2014人教版-18.2.2菱形的性质

B
A
D O C
D A 4O
3
C
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm， B 则菱形的边长是（ ）C A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
总结：菱形问题可转化为直角三角形
或等腰三角形的问题来解决
如图，菱形花坛ABCD的周长为80m， ∠ABC＝ 60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD，则 1.菱形花坛的边长为 m； 2.△ABC为 三角形，AC= m； 3.∠AOB= °，由 定理得，BO= m， 所以BD= m，所以△AOB面积为 m 4. 讨论菱形花坛 ABCD 的面积如何计算？
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等， 因此我们得到：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
A
菱形的性质2：菱形的两条
对角线互相垂直，每一条对 角 线 平 分 一 组 对 角
B O C
D
菱 形 的 性 质 2 ： 菱形的两条对角线互相垂直， 已知:四边形ABCD是菱形 求证:AC⊥BD，
AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC
∵四边形ABCD 是平行四边形 AB=BC ∴四边形ABCD 是菱形
B
菱形就在我们身边
三菱汽车标志欣赏
如何利用折纸、剪切的方法， 既快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对 折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道 其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形
A B D
菱形是轴对称图形
(2)从图中你能得到哪些 结论?并说明理由.
提示:从边、角、对角线、 面积等方面来探讨
C
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质.
平行四边形 邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么 这个平行四边形成为怎样的四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
AB=BC ABCD
．
四边形ABCD是菱形
菱形的性质
前面我们学习了平行四边行, 之后又研究了一种特殊的平行四边 形——矩形 ；生活中还有许多特殊 的平行四边形．如:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A 菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
5
1 2
6
O
3 4
C
7 8
B
角
菱形的邻角互补
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
对称性
菱形的两条对角线互相平分 ∴∴ ∠ DAB+ ∠ABC= 180° AB=BC=CD=DA ∴ OA=OC;OB=OD ∴ ∠ DAB= ∠ DCB ∴ AC ⊥ BD 对角线 菱形的两条对角线互相垂直， ∥ ∴ AD BC ∠ ADC= ∠ 1=∠2∠ABC 每一条对角线平分一组对角。 ∠3= ∠ 4 ∥ AB CD ∠5=∠6 菱形是轴对称图形，有2条对 ∠7=∠8
同理：∠5=∠6 ， ∠7=∠8
∴ BD平分∠ADC和∠ABC
已知:四边形ABCD是菱形 求证:AC⊥BD， AC平分∠DAB和∠DCB A BD平分∠ADC和∠ABC
证明2： ∵四边形ABCD是菱形
D
O
O
B
C
∴AB=AD,（菱形的定义） OD=OB （平行四边形的对角线互相平分） ∴ AC⊥BD ,AC平分∠DAB (为什么?)
每一条对角线平分一组对角。 D
5 6
A
1 2
9 10
o O
3 4
C
7 8
证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴ AD=AB,OD=OB 又∵ AO = AO
B ∵ △AOD ≌ △AOB
∴△AOD ≌ △AOB ∴∠9=∠10 又∵ ∠9+∠10= 180° ∴ ∠9=∠10= 90° ∴ AC⊥BD
∴∠1=∠2 ∴ AC平分∠DAB 同理：∠3=∠4 ∴ AC平分∠DCB
已知四边形ABCD是菱形
相等的线段：AB=CD=AD=BC
A
1 2
7 8
D
OA=OC
OB=OD
B
5 6
O
3
4
相等的角： ∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠1=∠2=∠3=∠4
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有：△ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
= =
称轴，是两条对角线所在的 直线。
说说理由
∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AB∥CD ( AB=BC=CD=DA ( OA=OC，OB=OD ( AC⊥BD (
2
D
A O C
) ) )
)
B
∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD 1 1 = ∠ADC= 2 ∠ABC ( )
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O
?
4 、 已知如图，菱形 ABCD 中， E 是 AB 的中点，且DE⊥AB，AE=2。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
D
O
C
A
E
B
∴AD=AB （1） ∵ E是AB的中点，且DE⊥AB
∴DA=DB（DE为AB 的中垂线） ∴AD=AB=BD ∴ ∠DAB= 60 °， ∴ ∠ABC=120 °
菱形
D O B
边
菱形的四条边相等
A
菱形的两组对角分别相等
C
2．性质：
角
对角线
菱形的邻角互补 菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两条对角线互相垂直平，每一条对角 线平分一组对角。
3．面积：S菱形=对角线乘积的一半
四、课堂小结：矩形和菱形的性质
矩形 定 有一个角是直角的平 义 行四边形 性 1、具有平行四边形的 一切性质 质 2、四个角都是直角 3、矩形的对角线相等 菱形 有一组邻边相等的平行 四边形 1、具有平行四边形的 一切性质 2、菱形的四条边都相 等 3、菱形的对角线互相 垂直，并且每一条对角 线平分一组对角
A
B
O
C
D
画出菱形的两条折痕,并通过折叠手中的图形回 答以下问题： (1)图中有哪些线段是相 D 等的？哪些角是相等的？ (2)图中有哪些等腰三角 O A C 形、直角三角形？ B (3)两条对角线AC，BD有 D 什么特定的位置关系？ 56 6 1 9 (4) 那么，菱形是轴对称图 3 o A C O 2 10 4 形吗？如果是，它有几 7 8 条对称轴？对称轴之间 B 有什么位置关系？
□ABCD
四边形ABCD是菱形
AB=BC
菱形是特殊的平行四边形，它具 有平行四边形的一切性质．即
菱形的对边平行且相等． 菱形的对角相等． 菱形的对角线互相平分．
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变 边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中， 哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等 菱形
同理：AC平分∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC
求证:菱形的四条边相等 菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。
已知:如图四边形ABCD是菱形 D 求证: (1)AB=BC=CD=DA O (2)AC⊥BD A C AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC B 证明(1)∵四边形ABCD是菱形 ∴DA=DC(菱形的定义) ∴DB⊥AC， ∵DA=BC,AB=DC DB平分∠ADC（三线合一） ∴AB=BC=DC=DA 同理： DB平分∠ABC； (2)在△DAC中,又∵AO=CO AC平分∠DAB和∠DCB
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱
（2）若AC=BD，则□ABCD是 矩
形；
形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 矩 形； （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
D
O A B C
1.已知菱形的周长是12cm，那 3cm 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 。 则∠BAC＝_______
小结：矩形和菱形的性质
矩形 菱形
定 有一个角是直角的平行四 有一组邻边相等的平行四边 形 义 边形 性 1、具有平行四边形的一切性质 1、具有平行四边形的一切性质
2、四个角都是直角 3、矩形的对角线相等
质
2、菱形的四条边都相等 3、菱形的对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角
四边形集合
平行四边形集合 菱形集合
矩形集合
课后作业:
• 1 课后作业：P60 5题 • 2 课时练，第3课时，基础限时练
议一议
Shuxue
木工师傅在做菱形的窗格时，总是保证 四条边框一样长，你能说出其中的道理吗？ 与同伴交流。
思考:
操作题：请把有一个内角为72° 的菱形ABCD分成4个等腰三角形.
D A
）72°
C B
人教版数学教材八年级下
特殊的平行四边形
-----菱形（1）
授课者： 张 彦 林
情 景 创 设
前面我们学习了平行四边形 和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅 改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程 中，哪些关系没变？哪些关系变了？
∴ S菱形ABCD=4×2 3
3