九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系学案(新版)北师大版

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2一元二次方程根与系数的关系教案北师大版九年级数学上册

北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程2.5《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计一、教学内容及内容解析1.教学内容知道一元二次方程的根与系数的关系，能通过系数表述方程的根，能用方程的根表示系数.2.内容解析本课是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的选学内容.我们知道在一元二次方程的求根公式和根的判别式已经揭示了一元二次方程的根与系数的关系，本节课将在求根公式的基础上进一步探究一元二次方程的两根与系数之间的关系.一元二次方程的根与系数的关系是今后继续研究一元二次方程根的情况的重要工具.利用根与系数的这模型关系可以解决和研究许多数学问题，对今后二次函数和高中解析几何的学习和研究意义重大.通过本节课，学生进一步感悟用数学符号表达对数学发展的作用，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验，也为今后学习高阶方程打下理论基础.基于以上分析，本节课的重点是：一元二次方程的根与系数的关系的发现和提出，以及简单的应用.二、目标和目标解析1.目标（1）通过复习一元二次方程的一般式和求根公式，在一般观念的引领下学生能发现和提出研究方程根与系数关系的问题.（2）了解一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.（3）感受由一元二次方程的系数能得到方程根的情况，而用方程的两根不能唯一确定系数这一关系.（4）通过一元二次方程的根与系数的关系的发现、推导和学习过程，培养学生观察、计算和分析能力，积累用数学符号进行代数逻辑推理并得到一般性结论的经验.2.目标解析达成目标（1）的标志是：通过加减乘除运算将两个根结合起来，研究根与系数的关系.达成目标（2）的标志是：通过对两根的和、差、积、商的分析，能得到用根的和、积与系数的关系作为根与系数的一般关系，并能完成练习1.达成目标（3）的标志是：经历练习2和练习3，总结得到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a、b、c中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.达成目标（4）的标志是：在推导得出一元二次方程的根与系数的关系的过程中，学生能从观察、计算、分析等过程得到一元二次方程的根与系数的关系.三、学生学情分析本节课之前，初三学生已经学习了字母表示数，以及一元二次方程的一般式，根的判别式，求根公式和解法等知识，同时也具备一定的观察、计算和分析问题的能力，在一定程度上也已经感受到一元二次方程的根与系数之间有一定联系，但是在探索根与系数关系的更多形式和分析形成一般关系的过程中，对学生的逻辑推理和综合分析能力有很高的要求，同时学生在感受系数与根的相互确定关系时，有一定的困难.本节的难点是:一元二次方程的根与系数的关系的提出和整个代数推理过程，一元二次方程的系数与根的相互确定关系.四、教学策略分析苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者.”而在中小学生的精神世界中，这种需要尤为强烈.再结合以上学情，本节课在教学过程中，以问题为导向，启发、多媒体辅助等教学方法相结合，从学生所学知识出发，以问题解决为主线，以学生探究为主，步步有序，环环相扣，让学生通过操作、思考、交流、表达去实践，始终参与整个问题的发生和解决的过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，从而发展学生的数学思维和创新意识.五、教学过程设计1.复习回顾，引入新课问题 1 前面我们已经认识了一元二次方程，并学习了相关解法，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有实数根时系数要满足的条件是？师生活动：教师提出问题，学生齐答b2_4ac≥0.追问1 此时，方程的根就可以表示为？师生活动：教师提出问题，学生齐答x=.追问2 我们不妨把方程的两根记为x1和x2.通过观察，我们可以发现一元二次方程的根由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式，除此以外，它们之间还会有其他形式的关系吗？师生活动：教师由求根公式提问，老师引出本节课课题，并板书课题.设计意图：先温习旧知，复习引入既回顾了相关知识，又将学生的注意力直接引导到了研究一元二次方程的根与系数的关系上来，使学生目标明确，可谓开门见山．2.研究问题，探索新知问题2 目前，我们已经得到了两个独立的根与系数间的关系，为了探索出更多形式的关系，我们还可以把两个根做怎样的尝试呢？师生活动：教师始终手指求根公式，引导学生观察表示根的代数式，再回答问题.(预设学生会想到将两根进行加减.若学生无法回答，老师要提醒学生观察思考能不能把两个根结合起来研究，甚至是引导学生观察出表示根的代数式为分式，直至学生回答到将两根进行运算.)追问1 除了加减运算，还可以做什么运算？师生活动：学生回答做乘除运算后，教师把两根加减乘除的四个算式板书于黑板右侧，学生独立计算每个算式，教师巡视学生计算情况，给学生充分计算的时间，大约4分钟左右.学生独立运算后，教师再组织学生进行小组讨论，统一结果，给学生充分讨论的时间，大约2分钟左右.教师加入学生讨论，注意倾听学生的讨论情况并适当引导.追问2 哪个小组愿意和大家分享你们的结果？师生活动：学生分享小组讨论结果，教师板书结果，并关注其他小组的结果是否与之一致，教师要引导学生关注在得到12= cx xa的过程中是否可以运用平方差公式.(预设学生得到12x x的结果不一致，可能有12x x ，还可能有学生对结果进行分母有理化，教师引导学生思考，是否有必要对分母有理化.)设计意图：通过对求根公式的观察,让学生再次明确求根公式也是根与系数的一种关系；通过用加减乘除计算把两个根结合研究根与系数的关系，让学生感受到从单一到综合的研究方法，也锻炼了用数学符号进行代数推理的能力.问题3 通过合作探究，我们得到了4个结果，请同学们仔细观察，你觉得哪几个更适合作为一元二次方程的根与系数的一般关系?师生活动：学生容易选择12+=b x x a -和12=c x x a，并能从形式简单，运用方便等原因进行解释.教师点评时，要指出这其实就是从数学要简洁美的角度进行的选择，对学生的想法评价和赞扬.追问1 除此以外，还有其它原因吗？追问2 请同学们看到x 1-x 2，它的结果看起来比较复杂，那x 1-x 2能不能用x 1+x 2与x 1x 2来表示？师生活动：教师提出问题后，观察学生情况，引导学生回顾完全平方公式，(x 1+x 2)2=x 12+x 22+2x 1x 2，(x 1-x 2)2=x 12+x 22-2x 1x 2，对比可以发现(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2.既然x 1-x 2的结果能用x 1+x 2与x 1x 2来表示，那我们研究根与系数的一般关系时，就不用去关注两个根的差与系数的关系.追问3 请大家再看到两根之商，在做除法运算的时候，对根有什么要求？师生活动：学生知道两根做除法时，根不能为0.而对于任意的一元二次方程的根而言，根是可能等于0的，这就具有不确定性，所以两根之商与系数的关系就不具备一般性.综合以上原因，我们就可以得到，除求根公式以外，一元二次方程的根与系数的又一个关系:如果方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)有两个实根x 1，x 2，那么12+=b x x a-， 12=c x x a . 教师指出，早在16世纪，法国数学家韦达就发现了一元二次方程的根与系数之间有这种关系，为了纪念这位伟大的数学家，人们把这个关系称为韦达定理.然后请同学们打开课本，翻到50页，请勾画这个关系.教师板书韦达定理后，再对关键地方进行提醒.设计意图：经历从两根的和、差、积、商这四个与系数的关系中选择和与积与系数的关系作为根与系数的一般关系的过程，增强学生观察和分析问题的能力.经历了建立根与系数这个模型关系严谨的推理过程，引导和加强学生用数学符号进行代数推理的思想意识.练习1 方程2x 2−3x −2=0的两根分别是x 1，x 2，那么（）A .12123+=12x x x x =-，B .12123+=12x x x x -=-，C .12123+=12x x x x =，D .12123+=12x x x x -=，师生活动：学生独立完成（预设1：学生根据一元二次方程的根与系数的关系，直接代入系数a ，b ，c 的值就可以得到结果；预设2：学生通过解方程，得到x 1=2，x 2=12-，再把两根相加和相乘，可以得到答案）.教师根据学生的回答，正向点评并板书过程.设计意图：通过练习1，巩固一元二次方程的根与系数的关系这一知识点，同时也起到验证这一知识点正确性的作用，同时可以再次感受到一元二次方程的系数可以确定方程根的情况.练习2 请用根与系数的关系，写出一个两根是−1和3的一元二次方程. 师生活动：学生独立完成，学生会想到用因式分解和待定系数法等解决此题，但教师巡查或点评时应该先肯定，再引导学生审题，用根与系数的关系解决问题.学生回答方程和思路后，教师引导其他学生进行验证，并将学生思路板书，注意提取关键信息（预设：根据韦达定理，我们可以得到12+2b x x a =-=，123c x x a ==-，也就有b =−2a ，c =−3a ，如果令a =1，那么b =-2，c =−3，所以方程就可以是x 2−2x −3=0）.追问1 大家都是写的这个方程吗？追问2 你是怎么得到这个方程的？师生活动：学生回答所写方程（预设：-x 2+2x+3=0，2x 2−4x −6=0...）后，教师马上问追问2.追问3 通过两位同学所分享的解题过程，你们有什么发现？师生活动：教师根据学生回答情况，引导学生发现归纳满足根是−1和3的一元二次方程并不唯一，给a 赋不同的值，就会得到不同的一元二次方程.同时，引导学生观察过程，根据韦达定理建立了一个关于系数a ，b ，c 的不定方程.追问4 除了对a 可以赋值以外，还可以？追问5 通过这个练习题，我们可以感受到，已知一元二次方程的两根，根所对应的方程并不唯一.如果一定要使得方程唯一，那就要在什么前提下？师生活动：学生独立思考，容易得到还可以对系数b ，c 中任意一个赋值.已知方程两根，在系数a ，b ，c 中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.设计意图：学生通过练习2，学生可以进一步感受一元二次方程的根与系数的关系，已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，与练习1也很强的关联性和对比性.练习3 我们在刚才练习2的基础上，增加二次项系数为1这个条件，此时,我们就很容易得到一元二次方程是?追问1 这个方程是唯一的吗？师生活动：教师肯定学生的回答，同时引导学生观察练习2中所写的方程，它们都可以在等号两边同时除以二次项系数，化为x 2−2x −3=0，所以这些方程的解都是−1和3.设计意图：通过练习2变式到练习3的对比，使学生再次感受到已知方程的根不能唯一确定对应方程的系数，在系数a ，b ，c 中有一个确定的情况下，对应的一元二次方程就会被唯一确定.同时，通过教师的引导讲解，感受和回顾一元二次方程二次项系数化为1这一常态化变形方式.教师活动：我们在对一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)变形时，一般会把二次项系数a 化为1，原方程就会变形为2+0b c x x a a+= (a ≠0)，此时方程的两根之和依然是b a -，两根之积依然是c a .但2+0b c x x a a+= (a ≠0)的形式看起来却不够简单，恰好字母可以代表一切数或式，我们不妨令=b p a ，=c q a，此时一元二次方程就可写为x 2+px +q =0，一元二次方程的根与系数的关系就是1212+=x x p x x q -=，，根与系数的关系形式上会进一步简化.请同学们记录.设计意图：通过教师的讲解，使学生感受到一元二次方程二次项系数化为1后根与系数关系的形式，同时在面对此类问题时，可以首先把二次项系数化为1.这也体现了从一般到特殊的研究方法.练习4 已知方程5x 2+kx −6=0 的一个根是2，请求出此方程的另一根和k 的值（教材习题2.8的第3题）.师生活动：学生独立完成，教师巡视，收集学生做题情况(预设1：通过根与系数的关系建立另一根和k 的方程组；预设2：把已知的根2代入方程中求出k 的值，再通过解方程或根与系数的关系得到另一根；预设3：先把二次项系数化为1后，再进行求解).教师板书以根与系数的关系为思路的解题过程.设计意图：巩固本节课所学知识，同时感受多种方法解题的过程.3.回顾课堂，小结升华师生活动：教师引导学生回顾本堂课的探究和学习过程，总结知识，学习过程，数学思想等：（1）知识层面上，学习了一元二次方程的根与系数的一般关系，12+=b x x a -，12=c x x a，感受到了由方程的系数可以确定根，由根不能唯一确定方程的系数这一关系.（2）探究过程上，复习了一元二次方程的求根公式，经历了观察根的表示形式，计算两根的和、差、积、商，并分析了计算的结果，得出了韦达定理.（3）思想方法上，体现了从单一到综合的研究方法，感受了用数学符号进行代数推理的思想方法，最终建立了根与系数的模型.设计意图：通过小结，回顾探索新知的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想和方法，引发学生更深层次的思考，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思习惯，促进学生认知结构与思维品质的优化.4.布置作业，课后巩固必做：教材51页习题2.8，第1题，第2题和第4题；选做：拓展思考题，已知x 1，x 2是一元二次方程x 2−2x −3=0的根，请求出1211x x +与12x x -的值.设计意图：根据学生情况，分层布置作业，必做作业用以巩固本堂课所学知识和方法，选做作业引导学生还可以探究根与系数关系的更多形式. 六、课堂教学目标检测1．若m，n为方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则m+n与mn的值分别为（）A．1，﹣3B．﹣1，3C．﹣3，1 D．3，﹣1设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用.2．已知关于x方程2x2﹣3x+a＝0有一个根为4，则方程的另一个根为b，则a b＝．设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系和应用.3．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则代数式11的值为．a b设计意图：考查一元二次方程的根与系数的关系的应用,以及其它形式的探究.4．已知关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两根互为相反数，求m的值．设计意图：考查一元二次方程的概念，根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系的应用.。

九年级数学上册第22章 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系教案 (新版)

难点目标
正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系
导入示标
掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用
目标三导
学做思一：
解下列方程，并填写表格：
方程
观察上面的表格，你能得到什么结论？
（1）关于x的方程的两根，与系数p，q之间有什么关系？
变式二：已知方程的两根互为倒数，求k；
达标检测
1.已知方程的一个根是1，求另一根及m的值.
2.已知方程的一个根为，求另一根及c的值.
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
（2）关于x的方程的两根，与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
学做思二：
例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？
学做思三：
例3 ：已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）
例4：已知方程的一个根是，求另一根及k的值.变式一：已知方程的两根互为相反数，求k；
一元二次方程的根与系数的关系
课题名称
一元二次方程的根与系数的关系
三维目标
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
2.培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．
3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
重点目标
根与系数的关系及其推导

北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案

《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a 的负号。

九年级上册一元二次方程的根与系数的关系学案

九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》学案一元二次方程的根与系数的关系（总第学时）主备人：备组学习目标：把握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。

学习重难点：重点：根与系数的关系及其推导。

难点：正确明白得根与系数的关系。

学习进程：一、温顾互查一元二次方程的一样形式是什么？2一元二次方程的求根公式是什么？3如何判定一元二次方程根的情形？二、探讨新知试探：解方程并观看x1＋x2,x1•x2与系数的关系方程x1x2x1＋x2x1•x2x2－x＋6=0x2＋3x－4=0x2－x－2=0x2＋3x＋2=02问题：观看两根之和，两根之积与方程的系数之间有什么关系？3猜一猜：请依照以上的观看猜想：方程的两根与系数a,b,之间的关系：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．4验证结论：设为方程的两个实数根，证明上述结论（1）当知足条___________时，方程的两根是（2）两根之和两根之积．结论：一元二次方程根与系数关系：（1）若是为方程的两个实数根，那么______,_________若是为方程的两个实数根,那么______,_________三、合作探讨不解方程，求以下方程两根的和与积：（1），2写出以-２与１为根的一元二次方程。

3、已知方程的一个根是-3，求另一根及的值。

四当堂训练．假设方程的两根为，,那么==2．方程那么==3．假设方程的一个根2，那么它的另一个根为p=4．已知方程的一个根1，那么它的另一根是=．假设0和-3是方程的两根，那么p+q=6在解方程x2+px+q=0时，甲同窗看错了p，解得方程根为x=1与x=-3；乙同窗看错了q，解得方程的根为x=4与x=-2，你以为方程中的p=，q=。

7．两根均为负数的一元二次方程是（）ABD8．假设方程的两根中只有一个为0，那么（）Ap=q=0BP=0,q≠0p≠0,q=0Dp≠0,q≠0九、不解方程，求以下方程的两根和与两根积：（1）x2-x-10=0（2）2x2+7x+1=0（3）3x2-1=2x+（4）x（x-1）=3x+7学后反思：。

北师大版九年级数学上册集体备课教案：2.5一元二次方程根与系数的关系

二．探索新知
1．请大家完成下面的表格：
方程
x
x
x
2.观擦上面的规律，运用你发现的规律填空：
（1）已知方程x 的根是x 和x ，则 =； =
（2）已知方程x +3x－5=0的根是x 和x ，则 =， =
3．猜想：如果方程的根是x 和x ，则 =； =
4．同学们，你们的猜想对不对，请同学们分组来证明你们的猜想，好吗?（合作探讨）
解.设方程的另一个根是，则 3+ =2解之得 =－1。
∵3 =c∴3×（－1）=c∴c=－3
故：方程的另一个根是－1，c=－3。
例2．已知方程的根是x 和x ，求下列式子的值：
（1） + （2）
解.由一元二次方程根与系数的关系知： =5， =－6
（1）原式= +2 －
=
=5 －（－6）
=31
（2）原式=
过程与方法：经过小组讨论和从特殊到一般的数学认知过程的体会。。
情感态度与价值观：利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题。
重点
一元二次方程根与系数的关系
难点
韦达定理的论证
教法
引导、探究、合作、交流。
教
学
过
程
教
学
过
程
集体备课
个案修改
一．创设情景
同学们，我们在前面学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程的根由系数决定，这说明一元二次方程的根与系数有密切的关系，究竟有怎样的关系呢？那我们今天和大家一起来探索。好吗？
3．已知方程2 的两个根分别是x 和x ，求下列式子的值：
（1）（x +2）（x +2）（2）

2.5+一元二次方程的根与系数的关系+(课件)2024—2025学年北师大版数学九年级上册

1.一元二次方程根与系数的关系是什么？
如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么 X1+X2= -p,X1X2= q . 2、熟练掌握根与系数的关系； 3、灵活运用根与系数关系解决问题.
课后作业：基础题
5、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，不解方程，求：
（1）
;（2) ;(3)
1、已知方程是 ,且
的两个实数根 ,求k的值.
2、方程
பைடு நூலகம்
有一个正根，
一个负根，求m的取值范围。
谢谢！
一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.
归类探究
类型之一利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
例1： A
类型之二：利用根与系数的关系求与方程两根有关的代数式的值
例2：
另外几种常见的求值:
类型之三:利用根与系数的关系解决已知一根求另一根的问题例3:已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，求方程的另一个根．
一元二次方程的根与系数的关系
根据所填写的表格，你能发现x1 + x2， x1x2与方程的系数有什么关系？
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用X1+X2= 时，注意“－ ”不要漏写。
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
如果方程x2+px+q=0的两根是X1,X2，那么 X1+X2=-p, X1X2= q.
能力提升
3、方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满
足x1＋x2＝x1x2，则m的值是 (
)
A．－2或3

9年级数学北师大版上册教案第2章《一元二次方程的根与系数的关系》

教学设计一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别根与系数关系的三大用处（1）计算对称式的值例若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4)12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________ 2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6．设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

北师大版九年级数学上册说课稿：2.5 一元二次方程的根与系数的关系

北师大版九年级数学上册说课稿：2.5 一元二次方程的根与系数的关系一. 教材分析《北师大版九年级数学上册》第二章第五节主要介绍了一元二次方程的根与系数的关系。

这一节内容是在学生掌握了二次方程的解法、根的判别式的基础上进行学习的，是整个初中数学中非常重要的一部分。

通过学习本节内容，使学生能更好地理解一元二次方程的根与系数之间的关系，进一步掌握一元二次方程的解法，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程的解法、根的判别式等知识，对二次方程有一定的认识和了解。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。

因此，在教学过程中，要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能运用这一关系解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主发现一元二次方程的根与系数之间的关系。

3.情感态度与价值观目标：培养学生的团队合作意识，提高学生分析问题、解决问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：如何引导学生发现并证明一元二次方程的根与系数之间的关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾一元二次方程的解法、根的判别式等知识，引导学生进入新课。

2.自主探究：让学生独立思考，尝试发现一元二次方程的根与系数之间的关系。

3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的发现，互相启发，共同归纳出一元二次方程的根与系数之间的关系。

4.讲解演示：教师对学生的发现进行讲解，利用多媒体课件展示一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生理解并掌握这一关系。

5.练习巩固：让学生进行相关的练习，巩固所学知识。

6.拓展提高：引导学生运用一元二次方程的根与系数之间的关系解决实际问题，提高学生的应用能力。

北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案及教学反思

北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案及教学反思教学目标1.能够掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式；2.理解一元二次方程的根的含义；3.掌握一元二次方程根与系数之间的关系。

教学重点和难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系；2.教学难点：如何让学生理解一元二次方程的根的含义。

教学方法1.课堂讲授法：通过讲解一元二次方程的定义、根的含义以及根与系数的关系来引导学生进行思考；2.实验探究法：通过让学生尝试不同的系数，并求解相应的根，来发现根与系数之间的关系；3.案例研究法：通过引入实际案例，来引导学生理解一元二次方程的实际应用。

教学过程第一步：引入1.1 导入概念首先，老师可以向学生引入一元二次方程的定义，并解释方程的根是什么。

在引入概念的同时，老师可以呈现一些基本的例子，以便于学生理解。

1.2 引入主题接下来，老师可以向学生介绍今天的主题：一元二次方程的根与系数的关系。

老师可以简单地解释一下，为什么掌握这个主题对于学生来说是有用的。

第二步：教学设计2.1 正式讲解•第一步：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0老师应该提前准备好一些例子来用来讲解。

解释方程中不同的系数的含义，让学生理解一元二次方程的一般形式。

•第二步：方程的根老师应该提前准备好一些例子来用来讲解。

解释方程的根的含义，让学生理解方程的根是什么，如何利用公式求根。

•第三步：根与系数的关系接下来，老师可以主要讲解根与系数之间的关系。

可以用各种方式让学生理解这个关系，例如：- 随机生成一个一元二次方程，并随机生成一些系数，让学生求解根，并发现根与系数之间的关系；- 聚焦于发现系数与根之间的常见规律，例如二次项系数是正的，根的符号相同，等等。

2.2 实验探究老师可以让学生进行一些实验来探究根与系数之间的关系。

例如，让学生改变不同的系数，观察根的变化。

老师可以安排一个实验室，让学生到实验室去进行实验。

九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教案新版北师大版

*5 一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】掌握一元二次方程根与系数的关系,会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积,并会解一些简单的问题.【过程与方法】经历一元二次方程根与系数关系的探究过程,培养学生的观察思考、归纳概括能力,解决问题的能力,渗透整体的数学思想、求简思想.【情感态度】通过学生自己探究,发现根与系数的关系,增强学习的信心,培养科学探究精神.【教学重点】根与系数的关系及运用.【教学难点】定理的发现及运用.一、情境导入,初步认识我们知道生活中许多事物存在着一定的规律,有人发现并验证后就得到伟大的定理,而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律.那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天我们共同去探究,感受一次当科学家的滋味.【教学说明】让学生感受到数学和其他学科一样,里边有很多有价值的规律,等待我们去探索,激发学生的学习兴趣、探究欲望.二、思考探究,获取新知解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,观察表中x1+x2,x1·x2的值,它们与对应的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？【教学说明】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积,引导学生从中发现存在的一般规律,渗透特殊到一般的思考方法.【归纳总结】一般地,对于关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) ,用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ,由一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式知x 1=242b b ac a -+-,x 2=242b b ac a---,能得出以下结果： x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a. 【教学说明】让学生自己发现规律,找到成功感,再从理论上加以验证,让学生经历从特殊到一般的科学探究过程.三、运用新知,深化理解1.求下列方程的两根之和与两根之积.（1）x 2-6x-15=0；（2）5x-1=4x 2；（3）x 2=4；（4）2x 2 =3x.2.已知关于x 的方程x 2-2（k-1）x+k 2=0有两个实数根x 1,x 2.（1）求k 的取值范围；（2）若|x 1+x 2|=x 1x 2-1,求k 的值.【教学说明】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积.3.已知方程5x 2+kx-6＝0的一个根为2,求它的另一个根及k 的值；解：设方程的另一个根是x 1,那么2x 1=65- ∴ x 1=35- 又x 1+2=5k -∴k=-74.利用根与系数的关系,求一元二次方程2x 2+3x-1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和.解：设方程的两个根分别为x 1,x 2,那么x 1+x 2=32-, x 1x 2=12-. （1）∵ （x 1+x 2）2=x 12+2x 1·x 2+x 22,∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1·x 2=13/4（2）12121211·x x x x x x ++= = 3 5.已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+1/4k 2+1=0,且方程两实根的积为5,求k 的值.解：∵方程两实根的积为5 ∴222121141041154k k x x k ∆=-+-+≥=+⎪⎪⎨⎪⎩=⎧⎪［（）］（）得324k k ≥=±⎧⎪⎨⎪⎩ .∴当k=4时,方程两实根的积为5.6.已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k-1）x+k 2-1=0有两个不相等的实数根.（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是,请求出它的另一个根；若不是,请说明理由. 解：（1）Δ=［ 2（k-1）］ 2-4（k 2-1）=4k 2-8k+4-4k 2+4=-8k+8.∵ 原方程有两个不相等的实数根,∴-8k+8＞0,解得 k ＜1,即实数k 的取值范围是 k ＜1.（2）假设0是方程的一个根,则代入得 02+2（k-1）· 0+k 2-1 = 0,解得k=-1或 k=1（舍去）.即当k=-1时,0就为原方程的一个根.此时,原方程变为 x 2-4x = 0,解得 x 1=0,x 2=4,所以它的另一个根是4.【教学说明】目的是考察学生灵活运用知识解决问题的能力,让学生了解到根与系数的关系在解题中的运用,同时也考察学生思维的严密性.四、师生互动,课堂小结不解方程,根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合,可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值：（1）先化成一般形式,再确定a,b,c.（2）当且仅当b2-4ac≥0时,才能应用根与系数的关系.（3）要注意符号：两个根的和是ba前面有负号,两个根的积是ca前面没有负号.让学生谈谈本节课的收获与体会,教师可适当引导和点拨.1.布置作业：教材“习题2.8”中第2 、3题.2.完成练习册中相应练习.此节课在研究方程的根与系数关系时,先从具体例子观察、归纳其规律,并且先从二次项系数是1的方程入手,然后提出二次项系数不是1的方程,由此,猜想一般的一元二次方程的根与系数的关系,最后对此猜想的正确性作出证明.这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值.。

2.5一元二次方程的根与系数的关系课件-北师大版数学九年级上册

b2－4ac ≥ 0 且x1·x2>0
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数两根同为负数两根异号，且正根的绝对值大两根异号，且负根的绝对值大
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
(4)x11 ＋x12=x1x＋1x2x2； (5)xx21＋xx12=x22x＋1x2x21=(x1＋x2x)12x－2 2 x1x2； (6) |x1 －x2 |= (x1－x2)2 = (x1＋x2)2－4 x1x2 .
知1－讲
知1－练
例 1 【母题教材P51习题T3】已知关于x 的一元二次方程x2－6x＋q=0 有一个根为2，求方程的另一个根和q 的值.
第二章一元二次方程
*5 一元二次方程的根与系数的关系
1 课时讲解一元二次方程根与系数的关系
二次项系数为1 的一元二次方程的性质
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
知识点 1 一元二次方程的定义
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2＋
bx＋c=0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设
知1－练
(2)若方程的两个根为α ，β ，且k2=αβ ＋3k，求k 的值. 解：∵方程的两个根为 α，β， ∴αβ＝ac＝3－k. ∴k2＝3－k＋3k＝3＋2k，解得 k1＝3，k2＝－1(舍去)．

2.5+一元二次方程的根与系数的关系+课件+2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第二章一元二次方程
• 一元二次方程的一般形式？ • 一元二次方程有实数根的条件是什么？ • 当△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？ • 一元二次方程的求根公式是什么？ • 配方法的关键把一元二次方程化为什么形式？
1. 用分解因式法解下列方程：
（1）x2+9x+18=0; （2）x2-7x+10=0; （3）x2-5x-6=0; （4）x2+3x-4=0.
n2
21
___4____.
6.关于x的一元二次方程x2 2x 2m 0有两个
不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)已知x1、x2是一元二次方程x2 2x 2m 0的
两个根，且x12
x2 2
8，求m的值.
7.已知、是一元二次方程x2 5x 2 0的两个实数根，则 2 2 __2_7__.
韦达（1540－1603）论称韦为达“在韦欧达洲定被理尊”称）为。“代数学之
父”。
• 口答下列方程的两根之和与两根之积.
(1) x2 2x 15 0;
(2) x2 6x 4 0;
(3) 2x2 3x 5 0; (4) 3x2 7x 0;
(5) 2x2 5.
1.已知一元二次方程 3x2 9x m 0 的一个
x1 x2
2a
2aLeabharlann b2 b2 4ac 4a2
4ac 4a2
c a
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的两
个根分别是 x1、x2，那么：
b
x1
x2
; a
x1
x2
c. a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.

北师大版九年级上册数学教案2.5一元二次方程的根与系数的关系

-能够根据判别式的值判断一元二次方程的根的性质，即Δ > 0，有两个不相等的实数根；Δ = 0，有两个相等的实数根；Δ < 0，没有实数根；
-学会运用根与系数的关系解决实际问题，如求解给定根的条件下的一元二次方程的系数。
举例：对于方程2x² - 4x + 1 = 0，学生需要能迅速识别a=2，b=-4，c=1，计算判别式Δ=(-4)² - 4×2×1 = 16 - 8 = 8，从而判断方程有两个不相等的实数根。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：两个物品的价格之和与差）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
最后，关于课后总结部分，我觉得自己在引导学生进行知识回顾和反思方面做得还不够。在今后的教学中，我会更加重视这一环节，帮助学生巩固所学知识，提高他们的自我总结能力。
（1）若Δ > 0，方程有两个不相等的实数根；
（2）若Δ = 0，方程有两个相等的实数根；
（3）若Δ < 0，方程没有实数根；
4.根与系数的关系在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.理解一元二次方程根与系数的关系，培养学生逻辑推理及数学抽象的核心素养；
2.运用根的判别式分析一元二次方程的根的性质，提升学生数学运算及数学建模的核心素养；
2.教学难点
-理解并运用根与系数的关系，特别是判别式的计算及其含义；
-在实际问题中，如何将问题抽象为一元二次方程，并运用根与系数的关系解决问题；

2.5一元二次方程根与系数的关系-北师大版九年级数学上册教学案

北师大版数学九年级上册第二章第5节一元二次方程根与系数的关系教学案【教学目标】1．了解一元二次方程的根与系数的关系．2．会利用根与系数的关系解决简单问题．教学重点：根与系数的关系及其应用教学难点：根与系数的关系的应用【教学过程】一、[知识准备]一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a(其中b 2―4ac ≥0)．一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种表示形式，除此之外，一元二次方程的根与系数之间的关系还有另外的表示形式．二、[探索新知]1．已知方程2x 2－3x ＋1＝0的两个根是x 1＝12，x 2＝1，a ＝2，b ＝－3，c ＝1，那么 x 1＋x 2＝12＋1＝32，x 1·x 2＝12×1＝12；而－b a ＝－－32＝32， c a ＝12．你发现它们之间的关系了吗？ 2．已知方程3x 2＋8x ―3＝0的两个根是x 1＝13，x 2＝―3，a ＝3，b ＝8，c ＝―3，那么 x 1＋x 2＝13―3＝―83，x 1·x 2＝13×(―3)＝―1；而－b a ＝－83， c a ＝－33＝－1．我们可以发现：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a．对于任何一个一元二次方程，上述这种关系是否都成立呢？[推导公式]一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，有两个实数根：x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b ―b 2－4ac 2a；那么x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b ―b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－b a ；x 1·x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b ―b 2－4ac 2a ＝(－b )2－(b 2－4ac )24a 2＝b 2－(b 2－4ac )4a 2＝4ac 4a 2＝c a．[得出结论]如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a．数学上把它称为一元二次方程的根与系数的关系，也称为“韦达定理”．三、[例题讲解]例1 不解方程，利用方程的根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积．(1)x 2＋7x ＋6＝0； (2)2x 2－3x －2＝0．解：(1)∵a ＝， b ＝， c ＝，∴△＝b 2－4ac ＝＝＝，∴方程．设方程的两个实数根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝ x 1·x 2＝(2) 2x 2－3x －2＝0．例2 已知方程x 2―kx ―7＝0的一个根是3，求方程的另一个根．（提示：可以考虑用两种方法）例3 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若11x ＋21x ＝－1，求k 的值．解：（1）由题意得△＝(2k ＋3)2－4k 2＞0，解得k ＞－34．（2）∵x 1＋x 2＝－(2k ＋3)，x 1x 2＝k 2， ∵11x ＋21x ＝1212x x x x +＝()223k k -+＝－1． ∵k 2－2k －3＝0，解得k 1＝3，k 2＝－1．经检验k 1＝3，k 2＝－1都是原分式方程的根．由（1）得k ＞－34， ∵k ＝3．四、[随堂练习]1．利用方程的根与系数的关系，求方程的两根x 1，x 2之和、两根之积：（1）x 2―3x ―1＝0；（2）3x 2＋2x －5＝0．（3）x (3x －1)－1＝0 （4）(2x ＋5)(x ＋1)＝x ＋72．已知一元二次方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，求另一个根及k 的值．3．如果一个三角形两边的长分别等于方程x 2－17x ＋66＝0的两个根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？为什么？4．已知关于x 的一元二次方程22(21)2x m x m +++-=0．（1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且2212()x x m -+=21，求m 的值．解：（1）∵关于x 的一元二次方程22(21)2x m x m +++-＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝（2m ＋1）2－4（m 2－2）＝4m ＋9≥0，∴m ≥49-，∴m 的最小整数值是－2；（2）根据题意得：x 1＋x 2＝－2（2m ＋1），x 1•x 2＝m 2－2，∴（x 1－x 2）2＋m 2＝21即（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＋ m 2＝21，∴[]21)2(4)12(222=+--+-m m m ，整理得：01242=-+m m ，∴m 1＝2，m 2＝－6，∵m ≥49-，故m 的值为2． 5．已知关于x 的方程x 2－(3k ＋3)x ＋2k 2＋4k ＋2＝0．（1）求证：无论k 为何值时，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根x 1、x 2为一菱形的两条对角线之长，且x 1x 2＋2x 1＋2x 2＝36，求k 值及该菱形的面积．思路分析：（1）计算根的判别式△与0的关系，即可确定原方程根的情况；（2）根据一元二次方程根与系数的关系及已知可构造关于k 的方程可求得k ，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即12x 1x 2．解：（1）△＝b 2－4ac ＝[－(3k ＋3)]2－4×1×(2k 2＋4k ＋2)＝9k 2＋18k ＋9－8k 2－16k －8＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2 ∵无论k 为何值时，(k ＋1)2≥0，∴无论k 为何值时，原方程都有实数根；（2）由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝3k ＋3，x 1x 2＝2k 2＋4k ＋2，∵x 1x 2＋2x 1＋2x 2＝36，∴2k 2＋4k ＋2＋2(3k ＋3)＝36，∴2k 2＋10k －28＝0，∴k 1＝2，k 2＝－7（不合题意，舍去）．当k ＝2时，菱形的面积＝12x 1x 2＝12×(3k ＋3)＝92．五、[本课重点知识总结]1．一元二次方程的根与系数的关系，也称为“韦达定理”：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－ b a ，x 1·x 2＝c a． 2．利用方程的根与系数的关系，不解方程，就可以求方程的两根之和、两根之积．答案例1 （1）x 1+x 2＝-7，x 1·x 2＝6；（2）x 1+x 2＝32，x 1·x 2＝-1；例2 k ＝23，另一个根为－73．随堂练习：1．（1）x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－1；（2）x 1＋x 2＝－23，x 1·x 2＝－53；（3）x 1＋x 2＝13，x 1·x 2＝－13；（4）x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－1．2． k ＝－7，另一个根为35． 3．不可能4．解：（1）∵关于x 的一元二次方程22(21)2x m x m +++-＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝（2m ＋1）2－4（m 2－2）＝4m ＋9≥0， ∴m ≥49-，∴m 的最小整数值是－2；（2）根据题意得：x 1＋x 2＝－2（2m ＋1），x 1•x 2＝m 2－2，∴（x 1－x 2）2＋m 2＝21即（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＋ m 2＝21，∴[－(2m ＋1)2]－4(m 2－2)＋m 2＝21，整理得：m 2＋4m －12＝0，∴m 1＝2，m 2＝－6， ∵m ≥49-，故m 的值为2． 5．解：（1）△＝b 2－4ac ＝[－(3k ＋3)]2－4×1×(2k 2＋4k ＋2)＝9k 2＋18k ＋9－8k 2－16k －8＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2∵无论k 为何值时，(k ＋1)2≥0，∴无论k 为何值时，原方程都有实数根；（2）由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝3k ＋3，x 1x 2＝2k 2＋4k ＋2，∵x 1x 2＋2x 1＋2x 2＝36，∴2k 2＋4k ＋2＋2(3k ＋3)＝36， ∴2k 2＋10k －28＝0，∴k 1＝2，k 2＝－7（不合题意，舍去）．当k ＝2时，菱形的面积＝12x 1x 2＝12×(3k ＋3)＝92．。

2.5 一元二次方程的根与系数的关系九年级上册数学北师大版

x1 +x2 = –7， x1x2 = 6 .
（2）2x2 3x 2 0.
解：（2） ∵ a=2，b= –3，c= –2，
=b2 4ac 32 4 22 9 16 25 0 ,
∴ 方程有两个实数根.
设方程的两个实数根分别为 x1，x2，则
x1+x2 =
3 2
，
x1x2
=
–与两根之积
b
c
x1+x2 = a ， x1x2 = a .
例利用根与系数的关系，求解下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2 7x 6 0 ；（2）2x2 3x 2 0 .
解：（1）∵ a=1，b=7，c=6 ，
=b2 4ac 72 41 6 49 24 25 0 ,
∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根分别为 x1，x2，则
的第三条边长为4，求这个三角形的周长. 16
2.已知三角形的两边长是方程x2–12x+k=0的两个根，三角形的第三条边的长度能等于15吗？
不能
3.利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别为2和3.
x2–5x+6=0
在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c有哪些作用？
2a
, x2
2a
.
b+ b2 4ac b b2 4ac 2b b
于是，两根之和为 x1+x2
+ 2a
2a
; 2a a
两根之积为
x1 x2 b+
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
(b)2 ( b2 4ac )2 4a2
b2
b2 4a2