2.1-3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表全面版

【做一做 3】 求下列函数的导数: (1)y=���1���2; (2)y=4x. 解(1)y'=-���2���3;(2)y'=4xln 4.
名师点拨基本初等函数包括常值函数y=C,指数函数y=ax(a>0,且 a≠1),对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0),幂函数y=xα(α∈R),三角函数 等.
当a=1时,b=1,此时直线l的方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0; 当a=-1时,b=-1,此时直线l的方程为y+1=3(x+1),即3x-y+2=0,
题型一
题型二
利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数: (1)y=���1���5;(2)y=5 x3;(3)y=3x;(4)y=log2x.
分析对于基本初等函数的求导,直接利用导数公式求导.但要注
意把所给函数的关系式转化成能够直接应用公式的基本函数的形
式,以免在求导时发生不必要的错误.
5已知直线l与直线3x-y+2=0平行,且与曲线y=x3相切,求直线l的方 程. 分析由直线l与直线3x-y+2=0平行,可得kl=3,设切点为(a,b), 则y'|x=a=3a2=3,可得a,即可求出b,从而可求出切线方程. 解设切点为(a,b).
∵y'=3x2,∴kl=y'|x=a=3a2. 又∵直线l与直线3x-y+2=0平行, ∴3a2=3,∴a=±1.
1 函数 y=cosπ4的导数为
.
答案:0
2 函数 y=3 x2的导数为
.
答案:332 x
3函数y=log3x在x=1处的导数为
.
解析:∵y'=x������1������3,∴y'|x=1=���������1���3.
答案:ln13
4以曲线y=ex上的点P(0,1)为切点的切线方程为
.
答案:y=x+1
解(1)y'=
1 x5
'=(x-5)'=-5x-6=-x56;
(2)y'=(5 ������3)'=(������35)'=35 ������-25 = 553������2;
(3)y'=3xln 3;
(4)y'=x������1������2.
反思基本初等函数求导的关键:①熟记导数公式表;②根式、分式
1.能根据导数的定义,求函数y=C,y=x,y=x2, y=1������ 的导数. 2.会使用导数公式表.
1.常数函数的导数
设y=f(x)=C(C为常数),则C'=0.
名师点拨C'=0表示函数y=C的图象上每一点处的切线的斜率为0.
若y=C表示路程关于时间的函数,则y'=0可解释为某物体的瞬时速
名师点拨记住几种特殊幂函数的求导公式,我们就可以直接求一
些简单函数的导数了.
【做一做2】 函数y=x2在x=6处的导数为
.
答案:12
3.基本初等函数的导数公式 (1)C'=0(C为常数). (2)(xn)'=nxn-1(n为自然数);(xμ)'=μxμ-1(μ为有理数,且μ≠0,x>0). (3)(ax)'=axln a(a>0,a≠1);(ex)'=ex. (4)(logax)'=������l1n������(a>0,a≠1,x>0);(ln x)'=1������(x>0).
求导时,先将其转化为指数式的形式.
题型一
题型二
导数公式的应用
【例 2】
求曲线 y=sin x 在点 P
π 2
,1
处的切线方程.
分析利用导数公式求出该点处的导数,即切线的斜率,再由点斜
式写出切线方程即可.
解∵y'=(sin x)'=cos x,∴y'|������=π2=cosπ2=0. ∴所求直线方程为 y-1=0,即 y=1.
解∵f'(x)=1������,∴kl=f'(e)=1e.
由题意知所求直线斜率为-e.
∵点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上, ∴a=ln e=1.
故所求直线方程为y-1=-e(x-e), 即ex+y-e2-1=0.
百度文库 题型一
题型二
反思求以曲线上的点为切点的切线方程的方法和步骤:
①求切点处的导数即为切线的斜率; ②由直线方程的点斜式写出切线方程.
(5)(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x. 名师点拨(1)xn(n为自然数)与xμ(μ为有理数,μ≠0,x>0)可以归为一 类函数来记忆导数公式.只是要注意n为负数时的运算技巧,先变形, 再求导. x=(l2o)gleoxg,则ax与(lnlnxx)'等=���求���l1n导e =公1���式��� ;较对难log记ax忆求,导可,以只相需互把间上作式比e换较为,如a.ln (3)指数函数y=ax与幂函数求导易出错,比如,对y=2x与y=x2求导, 可专门记忆y=ax的求导公式.(2x)'=2xln 2,(x2)'=2x.
度【始做终一为做0,即1】一函直数处于y=静si止nπ2状的态导.数为
.
答案:0
2.几种特殊的幂函数的导数
(1)函数y=x的导数:x'=1.
(2)函数y=x2的导数:(x2)'=2x.
(3)函数 y=1������的导数:
1 ������
'=-���1���2.
此式也可写成
1 ������
'=(x-1)'=-x-2.
1.函数y=f(x)=x的导数的意义是什么? 剖析:y'=1表示函数y=x的图象上每一点处的切线的斜率都为1.若 y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时速 度为1的匀速运动.
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数? 剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的 瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x<0时,随着x的增加,函数y=x2减少得 越来越慢;当x>0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2 表示路程关于时间的函数,则y'=2x可以解释为某物体作变速运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x.
题型一
题型二
【例3】 已知点P(e,a)在曲线f(x)=ln x上,直线l是以点P为切点的 切线,求过点P且与直线l垂直的直线的方程.(字母e是一个无理数,是 自然对数的底数)
分析因所求直线与直线l垂直,故其斜率乘积为-1.可利用导数公 式求出直线l的斜率k,从而可得所求直线的斜率;点P在曲线上可求 得a,然后利用点斜式写出所求直线的方程.