!。
例2质点运动方程是51t s =， 求质点在2=t 时的速度．(五）当堂检测:1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ )Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角为（ ) Ａ．90° Ｂ．0°Ｃ．锐角 Ｄ．钝角3、求下列函数的导数321(1) y 2 1 (2)y (3)y x x =+==213632')1(x xy =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解31.2。
原创1：1.2.1常数函数与幂函数的导数
∴切线方程为－ ＝－ (－2)，
即：＋－ =
练习2：求抛物线＝ 在点(4， )处的切线方程．
1
49
解：设切点(x0 , y0 ),
切点为(1， )或(7, ),
4
4
1
又切线k y ' x0 ,
1
1
2
1 2
切线方程：y ( x 1)
′＝＋，
曲线过点(2，－1)的切线的斜率为＋＝
又曲线过点(2，－1)
所以＋＋＝－.
练习：已知抛物线＝＋＋通过点(1,1)，且在点(2，－
1)处与直线＝－相切，求、、的值．
++ =1
解：由ቐ 4 + = 1
4 + 2 + = −1
x
x
2
y
2
x
x
x
f ( x) ( x 2 ) ' lim
lim
lim (2 x x) 2 x.
x 0 x
x 0
x 0
x
公式三：（x ）
' 2x
2
二、几种常见函数的导数
4) 函数 = () = /的导数.
1
解 : y f ( x) ,
二、几种常见函数的导数
3) 函数 = () = 的导数.
解:
y f ( x) x 2 ,
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 2 x x x 2 ,
y
2 x x x 2
课时作业14：1.2.1 常数函数与幂函数的导数～1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
1．2.1 常数函数与幂函数的导数1．2.2 导数公式表及数学软件的应用一、选择题1．下列各式中正确的个数是( )①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(1x)′＝－12x －32； ④(5x 2)′＝25x －35；⑤(cos x )′＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．已知函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32 3．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32) B ．(－π3，－32)或(π3，32) C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) D ．(2k π＋π3，32)或(2k π－π3，－32)(k ∈Z ) 4．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－55．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x6．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( )A ．4B ．－4C ．28D ．－287．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪[π2，3π4]二、填空题8．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′(2)，则m ＝________. 9．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．10．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．11．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y 1＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________． 三、解答题12．求下列函数的导数．(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin(x ＋π2)；(5)y ＝e 2.13．过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．参考答案1．【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8．【答案】－49．【答案】(1,1)【解析】y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1.设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)， 曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)． 因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．10.【答案】12e 2 11.【答案】ln 2－112．解 (1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7.(2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4.(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)y ′＝[sin(x ＋π2)]′＝(cos x )′＝－sin x . (5)y ′＝(e 2)′＝0.13．解 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，可设切点坐标为(x 0，0e x)，则过该切点的曲线y ＝e x 的切线的斜率为0e x ，∴所求切线方程为y －0e x ＝0e x (x －x 0)． ∵切线过原点，∴－0e x ＝－x 0·0e x ， ∴x 0＝1.∴切点坐标为(1，e)，斜率为e.。
高中数学导数及其应用1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用课件新人教B版选修2_2
教材整理 2
基本初等函数的导数公式
阅读教材 P17，完成下列问题． 原函数 y＝c y＝xn(n∈N＋) y＝xμ (x＞0，μ≠0 且 μ∈Q) y＝ax(a＞0，a≠1) y＝ex 导函数 y′＝________ y′＝________，n 为正整数 y′＝________，μ 为有理数 y′＝________ y′＝________
y＝logax (a＞0，a≠1，x＞0) y＝ln x y＝sin x y＝cos x
【答案】 0 nx cos x －sin x
n－1
y′＝________ y′＝________ y′＝________ y′＝________
μx
μ－1
a ln a e
x
x
1 1 xln a x
1．给出下列命题： 1 ①y＝ln 2，则 y′＝2； 1 2 ②y＝x2，则 y′＝－x3； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； 1 ④y＝log2x，则 y′＝xln 2. 其中正确命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
[ 再练一题] 1 2．(1)求函数 f(x)＝ 在(1,1)处的导数； 3 x π 2 (2)求函数 f(x)＝cos x 在 ， 处的导数． 4 2 1 1 1 4 1 【解】 (1)∵f′(x)＝ 3 ′＝(x－3)′＝－3x－3＝－ ， 3 4 x 3 x
质点的运动方程是 s＝sin t， π (1)求质点在 t＝3时的速度； (2)求质点运动的加速度．
【精彩点拨】 (1)先求 s′(t)，再求
π s′3.
(2)加速度是速度 v(t)对 t 的导数，故先求 v(t)，再求导．
常数函数与幂函数的导数
因为y f x x f x x x x
x
x
x
x x x x x x x x x x
1
,ຫໍສະໝຸດ x x x所以 y` lim y lim
1
1 .
x0 x x0 x x x 2 x
除了常数函数外，求另 外几个幂函数的导函数 有什么规律？？
好像这几个幂函数的导函数
都依然是幂函数啊!
导函数就是
把原函数的幂作为系数， 原函数的幂次减1作为 导函数的幂！
我们是不是可以推测 对任意幂函数y x，当 Q时，都有 x的导数=x-1
1.理解常数函数的导数以及幂函数的导数的推 导过程.
x0 x x0
y` 2x表示函数 y x2 图象1.2 3 上点x, y处
切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 也在变化.另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬 时变化率来看, y' 2x 表明:当x 0时,随着x 的增 加, y x2减少得越来越慢;当x 0时,随着x的增加,
第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数
一般地,函数 y f x在x x0处的瞬时变化率是
lim f x0 x f x0 lim f ,我们称它为函数
x0
x
x0 x
y f x在x x0处的导数derivative,
记作
探究 在同一平面直角坐标系中,画出函数 y 2x, y 3x, y 4x的图象,并根据导数定 义, 求它们的导数.
1 从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 2 这三个函数中, 哪一个增加得最快 ? 哪一
个增加得最慢 ?
课件11：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
x；(4)y＝ log1 x . 3
解：(1)y′＝(lg x)′＝xln110.
(2)y′＝12x′＝12xln 12＝－12xln 2.
(3)y′＝(x
x)′＝(
x
3 2
)′＝32
x
1 2
＝32
x.
1
1
(4)y′＝( log1 x )′＝ 1＝－xln 3.
3
xln 3
类型2：求函数在某点处的导数
∴x0＝116，∴y0＝14. 则所求切线方程为 y－14＝2x－116，即 16x－8y＋1＝0.
(2)设切点 P1(x1，
x1)，则切线斜率为
y
x x1
＝ 2
1， x1
∴切线方程 y－ x1＝2 1x1(x－x1)，
又切线过点 P(0，1)，∴1－ x1＝2 1x1(－x1)，
即 x1＝2，x1＝4.
C．若 y＝1x，则 y′＝－x12
D．若 y＝
x，则
y′＝
x 2
【解析】 ∵(cos x)′＝－sin x，∴A 不正确； ∵(sin x)′＝cos x，∴B 不正确； ∵( x)′＝21 x，∴D 不正确．
【答案】C
2．给出下列命题： ①y＝ln 2，则 y′＝12； ②y＝x12，则 y′|x＝3＝－227； ③y＝2x，则 y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则 y′＝xln1 2； 其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
＝1x、y＝ x的导数公式推导及基本初等函数的导数公式的 应用．
知识1：常用函数及基本初等函数的导数公式
问题导思： 如何用定义求函数 y＝f(x)＝C 的导数？类似地你
能求出函数 y＝f(x)＝x，y＝f(x)＝x2，y＝f(x)＝1x，y＝f(x) ＝ x的导数吗？
课时作业8：1.2.1 常数函数与幂函数的导数
1.2.1 常数函数与幂函数的导数一、选择题1．已知函数f (x )＝5，则f ′(1)等于( )A ．5B ．1C ．0D ．不存在2．已知f (x )＝x n 且f ′(－1)＝－4，则n 等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－53．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[34π，π) B ．[0，π) C ．[π4，34π] D ．[0，π4]∪[π2，34π] 4．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1eB ．－1eC ．－eD ．e 5．若曲线y ＝在点(a ，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 二、填空题6．若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.7．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________. 8．抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的距离的最小值为________．三、解答题9．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．10．求证：曲线xy ＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数．参考答案1．【解析】∵f (x )＝5，∴f ′(x )＝0，∴f ′(1)＝0.【答案】C2．【解析】∵f ′(x )＝nx n －1，∴f ′(－1)＝n (－1)n －1＝－4.若(－1)n －1＝－1，则n ＝4，此时满足(－1)n －1＝－1；若(－1)n －1＝1，则n ＝－4，此时不满足(－1)n －1＝1.∴n ＝4【答案】A3．【解析】∵(sin x )′＝cos x ，∴直线l 的斜率k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴直线l 的倾斜角的范围是[0，π4]∪[34π，π)． 【答案】A4．【答案】D5．【答案】A6．【解析】∵y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10.【答案】10ln 107．【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝ln x 0.∵y ′＝(ln x )′＝1x， ∴＝1x 0，由题意知1x 0＝12， ∴x 0＝2，y 0＝ln 2.由ln 2＝12×2＋b ，得b ＝ln 2－1. 【答案】ln 2－18．【解析】与直线x －y －2＝0平行的抛物线的切线的切点到直线x －y －2＝0距离最小．易知切点为(12，14)，∴d ＝728. 【答案】7289．解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12， 所以切点为M (12，14)． ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 10．证明：由xy ＝1，得y ＝1x， 所以y ′＝－1x 2. 在曲线xy ＝1上任取一点P (x 0，1x 0)，则过点P 的切线的斜率k ＝－1x 20， 切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)，即y ＝－1x 20x ＋2x 0. 设该切线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，则A (2x 0,0)、B (0，2x 0)， 故S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12|2x 0|·|2x 0|＝2， 所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数.。
课时作业1：1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
1．2.1 常数函数与幂函数的导数1．2.2 导数公式表及数学软件的应用一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227； ③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定答案 B解析 ∵y ′＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线． 5．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x2，∴k ＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝21-x在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.答案 64解析 ∵y ＝21-x ，∴y ′＝－1223-x ， ∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－1223-a ， ∴切线方程为y －21-a＝－1223-a (x －a )． 令x ＝0得y ＝3221-a ； 令y ＝0得x ＝3a .∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·3221-a ＝9421a ＝18， ∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(53x )′＝35153-x ＝3552-x ＝355x 2. (2)y ′＝(1x 4)′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4) ＝2sin x 2(2cos 2x 4－1)＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 答案 D解析 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y 0＝kx 0， ①y 0＝0x e ， ②k ＝0x e ， ③∴0x e ＝0x e ·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝1x 在x ＝a 处的切线的倾斜角为3π4，则a ＝____. 答案 134解析 y ′＝(21-x )′＝－12·23-x ， ∴k ＝－12·23-a ＝－1， ∴a ＝134.10．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z . 11.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|0x x =＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与拓展12.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )． 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .。
1.2.1常数函数与幂函数的导数
1. 2.1常数函数与幂函数的导数【一】课标点击 编者：陆代弟 2009.2. 16(一)学习目标：掌握常数函数与幂函数的导数的求法(二)教学重、难点：公式1)'(-=n n nx x )(Q n ∈的推导【二】课前准备（一）知识连接复习：导数的概念及其几何意义（二）问题导引：1．情境：（1）求函数)(x f y =的导数的一般方法是：①求函数改变量)()(x f x x f y -∆+=∆； ②求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ③求当x ∆无限趋近于0时，y x ∆∆无限趋近的值()f x '；④得结论导函数()f x '． （2）求下列函数的导函数①2()f x x =，②()f x =③3()f x x =， ④1()f x x=． 【学习探究（一）自主探究：自主学习课本14页至15页部分（二）思考与讨论1. 0'=C (C 为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数C y =的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.证明：()y f x ==C ，∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0 ∴x y ∆∆=0，y '=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0，∴y '=0. 2. 1)'(-=n n nx x (Q n ∈)说明：实际上，此公式对R n ∈都成立，但证明较复杂，所以这里只给出了*N n ∈的证明以供教师参考证明：()y f x ==nx∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=()n n x x x +∆-=n x +1C n 1n x-Δx +2C n 2n x -(Δx )2+…+n n C ()n x ∆－n x =1C n 1n x -Δx +2C n 2n x - (Δx )2+…+nn C ·()n x ∆ xy ∆∆=1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx +…+n n C ·1()n x -∆ ∴y '=()n x '=x y x ∆∆→∆0lim=0lim →∆x （1C n 1n x -+2C n 2n x -Δx +…+n n C ·1()n x -∆）=1C n 1n x -=n 1n x -∴y '=1)'(-=n n nx x（三）典例示范:例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′ 解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) xx x x x 212121)()(2112121==='='--（四）变式拓展： 质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度． 解：∵ 51t s =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=⨯-='-=t s ． 答：质点在2=t 时的速度是645-． （五）归纳总结（六）当堂检测1. 过抛物线y=x 2上的点M （41,21）的切线的倾斜角是( )A 、300B 、450C 、600D 、9002.曲线y =x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y =27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S =21×2×54=54.巩固提高A 组P16 A 组B 组P16 B 组。
课件9：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
2
2x
f′(x)＝___
f(x)＝x
原函数
1
f(x)＝x
f(x)＝ x
导函数
1
－x2
f′(x)＝_____
1
f′(x)＝_______
2 x
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c
0
y′＝____
y＝xn(n∈N＋)
nx
y′＝______
y＝xμ(x>0，μ≠0 且 μ∈Q)
y′＝_______
1
4 3
x
(1)y＝sin3；(2)y＝5 ；(3)y＝x3；(4)y＝ x ；(5)y＝log3x.
x
x
(2)y′＝(5
)′＝5
ln 5；
解：(1)y′＝0；
1
(3)y′＝x3′＝(x－3)′＝－3x－4；
x
4 3
(4)y′＝( x )′＝
3
4
1
3x 4
3
由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，
所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，
只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧
上
的一点，
因此点 P 是抛物线上平行于直线 AB 的切线的切点，
由图知点 P 在 x 轴上方，y＝ x，y′＝
1
由题意知 kAB＝2.
1
1
∴kl＝
y＝ln x
1
y′＝______
x
问题探究
探究点一
问题1
求导函数
怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
Δy
课件5： 1.2.1常数函数与幂函数的导数
2(10t t 2 )
平均变化率为： s 2(10t t 2 ) 2(10 t)
t
t
t 0 时，f (5) lim 2(10 t) 20 t 0
＊ 导数是瞬时变化率 ＊ 表示何意义？
∴ f (5) 表示的是物体在第 5 s 时的瞬时速度为20m/s。
y tan x
y cot x
导数
y x 1
y cos x
y sinx
y
1 cos2 x
y
1 sin 2
x
小结
＊ 计算导数的步骤：
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
(2)求平均变化率 y f (x0x) f (x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
第一章 导数及其应用
§1.2.1常数函数与幂函数导数
高中数学必选修2-2
复习回顾
＊ 导数的定义：
函数 y f (x)在 x0 处的导数 f (x0 )：
f
( x0
)
lim
x1 x0
f (x1 ) f (x0 ) lim
x1 x0
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
＊ 导数的几何意义：
（2）函数值的增量：y f (2 x) f (2) x x
平均变化率： y
x 2 x
x
2 x
1 1
x
x
2 x
∴
f (2) lim( 1 1) 1 1 1
x0 2 x
22
（3）函数值的增量：
y
f (x0 x)
f (x0 )
学案7：1.2.1 常数函数与幂函数的导数~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用~1.2.3 导数
1.2.1 常数函数与幂函数的导数~ 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用~1.2.3 导数的四则运算法则学习目标1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数． 基础知识1．基本初等函数的导数公式表(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．做一做1－1 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y＝1x 2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 做一做1－2 下列结论中正确的是( )． A ．(log a x )′＝a x B ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5x ln 5 2．导数的四则运算法则 (1)函数和(或差)的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________． (2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝________________. 名师点拨(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分． (2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ). (3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则． (4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x ，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 做一做2 下列求导运算正确的是( )． A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u ′x . 即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 知识拓展对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 做一做3 函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________． 重点难点1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数． 2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1. 典型例题题型一 利用公式求函数的导数 例题1 求下列函数的导数： (1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x4)．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 例题2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝x －1x ＋1.反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误． 题型三 求复合函数的导数 例题3 求下列函数的导数： (1)y ＝(2x ＋1)n (x ∈N ＋)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫x1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)； (4)y ＝x cos x 2.反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环． 题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键． 例题4 求函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数．错解：y′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x )． 随堂练习1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝x B ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos x C ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin x D ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos x x 的导数是( )．A ．－sin xx 2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos x x 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )． A ．121＋a ＋121－x B ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.参考答案基础知识·梳理1．nx n－1a x ln a1x ln a cos x－sin x做一做1－1 【答案】B由求导公式可知，①③④⑥正确．做一做1－2 【答案】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )做一做2 【答案】B由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x 2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 做一做3 【答案】y′＝22x ＋3【解析】函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数， 于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟例题1 解：(1)y′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y′＝(5x 3)′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2 x 4＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2 x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y′＝cos x .例题2 解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′ ＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x ·sin x cos x ′＝(x ·sin x )′·cos x －x ·sin x (cos x )′cos 2x ＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2x cos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2xcos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x .(3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11. (4)方法1：y′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.方法2：y ＝1－2x ＋1，y′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.例题3 解：(1)y′＝[(2x ＋1)n ]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1. (2)y′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 5′＝5·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 4·⎝⎛⎭⎫x 1＋x ′＝5x 4(x ＋1)6. (3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′ ＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′ ＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′ ＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)． (4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x ＝cos x 2－2x 2sin x2.例题4 错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u 与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x ×(－1)＝－e －x ， 所以y′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固 1．【答案】D 2．【答案】B【解析】f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 3．【答案】C【解析】y′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2＝－x sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2. 4．【答案】D【解析】由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′ ＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x.5．【答案】－3 9【解析】∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－2(4a ＋b )＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.。
学案10：1.2.1 常数函数与幂函数的导数 ~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用
1.2.1 常数函数与幂函数的导数 ~1.2.2 导数公式表及数学软件的应用学习目标1.了解基本初等函数的导数公式．2.理解函数y ＝C (C 为常数)、y ＝x 、y ＝x 2、y ＝1x 的导数公式的推导过程．3．掌握基本初等函数的导数公式的应用．新知提炼基本初等函数的导数公式表自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3.( )(2)因为(ln x )′＝1x ，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) (3)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( )2．曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．不确定4．已知f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________．题型探究题型一 运用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x x ；(3)y ＝2sin x 2cos x2；(4)y ＝1x 2；(5)y ＝log 3x .方法归纳用公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y ＝1x4可以写成y ＝x －4，y ＝5x 3可以写成y ＝x 35等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 跟踪训练 1.已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________．2．求下列函数的导数： (1)y ＝1x 5；(2)5x 3；(3)y ＝3x ；(4)y ＝log 2x .题型二 求函数在某点处的导数例2 (1)求函数y ＝a x 在点P (3，f (3))处的导数； (2)求函数y ＝ln x 在点P (5，ln5)处的导数． 方法归纳求函数f(x) 在x＝x0处的导数的方法与步骤(1)由已知函数解析式先求f′(x)；(2)求f′(x0)的值．跟踪训练求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．题型三利用导数公式求曲线的切线方程例3已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．互动探究在本例中是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．跟踪训练已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．素养提升1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．失误防范在应用求导公式时应注意的问题(1)对于正余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．(2)对于公式(ln x)′＝1x和(ex)′＝e x很好记，但对于公式(log a x)′＝1x ln a(a＞0且a≠1)和(ax)′＝a x lna (a ＞0)的记忆就较难．当堂检测1．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－2)＝( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e3．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝1f ′（2），则m ＝________．4．抛物线y ＝x 2的一条切线方程为6x －y －b ＝0，则切点坐标为________．参考答案新知提炼0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1x ln acos x －sin x 自我尝试1．(1)× (2)× (3)× 2．C 3．B 4．－32题型探究题型一 运用导数公式求函数的导数 例1 [解] (1)y ′＝3x 2.(2)因为y ＝x 32，所以y ′＝32x 12＝32x .(3)因为y ＝sin x ，所以y ′＝cos x . (4)因为y ＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x 3.(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 跟踪训练 1. 1【解析】因为f (x )＝ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝1x，所以f ′(x 0)＝1x 0＝1x 20，所以x 0＝1.2．解：(1)y ′＝(1x 5)′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x 6；(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2； (3)y ′＝3x ln 3； (4)y ′＝1x ln 2. 题型二 求函数在某点处的导数例2 [解] (1)因为y ＝a x ，所以y ′＝(a x )′＝a x ln a ，则y ′|x ＝3＝a 3ln a .(2)因为y ＝ln x ，所以y ′＝(ln x )′＝1x ，则y ′|x ＝5＝15.方法归纳求函数f (x ) 在x ＝x 0处的导数的方法与步骤 (1)由已知函数解析式先求f ′(x )； (2)求f ′(x 0)的值．跟踪训练 解：f ′(x )＝(1x )′＝(x －12)′＝－12x －12－1＝－12x －32＝－12x 3，所以f ′(1)＝－12×1＝－12，所以函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.题型三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于直线PQ ， 所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.互动探究 解：假设存在与直线PQ 垂直的切线， 因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1， 设切点为(x ′0，y ′0)，则y ′|x ＝x ′0＝2x ′0， 令2x ′0＝－1，则x ′0＝－12，y ′0＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. 跟踪训练 解：设切点为(x 0，ln x 0)， 由y ＝ln x 得y ′＝1x.因为曲线y ＝ln x 在x ＝x 0处的切线为x －y ＋c ＝0，其斜率为1.所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＝1，即x 0＝1，所以切点为(1，0)．所以1－0＋c ＝0，所以c ＝－1.当堂检测1．D【解析】因为f ′(x )＝(1x )′＝－x －1－1＝－x －2，所以f ′(－2)＝－x －2|x ＝－2＝－14.2．A【解析】由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 3．－4【解析】f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m .因为g ′(2)＝1f ′（2），所以m ＝－4.4．(3，9)【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)， 所以k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝6， 所以x 0＝3，y 0＝9， 即切点坐标为(3，9)．。
课件3 ：1.2.1常数函数与幂函数的导数
(5)y′＝
1 5 x2
′＝(x－25)′＝－25x－25－
1＝－25x－75.
【解题心得】 求函数的导数,一般不用定义, 而主要应用导数公式.这就要求必须熟记常见 函数的导数公式.应用公式时,一定要遵循“先 化简,再求导”的基本原则.在实施化简时,首 先要注意化简的等价性,避免不必要的运算失 误.
题型三 求曲线的切线方程
例 3 已知曲线 y＝ x.求: (1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程; (2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程.
【方法总结】 对于(1),由 y＝ x对 x 求导,可得到曲线 y ＝ x的切线的斜率,进而可得相应切点的坐标,易求得切线 方程;对于(2),设出切点坐标,利用切点在对应切线上,求得 切点坐标和相应切线的斜率,进而求得切线的方程.
例 2 求函数 f(x)＝ 1 在 x＝1 处的导数. 3 x2
【解】
∵f′(x)＝(x－23)′＝－23x－53＝－23·
1, 3 x5
∴f′(1)＝－23.
【名师点评】 求函数在某一点处的导数需 要先对原函数进行求导,再将变量值代入导函 数求解.
变式训练
2.已知 f(x)＝1x,g(x)＝mx,且 g(2)＝f′（1 2）,则 m＝__－__2____. 解析:f′(x)＝－x12, ∴f′(2)＝－14,g(2)＝2m. 又∵g(2)＝f′（1 2）, ∴2m＝－4, ∴m＝－2.
2t
名师微博 对 P 不作验证，误认为 P 在 曲线上是易错点.
又∵切线斜率为u－t 1,∴21 t＝u－t 1＝
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1.2.1常数函数与幂函数的导数
预习案
一、自学教材，思考下列问题
1.导数的概念
2.导数的几何意义
二、一试身手
利用导数的定义求下列函数的导数：
（1）f（x）=2 （2）f（x）=x
（3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2
导学案
一、学习目标
（1）知识与技能
能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数
（2）过程与方法
在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力
（3）情感态度价值观
提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神
二、学习过程
（1）课内探究
问题1：常数函数的导数是什么？
问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数
（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x
=（5）y
问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？
问题4：幂函数a y x =的导数是什么？
（2） 典型例题
例1 求 (1)(x 3)′ (2)(
2
1x )′ (3)(x )′
例2质点运动方程是5
1t s =
, 求质点在2=t 时的速度．
（3） 当堂检测 1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ ）
Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不充分又不必要条件
2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角
为（）
Ａ．90°Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数
3
2
1
(1) y2 1 (2)y (3)y
x
x
=+==
2
1
36
3
2
'
)1(x
x
y=
⨯
=-
解：
3
3
1
2
2
2
2
2
)
(2
)'
(
)'
1
(
'
:
)2(
x
x
x
x
x
y-
=
-
=
-
=
=
=-
-
-
-
解
x
x
x
x
x
y
2
)
(
2
1
)'
(
)'
(
'
)3(2
1
2
1
=
=
=
=-
解：
52
5
2
5
3
53
5
3
)
(
5
3
)'
(
)'
(
'
)4(
x
x
x
x
y=
=
=
=-
解：
（4）课堂小结
本节课学习了常数函数与幂函数的导数.
拓展案
一、选择题
1．()
f x与()
g x是定义在R上的两个可导函数，若()()
f x
g x
，满足()()
f x
g x
''
=，则()
f x与()
g x满足（）
Ａ．()()
f x
g x
=Ｂ．()()
f x
g x
-为常数
Ｃ．()()0
f x
g x
==Ｄ．()()
f x
g x
+为常数
二、填空题
2．设32
()391
f x x x x
=--+，则不等式()0
f x
'<的解集是．
3．曲线
1
y
x
=和2
y x
=在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．三、解答题
4．求过曲线cos
y x
=上点
π1
32
P
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，且与过这点的切线垂直的直线方程．
答案：
典型例题
例1解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；
(2) (21x
)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) x
x x x x 212121)()(2112121
==='='-- 例2解：∵ 51t s =
， ∴ 6555)()1(---='='='t t t
s , ∴ 64
52562-=⨯-='-=t s ． 答：质点在2=t 时的速度是64
5-． 当堂检测
1.答案：Ｂ
2.答案：Ｃ
3. 3321(1) y 2 1 (2)y (3)y x (4)y x x x
=+===2
13632')1(x x y =⨯=-解：3
3122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解x
x x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解：
拓展案
1.答案：Ｂ
2.答案：(13)-，
3.答案：34
4.解： sin y x '=- ，曲线在点π132P ⎛⎫
⎪⎝⎭，处的切线的斜率是πsin 32
-=-． ∴过点P
． ∴所求的直线方程为1π
23y x ⎫-=-⎪⎭，
即2π2032x -
+=．。