高二数学常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数
0
知识拓展
公式1: C = 0 (C为常数)
2. 函数y=f(x)=x的导数
证明： Δy f(x + Δx) - f(x) ∵ = =1 Δx Δx Δy ' ∴y lim lim 1 1 x 0 Δx x 0
概念理解
若 y=x（如图 1.2–2）表示路程关 于时间的函数，则 y′=1可以解释为某物 体做瞬时速度为1的 匀速直线运动.
1 1 双曲线y , y 2 , x x 1 k1 y |x 1 1, 故双曲线y 在交点(1,1) x 处的切线斜率为k1 1;
抛物线y k1 y |x 1 1 1 x , y x 2 , 2 x在交点(1,1)
1 , 故抛物线y 2 1 处的切线斜率为k2 ; 2
n
请注意公式中的条件是n Q ,但 根据我们所掌握的知识,只能就 n N * 的情况加以证明.这个公式称为幂函数
的导数公式.事实上n可以是任意实数.
例1
(1) (x )
3
(2) 3x
2
2
解： （1） ) = 3x (x
3 '
2 '
(2) 3x ) = 6x （
课堂小结
1.根据定义求常用函数
当x 0时 y ( x x ) ( x ) y x, 1, x x y lim 1; x 0 x
1 x0 y . 1 x 0
2
概念理解
若 y x 2 表示路程关于时间的函数， y' 2x 则 可以解释为某物体做变速速度， 它在时刻x的瞬时速度为2x.
30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 系列2
高二数学知识点求导公式
高二数学知识点求导公式在高二数学学习中，求导公式是一个非常重要的知识点。
它是求解函数导数的基础，掌握了求导公式，能够更加灵活地处理数学问题。
下面我们来系统整理一下高二数学常用的求导公式。
1. 基本函数的求导公式(1) 常数函数的导数为0：$y=C$，其中C为常数。
(2) 幂函数的导数：$y=x^n$，其中n为整数，导数为$y'=nx^{n-1}$。
(3) 指数函数的导数：$y=a^x$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=a^x\cdot ln(a)$。
(4) 对数函数的导数：$y=log_a(x)$，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为$y'=\dfrac{1}{x\cdot ln(a)}$。
(5) 三角函数的导数：正弦函数的导数：$y=sin(x)$，导数为$y'=cos(x)$。
余弦函数的导数：$y=cos(x)$，导数为$y'=-sin(x)$。
正切函数的导数：$y=tan(x)$，导数为$y'=sec^2(x)$。
2. 基本运算法则(1) 基本规律：$[f(x)\pm g(x)]' = f'(x)\pm g'(x)$，即两个函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差)。
(2) 乘法法则：$[f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$，即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
(3) 除法法则：$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]'=\dfrac{f'(x)\cdotg(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$，即两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再减去第一个函数乘以第二个函数的导数，然后除以第二个函数的平方。
人教版高二数学选修B 常数与幂函数的导数
(2)
y
1 x4
；
(3) y 5 x3 .
解 (1) y ' (x12 ) ' 12x11；
(2) y ' ( 1 ) ' (x4 ) ' 4x5 4 ；
x4
x5
(3)
y'
(5
x3 )'
3
(x5 ) '
3
2
x5
3.
5
55 x2
例2 求曲线 y 4 x3 在点 (1,1) 处的切线方程.
处的切线斜率为
1
x
1
2；
2
物理意义：函数 y x 表示路程关于时间的函数，则
y
'
1
1
x 2可以解释成某物体在做变速运动，它在时刻
2
x
的瞬时速度为
1
1
x2
.
2
6.
函数 y
1
x2 的导数 y '
1
1
x2
2
几何意义：函数图象上一点
(x,
y)处的切线斜率为 1
1
x2
.
2
二.探究新知
观察
C ' 0, x ' 1, (x1) ' x2 ,
设函数图象上任一点为 (x0 , x0 )， y ' 1, k切线 1,
切线方程为 y x0 x x0 ， 也即 y x.
2. 函数 y x 图象上任一点处的切线
y
Q O P
切线：割线的极限位置.
x
3. 函数 y kx b 图象上任一点处的切线方程
设函数图象上任一点为(x0 , kx0 b)，
1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数预习案一、自学教材，思考下列问题1.导数的概念2.导数的几何意义二、一试身手利用导数的定义求下列函数的导数：（1）f（x）=2 （2）f（x）=x（3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2导学案一、学习目标（1）知识与技能能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数（2）过程与方法在教学过程中，注意培养学生桂南、探求规律的能力（3）情感态度价值观提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神二、学习过程（1）课内探究问题1：常数函数的导数是什么？问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x=（5）y问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？问题4：幂函数a y x =的导数是什么？（2） 典型例题例1 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′ (3)(x )′例2质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．（3） 当堂检测 1．已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件2．若函数()f x 的导函数为()sin f x x '=-，则函数图象在点(4(4))f ，处的切线的倾斜角为（）Ａ．90°Ｂ．0°Ｃ．锐角Ｄ．钝角3、求下列函数的导数321(1) y2 1 (2)y (3)yxx=+==213632')1(xxy=⨯=-解：33122222)(2)'()'1(':)2(xxxxxy-=-=-===----解xxxxxy2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(xxxxy====-解：（4）课堂小结本节课学习了常数函数与幂函数的导数.拓展案一、选择题1．()f x与()g x是定义在R上的两个可导函数，若()()f xg x，满足()()f xg x''=，则()f x与()g x满足（）Ａ．()()f xg x=Ｂ．()()f xg x-为常数Ｃ．()()0f xg x==Ｄ．()()f xg x+为常数二、填空题2．设32()391f x x x x=--+，则不等式()0f x'<的解集是．3．曲线1yx=和2y x=在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是．三、解答题4．求过曲线cosy x=上点π132P⎛⎫⎪⎝⎭，且与过这点的切线垂直的直线方程．答案：典型例题例1解：(1) (x 3)′=3x 3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3 (3) xx x x x 212121)()(2112121==='='-- 例2解：∵ 51t s =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts , ∴ 6452562-=⨯-='-=t s ． 答：质点在2=t 时的速度是645-． 当堂检测1.答案：Ｂ2.答案：Ｃ3. 3321(1) y 2 1 (2)y (3)y x (4)y x x x=+===213632')1(x x y =⨯=-解：33122222)(2)'()'1(': )2(x x x x x y -=-=-===----解xx x x x y 2)(21)'()'(')3(2121====-解：5252535353)(53)'()'(')4(x x x x y ====-解：拓展案1.答案：Ｂ2.答案：(13)-，3.答案：344.解： sin y x '=- ，曲线在点π132P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率是πsin 32-=-． ∴过点P． ∴所求的直线方程为1π23y x ⎫-=-⎪⎭，即2π2032x -+=．。
【2019年整理】常数函数的导数和幂函数的导数
2、 符号 f (x )与f (x) 各表示什么含义？ 两者
有什么联系？
显然，函数 y = f(x) 在 x0 处的导数 f (x0) 就是导
函数 f (x) 在 x0 处的函数值，即：
f ( x0 )
f ( x) x x0
二、几种常见函数的导数 例1、求函数 y = C （C 为常数）的导数。
11
(2) y 4 x 3x
3
解： (1) y x 2 x 4 x 4
y
3
x
3 4
1
3
1
x4
3
4
4
44 x
(2)
y
11
x4 3
1
(x) 12
1
y (x 12 )
1 12
1 1
x 12
1
12 x12 x
四、课堂练习
1、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数
解： (1) y (x4 ) 4x41 4x3
(2) y (x3) 3x31 3x4
(3) y 1 x1 x
1
(4) y x x2
y
(x
1 2
)
1
x
1 1 2
1
2 2x
例4 求下列函数的导数：
(1) y x x
解： f ( x)
lim
f ( x x)
f (x)
C C lim
0
x0
x
x0 x
公式1 (C) 0 C 为常数
常数的导数等于零。
例2、求函数 y = xn (nN) 在 x = x0 处的导数。
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . . ( x . ) n x n
C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . .( .x ) n
x
x0
x
x0 x x x x
lim
1
1
x0 x x x 2 x
即 x 1 x 0 P/15注意事项： 2x
注意事项:
x 1、，在求导数时，当 x 0时， 是不变
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
5
5 5x2
练习2:求下列函数的导数
(1) y=5x2-4x+1
(2) y=-5x2+3x+7
(3) y=(2+x)(3-x) (4) y=(2x-1)(3x+2) (5)y=x2-cosx
1.2.2导数公式表及数学软件的应用
数学 组
孙靓
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
公式2: x 1
设yf xx
xlimf
xxf
x xxx
lim
1
x0
x
x0
x
即x1
在同一平面直角坐标系中，
探 画出y=2x,y=3x,y=4x的 究 图象，并根据导数定义， ？ 求它们的导数。
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
高中数学 同步教学 常数与幂函数的导数 导数公式表
y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时速
度为1的匀速运动.
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数?
剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x
的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的
度始终为0,即一直处于静止状态.
π
y=sin
【做一做1】 函数
.
2 的导数为
答案:0
2.几种特殊的幂函数的导数
(1)函数y=x的导数:x'=1.
(2)函数y=x2的导数:(x2)'=2x.
1
(3)函数 y= 的导数:
此式也可写成
1
1
1
'=- 2.
'=(x-1)'=-x-2.
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一
2
处的切线方程.
分析利用导数公式求出该点处的导数,即切线的斜率,再由点斜
式写出切线方程即可.
π
2
解 ∵y'=(sin x)'=cos x,∴y'|=π =cos =0.
2
∴所求直线方程为 y-1=0,即 y=1.
题型一
题型二
【例3】 已知点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上,直线l是以点P为切点的
1
5
(1)y= 5;(2)y=
x 3 ;(3)y=3x;(4)y=log2x.
分析对于基本初等函数的求导,直接利用导数公式求导.但要注
意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形
原创1：1.2.1常数函数与幂函数的导数
∴切线方程为－ ＝－ (－2)，
即：＋－ =
练习2：求抛物线＝ 在点(4， )处的切线方程．
1
49
解：设切点(x0 , y0 ),
切点为(1， )或(7, ),
4
4
1
又切线k y ' x0 ,
1
1
2
1 2
切线方程：y ( x 1)
′＝＋，
曲线过点(2，－1)的切线的斜率为＋＝
又曲线过点(2，－1)
所以＋＋＝－.
练习：已知抛物线＝＋＋通过点(1,1)，且在点(2，－
1)处与直线＝－相切，求、、的值．
++ =1
解：由ቐ 4 + = 1
4 + 2 + = −1
x
x
2
y
2
x
x
x
f ( x) ( x 2 ) ' lim
lim
lim (2 x x) 2 x.
x 0 x
x 0
x 0
x
公式三：（x ）
' 2x
2
二、几种常见函数的导数
4) 函数 = () = /的导数.
1
解 : y f ( x) ,
二、几种常见函数的导数
3) 函数 = () = 的导数.
解:
y f ( x) x 2 ,
y f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 2 x x x 2 ,
y
2 x x x 2
高等数学18个求导公式
高等数学18个求导公式高等数学的求导，是高等数学的重要的基本技能。
求导的基本定义是求出一个函数的变化率，也就是求函数的导数。
下面给出18个求导公式：1.常数项求导公式：若y = c，其中c为常数，则y′ = 0；2.幂函数求导公式：若y = x^n，其中n为正整数，则y′ = nx^{n-1}；3.多次幂函数求导公式：若y = x^n + a^n，其中n为正整数，则y′ = nx^{n-1} + na^{n-1}；4.指数函数求导公式：若y = a^x，其中a为正数，则y′ = a^xln a；5.对数函数求导公式：若y = lnx，则y′ = \frac{1}{x}；6.三角函数求导公式：若y = sin x，则y′ = cos x；若y = cos x，则y′ = -sin x；若y = tan x，则y′ = \frac{1}{cos^2 x}；7.反三角函数求导公式：若y = arcsin x，则y′ =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}；若y = arccos x，则y′ = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}；若y = arctan x，则y′ = \frac{1}{1+x^2}；8.指数函数的导数：若y = e^x，则y′ = e^x；9.乘法公式求导公式：若y = f(x)g(x)，则y′ = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)；10.链式法则求导公式：若y = f(g(x))，则y′ = f'(g(x))g'(x)；11.求和求导公式：若y = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)，则y′ =\sum_{i=1}^{n} f'(x_i)；12.积分求导公式：若y = \int f(x)dx，则y′ = f(x)；13.极限求导公式：若y = \lim_{x \to a} f(x)，则y′ =\lim_{x \to a} f'(x)；14.复合函数求导公式：若y = f(g(x))，则y′ = f'(g(x))g'(x)；15.乘方公式求导公式：若y = (f(x))^n，其中n为正整数，则y′ = n(f(x))^{n-1}f'(x)；16.幂函数的导数：若y = x^n，则y′ = nx^{n-1}；17.对数函数的导数：若y = lnx，则y′ = \frac{1}{x}；18.三角函数的导数：若y = sinx，则y′ = cosx；若y = cosx，则y′ = -sinx；若y = tanx，则y′ = \frac{1}{cos^2 x}。
常数函数与幂函数的导数
因为y f x x f x x x x
x
x
x
x x x x x x x x x x
1
,ຫໍສະໝຸດ x x x所以 y` lim y lim
1
1 .
x0 x x0 x x x 2 x
除了常数函数外，求另 外几个幂函数的导函数 有什么规律？？
好像这几个幂函数的导函数
都依然是幂函数啊!
导函数就是
把原函数的幂作为系数， 原函数的幂次减1作为 导函数的幂！
我们是不是可以推测 对任意幂函数y x，当 Q时，都有 x的导数=x-1
1.理解常数函数的导数以及幂函数的导数的推 导过程.
x0 x x0
y` 2x表示函数 y x2 图象1.2 3 上点x, y处
切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 也在变化.另一方面, 从导数作为函数在一点的瞬 时变化率来看, y' 2x 表明:当x 0时,随着x 的增 加, y x2减少得越来越慢;当x 0时,随着x的增加,
第一章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数
一般地,函数 y f x在x x0处的瞬时变化率是
lim f x0 x f x0 lim f ,我们称它为函数
x0
x
x0 x
y f x在x x0处的导数derivative,
记作
探究 在同一平面直角坐标系中,画出函数 y 2x, y 3x, y 4x的图象,并根据导数定 义, 求它们的导数.
1 从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 2 这三个函数中, 哪一个增加得最快 ? 哪一
个增加得最慢 ?
高二数学选修2-2(B版)-《常数函数与幂函数的导数》教学课件
公式3: (x2 ) 2x
设y f x x2, x2 lim f x x f x
x0
x
lim x x2 x2 lim 2x x 2x
x0
x
x0
即 x2 2x
公式4: x3 3x2
设y f x x3, x3 lim f x x f x
x0
x
x x3 x3
lim
lim
3x2 3xx x2
3x2
x0
x
x0
即 x3 3x2
公式5:
(
1 x
)
1 x2
设y
f
x
1 x
x
0
,
1 x
lim
x0
f
x
x
x
f
x
lim
x0
1 x
x
1 x
1 x
lim
x0
x
1
x x
1 x2
即
1 x
1 x2
x
0
公式6: ( x ) 1
1.2.1常数函数和幂函数的导数
一、知识新授：1、常数函数与幂函数的导数
公式1: C 0 (C为常数)
设y f (x) C,C是常数，
C lim f x x f x lim C C 0
x0
x
x0 x
即C 0,常数函数的导数为0。
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
x0
则 lim f x g x A B x0
lim f x g x A B
导数的基本公式14个例题
导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。
1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。
- 例如：y = 5，求y^′。
- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。
2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。
- 例如：y=x^3，求y^′。
- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。
- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。
- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。
3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。
- 例如：y=sin x，求y^′。
- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。
4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。
- 例如：y = cos x，求y^′。
- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。
5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。
- 例如：y = 2^x，求y^′。
- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。
6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。
- 例如：y=log_2x，求y^′。
- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。
- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。
- 例如：y=ln x，求y^′。
- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。
7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
- 例如：y = tan x，求y^′。
- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
常见函数的导数表与归纳
常见函数的导数表与归纳在微积分中，函数的导数是描述函数变化率的重要概念。
对于常见的函数，它们的导数可以通过一些基本规则和公式进行求导。
本文将介绍常见函数的导数表，并对其中的规律进行归纳总结。
一、常数函数的导数常数函数表示为f(x) = C，其中C为常数。
对于常数函数，它的导数始终为0，即f'(x) = 0。
这是因为常数函数的斜率恒为0，没有变化。
二、幂函数的导数2.1 常数幂函数常数幂函数表示为f(x) = x^n，其中n为正整数。
对于常数幂函数的导数，可以通过幂函数的导数公式进行求导：f'(x) = n * x^(n-1)通过这个公式，我们可以推导出常见常数幂函数的导数：2.1.1 正整数幂数函数当n为正整数时，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为：f'(x) = n * x^(n-1)例如，对于f(x) = x^2，它的导数为f'(x) = 2x。
类似地，对于f(x) =x^3，它的导数为f'(x) = 3x^2。
2.1.2 负整数幂数函数当n为负整数时，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为：f'(x) = n * x^(n-1)但由于负整数的倒数是无限大，因此导数在定义域上并不连续。
例如，对于f(x) = x^(-1)，它的导数f'(x) = -x^(-2)，在x = 0处未定义。
2.2 指数函数指数函数表示为f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。
对于指数函数的导数，我们需要使用自然对数e以及指数函数的链式法则进行计算。
f'(x) = ln(a) * a^x例如，对于f(x) = 2^x，它的导数f'(x) = ln(2) * 2^x。
三、对数函数的导数对数函数可以分为自然对数函数和常用对数函数两种。
3.1 自然对数函数自然对数函数表示为f(x) = ln(x)，其中x>0。
对于自然对数函数的导数，可以直接使用导数的定义进行计算：f'(x) = 1/x例如，对于f(x) = ln(x)，它的导数f'(x) = 1/x。
常数函数与幂函数的导数及导数公式表
x 0
x 0
2 x
lim sin x 1 x0 x
2
sin x
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证 明 ： ln x lim ln x x ln x
x 0
x
ln lim
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x x
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lim
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lnБайду номын сангаас
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例 3 .求 下 列 函 数 的 导 数 . (1 )yx3sinxco sx (2 )y2sinxco sx2 x2 1
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(1 )解 :y' (x3 six nco x ) 's (x3 ) ( ' sx ) i n ( ' cx )o 3 x2 co x ssixn
( 2 ) 解 y ' ( 2 s ； x i cn x o 2 x 2 s 1 ) ( ' s x ) ( i 2 'x 2 n ) 1 '' cx o 4 xs 22
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练习1：求下列函数的导数。
(1 )y 2 x 3 1 (2 )y x 1 2(3 )y x(4 )y 5x 3
( 1 )解 y ' ： 2 3 x 3 1 6 x 2
( 2 )解 :y ' (x 1 2 ) ( 'x 2 ) '2 (x ) 2 1 2 x 3 x 2 3
已知:函数f ( x )是可导的奇函数,求证:其导函
选修2-2人教版B版1.2.1常数函数与幂函数的导数
1.2.1常数函数与幂函数的导数编号：22008 制作人：郭明珍审核人：高二数学组制作时间：2012-2-21一、学习目标1、知识与技能能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数2、过程与方法在学习过程中，注意培养学生归纳、探求规律的能力3、情感态度价值观学生通过用定义求导数的三个步骤，推到常数函数和幂函数的导数，主动参与，师生合作，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神二、学习重点和难点重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对常熟函数与幂函数进行探究.难点：用从特殊到一般的规律来探究公式课前预习一、自学教材，思考下列问题1.导数的概念及导数的几何意义2.常数函数与幂函数的导数二、预习检测利用导数的公式求下列函数的导数：（1）f（x）=2 （2）f（x）=x （3）f（x）=x+1 （4）f（x）=x2课内探究一、复习引入问题１：按定义求导数有哪几个步骤？y 的导数.问题２：用导数定义求函数C二、 概念形成问题1：常数函数的导数是什么？几何意义是什么？问题2：运用导数的定义求下列几个幂函数的导数（1）y=x （2）y=x 2（3）y=x 3（4）1y x=（5）y问题3：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现求幂函数的导数的规律？问题4：幂函数a y x =()Q ∈α的导数是什么？三、 应用举例题型一：基本概念问题列1、求下列函数的导函数：（1）12x y = （2）41xy = （3）53x y = （4）1=y练习：1、如果函数)()(为常数c c x f =，那么xy ∆∆的值为（ ） Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.ｃ Ｄ.不存在２、下列结论不正确的是（ ）Ａ.若3=y ，则0='y Ｂ. 若x y 1=，则x y 21-=' Ｃ. 若x y =，则x y 21=' Ｄ. 若x y =，则1='y3.课本16页练习A 第2题题型二：综合应用问题例2、质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．练习：1.曲线2x y =在点Ｐ处切线斜率为１，那么点Ｐ的坐标为2.质点运动方程是4t s =，则质点运动加速度为 ．3.课本16页练习A 第3、4题四、 当堂检测1.已知语句:p 函数()y f x =的导函数是常数函数；语句:q 函数()y f x =是一次函数，则语句p 是语句q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件 2.21)(x x f y ='='，则函数)(x f y =可以是下列各式中的哪一个（ ） A. x 1 B. x 1- C. 32--x D. 321x -3.曲线 3x y =在点P 处切线斜率为k ，当k ＝3时的P 点坐标为（ ）A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)，(1，1)C ．(2，8) D.）（81,21--4. 曲线52x y =在点(1，1)处的切线方程是 。
导数的基本公式和四则运算法则
导数的基本公式和四则运算法则
导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在求解导数时，我们可以利用一些基本公式和四则运算法则来简化计算过程。
首先，导数的基本公式包括：
1. 对常数函数求导，常数函数的导数为0。
2. 幂函数求导，对于函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数求导，指数函数e^x的导数仍为e^x。
4. 三角函数求导，常见的三角函数sin(x)和cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)。
其次，利用四则运算法则，我们可以对复合函数进行求导。
四则运算法则包括：
1. 和差法则，对于函数f(x) = g(x) ± h(x)，其导数为f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
2. 积法则，对于函数f(x) = g(x) h(x)，其导数为f'(x) =
g'(x) h(x) + g(x) h'(x)。
3. 商法则，对于函数f(x) = g(x) / h(x)，其导数为f'(x) = (g'(x) h(x) g(x) h'(x)) / h(x)^2。
通过这些基本公式和四则运算法则，我们可以更轻松地求解各
种函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律和性质。
在实际应
用中，导数的概念和计算方法也被广泛地运用于物理、工程、经济
学等领域，为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。
因此，熟
练掌握导数的基本公式和四则运算法则对于学习和应用微积分知识
都是至关重要的。
常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数计算
常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本函数的导数计算函数作为数学学科的基本概念之一，在许多数学应用中都扮演着重要角色。
在微积分学中，函数的导数计算是一个重要的问题。
在本文中，我们将探讨常函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等基本函数的导数计算，以帮助读者更好地理解微积分的相关知识。
一、常函数的导数计算常函数指的是一个恒定的函数，即在定义域上所有的函数值都相等。
例如，f(x)=3就是一个常函数。
由于常函数在每一个点上的函数值都相等，因此它的导数为0，即在定义域上，常函数的导数恒为0。
二、幂函数的导数计算幂函数指的是形如f(x)=x^n的函数，其中n为正整数。
幂函数的导数可以通过求导法则来计算。
根据求导法则，幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，当n=2时，f(x)=x^2的导数为f'(x)=2x。
三、指数函数的导数计算指数函数指的是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正常数且不等于1。
指数函数的导数可以通过求导法则来计算。
根据求导法则，指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的自然对数。
例如，当a=2时，f(x)=2^x的导数为f'(x)=2^x*ln(2)。
四、对数函数的导数计算对数函数指的是形如f(x)=log_a(x)的函数，其中a为正常数且不等于1。
对数函数的导数可以通过求导法则来计算。
根据求导法则，对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(x*ln(a))，其中ln(a)表示以e为底的自然对数。
例如，当a=10时，f(x)=log_10(x)的导数为f'(x)=1/(x*ln(10))。
五、三角函数的导数计算三角函数是常用的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的导数可以通过求导法则来计算。
具体来说，正弦函数的导数为cos(x)，余弦函数的导数为-sin(x)，正切函数的导数为1/cos^2(x)。
人教版高二数学选修 常数与幂函数的导数-4讲稿
同学们，大家好！我是来自清华大学附属中学的数学教原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！举世不师，故道益离。
柳宗元师杨锦。
今天我们漂市一中钱少锋将要学习的内容是《导数》的第四节《常数与幂函数的导数》。
通过前面课程的学习，我们已经知道了导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.（dh）对于函数()y f x=，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法。
但是，导数是用极限来定义的，求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难。
为了能尽快地求出函数的导数，我们要研究简捷地求导方法。
为此，今天这节课，我们将研究几个常用的基本初等函数的导数.1.函数()y f x C==的导数（dh）根据导数的定义，对函数()y f x=图象上任一点(,)x y，（dh）()()0 y f x x f x C Cx x x∆+∆--===∆∆∆（dh）lim00x y x∆→∆∴=∆，（dh）所以，导数'0y=，也可以写成'0C=. 函数y C=的导数'0y=，（dh）从几何意义上讲，是函数图象上每一点处的切线斜率都为0.（dh）它的物理意义是什么呢？若y c=表示路程关于时间的函数，则'0y=可以解释成某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态.下面我们来看一下图象。
（dh）我们可以看到，对函数图象上任一点P，点Q逐渐向点P接近时，割线始终是直线y C=，割线的斜率始终是0，因为切线的斜率是割线斜率的极限，所以切线的斜率是0，所以导数恒为0。
2.函数()y f x x==的导数（dh）根据导数的定义，对函数()y f x=图象上任一点(,)x y，（dh）()()1 y f x x f x x x x xx x x x∆+∆-+∆-∆====∆∆∆∆（dh）lim01x y x∆→∆∴=∆，（dh）所以，导数'1y=，也可以写成'1x=.函数y x=的导数'1y=，（h）它的几何意义是函数图象上每一点处的切线斜率都为1.（dh）物理意义是，若y x=表示路程关于时间的函数，则'1y=可以解释成某物体的瞬时速度始终为1，也即物体在做速度为1的匀速运动.下面我们来看一下图象。
人教版高二数学选修 常数与幂函数的导数-3学习任务单
《常数与幂函数的导数》学习任务单原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！灵师不挂怀,冒涉道转延。
——韩愈《送灵师》长郡中学 史李东【学习目标】1.能够用导数的定义推导常见函数y c =、y x =、2y x =、3y x =、1y x=、y =. 2.利用公式解决简单的数学问题.【课上任务】1. 对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？2. 函数()y f x C ==的导数？3. 函数()y f x x ==的导数？4. 函数()2y f x x ==的导数？5. 函数()3y f x x ==的导数？6. 函数()1y f x x==的导数？7. 函数()y f x ==的导数？8. 归纳猜想：对任意的幂函数n y x =，n Q ∈，导数是什么？9. 质点运动方程是4S t =，求质点运动的加速度？解题思路是什么？10.对直线y C =图象上任一点，试求该点处的切线方程.11.对直线y x =图象上任一点，试求该点处的切线方程.12.对直线y kx b =+图象上任一点，试求该点处的切线方程.13.点P 在曲线2y x =上，点P 横坐标011(,)22x ∈-，则P 点处切线的倾斜角的范围？【课后作业】14. 求函数()f x π=的导数.15.求抛物线2y x =在1x =与2x =处的切线方程. 【课后作业参考答案】【作业解答】14.解: '()0f x =.15.解：'2y x =，在1x =处切线方程21y x =-，在2x =处的切线方程为.【素材积累】1、人生只有创造才能前进；有适应才能生存。
博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。
我不知道将来会去何处但我知道我已经摘路上。
思想如钻子，必须集中摘一点钻下去才有力量。
失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。
2、为了做有效的生命潜能管理，从消极变为积极，你必须了解人生的最终目的。
你到底想要什么?一生中哪些你而言是最重要的?什么是你一生当中最想完成的事?或许，你从来没有认真思量过生命潜能管理旧是以有系统的法管理自我及周资源，达成 。
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切线的斜率都为0.若y c表示路程关于时间的
函数,则 y` 0 可以解释为某物体的瞬时速度始
终为0, 即一直处于静止状态.
2. 函数 y f x x的导数
y
因为y f x x f x
x
x
x x x 1, x
所以 y` lim y lim 1 1. x0 x x0
x
x
x
x x x x x x x x x x
1
,
x x x
所以 y` lim y lim
1
1 .
x0 x x0 x x x 2 x
yx O
x
图1.2 2
y` 1表示函数 y x图象1.2 2上每一点处的
切线的斜率都为1.若y x表示路程关于时间的 函数,则 y` 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1的匀速运动.
探究 在同一平面直角坐标系中,画出函数 y 2x, y 3x, y 4x的图解,并根据导数定 义, 求它们的导数.
1.2. 导数的运算
1.2.1 常数函数与幂函数的导数
我们知道, 导数的几何意义是曲线在某 点 处 的 切 线 的 斜 率, 物 理 意 义 是 运 动 物 体在某一时刻的瞬时速度.那么, 对于函
数 y f x,如何求它的导数呢?
根据函数的定义,求函数y f x的导数,
就是求出当x趋近于0时, y 所趋于的那 x
个定值.
下面我们求几个常用函数的导数.
1. 函数 y f x c的导数
因为y f x x f x
x
x
y yc
c c 0, x
所以 y` lim y lim 0 0. x0 x x0
O
x
图1.2 1
y` 0表示函数 y c图象1.2 1上每一点处的
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x,
y y x2
O
x
图1.2 3
所以 y` lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y` 2x表示函数 y x2 图象1.2 3 上点x, y处
切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 也在变化另. 一方面,从导数作为函数在一点的瞬 时变化率来看, y' 2x 表明:当x 0时,随着x 的增 加, y x2减少得越来越慢;当x 0时,随着x的增加, y x2增加得越来越快. 若y x2表示路程关于时
所以
y`
lim
x0
y x
lim x0
x2
1 x
x
1 x2
.
探究 画出函数y 1 的图象.根据图象,描述它的 x
变化情况,并求出曲线在点1,1处的切线方程.
5. 函 数 y f x x 的 导 数
因为y f x x f x x x x
1从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 2这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一
个增加得最慢?
3函数 y kx k 0 增 减的快慢与什么
有关?
3. 函数 y f x x2 的导数
因为y f x x f x
x
x
x x2 x2
间的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数,则 y' 2x,可以解释为某物体作变速运 动,它在时刻x的瞬时速度为2x.
4. 函数 y f x 1 的导数
x
11
因为y
f x x
f x
x x x
x
x
x
x x x
1
xx xx x2 x x ,