人教版八年级数学下册《菱形的性质》课件

解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO＝
1 2
AC，BO＝
1 BD. 2
∵AC＝6cm，BD＝12cm， ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得
AB AO 2 BO 2 32 62 3 5 cm .
∴菱形的周长＝4AB＝4×3 5 ＝12 5 (cm)．
归纳 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的 所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
平行四边形的性质
对边相等 对角相等
矩形的性质
对边相等 四个角都是直角
菱形的性质
四边相等 对角相等 两条对角线互相垂 直平分，并且每一 条对角线平分一组 对角
对角线互相平分
对角线互相 平分且相等
典例精析 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交 于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平 行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗? 能.过点A作AE⊥BC于点 E, 则S菱形ABCD=底×高 B =BC· AE. A
Байду номын сангаасD E
C 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直, 那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
探究新知 问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD 交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
证明猜想
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD 在等腰三角形ABD中, A
B O C D
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
18.2.2
菱形的性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）
情景引入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
探究新知
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩
形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边
解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC B = AC· BO+ AC· DO = =
1 AC· BD. 2 1 2
A O
D
1 2
1 AC(BO+DO ) 2
C 你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
典例精析 例2 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD 的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形 ABCD两对边的距离h. 解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
1 1 ∴S△AOB＝ 2 OA· OB＝ 2 ×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
2 2 2 2 AB AO BO 5 12 13, ∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB· h＝13h，
∴13h＝120，得h＝
120 . 13
归纳： 菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两 对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形 的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两 条对角线长度乘积的一半．
初步应用
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
5，则△ABD的周长是 A.10 B.12 C.15 D.20 ( C )
第1题图
第2题图
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、 BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段 OE的长为_______. 6cm
探究新知
归纳
B
菱形的性质1： O 菱形的四条边都相等。 A C 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形 D ∴AB = BC = CD =AD 菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角。 符号语言： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
形有一个角是直角时,就成为了矩形.
平行 四边形
有一个角是直角
矩形
探究新知 思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大
小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这
个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形
邻边相等
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
典例精析 例3 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝ 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD， 求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到 0.01m和0.1m2 ）. A
解：∵花坛ABCD是菱形，
AC BD，ABO
1 在RtOAB中，AO AB 10m， 2
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角.
证明猜想
已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点 O. B 求证:(1)AB = BC = CD =AD； O C A (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， D ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD.
探究新知
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确 地剪出一个菱形的纸片？
沿对角线折 叠
左右对折
上下对折 展开
剪切
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
BO AB 2 AO 2
1 ABC 30. 2
B
O C
D
202 102 10 3 m ，
AC 2 AO 20m，BD 2BO 20 3 34.64 m .