推荐-青岛市城阳区第二学期期中考试高一数学试题 精品
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2019 高二上·洛阳期中) 若，那么下列不等式中不正确的是（ ）A.B.C.D. 2. （2 分） (2016 高二上·大连期中) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 若 a2+a8+a11=30，那么 S13 值的是 （） A . 130 B . 65 C . 70 D . 以上都不对 3. （2 分） 在空间，下列命题正确的是 （ ） A . 平行直线的平行投影重合； B . 平行于同一直线的两个平面平行； C . 垂直于同一平面的两个平面平行； D . 垂直于同一平面的两条直线平行．4. （2 分） (2019 高一下·鹤岗月考) 若两个正实数满足A.B.第 1 页 共 12 页，则的最小值为（ ）C.D.5. （2 分） (2018 高三上·黑龙江期中) 直三棱柱线与所成角的大小为（ ）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°中，，，则直6. （2 分） 在△ABC 中，cos2 =（a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边），则△ABC 的形状为（ ）A . 正三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形D . 等腰直角三角形7. （2 分） 一个所有棱长均为 1 的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为 （）A. B. C.D. 8. （2 分） (2018 高一下·安庆期末) 在数列 中， A.第 2 页 共 12 页，则 等于（ ）B.C.D.9. （2 分） (2019 高三上·赤峰月考) 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若是 和 的等比中项，则 A.1（）B.C. D.10. （2 分） (2016 高一下·上栗期中) 数列{an}中，an+1=，a1=2，则 a4 为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 (共 2 题；共 6 分)11. （3 分） (2019 高二上·中山月考) 数列 的前 项和为 ，若数列 的各项按如下规律排列： ，以下运算和结论正确的是（ ）A. B . 数列是等比数列第 3 页 共 12 页C . 数列的前 项和为D . 若存在正整数 ，使，则12. （3 分） (2020 高一下·石家庄期中) 在中，D 在线段上，且若，则（ ）A.B.的面积为 8C.的周长为D.为钝角三角形三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020·海安模拟) 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 Sn＝nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且 a2＝11， 则 S20 的值为________．14. （1 分） (2018·长安模拟) 定义运算： 的最大值为________.，例如：，，则函数15. （1 分） (2020 高二上·吴起期末) 在中，，，，则________16. （1 分） (2016 高二上·黄浦期中) 已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+3（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn=，n∈N* ， 则 （b1+b2+…+bn）________．四、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2019 高二上·集宁期中) 在个根，且.求 的长.中，是方程的两18. （10 分） (2018·广东模拟) 已知数列 的前 项和为 ，且，第 4 页 共 12 页（1） 求数列 的通项公式；（2） 记，求数列 的前 项和 .19. （10 分） (2017 高二下·怀仁期末) 如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，且， 是 的中点.（1） 求证：平面平面；（2） 若二面角的余弦值为 ，求直线 与平面20. （10 分） (2018 高三上·丰台期末) 在 （Ⅰ）求角 的值；中，所成角的正弦值. ．（Ⅱ）若，，求 的值.21. （10 分） (2014·山东理) 已知等差数列{an}的公差为 2，前 n 项和为 Sn ， 且 S1 ， S2 ， S4 成等比 数列．（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 令 bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．22. （10 分） (2016 高二下·临泉开学考) 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=2，E 为 BB1 中点．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）求 DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱 AD 上是否存在一点 P，使得 BP∥平面 AD1E？若存在，求 DP 的长；若不存在，说明理由．第 5 页 共 12 页第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 多选题 (共 2 题；共 6 分)11-1、 12-1、三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 7 页 共 12 页15-1、 16-1、四、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、18-1、 18-2、 19-1、第 8 页 共 12 页19-2、20-1、第 9 页 共 12 页21-1、 21-2、第 10 页 共 12 页22-1、。
青岛二中高一数学期中试卷
青岛二中高一期中考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的选项中，第1至10题，只有一项是符合题目要求的；第11至13题，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）1. 已知集合{1,2,3}A =-，{|12}B x Z x =∈-<≤，则A B ⋂=（ ） A ．{0} B ．{2} C ．{0,1,3,4} D ．φ 2．已知实数01a <<，则下列正确的是（ )A. 21 a a a >> B.21a a a >> C. 21 a a a >> D.21 a a a>> 3．已知函数()y f x =的定义域为[]6,1-，则函数()()212f xg x x +=+的定义域是（ ） A ．()(],22,3-∞-⋃-B ．[]11,3-C ．27,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ． (],22,072⎡⎫--⋃-⎪⎢⎣⎭4．已知122()1(1)12x x f x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩，，，则17()()46f f +=( )A ．－16B ．116C ．56D ．－565．“13x -<”是“4x <”的( )A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6．已知函数21()4f x mx mx =++的定义域是一切实数，则m 的取值范围是（ ） A ．016m <<B ．04m <<C ．016m ≤<D ．m ≥167．函数231()x f x x -=的图像可能是（ ）8．函数()1f x x x =+ ） A ．54-B ．12- C ．1- D ． 09．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有两个正．整数．．，则实数a 的取值范围是（ ） A.[)2,4 B.[]3,4 C.(]3,4 D.()3,410．已知函数()21,02,0x x f x x x x -+≤⎧=⎨-+>⎩，方程()()20f x bf x -=，()0,1b ∈，则方程根的个ABCD数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．511（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的有（ ） A. 2==x x g x x f )(|,|)(B. 22==)()(,)(x x g x x fC. 1+=1-1-=2x x g x x x f )(,)( D. 1-=1-1+=2x x g x x x f )(,)(12．（多选题）若关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中正确的有( )A ．当0m =时，122,3x x ==B ．14m >- C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0） 13．（多选题）已知函数()y f x =是定义在[]0,2上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若()0f M =，()2(0,0)f N M N =>>，那么下列四个命题中是真命题的有（ ） A.必存在[]0,2x ∈，使得()2M Nf x += B.必存在[]0,2x ∈，使得()f x =C.必存在[]0,2x ∈，使得()f x = D.必存在[]0,2x ∈，使得()211+M Nf x =二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的横线上）14．设集合{2,{4}P x y Q x x ===<，则P Q ⋂= . 15．若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是 .16．已知偶函数()f x ，且当[)0,x ∈+∞时都有()()()12210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦成立，令()5a f =-，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2c f =-，则,,a b c 的大小关系是 （用“>”连接）17. 若函数()211x f x x -=+在区间[),m +∞上为增函数，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 18．（本小题满分12分）已知R m ∈，命题p ：对任意[0,1]x ∈，不等式22213x x m m --≥-恒成立，命题q ：存在[1,1]x ∈-，使得21m x ≤-. （Ⅰ）若命题p 为真命题，求m 的取值范围； （Ⅱ）若命题q 为假命题，求m 的取值范围. 19．（本小题满分14分）已知函数()f x =的定义域为集合A ，不等式2520mx x -+>的解集是M ，且满足2M ∈，1M ∉的m 的取值集合为B ，集合{}211C x n x n =-≤≤+.（Ⅰ）求A B ⋃；（Ⅱ）若A C C ⋂=，求实数n 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且12()25f =. （Ⅰ）求实数,m n 的值，并用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；（Ⅱ）设函数()g x 是定义在()1,1-上的偶函数，当[0,1)x ∈时，()()g x f x =，求函数()g x 的解析式.（Ⅲ）解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.21．（本小题满分14分）若二次函数()f x 满足()()146f x f x x +-=+，且()0 3.f = （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设()()2(2)(22)g x f x a x a x =+-++，()g x 在[2,)-+∞单调递增，求a 的取值范围.22．（本小题满分14分） 设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，有2(2)33f x x x -=-+.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()()51g x f x x =-+在[],1m m +上的最小值为－2，求实数m 的取值范围． （Ⅲ）若{|(2)(2)3}{}x f x a x b a -=-++-=，求a 和b 的值．23．（本小题满分14分） 已知二次函数2()(,R)g x ax bx c a c =++∈，(1)1g =且不等式2()1g x x x ≤-+对一切实数x 恒成立.（Ⅰ）求函数()g x 的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设函数()2()2,h x g x =-关于x 的不等式2(1)4()()4()x h x h m h m h x m -+≤-在3[,)2x ∈+∞有解，求实数m 的取值范围.附加题（本小题满分10分）响应国家提出的全民健身运动，青岛二中甲、乙两位学生在周末进行体育锻炼。
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）函数在其定义域上是（）A . 奇函数B . 偶函数C . 增函数D . 减函数2. （2分）使函数为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·浙江期中) 在△ABC中，AC ，BC＝2，B＝60°，则角A的值为（）A . 75°B . 45°C . 45°或135°D . 135°4. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知函数，下列结论错误的是（）A . 函数f（x）最小正周期为2πB . 函数f（x）在区间（0，π）上是减函数C . 函数f（x）的图象关于（kπ，0）（k∈Z）对称D . 函数f（x）是偶函数5. （2分） (2020高一下·浙江期中) 等比数列中，，，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·浙江期中) 对于实数a，b，c，有下列命题：①若，则；②若，且，则；③若，且，则，；④若，则 .其中真命题的是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ③④7. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知，是方程的两根，且，则的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高一下·浙江期中) 在公差不为零的等差数列中，，则的最小值为（）A .B .C .D . 19. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知向量，满足 |，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（）A . ﹣2B . 2C .D .10. （2分） (2020高一下·浙江期中) 数列{an}为递增的等差数列，数列{bn}满足bn＝anan+1an+2（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，若a2 ，则当Sn取得最小值时n的值为（）A . 14B . 13C . 12D . 11二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）已知命题p：|x2﹣x|≠6，q：x∈N，且“p且q”与“﹁q”都是假命题，则x的值为________．12. （1分）(2020·浙江) 已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为________．13. （1分） (2020高一下·浙江期中) 在△ABC中，三边长分别为a﹣2，a，a+2，最大角的余弦值为，则a＝________，S△ABC＝________.14. （1分）(2020高一下·浙江期中) 已知，则＝________，________.三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）若数列，满足，，若对任意的，都有，，设，则无穷数列的所有项的和为________．16. （1分）(2019·黄浦模拟) 若函数的反函数为，则 ________17. （1分） (2017高二下·徐州期末) 已知复数z= ，其中i是虚数单位，则z的模是________．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）(2017·番禺模拟) 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．19. （10分）设向量=（sinx，sinx），=（sinx，cosx），x∈[0，]．（Ⅰ）若||=||，求x的值；（Ⅱ）设函数f（x）=，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的最大值及此时相应的x值．20. （10分）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣），（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）若h（x）=f（x）﹣b，在x∈[0， ]上含有2个零点，求b的取值范围．21. （10分）(2019高一上·金华期末) 设函数，其中，，．Ⅰ 求的最小正周期和对称轴；Ⅱ 求函数，的值城．22. （10分） (2020高一下·浙江期中) 已知数列{an}满足a1＝3，a2 ，且2an+1＝3an﹣an-1. （1）求证：数列{an+1﹣an}是等比数列，并求数列{an}通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和为Tn ，若对任意的正整数n恒成立，求k的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
2020年山东省青岛市第二中学高一下学期 数学 期中考试(附带详细解析)
根据
，
由此得到角A为 ，故选C.
7．B
【解析】
【分析】
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
23．在锐角三角形ABC中， .
（1）求证： ；
（2）求 的最小值.
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：边长为 的正方形的一边所在直线为旋转轴，得到的几何体的圆柱，则所得几何体的侧面积为 ，故选A．
考点：旋转体的概念及侧面积的计算．
2．C
【解析】
【分析】
利用“1”的代换，利用基本不等式即可得出答案．
A．（0， ）B．（ ， ）C．（ ， ）D．（ ， ）
9．如图，一个人在地面上某处用测量仪测得一铁塔的仰角为 ，由此处向铁塔的方向前进30m，测得铁塔顶的仰角为 ，再向铁塔的方向前进 ，又测得铁塔顶的仰角为 ，如果测量仪的高为1.5m，则铁塔的高为（）m
A．16B．16.5C．17D．17.5
10．正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为 ，D为BC中点，则三棱锥 的体积为（）
15．已知 中， ， ， 的面积为 ，若线段 的延长线上存在点 ，使 ，则 __________．
16．“斐波那契数列”是数学史上的一个著名数列，在斐波那契数列 中， ，若 则数列 的前2018项和是______（用m表示）
评卷人
得分
三、解答题
17．在 中，内角A，B，C的对边a，b，c.已知
（1）求角C的值；
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 的取值范围是多少？
22．已知数列 的奇数列成等差数列，偶数列成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足 的任意正整数m，n，均有 成立.
高中数学练习题 2021-2022学年山东省青岛高一(下)期中数学试卷
2021-2022学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．−35+45iB ．−35−45iC ．35+45iD ．35−45i1．（5分）已知复数z 在复平面内对应的点为（1，2），z 是z 的共轭复数，则zz=（ ）A ．1B ．2C ．2D ．32．（5分）已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为8π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是（ ）√√A ．B ．C ．D ．3．（5分）函数f （x ）=2x •tanx （-1<x <1）的图象可能是（ ）A ．2：3B ．3：2C ．2：3D ．3：24．（5分）已知球O 1与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球O 2，则球O 1与球O 2的表面积之比为（ ）√√√√A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．（5分）在△ABC 中，已知tanA ，tanB 是关于x 的方程x 2+3mx +m +1=0的两个实根，则∠C =（ ）√A ．1：2：9B ．1：3：9C ．1：4：9D ．1：6：96．（5分）三棱台ABC -A 1B 1C 1中，AB ：A 1B 1=1：3，则三棱锥A 1-ABC 、三棱锥B -A 1B 1C 、三棱锥C -A 1B 1C 1的体积之比为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ,若sin （B +A ）-sin 2A =sin （A -B ），则△ABC 的形状是（ ）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．A ．V 21=21V 22+1V 23B ．V 21=V 22+V23C ．V 21=14(V 22+V 23)D ．1V 21=1V 22+1V 238．（5分）分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的三个几何体体积分别记为V 1、V 2、V 3，则它们之间一定满足（ ）A ．复数e i 对应的点位于第二象限B ．e π2i为纯虚数C ．e πi -1=0D ．复数e π3i 3+i的模为129．（5分）欧拉公式e xi =cosx +isinx 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）√A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．两个非零向量a 和b ，若|a −b |=|a +b |，则a 与b 垂直C ．已知a =(2，1)，则与a 垂直的单位向量的坐标(55，−255)或(−55，255)D ．已知向量a =(1，−2)，b =(t ,1)，若b 在a 上的投影向量为5e （e 为与向量a 同向的单位向量），则t =710．（5分）有下列说法，其中正确的说法为（ ）→→→→→→→→→→→→→→→→√√√√→→→→√→→→A ．在空间中，四边形ABCD 满足AB =BC =CD =DA ，则四边形ABCD 是菱形B ．若l ⊄α，A ∈l ,则A ∉αC ．若l 和m 是异面直线，n 和l 是平行直线，则n 和m 是异面直线D ．若m ⊂α，n ⊂α，A ∈m ,B ∈n ,A ∈l ,B ∈l ,则l ⊂α11．（5分）已知空间中的平面α，直线l ,n ,m 以及点A ，B ，C ，D ，则以下四个命题中，不正确的命题是（ ）12．（5分）已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0，ω>0，−π<φ<−π2)的部分图象如图所示，把函数f（x ）图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y =g （x ）的图象，则（ ）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分四、解答题；本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤A ．φ=−5π6B ．g (x +π3)为偶函数C ．g （x ）的图象关于直线x =2π3对称D ．g （x ）在区间(2π3，π)上单调递减13．（5分）已知向量a ，b 满足（a -b ）⊥b ，且|a |=2，|b |=1，则a 与b 的夹角为．→→→→→→→→→14．（5分）已知cos （π4-α）=35，sin （5π4+β）=-1213，α∈（π4，3π4），β∈（0，π4），则sin （α+β）的值为．15．（5分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，线段OD 上有点M 满足DO =3DM ，线段CO 上有点N 满足OC =λON (λ>0)，设AB =a ，AD =b ，已知MN =μa −16b ，则λ= ．→→→→→→→→→→→16．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,若3csinB +ccosB =a +b ，且a +b =4，则△ABC 周长的取值范围为，△ABC 面积的最大值为．√17．（10分）已知向量a =(1，2)，b =(−3，k )．（1）若a ∥b ，求|b |的值；（2）若a ⊥(a +2b )，求实数k 的值；（3）若a 与b 的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．→→→→→→→→→18．（12分）已知复数z 1=i -a ,z 2=1-i ,其中a 是实数． （1）若z 21=−2i ，求实数a 的值； （2）若z 1z 2是纯虚数，求z 1z 2+(z 1z 2)2+(z 1z 2)3+…+(z 1z 2)2022．19．（12分）已知函数f (x )=cosx (3sinx +cosx )，x ∈R ． （1）当x ∈[−π6，π4]时，求函数f （x ）的最大值；（2）若f (θ2)=23，θ∈R ，求f (θ+π3)的值．√20．（12分）已知△ABC 的面积为32，且AB •AC =−1．（1）求角A 的大小及边BC 长的最小值；（2）设M 为BC 的中点，且AM =32，求边BC 上的高．√→→√一般由。
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷
山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高二上·广州期末) 若为实数，则下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，，则D . 若，，则2. （2分）数列的通项公式为，当该数列的前n项和达到最小时，n等于（）A . 24B . 25C . 26D . 273. （2分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·元氏期中) 函数的最小值是（）A . 2B . 4C . 6D . 85. （2分） (2016高一下·赣州期中) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A= ，则的值为（）A .B .C . 1D .6. （2分）已知△ABC满足=.+.+.，则△ABC是（）A . 等边三角形B . 锐角三角形C . 直角三角形D . 钝角三角形7. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 棱长为的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A . 4πB . 6πC . 8πD . 10π8. （2分） (2020高一下·南宁期末) 在数列中，，（，），则（）A .B . 1C . -1D . 29. （2分） (2020高一下·佳木斯期中) 在中，已知 cm， cm，，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·中山月考) 在等比数列中，若，则的最小值为（）A . 1B .C . 8D . 16二、多选题 (共2题；共6分)11. （3分） (2020高二下·长沙期末) 已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述不正确的是（）A .B .C .D .12. （3分） (2020高一下·济南月考) 下列说法正确的有（）A . 在中，B . 在中，若，则C . 在中，若，则，若，则都成立D . 在中，三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·济宁期末) 在等差数列{an}中，已知a1=2，S9=54，若数列{ }的前n项和为，则n=________．14. （1分） (2019高一上·宁波期中) 已知函数，则的值域为________．15. （1分） (2019高二上·会宁期中) 在中,角所对的边分别为若则边 ________；16. （1分） (2016高一下·大同期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+1= Sn（n=1，2，3，…）．则数列{an}的通项公式为________．四、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一下·承德期末) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足asinB= bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．18. （10分） (2019高三上·富平月考) 已知数列为等差数列，，前项和为，数列为等比数列，，公比为2，且， .（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和 .19. （10分）(2017·晋中模拟) 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．20. （10分） (2019高一下·包头期中) 中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．（1）求；（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．21. （10分） (2019高一下·扶余期末) 已知数列的前项和为，， .（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，，其前项和为，求的取值范围.22. （10分） (2019高二上·永济月考) 已知双曲线 .（1）求该双曲线的焦点坐标、离心率；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、多选题 (共2题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2022-2023学年山东省青岛二中高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i （1﹣z ）＝﹣1，则z +z =（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．12．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β B ．n ∥m ，n ⊥α⇒m ⊥α C ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n3．给出下列命题中，正确的命题是（ ）A ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B ．侧棱都相等的棱锥是正棱锥C ．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥4．若向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=2√3，且a →⋅b →=3，则向量b →与b →−a →夹角的余弦值为（ ） A ．√32B ．2√59C ．7√216D ．3√30205．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(1+√3)D ．4(1+√2)6．已知α∈（0，π2），cos2α+2sin2α＝1，则sin α＝（ ） A ．15B ．√55C ．45D ．2√557．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P 为△ABC 的费马点．已知点E 为等边△MNQ 的费马点，且|MN →|=6，则EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+→→A ．﹣12B ．﹣36C ．−12√3D ．﹣188．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在三棱锥C 1﹣BCD 的侧面C 1CB 表面上运动，且A 1P =√153，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．√36π B ．√69π C ．√63π D ．√33π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，0＜φ＜π，b ∈R ）的部分图像如图，则（ ）A ．ωφb ＝5πB ．f(π3)=2C ．将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y ＝﹣4cos3x +2D ．点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心 11．给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A ．非零向量a →，b →，满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →B ．若单位向量 e 1→，e 2 的夹角为 60°，则当 |2e 1→−te 2→|(t ∈R) 取最小值时，t ＝1C ．在△ABC 中，若 {AB→|AB →|+AC→|AC →|}•BC →=0，则△ABC 为等腰三角形D ．已知与a →=（1，2），b →=（1，1）且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞) 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有一解C ．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =√3，AC =√2，M 为BC 上一点，且有 BM →=2MC →，AM →⋅AO →=67D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若z =−1+√3i ，则z zz−1的虚部是 ．14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．15．如图所示，要在两山顶M 、N 间建一索道，需测量两山顶M 、N 间的距离．现选择与山脚B 、C 在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAC ＝60°，N 点的仰角∠NAB ＝30°以及∠MAN ＝45°，若AC ＝100米，AB =50√6米，则MN 等于 米．16．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →=λBC →，AD →•AB →=−32，则实数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →•DN →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3．（1）求|a →−b →|；（2）当k 为何值时，(a →+2b →)⊥(ka →−b →)．18．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，tanB =43，且AB →⋅BC →=−21． （1）求△ABC 的面积； （2）若c ＝5，求角C ．19．（12分）如图甲，在四边形PBCD 中，PD ∥BC ，BC ＝P A ＝AD ，现将△ABP 沿AB 折起得图乙，点M 是PD 的中点，点N 是BC 的中点． （1）求证：MN ∥面P AB ；（2）在图乙中，过直线MN 作一平面，与平面P AB 平行，且分别交PC 、AD 于点E 、F ，注明E 、F 的位置，并证明．20．（12分）（1）已知函数 f(x)=sin 4x 2+2sin x 2cos x 2−cos 4x 2，若f(α)=15，求sin2α； （2）已知 α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010，求α﹣β的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD =√7，PA =√3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． （1）证明：BD ⊥面APC ； （2）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC的值．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD ＝90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC ＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD＝12m．设灯柱高AB＝h（m），∠ACB＝θ（30°≤θ≤45°）．（1）当θ＝30°时，求四边形ABCD的面积；（2）求灯柱的高h（用θ表示）；（3）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i（1﹣z）＝﹣1，则z+z=（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1解：i（1﹣z）＝﹣1，则1﹣z=−1i=i，即z＝1﹣i，z=1+i，故z+z=1−i+1+i=2．故选：C．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．n∥m，n⊥α⇒m⊥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n解：m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α与β相交或平行，故A错误；对于B，n∥m，由线面垂直的判定定理得到：n⊥α⇒m⊥α，故B正确；对于C，m⊥α，m⊥n⇒n∥α或n⊂α，故C错误；对于D，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n平行或异面，故D错误．故选：B．3．给出下列命题中，正确的命题是（）A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B．侧棱都相等的棱锥是正棱锥C ．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥解：因为正四棱柱是指：底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱，对于A ，因为底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，所以可得底面是正方形，侧棱与底面垂直，故正确；对于C ，因为底面是正方形，有两个侧面是矩形，不能保证侧棱与底面垂直，故错误； 又因为正棱锥是指底面是正多边形，顶点在底面内的射影是底面的中心的棱锥，对于B ，侧棱都相等则可得侧棱在底面内的射影相等，只能说明顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心，不能保证底面是正多边形，故错误；对于D ，侧面都是等腰三角形的棱锥不能保证底面是正多边形，顶点在底面内的射影是底面的中心，故错误． 故选：A ．4．若向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=2√3，且a →⋅b →=3，则向量b →与b →−a →夹角的余弦值为（ ） A ．√32B ．2√59C ．7√216D ．3√3020解：根据题意，设向量b →与b →−a →夹角为θ，则（b →−a →）2=b →2﹣2a →•b →+a →2＝12﹣6+4＝10，则|b →−a →|=√10， 而b →•（b →−a →）=b →2−a →•b →=12﹣3＝9，故cos θ=b →⋅(b →−a →)|b →||b →−a →|=92√3×√10=3√3020；故选：D ．5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(1+√3)D ．4(1+√2)解：由直观图可得原图如图所示，且OA ＝2，OB =2O ′B ′=4√2，所以AB ＝6，所以周长为16， 故选：B ．6．已知α∈（0，π2），cos2α+2sin2α＝1，则sin α＝（ ）A ．15B ．√55C ．45D ．2√55解：∵α∈（0，π2），∴cos α＞0，sin α＞0， ∵cos2α+2sin2α＝cos 2α﹣sin 2α+4sin αcos α＝1①， 又sin 2α+cos 2α＝1②， 由①②得sin α=2√55． 故选：D ．7．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P 为△ABC 的费马点．已知点E 为等边△MNQ 的费马点，且|MN →|=6，则EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+EN →⋅EQ →=（ ） A ．﹣12B ．﹣36C ．−12√3D ．﹣18解：设∠EMN ＝α，则∠ENM ＝60°﹣α，∵△MNQ 为等边三角形， ∴∠ENQ ＝α，∠EQN ＝60°﹣α，同理：∠EQM ＝α，∠EMQ ＝60°﹣α， 又MN ＝NQ ＝MQ ，∴△EMN ≅△ENQ ≅△EQM ，则EM ＝EN ＝EQ ， ∴点E 为△MNQ 的中心，∵MN ＝NQ ＝MQ ＝6，∴EM =EN =EQ =2√3， 又∠MEN ＝∠NEQ ＝∠QEM ＝120°，∴EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+EN →⋅EQ →=2√3×2√3×cos120°×3=−18． 故选：D ．8．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在三棱锥C 1﹣BCD 的侧面C 1CB 表面上运动，且A 1P =√153，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．√36π B ．√69π C ．√63π D ．√33π 解：因为A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，且A 1P =√153，所以，点P 的轨迹是以B 1为圆心，半径为r =√A 1P 2−A 1B 12=√53−1=√63的圆在△BCC 1内的交线， 取B 1C 1的中点E ，则B 1E ⊥BC 1，且B 1E =12BC 1=√22，设圆弧交BC 1于M 、N 两点，如下图所示：sin ∠B 1ME =B 1E B 1M =√22×3√6=√32，所以∠B 1ME =π3， 又因为B 1M ＝B 1N ，则△B 1MN 为等边三角形， 故点P 轨迹的长度是π3r =π3×√63=√69π． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E 解：A 不正确，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面ABB 1A 1； C 正确，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为A 1C 1所在的平面与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点， 故A 1C 1∥平面AB 1E 不正确． 故选：ABD ．10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，0＜φ＜π，b ∈R ）的部分图像如图，则（ ）A ．ωφb ＝5πB ．f(π3)=2C ．将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y ＝﹣4cos3x +2D ．点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心 解：由题图可知，{A +b =6−A +b =−2，解得{A =4b =2，因为函数y ＝f （x ）过点（0，4），所以4sin φ+2＝4，所以sinφ=12，由图像可知，点（0，4）在y ＝f （x ）图像的下降部分上，且0＜φ＜π，所以φ=5π6， 又因为函数y ＝f （x ）过点(2π9，−2)，所以2π9×ω+5π6=3π2，解得ω＝3， 对于选项A ，则ωφb =3×5π6×2=5π，故选项A 正确； 对于选项B ，由A ，得f(x)=4sin(3x +5π6)+2，所以f(π3)=4sin(3×π3+5π6)+2=4sin(π+5π6)+2=−4sin 5π6+2=0，故选项B 错误；对于选项C ，将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y =4sin[3(x −π9)+5π6]+2=4sin(3x +π对于选项D ，令3x +5π6=kπ，k ∈Z ，解得x =kπ3−5π18，k ∈Z ， 取k ＝﹣1，则x =−π3−5π18=−11π18， 所以点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心，故选项D 正确． 故选：AD ．11．给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A ．非零向量a →，b →，满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →B ．若单位向量 e 1→，e 2 的夹角为 60°，则当 |2e 1→−te 2→|(t ∈R) 取最小值时，t ＝1 C ．在△ABC 中，若 {AB→|AB →|+AC→|AC →|}•BC →=0，则△ABC 为等腰三角形D ．已知与a →=（1，2），b →=（1，1）且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞) 解：对选项A ，∵向量不能比较大小，∴A 选项错误； 对选项B ，∵|2e 1→−te 2→|=√4+t 2−2t =√(t −1)2+3， ∴当t ＝1时，|2e 1→−te 2→|取最小值，∴B 选项正确；对选项C ，∵AB→|AB →|+AC→|AC →|表示与∠A 的角平分线平行的向量，又(AB →|AB →|+AC→|AC →|)⋅BC →=0，∴∠A 的角平分线与边BC 所在直线垂直， ∴△ABC 为等腰三角形，∴C 选项正确；对选项D ，∵当λ＝0时，a →与a →+λb →的夹角为0，∴D 选项错误． 故选：BC ．12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有一解C ．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =√3，AC =√2，M 为BC 上一点，且有 BM →=2MC →，AM →⋅AO →=67D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C解：对于A ，若A ＞B 则a ＞b ，由正弦定理得2R sin A ＞2R sin B ，整理得sin A ＞sin B ，故A 正确； 对于B ，因为A ＝30°，b ＝4，a ＝3，由正弦定理得3sin30°=4sinB，即sinB =23，又因为b ＞a ，所以B 有两解，故B 错误；对于C ，因为O 是△ABC 的外心，所以AB →⋅AO →=|AB →||AO →|cos∠BAO =12|AB →|2=32，同理可得AC →⋅AO →=12|AC →|2=1， 又因为AM →=AB →+BM →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →，所以AM →⋅AD →=13AB →⋅AD →+23AC →⋅AD →=76，故C 错误；对于D ，由A +B +C ＝π，得A +B ＝π﹣C ，且三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B ＝tan （A +B ）（1﹣tan A tan B ）＝tan （π﹣C ）（1﹣tan A tan B ）＝﹣tan C （1﹣tan A tan B ）＝﹣tan C +tan A tan B tan C ，所以tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若z =−1+√3i ，则zzz−1的虚部是√33． 解：∵z =−1+√3i ，∴zz =(−1+√3i)(−1−√3i)=4， ∴z zz−1=−1+√3i3=−13+√33i ，其虚部为√33． 故答案为：√33． 14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 √32． 解：∵a 2sin C ＝2sin A ， ∴a 2c ＝2a ，∴ac ＝2， ∵（a +c ）2＝6+b 2，∴a 2+c 2+2ac ＝6+b 2，∴a 2+c 2﹣b 2＝2， ∴△ABC 的面积为 √14[22−(22)2]=√32．故答案为：√32． 15．如图所示，要在两山顶M 、N 间建一索道，需测量两山顶M 、N 间的距离．现选择与山脚B 、C 在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAC ＝60°，N 点的仰角∠NAB ＝30°以及∠MAN ＝45°，若AC ＝100米，AB =50√6米，则MN 等于 100√2 米．解：在Rt △ACM 中，∠MAC ＝60°，AC ＝100，所以AM =ACcos60°=10012=200，在Rt △ABN 中，∠NAB ＝30°，AB =50√6，所以AN =AB cos30°=√6√32=100√2，在△AMN 中，∠MAN ＝45°，AM ＝200，AN =100√2，由余弦定理得：MN 2=AM 2+AN 2−2AN ⋅AMcos45°=2002+1002×2−2×200×100√2×√22=1002×4+1002×2﹣1002×4＝1002×2，所以MN =100√2（米）． 故答案为：100√2．16．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →=λBC →，AD →•AB →=−32，则实数λ的值为16，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →•DN →的最小值为132．解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B ＝60°，AB ＝3，∴A （32，3√32），∵BC ＝6，∴C （6，0），∵AD →=λBC →，∴AD ∥BC ，设D （x 0，3√32），∴AD →=（x 0−32，0），AB →=（−32，−3√32）， ∴AD →•AB →=−32（x 0−32）+0=−32，解得x 0=52，∴D （52，3√32）， ∴AD →=（1，0），BC →=（6，0），∴AD →=16BC →，∴λ=16，∵|MN →|＝1，设M （x ，0），则N （x +1，0），其中0≤x ≤5，∴DM →=（x −52，−3√32），DN →=（x −32，−3√32），∴DM →•DN →=（x −52）（x −32）+274=x 2﹣4x +212=（x ﹣2）2+132，当x ＝2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3．（1）求|a →−b →|；（2）当k 为何值时，(a →+2b →)⊥(ka →−b →)． 解：（1）∵|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3，∴a →⋅b →=|a →||b →|cos 2π3=4×8×(−12)=−16，∴|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√16+32+64=4√7； （2）∵(a →+2b →)⊥(ka →−b →)，∴(a →+2b →)⋅(ka →−b →)=ka →2−2b →2+(2k −1)a →⋅b →=16k ﹣128﹣16（2k ﹣1）＝0，解得k ＝﹣7．18．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，tanB =43，且AB →⋅BC →=−21．（1）求△ABC 的面积； （2）若c ＝5，求角C ．解：（1）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长， 因为tanB =43，所以sinB =45，cosB =35， 又AB →⋅BC →=−21，则ac cos B ＝21，则ac ＝35， 则S △ABC =12acsinB =12×35×45=14； （2）因为c ＝5，所以a ＝7，所以b=√a2+c2−2accosB=4√2，所以cosC=a2+b2−c22ab=49+32−252×7×42=√22，又C∈（0，π），则C=π4．19．（12分）如图甲，在四边形PBCD中，PD∥BC，BC＝P A＝AD，现将△ABP沿AB折起得图乙，点M 是PD的中点，点N是BC的中点．（1）求证：MN∥面P AB；（2）在图乙中，过直线MN作一平面，与平面P AB平行，且分别交PC、AD于点E、F，注明E、F的位置，并证明．解：（1）证明：在四边形PBCD中，PD∥BC，BC＝P A＝AD，将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点，点N是BC的中点，取AD中点F，连接FM，FN，MN，如图，则FN∥AB，FM∥P A，FM∩FN＝F，AB∩P A＝A，∴平面P AB∥平面MNF，∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面P AB．（2）取PC中点E，AD中点F，连接ME，MF，NF，则MF∥P A，ME∥NF∥AB，MF∩ME＝M，AB∩P A＝A，∴平面MENF∥平面P AB，∴平面MENF就是过直线MN的平面，且平面MENF∥平面P AB．20．（12分）（1）已知函数f(x)=sin4x2+2sinx2cosx2−cos4x2，若f(α)=15，求sin2α；（2）已知α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010，求α﹣β的值．解：（1）f （x ）＝（sin 2x 2+cos 2x 2）（sin 2x 2−cos 2x2）+sin x ＝sin x ﹣cos x ，由已知有f （α）＝sin α﹣cos α=15， 两边平方，得1﹣sin2α=125，∴sin2α=2425； （2）∵α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010＞0， ∴β∈（0，π2），∴cos α=√1−sin 2α=2√55，sin β=√1−cos 2β=3√1010，∴sin β＞sin α，∴β＞α，∴sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β=√55×√1010−2√55×3√1010=−√22， ∵β＞α，且α，β∈（0，π2），∴α﹣β=−π4．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD =√7，PA =√3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． （1）证明：BD ⊥面APC ； （2）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC的值．解：（1）证明：底面ABCD 中，AB ＝BC ，AD ＝CD ， 则BD 是AC 的垂直平分线，故BD ⊥AC ，又由P A ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，可得P A ⊥BD ， 又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥面P AC ； （2）设AC 与BD 交于点O ，连接OG ， 若PC ⊥面BGD ，则PC ⊥OG ， 由于P A ⊥面ABCD ，则P A ⊥AC ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， 由余弦定理可得AC ＝2√3，在Rt △P AC 中，PC =√3+12=√15， 又由△OGC ∽△P AC ，可得OC CG=PC AC，则GC =AC⋅OC PC =2√155，则PG =3√155， 故PG GC=3√1552√155=32．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD ＝90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC ＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD ＝12m ．设灯柱高AB ＝h （m ），∠ACB ＝θ（30°≤θ≤45°）． （1）当θ＝30°时，求四边形ABCD 的面积； （2）求灯柱的高h （用θ表示）；（3）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．解：（1）当θ＝30°时，∠BAC ＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴AB ＝BC ，又∠CAD ＝90°﹣∠BAC ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴AC ＝AD ＝12， ∴在△ABC 中，AB sin∠ACB=BC sin∠BAC=AC sin∠ABC，即AB =BC =4√3，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12×4√3×4√3×sin120°+12×12×12×sin60°=48√3；（2）∠BAC ＝180°﹣120°﹣θ＝60°﹣θ，∠CAD ＝90°﹣∠BAC ＝θ+30°，∠ADC ＝180°﹣60°﹣（θ+30°）＝90°﹣θ， 在△ACD 中，由正弦定理得AD sin∠ACD=AC sin∠ADC，∴12sin60°=ACsin(90°−θ)，∴AC =8√3cosθ， 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC=AB sin∠ACB，∴AC sin120°=ℎsinθ，∴AC =√3ℎ2sinθ=8√3cosθ，∴h ＝8sin2θ（30°≤θ≤45°）；（3）在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC=BC sin∠BAC，∴8√3cosθsin120°=BC sin(60°−θ)，∴BC =16cosθsin(60°−θ)=16cosθ[sin60°cosθ−cos60°sinθ]=8√3cos 2θ−8sinθcosθ =8√3⋅1+cos2θ2−4sin2θ=4√3+4√3cos2θ−4sin2θ， ∴S =AB +BC =8sin2θ+(4√3+4√3cos2θ−4sin2θ)=4√3+4√3cos2θ+4sin2θ =4√3+8(12sin2θ+√32cos2θ)=8sin(2θ+60°)+4√3， ∵30°≤θ≤45°，∴120°≤2θ+60°≤150°，∴当2θ+60°＝150°，即θ＝45°时，S 取最小值4+4√3，故S 关于θ的函数表达式为S =8sin(2θ+60°)+4√3(30°≤θ≤45°)， S 最小值为4+4√3m 2．。
山东省青岛市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题(含解析)
山东省青岛市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题 1.下列命题正确的是 A. 若 a ＞b,则a 2＞b 2B. 若a ＞b ，则 ac ＞bcC. 若a ＞b ，则a 3＞b 3D. 若a>b ，则1a ＜1b【答案】C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立. 故选C2.设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC. 若a ∥α，α∥β，则a ∥βD. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确； B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确； C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确； D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3..以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（ ）A.3πB.23πC. πD.43π【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．由题得等腰直角三角形的斜边上的高为1.所以2112233V S h R hπ=⨯⋅=⨯⋅2122(1)133ππ=⨯⨯⨯=．故选：B．【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．4.ABC∆的三个内角,,A B C的对边分别是,,a b c.已知23b=6Bπ=，6c=，则A=（）A.6πB.2πC.6π或2πD.3π或2π【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理求出角C,再求角A得解.2363,sinsin2CC∴=因为c＞b,所以3Cπ=或23π.所以2Aπ=或6π.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 5.一个等差数列共有13项，奇数项之和为91，则这个数列的中间项为（ ） A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】D 【解析】 【分析】设数列为{}n a ，由题得77=91a 即得解. 【详解】设数列为{}n a ，由题得131113++++=91a a a a ，所以777=91=13a a ∴，. 所以这个数列的中间项为13. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a =7b =，4A π=，则ABC ∆的形状可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 钝角或锐角三角形D. 锐角、钝角或直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得sin B =>, 求出角B 的范围，再求出角C 的范围得解.【详解】由正弦定理得7sin sin 262B B =∴=>, 因为b a >，4A π=，所以233B ππ<<,且2B π≠,所以7115,12121212A B C ππππ<+<∴<<. 所以三角形是锐角三角形或钝角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且2135n n S n T n +=+，则55a b =（ ） A. 38B.23 C.1116D.1932【答案】D 【解析】 【分析】利用95595599S a a T b b ==即可得解. 【详解】由题得955955929119939532S a a T b b ⨯+====⨯+. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.设0a >，0b >，若3是3a 与9b 的等比中项，则12a b+的最小值为（ ） A.92B. 3C.32+ D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由题得22a b +=，再利用基本不等式求最值得解. 【详解】因为3是3a 与9b 的等比中项， 所以223393,22aba ba b +=⋅=∴+=.所以12112112122=()2()(2)(5)222a b a b a b a b a b b a+⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥⋅+=当且仅当23a b ==时取等 故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()24f x x mx =++，若()0f x >对任意实数()0,4x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. [)4,-+∞ B. ()4,-+∞ C. (],4-∞-D. (),4-∞-【答案】B 【解析】 【分析】由题得4()m x x>-+ 对任意实数()0,4x ∈恒成立，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题得已知函数240x mx ++>对任意实数()0,4x ∈恒成立， 所以4()m x x>-+ 对任意实数()0,4x ∈恒成立，因为4()4x x -+≤-=-（当且仅当x=2时取等） 所以4m >-. 故选：B【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.若等差数列{}n a 单调递减，24,a a 为函数()2812f x x x =-+两个零点，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时，正整数n 的值为（ ） A. 3 B. 4C. 4或5D. 5或6【答案】C 【解析】 【分析】先求出210n aa n =-+，再得到1456,0,0,,,0n a a a a a >=<，，即得解.【详解】因为等差数列{}n a 单调递减，24,a a 为函数()2812f x x x =-+的两个零点，所以24=6=22,6(2)(2)210n a a d a n n ∴=-∴=+-⨯-=-+，，. 令2+1005n n -≥∴≤，. 所以1456,0,0,,,0n a a a a a >=<，，所以数列前4项或前5项的和最大. 故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”.某个“堑堵”的高为2，且该“堑堵”的外接球表面积为12π，则该“堑堵”的表面积的最大值为（ ）A. 4+B. 12+C. 16+D.20+【答案】B 【解析】 【分析】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,求出21()2(+)42S a b a b =+++，再利用基本不等式求出a+b 的范围，利用二次函数的图象得解. 【详解】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,由题得222221412,1(),=82R R c c a b π=∴==+∴=∴+.由题得该“堑堵”的表面积为2+222+2S ab a b ab a b =++⋅=++因为222221()8,()28,()4,424a b a b a b ab ab a b a b ++=∴+-=∴=+-≤∴+≤.所以21()2(+)42S a b a b =+++令4),a b t t +=<≤21242S t t =++，所以当t=4时，S 最大为12+故选：B【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n ana b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A. n n T M ≥ B. n n T M >C. n n T M <D. n n T M ≤【答案】C 【解析】 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯∈即得解. 【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n anb n =-， 所以24622462log log log log log ()1352113521n a a a aa n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴<，∴<假设当n k =时，原式成立，即1121232k k -⨯⨯⋯⨯<那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)1k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯=<++即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、填空题13.已知等比数列{}n a 的前n 项和14233n n S t -=⋅-，则t =______. 【答案】2 【解析】 【分析】 求出1423a t =-，2=43n n a t -⋅，解方程1214=2433a t t --=⋅即得解. 【详解】当n=1时，114=23a S t =-， 当n ≥2时，12221=232323(31)43n n n n n n n a S S t t t t ------=⋅-⋅=⋅-=⋅，适合n=1.所以1214=243,23a t t t --=⋅∴=. 故答案为：2【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.已知函数1a >，12b >，若实数()()1211a b --=，则2+a b 的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】求出1112b a+=，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1122,12ab a b b a=+∴+=，所以1122=(a+2b)()22422a b b a b a ++=++≥+=a b . 当且仅当2,1a b ==时取等. 故答案为：4【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.在ABC ∆中，6A π=，A 的角平分线AD 交BC 于点D，若AB =AC =AD =______.【解析】 【分析】先利用余弦定理求出BC AB =，得到4ADB π∠=，再利用正弦定理得解【详解】在△ABC中，由余弦定理得22622,BC BC AB =+-=∴=. 所以263C B ππ==，.所以4ADB π∠=. 在△ABD2AD =∴=.【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱CD 的中点，动点N 在体对角线1A C 上（点N 与点1A ，C 不重合），则平面AMN 可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）【答案】11,,A B C 【解析】 【分析】取1CC 中点E ，取11A B 中点F, 1,A C 在平面1AMEB 两侧，1,A C 在平面1AMC F 两侧，分析即得解. 【详解】见上面左图，取1CC 中点E ，因为ME 1//AB ,所以A,M,E,1B 四点共面，1,A C 在平面1AMEB 两侧，所以1A C 和平面1AMEB 交于点N,此时平面AMN 过点A, 1B ;见上面右图，取11A B 中点F,因为1//AF C M ,所以1,,,A F C M 四点共面，1,A C 在平面1AMC F 两侧，所以1A C 和平面1AMC F 交于点N,此时平面AMN 过点A, 1C ;综上，平面AMN 可能经过该正方体的顶点是11,,A B C . 故答案为：11,,A B C【点睛】本题主要考查棱柱的几何特征和共面定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17.证明：对任意实数()3,x ∈-+∞<.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用分析法证明即可.【详解】要证明对任意实数()3,x ∈-+∞，恒成立，<只需证明2929x x ++++， 只需证明22+918920x x x x +<++， 只需证明1820<， 而1820<显然成立，所以对任意实数()3,x ∈-+∞<.所以原题得证.【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 18.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且()sin 2sin 0c B b A B ++=. （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若7b =，ABC ∆的面积为4，求a c +. 【答案】（Ⅰ）2;3B π=（Ⅱ）8. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简()sin 2sin 0c B b A B ++=即得角B 的大小；（Ⅱ）先求出ac=15,再利用余弦定理求出a+c 的大小即得解.【详解】（Ⅰ）由题得sin 2sin 0,2sin sin cos sin sin 0c B b C C B B B C +=∴+=,因为sin sin 0B C ≠,所以12cos ,0,23B B B ππ=-<<∴=.（Ⅱ）由题得1152a c ac ⨯⨯=∴=. 由222222149=2()()()152a c ac a c ac a c ac a c +-⨯-=++=+-=+-， 所以8a c +=.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()1110n n nS n S n n +-+++=，且110a =.求数列{}na 的前n 项和.【答案】数列{}n a 的前n 项和2211,6=1160,6n n n n T n n n ⎧-+≤⎨-+>⎩【解析】 【分析】先通过已知求出=212n a n -+，再分类讨论求出数列{}n a 的前n 项和.【详解】由题得()()1110n n nS n S n n +-+++=，所以 ()110n n n nS nS S n n +--++=， 所以()()1110,1n n n n na S n n S na n n ++-++=∴=++.当n ≥2时，111=(1)+2,2n n n n n n n a S S na n a n a a -++-=--∴-=-当n=1时，21212202S S a a -+=∴-=-，. 所以数列{}n a 是一个以10为首项，以-2为公差的等差数列， 所以=10+(n 1)(2)212n a n -⨯-=-+. 所以n ≤6时，0n a ≥，n ＞6时，0n a <. 设数列{}n a 的前n 项和为n T , 当n ≤6时，21(10122)112n n nT a a n n n =++=+-=-+；当n ＞6时，221676666(2122)11602n n n T a a a a n n n -=++---=-+--+-=-+.所以数列{}n a 的前n 项和2211,6=1160,6n n n n T n n n ⎧-+≤⎨-+>⎩.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.20.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1AA 的中点.问：在棱11A D 上是否存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ？若存在，请说明点N 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】在棱11A D 上存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ，N 就是11A D 的中点. 【解析】 【分析】如图，取11A D 的中点N,1DD 的中点E,连接DE,1EC .证明平面1NEC //平面1B MC 即得解.【详解】如图，取11A D 的中点N,1DD 的中点E,连接DE,1EC .由题得1//NE B C ,因为NE ⊄平面1B MC ，1B C ⊂平面1B MC ， 所以NE //平面1B MC .由题得111//,C E MB C E ⊄平面1B MC ,1MB ⊂平面1B MC ,所以1//C E 平面1B MC . 因为11,,NEC E E NE C E =⊂平面1NEC ,所以平面1NEC //平面1B MC ， 因为1C N ⊂平面1NEC , 所以1C N //平面1B MC .所以在棱11A D 上存在点N ，使得1C N ∥面1B MC ，N 就是11A D 的中点.【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，当2n ≥时，1122n n n S S S +-++=，且10S =，24a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等比数列{}n b 满足22331b a b a ==，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）=44n a n -;（Ⅱ）214(1)()2n n T n -=-+.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据1122n n n S S S +-++=得到数列{}n a 是一个以0为首项，以4为公差的等差数列，即得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）由题得2n ≥时，111124,4n n n n n n n S S S S S S S +-+-+=+∴--+=，+14n n a a ∴-=，因为10S =，24a =.所以数列{}n a 是一个以0为首项，以4为公差的等差数列. 所以=44n a n -.（Ⅱ）因为22331b a b a ==，所以1111,,()222n n b q b ==∴=. 所以211=(4n 4)()(1)()22nn n n a b n -⋅-=-.所以01221111=0+1()2()3()(1)()2222n n T n -⨯+⨯+⨯++-⨯，123111111=0+1()2()3()(1)()22222n n T n -⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得122111111=1+1()1()+()(1)()22222n n n T n --⨯+⨯+--⨯， 所以2111[1()]1122=1+(1)()12212n n n T n -----⨯-， 所以214(1)()2n n T n -=-+.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.22.已知数列{}n a 的前n 项和n S 1=，且11a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，且数列{}n b 的前n 项和n T 满足262n T t t <-对任意正整数n 恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）设134nn n c a +⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，问：是否存在正整数m ，使得m n c c ≥对一切正整数n 恒成立？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）21n an =-；（Ⅱ）3t ≥或1t ≤-；（Ⅲ）m=3时，使得m n cc ≥对一切正整数n 恒成立. 【解析】【详解】1=，所以数列是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，21),n n S n -=∴=.当n ≥2时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，适合n=1.所以21n a n =-. （Ⅱ）1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，所以1111111111()(1)2133521212212n T n n n =-+-++-=-<-++， 所以216232t t t ⨯≤-∴≥，或1t ≤-. （Ⅲ）3(21)4nn c n ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以1+133352(23)(21)4444n n nn n n c c n n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+-⋅+=⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以n ≤2时，+13210n n c c c c c ->∴>>，. n ＞2时，+13450n n c c c c c -<∴>>>，所以m=3时，使得m n c c ≥对一切正整数n 恒成立【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，考查数列的单调性和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.在数列{}n a 中，12a =，26a =.当2n ≥时，1122n n n a a a +-+=+.若[]x 表示不超过x 的最大整数，求12320192019201920192019...a a a a ⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值. 【答案】2021 【解析】 【分析】构造1n n n b a a +=-，推出数列{}n b 是4为首项2为公差的等差数列，求出12n n a a n --=，利用累加法求解数列的通项公式．化简数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和，然后求解即可．【详解】构造1n n n b a a +=-，则1214b a a =-=， 由题意可得111()()2n n n n n n a a a a b b +-----=-=，(n ≥2). 故数列{}n b 是以4为首项2为公差的等差数列， 故142(1)22n n n b a a n n +=-=+-=+，故214a a -=，326a a -=，438a a -=，⋯，12n n a a n --=以上1n -个式子相加可得1(1)(42)4622n n n a a n -+-=++⋯+=，(1)n a n n =+．所以1111n a n n =-+， ∴12111111111(1)()()122311n a a a n n n ++⋯+=-+-+⋯+-=-++ ∴122019201920192019201920192020a a a ++⋯+=- 则1220192019201920191[][2018]20182020a a a ++⋯+=+=． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
山东青岛市高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．已知复数，则的虚部是（ ） ()21i =+z z A ．2 B ． C ． D ．2-2i -2i 【答案】A【分析】根据复数运算求得，根据虚部定义求得结果. z 【详解】 ，∴z 的虚部为：2 ()21i 2i z =+=故选：A2．已知向量，，若与垂直，则实数t 的值为（ ）()1,2a =r ()2,b t = a a b -A ．0B ．C ．D ．1-32-32【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求值. 【详解】，且， ()1,2a b t -=--()1,2a =r 由题意可知，，得.()()11220a a b t ⋅-=-⨯+-⨯= 32t =故选：D3．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-（ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台【答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-A '四边形为底面的四棱锥． BCC B ''A BCC B '''-故选：B ．4．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，，，则（ ） ABC A 2a =b =60B =︒c =A ．1 B C ．3D ．1或3【答案】C【分析】根据余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理，，即，，解得. 2222cos b a c ac B =+-2742c c =+-()()310c c -+=3c =故选：C5．已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若0a >0b >1z 12i =-2z i a =-3z b =-1Z 2Z 3Z ，，三点共线，则的最小值为（ ） 1Z 2Z 3Z 12a b+A ．9 B ．8C ．6D ．4【答案】B【分析】根据复数对应的点共线可得，利用均值不等式求解即可. 21a b +=【详解】由题意，，，， 1(1,2)Z -2(,1)Z a -3(,0)Z b -由三点共线可得，，化简可得，111(2)0(2)a b ---=-----21a b +=又，，0a >0b >， 12124(2)448b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立. 4b aa b =11,42a b ==故选：B6．在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是CD 的中点，若，则（ ）AC AM BN λμ=+λμ+=A ．B ．1C ．D ．256585【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，利用2,2AB a AD b ==,,AM BN AC可得答案.AC AM BN λμ=+【详解】以为原点，分别以为轴的正半轴建立如图所示的平面直角坐标系， A ,AB AD ,x y 设，2,2AB a AD b ==则， (0,0),(2,0),(2,),(2,2),(,2)A B a M a b C a b N a b 则，(2,),(,2),(2,2)AM a b BN a b AC a b ==-=因为，AC AM BN λμ=+ 可得，(2,)(,2)(2,2)λλμμ+-=a b a b a b 即，解之得，所以.2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩62,55λμ==85λμ+=故选：D.7．在中，CD 为角C 的平分线，若，，则等于（ ） ABC A 2B A =34AD BD =cos A A ．0 B ．C ．D ．122334【答案】C【分析】由为角的平分线，，可得，设，，然后在CD C 34AD BD =43AC BC =4AC x =3BC x =中利用正弦定理可得，化简计算可得答案ABC A 432sin cos sin x xA A A=【详解】因为为角的平分线，所以 CD C AD ACBD BC=因为，所以34AD BD =43AC BC =所以不妨设， 4AC x =3BC x =因为在中，， ABC A sin sin AC BCB A=2B A =所以43sin 2sin 2sin cos sin AC BC x xA A A A A=⇒=因为在中，， ABC A sin 0A ≠0x ≠所以43432sin cos sin 2cos x x A A A A=⇒=所以. 2cos 3A =故选：C8．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，则的取值范围为ABC A 22BC AC AB =⋅ bc（ ）A ．B ．()2+∞()2+∞C ．D ．(0,2(22【答案】D【分析】设，中点为，化简，再根据余弦定理结合余弦2BC =BC D 22BC AC AB =⋅函数的范围可得，进而可得的取值范围.(227b c∈-+b c 【详解】不妨设，中点为，则即，故2BC =BC D 22BC AC AB =⋅()()42AD DC AD DB =+⋅+，即.()22AD AD DC DB DC DB +⋅++⋅= 212AD -=故 2222222cos 2cos b AD DC AD DC ADCc AD DB AD DB ADB+-⋅∠=+-⋅∠，因为，故1==()0,πADC ∠∈，故(222ADC +∠∈+(8-+，故的取值范围为. (227b c∈-+b c (22+故选：D二、多选题9．若复数满足，则（ ） z ()12i 10z ⋅-=A ． 24i z =-B ．是纯虚数 2z +C ．z z ==D ．若是关于x 的实系数方程的一个复数根，则 z 240x x b -+=20b =【答案】ACD【分析】对A ，根据复数的除法运算求解，再求共轭复数即可；对B ，求得判断即可；z 24z i =+对C ，根据模长公式求解即可；对D ，根据复数域中二次方程两根共轭与韦达定理求解即可. 【详解】对A ，，则，故，A 正确； ()12i 10z ⋅-=()()()1012i 1024i 12i 12i 12i z +===+--+24i z =-对B ，不为纯虚数，故B 错误；244i z +=+对C ，，C 正确； 24i z =+==24i z =-==对D ，由题意，的复数根分别为与，故240x x b -+=24z i =+24i z =-，故D 正确；()()24i 24i 20b z z =⋅=+-=故选：ACD10．下列说法正确的是（ ）A ．向量，能作为平面内所有向量的一组基底()12,3e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．已知中，点P 为边AB 的中点，则必有OAB A ()12OP OA OB =+ C ．若，则P 是的垂心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ABC A D ．若G 是的重心，则点G 满足条件ABC A 0GA GB CG ++=【答案】BC【分析】对A ，根据基底向量不共线判断即可；对B ，根据基底向量的运用判断即可；对C ，化简可得，进而根据垂心的性质判断即可；对D ，由重心可得PA PB PB PC ⋅=⋅0CA PB ⋅= ，即可判断GA GB CG +=【详解】对A ，，故共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A 错误；124e e = 21,e e对B ，根据平面向量基本定理可得中，点P 为边AB 的中点，则必有，故OAB A ()12OP OA OB =+ B 正确；对C ，由可得，即，故，同理，PA PB PB PC ⋅=⋅()0PA PC PB -⋅= 0CA PB ⋅= CA PB ⊥CB PA ⊥，故P 是的垂心，故C 正确；AB PC ⊥ABC A 对D ，若G 是的重心，则点G 满足条件，则，故D 错ABC A GA GB CG += 2GA GB CG CG ++=误； 故选：BC11．已知，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） ABC A A ．若，则为等腰三角形 sin 2sin 2A B =ABC A B ．若，则为等腰或直角三角形 cos cos a bA B=ABC A C ．若为锐角三角形，若，则 ABC A A B >sin cos A B >D ．若，，，则有两解 30A =︒4b =3a =ABC A 【答案】CD【分析】根据正弦函数的性质可得或判断A ，由正弦定理及正切函数性质判断22A B =22πA B +=B ，根据正弦函数单调性判断C ，由已知两边及一边对角确定三角形个数判断方法判断D. 【详解】， ，或，即或,sin 2sin 2ABC A B = A 2,2(0,2π)A B ∈22A B ∴=22πA B +=A B =，故A 错误； π2A B +=，，即，由知，故为等腰三角cos cos a b A B=sin sin cos cos A BA B ∴=tan tan A B =,(0,π)A B ∈A B =ABC A 形，故B 错误；为锐角三角形，，由正弦函数的单调性知，故C 正确； ABC A π02A B ∴>>>sin cos A B >，，，，故有两解，故D 正确. 30A =︒ 4b =3a =sin 302b a b ∴>>︒=ABC A 故选：CD12．已知函数在上单调，且的图象关于点对()()2πcos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭称，则（ ） A ．的周期为()f x 2πB ．若，则 ()()122f x f x -=12min 2πx x -=C ．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数 ()fx π3D ．函数在上有1个零点 ()y f x =+[]0,π【答案】BCD【分析】对于A ，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点对称，结合正弦函数的对称π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭中心求解即可；对于B ，由A ，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对()12πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于C ，根据三角函数平移性质判断即可；对于D ，根据余弦函数值直接求解即可.【详解】对于A ，因为函数在上单调，所以的最小正周期2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x T 满足，即，所以，3π22T ≥π3π2ω≥203ω<≤因为的图象关于点对称，所以，得， ()f x π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭π2πππ,Z 332k k ω-+=+∈13,Z 2k k ω=-∈所以当时，，所以，故A 错误；0k =12ω=2π4π12T ==对于B ，，，()12πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()122f x f x -=则分别为，则为半周期，即，故B 正确；()()12,f x f x 1,1-12min x x -2π对于C ，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，()f x π3()1π2π1cos sin 2332g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数，故C 正确；()g x对于D ，，即 12πcos 023x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12πcos 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭令，当时，，故仅有，故D 正确．12π23t x =+[0,π]x ∈2π7π,36t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π4t =故选：BCD.三、填空题13．如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原O A B '''2O B ''=图形的周长为__________.【答案】8+8【分析】根据斜二测画法可得原图形三边长，进而可得周长.【详解】由题意，，则，故原图形中，2O B ''=O A ''=OA =2OB =，周长为6AB ==8+故答案为：8+14．已知向量，满足，，，的夹角为__________. a b 4a = 1b = 2a b += a b【答案】/ 23π23π【分析】设与的夹角为，，得到，解得答案.a b θ()22224412a ba ab b +=+⋅+=1cos 2θ=-【详解】设与的夹角为，a bθ2a b += 则，解得，()22224416441cos 412a ba ab b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=1cos 2θ=-，故. []0,πθ∈2π3θ=故答案为：2π315．化简： ________. (4010sin tan ︒︒＝【答案】－1【详解】原式)( sin10sin 40 (cos10＝︒︒︒()sin402sin40sin1 0 0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝1sin1 0 0)2︒︒.故答案为2sin40sin80cos 401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝1－【点睛】本题的关键点有： 先切化弦，再通分； 利用辅助角公式化简； 同角互化.16．某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径A 、B 两点间的距离，现在人工湖岸边取C 、D 两点，测得m ，，，，则A 、B 两40CD =135ADB ∠=︒15BDC DCA ∠=∠=︒120ACB ∠=︒点的距离为__________m.【答案】【分析】在中根据角度关系易得，再在中，由正弦定理得到BD ，然后ACD A 40AD CD ==BCD △在中，利用余弦定理求解.ABD △【详解】在中，因为，故，， ACD A 15,135BDC DCA ADB ∠=∠=︒∠=︒150ADC ∠=︒15CAD ∠=︒所以，则．ACD CAD ∠=∠40AD CD ==在中，因为， BCD △15,135,30,40BDC BCD CBD CD ∠=︒∠=︒∠=︒=所以由正弦定理，sin 30sin135CD BD=︒︒得sin135sin 30CD BD ︒==︒在中，因为，ABD △135,40,ADB ADC BDC AD BD ∠=∠-∠=︒==所以由余弦定理得， 22222cos 405AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=⨯故．AB =故答案为：四、解答题17．已知，都是锐角，.αβsin α=()3cos 5αβ+=(1)求和的值； cos 2απtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值. sinβ【答案】(1), 457【分析】（1）由同角三角函数的基本关系及二倍角的正余弦公式求解； （2）根据角的变换，利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）是锐角，， αQsin α=cos α∴===，214cos 212sin 12105αα∴=-=-⨯=，3sin 22sin cos 5ααα==， sin 23tan 2cos 24ααα∴==. π3tan 2tan1π44tan 27π341tan 2tan 144ααα++⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-⋅-（2），都是锐角，αQ β，0παβ∴<+<又， ()3cos 5αβ+=， 4sin()5αβ∴+===()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦4355=. =18．已知半圆圆心为O ，直径，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动4AB =点，以O 点为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.(1)求在上投影向量的坐标；OA OC(2)若，当y 取得最小值时，求点P 的坐标及y 的最小值.PA PO y =⋅【答案】(1)12⎛- ⎝(2)最小值为，此时点的坐标为 14-P 14⎛- ⎝【分析】（1）先求解在上投影向量大小，进而可得投影向量坐标；OA OC（2）设，即可表示出、，再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函()01OP tOC t =≤≤ PA PO数的性质计算可得．【详解】（1）因为半圆的直径，所以，，4AB =()2,0A -()2,0B 又，，则，即．2OC =2π3BOC ∠=2π2π2cos ,2sin 33C ⎛⎫⎪⎝⎭(C -故，，在上投影为，故在上投影向量的坐()2,0OA =- (OC =- OA OC212OA OC OC⋅==OA OC标为 112OC OC ⎛=-⎝ （2）设，()01OP tOC t =≤≤由（1）知，，(()OP t t =-=-故，(),PO t = ()2,PA t =-+∴，22211(2)3424(44y PA PO t t t t t t =⋅=-++=-=--又∵，∴当时，有最小值为，01t ≤≤14t =PA PO y =⋅ 14-此时点的坐标为P 14⎛- ⎝19．在复平面内，O 是原点，向量对应的复数，. OA ()21z 4i m m =+-()m ∈R (1)若点A 位于第四象限，求m 的取值范围；(2)若点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量对应的复数； AB(3)若，且，求的取值范围. ()2z 2cos 4sin i θλθ=++12z z =λ【答案】(1)m>2(2)()224i m --(3) []1,8-【分析】（1）根据复数对应点确定实部、虚部的符号，列不等式组求解；（2）根据对称确定点B 对应的复数，再由向量对应复数即为两点对应复数之差得解； AB（3）由复数相等列出方程组，消参数可得的表达式，利用正弦函数值域，配方求值域即可.m λ【详解】（1）由题意对应点A 位于第四象限，()21z 4i m m =+-故，解得， 240m m >⎧⎨-<⎩m>2即m 的取值范围.m>2（2）点A 对应的复数为，则关于实轴的对称点B 对应的复数为()21z 4i m m =+-()2z 4im m '=--，则对应的复数为，AB()()()12224i [4i]24i m m m z m z m ---+'---=-=（3），12z z = ，即， 22cos 44sin m m θλθ=⎧∴⎨-=+⎩2214sin 4sin 4(sin )12λθθθ=-=--由，可知，1sin 1θ-≤≤214(sin 1[1,8]2λθ=--∈-故的取值范围为.λ[]1,8-20．在①；②；③tan tan tan A B A B ++=()222242cos a ab C b a c -+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.()()sin sin sin sin c a b C A B a B +--+=问题：在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________. ABC A (1)求角C ；(2)若的内切圆半径，求的外接圆半径R . ABC A r =4b =ABC A 【答案】(1) π3C =【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②根据余弦定理化简，再根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解即可，选择③由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解； （2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解可得，进而根据正弦定理求解即可. 57,22a c ==【详解】（1）选择①：由已知得， tan tan tan 1)A B A B +=-所以，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+=-+=-=-在中，，所以． ABC A (0,π)C ∈π3C =选择②：由题意，故，由正弦定理()222242cos 2cos a ab C a c b ac B -=+-=()2cos cos a b C c B -=，即，又()2sin sin cos sin cos A B C C B -=()2sin cos sin cos sin cos sin A C C B B C B C =+=+，故，因为，故()()sin sin πsin 0B C A A +=-=≠1cos 2C =()0,πC ∈π3C =选择③：由已知及正弦定理得，()()c a b c a b ab +--+=所以，所以，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以．0πC <<π3C =（2）由余弦定理得，①2222164c a b ab a a =+-=+-由等面积公式得．11()sin 22a b c r ab C ++=即． 11()422a b c a ++⨯整理得，②34a c =+联立①②，解得，由正弦定理，即 57,22a c ==2sin cR C=R===21．已如向量，，记函数. (2sin a x = π2cos ,13b x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()f x a b =⋅ (1)将化为形式，并求最小正周期T ；()f x ()πsin 0,0.2y A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭(2)求函数在区间上的值域；()f x ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)将函数图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍()f x π6()01a a <<得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a 的取值范围. ()y g x =()y g x =[]1,1-【答案】(1) π(2) [2](3) 40199πa <≤【分析】（1）利用数量积坐标公式及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据自变量的范围求出的范围，利用正弦函数求解； π23x +（3）根据三角函数图象变换求出()g x 【详解】（1）()2π2sin 2cos 2sin cos 3f x x a b x x x x =⋅= ⎛⎫⋅+=-⎪⎝⎭ ,πsin 22sin(23x x x =+=+ 2ππ2T ==∴（2）当时，，ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ4π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， πsin(213x ≤+≤，π2sin(2)23x ≤+≤即函数在区间上的值域为.()f x ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[2]（3）将函数图象向右平移个单位，得到，()f x π6ππ2sin[2()2sin 263y x x =-+=再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象, ()01a a <<()22sin g x x a=其周期，πT a =在区间上至少有100个最大值，则在区间上至少有个周期， ()y g x =[]1,1-[]1,1-99.5因此，，解得， π99.52a ⨯≤4199πa ≤又，. 01a <<40199πa ∴<≤22．对于函数，若存在非零常数M ，使得对任意的，都有成立，()()f x x I ∈x I ∈()()f x M f x +≤我们称函数为“M 函数”；对于函数，若存在非零常数M ，使得对任意的，都()f x ()()f x x I ∈x I ∈有成立，我们称函数为“严格M 函数”. ()()f x M f x +<()f x (1)求证：，是“M 函数”；()()cos R f x x x =∈(2)若函数，是“函数”，求k 的取值范围； ()()2cos R f x kx x x =+∈π2(3)对于定义域为R 的函数对任意的正实数M ，均是“严格M 函数”，若()f x ()f x ，求实数a 的最小值. ()322(1)t t f f a t ⎡⎤-≥⎢⎥+⎣⎦【答案】(1)证明见解析(2)2,π∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦(3) 14【分析】（1）根据“M 函数”的定义，结合余弦函数的周期性，取证明即可；2πM =（2）由题意恒成立，化简可得，进而由余弦函数的最值求解即可；()π2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭πcos 22k x ≤（3）由题意可得在R 上为减函数，再根据单调性求解不等式可得，换元令()f x 322(1)t t a t -≤+，再根据同角三角函数的公式求解的最大值即可.tan t x =322(1)t t t -+【详解】（1）取，则，此时对任意的，都有2πM =()()cos 2πcos f x M x x +=+=x R ∈成立，故是“函数”.cos cos x x ≤()()cos R f x x x =∈2π（2）因为函数，是“函数”，故恒成()()2cos R f x kx x x =+∈π222ππcos cos 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭立，即，即恒成立.22πsin cos 2k x x +≤πcos 22k x ≤又，故，，即k 的取值范围为cos 21x ≥-π12k ≤-2πk ≤-2,π∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦（3）由题意，对任意的，对任意的正实数M ，都有成立，故在R 上x ∈R ()()f x M f x +<()f x 为减函数，又，故，易得，可令， ()322(1)t t f f a t ⎡⎤-≥⎢+⎣⎦322(1)t t a t -≤+R t ∈tan t x =则()()()222432222222241tan 1tan tan 1tan cos (1)(1)(1tan )(1tan )cos t t x x x x x t t t t x x x ---⋅-===++++⋅，()()22222sin cos cos sin 111sin 2cos 2sin 4244cos sin x x x xx x x x x⋅-==⋅=≤+即，故实数a 的最小值为3221(1)4t t t -≤+14。
高一数学下学期期中试题 99
城阳三中2021-2021学年高一数学下学期期中试题本套试卷分第I卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟考前须知：1．在答题之前填写上好本人的姓名、班级、考号等信息;请将答案正确填写上在答题卡上; 2．第一卷小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答案涂在答题卡上，如需改动，请用橡皮擦干净，再重新涂写答案，第二卷答案必须卸载答题卡个题目指定区域内的相应位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来答案，再重新答题；不按以上要求答题之答案无效。
卷I〔选择题一共60分〕一、选择题〔此题一共计 12 小题，每一小题 5 分，一共计60分，〕1. 假设三个平面两两相交，有三条交线，那么以下命题中正确的选项是〔〕2. 假如直线直线，且平面，那么与的位置关系是〔〕B.C. D.或者3. 中，、、分别是角、、的对边，，，，那么等于〔〕A. B.C.或者D.4. 等差数列的前项和为，假设，，那么( )A. B. C. D.5. 以下结论正确的选项是〔〕，那么，那么，，那么，那么6. ，，，成等差数列，，，成等比数列，那么A. B. C. D.或者7.. 半径为的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为〔〕A. B. C. D.8. 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩，〔如图〕，要测算，两点的间隔，测量人员在岸边定出基线，测得，，，就可以计算出，两点的间隔为〔〕A. B. C. D.9. 如图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，那么侧视图中的A. B. C. D.10. 等差数列的前项和为，，，获得最小值时的值是〔〕A. B. C. D.11. 假设圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，那么这个圆锥的外表积与侧面积的比是A. B. C. D.12. 长方体中，，为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为〔〕A. B. C. D.卷II〔非选择题一共80分〕二、填空题〔此题一共计 4 小题，每一小题5 分，一共计20分，〕13. 程度放置的斜二测直观图如下图，=3，=2，那么边上的中线的实际长度为________.14. 不等式的解集为，那么不等式的解集为________．15. 假设正数，满足，那么的最小值是________．16..三棱柱的侧棱与底面垂直，，那么三棱柱外接球的外表积为。
山东省青岛第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
山东省青岛第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．命题“x ∃∈R ，320x x +->”的否定是（）A ．x ∃∉R ，320x x +-≤B ．x ∃∈R ，320x x +-≤C ．x ∀∈R ，320x x +-≤D ．x ∀∉R ，320x x +-≤2．若2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1349c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b c a<<D ．b a c<<3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图象特征.函数2|1|()2x f x x-=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知函数21,1(),12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<≤⎩，集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则()f a =（）A ．1B ．0C ．4D ．495．“3a ≤”是函数“()f x =[2,)+∞上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知函整()f x 的定义域为(4,28)-，则函数28()f xg x -=）A ．(4,28)B ．(6,3)(3,6)--⋃C ．(3,6)D ．(3,3)(2,3)--⋃7．已知函数21()x x f x x++=，函数()1y g x =-是定义在R 上的奇函数，若()f x 与()g x 的图象的交点分别为11(,)x y ，…，88(,)x y ，则1818(())x x y y ++-++= （）A ．8-B ．4-C ．0D ．28．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)2f =，且对于任意120x x >>，有()()21122122x f x x f x x x ->-，若函数()2()f x g x x-=，则下列说法正确的是（）A ．()g x 在(0,)+∞上单调递减B ．()g x 为偶函数C ．(4)(3)g g <-D ．()f x 在(2,)+∞上单调递增二、多选题9．已知0a b <<，c d >，下列说法正确的是（）A ．a c b d -<-B ．a b c d<C ．11a b>D ．552332a b a b a b +<+10．定义在实数集上的函数1,Q()0,Q x D x x ∈⎧=⎨∉⎩称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数()D x 的说法中正确的是（）A ．()D x 的值域为[]0,1B ．对任意x ∈R ，都有()()D x D x =-C ．存在无理数0t ，对任意x ∈R ，都有()0()D x t D x +=D ．若0a <，1b >，则有{|()}{|()}x D x a x D x b >=<11．已知20ax bx c ++>的解集是(2,3)-，则下列说法正确的是（）A ．30b c +>B ．不等式20cx bx a -+<的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．12334a cb +++的最小值是4D ．当2c =时，若2()36f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[3,1]-，则21[2,4]n n -∈三、填空题12．已知幂函数24()(Z)n n f x x n -=∈的图象关于y 轴对称，且(1)(3)f f -<，则n =.13．已知函数()1f x x =-，2()g x x =，记{},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩，若y m =与max{(),()}y f x g x =(0)x ≠的图象恰有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是.14．已知函数()f x 满足：对任意非零实数x ，均有(2)()(1)2f f x f x x=⋅+-，则()f x 在(0,)+∞上的最小值为．四、解答题15．已知函数()f x =A ，集合{}|321B x x =->.(1)求A B ；(2)集合{|1}C x a x a =-<<，若R C B ⊆ð，求实数a 的取值范围.16．已知函数22()23f x x ax a =--，R a ∈.(1)若0a =，且2(3)()()g x g x f x --=，求出()g x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()0f x <.17．已知函数2()4x af x x +=-是定义在[1,1]-上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用单调性定义证明；(3)设()|()|g x f x =，解不等式(21)(1)g t g t ->-.18．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0123,,,d d d d ，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(0,33.3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]1,2k ∈）．阶段0．准备1．人的反应2．系统反应3．制动时间t 10.8t =秒20.2t =秒3t 距离010d =米1d 2d 2320v d k=⋅米(1)请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求当2k =，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？19．对于区间[,]()a b a b <，若函数()y f x =同时满足：①在[],a b 上是单调函数，②函数()y f x =在[],a b 的值域是[],a b ，则称区间[],a b 为函数的“保值”区间.(1)求函数2()f x x =的所有“保值”区间；(2)判断函数1()1g x x=-是否存在“保值”区间，并说明理由；(3)已知函数22()1(),0)a a x h x a a a x+-=∈≠R 有“保值”区间[],m n ，当n m -取得最大值时求a 的值.。
2023-2024学年山东省青岛市高一下学期期中数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年山东省青岛市高一下册期中数学模拟试题一、单选题1．已知复数z 在复平面内对应的点为()1,2，z 是z 的共轭复数，则zz=（）A ．34i 55-+B ．34i 55--C ．34i55+D ．34i55-【正确答案】A【分析】根据给定条件，求出复数z 及z ，再利用复数除法运算求解作答.【详解】依题意，12z i =+，则12i z =-，所以12i (12i)(12i)34i 34i 12i (12i)(12i)555z z +++-+====-+--+.故选：A2．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为8π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是（）A ．1B ．2C D【正确答案】B【分析】利用扇形的面积公式及弧长公式，结合圆的周长公式即可求解.【详解】设圆锥的母线长为cm a ，因为圆锥的侧面积（单位：2cm ）为8π，所以28π1π2a ⋅=，解得4a =.所以侧面展开扇形的弧长为12π44π2⨯⨯⨯=cm .设圆锥的底面半径为cm r ，则2π4πr =，解得2r =.所以这个圆锥的底面半径是2cm .故选：B.3．函数()()2tan 11f x x x x =⋅-<<的图象可能是（）A ．B ．C．D．【正确答案】B【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项.【详解】因为()()2tan 11f x x x x =⋅-<<，故()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=，故()f x 为偶函数，故排除AC.而()12tan10f =>，故排除D ，故选：B.4．已知球1O 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球2O ，则球1O 与球2O 的表面积之比为（）A ．2：3B ．3：2CD【正确答案】A【分析】设正方体棱长为a ，分别求出与正方体的各条棱相切的球的半径以及正方体外接球的半径，再求其表面积之比.【详解】设正方体棱长为a ，因为球1O 与正方体的各条棱相切，所以球1O 的直径大小为正方体的面对角线长度，即半径2r =；正方体内接于球2O ，则球2O的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径2R a =；所以球1O 与球2O的表面积之比为2222232r R a ⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.5．在ABC 中，已知tan ,tan A B 是关于x的方程210x m ++=的两个实根，则C ∠=（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【正确答案】C【分析】利用韦达定理，两角和的正切公式，求得tan()A B +的值，可得A B +的值，从而求得C 的值．【详解】由()23410m m ∆=-+≥得：23m ≤-或2m ≥，故0m ≠，由题有tan tan tan tan 1A B A B m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，而()πC A B =-+，∴()()tan tan tan tan 1tan tan 11A B C A B A B m +=-+=-=-=--+又()0,πC ∈，∴2π3C =.故选：C.6．三棱台111ABC A B C -中，11:1:3AB A B =，则三棱锥1A ABC -、三棱锥11B A B C -、三棱锥111C A B C -的体积之比为（）A ．1:2:9B ．1:3:9C ．1:4:9D ．1:6:9【正确答案】B【分析】根据三角形相似可得出11119ABC A B C S S =△△，结合锥体体积公式可求得1111A ABC C AB CV V --，再利用台体体积公式可求得结果.【详解】在三棱台111ABC A B C -中，111ABC A B C ∽△△，11121119ABC A B C SAB S A B ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，因为点C 到平面111A B C 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离，所以，111111119A ABC ABC C ABC A B C V S V S --==△△，设点C 到平面111A B C 的距离为h ，(11111111131333ABC A B C ABC A B C ABC A ABC V S S h S h V --=+=⋅= ，所以，()1111111111113193B A B C ABC A B C A ABC C A B C A ABC A ABC V V V V V V ------=--=--=，因此，111111::1:3:9A ABC B A B C C A B C V V V ---=，故选：B.7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()sin sin 2sin B A A A B +-=-，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【正确答案】D【分析】利用和差角的正弦公式及二倍角的正弦公式化简给定等式，再借助余弦值求角及正弦定理求解作答.【详解】在ABC 中，由()()sin sin 2sin B A A A B +-=-得：sin cos cos sin 2sin cos sin cos cos sin B A B A A A A B A B +-=-，整理得2sin cos 2cos sin A A A B =，则cos 0A =或sin sin A B =，当cos 0A =时，0πA <<，π2A =，ABC 是直角三角形，当sin sin A B =时，由正弦定理得a b =，因此ABC 是等腰三角形，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形.故选：D8．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的三个几何体体积分别记为1V 、2V 、3V ，则它们之间一定满足（）A ．212223211V V V =+B ．222123V V V =+C ．()22212314V V V =+D ．222123111V V V =+【正确答案】D【分析】在直角三角形ABC 中，90ABC ∠= ，过点B 作BD AC ⊥，垂足为点D ，利用等面积法可得出AB BCBD AC⋅=，再利用锥体的体积公式计算可得出1V 、2V 、3V 所满足的关系式.【详解】在直角三角形ABC 中，90ABC ∠= ，过点B 作BD AC ⊥，垂足为点D ，如下图所示：以AC 为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为1V ，以AB 为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为2V ，以BC 为直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成的几何体的体积记为3V ，则221π3V BC AB =⨯⨯，231π3V AB BC =⨯⨯，因为1122ABC S AB BC BD AC =⋅=⋅△，则AB BCBD AC⋅=，()22221111πππ333AB BC V BD AD CD BD AC AC⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯，所以，()2222244244224242191999ππππAB BC AC V AB BC AB BC AB BC AB BC +===+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯222311V V =+，故选：D.二、多选题9．欧拉公式i e cos i sin x x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数i e 对应的点位于第二象限B ．πi 2e 为纯虚数C ．πi e 10-=D πi 33i+12【正确答案】BD【分析】利用欧拉公式逐项计算出对应的复数，再判断作答.【详解】对于A ，i cos1i sin1e =+，而sin10,cos10>>，因此复数i e 对应的点(cos1,sin1)位于第一象限，A 错误；对于B ，πi 2ππe cosisin i 22=+=，因此πi 2e 为纯虚数，B 正确；对于C ，πi e 1cos πi sin π12-=+-=-，C 错误；对于Dπi 3ππ11cosisin (i)(i)i1332222i 444e +++==+，πi 312=，D 正确.故选：BD10．有下列说法，其中正确的说法为（）A ．若//a b r r ，//b c，则//a cr r B ．两个非零向量a 和b ，若a b a b -=+ ，则a 与b垂直C ．已知()2,1a =r ，则与a垂直的单位向量的坐标,55⎛- ⎝⎭或,55⎛- ⎝⎭D ．已知向量()1,2a =-r ，(),1b t = ，若b 在a（e 为与向量a 同向的单位向量），则7t =【正确答案】BCD【分析】取0b = ，可判断A 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B 选项；设与a垂直的单位向量为(),m x y = ，根据已知条件求出m的坐标，可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取0b = ，则//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，两个非零向量a 和b，若a b a b -=+ ，则22a b a b -=+ ，整理可得0a b ⋅= ，故a 与b垂直，B 对；对于C 选项，设与a垂直的单位向量为(),m x y = ，由题意可得201a m x y m ⋅=+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，与a垂直的单位向量的坐标55⎛- ⎝⎭或,55⎛- ⎝⎭，C 对；对于D 选项，已知向量()1,2a =-r ，(),1b t =，则b 在a上的投影向量为cos ,b a b e ⋅= ，cos ,a b a b b a b b a b a⋅⋅=⋅=⋅=⋅，解得7t =，D 对.故选：BCD.11．已知空间中的平面α，直线l 、m 、n 以及点A 、B 、C 、D ，则以下四个命题中，不正确的命题是（）A ．在空间中，四边形ABCD 满足AB BC CD DA ===，则四边形ABCD 是菱形B ．若l α⊄，∈A l ，则A αÏC ．若l 和m 是异面直线，n 和l 是平行直线，则n 和m 是异面直线D ．若m α⊂，n ⊂α，A m ∈，B n ∈，∈A l ，B l ∈，则l ⊂α【正确答案】ABC【分析】直接判断四边形ABCD 的形状，可判断A 选项；利用空间中点、线、面的位置关系可判断BCD 选项.【详解】对于A 选项，在空间中，四边形ABCD 满足AB BC CD DA ===，则四边形ABCD 是菱形或空间四边形，A 错；对于B 选项，若l α⊄，∈A l ，则A αÏ或l A α=I ，B 错；对于C 选项，若l 和m 是异面直线，n 和l 是平行直线，则n 、m 相交或异面，C 错；对于D 选项，若m α⊂，n ⊂α，A m ∈，B n ∈，则A α∈，B α∈，又因为∈A l ，B l ∈，所以l ⊂α，D 对.故选：ABC.12．已知函数()()πsin 0,0,π2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<- ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，把函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数()y g x =的图象，则（）A ．5π6ϕ=-B ．π3g x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数C ．()g x 的图象关于直线2π3x =对称D ．()g x 在区间2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【正确答案】ACD【分析】根据给定的图象依次求出,,A ϕω，得函数()f x 的解析式，结合图象变换求出函数()y g x =，再逐项判断作答.【详解】观察图象知，2A =，(0)1f =-，则1sin 2ϕ=-，而ππ2ϕ-<<-，于是5π6ϕ=-，A 正确；函数()f x 的周期T 满足：5π635π46T T ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即2π5π632π5π46ωω⎧>⎪⎪⎨⎪⋅<⎪⎩，解得91255ω<<，又5π()06f =，即有5ππ,Z 6k k ωϕ+=∈，而0ω>，于是61,N 5kk ω=+∈，因此111,5k ω==，115π()2sin()56f x x =-，5π()2sin(26g x x =-，ππ()2sin[2()335ππ]2sin(266g x x x +--=+=，显然函数π2sin(26y x =-不是奇函数，B 错误；因为2π2π5ππ(2sin(22sin 23362g =⨯-==，所以()g x 的图象关于直线2π3x =对称，C 正确；当2ππ3x <<时，π5π7π2266x <-<，而正弦函数sin y x =在π7π(,)26上单调递减，所以()g x 在区间2π(,π)3上单调递减，D 正确.故选：ACD 三、填空题13．已知向量,a b满足()a b b -⊥ ，且2,1a b == ，则a 与b 的夹角为_________．【正确答案】π3##60 【分析】利用向量垂直的条件及向量的夹角公式即可求解.【详解】由()a b b -⊥ ，得()0a b b -⋅= ，解得21a b b ⋅=r r r =，设a 与b的夹角为θ，则11cos 212a b a b θ⋅==⨯r r r r =，因为0πθ≤≤，所以π3θ=.所以a 与b的夹角为π3.故答案为.π314．已知()π3cos 45α-=，5π12sin 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π3π,44α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin()αβ+=________．【正确答案】5665【分析】根据给定条件，求出角π4α-与5π4β+的范围，再借助角的变换及差角的正弦公式计算作答.【详解】依题意，因π3π,44α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ5π5π3π0,24442αβ-<-<<+<，而()π3cos 45α-=，5π12sin 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则π45π5sin(),cos()45413αβ-=-+=-，5ππ5ππ5ππsin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()444444αββαβαβα+=-+--=-+-++-1235456()()()13513565=--⨯+-⨯-=．故566515．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，线段OD 上有点M 满足3DO DM =，线段CO 上有点N 满足0()OC ON λλ=> ，设,AB a AD b == ，已知16MN a b μ=-，则λ=_________．【正确答案】3【分析】由MN AN AM =- ，根据,,D M B 三点共线，AM用基底,AB AD 表示，由OC ON λ= ，可得11()22AN AC λ=+ ，进而用,AB AD表示，根据向量基本定理，建立等量关系，即可求解.【详解】1113,,666DO DM DM DB AM AD AB AD =∴=-=- ，1566AM a b =+ ，11,2OC ON ON OC AC λλλ===，1111(()()2222AN AO OC AC a b λλ∴=+=+=++ ，1115()()2266MN AN AM a b a b λ=-=++-+ 11111()()32326a b a b μλλ=++-+=-，由平面向量基本定理，得1132111326μλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩，解得312λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故3.四、双空题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos B c B a b +=+，且4a b +=，则ABC 周长的取值范围为________，ABC 面积的最大值为_________．【正确答案】[)6,8【分析】根据已知条件及正弦定理边角化，利用两角和的正弦公式及辅助角公式，然后再利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的周长公式及三角形的面积公式即可求解.sin cos B c B a b +=+sin sin cos sin sin C B C B A B +=+,()sin sin cos sin sin C B C B B C B +=++,sin sin cos sin C B B C B =+,因为0πB <<，所以sin 0B ≠，cos 1C C =+cos 1C C -=，于是有π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πC <<，所以ππ5π666C -<-<，所以ππ66C -=，即π3C =.由余弦定理，得()2222cos c a b ab ab C =+--,即()()()22223344c a b ab a b a b =+-≥+-+=，解得2c ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立，所以24,68c a b c ≤<≤++<，所以ABC 周长的取值范围为[)6,8.因为4a b +=，所以224422a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b ==时，等号成立，11sin 4222ABC S ab C =≤⨯⨯=△所以当2a b ==时，ABC故[)6,8关键点睛：解决此题的关键是利用正弦定理边角化及基本不等式求最值即可.五、解答题17．已知向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ）．(1)若a →∥b →，求b →的值；(2)若a →⊥（a →＋2b →），求实数k 的值；(3)若a →与b →的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．【正确答案】(2)k ＝14；(3)k ＜32且k ≠－6.【分析】（1）解方程1×k －2×(3)-＝0即得解；（2）解方程1×(5)-＋2×(22)k +＝0即得解；（3）解不等式1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，即得解.【详解】（1）解：因为向量a →＝（1，2），b →＝（－3，k ），且a →∥b →，所以1×k －2×(3)-＝0，解得k ＝－6，所以b →（2）解：因为a →＋2b →＝(5,22)k -+，且a →⊥(2)a b →→+，所以1×(5)-＋2×(22)k +＝0，解得k ＝14．（3）解：因为a →与b →的夹角是钝角，则a b →→⋅＜0且a →与b →不共线．即1×(3)-＋2×k ＜0且k ≠－6，所以k ＜32且k ≠－6．18．已知复数12i ,1i z a z =-=-，其中a 是实数．(1)若212i z =-，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】(1)1；(2)1i -+.【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a 的值.（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出12z z ，再利用i 乘方的周期性求解作答.【详解】（1）复数1i z a =-，则2212i)(12i 2)(i a a z a -+=-==--，又a 是实数，因此21022a a ⎧-=⎨-=-⎩，解得1a =，所以实数a 的值是1.（2）复数12i ,1i z a z =-=-，R a ∈，则12i (i)(1i)(1)(1)i 11i 1i (1i)(1i)222z a a a a a a z -+-++--+----====+--+，因为12z z 是纯虚数，于是102102a a --⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，因此12i z z =，又1234i i,i 1,i i,i 1==-=-=，则*4342414N ,i i,i 1,i i,i 1n n n n n ---∈==-==，即有*4342414N ,i i i i 0n n n n n ---∈+++=，所以232022234211112222()()()505(i i i i )i i 1i z z z z z z z z ++++=+++++=-+ .19．已知函数())cos cos ,R f x x x x x =+∈．(1)当ππ,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值；(2)若2(,R 32f θθ=∈，求π3f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(1)32；(2)118.【分析】（1）化简函数π1()sin(262f x x =++，再利用正弦函数的性质求出最值作答.（2）将3(24f θ=代入求出π1sin(64θ+=，再利用二倍角的余弦求解作答.【详解】（1）依题意，21cos 2π1()cos cos sin 2sin(2)262x f x x x x x x +=++=++，当ππ[,64x ∈-时，]π2π2π[6,63x -+∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，πsin(216x +=，所以当π6x =时，max 13()122f x =+=.（2）因为2(3)2f θ=，则由（1）知，π13sin(624θ++=，即π1sin()64θ+=，所以2π5πππ1π13π()sin(2sin[(2)]cos 2()2sin ()363226226f θθθθθ+=+=+++=++=-+2312()24811=-⨯=.20．已知ABC的面积为2，且1AB AC ⋅=- ．(1)求角A 的大小及边BC 长的最小值；(2)设M 为BC的中点，且2AM =，求边BC 上的高．【正确答案】(1)23A π=，边BC【分析】（1）直接利用面积公式和向量的数量积定义，列方程组，消去bc ，可求出tan A ，从而可求出角A ，利用余弦定理结合基本不等式可求出BC 长的最小值，（2）由M 为BC 的中点，得1()2AM AB AC =+ ，两边平方化简可得225b c +=，再利用余弦定理可求出a ，然后由面积公式可求得结果【详解】（1）因为ABC1AB AC ⋅=- ，所以1sin 22cos 1bc A bc A ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为cos 0A ≠，所以tan A =因为(0,)A π∈，所以23A π=，由余弦定理得222222cos 3a b c bc A b c bc bc =+-=++≥，当且仅当b c =时取等号，由2cos 13bc π=-，得2bc =，所以26a ≥，所以a ，（2）因为M 为BC 的中点，所以1()2AM AB AC =+ ，所以222211()(2)44AM AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ ，因为2AM =1AB AC ⋅=- ，所以2231(2)44b c =+-，得225b c +=，由余弦定理得，222222cos 527ab c bc A b c bc =+-=++=+=，所以a =设BC 边上的高为h因为ABC所以12ah =12=，得h =所以边BC 上的高为721．“方舱医院”原为人民子弟兵野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块扇形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，平行四边形OMPN 区域拟建成病房区，阴影区域拟建成医疗功能区，点P 在弧AB 上，点M 和点N 分别在线段OA 和线段OB 上，且90OA =米，π3AOB ∠=．记POB θ∠=．(1)当π4θ=时，求OM ON ⋅ ；(2)请写出病房区OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值．【正确答案】(1)1)-；(2)ππ263S θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，π6θ=.【分析】（1）利用正弦定理求出,ON OM ，再利用数量积的定义求解作答.（2）利用正弦定理用θ表示出,ON OM ，再利用三角形面积公式、结合三角恒等变换求解作答.【详解】（1）四边形OMPN 是平行四边形，在OPM 中，π2ππ,,4312OPM POB OMP POM ∠=∠=∠=∠=，90OP =，πππππππsin sin()sin cos cos sin 12464646=-=-由正弦定理得：sin sin sin PM OM OP POM OPM OMP ==∠∠∠，即90ππ2πsin sin sin 1243PM OM ==，于是)43ON PM ==-，2OM ==所以1||cos 3045(1350(1)||2OM ON OM B ON AO =∠=⋅= .（2）四边形OMPN 是平行四边形，在OPM 中，2ππ,,33OPM POB OMP POM θθ∠=∠=∠=∠=-，90OP =，由正弦定理得：sin sin sin PM OM OP POM OPM OMP ==∠∠∠，即πsin sin()3PM OM θθ==-因此π),3PM OM θθ=-=，从而1π22sin 60)6023POM S S PM OM OMP θθ==⨯⋅∠=-⋅⋅)2π1sin cos sin sin cos sin 322θθθθθθθθ⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭11πsin 2cos 2)sin(2)226θθθ=+-=+-π03θ<<，显然ππ5π2666θ<+<，因此当ππ262θ+=，即π6θ=时，πsin(2)16θ+=，S 取得最大值，所以ππ263S θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，当π6θ=时，S 取得最大值.22．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．(1)过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，1C 截下一个三棱锥111B A BC -，求正方体剩余部分的体积；(2)若M ，N 分别是棱AB ，BC 的中点，请画出过1D ，M ，N 三点的平面与正方体1111ABCD A B C D -表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；(3)设正方体1111ABCD A B C D -外接球的球心为O ，求三棱锥11O A BC -的体积．【正确答案】(1)356a (2)见解析(3)3112a 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥111B A B C -的体积，再用正方体体积减去即可；（2）根据点、线、面的位置关系作出图形，再利用三角形相似等知识点则可求出相关线段长；（3）根据（1）中三棱锥111B A B C -的体积以及正方体和正三棱锥的性质即可求出三棱锥11O A BC -的高，再利用棱锥的体积公式即可.【详解】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1BB ⊥平面111A B C ，则1BB 为三棱锥111B A B C -的高，111212A B C S a = ，1BB a =，则11111123111326B A BC B A BC V V a a a --==⨯⨯=，则正方体剩余部分的体积为3331566a a a -=.（2）画直线MN 交DA ，DC 延长线分别为点,E F ，再分别连接11,D E D F ，分别交11,AA CC 于点,G H ，顺次连接1,,,,D G M N H ，五边形1D GMNH 即为交线围成的多边形，易得12AM a =，45AME BMN ∠=∠= ，则AEM △为等腰直角三角形，则12AE a =，根据AEG △∽11A D G ，1111122a AG AE A G A D a ===，则121,33AG a AG ==，则22121333D G a a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2213236a a MG a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得1133D H =，136HN ，而22MN =，则五边形1D GMNH 的周长为1313222133622a a ⎫⨯++=+⎪⎪⎝⎭.（3）连接1B D ，易知1B D 的中点即为正方体外接球的球心O 点，且11112A B BC A C a ==，易得三棱锥111B A B C -为正三棱锥，而三棱锥111B A B C -的顶点1B 在底面上的投影即为等边三角形11A BC 的中心1O 点，且点1,O O 均在直线1B D 上，)1122132sin 6022A BC S a a =⨯⨯= 由（1）得111113111136A B A BC BC V S B O a -=⋅⋅= ，即231111326a B O a ⋅=，解得113B O a =，而1B D =，所以1B O所以1OO ==，则112311312O A BC V a -==.。
2022-2023学年山东省青岛一中高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省青岛一中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知（1+i ）z ＝3﹣i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝（ ） A ．5B ．√5C ．2D ．√22．sin47°cos43°+sin137°sin43°等于（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．123．如图直角△O 'A 'B '是一个平面图形的直观图，斜边O 'B '＝4，则原平面图形的面积是（ ）A ．8√2B ．4√2C ．4D ．√24．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＝b sin B +（c ﹣b ）sin C ，AD 是△ABC 的角平分线，D 在BC 边上，AD =√3，b ＝3c ，则a 的值为（ ） A ．2√73B ．4√73C ．5√73D ．8√735．先将函数f （x ）＝sin4x 的图象向右平移π12个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝（ ） A ．2sin(2x +π3) B ．12sin(12x −π6)C ．2sin(2x −π3)D ．2sin(12x −π3)6．《算数术》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，当圆周率π近似取3时，其体积V 的近似公式V ≈136L 2ℎ．现有一圆锥，其体积的近似公式V ≈138L 2ℎ，侧面积为其轴截面面积的3倍，母线长为4，则此圆锥的高为（ ） A ．4B ．389C ．8821D ．112277．已知单位向量a →，b →满足|a →−b →|+2√3a →•b →=0，则|t a →+b →|（t ∈R ）的最小值为（ ）A ．√23B ．√32C ．2√23D ．√228．已知θ∈{π4，π2，3π4，2π}，现将函数f （x ）＝cos 4x ﹣sin 4x 的图象向右平移θ个单位后得到函数g （x ）的图象，若两函数g （x ）与y ＝tan ωx （ω＞0）图象的对称中心完全相同，则满足题意的θ的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．若复数z 满足z （1﹣2i ）＝8﹣i ，则（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的模为13C ．z 的虚部为2D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限10．以下四个命题中，正确命题是（ ） A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面 C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面D ．依次首尾相接的四条线段必共面 11．下列命题正确的是（ ）A ．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin5π6，cos 5π6)，则角x 的最小正值为5π6B ．已知θ是第二象限角，则tan （sin θ）＞tan （cos θ）C ．若扇形周长为20，则其面积最大值为25D ．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有2个12．已知△ABC 的重心为G ，点E 是边BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A ．AG →+BG →=CG →B ．若AE →=23AB →+13AC →，则△EAC 的面积是△ABC 面积的23C ．若AB ＝AC ＝2，BC ＝3，则AB →⋅AG →=76D ．若AB ＝AC ＝2，BC ＝3，则当EA →⋅EB →取得最小值时，|EA →|=√374 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知圆锥的轴截面是斜边为2√3的直角三角形，则该圆锥的体积为 ．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝a cos C ，C ＝30°，c ＝2，则△ABC 的面积为 ．15．如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ），(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象，则其解析式是 ．16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若DA →=m →，DC →=n →，AF →=23AE →，则DE →= ．（用向量m →，n →表示）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知锐角α、β满足cosα=2√55，sin(α−β)=−35，求sin β的值． 18．（12分）当实数m 分别为何值时． （1）复数z ＝m 2+m ﹣2+（m 2+5m +6）i 是： ①实数？ ②虚数？（2）复数z =log 2(m 2−3m −3)+ilog 2(3−m)为纯虚数？19．（12分）如图所示，某游乐场的摩天轮最高点距离地面85m ，转轮的直径为80m ，摩天轮的一侧不远处有一排楼房（阴影部分）．摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动，游客在座舱转到最低点时进入座舱，转动t min 后距离地面的高度为H m ，转一周需要40min ．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数H （t ）的解析式；（2）游客甲进入座舱后观赏周围风景，发现10：14时刚好可以看到楼房顶部，到10：42时水平视线刚好再次被楼房遮挡，求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度． 参考数据：sin3π10≈45．20．（12分）如图，已知OA ＝10，点B 是以O 为圆心，5为半径的半圆上一动点． （1）当∠AOB ＝120°时，求线段AB 的值；（2）若△ABC 为正三角形，求四边形OACB 面积的最大值．21．（12分）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A ﹣BCD 是一鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，AC ⊥CD ，且高AB ＝3√2，BC =√2CD =√6． （1）求三棱锥A ﹣BCD 的体积和表面积；（2）求三棱锥A ﹣BCD 外接球体积和内切球的半径．22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知m →=(cos A 2，√3sin A2)，n →=(−2sin A 2，2sin A2)，且m →⋅n →=0． （1）求角A 的大小；（2）点M 是BC 的中点，且AM ＝1，求△ABC 面积的最大值． 附加题23．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a+b a+c=sinC−A2sinC+A 2． （1）若A =π4，求B ； （2）求ca+c b 的取值范围．2022-2023学年山东省青岛一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2021-2022学年山东省青岛市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
O A''=++=+则212221这个平面图形的面积为故选：C.3. 设，向量,x y ∈R a【详解】试题分析：由定义运算知，即，又，又，，．考点：同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用A.(55cos650102H t tππ⎛⎫=-+≤⎪⎝⎭B.(55sin650102H t tππ⎛⎫=-+≤⎪⎝⎭C.()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭D.()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】先判断游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10，结合摩天轮最高点距离地面min 高度为120，可得时，，再利用排除法可得答案.m 10t =120H =【详解】因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20，min 所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要10，min 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120，m 所以时，，10t =120H =对于A ，时，，不合题意；10t =55cos 106555cos 65651022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭对于B ，时，，符合题意；10t =55sin 106555sin 651201022H πππ⎛⎫=⨯-+=+= ⎪⎝⎭对于C ，时，，不合题意；10t =355cos 106555cos 65651022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭对于D ，时，，不合题意；10t =355sin 106555sin 65101022H πππ⎛⎫=⨯++=+= ⎪⎝⎭故选：B.【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型： (1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等.n 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分，每题全选对得5分，选错得0分）9. 下列说法中不正确的是（）A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥根据复数的运算及相关概念一一判断可得；【详解】解：对于A ：，，，所以，()()()211111i iz i i i i ++===--+21i =-41i=303047221zi i i ⨯+====-故A 正确；对于B ：设，，所以，若，则，则z a bi =+,a b ∈R ()22222z a bi a b abi =+=-+2z ∈R 20ab =或或，当时，故B 错误；0,0a b =≠0,0b a =≠0a b ==0b =z ∈R 复数，则z 为纯虚数的充要条件是且，故C 错误；(),z a bi a b =+∈R 0a =0b ≠若复数z 满足，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆，故D 正确；1z =故选：AD【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.11. 在中，角的对边分别是，．则下列说法正确的ABC ,,A B C ,,a b c 222,8,213b c bc a b a +=+==是（ ）A. 为锐角三角形B. 面积为或ABC ABC 43123C. 长度为D. 外接圆的面积为AB 6ABC 523π【答案】BD 【解析】【分析】利用余弦定理求出，从而求出边，再利用面积公式及正弦定理求出外接圆的半径，即可得解；A c 【详解】解：由，所以，因为，所以，又222b c bc a +=+2221cos 22b c a A bc +-==()0,A π∈3A π=，所以，解得或，故C 错误；8,213b a ==()22288213c c +=+2c =6c =当时，，所以为钝角，故A 错误；2c =2221cos 0213a c b B ac +-==-<B 当时，；2c =113sin 8243222S bc A ==⨯⨯⨯=当时，，故B 正确；6c =113sin 86123222S bc A ==⨯⨯⨯=A. 函数的图像关于直线()f x B. 函数的图像关于点()f x故，解得，72sin(2)212πϕ⨯+=-2,3k k Z πϕπ=+∈又，即，2πϕ<3πϕ=故，()2sin(2)3f x x π=+对称轴：，解得，当时，，故A 选项正()f x 2,32πππ+=+∈x k k Z,122k x k Z ππ=+∈0k =12x π=确；对称中心：，解得，对称中心为，故()f x 2,3x k k Zππ+=∈,62k x k Z ππ=-+∈(,0),62k k Z ππ-+∈B 选项错误；函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，为奇函数，故C 选项正确；()f x 6π()2sin 2g x x=的单调递增区间：，解得，()f x 2[2,2],322x k k k Zπππππ+∈-++∈5[,],1212x k k k Z ππππ∈-++∈又，故D 选项正确；5[,][,],4121212k k k Z ππππππ-⊆-++∈故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设为单位向量，且，则______________.,a b ||1a b += ||a b -= 【答案】3【解析】【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形()2a b a b+=+,a b 21a b ⋅=- a b - 可得：，问题得解.222a b a a b b-=-⋅+【详解】因为为单位向量，所以,a b 1a b == 所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=-【答案】12【解析】【分析】结合图形表示出的长度，进而表示出矩形,OB AB 时，矩形的周长最大，然后利用诱导公式即可求出结果()sin 1αϕ+=ABCD【详解】在中，因为，则，Rt AOB ,,0,2AO R AOB παα⎛⎫=∠=∈ ⎪⎝⎭cos ,sin OB R AB R αα==则矩形的周长为ABCD ，()()22cos sin 25sin tan 2,0,2R R R παααϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，矩形的周长最大，此时，()sin 1αϕ+=ABCD 2παϕ+=所以，sin cos 1122tan tan 2tan 2cos sin 22ππϕϕπαϕππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-==== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：.1216. 已知正三棱柱的顶点都在同一个半径为的球面上，①当三棱柱的侧棱长等于底面边长时，三棱柱27的体积为______，②该三棱柱侧面积的最大值为______．【答案】 ①.②. 144843【解析】【分析】第一空：设正三棱柱的侧棱长等于底面边长等于，作出正三棱柱图形，利用a 求出，进而可得棱柱体积；22211OA AO OO =+a 第二空：设正三棱柱的侧棱长为，底面边长等于，利用得到的关系，通过基m n 22211OA AO OO =+,m n 本不等式可得的最大值，进而可得三棱柱侧面积的最大值.mn 【详解】①设正三棱柱的侧棱长等于底面边长等于，正三棱柱图形如下：a ，分别为底面的中心，为球心，1O 2O O 则，，1121122OO O O a ==122333323AO AD a a==⨯=，22211OA AO OO =+ ，()222312732a a ⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得，43a =②设正三棱柱的侧棱长为则，1121122OO O O m ==﹣（当时，解得，﹣时，复数∴．（1）请在图中画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征；（2）求所得几何体的表面积和体积．【答案】（1）答案见解析（2）(42 S=组合体【解析】【小问该组合体的表面积为=+S S S几何体圆锥侧圆柱侧半球组合的体积为=+V V V几何体圆锥圆柱半球，4323λμμλ+=⎧∴⎨-=-⎩解得；31λμ=⎧⎨=⎩【小问2详解】，是互相垂直的单位向量，即，1e 2e 12121,0e e e e ==⋅= ，()1222121222445e e e e e a e ∴+⋅=-=-= ，()22121122236091b e e e e e e ==++=+⋅，()()22121211226523a e e e e ee e e b ⋅⋅=-⋅++=-=- ，又，52cos 2510a b a bθ⋅⨯-∴===-⨯ []0,πθ∈.3π4θ∴=20. 已知函数．()()252sin 3sin 2126f x x x x R ππ=--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎝+⎪⎝⎭∈⎭（1）将函数化为形式，求的最小正周期和单调递增区间；()f x ()sin A x kωϕ++()f x T （2）若为的内角，恰为的最大值，求；αABC ()f α()f x α（3）若，求．tan 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f θ【答案】（1）；最小正周期；单调递增区间为()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭T π=；（2）；（3）．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦512πα=135【解析】【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据最小正周期的计算公式以及单调递()f x 增区间的公式求解出结果；（2）先分析的取值范围，然后根据正弦函数的单调性确定出的取值；23πα-α（3）根据二倍角的公式以及同角三角函数的基本关系将转化为，()f θ224sin cos 661sin cos 66ππθθππθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后根据齐次式的计算将分子分母同除转化为和有关的形式，由此求解出结果.2cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭tan 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】解：()()()2512sin 3sin 2126f x x x x R ππ=--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎝+⎪⎝⎭∈⎭1cos 2623sin 226x x πππ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 2cos 2166x x ππ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭312sin 2cos 212626x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 2166x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以的最小正周期()f x 22T ππ==由，得222,232k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以的单调递增区间为；()f x 5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()()22sin 213f a πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0απ<<所以52333ππαπ-<-<所以当，即当时，恰为的最大值；232ππα-=512πα=()f α()f x因为()3tan 06πθ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭所以()2224sin cos 4tan 6662sin 21113sin cos tan 1666f πππθθθπθθπππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+=+=+⎛⎛⎫ ⎪⎝⎭⎫⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为tan 26πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以.()24tan 81361155tan 16f πθθπθ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=21. 的内角的对边分别为，已知．ABC ∆、、A B C a b c 、、sinsin 2A Ca b A +=（1）求；B （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．ABC ∆3b =ABC ∆【答案】(1) ； (2) 60B =︒333,24⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化，将等式化简为，再利用,以及二倍sinsin 2A CB +=A BC π++=角公式化解求角的值；B （2）根据正弦定理，，表示，再利用面积公式，利用两角和的正sin sin sin a b cA B C ==,a c 1sin 2S ac B =弦公式和降幂公式化简，最后根据角的范围求取值范围.【详解】（1）由题设及正弦定理得．sin sinsin sin 2A CA B A +=因为，所以．sin 0A ≠sinsin 2A CB +=由，可得，180A B C ++=︒sincos 22A C B+=故．cos2sin cos 222B B B =因为，故，因此．cos02B ≠1sin 22B =60B =︒（2）根据正弦定理，可得32sin sin sin 32a c bA C B====2sin ,2sin a A c C==因为，所以,A B C π++=()sin sin sin 3C A B A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭这样,113sin 2sin 2sin 3sin sin 22323S ac B A A A A ππ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而133sin sin 3sin sin cos 322S A A A A A π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 23333sin sin cos sin 222426A A A A π⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭是锐角三角形，所以,ABC ∆ 62A ππ<<52,666A πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ,1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.3333sin 2,342624A π⎛⎤⎛⎫∴+-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【点睛】本题重点考查了正弦定理边角互化解三角形，以及利用边角互化把边转化为角，转化为三角函数给定区间求取值范围的问题，本题的易错点是忽略锐角三角形的条件，或是只写出，这样即便02A π<<函数化简正确，取值范围也错了.22. 如图所示，某市有一块空地，其中，，．当地政府计OAB 2km OA =60OAM ∠=︒90AOB ∠=︒划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，，都在边上，且OMN M N AB ，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安30MON ∠=︒OAM △OBN △全起见，需在的周围安装防护网．设．OAN =AOM θ∠AM=（1）当1kmθ=︒（2）若15（3）为节省投入资金，人工湖小？最小面积是多少？（2）时，在三角形15θ=︒sin 60sin15OM AM =︒在三角形中，OMN所以1sin 302OMN S OM ON =⋅⋅⋅︒△()()133314cos sin 604sin 60cos θθθθ︒=⋅⋅=⋅++︒⋅()314sin cos 60cos sin 60cos θθθ=⋅︒+︒⋅231314413131cos 2sin cos cos sin 222422θθθθθ=⋅=⋅+++⋅313142133133sin 2cos 2sin 2cos 2444222θθθθ=⋅=⋅++++．()()3113232sin 2603sin 2602θθ=⋅=⋅+︒++︒+由于，，所以当，时，=AOM θ∠060θ︒<<︒26090θ+︒=︒15θ=︒最小值为．OMN S △()()212333633km 232323-⋅=⋅=-++-。
山东省青岛市城阳一中2018—2019年下学期期中质量检测高一年级数学试题
青岛城阳一中 2018—2019年期中质量检测高一年级数学试题一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分） 1.已知下列四个结论，正确的是（ ） ①若a<b ，c>d ，则a-c<b-d ②若a<b<0，c>d>0，则ac>bd ③若a>b>c ，a+b+c=0，则ac>0 ④若a>b ，则a 3>b 3A.①②B.②③C.①④D.①③2.若不等式（a-2）x 2+2（a-2）x-4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(-∞.2] B.[-2.2] C.(-2.2] D. (-∞.-2)3.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若角B 是A,C 的等差中项，且不等式-x 2+8x-12>0的解集为{x ∣a<x<c},则△ABC 的面枳等于（ ） A.√3 B.2√3 C.3√3 D.4√34.己知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3+a 8=12，S 9=45,则a 7=（ ）A.10 B.9 C.8 D.75.在△ABC 中，a,b,c 分别为角A ，B,C 的对边，且満足cosC+sinC=a+c b,则△ABC 为（ ）A.等腰三角形 B 正三角形 C.等腰直角形 D.直角三角形6.在△ABC 中，若√3a=2bsinA,则B 为（ ） A.π3 B .π6 C .π6或5π6D π3或2π37.不等式x 2+a ∣x ∣+4≥0对一切实数 x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.[0,+∞） B.[-4,+∞） C.[-4.4] D.(-∞.-4]8.已知圆锥的母线长与底面半径长之比为3:1，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面内，另外的四个顶点在圆锥的侧面上(如图)，则圆锥与正方体的表面釈之比为( )A. π:1B.3π:1C.3π:2D.3π:4(第8题图)9.已知数列{a n}的首项a1=1，且满足，则a2020的值等于( )A.2020B.3028C.6059D.302910.在△ABC中，A，B,C的对边分别为a,b,c，若2a−cb =cos Ccos B,b=4,则△ABC的面积的最大值为( )11. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD是矩形，棱EF//AB,AB=4,EF=2, △ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，12.已知数列{a n},{b n}的前n项和分别发S n,T n,且a n>0，6S n= a n2+3a n, b n=2an(2an−1)(2an+1−1), 若K>T n恒成立,则k的最小值为( )A.17B.149C.49D.8441二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分)13.关于x 的x 2−x +a <0的解集为空集，则实数a 的取信范围为______ 14.在△ABC 中 sinB=√3sinA ，BC=√2，C=π6，则AC 边上的高为______15. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为83π，则该圆锥的侧面积等于______16. 在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2018=√22，则1a 2017+1a 2019的最小值为______三、解答题（共6题，70分）。
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城阳区2018—2018学年度第二学期期中统一质量检测高一数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至7页，满分120分，考试时间120分钟。
注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3． 考试结束后，监考人将答题卡连同第II 卷一起收回。
第I 卷（选择题共60分）一、 选择题：（每题5分，共60分）1. 下列向量中，可能不共线的一组向量是（ ）(A)2,2=-= (B) 21e e -=，2122e e +-=(C) 2121101,524e e b e e a -=-= (D)212122,e e e e -=+= 2. cos75︒cos15︒+sin75︒sin15︒= ( ) (A) 0 (B)12(C) 32 (D)13．若函数f ( x )是实数集R 上周期为π的奇函数, 则f ( x )可以是 ( ) (A) sin2x (B)sin x (C) cos2x (D) tan x .4. 已知点P 分有向线段→--AB 的比为λ（)0>λ，且A(1 , 3), B( 2 , 5 ), 则点P 的位置在 ( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C)第四象限 (D) 坐标轴上 5. 已知|| = || = |–|= 4, 则与的夹角为 （ ） (A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 6. 已知)2,(),1,3(-=-=x 且<,>4π=，则x 等于（ ）(A) -4 (B) 4 (C)-1 (D)1 7. 要得到函数y = sin(2 x –4π)的图象, 只需将函数y = sin2x 的图象 ( )(A) 向右平移8π个单位 (B)向左平移8π个单位 (C) 向右平移4π个单位 (D) 向左平移4π个单位8. 设函数y = f ( x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间 [0 , 1]上的图 象为如图所示的线段OA, 则在区间[1, 2 ]上, f ( x ) = ( ) (A)y = x – 2 (B) y = x – 1 (C) y = –x + 2 (D) y = –x – 29. 若2sin cos 1=-αα，则ααsin cos +的值为 （ ）(A) 51 (B) －51 (C) 41 (D) －41 10．已知θtan 和)4tan(θπ-是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是( )(A)01=+-q p (B)01=++q p (C) 01=-+q p (D)01=--q p 11．已知锐角三角形ABC ，则函数x y sin )(⋅-=的一个单调递减区间是（ ） (A) 23,0[π] (B) ]2,2[ππ- (C) [0，π] (D) )23,2[ππ 12．下列四个命题：①+= 0；②→a =（1，2）经→b =（2，1）平移后的坐标为（3，3）； ③ΔABC 中，若AB ·BC > 0，则ΔABC 是钝角三角形； ④→a ⊥→b 的充要条件是|→a －→b |=|→a +→b |。
其中正确的是( )(A) ①、②； (B) ②、③； (C) ③、④； (D) 以上答案都不对二．填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.） 13. 函数y =3sin2x – cos2 x 的值域是 .14`. 正弦函数y = Asin (ωx +ϕ) (A > 0, ω > 0 )在一个周期的图象如图所示, 则此函数的解析式为 .15. 向量与向量·（c ·a ）– c ·（a ·）的数量积等于 。
16. 在直角坐标系中,→--OA = (2,2) , |→--AB |= 2, 且→--AB ·→--OA = 0, 则点B 的坐标是 .(第8题)三．解答题（本大题有6小题, 共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分) 设函数f ( x ) = 3(sinx – cosx)2x R .(1) 求函数f ( x )的最小正周期T；(2) 当x为何值时，函数f ( x )取最大值？并求出这个最大值.18．(本小题满分12分)设i , j 是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且→--AB= 4i+ 2j ,→--AC= 3i+ 4j. 试证：△ABC是直角三角形.19．(本小题满分12分)已知tan2α= –21, 求 (1) tan α; (2) α2cos )α2πcos()απ2cos(+-的值.20. (本小题满分12分) 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，B为半圆周上任意一点，以AB为边作等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积.21. (本小题满分12分) 已知三角形ABC,在三角形ABC所在的平面中是否存在一点P满足+？若存在，试确定P点的位置；若不存在，说明理由。
=+22. (本小题满分14分)已知= (–23, 2 ), 与的夹角为120︒, 且⋅= – 4, 又向量满足关系式:c=6a– 4b.(1) 求向量c的模；(2) 求向量b的坐标;(3) 证明: 向量与垂直; (4) 求向量与的夹角.高一数学第二学期期中考试答案一、选择题：DBAAB DACAA BC 二、填空题：13. [ –2, – 2 ]; 14. y = 2sin(4πx +4π) ;15. 0 ; 16. ,0)2(2或)22,0(三、解答题： 17. 解 (1) f ( x ) =3(1 – 2sinxcosx) =3–3sin2x. 4分∴ T = π. 2分 (2) x = k π –4π( k ∈Z )时, f ( x )max = 23. 4分 18. 证1：∵i , j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的两个单位向量，∴| i | =1, | j | = 1, 且i ⊥j ， 即i • j ＝０.∵→--BC =→--AC –→--AB =–i + 2 j , 6分 ∴→--AB ·→--BC = – 4 + 4 = 0，∴∠B = 90︒，即△ABC 是直角三角形. 12分 证2. ∵i , j 是平面直角坐标系内x 轴，y 轴正方向上的两个单位向量，∴| i | =1, | j | = 1, 且i ⊥j ， 即i • j ＝０.又∵→--AB = 4i + 2j ,→--AC = 3i + 4 j ，∴|→--AB |=20，｜→--AC ｜＝５，cos<→--AB ,→--AC >==⋅⋅→→→→|AC ||AB |AC AB 520205812520)j 4i 3()j 2i 4(=+=⨯+⋅+→→→→. 6分 从而><⋅⋅-+=→→→→→→→AC ,AB cos |AC ||AB |2|AC ||AB ||BC |222= 5 .∴｜→--AB ｜２＋｜→--BC ｜２＝｜→--AC ｜２，故△ABC 是直角三角形. 12分19. 解: (1) tan α =2αtan 12αtan22-= –54. 5分 (2) 原式 = α2cos )α2πcos()απ2cos(+-= –αsin αcos αsin αcos 22- 8分 = –αtan 1αtan 2-= 920. 12分 20. 解：以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系。
设xS x AOB AO B sin ,==∠∆则， 3分x x 2222sin )cos 2(||||+-=-= 5分,cos 3345|AB |432x S ABC -==∆ 8分 345)3sin(2+-=πx S OACB 10分当π65=x 时，OACB S 有最大值4352+. 12分 21.22. 解(1) ∵c = (–23 , 2 ) ∴| c | = 4 2分(2) 由 – 4 = b ·c =| b | | c |cos120︒= – 2 | b |, ∴| b | = 2 设 b = ( x , y ), 则b ·c = –23x + 2 y = – 4 又∵| b | 2 = x 2 +y 2 = 4. x = 0, y = –2 或x =3, y = 1∴ b = ( 0 , –2 ) 或b = (3, 1 ) 6分 (3) ∵c =6a – 4b ∴c ·c =6a ·c – 4b ·c ∵ b ·c = – 4 , c ·c = | c | 2 = 16 , ∴ a ·c = 0∴ 向量a 与c 垂直; 10分 (4) ∵c =6a – 4b ∴b ·c =6b ·a – 4b ·b ∵ b ·c = – 4 , b ·b = | b | 2 = 4 ,∴ b ·a =26, 又∵|a | = 22, ∴ cos θ =|b ||a |b a ⋅= 23,∴θ = 30︒ , 即 a 与b 的夹角为30︒ 14分。