2012年广州市高三文科数学调研、一模、二模试题分类整理汇编
广东省2012届高三数学全真文科模拟试卷(2)及答案
广东省2012届高三数学全真文科模拟试卷(2)及答案广东省2012届高三全真模拟卷数学文科2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1．设集合,,则（）CA．B．C．D．2．设正项等比数列，成等差数列，公差，且的前三项和为，则的通项为BA．B．C．D．3．已知为虚数单位，且，则的值为（）BA．4B．C．D．4.已知直线a、b和平面M，则的一个必要不充分条件是（）DA.B.C.D.与平面M成等角5.函数的图象的大致形状是（）.D6．长方体中，为的中点，，，，则AA．B．C．D．7．如果实数满足:，则目标函数的最大值为CA.2B.3C.D.48．函数是（）AA．最小正周期是π的偶函数B．最小正周期是π的奇函数C．最小正周期是2π的偶函数D．最小正周期是2π的奇函数9．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）.BA．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时10．对于任意实数，符号]表示的整数部分，即]是不超过的最大整数，例如2]=2；]=2；]=,这个函数]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
那么的值为()CA．21B．76C．264D．642二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.11．阅读右下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是12．中，，，，为中最大角，为上一点，，则12．调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：晚上白天雄性雌性从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________.99% 参考公式：，其中14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则______15．（坐标系与参数方程选做题）圆心的极坐标为，半径为3的圆的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函的部分图象如图所示：(1)求的值;(2)设，当时，求函数的值域。
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学
2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2012.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．84．在△A B C 中，60ABC ∠=，2A B =，3B C =，在B C 上任取一点D ，使△A B D 为钝角三角形的概率为A ．16B ．13C ．12D ．235．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 A．3B．C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657my m m x -=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．8 9．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）图1俯视图正(主)视图侧(左)视图11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦A B 的中点， 3O P =cm ，弦C D 过点P ，且13C P CD =，则C D 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值． 512122图2图317．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分 成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值； （2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学 生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，A B B C ==，平面⊥PAC 平面A BC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3C D =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．图5BPACD图421．（本小题满分14分）已知椭圆2214yx +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线A P 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=； （3）设T A B∆与P O B ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uurg ≤15，求2212S S - 的取值范围．2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．0 12．[]0,1 13．35，10 14．15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫ ⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分t a n t a n341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==--．………………………………………………………………………4分 （2）解法1：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分 ()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==．………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ①因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分所以2coαα=-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-．………………………………………………………………………12分解法2：因为3ta n 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分 ()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==．………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………………………………………………………………10分221t a n 1t a n αα-=+………………………………………………………………………………11分143145-==-+．……………………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以1⨯+a+．………………………………………………1分解得a =．……………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=．…………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.⨯=人． …………………………………………………………………5分（3）解：成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ．……………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．……………………所以所求概率为()715P M=．…………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面A B C A C =， PD ⊂平面P A C ，AC PD ⊥，所以P D ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………2分记AC 边上的中点为E ，在△A B C 中，因为A B B C =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC ，所以2BE =-…4分所以△A B C 的面积12A B C S A C B E ∆=⨯⨯=5分因为2=PD ，所以三棱锥ABC P -的体积13P ABCB C V S -∆=⨯⨯142233=⨯=7分 （2）证法1：因为P D ⊥AC ，所以△P C D为直角三角形．因为2P D=，3C D =，所以PC ===9分连接B D ，在R t △B D E 中，因为90BED∠=o，BE =，1D E =，所以BD ===10分由（1）知P D ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ，所以P D ⊥BD ．在R t △P B D 中，因为90PDB ∠=o，2P D =，BD =，所以2PB =+．……………………………………………………BPACDE在PBC ∆中，因为BC =，PB =PC =，所以2BC+=．………………………………………………………………………………13分所以PBC ∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分证法2：连接B D ，在R t △B D E 中，因为90BED ∠=o，BE =，1D E =，所以BD ===8分 在△B C D 中，3C D=，BC =BD =，所以222BC BD CD +=，所以B C B D ⊥．………………10分 由（1）知P D ⊥平面ABC ， 因为B C ⊂平面ABC ， 所以B C P D ⊥． 因为BD PD D = ，所以B C ⊥平面P B D ．…………………………………………………………………………………12分 因为PB ⊂平面P B D ，所以B C P B ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列{}n a 是等差数列，所以()11n a a n =+-，()112n n n S na d -=+．……………………………………………………1分依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分 解得16a =，BPACDE4d =．……………………………………………………………………………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………………………………6分 （2）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………………………………………7分所以()21124nS n ==++142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．…………………………………………………8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭31118412n n ⎛⎫=-+⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………10分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+<⎪++⎝⎭，所以38n T <．………………………………………………11分因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=->⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列．………………………………12分所以116n T T ≥=．………………………………………………………………………………………13分 所以1368n T ≤<．…………………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：因为32()f x x ax b=-++，所以22()3233a f x x a x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭．……………………1分 当0a =时，()f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间；……………………………………………2分当0a >时，令()0f x '>，得203a x <<．故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………………………………………………………3分 当0a <时，令()0f x '>，得203a x <<．故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．…………………………………………………………………4分 综上所述，当0a =时，函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当a <时，函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………5分（2）解：，由（1）知，[]3,4a ∈时，()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． …………………………………6分所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =，……………………………………………………7分函数()f x 在23a x =处取得极大值324327a a f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………8分 由于对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，所以()00,20.3f a f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b ab <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得34027ab -<<．……………………………………………………………………………………11分因为对任意[]3,4a ∈，3427ab >-恒成立，所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭．………………13分 所以实数b 的取值范围是()4,0-．……………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得(1A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，1=，即2b =．所以双曲线C的方程为2214yx -=．……………………………………………………………………3分（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线A P 的斜率为k （0k >），则直线A P 的方程为(y k x=+，………………………………………………………………………4分 联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k-=+．所以22244k x k-=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为A Pk k=，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=．即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线A P 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分 整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦， 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =．所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S A B y y ==，21111||||||22S O B y y ==，所以()()2212144S S -=．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t tt-+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==， 所以当4t =，即12x =时，()()2212min40SS f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =时，()()2212max21SS f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．。
广东省广州市2012届高三调研测试数学(文)试题
试卷类型：B广州市2012届高三年级调研测试数 学（文科） 2011.12参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 球的表面积公式24S R =π，其中R 为球的半径．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则AB 等于A ．{}2-B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,1,2-2．已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于A ．1B ．2C ．3D ．4 3．设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知33a =，63=S ，则10a 的值是A ．1B ．3C ．10D ．55 5．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-6．直线1y kx =+与圆224x y +=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 的取值有关 7．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 8．设一个球的表面积为1S ，它的内接正方体的表面积为2S ，则12S S 的值等于 A ．2π B ．6π C ．6π D ．π29．已知实数y x ,满足0,1,2210.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数y ax z +=()0≠a 取得最小值时最优解有无数个，则实数a 的值为A ．1-B ．12-C ．12D ．1 10．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是A ．2)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称B ．12)(1-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数之和小于0.8的概 率是 ．12．已知程序框图如右，则输出的i = ．13．已知直线()2y k x =-()0k >与抛物线28y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若2FA FB =，则k 的值为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如右图，AB 是圆O 的直径，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若圆O 的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为 ． 15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的方程为θρcos 2=，则OA （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为 ．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）E如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=， 3cos 5ADC ∠=． （1）求sin ABD ∠的值； （2）求BD 的长． 17．（本小题满分12分）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为分，“居民素质”得分为y 分，统计结果如下表：1 （1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率； （2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得1分的概率为110，求a 、b 的值．18.（本小题满分14分）各项均为正数的数列{}n a ，满足11a =，2212n n a a +-=（*n ∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．19.（本小题满分14分）如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，ACBD O =．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A BCD -．（1）求证：平面AOC ⊥平面BCD ；ABC D（2）若三棱锥A BCD -AC 的长． 20．（本小题满分14分）设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求⋅的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数()321232a f x x x x =-+-()a ∈R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （3）若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．广州市2012届高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．0.32 12．9 13． 14．1 15三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．…………………………………………………………2分 因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠=．…………………………………………………………4分 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分 412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区数量为24个．…………………………………………………………………………………2分 设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=． 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分 （2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有()4a +个，……………………………6分因为“居民素质”得1分的概率为110， 所以415010a +=．………………………………………………………………………8分 解得1a =．……………………………………………………………………………………………10分 因为社区总数为50个，所以4750a b ++=． 解得2b =．……………………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）解：（1）因为2221=-+n n a a ，所以数列{}2n a 是首项为1，公差为2的等差数列． (2)分所以122)1(12-=⨯-+=n n a n ．…………………………………………………………………4分 因为0>n a，所以n a ()*n ∈N ．………………………………………………………6分（2）由（1）知，n a =22122n n na n -=．……………………………………………7分所以231135232122222n n nn n S ---=+++++， ①…………………………………………8分 则234111352321222222n n n n n S +--=+++++， ②…………………………………………9分 ①－②得，2341112222212222222n n n n S +-=+++++-…………………………………………11分234111111212222222n n n +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--…………………………………………………12分132322n n ++=-．……………………………………………………………………13分 所以2332n nn S +=-．………………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）证明：因为ABCD 是正方形，所以BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………1分 在折叠后的△ABD 和△BCD 中，仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………2分 因为AO CO O =，所以BD ⊥平面AOC ．………3分因为BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD ．…………………………4分 （2）解：设三棱锥A BCD -的高为h ，由于三棱锥A BCD -所以13BCD S h ∆=．………………………………………………………………………………5分 因为1122222BCD S BC CD ∆=⨯=⨯⨯=，所以h =．………………………………………6分 以下分两种情形求AC 的长：①当AOC ∠为钝角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ． 所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即AH =．………………………………………………7分 在Rt △AOH中，因为AO =所以OH ===8分 在Rt △ACH中，因为CO=则22CH CO OH =+==．……………9分所以AC ===10分②当AOC ∠为锐角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即2AH =．………………………………………………11分 在Rt △AOH中，因为AO =， 所以OH =2==．…………12分在Rt △ACH中，因为CO =则22CH CO OH =-==．……………………………………………………………13分所以AC ===综上可知，AC…………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题设知，2A ⎛⎫⎪⎭，)1F ，…………………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．……………………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．…………………………………………………………4分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分 ()()NF NP NF NP =--⋅-……………………………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2的最大值．………………………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x ．……………………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．……………………………13分所以⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分 方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ，因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分 因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分 因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分 所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．………………………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=+-⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭……………………………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x PF PE ． ……………………………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =， 由22(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =．不妨设，()0,3E ，()0,1F ．………………………………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--． 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，⋅的最大值为11．………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得()2'32f x x x =-+-．…………………1分 因为()()()2'3212f x x x x x =-+-=---， 所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为()1,2，单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞．………………3分 （2）方法1：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立， 即对于任意[)1,x ∈+∞都有222(1)x ax a -+-<-成立，即对于任意[)1,x ∈+∞都有220x ax a -+>成立，………………………………………………4分令()22h x x ax a =-+，要使对任意[)1,x ∈+∞都有()0h x >成立，必须满足0∆<或()0,1,210.ah ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎩…………………………………………………………………………5分即280a a -<或280,1,210.a a a a ⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪+>⎪⎩………………………………………………………………………6分所以实数a 的取值范围为()1,8-．…………………………………………………………………7分方法2：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立，所以问题转化为，对于任意[)1,x ∈+∞都有[]max '()2(1)f x a <-．……………………………4分因为()22224a a f x x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭，其图象开口向下，对称轴为2a x =． ①当12a <时，即2a <时，()'f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max ''13f x f a ==-，由()321a a -<-，得1a >-，此时12a -<<．………………………………………………5分 ②当12a ≥时，即2a ≥时，()'f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2max ''224a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 由()22214a a -<-，得08a <<，此时28a ≤<．…………………………………6分 综上①②可得，实数a 的取值范围为()1,8-．……………………………………………………7分（3）设点321,232a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象上的切点， 则过点P 的切线的斜率为()2'2k f t t at ==-+-，………………………………………………8分所以过点P 的切线方程为()()32212232a y t t t t at x t +-+=-+--．…………………………9分 因为点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上， 所以()()32211220332a t t t t at t -+-+=-+--， 即322110323t at -+=．……………………………………………………………………………10分 若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线， 则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解．………………………………………………11分令()32211323g t t at =-+，则函数()y g t =与t 轴有三个不同的交点． 令()220g t t at '=-=，解得0t =或2a t =．……………………………………………………12分 因为()103g =，3112243a g a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以必须31102243a g a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即2a >．……… ……………………………13分 所以实数a 的取值范围为()2,+∞．………………………………………………………………14分。
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)(文科数学)
1 S侧 =4 × × 2 × 2=8 2
2
2
3
2
2
2
2 2 2
2
x + y − 2 ≥ 0 6.在平面直角坐标系中，若不等式组 x − y + 2 ≥ 0 , 表示 x ≤ t 的平面区域的面积为4，则实数t的值为( B ) A.1 B .2 C .3 D.4
5 4
1 S = × 2t × t = t = 4,∴ t = 2 2
2
C .0
D.2
a + bi = i (1 − i ) = i − i = 1 + i ,∴ a = b = 1, a + b = 2
3.如果函数f ( x ) = sin(ω x + 则ω的值是( C ) A.1 B .2
π
)(ω > 0)的最小正周期是 ， 6 2 C .4 D.8
π
2π 2π = =4 ω= π T 2
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广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案
广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案广东省2012届高三全真模拟卷数学文科6一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图所示，U表示全集，则用A、B表示阴影部分正确的是()A.B.C.D.2.若复数是实数（是虚数单位），则实数的值为（）A．-2B．-1C．1D．23.已知向量=（）A．B.C.D.4.已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则的前项和为（）A．B.C．D．5.下面说法正确的是()A．命题“使得”的否定是“使得”；B．实数是成立的充要条件；C．设为简单命题，若“”为假命题，则“”也为假命题；D．命题“若则”的逆否命题为假命题.6.已知、是两个不同平面，是两条不同直线，则下列命题不正确的是() A．则B．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β7.一只小蜜蜂在一个棱长为的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体中心的距离不超过，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A.B.C.D.8.阅读如图所示的算法框图，输出的结果S的值为（）A．B．C．0D．9.已知△中，，，分别是，的等差中项与等比中项，则△的面积等于（）A．B．C．或D．或10.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A．5B．7C．13D．15二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（11～13题）11.一个容量为的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中)分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)频数2x3y24则样本在区间10，50)上的频率为．12.已知函数那么不等式的解集为．13.若目标函数在约束条件下的最大值是，则直线截圆所得的弦长的范围是______________.（二）选做题：请在14、15题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被曲线：所截得弦的中点的极坐标为．15.(几何证明选讲选做题)如图所示，AB是半径等于的⊙的直径，CD是⊙的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则___________.三、解答题(共80分)16.(本题满分12分）已知向量，且满足.（1）求函数的解析式；（2）求函数的最大值及其对应的值；（3）若，求的值.17．（本题满分12分）某学校共有高一、高二、高三学生名，各年级男、女生人数如下图：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19．（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，问应在高三年级抽取多少名？（3）已知，求高三年级中女生比男生多的概率．18．（本题满分14分）如图：、是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．19．（本题满分14分）设曲线在点处的切线与y轴交于点.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，猜测的最大值并证明你的结论.20.（本题满分14分）已知椭圆的离心率，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)若为椭圆上的动点,为椭圆的右焦点,以为圆心,长为半径作圆,过点作圆的两条切线,（，为切点），求点的坐标，使得四边形的面积最大．21.（本题满分14分）已知函数.（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．参考答案一．选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案ACBCDDBACB二、填空题：(每小题5分，共20分)11.12.13.14.15.（或三、解答题：(共80分)16.解：（1），即，所以所以…………………………………………4分(2)当，即时，………………8分（3），即……………………………………………………9分两边平方得：，所以…………………………10分…………………………12分17.解：（1）由已知有；3分（2）由（1）知高二男女生一起人，又高一学生人，所以高三男女生一起人，按分层抽样，高三年级应抽取人；7分（3）因为，所以基本事件有：一共11个基本事件．9分其中女生比男生多，即的基本事件有：共5个基本事件，11分故女生必男生多的事件的概率为12分18解：（1）证明：依题意：…………………………2分平面∴……………2分∴平面．……………………………5分（2）证明：中，，∴………………………………6分中，，∴．……………………………………………………………………7分∴．…………………………………………………………8分∴在平面外∴平面．…………………………………………………………10分（3）解：由（2）知，，且∴到的距离等于到的距离为1．………………………………11分∴．……………………………………………………12分平面∴．……………14分19.解：（1）,…………………………1分∴点P处的切线斜率,…………………………2分∴切线方程为:,…………………………4分令得:,故数列的通项公式为:.…………………………………6分(2)------①…………………7分两边同乘得:------②①②得:………8分∴……………………10分其中,,,猜测的最大值为.证明如下:…………………11分(i)当为奇数时，；…………………12分(ii)当为偶数时，,设,则.,∴.…………13分故的最大值为,即的最大值为.………………14分20.解：（1）依题意得，………………………………3分解得，………………………………4分所以椭圆的方程为．………………………………5分（2）设，圆：，其中，…………7分…………8分又在椭圆上，则………………………………9分所以，………………………………10分令，，………………………11分当时，，当时，………………………12分所以当时，有最大值，即时，四边形面积取得最大值……13分此时点的坐标为或………………………………………14分21.解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．……………4分(2)由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．……………………………………6分①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．……………………………………8分②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．………………………10分【（方法二）由对任意成立等价于恒成立当，恒成立，则，又，所以此时………6分当，恒成立，则，令，则，……7分易知为上偶函数，考察，，，当时，，当时，，所以当时，，所以……………………………9分综上…………………………………………………………10分】(3)，，…………………………………………………………11分，……………………………………12分由此得，………………………………………13分故．…………………………14分。
广东省广州市2012届高三下学期一模调研交流数学(文科)
广东省广州市2012届高三下学期一模调研交流数学（文）试题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟，参考公式：1．锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 2．数据x 1，x l ，…，x n 的方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={(x ，y)| x ，y ∈z ，且|x|+|y|<1}的元素个数为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．函数1ln )(-=x x f 的定义域为A.(e ，+∞）B.[e ，+∞)C. (O ，e]D.(-∞，e] 3．已知复数z 满足(l-i)z=1+3i （i 是虚数单位），则z= A ．-2+i B ．2-i C ．1-2i D ．-1+2i4．等差数列{a n }的前n 项和为s n =n 2+2n+a+2，则常数a= A. -2 B.2 C.0 D.不确定5．已知平面向量),3(),3,1(x -==，且=b a //，则=⋅b a A. -30 B. 20 C. 15 D.06．已知直线l ：x+y=m 经过原点，则直线l 被圆x 2+y Z-2y=0截得的弦长是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．27．己知点F 1、F 2分别是双曲线C ：12222=-by a x 的两个焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率e= A ．2 B ．32 C ．32 D ．38．已知x ∈R ，“x=l ”是"01"2=-xx 的 A.充分不必要条件 B 。
必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件9．某个锥体（图1）的三视图如图根所示，据图中标出的尺寸，这个锥体的侧面积S= A ．6 B ．π132 C ．π136+ D ．π1326+10．a ∀，b ，c ，d ∈R ，定义行列式运算bc ad dc b a -=。
2012年广东省广州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题广州一测及参考答案
试卷类型:A2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)2012.3本试卷共4页,21小题, 满分150分.考试用时120分钟注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。
漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.函数y =A.(],1-∞-B.(),1-∞-C.[)1,-+∞D.()1,-+∞2.已知复数()i i 1i a b +=-(其中,a b ∈R ,i 是虚数单位),则a b +的值为A.2-B.1-C.0D.23.如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π,则ω的值为 A.1 B.2 C.4 D.84.在△ABC 中,60ABC ∠=,2AB =,3BC =,在BC 上任取一点D ,使△ABD 为钝角三角形的概率为A.16 B.13 C.12 D.235.如图1是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积．．．为A.3B.C.8 D.126.在平面直角坐标系中,若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4,则实数t 的值为A.1B.2C.3D.4 7.已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增,则实数m 的值为A.3B.2C.2或3D.2-或3-8.已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角.若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为A.8-B.6-C.6D.8 9.已知函数()21f x x =+,对于任意正数a ,12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知圆O :222x y r +=,点()P a b ，(0ab ≠)是圆O 内一点,过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ,直线2l 的方程为20ax by r ++=,那么A.12l l ∥,且2l 与圆O 相离B.12l l ⊥,且2l 与圆O 相切C.12l l ∥,且2l 与圆O 相交D.12l l ⊥,且2l 与圆O 相离二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11～13题)11.若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数,则实数a 的值为 .12.已知集合{}13A x x =≤≤,{}3B x a x a =+≤≤,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为 .13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作11a =,第2个五角形数记作25a =,第3个五角形数记作312a =,第4个五角形数记作422a =,…,若按此规律继续下去,则5a = ,若145n a =,则n =.(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图3,圆O 的半径为5cm ,点P 是弦AB 的中点,3OP =cm ,弦CD 过点P ,且13CP CD =,则CD 的长为 cm .15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l :1,1x s y s=+⎧⎨=-⎩(s 为参数)和C :22,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数), 若l 与C 相交于A 、B 两点,则AB = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (1)求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求cos 2α的值. 17.(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生,将他们的期中考 试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[)50,40,[)60,50,…,[]100,90后得到如图4的 频率分布直方图.(1)求图中实数a 的值；(2)若该校高一年级共有学生640人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学 生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率.18.(本小题满分14分)5 121 22 图2图4图3如图5所示,在三棱锥ABC P -中,AB BC ==,平面⊥PAC 平面ABC ,AC PD ⊥于点D ,1AD =,3CD =,2=PD .(1)求三棱锥ABC P -的体积； (2)证明△PBC 为直角三角形.19.(本小题满分14分)已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,它的前n 项和为n S ,若570S =,且2a ,7a ,22a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ,求证:1368n T <≤.20.(本小题满分14分)已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R . (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,求实数b 的取值范围.21.(本小题满分14分)已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B .曲线C 是以A 、B 两点为顶点,双曲线.设点P 在第一象限且在曲线C 上,直线AP 与椭圆相交于另一点T . (1)求曲线C 的方程；(2)设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ,证明:121x x ⋅=；(3)设TAB ∆与POB ∆(其中O 为坐标原点)的面积分别为1S 与2S ,且PA PB uu r uu rg ≤15,求2212S S - 的取值范围.2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)图5BPAD数学(文科)试题参考答案及评分标准说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.第13题仅填对1个,则给3分.11.0 12.[]0,1 13.35,10 14.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)(本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分(2)解法1:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==.………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=,即sin 2cos αα=. ① 因为22sin cos 1αα+=, ②由①、②解得21cos 5α=.………………………………………………………………………………9分 所以2cos 22cos 1αα=-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-.………………………………………………………………………12分解法2:因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分()tan α=+π………………………………………………………………6分tan 2α==.………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………………………………………………………………10分 221tan 1tan αα-=+………………………………………………………………………………11分143145-==-+.……………………………………………………………………………12分17.(本小题满分12分)(本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于1,所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=.………………………………………………1分 解得0.03a =.……………………………………………………………………………………………2分 (2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=.…………3分由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人. …………………………………………………………………5分 (3)解:成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人,分别记为A ,B .……………………6分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人,分别记为C ,D ,E ,F .…………………7分 若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有:(),A B ,(),A C ,(),A D ,(),A E ,(),A F ,(),B C ,(),B D ,(),B E ,(),B F ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共15种.…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内,另一个成绩在[]90,100分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ,则事件M 包含的基本事件有:(),A B ,(),C D ,(),C E ,(),C F ,(),D E ,(),D F ,(),E F 共7种.……………………11分所以所求概率为()715P M =.…………………………………………………………………………12分18.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明:因为平面⊥PAC 平面ABC ,平面PAC 平面ABC AC =, PD ⊂平面PAC ,AC PD ⊥,所以PD ⊥平面ABC .…………………………………………………………………………………2分 记AC 边上的中点为E ,在△ABC 中,因为AB BC =, 所以AC BE ⊥.因为AB BC ==4=AC ,所以BE ===………………………………………………………4分所以△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=.……………………………………………………5分 因为2=PD ,所以三棱锥ABC P -的体积13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯1233=⨯=.……………………7分 (2)证法1:因为PD ⊥AC ,所以△PCD 为直角三角形.因为2PD =,3CD=,所以PC =………………9分连接BD ,在Rt △BDE 中,因为90BED ∠=o,BE =,1DE=,所以BD ===…………10分 由(1)知PD ⊥平面ABC ,又BD ⊂平面ABC , 所以PD ⊥BD .在Rt △PBD 中,因为90PDB ∠=o,2PD=,BD =,所以PB ===……………………………………………………12分在PBC ∆中,因为BCPB =PC =所以222BC PB PC +=.………………………………………………………………………………13分BPACDE所以PBC ∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分证法2:连接BD ,在Rt △BDE 中,因为90BED ∠=o,BE =,1DE =,所以BD ===…………8分在△BCD 中,3CD =,BC ,BD ,所以222BC BD CD +=,所以BC BD ⊥.………………10分由(1)知PD ⊥平面ABC , 因为BC ⊂平面ABC , 所以BC PD ⊥. 因为BD PD D =,所以BC ⊥平面PBD .…………………………………………………………………………………12分 因为PB ⊂平面PBD ,所以BC PB ⊥.所以PBC ∆为直角三角形.……………………………………………………………………………14分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:因为数列{}n a 是等差数列,所以()11n a a n d =+-,()112n n n S na d -=+.……………………………………………………1分 依题意,有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩………………………………………3分 解得16a =,4d =.……………………………………………………………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+(*n ∈N ).…………………………………………………6分(2)证明:由(1)可得224n S n n =+.……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭.…………………………………………………8分 所以123111111n n n T S S S S S -=+++++L 1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭BPACDE31118412n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭.………………………………………………………………………10分因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭,所以38n T <.………………………………………………11分 因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭,所以数列{}n T 是递增数列.………………………………12分所以116n T T ≥=.………………………………………………………………………………………13分 所以1368n T ≤<.…………………………………………………………………………………………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法,以及运算求解能力)(1)解:因为32()f x x ax b =-++,所以22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=--⎪⎝⎭.……………………1分 当0a =时,()0f x '≤,函数()f x 没有单调递增区间；……………………………………………2分 当0a >时,令()0f x '>,得203a x <<. 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………………………………………………………3分 当0a <时,令()0f x '>,得203ax <<. 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………………………………4分 综上所述,当0a =时,函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时,函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时,函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭.……………………………………5分(2)解:,由(1)知,[]3,4a ∈时,()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间为(),0-∞和2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. …………………………………6分所以函数()f x 在0x =处取得极小值()0f b =,……………………………………………………7分函数()f x 在23ax =处取得极大值324327a a f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.………………………………………………8分由于对任意[]3,4a ∈,函数()f x 在R 上都有三个零点,所以()00,20.3fa f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b a b <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得34027a b -<<.……………………………………………………………………………………11分 因为对任意[]3,4a ∈,3427a b >-恒成立,所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭.………………13分 所以实数b 的取值范围是()4,0-.……………………………………………………………………14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力)(1)解:依题意可得(1,0)A -,(1,0)B .…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >,所以1=即2b =.所以双曲线C 的方程为2214y x -=.……………………………………………………………………3分 (2)证法1:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),直线AP 的斜率为k (0k >),则直线AP 的方程为(1)y k x =+,………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理,得()22224240k x k x k +++-=,解得1x =-或2244k x k -=+.所以22244k x k-=+.…………………………………………………………6分 同理可得,21244k x k +=-.…………………………………………………………………………………7分 所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分证法2:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =), 则111AP y k x =+,221AT y k x =+.…………………………………………………………………………4分 因为AP AT k k =,所以121211y y x x =++,即()()2212221211y y x x =++.……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上,所以221114y x -=,222214y x +=. 即()221141y x =-,()222241y x =-.…………………………………………………………………6分 所以()()()()22122212414111x x x x --=++,即12121111x x x x --=++.……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=.……………………………………………………………………………………………8分 证法3:设点11(,)P x y ,直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++,………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分 整理,得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦, 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++.…………………………………………………………………6分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++,得11x x =,即211x x =. 所以121x x ⋅=.…………………………………………………………………………………………8分(3)解:设点11(,)P x y 、22(,)T x y (0i x >,0i y >,1,2i =),则()111,PA x y =---,()111,PB x y =--.因为15PA PB ⋅≤,所以()()21111115x x y ---+≤,即221116x y +≤.…………………………9分因为点P 在双曲线上,则221114y x -=,所以22114416x x +-≤,即214x ≤. 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点,所以112x <≤.…………………………………………10分 因为1221||||||2S AB y y ==,21111||||||22S OB y y ==, 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--.……………………………11分 由(2)知,121x x ⋅=,即211x x =. 设21t x =,则14t <≤, 221245S S t t -=--. 设()45t t f t =--,则()()()222241t t f t t t -+'=-+=, 当12t <<时,()0f t '>,当24t <≤时,()0f t '<,所以函数()f t 在()1,2上单调递增,在(]2,4上单调递减. 因为()21f =,()()140f f ==,所以当4t =,即12x =时,()()2212min 40S S f -==.……………………………………………12分 当2t =,即1x =,()()2212max 21S S f -==.………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1.……………………………………………………………………14分说明:由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=,得()2212max 1S S -=,给1分.。
2012 广一模数学 文 解析版
1 6
1 3
C．
1 2
D．
2 3
B 解析：当 ADB 90 时， BD AB cos ABC 2cos 60 1；所以
P(ADB 90 ) BD 1 （画图分析） BC 3
2 2 正(主)视图 B． 4 3 2 D．12 2 2 2 侧(左)视图 2
5．如图 1 是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积 为 ．．． ( A． )
1 a 又过点 P(a, b) ， 故用点斜式可得 l1 方程为 ax by a 2 b 2 ， ， kOP b
与 l2 : ax by r 平行；因圆心到 l2 的距离 d
2
r2 a b
2 2
r2 r
2
r (a 2 b 2 r 2 ) ，故 l2 与圆相离。
． 4 2 ，求 cos 2 的值． 3 4
（1）求 f
的值； 9
（2）若 f
（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查 化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
tan 3 4 3 1 2 3 ． （1）解： f tan 1 3 3 4 1 tan tan 9 3 4 tan
A．1 B．2 C．3 D．4
)
1 B 作图可知该区域为三角形，则面积为 t[(t 2) (2 t )] 4, t 0 ，解得 t 2 ； 2
7．已知幂函数 y m 5m 7 x
2
m2 6
在区间 0, 上单调递增，则实数 m 的值为( C．2 或 3 D． 2 或 3
广州市2012届高三年级调研测试答案(文科数学)
广州市2012届高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．0.32 12．9 13． 14．1 15三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5ADC ∠=，所以4sin 5ADC ∠==．…………………………………………………………2分 因为5sin 13BAD ∠=，所以12cos 13BAD ∠==．…………………………………………………………4分 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分 412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区数量为24个．…………………………………………………………………………………2分 设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=． 所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分 （2）从表中可以看出，“居民素质”得1分的社区共有()4a +个，……………………………6分 因为“居民素质”得1分的概率为110， 所以415010a +=．………………………………………………………………………………………8分 解得1a =．……………………………………………………………………………………………10分 因为社区总数为个，所以4750a b ++=．解得．……………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）解：（1）因为2221=-+n n a a ，所以数列{}2n a 是首项为1，公差为2的等差数列．…………………………………………………2分 所以122)1(12-=⨯-+=n n a n ．…………………………………………………………………4分因为0>n a，所以n a =()*n ∈N ．………………………………………………………6分（2）由（1）知，n a =22122n n na n -=．……………………………………………7分 所以231135232122222n n nn n S ---=+++++， ①…………………………………………8分 则234111352321222222n n n n n S +--=+++++， ②…………………………………………9分 ①－②得，2341112222212222222n n n n S +-=+++++-…………………………………………11分234111111212222222n n n +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--…………………………………………………12分132322n n ++=-．……………………………………………………………………13分 所以2332n nn S +=-．………………………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（1）证明：因为ABCD 是正方形，所以BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………1分 在折叠后的△ABD 和△BCD 中，仍有BD AO ⊥，BD CO ⊥．…………………………2分 因为AO CO O =，所以BD ⊥平面AOC ．………3分 因为BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD ．…………………………4分 （2）解：设三棱锥A BCD -的高为h ， 由于三棱锥A BCD -的体积为3所以133BCD S h ∆=．………………………………………………………………………………5分 因为1122222BCD S BC CD ∆=⨯=⨯⨯=，所以2h =．………………………………………6分 以下分两种情形求AC 的长：①当AOC ∠为钝角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ． 所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即2AH =．………………………………………………7分 在Rt △AOH中，因为AO =所以OH =2==8分 在Rt △ACH中，因为CO =则22CH CO OH =+=+=．……………9分所以AC ===10分②当AOC ∠为锐角时，如图，过点A 作CO 的垂线交CO 于点H ， 由（1）知BD ⊥平面AOC ，所以BD AH ⊥．又CO AH ⊥，且CO BD O =，所以AH ⊥平面BCD ．所以AH 为三棱锥A BCD -的高，即AH =11分在Rt △AOH中，因为AO =，所以OH =2==12分 在Rt △ACH中，因为CO =则CH CO OH =-==．……………………………………………………………13分所以AC ===综上可知，AC．…………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）由题设知，2A⎛⎫⎪⎭，)1F ，…………………………………………1分由112OF AF +=0，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-22222222a a a a ．……………………………………3分 解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ．…………………………………………………………4分 （2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()-⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分 ()()NF NP NF NP =--⋅-……………………………………………………………7分2221NP NF NP =-=-．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．………………………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x ．……………………………12分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2取得最大值12．……………………………13分所以PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分 方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ， 因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()PE PF x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分 10101010()()()(4)x x x x y y y y =---+---222201011044x x y y y y =-+-+-22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分所以PE PF ⋅200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[y ∈，所以当01y =-时，()min11PE PF⋅=．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=k x ．………………………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以002PE x y ⎛⎫=-+-⎪⎭，00,2PF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ ……………………………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(11202020222022++-=--+=+--++-=⋅y y x k k y k x ． ……………………………………………………10分因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =，由220(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =． 不妨设，()0,3E ，()0,1F ．………………………………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =--，()00,1PF x y =--． 所以2220000432(1)11PE PF x y y y ⋅=+-+=-++．因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）当3a =时，()3213232f x x x x =-+-，得()2'32f x x x =-+-．…………………1分 因为()()()2'3212f x x x x x =-+-=---， 所以当12x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x <或2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间为()1,2，单调递减区间为(),1-∞和()2,+∞．………………3分 （2）方法1：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立， 即对于任意[)1,x ∈+∞都有222(1)x ax a -+-<-成立，即对于任意[)1,x ∈+∞都有220x ax a -+>成立，………………………………………………4分令()22h x x ax a =-+，要使对任意[)1,x ∈+∞都有()0h x >成立，必须满足0∆<或()0,1,210.ah ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎩…………………………………………………………………………5分即280a a -<或280,1,210.a a a a ⎧-≥⎪⎪≤⎨⎪+>⎪⎩………………………………………………………………………6分所以实数a 的取值范围为()1,8-．…………………………………………………………………7分 方法2：由()321232a f x x x x =-+-，得()2'2f x x ax =-+-， 因为对于任意[)1,x ∈+∞都有'()2(1)f x a <-成立，所以问题转化为，对于任意[)1,x ∈+∞都有[]max '()2(1)f x a <-．……………………………4分因为()22224a a f x x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭，其图象开口向下，对称轴为2a x =．①当12a<时，即2a <时，()'f x 在[)1,+∞上单调递减， 所以()()max ''13f x f a ==-，由()321a a -<-，得1a >-，此时12a -<<．………………………………………………5分②当12a ≥时，即2a ≥时，()'f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()2max''224a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由()22214a a -<-，得08a <<，此时28a ≤<．……………………………………………6分 综上①②可得，实数a 的取值范围为()1,8-．……………………………………………………7分 （3）设点321,232a P t t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象上的切点， 则过点P 的切线的斜率为()2'2k f t t at ==-+-，………………………………………………8分 所以过点P 的切线方程为()()32212232a y t t t t at x t +-+=-+--．…………………………9分 因为点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭在切线上， 所以()()32211220332a t t t t at t -+-+=-+--，即322110323t at -+=．……………………………………………………………………………10分 若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，则方程322110323t at -+=有三个不同的实数解．………………………………………………11分 令()32211323g t t at =-+，则函数()y g t =与t 轴有三个不同的交点．令()220g t t at '=-=，解得0t =或2at =．……………………………………………………12分因为()103g =，3112243a g a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以必须31102243a g a ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭，即2a >．……………………………………………………13分 所以实数a 的取值范围为()2,+∞．………………………………………………………………14分。
广东省广州市2012届高三第一次模拟考试数学(文)试题
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．23．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 4．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 AB． C ．8 D ．126．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =，()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．89．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值． 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于10的概率．18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明△PBC 为直角三角形．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．11．0 12．[]0,1 13．35，10 14． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）()tan α=+π…………………………6分tan 2α==．…………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得21cos 5α=．………………………9分 所以2cos 22cos 1αα=-………………………………11分132155=⨯-=-．…………………………12分解法2：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………5分()tan α=+π……………………6分tan 2α==．………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-………………9分2222cos sin cos sin αααα-=+…………………10分 221tan 1tan αα-=+………………………11分 143145-==-+．…………………12分成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ．…………………7分若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种．…………………………………………9分如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．…11分所以所求概率为()715P M =．……………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………2分 记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为AB BC =， 所以AC BE ⊥．因为AB BC ==，4=AC ，所以BE ===4分所以△ABC 的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=5分 因为2=PD ，在Rt △PBD 中，因为90PDB ∠=o ，2PD =，BD =，所以PB ===12分在PBC∆中，因为BC=PB =PC =，所以222BC PB PC +=．……………………13分所以PBC∆为直角三角形．……………………………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列{}n a 是等差数列，所以()11n a a n d =+-，()112n n n S na d -=+．………………1分 依题意，有52722270,.S a a a =⎧⎪⎨=⎪⎩即()()()1211151070,621.a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩……………3分 解得16a =，4d =．……………………5分所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =+（*n ∈N ）．…………………………6分 （2）证明：由（1）可得224n S n n =+．……………………………………………………………………7分所以()21112422n S n n n n ==++11142n n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭．……8分所以123111111n n nT S S S S S -=+++++L1111111111111114342443541142n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………9分 111114212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭当0a =时，()0f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间；……………………2分 当0a >时，令()0f x '>，得203a x <<． 故()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭；…………………3分 当0a <时，令()0f x '>，得203ax <<． 故()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………4分综上所述，当0a =时，函数()f x 没有单调递增区间；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为2,03a ⎛⎫⎪⎝⎭．……………5分因为对任意[]3,4a ∈，3427a b >-恒成立，所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭．………………13分所以实数b 的取值范围是()4,0-．……………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b=．所以双曲线C的方程为2214yx-=．………………………3分证法2：设点11(,)P x y、22(,)T x y（0ix>，0iy>，1,2i=），则111APykx=+，221ATykx=+．……………………4分因为AP ATk k=，所以121211y yx x=++，即()()2212221211y yx x=++．…………5分因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以221114yx-=，222214yx+=．即()221141y x=-，()222241y x=-．……………6分所以()()()()22122212414111x xx x--=++，即12121111x xx x--=++．…………7分所以121x x⋅=．………………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--． 因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--．设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，。
高考一模文数试卷及答案
2012年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试一本试卷共21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡的．1A2A3A4ABC．1 2D．2 35．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为AB．C ．8 D ．126A ．B ．C ．D ．7A ．8．⨯bA ．9A C 101l ，直线2l A ．l C ．l（一）必做题（11～13题）11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数正(主)视侧(左)视记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．14．OP 15．若l16．（1）求 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．18．AC于点D （1（219．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T <≤．20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（1（221．（1（2（3）设2012年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试一参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．11三、16．（（1）（2）tan 2α==．………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sincos 1αα+=， ②由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分 所以2cos 22cos1αα=-………………………………………………………………………………11分132155=⨯-=-．………………………………………………………………………12分解法2：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………………………………5分 ()tan α=+π………………………………………………………………6分 tan 2α==．………………………………………………………………7分所以22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………………………………9分17．（能力）（1）（2）分（3）(A )，(C 如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种．……………………11分所以所求概率为()715P M=．…………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）（1）证明：因为平面⊥PAC平面ABC，平面PAC平面ABC AC=，PD⊂平面PAC，ACPD⊥，所以PD⊥平面ABC．…………………………………………………………………………………2分记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB BC=，所以ACBE⊥．（2）在在证法2：连接BD，在Rt△BDE中，因为90BED∠=o，BE=，1DE=，所以BD===8分在△BCD中，3CD=，BC=BD=所以222BC BD CD+=，所以BC BD⊥．………………10分由（1）知PD⊥平面ABC，因为BC ⊂平面ABC ， 所以BC PD ⊥． 因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．………………………12分 因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．…………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）（2）11⎛++ 因为311108412n T n n ⎛⎫-=-+< ⎪++⎝⎭，所以38n T <．………………………………………………11分 因为11110413n n T T n n +⎛⎫-=-> ⎪++⎝⎭，所以数列{}n T 是递增数列．………………………………12分所以116n T T ≥=．………………………………………………………………………………………13分 所以1368n T ≤<．…………………………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：因为32()f x x ax b =-++，所以22()3233a f x x ax x x ⎛⎫'=-+=--⎪⎝⎭．……………………1分 当0a =时，()0f x '≤，函数()f x 没有单调递增区间；……………………………………………2分 当故当故（2）⎫⎪⎭．所以00,20.3fa f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩即30,40.27b a b <⎧⎪⎨+>⎪⎩……………………………………………………………………10分 解得34027a b -<<．……………………………………………………………………………………11分 因为对任意[]3,4a ∈，3427a b >-恒成立，所以33max44342727a b ⎛⎫⨯>-=-=- ⎪⎝⎭．………………13分所以实数b 的取值范围是()4,0-．……………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为221y x -=0b >， （2）则111AP x +221AT x +因为AP AT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分()11,y y x ⎧=+⎪将（3）则，(1PB =-因为15PA PB ⋅≤，所以()(11x --因为点P 在双曲线上，则1221x 设21t x =，则14t <≤， 221245S S t t -=--． 设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min 40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =()()2212max 21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max 1S S -=，给1分．。
2012年广东省高考数学全省二模客观题汇总(文科数学)
肇庆市2012届高中毕业班第二次模拟试题数 学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数11z i =+，21z i =-，则12z z = A ．i - B ．1- C ．i D ．12．已知全集U ，集合,M N 关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则=)(N M C U A. {1,8,9} B.{1,2,8,9} C. {3,4,5} D. {1,2,6,7,8,9}3．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是A. (,1)-∞B. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. (1,)+∞ 4．已知向量)2,cos 2(-=x a ，)21,(cos x =，b a x f ∙=)(，x R ∈，则()f x 是 A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数 5．曲线21()2f x x =在点11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为 A. 2210x y ++= B. 2210x y +-= C. 2210x y --= D. 2230x y --= 6．对于函数(),y f x x R =∈,“(||)y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是偶函数”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．给出以下三幅统计图及四个命题：①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口大约将达到15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.其中命题正确的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．在同一坐标系下，直线ax by ab +=和圆222()()(0,0)x a y b r ab r -+-=≠>的图象可能是9．直线2y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是A . 3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 72,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是 A ．130 B ．325 C ．676 D ．1300二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在[1500,4500)元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图2所示，则该单位职工的月收入在[3000,3500)元之间的频率等于 ▲ ，月收入的平均数．．．大约是 ▲ 元. 12．在数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，要计算此数列前30项的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图3所示），请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能.（1） ▲ （2） ▲ 13．已知某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的表面积和体积分别为 ▲ 与 ▲ .14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线sin a ρθ= 与θρcos a =（a >0，0,0ρθπ>≤<）的交点的极坐标为 ▲ ．15．（几何证明选讲选做题）如图5，两圆相交于A 、B 两点，P 为两圆公共弦AB 上任一点，从P 引两圆的切线PC 、PD ，若PC =2cm ，则PD = ▲ cm. CDBAC BBDDC 11.填： 0.25（3分），3150（2分） 12填：（1）处应填30i >（3分）；（2）处应填p p i =+（2分） 13填：404π+,4163π+14填：4π⎫⎪⎪⎝⎭15填：22012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}0,2{=A ，}2,1{=B ，则集合()A BA B =A ．∅B ．}2{C ．}1,0{D ．}2,1,0{ 2. i 为虚数单位，则复数i (1i)⋅-的虚部为A ．iB ．i -C ．1D ．1- 3. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据 此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为 A ．240 B ．160 C ．80 D ．60 4. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是A ．1xy =B ．y ⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x xd ,0,1)( C ．321x y -= D．2y =5. tan 2012︒∈A.B.C. (1,-D. ( 6． 若对任意正数x ，均有21a x <+，则实数a 的取值范围是A. []1,1-B. (1,1)-C. ⎡⎣D. (7．曲线1()2xy =在0x =点处的切线方程是A. l n 2l n 20x y +-=B. l n 210x y +-= C. 10x y -+= D. 10x y +-= 8．已知命题p ：“对任意,a b *∈N ， 都有lg()lg lg a b a b +≠+”；命题q ：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则A. 命题“p q ∧”为真命题B. 命题“p q ∨”为假命题C. 命题“()p q ⌝∧”为真命题D. 命题“()p q ∨⌝”为真命题 9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形 （实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm 的圆（包括圆心），则该零件的体积是 A ．4π33cm B ．8π3 3cm C ．4π 3cm D ．20π3 3cmkg ）第3题图第9题图10. 线段AB 是圆221:260C x y x y ++-=2C 以,A B为焦点．若P 是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PA PB +=A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题：第11、12、13题为必做题．11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少 要经过______道加工和检验程序，导致废 品的产生有_____种不同的情形． 12. 已知递增的等比数列{}n a 中,28373,2,a a a a +=⋅=则1310a a = . 13. 无限循环小数可以化为有理数，如11350.1,0.13,0.015,999333===， 请你归纳出0.017= （表示成最简分数,,N )mn m n*∈． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线:cos l t ρθ=（常数0)t >）与曲线:2sin C ρθ=相切，则t = ．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是半圆的直径，弦AC 和弦BD 相交于点P ，且3AB DC =，则 sin APD ∠= ．11．4, 3（第一空3分，第二空2分） 12 13. 17990 14．1 15． 3第11题图 PDC 第15题图2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A 满足{}1,2A ⊂，则集合A 的个数为 （ ） .4A .3B .2C .1D2.已知i 为虚数单位，复数1z a i =+，22z i =-，且12z z =，则实数a 的值为（ ） .2A .2B - .2C 或2- .2D ±或03.已知双曲线221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为 （ ） .4A 1.4B 1.4C - .4D -4.某中学高三年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1，其中甲班的学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为 （ ） .7A .8B .9C .10D5.已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，(),1OC m m =+，若//AB OC ，则实数m 的值为 （ ） 3.2A -1.4B - 1.2C 3.2D 6.已知函数()1xxf x e e -=-+（e 为自然对数的底数），若()2f a =，则()f a -的值为 .3A .2B .1C .0D 7.已知两条不同的直线m 、l ，两个不同的平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 （ ） .A m l ⊥，//l α，//l β .B m l ⊥，l αβ=，m α⊂ .//C m l ，l α⊥，m α⊂ .//D m l ，m α⊥，l β⊥ 8. 下列说法正确的是 （ ） .A 函数()1f x x=在其定义域上是减函数 .B 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件.C 命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++<”.D 给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题9.阅读图2的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为 （ ） .9A .10B .11C .12D图1乙甲6 2 9 1 1 65 x 0 8 1 1 y8 9 7 610. 已知实数a 、b 满足22430a b a +-+=，函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ，则(),a b ϕ的最小值为 （ ） .1A .2B1C .3D二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11.不等式2230x x +-<的解集是 . 12.如图3，A 、B 两点之间有4条网线连接，每条网线连接的最大信息量分别为1、2、3、4，从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是 .13.已知点P 是直角坐标平面xOy上的一个动点，OP =（点O 是坐标原点），点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形ABC （顶点A 、B 、C 按顺时针方向排列）的顶点A 、B 的极坐标分别为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭、72,6π⎛⎫⎪⎝⎭，则顶点C 的极坐标为 .15.（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD 、BD ，则ADBD的值为 .图34321BA2012年佛山市普通高中高三教学质量检测数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}1,2A =,{}2,3B =,则()U A B =ð（ ）A ．{}4,5B ．{}2,3C ．{}1D ．{}1 2．设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()0⋅-=a a b ,则a 与b 的夹角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 3．若0,0x y ≥≥,且21x y +=,则223x y +的最小值是（ ）A ．2B ．34 C ．23D ．0 4．已知,a b 为实数,则“||||1a b +<”是“1||2a <且1||2b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数xy =,()(),00,x ππ∈-的图像可能是下列图像中的（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知直线m 、l 与平面α、β、γ满足l βγ=,//l α,m α⊂,m γ⊥,则下列命题一定正确的是（ ）A ．αγ⊥且 l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 7．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0ωϕπ>≤≤)的部 分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（ ） A ．2 B C ． D ．2- 8．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x Mf x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++的值域为（ ）FAEDBCA ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．{}1 C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9. 设i 为虚数单位,则()51i +的虚部为 ．10. 设,x y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值是 ．11. 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =,令事件{}2,3,5A =,事件{}1,2,4,5,6B =,则()|P A B 的值为 ．12. 直线2y x =和圆221x y +=交于,A B 两点,以Ox 为始边,OA ,OB 为终边的角分别为,αβ,则()sin αβ+的值为 ． 13. 已知等比数列{}n a 的首项为2,公比为2,则1123n na a a a a a a a a a +=⋅⋅⋅⋅ ．（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,射线()03πθρ=≥与曲线1C :4sin ρθ=的异于极点的交点为A ,与曲线2C :8sin ρθ=的异于极点的交点为B ,则||AB =________.15.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF CF ==:::4:2:1AF FB BE ,若CE与圆相切,则线段CE 的长为 ．11.e 12.),1(+∞- 13.1 14.32 15.27广东省惠州市2012届高三模拟考试数学 (文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U A =ð（ ） A ．{}1,3B ．{}3,7,9C ．{}3,5,9D ．{}3,92．设,a b 为实数，若复数()()112i a bi i +⋅+=+，则（ ）A ．31,22a b == B ．3,1a b == C ．13,22a b == D ．1,3a b == 3．“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分也不必要 4．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 5．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．－1或12- 6．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的 图象解析式为 （ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π- 7．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．38．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2011)(2012)f f -+的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．29．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元 10．定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令ab mq np =-，下面说法错误的序号是（ ）．①若a 与b 共线，则0a b = ②a b ba = ③对任意的R λ∈，有()()ab ab λλ=④2222()()||||ab a b a b +⋅= A ．② B ．①② C ．②④ D ．③④二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） 11．右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____.12．已知平面向量(1,2)a =， (2,)b m =-， 且a //b ，则23a b +＝ . 13．若圆心在x 轴上、半径为的圆O 位于y 轴左侧，且与直线 0x y +=相切，则圆O 的方程是 .14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．15.（几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB ．11.27； 12. (4,8)--； 13. 22(2)2x y ++= ； 14.2cos =θρ； 15.4题图第6广东省茂名市2012届高三4月第二次高考模拟考试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
广东省广州市2012届高三数学一模考试(文)
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学试题(文科)本试卷共21小题，满分为150分.考试用时120分钟. 2012年3月15日注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效.4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答、漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式1V=Sh3，其中S为锥体的底面面积，h为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给了的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、函数1y=x+1的定义域为为A.(－∞，－1]B. (－∞，－1)]C.[－1，+∞)D.(－1，+∞)2、已知复数a+bi =i(1－i)，(其中a，b∈R，i是虚数单位)，则a+b的值为A.－2B.－1C.0D. 23、如果函数πf(x)=sin(ωx+)6(ω>0)的最小正周期为2，则ω的值为A.1B.2C.4D.84、在△ABC中，∠ABC=600，AB=2，BC=3，在BC上任取一点D，使△ABD 为钝角三角形的概率为A.16B.13C.12D.235、如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为A.433B.43C.8D.126、在平面直角坐标系中，若不等式组x y 20x y 20x t +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域的面积为4， 则实数t 的值为A.1B.2C.3D.4 7、已知幂函数22m 6y =(m 5m+7)x--在区间(0，+∞)上单调递增，则实数的值为A.3B.2C.2或3D.－2或－38、已知两个非零向量a 与b ，定义|a b ||a ||b |sin ⨯=θ ，其中θ为a 与b的夹角，若a (34)=- ，，b (02)= ，，则|a b |⨯的值为 A.－8 B.－6 C.6 D.89、已知函数f(x)=2x+1，对于任意正数a ，|x 1－x 2|<a 是|f(x 1)－f(x 2)|<a 成立的，A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既充分也不必要条件 10、已知圆O ：x 2+y 2=r 2，点P(a ，b)(ab ≠0)是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为l 1，直线l 2的方程为ax+by+r 2=0，那么A. l 1∥l 2，且直线l 2与圆O 相离B. l 1⊥l 2，且直线l 2与圆O 相切C. l 1∥l 2，且直线l 2与圆O 相交D. l 1⊥l 2，且直线l 2与圆O 相离 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. (一)必做题：(11～13题)11、若函数f(x)=ln(x 2+ax+1)是偶函数，则实数a 的值为 .12、已知集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|a ≤x ≤a+3}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为 . 13、两千年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石能排列成的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角星数，其中第1个五角星数记作a 1=1，第2个五角星数记作a 2=5，第3个五角星数记作a 3=12，第4个五角星数记作a 4=22，…，若按此规律继续下去，则a 5=______，若a n =145，则n= .22俯视图图12正(主)视图222侧(左)视图22(二)选做题：(14—15题，考生只能从中选做一题)14、(几何证明选讲选做题)如图3，圆O 的半径为5cm ， 点P 是弦AB 的中点，OP=3cm ，弦CD 过点P ，且 CP ：CD=1：3，则CD 的长为 cm.15、(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：x =1+sy =1s⎧⎨-⎩ (s 为参数)和C ：2x =t +2y =t ⎧⎨⎩(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|=_______. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16、(本小题满分12分) 已知函数πf(x)=tan(3x +)4.(1)求πf()9的值； (2)若απf(+)=234，求cos2α的值.17、(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，...， [90，100)后得到如图4的频率分布直方图. (1)求图中的实数a 的值；(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.频率/组距a 0.025B AC D O 图3……1 5 1222图218、(本小题满分14分)如图5所示，在三棱锥P-ABC 中，AB =BC =6，平面PAC ⊥平面ABC ，PD ⊥AC 于点D ，AD=1，CD=3，PD=2.(1)求三棱锥P-ABC 的体积； (2)证明：△PBC 为直角三角形.19、(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的公差为d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5=70，且a 2，a 7，a 22成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列n1{}S 的前n 项和为T n ，求证：n 13T 68≤<.20、(本小题满分14分)已知函数f(x)=－x 3+ax 2+b (a ，b ∈R). (1)求函数f(x)的单调递增区间；；(2)若对任意a ∈[3，4]，函数f(x)在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围.B AC P D图521、(本小题满分14分)已知椭圆22y x +=14的左右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心率为5的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T. (1)求曲线C 的方程；(2)设点P 、T 扥横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1·x 2 =1；(3)设△TAB 与△POB(其中O 为坐标原点)的面积分别为S 1，S 2，且PA PB 15⋅≤ ，求S 12－S 22的取值范围.2012年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准说明：1、参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2、对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCBCBACBA二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每 小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13 题仅填对一个，则给3分.11、0； 12、[0，1]； 13、35，10； 14、62； 15、2. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、(本小题满分12分) 已知函数πf(x)=tan(3x +)4.(1)求πf()9的值； (2)若απf(+)=234，求cos2α的值. (本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力) (1)解：πππf()=tan(+)934……1分ππtan+tan 34=ππ1tan tan34-⋅ ……3分 3+1=2313=---. ……4分(2)解法1：απ3ππf(+)=tan(++)3444α ……5分 =tan(α+π) ……6分 = tan α=2. ……7分 所以sin α2cos α=，即sin α=2cos α， ① 因为sin 2α+cos 2α=1， ②由①、②得21cos α5=. ……9分 所以cos2α=2cos 2α－1 ……11分132155=⨯-=-. ……12分解法2：因为απ3ππf(+)=tan(++)3444α ……5分 =tan(α+π) ……6分= tanα=2. ……7分 所以cos2α=cos 2α－sin 2α ……9分2222cos αsin αcos αsin α-=+ ……10分 221tan α1tan α-=+ ……11分 143145-==-+. ……12分 17、(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，...， [90，100)后得到如图4的频率分布直方图. (1)求图中的实数a 的值；(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； (3)若从数学成绩在[40，50)与[90，100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.(本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力(1)解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1， ……1分 所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01) =1，解得a=0.03. ……2分 (2)解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的平频率为1－10×(0.005+0.01)=0.85. ……3分80 10070 90 60 50 40 频率/组距分数 a 0.0050.010 0.020 0.025 图 4O由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校 高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人. ……5分 (3)解：成绩在[40，50) 分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A 、B.……6分成绩在[90，100)分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C 、D 、E 、F.……7分若从数学成绩在[40，50)与[90，100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)， (B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)， (D ，F)，(E ，F)共15种. ……9分 如果两名学生的数学成绩都在[40，50)分数段内或都在[90，100)分数段内， 那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(A ，B)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F) 共7种. ……11分 所以所求的概率为7P(M)=15. ……12分 18、(本小题满分14分)如图5所示，在三棱锥P-ABC 中，AB =BC =6，平面PAC ⊥平面ABC ， PD ⊥AC 于点D ，AD=1，CD=3，PD=2. (1)求三棱锥P-ABC 的体积； (2)证明：△PBC 为直角三角形.(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)解：因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC∩平面ABC=AC ，PD ⊂平面 PAC ，PD ⊥AC ，所以PD ⊥平面ABC. ……2分 记AC 的中点为E ，在△ABC 中，因为AB=BC ，所以BE ⊥AC ， 因为AB =BC =6，AC=4，所以2222BE =BC CE (6)22-=-=， ……4分所以△ABC 的面积为ABC 1S =AC BE 222⨯⨯= ， ……5分 因为PD=2，BACPD图5所以三棱锥P-ABC 的体积为P ABC 142V =22233-⨯⨯=. ……7分 (2)证法1：因为PD ⊥AC ，所以△PCD 为直角三角形，因为PD=2，CD=3， 所以2222PC =PD CD 2313+=+=. ……9分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为∠BED=900， BE =2，DE=1，所以2222BD =BE DE (2)13+=+=.……10分 由(1)知PD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ， 在Rt △PBD 中，因为∠PBD=900，PD=2，BD =3，所以2222PB =PD BD 2(3)7+=+=. ……12分在△PBC 中，因为BC =6，PB =7，PC =13，所以BC 2+PB 2=PC 2，所以△PBC 为直角三角形. ……14分 证法2：连接BD ，在Rt △BDE 中，因为∠BED=900，BE =2，DE=1，所以2222BD =BE DE (2)13+=+=.……8分 在△BCD 中，CD=3，BC =6， BD =3，所以BC 2+BD 2=CD 2，所以BC ⊥BD. ……10分由(1)知PD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥PD ， 因为BC∩PD=D ，所以BC ⊥平面PBD ， ……12分 因为BC ⊂平面PBD ，所以BC ⊥PB ，所以△PBC 为直角三角形. ……14分 19、(本小题满分14分)已知等差数列{a n }的公差为d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5=70，且a 2，a 7，a 22成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列n1{}S 的前n 项和为T n ，求证：n 13T 68≤<.(本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化BACPDEBACPDE的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解：因为{a n }是等差数列，所以a n = a 1+(n －1)d ，n 1n(n 1)S na 2-=+， ……1分依题意，有527222S 70a a a =⎧⎪⎨=⋅⎪⎩，即121115a 10d 70(a 6d)(a d)(a 21d)+=⎧⎨+=++⎩， ……3分 解得a 1=6，d=4. ……5分所以数列{a n }的通项公式为a n =4n+2(n ∈N*). ……6分 (2)证明：由(1)可得S n =2n 2+4n(n ∈N*). ……7分 所以2n 111111==()S 2n +4n 2n(n +2)4n n +2=-， ……8分 所以n 123n-1n11111T ...S S S S S =+++++ 1111111111[(1)()()...()()]432435n 1n 1n n 2=-+-+-++-+--++ 11113111[1]()42n 1n 284n 1n 2=+--=-+++++. ……10分 因为n 3111T ()084n 1n 2-=-+<++，所以n 3T 8<. ……11分因为n+1n 111T T ()04n 1n 3-=+>++，所以数列{T n }是递增数列，……12分所以n 11T T 6≥=， ……13分所以n 13T 68≤<. ……14分20、(本小题满分14分)已知函数f(x)=－x 3+ax+b(a ，b ∈R). (2)求函数f(x)的单调递增区间；；(2)若对任意a ∈[3，4]，函数f(x)在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围.(本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） (1)解：因为f(x)=－x 3+ax 2+b ，所以22a f (x)=3x +2ax =3x(x )3'---，……1分①当a=0时，f′(x)≤0，函数f(x)没有单调增区间； ……2分 ②当a>0时，f′(x)>0，得2a 0x 3<<，故函数f(x)的单调增区间为2a (0)3，；……3分③当a<0时，令f′(x)>0，得2a x 03<<，故函数f(x)的单调增区间为2a (0)3，； ……4分综上可知，当a=0时，函数f(x)没有单调增区间； 当a>0时，函数f(x)的单调增区间为2a (0)3，；当a<0时函数f(x)的单调增区间为2a (0)3， .……5分(2)解：由(1)知，a ∈[3，4]时，函数f(x)的单调增区间为2a (0)3，，单调减区间为2a ()3+∞，， .……6分所以函数f(x)在x=0出取得极小值f(0)=b ， .……7分函数f(x)在2a x 3=出取得极大值32a 4a f()=+b 327. .……8分 由于对任意a ∈[3，4]，函数f(x)在R 上都有三个零点，所以f(0)<02af()>03⎧⎪⎨⎪⎩， 即3b <04a +b >027⎧⎪⎨⎪⎩， ……10分 解得34a <b <027-. ……11分因为对任意a ∈[3，4]，34a b >27-恒成立，所以33max 4a 43b >[]42727⨯-=-=-.……13分所以实数b 的取值范围是(－4，0). 21、(本小题满分14分)已知椭圆22y x +=14的左右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心率为5的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T. (1)求曲线C 的方程；(2)设点P 、T 扥横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1·x 2 =1；(3)设△TAB 与△POB(其中O 为坐标原点)的面积分别为S 1，S 2，且PA PB 15⋅≤ ，求S 12－S 22的取值范围.(本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）(1)解：依题意可得，A(－1，0)、B(1，0)， ……1分 设双曲线C 的方程为222y x =1(b >0)b -，因为双曲线的离心率为5，所以21b 51+=，即b=2.所以双曲线C 的方程为22y x =14-. ……3分 (2)证法1：设点P(x 1，y 1)，T(x 2，y 2)，(x i >0，y i >0，i=1，2)，直线AP 的斜率为k(k>0)，则直线AP 的方程为y=k(x+1). ……4分联立方程组22y =k(x +1)y x +=14⎧⎪⎨⎪⎩， ……5分 整理，得(4+k 2)x 2+2k 2x+k 2－4=0，解得x=－1或，224k x =4+k-.所以2224k x =4+k -， ……6分同理可得，2124k x =4k+-， ……7分所以x 1·x 2 =1. ……8分 证法2：设点P(x 1，y 1)，T(x 2，y 2)，(x i >0，y i >0，i=1，2)，则1AP1y k =x +1，2AT2y k =x +1， ……4分 因为k AP = k AT ，所以1212y y =x +1x +1，即12222212y y =(x +1)(x +1)， ……5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以2211y x =14-，2222y x +=14，即y 12=4(x 12－1)，y 22=4(x 22－1)， ……6分所以122222124(x 1)4(1x )=(x +1)(x +1)--，即1212x 11x =x +1x +1--， ……7分 所以x 1·x 2 =1. ……8分 证法3：设点P(x 1，y 1)，则直线AP 的方程为11y y (x +1)x +1=. ……4分联立方程组1122y y (x +1)x +1y x +=14⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩， ……5分 整理，得[(x 1+1)2+y 12] x 2+2y 12x+ y 12－4(x 1+1)2=0，解得x=－1或221122114(x 1)y x =4(x 1)y +-++. ……6分将y 12=4(x 12－1)代入221122114(x 1)y x =4(x 1)y +-++，得11x =x ，即211x =x ，所以x 1·x 2 =1. ……8分(3)解：设点P(x 1，y 1)，T(x 2，y 2)，(x i >0，y i >0，i=1，2)， 则11PA (1x y )=--- ，，11PB (1x y )=-- ，， 因为PA PB 15⋅≤，所以(―1―x 1)( 1―x 1)+y 12≤15，x 12+y 12≤16，……9分 因为点P 是双曲线在第一象限内的点，所以1<x 1≤2. ……10分所以1221S =|AB ||y |=|y |2，21111S =|OB ||y |=|y |22，所以12212112222222221S S =y y (44x )(x 1)5x 4x 4--=---=--， ……11分由(2)知，x 1·x 2 =1，即211x =x ，设t= x 12，则1<t<4，12224S S =5t t---， 设4f (t)=5t t --，则224(2t)(2t)f (t)=1t t -+'-+=， 当1<t<2时，f ′(t)>0；当2<t<4时，f ′(t)<0，所以函数f (t)在(1，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减. 因为f(2)=1， f(1)= f(4)=0，所以当t=4时，即x 1=2时，1222max [S S ]=f(4)0-=. ……12分当t=2时，即1x 2=时，1222max [S S ]=f(2)1-=. ……13分 所以S 12－S 22的取值范围为[0，1]. ……14分 说明：1212222212S S =5(x 4x )54x x 1--+≤-=，得[S 12－S 22]max =1，给1分.。
2012年广东省广州市二模试题(文数,精校版)
图1895x 061162y 116987乙甲 试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）2012．4．24本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A 满足{}1,2A ⊆，则集合A 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 2．已知i 为虚数单位，复数1z a =+i ,22z =-i ,且12z z =，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．±2或03．已知双曲线221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ．4 B ．14 C ．14- D ．4- 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．105．已知向量()()3,4,6,3,O A O B =-=-，(),1OC m m =+，若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．32-B ．14-C ．12D ．326．已知函数()f x =e x -e 1x -+ (e 是自然对数的底数)，若()2f a =，则()f a -的值为 A ．1--e B ．-e C ．e D ． 1+e7. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，//l α，//l β B ．m l ⊥，l αβ=，m α⊂C ．//m l ，l β⊥，m α⊂D ．//m l ，m α⊥，l β⊥ 8．下列说法正确的是A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<”D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题9．阅读图2的程序框图, 该程序运行后输出的k 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10.已知实数,a b 满足22430a b a +-+=，函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ，则(),a b ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11～13题）11．不等式2230x x +-<的解集是 .12．如图3，,A B 两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是 .13．已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点，OP =（点O 为坐标原点），点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则顶点C 的极坐标为 .15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，BD ，则ADBD的值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数()()()cos sin cos sin f x x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若0,022ππαβ<<<<，且12,2323f f αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值. 17．（本小题满分12分）某工厂欲将这三种食物混合成100kg 的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为x kg 、y kg 、z kg. (1) 试以x 、y 表示混合食物的成本P ；（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问x 、y 、z 取什么值时，混合食物的成本最少？ 18. （本小题满分14分）某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A B C D -(如图5). 该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图6, 其中正（主）视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成.（1）求线段AM 的长；（2）证明：平面ABNM ⊥平面CDMN ；（3）求该建筑物的体积.19．（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ，直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点. （1）求直线l 的方程；（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的长轴长取得最小值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，都有0n a >且()()122n n n a a S -+=，令1ln ln n n na b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）使乘积12k b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为整数的(k k ∈N *)叫“龙数”，求区间[]1,2012内的所有“龙数”之和；（3）判断n b 与1n b +的大小关系，并说明理由.21．（本小题满分14分） 已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间;（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．()3,1- 12. 13 13.⎤⎥⎣⎦14.23π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 15.说明：第14题答案可以是22(3k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ) 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1）解：∵()()()cos sin cos sin f x x x x x =+-22cos sin x x =-cos2x =, …………… 4分∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. …………… 6分 （2）解：由（1）得()cos2f x x =. ∵12,2323f f αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴12cos ,cos 33αβ==. ∵0,022ππαβ<<<<，∴sin 3α==，sin β==. ……………10分∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- ……………11分21333=-=……………12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：依题意得100,543.x y z P x y z ++=⎧⎨=++⎩…………… 2分由100x y z ++=，得100z x y =--，代入543P x y z =++，Q 1P 1Q PONMD CBAB 1C 1D 1A1得3002P x y =++. …………… 3分(2) 解:依题意知x 、y 、z 要满足的条件为0,0,0,30050030035000,70010030040000.x y z x y z x y z ≥≥≥⎧⎪++≥⎨⎪++≥⎩……… 6分把100z x y =--代入方程组得0,0,1000,250,25.x y x y x y y ≥≥⎧⎪--≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩…… 9分如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A ()37.5,25.… 10分 让目标函数2300x y P ++=在可行域上移动,由此可知3002P x y =++在A ()37.5,25处取得最小值. ………∴当37.5x =(kg),25y =(kg),37.5z =(kg)时, 混合食物的成本最少. ……… 12分18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）解：作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ，由于AB ⊂平面ABCD ，故MO AB ⊥.作MP AB ⊥，垂足为P ，连接PO ，又MOMP M =，且MO ⊂平面MPO ，MP ⊂平面MPO ，∴AB ⊥平面MPO . 由题意知1,MO PO AP ===14AA =，2AD =，…… 2分 在R t △POM中，PM == …………… 3分 在R t △APM中，AM ==， …………… 4分∴线段AM…………… 5分（2）解：延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ，由（1）知AB ⊥平面MPO . ∵MQ ⊂平面MPO ，∴AB ⊥MQ .∵//MN AB ，∴MN MQ ⊥. ……… 6分 在△PMQ中，2MQ MP PQ ===，∵2224MP MQ PQ +==，∴MP MQ ⊥. …………… 7分Q 1OQPN M D C BAB 1C 1D 1A 1∵,MP MN M MP =⊂平面ABNM ，MN ⊂平面ABNM ，∴MQ ⊥平面ABNM . ∵MQ ⊂平面CDMN ，∴平面ABNM ⊥平面CDMN .… 9分 （3）解法1：作1//NP MP 交AB 于点1P ，作1//NQ MQ 交CD 于点1Q ， 由题意知多面体MN ABCD -可分割为两个等体积的四棱锥M APQD -和11N P BCQ -和一个直三棱柱11MPQ NPQ -.四棱锥M APQD -的体积为113V AP AD MO =1212133=⨯⨯⨯=， ………… 10分 直三棱柱11MPQ NPQ -的体积为2112222V MP MQ MN ==⨯=，…11分 ∴多面体MN ABCD -的体积为122V V V =+2102233=⨯+=. …………… 12分长方体1111ABCD A B C D -的体积为3142432V AB BC AA ==⨯⨯=. ……… 13分∴建筑物的体积为31063V V +=. ……… 14分 解法2：如图将多面体MN ABCD -补成一个直三棱柱1ADQ BCQ -，依题意知1111AQ DQ BQ CQ MQ NQ ======，2AD =. 多面体MN ABCD -的体积等于直三棱柱1ADQ BCQ -的体积 减去两个等体积的三棱锥M ADQ -和1N BCQ -的体积. ∵2224AQ DQ AD +==，∴90AQD ︒∠=.直三棱柱1ADQ BCQ -的体积为1114422V AQ DQ AB ==⨯=， (10)分三棱锥M ADQ -的体积为2V =11111132323AQ DQ MQ =⨯=. … 11分∴多面体MN ABCD -的体积为V =122102433V V -=-=. …… 12分长方体1111ABCD A B C D -的体积为3142432V AB BC AA ==⨯⨯=. ……… 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. ……………… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) （1）解法1：由22,4y x m x y=+⎧⎨=⎩消去y ，得2840x x m --=. …………… 1分∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共点，∴28440m ∆=+⨯=，解得4m =-.… 3分 ∴直线l 的方程为24y x =-. …………… 4分 解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为()00,x y ， 由214y x =，得'12y x =， ∴直线l 的斜率0'012x x k yx ===.依题意得0122x =，解得04x =. ………… 2分 把04x =代入抛物线2C 的方程，得04y =. ∵点( ∴424m =⨯+，解得4m =-. ∴直线l 的方程为y （2）解法1：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()(120,1,0,1F F - 设点()10,1F 关于直线l 的对称点为()'100,Fx y ， 则0000121,12 4.22y x y x -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩…………… 7分解得004,1.x y =⎧⎨=-⎩ ∴点()'14,1F -. ∴直线l 与直线'12:1F F y =-的交点为03,12P ⎛⎫-⎪⎝⎭由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C 的长轴长'12122a PF PF PF PF =+=+'1F ≥ 其中当点P 与点0P 重合时，上面不等式取等号.∴当2a =时，椭圆1C 的长轴长取得最小值，其值为4此时椭圆1C 的方程为22143y x +=，点P 的坐标为3,2⎛- ⎪⎝⎭. …………… 14分 解法2：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()()120,1,0,1F F -. …………… 5分设椭圆1C 的方程为()2222111y x a a a +=>-， 由222224,11y x y x aa =-⎧⎪⎨+=⎪-⎩消去y ， 得()()()()22222541611160a x a x a a ---+--=.（*） …………… 7分由()()()()222221614541160a a a a ⎡⎤∆=-----≥⎣⎦， …………… 8分得425200a a -≥. 解得24a ≥. ∴2a ≥. …………… 11分 ∴当2a =时，椭圆1C 的长轴长取得最小值，其值为4. …………… 12分此时椭圆1C 的方程为22143y x +=. 把2a =代入（*）方程，得3,12x y ==-， ∴点P 的坐标为3,12⎛⎫-⎪⎝⎭. …………… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：由于()()122nn na a S -+=222n n a a +-=，当1n =时，2111122a a a S +-==， 整理得21120a a --=，解得12a =或11a =-. ∵0n a >， ∴12a =. …………… 2分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-22112222n n n n a a a a --+-+-=-， …………… 3分化简得22110n n n n a a a a -----=， ∴()()1110n n n n a a a a --+--=.∵0n a >， ∴11n n a a --=. …………… 4分∴数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列.∴()211n a n n =+-=+. 5分 （2）解：∵1ln ln n n n a b a +==()()ln 2ln 1n n ++， ∴12k b b b ∙∙⋅⋅⋅∙()()ln 2ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1k k +=+ ()ln 2ln 2k +==()2log 2k +.… 6分令()2log 2k +m =，则22(mk m =-为整数）， …………… 7分由1222012m ≤-≤，得322014m≤≤， ∴2,3,4,,10m =.∴在区间[]1,2012内的k 值为231022,22,,22---， …………… 8分其和为()()()2310222222-+-++- ()231022229=+++-⨯()292121812⨯-=-- 2026=. …………… 10分（3）解法1：∵()()()()ln 2ln 11ln 1ln 1n n n b n n ++=>=++ ∴()()()()1ln 3ln 2ln 2ln 1n n n n bn b n +++=++()()()2ln 3ln 1ln 2n n n ++=+ ()()()22ln 3ln 12ln 2n n n +++⎡⎤⎢⎥⎣⎦<+ ()()()22ln 314ln 2n n n ++⎡⎤⎣⎦=+ ()22231ln 24ln 2n n n ⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦<+ 1=. ∴1n nb b +<. … 14分解法2：∵()()()()ln 2ln 11ln 1ln 1n n n b n n ++=>=++， ∴()()()()1ln 3ln 2ln 2ln 1n n n n b b n n +++-=-++()()()()()2ln 3ln 1ln 2ln 2ln 1n n n n n ++-+=++()()()()()22ln 3ln 1ln 22ln 2ln 1n n n n n +++⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦<++ ()()()()()22ln 31ln 22ln 2ln 1n n n n n ++⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=++ ()()()222131ln ln 222ln 2ln 1n n n n n ⎡⎤+++⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦<++0=.∴1n n b b +<. …………… 14分解法3：设()()()ln 12ln x f x x x +=≥， 则()()'211ln ln 11ln x x x x f x x-++=.……… 11分 ∵2x ≥，∴()()1111ln ln 1ln ln 101x x x x x x x x-+<-+<+. ∴()'0fx <. ∴函数()f x 在[)2,+∞上单调递减.∵n ∈N *，∴212n n ≤+<+. ∴()()21f n f n +<+.∴()()()()ln 3ln 2ln 2ln 1n n n n ++<++. ∴1n n b b +<. …………… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞. ()2111ax x f x ax x x--'=-+=-.… 2分 ① 当0a =时，()1x f x x+'=，∵0,x > ∴()'0f x > ∴ 函数()f x 单调递增区间为()0,+∞. …………… 3分② 当0a ≠时，令()0f x '=得210ax x x---=， ∵0,x >∴210ax x --=. ∴14a ∆=+.（ⅰ）当0∆≤，即14a ≤-时，得210ax x --≤，故()0f x '≥， ∴ 函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞. …………… 4分（ⅱ）当0∆>，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为112x a =，212x a+=. …………… 5分 若104a -<<，则120,0x x <<，此时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>. ∴函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞， 若0a >，则120,0x x <>，此时，当()20,x x ∈时，()0f x '>，当()2,x x ∈+∞时，()0,f x '<∴函数()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为12a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭； 当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间. ………… 8分（2）解：由(1)得当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；则()f x 有极大值，其值为222221()ln 2f x x ax x =-+，其中2x =. … 10分 而22210ax x --=，即2221ax x =+，∴2221()ln 2x f x x -=+. … 11分 设函数1()ln (0)2x h x x x -=+>，则'11()02h x x =+>， …………… 12分 则1()ln 2x h x x -=+在()0,+∞上为增函数.又(1)0h =，则()0h x >等价于1x >. ∴2()f x =221ln 2x x -+0>等价于21x >. …………… 13分 即在0a >时，方程210ax x --=的大根大于1，设2()1x ax x ϕ=--，由于()x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0,1)-，对称 轴102x a=>，则只需(1)0ϕ<，即110a --<解得2a <，而0a >， 故实数a 的取值范围为()0,2. ……………… 14分。
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2012年广州市高三文科数学调研、一模、二模试题分类整理汇编1．集合与常用逻辑用语GZ-T 1．已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则A B 等于A ．{}2-B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,1,2-GZ-1 1．函数y =A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞GZ-2 1．已知集合A 满足{}1,2A ⊆，则集合A 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1GZ-2 8．下列说法正确的是 A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<” D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题2．函数、导数GZ-T 2．已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于A ．1B ．2C ．3D ．4GZ-T 10．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T 是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是A ．2)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称B ．12)(1-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称 GZ-T 21．（本小题满分14分）已知函数()321232a f x x x x =-+-()a ∈R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （3）若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．GZ-1 7．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为A ．3B ．2C ．2或3D ．2-或3-GZ-1 9．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件GZ-1 11．若函数()()2ln 1f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为 ．GZ-1 12．已知集合{}13A x x =≤≤，{}3B x a x a =+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．GZ-1 20．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．GZ-2 6．已知函数()f x =e x-e1x-+ (e 是自然对数的底数)，若()2f a =，则()f a -的值为A ．1--eB ．-eC ．eD ． 1+eGZ-2 21．（本小题满分14分） 已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间;（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.3．数列GZ-T 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知33a =，63=S ，则10a 的值是A ．1B ．3C ．10D ．55GZ-1 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，求证：1368n T <≤．GZ-2 20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，都有0n a >且()()122n n n a a S -+=，令1ln ln n n na b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）使乘积12k b b b ∙∙⋅⋅⋅∙为整数的(k k ∈N *)叫“龙数”，求区间[]1,2012内的所有“龙数”之和；（3）判断n b 与1n b +的大小关系，并说明理由.4．不等式GZ-T 9．已知实数y x ,满足0,1,2210.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数y ax z +=()0≠a 取得最小值时最优解有无数个，则实数a 的值为 A ．1- B ．12- C ．12D ．1GZ-1 6．在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,x y x y x t +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4GZ-2 11．不等式2230x x +-<的解集是 .GZ-2 17．（本小题满分12分）某工厂欲将这三种食物混合成100kg 的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为x kg 、y kg 、z kg. (1) 试以x 、y 表示混合食物的成本P ；（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问x 、y 、z 取什么值时，混合食物的成本最少？5．平面向量与三角GZ-T 5．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-GZ-T 7．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数GZ-T 16．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=， 3cos 5ADC ∠=． （1）求sin ABD ∠的值； （2）求BD 的长．GZ-1 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为2π，则ω的值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8GZ-1 8．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =，()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．6D ．8GZ-1 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2α的值．ABCDGZ-1 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．GZ-2 5．已知向量()()3,4,6,3,OA OB =-=- ，(),1OC m m =+，若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．32- B ．14- C ．12 D ．32GZ-2 10. 已知实数,a b 满足22430a b a +-+=， 函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ， 则(),a b ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3GZ-2 13．已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点，OP =O 为坐标原点）， 点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 .GZ-2 16. （本小题满分12分）已知函数()()()cos sin cos sin f x x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若0,022ππαβ<<<<，且12,2323f f αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值.图46．立体几何GZ-T 8．设一个球的表面积为1S ，它的内接正方体的表面积为2S ，则12S S 的值等于 A ．2π B ．6π C ．6π D ．π2资料来源： 苏 元 高 考 吧 www.g GZ-T 19.（本小题满分14分）如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，AC BD O = ．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥A BCD -．（1）求证：平面AOC ⊥平面BCD ； （2）若三棱锥A BCD -AC 的长．GZ-1 5．如图1A B ．C ．8 D ．12图1俯视图正(主)视图 侧(左)视图图5NM DC BA B 1C 1D 1A1图6侧（左）视图正（主）视图GZ-1 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC =平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．（1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明△PBC 为直角三角形．GZ-2 7. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，//l α，//l β B ．m l ⊥，l αβ= ，m α⊂ C ．//m l ，l β⊥，m α⊂ D ．//m l ，m α⊥，l β⊥GZ-2 18. （本小题满分14分）某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A BC D -(如 图5). 该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图6, 其中正（主）视图由正方形和等 腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成. （1）求线段AM 的长；（2）证明：平面ABNM ⊥平面CDMN ； （3）求该建筑物的体积.图5PACD7．平面解析几何GZ-T 6．直线1y kx =+与圆224x y +=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 的取值有关GZ-T 13．已知直线()2y k x =-()0k >与抛物线28y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若2FA FB =，则k 的值为 ．GZ-T 20．（本小题满分14分）设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．GZ-1 10．已知圆O ：222x y r +=，点()P a b ，（0ab ≠）是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为1l ，直线2l 的方程为20ax by r ++=，那么A ．12l l ∥，且2l 与圆O 相离B ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相切C ．12l l ∥，且2l 与圆O 相交D ．12l l ⊥，且2l 与圆O 相离GZ-1 21．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设点P 、T 的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．GZ-2 3．已知双曲线221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ．4 B ．14 C ．14- D ．4-GZ-2 19．（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ， 直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点. （1）求直线l 的方程；（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的长轴长取得最小值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标.8．算法、统计与概率GZ-T 11．在区间()0,1内任取两个实数，则这两个实数之和小于0.8的概 率是 ．GZ-T 12．已知程序框图如右，则输出的i = ．图1895x 061162y 116987乙甲GZ-T 17．（本小题满分12分）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x 分，“居民素质”得分为y 分，统计结果如下表：（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率； （2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得1分的概率为110，求a 、b 的值．GZ-1 4．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，3BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．23GZ-2 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛， 他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1，其中甲班学生的 平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为A ．7B ．8C ．9D ．109．阅读图2的程序框图, 该程序运行后输出的k 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 129．复数GZ-T 3．设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限GZ-1 2．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．2GZ-2 2．已知i 为虚数单位，复数1z a =+i ,22z =-i ,且12z z =，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．±2或0图3BA10．推理与证明GZ-1 13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．GZ-2 12．如图3，,A B 两点之间有4的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取两条网线，则这两条 网线通过的最大信息量之和为5的概率是 .11．坐标系与参数方程 GZ-T 15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的方程为θρcos 2=，则OA （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为 ．GZ-1 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．GZ-2 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时512122图2图4A针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则顶点C 的极坐标 为 .12．几何证明选讲 GZ-T 14．（几何证明选讲选做题）如右图，AB 是圆O 的直径，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若圆O 的面积为4π，30ABC ∠=，则AD 的长为 ．GZ-1 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ．GZ-2 15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则ADBD的值为 .E图3。