2.11导数在研究函数中的应用

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2.11 导数在研究函数中的应用

2.11 导数在研究函数中的应用
a-2 a-2
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
a-2
第二章 2.11 导数在研究函数中的应用
现在的问题是当(4-a)e =3时是否a=3? 解方程(4-a)e =3,得(4-a)e -3=0,即e (4-a-3e )=0.(*) 设g(a)=4-a-3e (a<2),则g'(a)=-1+3e >0, 所以,g(a)在(-∞,2)上单调递增,则有g(a)<g(2)=-1,此时方程(*)
出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)(注意函数的实际
需要的限制);
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第二章 2.11 导数在研究函数中的应用
②求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0; ③比较函数在定义域的区间端点和使f'(x)=0的点的函数值 的大小,其中最大的为最大值,最小的为最小值.
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第二章 2.11 导数在研究函数中的应用
1.函数f(x)=x+ln x的单调增区间为 ( (A)(-1,0). (C)(1,2). (B)(0,+∞). (D)(0,e).
)
1 【解析】因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),则f'(x)=1+ >0的解 x
为(0,+∞),所以其单调增区间为(0,+∞). 【答案】B
1 a
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第二章 2.11 导数在研究函数中的应用
题型2 利用导数研究函数的极值或最值
例2 已知函数f(x)=e +2x -3x.
(1)求证:函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点; (2)当x≥ 时,若关于x的不等式f(x)≥ x +(a-3)· x+1恒成立,求

导数在研究函数中的

导数在研究函数中的
递增。
求函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值,通过求 导并令导数等于0,可以找到函数的极 值点。
详细描述
导数等于0的点可能是函数的极值点 ,但需要进一步判断该点两侧的导数 符号来确定是极大值还是极小值。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - x$,其导数 $f'(x) = 3x^2 - 1$,令$f'(x) = 0$得 $x = pmfrac{sqrt{3}}{3}$,进一步分 析导数符号可知,当$x < frac{sqrt{3}}{3}$或$x > frac{sqrt{3}}{3}$时,$f'(x) > 0$;当 $- frac{sqrt{3}}{3} < x < frac{sqrt{3}}{3}$时,$f'(x) < 0$。因 此,$x = -frac{sqrt{3}}{3}$为极大值 点,$x = frac{sqrt{3}}{3}$为极小值点。
求函数的拐点
总结词
导数可以用于求函数的拐点,即函数图像的凹凸性改变的 点。
详细描述
通过求二阶导数并分析其正负,可以找到函数的拐点。二 阶导数等于0的点可能是拐点的位置。
示例
对于函数$f(x) = x^4$,其二阶导数$f''(x) = 12x^2$,令$f''(x) = 0$得 $x = 0$。进一步分析二阶导数的符号可知,当$x < 0$时,$f''(x) < 0$;
边际需求与边际供给
导数还可以用于分析市场的供需关系,通过求导数得到边际需求或边际供给的变化情况,帮助我们理 解市场价格的变动趋势。
04
导数在高等数学中的进一步 应用

高考数学2.11导数在研究函数中的应用+函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用

高考数学2.11导数在研究函数中的应用+函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用

(2)由于a=1, 所以(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1. 故当x>0时,(x-k)f′(x)+x+1>0等价于
k<exx+-11+x(x>0).

令g(x)=exx+-11+x,
则g′(x)=(-exx-ex-1)12+1=ex((eexx--x1-)22).
由 (2 在 (0 , + ∞ ) 上 单 调 递 增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零 点,故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α, 则α∈(1,2).
当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0. 所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α). 又由g′(α)=0,可得eα=α+2, 所以g(α)=α+1∈(2,3). 由于①式等价于k<g(α), 故整数k的最大值为2.
1.解答本题(2)时,关键是分离参数k,把所求问题转化 为求函数的最小值问题.
【答案】 A
3.函数f(x)=12x2-ln x的最小值(
)
A.12 B.1 C.不存在 D.0 【解析】 f′(x)=x-1x=x2-x 1,且x>0,
令f′(x)>0,得x>1;
令f′(x)<0,得0<x<1.
∴f(x)在x=1时取最小值f(1)=12-ln 1=12.
【答案】 A
4.(2012·陕西高考)设函数f(x)=xex,则( ) A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点
2.函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点

高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(一)课后作业 文-人

高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用(一)课后作业 文-人

2.11 导数在研究函数中的应用(一)[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1.(2017·某某模拟)函数f (x )=axx 2+1(a >0)的单调递增区间是( )A .(-∞,-1)B .(-1,1)C .(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案 B解析 函数f (x )的定义域为R ,f ′(x )=a 1-x 2x 2+12=a 1-x 1+xx 2+12.由于a >0,要使f ′(x )>0,只需(1-x )·(1+x )>0,解得x ∈(-1,1).故选B.2.若函数f (x )=(x 2-2x )e x在(a ,b )上单调递减,则b -a 的最大值为( ) A .2 B. 2 C .4 D .2 2 答案 D解析 f ′(x )=(2x -2)e x +(x 2-2x )e x =(x 2-2)e x,令f ′(x )<0,∴-2<x <2, 即函数f (x )的单调递减区间为(-2,2). ∴b -a 的最大值为2 2.故选D.3.函数f (x )=(x -1)(x -2)2在[0,3]上的最小值为( ) A .-8 B .-4 C .0 D.427答案 B解析 f ′(x )=(x -2)2+2(x -1)(x -2)=(x -2)(3x -4).令f ′(x )=0⇒x 1=43,x 2=2,结合单调性,只要比较f (0)与f (2)即可.f (0)=-4,f (2)=0.故f (x )在[0,3]上的最小值为f (0)=-4.故选B.4.(2017·豫南九校联考)已知f ′(x )是定义在R 上的连续函数f (x )的导函数,满足f ′(x )-2f (x )<0,且f (-1)=0,则f (x )>0的解集为( )A .(-∞,-1)B .(-1,1)C .(-∞,0)D .(-1,+∞) 答案 A 解析 设g (x )=f xe2x,则g ′(x )=f ′x -2f xe2x<0在R 上恒成立,所以g (x )在R 上递减,又因为g (-1)=0,f (x )>0⇔g (x )>0,所以x <-1.故选A.5.(2017·某某某某一中期末)f (x )=x 2-a ln x 在(1,+∞)上单调递增,则实数a 的取值X 围为( )A .a <1B .a ≤1 C.a <2 D .a ≤2 答案 D解析 由f (x )=x 2-a ln x ,得f ′(x )=2x -a x, ∵f (x )在(1,+∞)上单调递增,∴2x -a x≥0在(1,+∞)上恒成立,即a ≤2x 2在(1,+∞)上恒成立, ∵x ∈(1,+∞)时,2x 2>2,∴a ≤2.故选D.6.函数f (x )在定义域R 内可导,若f (x )=f (2-x ),且当x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,设a =f (0),b =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,c =f (3),则( ) A .a <b <c B .c <a <b C .c <b <a D .b <c <a 答案 B解析 由f (x )=f (2-x )可得对称轴为x =1,故f (3)=f (1+2)=f (1-2)=f (-1). 又x ∈(-∞,1)时,(x -1)f ′(x )<0,可知f ′(x )>0.即f (x )在(-∞,1)上单调递增,f (-1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,即c <a <b .故选B. 7.若函数f (x )=e -x·x ,则( ) A .仅有极小值12eB .仅有极大值12eC .有极小值0,极大值12eD .以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )=-e -x·x +12x·e -x=e -x⎝ ⎛⎭⎪⎫-x +12x =e -x ·1-2x 2x. 令f ′(x )=0,得x =12.当x >12时,f ′(x )<0;当x <12时,f ′(x )>0.∴x =12时取极大值,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1e·12=12e.故选B. 8.已知函数f (x )=ax-1+ln x ,若存在x 0>0,使得f (x 0)≤0有解,则实数a 的取值X 围是( )A .a >2B .a <3C .a ≤1 D.a ≥3 答案 C解析 函数f (x )的定义域是(0,+∞),不等式a x-1+ln x ≤0有解,即a ≤x -x ln x 在(0,+∞)上有解,令h (x )=x -x ln x ,可得h ′(x )=1-(ln x +1)=-ln x ,令h ′(x )=0,可得x =1,当0<x <1时,h ′(x )>0,当x >1时,h ′(x )<0,可得当x =1时,函数h (x )=x -x ln x 取得最大值1,要使不等式a ≤x -x ln x 在(0,+∞)上有解,只要a 小于等于h (x )的最大值即可,即a ≤1.故选C.9.若函数f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈[-1,1]总有f (x )≥0成立,则实数a 的取值X 围为( )A .[2,+∞) B.[4,+∞) C .{4} D .[2,4] 答案 C解析 f ′(x )=3ax 2-3,当a ≤0时,f (x )min =f (1)=a -2≥0,a ≥2,不合题意;当0<a ≤1时,f ′(x )=3ax 2-3=3a ⎝⎛⎭⎪⎫x +1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a ,f (x )在[-1,1]上为减函数,f (x )min =f (1)=a -2≥0,a ≥2,不合题意;当a >1时,f (-1)=-a +4≥0,且 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =-2a+1≥0, 解得a =4.综上所述,a =4.故选C.10.(2018·某某一模)已知函数f (x )=m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1x -2ln x (m ∈R ),g (x )=-m x,若至少存在一个x 0∈[1,e],使得f (x 0)<g (x 0)成立,则实数m 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤-∞,2e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,2eC .(-∞,0]D .(-∞,0) 答案 B解析 由题意,不等式f (x )<g (x )在[1,e]上有解,∴mx <2ln x 在[1,e]上有解,即m 2<ln xx在[1,e]上有解,令h (x )=ln x x ,则h ′(x )=1-ln xx2,当1≤x ≤e 时,h ′(x )≥0,∴在[1,e]上,h (x )max =h (e)=1e ,∴m 2<1e ,∴m <2e .∴m 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,2e .故选B.二、填空题11.已知函数f (x )=12mx 2+ln x -2x 在定义域内是增函数,则实数m 的取值X 围为________.答案 [1,+∞)解析 f ′(x )=mx +1x-2≥0对一切x >0恒成立.m ≥-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+2x ,令g (x )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+2x,则当1x =1时,函数g (x )取得最大值1,故m ≥1.12.(2017·西工大附中质检)已知f (x )是奇函数,且当x ∈(0,2)时,f (x )=ln x -ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12,当x ∈(-2,0)时,f (x )的最小值是1,则a =________.答案 1解析 由题意,得x ∈(0,2)时,f (x )=ln x -ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12有最大值-1,f ′(x )=1x -a ,由f ′(x )=0,得x =1a ∈(0,2),且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1a 时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,2时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,则f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =ln 1a -1=-1,解得a =1.13.(2018·东北三校联考)已知定义在R 上的奇函数f (x )的图象为一条连续不断的曲线,f (1+x )=f (1-x ),f (1)=a ,且当0<x <1时,f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x ),则f (x )在[2017,2018]上的最小值为________.答案 a解析 由f (1+x )=f (1-x )可得函数f (x )的图象关于直线x =1对称.又f (x )是定义在R 上的奇函数,则f (0)=0,且f (x )的图象关于点(0,0)对称,所以f (x )是以4为周期的周期函数,则f (x )在[2017,2018]上的图象与[1,2]上的图象形状完全相同.令g (x )=f xex,则g ′(x )=f ′x -f xex<0,函数g (x )在(0,1)上递减,则g (x )<g (0)=0,所以f ′(x )<f (x )<0,则函数f (x )在(0,1)上单调递减.又由函数的对称性质可得f (x )在(1,2)上单调递增,则f (x )在[2017,2018]上的最小值为f (2017)=f (1)=a .14.(2018·启东中学调研)已知函数f (x )=e x+a ln x 的定义域是D ,关于函数f (x )给出下列命题:①对于任意a ∈(0,+∞),函数f (x )是D 上的减函数; ②对于任意a ∈(-∞,0),函数f (x )存在最小值;③存在a ∈(0,+∞),使得对于任意的x ∈D ,都有f (x )>0成立; ④存在a ∈(-∞,0),使得函数f (x )有两个零点.其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号) 答案 ②④解析 由f (x )=e x+a ln x ,可得f ′(x )=e x +a x,若a >0,则f ′(x )>0,得函数f (x )是D 上的增函数,存在x ∈(0,1),使得f (x )<0即得命题①③不正确;若a <0,设e x+a x=0的根为m ,则在(0,m )上f ′(x )<0,在(m ,+∞)上f ′(x )>0,所以函数f (x )存在最小值f (m ),即命题②正确;若f (m )<0,则函数f (x )有两个零点,即命题④正确.综上可得,正确命题的序号为②④.B 级三、解答题15.已知函数f (x )=ln x -ax (a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间;(2)当a >0时,求函数f (x )在[1,2]上的最小值. 解 (1)f ′(x )=1x-a (x >0),①当a ≤0时,f ′(x )=1x-a >0,即函数f (x )的单调增区间为(0,+∞). ②当a >0时,令f ′(x )=1x -a =0,可得x =1a.当0<x <1a 时,f ′(x )=1-axx>0;当x >1a 时,f ′(x )=1-ax x<0,故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0,1a ,单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a,+∞.综上得,当a ≤0时,f (x )的单调递增区间为(0,+∞),无递减区间;当a >0时,f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0,1a ,单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,+∞. (2)①当1a≤1,即a ≥1时,函数f (x )在区间[1,2]上是减函数,∴f (x )的最小值是f (2)=ln 2-2a .②当1a ≥2,即0<a ≤12时,函数f (x )在区间[1,2]上是增函数,∴f (x )的最小值是f (1)=-a .③当1<1a <2,即12<a <1时,函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1,1a 上是增函数,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ,2上是减函数.又f (2)-f (1)=ln 2-a ,∴当12<a <ln 2时,f (x )的最小值是f (1)=-a ;当ln 2≤a <1时,f (x )的最小值为f (2)=ln 2-2a . 综上可知,当0<a <ln 2时,函数f (x )的最小值是-a ; 当a ≥ln 2时,函数f (x )的最小值是ln 2-2a . 16.(2017·某某某某联考)已知函数f (x )=e x-ax ,a >0. (1)记f (x )的极小值为g (a ),求g (a )的最大值; (2)若对任意实数x 恒有f (x )≥0,求a 的取值X 围.解 (1)函数f (x )的定义域是(-∞,+∞),f ′(x )=e x-a ,令f ′(x )>0,得x >ln a , 所以f (x )的单调递增区间是(ln a ,+∞); 令f ′(x )<0,得x <ln a ,所以f (x )的单调递减区间是(-∞,ln a ), 函数f (x )在x =ln a 处取极小值,g (a )=f (x )极小值=f (ln a )=e ln a -a ln a =a -a ln a . g ′(a )=1-(1+ln a )=-ln a ,当0<a <1时,g ′(a )>0,g (a )在(0,1)上单调递增; 当a >1时,g ′(a )<0,g (a )在(1,+∞)上单调递减,所以a =1是函数g (a )在(0,+∞)上唯一的极大值点,也是最大值点,所以g (a )max =g (1)=1.(2)当x ≤0时,a >0,e x-ax ≥0恒成立, 当x >0时,f (x )≥0,即e x-ax ≥0,即a ≤e xx.令h (x )=e x x ,x ∈(0,+∞),h ′(x )=e x x -e x x2=exx -1x 2, 当0<x <1时,h ′(x )<0,当x >1时,h ′(x )>0,故h (x )的最小值为h (1)=e , 所以a ≤e,故实数a 的取值X 围是(0,e].17.(2017·某某湘中名校联考)设函数f (x )=x -1x-a ln x (a ∈R ).(1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有两个极值点x 1和x 2,记过点A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))的直线的斜率为k ,问:是否存在a ,使得k =2-a ?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1+1x 2-a x =x 2-ax +1x 2.令g (x )=x 2-ax +1,则方程x 2-ax +1=0的判别式Δ=a 2-4. ①当|a |≤2时,Δ≤0,f ′(x )≥0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增.②当a <-2时,Δ>0,g (x )=0的两根都小于0,在(0,+∞)上恒有f ′(x )>0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增.③当a >2时,Δ>0,g (x )=0的两根为x 1=a -a 2-42,x 2=a +a 2-42,当0<x <x 1时,f ′(x )>0;当x 1<x <x 2时,f ′(x )<0;当x >x 2时,f ′(x )>0, 故f (x )在(0,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减. (2)由(1)知,a >2.因为f (x 1)-f (x 2)=(x 1-x 2)+x 1-x 2x 1x 2-a (ln x 1-ln x 2), 所以k =f x 1-f x 2x 1-x 2=1+1x 1x 2-a ·ln x 1-ln x 2x 1-x 2.又由(1)知,x 1x 2=1.于是k =2-a ·ln x 1-ln x 2x 1-x 2.若存在a ,使得k =2-a .则ln x 1-ln x 2x 1-x 2=1.即ln x1-ln x2=x1-x2.亦即x2-1x2-2ln x2=0(x2>1).(*)再由(1)知,函数h(t)=t-1t-2ln t在(0,+∞)上单调递增,而x2>1,所以x2-1x2-2ln x2>1-11-2ln 1=0.这与(*)式矛盾.故不存在a,使得k=2-a.。

导数在函数中的作用

导数在函数中的作用

导数在函数中的作用导数是微积分中的重要概念,广泛应用于函数、曲线和图形的研究中。

它是描述函数在其中一点上的变化率的工具,具有很多实际应用。

在本文中,我将详细介绍导数在函数中的作用及其应用。

首先,导数可以用于研究函数的单调性。

函数的导数可以告诉我们函数在其中一点上是增加还是减少。

如果导数大于零,那么函数在该点上是递增的;如果导数小于零,那么函数在该点上是递减的。

当导数等于零时,表示函数在该点上取得极值,对于凸函数来说,如果导数从正数递减到0,然后再从0递增到正数,那么该点就是极小值点;如果导数从负数递增到0,然后再从0递减到负数,那么该点就是极大值点。

通过导数,我们可以更好地理解函数的增减趋势,并画出函数的增减图,这对于很多实际问题的研究和解决都非常有帮助。

其次,导数可以用于研究函数的凸性和拐点。

函数的导数在其中一点上的变化可以告诉我们函数曲线的凸凹性。

如果导数在其中一点的左侧小于右侧,则说明函数曲线在该点上凹下去;如果导数在其中一点的左侧大于右侧,则说明函数曲线在该点上凸出来。

当导数发生变化的点称为函数的拐点,拐点是函数曲线转折的地方。

通过研究函数的凸性和拐点,我们可以更好地理解函数的形状和性质,从而解决实际问题。

第三,导数可以用于研究函数的极限。

在微积分中,极限是一个非常重要的概念,它描述了函数在其中一点附近的行为。

通过导数,我们可以计算函数在其中一点的导数值,并通过计算导数的极限得到函数在该点的极限值。

这对于研究函数的连续性和光滑性非常重要,也是微积分中一些重要定理(如极值定理和洛必达法则)的基础。

第四,导数可以用于求解函数的最值问题。

最值问题是求函数取值的极大值或极小值的问题。

通过计算函数的导数,我们可以找到函数在其中一区间的最值点。

当导数从正数递减到零再递增到负数时,函数在此处取得极大值;当导数从负数递增到零再递减到正数时,函数在此处取得极小值。

利用导数求解最值问题,我们可以优化一些实际问题,如最大利润、最短路径等。

高考数学 2.11 导数在研究函数中的应用

高考数学 2.11 导数在研究函数中的应用

(2)函数的极值与导数: ①函数的极小值与极小值点: 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数 值_都__小__,且f′(a)=0,而且在x=a附近的左侧_f_′__(_x_)_<_0_,右侧_f_′__(_x_)_ _>_0_,则a点叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值; ②函数的极大值与极大值点: 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 ___都__大,且f′(b)=0,而且在x=b附近的左侧___f_′__(_x_)_>,0右侧___f_′__(_x) _<_0_,则b点叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.
2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)可导函数f(x)在[a,b]上是增函数,则有_f_′__(_x_)_≥__0_在[a,b]上恒 成立. (2)可导函数f(x)在[a,b]上是减函数,则有_f_′__(_x_)_≤__0_在[a,b]上恒 成立.
3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:利用导数判断单调性的方法,利用导数求极值、最值的 方法. (2)数学思想:分类讨论、数形结合. (3)记忆口诀:导数应用比较广,单调极值及最值;
第十一节 导数在研究函数中的应用
【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数的导数与单调性的关系: 函数y=f(x)在某个区间内可导: ①若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内_单__调__递__增__; ②若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内_单__调__递__减__; ③若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是_常__数__函__数__.
导数恒正单调增,导数恒负当然减; 求出导数为零点,左增右减极大值; 左减右增是极小,同增同减非极值; 若是加上端点值,最大最小皆晓得.

导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

导数在研究函数图像中的应用
总结词
通过求导可以绘制函数的图像,并分析函数的形态和变化趋势。
详细描述
利用导数可以求出函数的拐点、凹凸区间、切线斜率等性质,这些性质有助于绘制函数的图像。通过分析导数的 正负和变化趋势,可以确定函数在不同区间的增减性和变化速率,进而绘制出精确的函数图像。
02 导数在解决生活中的优化 问题举例
导数在最大利润问题中的应用
总结词
导数在解决最大利润问题中起到关键作 用,通过求导数找到利润函数的极值点 ,从而确定最大利润。
VS
详细描述
在商业、金融、投资等领域中,最大利润 问题是一个核心问题。导数可以帮助我们 找到利润函数的极值点,从而确定在什么 情况下能够获得最大利润。例如,在投资 组合优化中,通过求导数可以找到最大化 收益的投资组合。
03 导数的实际应用案例分析
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度,例如在研究物体 的运动轨迹时,通过求导数可以得到物体在任意时刻的速 度和加速度。
热传导
在研究热传导问题时,导数可以用来描述温度随时间的变 化率,通过求解导数方程,可以得到温度分布的规律。
弹性力学
在弹性力学中,导数可以用来描述应力和应变的关系,通 过求解导数方程,可以得到物体的变形和受力情况。
导数在最小成本问题中的应用
总结词
导数在最小成本问题中扮演着重要角色,通过求导数找到成本函数的极值点,从而确定 最小成本。
详细描述
在生产、运输、工程等领域中,最小成本问题是一个常见的问题。导数可以帮助我们找 到成本函数的极值点,从而确定在什么情况下成本最低。例如,在生产过程中,通过求
导数可以找到生产某一产品的最低成本方案。

高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理-人教版高三全

高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理-人教版高三全

第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理[A 组·基础达标练]1.函数f (x )=x 4-4x 3+4x 2的极值点是( ) A .x =0 B .x =1C .x =2D .x =0,x =1和x =2 答案 D解析 f ′(x )=4x 3-12x 2+8x =4x (x 2-3x +2)=4x (x -1)(x -2),则结合列表可得f (x )的极值点为x =0,x =1和x =2.2.[2015·某某一检]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (-3)=f (5)=1,f ′(x )为f (x )的导函数,且导函数y =f ′(x )的图象如图所示.则不等式f (x )<1的解集是( )A .(-3,0)B .(-3,5)C .(0,5)D .(-∞,-3)∪(5,+∞) 答案 B解析 依题意得,当x >0时,f ′(x )>0,f (x )是增函数;当x <0时,f ′(x )<0,f (x )是减函数.又f (-3)=f (5)=1,因此不等式f (x )<1的解集是(-3,5),选B.3.[2016·某某师大附中月考]若函数f (x )=x 3-tx 2+3x 在区间[1,4]上单调递减,则实数t 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,518B .(-∞,3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518,+∞D .[3,+∞) 答案 C解析 f ′(x )=3x 2-2tx +3,由于f (x )在区间[1,4]上单调递减,则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立,即3x 2-2tx +3≤0,即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x 在[1,4]上恒成立,因为y =32⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x 在[1,4]上单调递增,所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4+14=518,故选C.4.[2013·某某高考]已知a 为常数,函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则( )A .f (x 1)>0,f (x 2)>-12B .f (x 1)<0,f (x 2)<-12C .f (x 1)>0,f (x 2)<-12D .f (x 1)<0,f (x 2)>-12答案 D解析 f ′(x )=ln x -2ax +1,依题意知f ′(x )=0有两个不等实根x 1,x 2. 即曲线y 1=1+ln x 与y 2=2ax 有两个不同交点,如图.由直线y =x 是曲线y =1+ln x 的切线,可知:0<2a <1,且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12. 由0<x 1<1,得f (x 1)=x 1(ln x 1-ax 1)<0, 当x 1<x <x 2时,f ′(x )>0, 当x >x 2时,f ′(x )<0,∴f (x 2)>f (1)=-a >-12,故选D.5.[2015·某某一模]若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f ′(x )>1,f (0)=4,则不等式f (x )>3ex +1(e 为自然对数的底数)的解集为( )A .(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞) C .(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞) 答案 A解析 由f (x )>3ex +1得,e x f (x )>3+e x ,构造函数F (x )=e x f (x )-e x-3,对F (x )求导得F ′(x )=e x f (x )+e x f ′(x )-e x =e x [f (x )+f ′(x )-1].由f (x )+f ′(x )>1,e x >0,可知F ′(x )>0,即F (x )在R 上单调递增,又因为F (0)=e 0f (0)-e 0-3=f (0)-4=0,所以F (x )>0的解集为(0,+∞),所以选A.6.[2013·某某高考]已知e 为自然对数的底数,设函数f (x )=(e x-1)(x -1)k(k =1,2),则( )A .当k =1时,f (x )在x =1处取到极小值B .当k =1时,f (x )在x =1处取到极大值C .当k =2时,f (x )在x =1处取到极小值D .当k =2时,f (x )在x =1处取到极大值 答案 C解析 当k =1时,f (x )=(e x -1)(x -1),f ′(x )=x e x-1,f ′(1)≠0,故A ,B 错;当k =2时,f (x )=(e x-1)(x -1)2,f ′(x )=(x 2-1)e x -2x +2=(x -1)[(x +1)e x-2],故f ′(x )=0有一根为x 1=1,另一根x 2∈(0,1).当x ∈(x 2,1)时,f ′(x )<0,f (x )递减;当x∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )递增,∴f (x )在x =1处取得极小值,故选C.7.[2016·东北八校月考]已知函数y =f (x )=x 3+3ax 2+3bx +c 在x =2处有极值,其图象在x =1处的切线平行于直线6x +2y +5=0,则f (x )的极大值与极小值之差为________.答案 4解析 ∵f ′(x )=3x 2+6ax +3b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2=3×22+6a ×2+3b =0,f ′1=3×12+6a ×1+3b =-3,⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =0,∴f ′(x )=3x 2-6x ,令3x 2-6x =0,得x =0或x =2, ∴f (x )极大值-f (x )极小值=f (0)-f (2)=4.8.已知函数f (x )=-12x 2+4x -3ln x 在[t ,t +1]上不单调,则t 的取值X 围是________.答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )=-x +4-3x =-x 2+4x -3x=-x -1x -3x,由f ′(x )=0得函数f (x )的两个极值点为1,3, 则只要这两个极值点有一个在区间(t ,t +1)内, 函数f (x )在区间[t ,t +1]上就不单调, 由t <1<t +1或t <3<t +1,得0<t <1或2<t <3.9.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-4在x =2处取得极值,若m ,n ∈[-1,1],则f (m )+f ′(n )的最小值是________.答案 -13解析 f ′(x )=-3x 2+2ax , 根据已知2a3=2,得a =3,即f (x )=-x 3+3x 2-4.根据函数f (x )的极值点,可得函数f (m )在[-1,1]上的最小值为f (0)=-4,f ′(n )=-3n 2+6n 在[-1,1]上单调递增,所以f ′(n )的最小值为f ′(-1)=-9.[f (m )+f ′(n )]min =f (m )min +f ′(n )min =-4-9=-13. 10.[2015·某某一检]已知函数f (x )=ln x -x1+2x .(1)求证:f (x )在区间(0,+∞)上单调递增; (2)若f [x (3x -2)]<-13,某某数x 的取值X 围.解 (1)证明:由已知得f (x )的定义域为(0,+∞). ∵f (x )=ln x -x1+2x, ∴f ′(x )=1x -1+2x -2x 1+2x 2=4x 2+3x +1x 1+2x 2. ∵x >0,∴4x 2+3x +1>0,x (1+2x )2>0. ∴当x >0时,f ′(x )>0. ∴f (x )在(0,+∞)上单调递增.(2)∵f (x )=ln x -x 1+2x ,∴f (1)=ln 1-11+2×1=-13.由f [x (3x -2)]<-13得f [x (3x -2)]<f (1).由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 3x -2>0x3x -2<1,解得-13<x <0或23<x <1.综上所述,x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23,1.11.[2015·某某一检]已知函数f (x )=x ·ln x ,g (x )=ax 3-12x -23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值;(2)若函数y =f (x )与函数y =g (x )的图象在交点处存在公共切线,某某数a 的值. 解 (1)∵f ′(x )=ln x +1,由f ′(x )>0,得x >1e,∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 时,f ′(x )<0,则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1e 上单调递减,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞时,f ′(x )>0,则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,+∞上单调递增, ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =-1e .(2)∵f ′(x )=ln x +1,g ′(x )=3ax 2-12,设公切点的横坐标为x 0,则与f (x )的图象相切的直线方程为:y =(ln x 0+1)x -x 0, 与g (x )的图象相切的直线方程为:y =⎝⎛⎭⎪⎫3ax 20-12x -2ax 30-23e ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0+1=3ax 2-12,-x 0=-2ax 30-23e解之得x 0ln x 0=-1e ,由(1)知x 0=1e ,∴a =e26.12.[2016·某某检测]已知f (x )=e x(x 3+mx 2-2x +2). (1)假设m =-2,求f (x )的极大值与极小值;(2)是否存在实数m ,使f (x )在[-2,-1]上单调递增?如果存在,求m 的取值X 围;如果不存在,请说明理由.解 (1)当m =-2时,f (x )=e x (x 3-2x 2-2x +2),其定义域为(-∞,+∞).则f ′(x )=e x(x 3-2x 2-2x +2)+e x (3x 2-4x -2)=x e x (x 2+x -6)=(x +3)x (x -2)e x, ∴当x ∈(-∞,-3)或x ∈(0,2)时,f ′(x )<0; 当x ∈(-3,0)或x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0;f ′(-3)=f ′(0)=f ′(2)=0,∴f (x )在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,0)上单调递增; 在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴当x =-3或x =2时,f (x )取得极小值; 当x =0时,f (x )取得极大值, ∴f (x )极小值=f (-3)=-37e -3,f (x )极小值=f (2)=-2e 2, f (x )极大值=f (0)=2.(2)f ′(x )=e x(x 3+mx 2-2x +2)+e x (3x 2+2mx -2)=x e x [x 2+(m +3)x +2m -2]. ∵f (x )在[-2,-1]上单调递增, ∴当x ∈[-2,-1]时,f ′(x )≥0. 又∵当x ∈[-2,-1]时,x e x<0, ∴当x ∈[-2,-1]时,x 2+(m +3)x +2m -2≤0,∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′-2=-22-2m +3+2m -2≤0,f ′-1=-12-m +3+2m -2≤0,解得m ≤4,∴当m ∈(-∞,4]时,f (x )在[-2,-1]上单调递增.[B 组·能力提升练]1.若函数f (x )=x 3-3x 在(a,6-a 2)上有最小值,则实数a 的取值X 围是( )A .(-5,1)B .[-5,1)C .[-2,1)D .(-5,-2] 答案 C解析 f ′(x )=3x 2-3=0,得x =±1,且x =1为函数的极小值点,x =-1为函数的极大值点.函数f (x )在区间(a,6-a 2)上有最小值, 则函数f (x )极小值点必在区间(a,6-a 2)内, 即实数a 满足a <1<6-a 2且f (a )=a 3-3a ≥f (1)=-2. 解a <1<6-a 2,得-5<a <1, 不等式a 3-3a ≥f (1)=-2,即a 3-3a +2≥0,即a 3-1-3(a -1)≥0, 即(a -1)(a 2+a -2)≥0, 即(a -1)2(a +2)≥0, 即a ≥-2.故实数a 的取值X 围是[-2,1). 故选C.2.[2016·某某调研]已知函数f (x )=ln x +1ln x ,则下列结论中正确的是( )A .若x 1,x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点,则f (x )在区间(x 1,x 2)内是增函数B .若x 1,x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点,则f (x )在区间(x 1,x 2)内是减函数C .∀x >0,且x ≠1,f (x )≥2D .∃x 0>0,f (x )在(x 0,+∞)内是增函数 答案 D解析 由已知得,f ′(x )=1x ·ln 2x -1ln 2x(x >0且x ≠1),令f ′(x )=0,得ln x =±1,得x =e 或x =1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,1e 时,f ′(x )>0;当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1e,1,x ∈(1,e)时,f ′(x )<0;当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x )>0.故x =1e和x =e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点,但是由函数的定义域可知x ≠1,故函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,e 内不是单调的,所以A ,B 错;当0<x <1时,ln x <0,此时f (x )<0,C 错;只要x 0≥e,则f (x )在(x 0,+∞)内是增函数,D 正确.3.[2015·某某高考]已知函数f (x )=2x,g (x )=x 2+ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1,x 2,设m =f x 1-f x 2x 1-x 2,n =g x 1-g x 2x 1-x 2.现有如下命题:①对于任意不相等的实数x 1,x 2,都有m >0;②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1,x 2,都有n >0;③对于任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m =n ; ④对于任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使得m =-n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号). 答案 ①④解析 ①f (x )=2x是增函数,∴对任意不相等的实数x 1,x 2,都有f x 1-f x 2x 1-x 2>0,即m >0,∴①成立.②由g (x )=x 2+ax 图象可知,当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-a 2时,g (x )是减函数,∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-a 2时,g x 1-g x 2x 1-x 2<0,即n <0,∴②不成立. ③若m =n ,则有f x 1-f x 2x 1-x 2=g x 1-g x 2x 1-x 2,即f (x 1)-f (x 2)=g (x 1)-g (x 2),f (x 1)-g (x 1)=f (x 2)-g (x 2),令h (x )=f (x )-g (x ), 则h (x )=2x-x 2-ax ,h ′(x )=2x ln 2-2x -a ,令h ′(x )=2xln 2-2x -a =0, 得2xln 2=2x +a .由y =2x ln 2与y =2x +a 的图象知, 存在a 使对任意x ∈R 恒有2xln 2>2x +a , 此时h (x )在R 上是增函数. 若h (x 1)=h (x 2),则x 1=x 2, ∴③不成立. ④若m =-n ,则有f x 1-f x 2x 1-x 2=-g x 1-g x 2x 1-x 2,f (x 1)+g (x 1)=f (x 2)+g (x 2),令φ(x )=f (x )+g (x ), 则φ(x )=2x+x 2+ax ,φ′(x )=2x ln 2+2x +a .令φ′(x )=0,得2xln 2+2x +a =0, 即2xln 2=-2x -a .由y 1=2xln 2与y 2=-2x -a 的图象可知,对任意的a ,存在x 0,使x >x 0时y 1>y 2,x <x 0时y 1<y 2,故对任意的a ,存在x 0,使x >x 0时,φ′(x )>0,x <x 0时φ′(x )<0, 故对任意的a ,φ(x )在R 上不是单调函数.故对任意的a ,存在不相等的实数x 1,x 2,使m =-n , ∴④成立. 综上,①④正确.4.已知函数f (x )=e x-ln (x +m ).(1)设x =0是f (x )的极值点,求m ,并讨论f (x )的单调性; (2)当m ≤2时,证明f (x )>0. 解 (1)f ′(x )=e x-1x +m. 由x =0是f (x )的极值点得f ′(0)=0,所以m =1. 于是f (x )=e x-ln (x +1),x ∈(-1,+∞). 函数f ′(x )=e x -1x +1在(-1,+∞)单调递增,且f ′(0)=0. 因此当x ∈(-1,0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(2)证明:当m ≤2,x ∈(-m ,+∞)时,ln (x +m )≤ln (x +2),故只需证当m =2时f (x )>0. 当m =2时,f ′(x )=e x-1x +2在(-2,+∞)上单调递增. 又f ′(-1)<0,f ′(0)>0,故f ′(x )=0在(-2,+∞)上有唯一的解x 0,且x 0∈(-1,0). 当x ∈(-2,x 0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x )>0. 故当x =x 0时,f (x )取极小值. 故f ′(x )=0得e x 0=1x 0+2,ln (x 0+2)=-x 0. 故f (x )≥f (x 0)=1x 0+2+x 0=x 0+12x 0+2>0.综上所述,当m ≤2时,f (x )>0.。

《导数在研究函数中的应用》教学设计

《导数在研究函数中的应用》教学设计

《导数在研究函数中的应用》教学设计一、学情分析我校高二学生在经历了一年多的高中学习,抽象思维能力有所提高,但对于形象的事物则更容易理解并掌握。

在前一个月,不断地通过数形结合的方式,引导学生认识、掌握、运用导数。

目前,学生对于导数的基础知识较好的掌握。

然而,学习若只停留在“被动接受”的阶段,而没有“主动出击”的经历,那么,学习便无乐趣,学生便无能力。

如何激发学生的自主探究的激情,明确探究的内容,制定探究的方案,越过探究的难点,享受成功的喜乐。

这对于教师来说,是一个大挑战。

在较好掌握一阶导数在函数单调性中的应用后,学生自然而然会产生一种纵向挖掘导数新知的欲望,那就是探究二阶导数的相关知识。

(也可能是横向挖掘:探究导数在奇偶性、周期性等方面的应用)这为本节课的学习提供了情感基础。

二、教学思路【教材地位和作用】本节课是属于导数知识的拓展课。

凹凸性是一个重要的函数性质,虽不在高中学习的范畴内,但在高等数学中有着重要的地位(与拉格朗里定理,柯西不等式都有着重要的联系)。

并且也常有以二阶导数为背景的高考题目。

因此,本节课既着眼于提高学生的探究能力,也在一定程度上拓宽了学生的数学知识、素养。

【教学重、难点以及突破】重难点:(1)如何引出猜想(即[f'(x)]'决定f(x)的凹凸性)(2)面队大量的素材,如何有效的分析(3)解释结论突破:(1)如何引出猜想?突破方法:通过对汽车启动和刹车时的s(t)图形特点的思考,从而引导学生从“加速度对s(t) 图形的影响”联想到“[f'(x)]'对f(x)图形的影响。

(2)通过计算具体函数的[f'(x)]',并画出f(x),[f'(x)]'的图形。

在面对纷繁杂乱的素材时,如何才能高效地处理素材,提取出有效的信息,用于验证猜想?突破方法:将图形按照[f'(x)]'的符号来分类,通过分析同一类的f(x)图形共性,不断地验证猜想,并加强对“凹凸”的直观感知。

高二数学导数在研究函数中的应用

高二数学导数在研究函数中的应用

高二数学导数在研究函数中的应用课标要求:1.导数在研究函数中的应用①结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间;②结合函数的图像,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

2.生活中的优化问题举例例如,使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。

要点精讲1.单调性对于函数y = f(x):如果在某区间上,那么f(x)为该区间上的增函数;如果在某区间上,那么f(x)为该区间上的减函数.注意:(1)如果函数y=f(x)在某个区间上是递增的,则在这个区间;如果函数y=f(x)在某个区间上是递减的,则在这个区间上,。

(2)函数的单调区间一般指开区间。

2.极值极值是函数在一个小的区间的局部性质;函数的极大(小)值可能不止一个;某些极大值有时候可能比一些极小值还小。

注意:(1)不要将极大(极小)值与最大(最小)值混为一谈,要懂得它们的区别和联系。

(2)不要将极值点与驻点混为一谈,可导函数的极值点是驻点;而可导函数的驻点仅是可疑极值点。

3.最大值与最小值最值是函数的整体性质。

(1)求连续函数f(x)在闭区间[a, b]上最大(小)值的一般步骤是:①求出f(x)在(a,b)内的全部的驻点与不可导点x1, x2,。

x n,;②计算出函数值f(x1), f(x2),… f(x n);以及f(a)与f(b);③比较上述值的大小.(2)有关最大(小)值的应用问题,其关键是建立目标函数。

该函数的实际意义下的定义域称为约束集或可行域。

若f(x)在约束集内的驻点唯一,又根据问题的实际意义知f(x)的最大(小)值存在,则该驻点即为最大(小)值点,不必另行判定。

典例解析1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间(2)若对x∈〔-1,2〕,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围。

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
摘 要
导数是研究函数性质的一个重要工具,我们可以利用导数来求函数的单调性,极值点,最值点,另外可以利用导数找函数的零点和构造简单的函数。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的。通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解。下面,我们运用导数研究函数的性质,通过对函数的单调性与导数的关系的研究、如何利用导数来求函数的极值与函数的最大值和最小值的一般方法、导数与函数的零点以及利用导数研究任意性、存在性以及参数的取值问题,我们可以从中体会导数在研究函数中的应用。通过对导数在研究函数中的应用的学习,为我们学习和研究函数奠定了良好的基础。
y- =f’( )(x- )
例1:曲线y=x(3 )在点(1,1)处的切线方程为:y=4x-3
解析:第一步,首先求函数y=x(3 )的导函数y’
y’=3 ,接下来把 =1代入y’,有f’ )= y’( =1)=4,从而可知在 =1处切线方程的斜率为4,最后将斜率f’ )和点(1,1)代入切线方程y- =f’( )(x- )
f’(xo)= = 。
从导数的这一定义出发,我们知道导数f’(xo)表示
函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率,反映了函数f(x)在x=xo附近的变化情况,接着可以明确导数的几何意义:
曲线y= f(x)在点(xo,f(xo))处切线的斜率。
二、导数的性质
通过对导数相关定义和几何意义出发研究导数的性质。
二、函数的单调性与导数
判断函数f(x)的单调性时,常常借助f’(x)的符号来判断
一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
在某个区间(a,b)内,如果f’(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内単调递増;如果f’(x)<0,那么函数y= f(X)在这个区间内单调递減.

中学数学第十一节导数在研究函数中的应用

中学数学第十一节导数在研究函数中的应用

小值. ( )
答案: (1)× (2)× (3)× (4)√
2. (2014 ·课标全国 Ⅱ卷)若函数 f(x)=kx- ln x 在区间 (1,+∞ )
单调递增,则 k 的取值范围是 ( )
A.(-∞,- 2]
B.(-∞,- 1]
C.[2,+∞ )
D.[1,+∞ )
解析:由 f ′(x=) k-1x,又 f(x)在(1,+∞)上单调递增, 则 f ′(≥x) 0
f(x)有零点.
1 所以实数 a 的取值范围为 0,e .
法二 函数 f(x)=ln x+ax的定义域为 (0,+ ∞).
由 f(x)=ln x+ax=0,得 a=- xln x.
令 g(x)=- xln x,则 g′x()=- (ln x+1).
当 x∈
1 0,e
时, g′ (x)>0;当
x∈
1e,+ ∞
所以
t≥
3 1 51 2(4+4)= 8 .
答案: C
二、填空题
6.函数 f(x)=1+x- sin x在(0,2π)上的单调情况是 ________.
解析: 在(0,2π)上有 f ′(=x) 1-cos x>0,
所以 f(x)在 (0,2π)上单调递增.
答案: 单调递增 7.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间 [-3,3]上的最大值与最小
x+ax,得
f
′x()=
1x-
a x2=
x- x2
a .
因为 a>0,则 x∈(0,a)时,f′(x)< 0;x∈(a,+ ∞)时,f′(x)
> 0.
所以函数 f(x)在(0,a)上单调递减,在 (a,+ ∞)上单调递增.

导数在研究函数中的应用 精品教案

导数在研究函数中的应用 精品教案

《导数在研究函数中的应用》【教材分析】导数及其应用内容分为三部分:1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数。

在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性;在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法。

【考纲解读】1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极值,会求闭区间上函数的最值。

3.会利用导数解决某些实际问题。

【教学目标】1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学重点】理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学难点】原函数和导函数的图像“互译”,解决一些恒成立问题【学 法】本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习,学生已经了解了一些解题的基本思想和方法,应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生,所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考,培养他们的分析解决问题和解决问题的能力,提高应用所学知识的能力。

在课堂教学中,应该把以教师为中心转向以学生为中心,把学生自身的发展置于教育的中心位置,为学生创设宽容的课堂气氛,帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机,培养学习兴趣,充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

【教 法】数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科,本节课的内容是导数的应用的复习课,所以应让学生多参与,让其自主探究分析问题、解决问题,尝试归纳总结,然后由老师启发、总结、提炼,升华为分析和解决问题的能力。

【授课类型】复习课【教学过程】一、要点梳理温馨提醒:若函数y =f (x )在(a ,b )内单调递增,则f ′(x )≥0,而f ′(x )>0是y =f (x )1.函数的单调性与导数在区间(a ,b )内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系: 如果__________,那么函数y =f (x )在这个区间单调递增;如果____________,那么函数y =f (x )在这个区间单调递减; f ′(x )>0 f ′(x )<0在(a ,b )内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值与导数函数y =f (x )在点x =a 的函数值f (a )比它在点x =a 附近其他点的函数值都小,f ′(a )=0;而且在点x =a 附近的左侧___f ′(x )<0_______,右侧__ f ′(x )>0_____,则点a 叫做函数y =f (x )的__极小值点___,f (a )叫函数y =f (x )的极小值.函数y =f (x )在点x =b 的函数值f (b )比它在点x =b 附近其他点的函数值都大,f ′(b )=0;而且在点x =b 附近的左侧__ f ′(x )>0_____,右侧___f ′(x )<0_______,则点b 叫做函数y =f (x )的极大值点,f (b )叫函数y =f (x )的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.温馨提醒:导数为0的点不一定是极值点,只有在该点两侧导数的符号相反,即函数在该点两侧的单调性相反时,该 点 才是函数的极值点,另一方面,极值点处的导数 也不一定 为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在.3.函数的最值与导数假设函数y =f(x)在闭区间[a ,b]上的图象是一条_连续不间断的曲线,则该函数在[a ,b]上一定能够取得最大值与最小值.若函数在(a ,b)内是可导 的,该函数的 最 值必在极值点或区间端点处取得.温馨提醒:最值与极值的区别与联系:(1)“极值”是个局部概念,是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较,具有相对性;“最值”是个整体概念,是整个 定 义域上的最大值和最小值,具有绝对性.(2)最值和极值都不一定存在,若存在,函数在其定义域上 的最值是唯一的,而极值不一定唯一.二、课前热身1.(2012·高考陕西卷)设函数f (x )=x e x ,则( )A .x =1为f (x )的极大值点B .x =1为f (x )的极小值点C .x =-1为f (x )的极大值点D .x =-1为f (x )的极小值点2.(2012·高考辽宁卷)函数y =12x 2-ln x 的单调递减区间为( ) A .(-1,1] B .(0,1]C .[1,+∞)D .(0,+∞)3.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +a 2在x =1处有极值10,则f (2)等于( )A .11或18B .11C .18D .17或184.函数f (x )=x 33+x 2-3x -4在[0,2]上的最小值是________. 5.已知a >0,函数f (x )=x 3-ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则a 的最大值是________. 答案:1.D; 2.B; 3.C; 4.-173 5.3 三、例题讲解考点一:利用导数研究函数的单调性例1、已知函数f (x )=4x 3+3tx 2-6t 2x +t -1,x ∈R ,其中t ∈R.(1)当t =1时,求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)当t >0时,求f (x )的单调区间.【解】(1)当t =1时,f (x )=4x 3+3x 2-6x ,f (0)=0,f ′(x )=12x 2+6x -6,f ′(0)=-6.所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =-6x .(2)f ′(x )=12x 2+6tx -6t 2.令f ′(x )=0,解得x =-t 或x =t 2. 方法感悟:(1)导数法证明函数f (x )在(a ,b )内的单调性的步骤:①求f ′(x );②确认f ′(x )在(a ,b )内的符号;③作出结论:f ′(x )>0时为增函数;f ′(x )<0时为减函数.(2)导数法求函数单调区间的一般步骤:①确定函数f (x )的定义域;②求导数f ′(x );③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0;④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.考点二:由函数的单调性求参数的取值范围因为t >0,则-t <t 2.当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:所以f (x )的单调递增区间是(-∞,-t ),⎝⎛⎭⎫t 2,+∞;f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫-t ,t 2.例2、(2014·安徽合肥市质量检测)已知函数f (x )的图象与函数h (x )=x +1x+2的图象关于点A (0,1)对称.(1)求f (x )的解析式;(2)若g (x )=x 2·[f (x )-a ],且g (x )在区间[1,2]上为增函数,求实数a 的取值范围.【解】(1)设f (x )图象上任一点的坐标为P (x ,y ),点P 关于点A(0,1)的对称点P ′(-x ,2-y )在h (x )的图象上,∴2-y =-x +1-x+2, ∴y =x +1x ,即f (x )=x +1x. (2)g (x )=x 2·[f (x )-a ]=x 3-ax 2+x ,方法感悟:函数单调性确定参数范围的方法:(1)利用集合间的包含关系处理:y =f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f ′(x )≥0;若函数单调递减,则f ′(x )≤0”来求解.考点三:利用导数研究函数的极值(最值)例3、(2013·高考福建卷)已知函数f (x )=x -a ln x (a ∈R).(1)当a =2时,求曲线y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程;(2)求函数f (x )的极值.【解】函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1-a x. (1)当a =2时,f (x )=x -2ln x ,f ′(x )=1-2x(x >0), 因而f (1)=1,f ′(1)=-1,所以曲线y =f (x )在点A(1,f (1))处的切线方程为y -1=-(x -1),即x +y -2=0. 又g (x )在区间[1,2]上为增函数,∴g ′(x )=3x 2-2ax +1≥0在[1,2]上恒成立,即2a ≤3x +1x 对任意的x ∈[1,2]恒成立. 注意到函数r (x )=3x +1x 在[1,2]上单调递增, 故r (x )min =r (1)=4. 于是2a ≤4,a ≤2.即实数a 的取值范围是(-∞,2].(2)由f′(x)=1-ax=x-ax,x>0知:①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-a ln a,无极大值.方法感悟:(1)求函数f(x)极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.(2)求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:①求函数在(a,b)内的极值;②求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.【课堂小结】1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数【布置作业】练习册60练 p19【板书设计】课题一、要点梳理三、例题讲解二、课前热身四、课堂小结【教学反思】以题目引导教学,让学生先有所思,思有所获,获有所感。

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用
y
x1 a
X2
0
X4
X33
x b
x2 a
65..((2020070.江9.辽苏宁)已)知若函函数数f(fx()x=)x=3-12x x+18在在区x间=1[-处3,取3得]上极的值最,大则值a与= 最3 小. 值分别
为M,m,则M-m= 32 . 7.(2008.安徽)设函数f(x)=
2x 1 x1
28.06.2019
1
f (x)
要 点 复 习
1. 函数的单调性与导数的关系:设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,
⑴如果在区间(a, b)内, f ( x ) >0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调
递增;如果在区间(a, b)内, f (x) <0,那么函数y=f(x)在这个区间内
5
典例分类剖析 题型1 求函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间
⑴f(x)=2x3-3x2 -36x+16 ⑵f(x)= x3-3bx+2 (b≠0)
解:(1)函数f(x)的定义域为R, f (x)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-
3)
令 f (x) =6(x+2)(x-3) >0,解得x<-2或x>3 令 f (x)= 6(x+2)(x-3) < 0,解之得-2 < x < 3
两侧同号,则x0不是极值点。
28.06.2019
3
f (x)
要 点 复 习
⑶用导数法求可导函数y=f(x)极值的步骤: ①确定函数f(x)的定义域;
②求函数f(x)的导数 f (x) ; ③解方程 f (x) =0; 用 f (x) =0的每一个解x0顺次将函数的定义域分成若干个小区间,并

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用

3、函数的 f (x) x ln x的单调递减区间是
(0, 1] e
4、函数f(x) x3 3x 1在区间[3,0]上的最 大值与最小值分别为 3,-17
[温故]
1、导数与单调性:
设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果 f (x) >0,则f(x) 在这个区间内 单调递增; 如果 f (x) <0,则y=f(x) 在这个区间内的单调递减
“导数”为我们研究函数的性质(单调性、极值、最值) 提供了新的方法。本部分考题主要类型是以导数为工具 判断函数的单调性、求函数的单调区间、极值、最值等。 难点为含参数问题的分类讨论。
关注三次多项式函数
作业:完成《教学与测试》 上本节内容
(2)求f (x)在区间[0,2]上的最大值
(3)若关于x的方程f (x) 1有三个不同的实根, 求实数 a的取值范围
(4)当x [0,2]时,f (x) 1恒成立,求实数 a的 取值范围
[练习]
1、已知函数
f
(x)

2ax

1 x2
, 若f
( x)在x

(0,1]上
是增函数 ,求a的取值范围
①求y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
[真题] 08浙文21
已知a是实数,函数 f(x) x(2 x a)
(1)若f (1) 3,求a的值及曲线 y f (x)在点(1, f (1)) 处的切线方程
(1)如果在x0附近的左侧f (x) 0,右侧f (x) 0, 那么f (x0 )是极大值
(2)如果在x0附近的左侧f (x) 0,右侧f (x) 0, 那么f (x0 )是极小值
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13年(22考):福建T12 新课标全国卷ⅠT12 新课标全国卷ⅡT11 安徽T10 天津T8 浙江T8 江苏T20 湖南T21 江西T21 安徽T20 北京T18 福建T22 广东T21 湖北T21 山东T21 新课标全国卷ⅡT21 辽宁T21 三年 新课标全国卷ⅠT20 四川T21 考题 天津T20 浙江T21 重庆T20 12年(17考):辽宁T8 陕西T9 福建T12 山东T12 山东T22 江西T21 新课标全国卷T21 安徽T17 辽宁T21 陕西T21 浙江T21 北京T18 湖南T22 江苏T18 福建T22 广东T2 湖北T22
11年(13考):山东T21 陕西T21 三年 浙江T21 考题 福建T10 北京T18
湖南T22 天津T19 广东T19 福建T22
江苏T19 江西T20 辽宁T11 安徽T18
1.利用导数求函数的单调区间及极值(最值)、结合单 调性与不等式的成立情况求参数范围是高考命题的热 考情 点 播报 2.常与基本初等函数的图象与性质、解析几何、不等 式、方程等交汇命题,主要考查转化与化归思想、分 类讨论思想的应用 3.题型主要以解答题为主,属中高档题
【易错警示】求单调区间时要先关注函数的定义域
利用导数确定函数的单调性(区间),切记应先求定义域,
再考虑导数的符号,特别在确定含参数函数的单调性时,要注 意分类讨论.如本题中函数的定义域为(0,+≦),若解题时未求 出此定义域,则会导致错误.
【规律方法】用导数求函数的单调区间的“三个方法”及步骤 (1)方法一:当不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可解时,①确定 函数y=f(x)的定义域;
2 +ln x,则( x
)
A.x=
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
2 2 1 【解析】选D. 因为f(x)= +ln x,所以f′(x)= 2 , x x x 2 1 x2 令f′(x)=0,即 2 2 0, 解得x=2.当0<x<2时, x x x
(2)①由已知得函数的定义域为R, f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得f(0)=4,f′(0)=4. 故b=4,a+b=8,从而a=4,b=4. ②由①知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2) (e x 1 ).
2
令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2.
提醒:利用导数确定单调性时要把导数的符号与函数单调性的 关系记准.
【变式训练】(2014·长沙模拟)已知函数 f x ln xx k
e
(k为常数,e=2.718 28„是自然对数的底数),曲线y=f(x)在
点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值.
(2)求f(x)的单调区间.
6.(2014·济南模拟)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对 应值如下表: x -1 0 2 4 5
y
1
2
0
2
1
f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.
(1)f(x)的极小值为
.
(2)若函数y=f(x)-a有4个零点,则实数a的取值范围为_____
.
【解析】(1)由y=f′(x)的图象可知,
【知识梳理】 1.函数的单调性与导数的关系
增函数 常量函数 减函数
2.函数的极值与导数
(1)极值的概念:
f (x) f (x 0 )
极大值点
f (x) f (x 0 )
极 小值点
(2)利用导数求极值的步骤: ①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根; ③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断 左正右负 左增右减),那 y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果_________(
2a 2 =-aln x+ +x(a≠0)”,讨论f(x)的单调性. x
【解析】依题意得函数的定义域为(0,+≦),
a 2a 2 x 2 ax 2a 2 因为f x 2 1 x x x2 x a x 2a x 0 . x2
第 十 一 节
导数在研究函数中的应用
1.了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究 函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数 不超过三次) 考纲 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 要求 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不 超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其 中多项式函数不超过三次)
【解析】(1)由f(x)= ln xx k 得x∈(0,+≦),
e
1 ln x k e ln x k e x ln x k f x , 2x x e e
x x
由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行可知
1 ln 1 k f 1 1 0, 1 e
a,b,c的大小关系是( )
A.b>a>c
C.c>b>a
B.c>a>b
D.a>c>b
(2)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x, 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
①求a,b的值.
②讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
【解题视点】(1)根据已知条件构造函数y=xf(x),并用导数确 定其单调性,利用单调性比较a,b,c大小. (2)①根据f(0)=f′(0)=4构建关于a,b的方程求解. ②根据①确定f(x)的解析式,利用导数确定f(x)的单调性.
①当a>0时,
由f′(x)>0,及x>0得x>2a;
由f′(x)<0,及x>0得0<x<2a. 所以当a>0时,函数f(x)在(2a,+≦)上单调递增,在(0,2a)上 单调递减.
②当a<0时,由f′(x)>0及x>0得x>-a; 由f′(x)<0及x>0得0<x<-a. 所以当a<0时,函数f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+≦) 上单调递增. 综上所述,当a<0时,函数f(x)在(0,-a)上单调递减, 在(-a,+≦)上单调递增. 当a>0时,函数f(x)在(2a,+≦)上单调递增,在(0,2a)上 单调递减.
从而当x∈(-≦,-2)∪(-ln2,+≦)时,f′(x)>0;
当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0;
故f(x)在(-≦,-2),(-ln2,+≦)上单调递增, 在(-2,-ln2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
【互动探究】若本例题(2)中所有条件变为“已知函数f(x)
)
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选D. f′(x)=3x2-a≥0在[1,+≦)上恒成立,即a≤3x2
在[1,+≦)上恒成立,而(3x2)min=3×12=3.
所以a≤3,故amax=3.
4.(2014·荆门模拟)设函数f(x)=
1 为f(x)的极大值点 2 B.x= 1 为f(x)的极小值点 2
②求导数y′=f′(x);
③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区
间;
④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区
间.(2)方法二:当方程f′x)=0可解时,①确定函数y=f(x)的定义
域;
②求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区
间内的一切实根;
极大值 如果_________( 左负右正 左减右增),那么 么f(x)在这个根处取得_______,
极小值 如果左右两侧符号一样,那么这个 f(x)在这个根处取得_______. 根不是极值点. ④得极值,由表得极大值与极小值.
3.求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 极值 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_____. 极值 与端点处的________________ 函数值f(a),f(b) 比较, (2)将函数y=f(x)的各_____ 其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数f(x) 在[a,b]上的最值.
其中正确的是( A.①③ B.②④
) C.③⑤ D.④⑤
【解析】选C.①错误.f′(x)>0能推出f(x)为增函数,反之不一 定.如函数f(x)=x3在(-≦,+≦)上单调递增,但f′(x)≥0.所以 f′(x)>0是f(x)为增函数的充分条件,但不是必要条件.②错误. 一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个.③正 确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系,极大值可 能比极小值大,也可能比极小值小.④错误.对可导函数f(x), f′(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件,如y=x3在x=0时 f′(0)=0,而函数在R上为增函数,所以0不是极值点.⑤正确.当 函数在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极值.
x f′(x) f(x) (-1,0) + ↗ 0 0 极大 值 (0,2) ↘ 2 0 极小 值 (2,4) + ↗ 4 0 极大 值 (4,5) ↘
所以f(2)为f(x)的极小值,f(2)=0.
(2)y=f(x)的大致图象如图所示:
若函数y=f(x)-a有4个零点,则a的取值范围为1≤a<2.
解得k=1.
1 1 ln x (2)f′(x)= x x , x 0, . e 1 当0<x<1时, >1, x 1 所以 -1>0,又ln x<0, x 1 所以-ln x>0,所以 -1-ln x>0, x
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