2016_2017学年高中数学第2章圆柱、圆锥与圆锥曲线课件新人教B版选修4_1

3.椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一样，但它们 都可以用平面截对顶圆锥面得到，它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准 线的距离之比为常数，即离心率 e，定义上的统一，必须也蕴含着图形统一，应 该如何解释这种现象呢？
【提示】 我们知道，椭圆时离心率 e 越大，椭圆越扁；双曲线时离心率 e 越大，双曲线开口越大.随着 e 的增大，椭圆越变越扁，但左半部分开口越来越 大，左顶点离 l 越来越近，而右顶点离 F 点越来越远；当 e 趋近于 1 时，左顶点 趋近于 F 与 l 间的中点，而右顶点趋向无穷远处；当 e＝1 时，我们可以大胆地 认为右顶点在无穷远处，此时曲线变为抛物线；当 e>1 时，开口越来越大，右 顶点超过无穷远处并开始返回，此时曲线变为双曲线两支，或认为双曲线两支 无限延伸交于无穷处远，如图所示.
图 211
(2)性质(直线与投射线不平行) ①直线或线段的平行投影仍是 直线或线段 ； ②平行直线的平行投影是 平行或重合 的直线；
③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长 ； ④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形 全等 ； ⑤在同一直线或平行直线上， 两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 .
8.圆锥曲线的统一定义 除了圆之外，每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点 F 和到某条定直线 l 的距离的比值等于常数的点的轨迹，F 点叫做圆锥曲线的 焦点 ，直线叫做圆锥 曲线的 准线 .
[思考· 探究] 1.几何图形的正射影与原图相比有什么变化？
【提示】 可能变，也可能不变.例如，一个圆所在平面 β 与平面 α 平行时， 该圆在 α 上的正射影是与原来大小相同的圆；若 β 与 α 不平行时，圆在 α 上的 正射影不再是圆，而是椭圆或线段(β与α垂直时).
圆锥面的轴 .
(2)性质 圆锥面的轴线和每一条母线的夹角 相等 ，如果一平面垂直于圆锥面 的轴线 ，则其截圆锥面所得的截线是 圆 .
7.圆锥面的平面截线定理 在空间给定一个圆锥面 S，轴线与母线的夹角为 α，任取一个不通过 S 的顶 点的平面 δ，设其与轴线的夹角为 β(β 与轴线平行时，规定 β＝0)，则： (1)当 β＞α 时，平面 δ 与圆锥面的交线为 椭圆 ； (2)当 β＝α 时，平面 δ 与圆锥面的交线为 抛物线 ； (3)当 β＜α 时，平面 δ 与圆锥面的交线为 双曲线 .
2.球的切线及性质 与球只有唯一公共点的直线叫做 球的切线 ，如果球的切线通过一点 P， 切点为 A，则称线段 PA 的长为从 P 点引的 球的切线长 ，从球外任一点引该 球的所有切线长相等 . 3.球的切平面及性质 与球只有 唯一公共点 的平面叫做球的切平面，一个球的切平面，垂直于
过切点的半径 .
于是我们可以猜想：三条圆锥曲线都为封闭图形，其形状都，所以我们可更大胆猜 想如果人一直往前走，当生命允许的话，最终会走到自己的背后.我们可以在理 论上对图形的统一性进行探索.
|A1F| 因为顶点(曲线与两个坐标轴的交点)如 A1 是圆锥曲线上的点， 所以满足 |A1N| ＝e，当 e→1 时，A1 向中点靠近；当 e＝1 时，A1 位于中点；当 e→＋∞时，A1 |AF| → 向 N 靠近.这里 A1 只是FN的内分点，其实满足|AN|＝e 还有一个外分点，即另一 FA2 顶点 A2，满足A N＝－e.当 e<1 时，圆锥曲线为椭圆，所以它的外分点 A2 位于 2 NF 的延长线上；当 e→1 时，A2 离 F 点越远；当 e＝1 时，外分点不存在，或者 我们就可以理解为 A2 位于无穷远处，所以抛物线只有一个顶点；当 e>1 时，圆 锥曲线为双曲线，外分点 A2 位于 NF 的反向延长线上；e→＋∞时，A2 从左侧向 N 靠近.
4.圆柱面的内切球 圆柱面与球相切，该球叫做圆柱面的内切球. 5.直截面与斜截面 如果平面与圆柱面的轴线垂直，则平面与截圆柱面所得的截线是一个 圆， 此时称平面 α 为圆柱面的直截面 ；如果平面与圆柱面的轴线所成的角为 锐角， 此时称平面 α 为斜截面.
6.圆锥面及性质 π (1)定义：一条直线绕着与它相交成定角 θ(0<θ< )的另一条直线旋转一周， 2 形成的曲面叫做 圆锥面 ，这条直线叫 圆锥面的母线 ，另一条直线叫做
阶 段 一
2.1
平行投影与圆柱面的平面截线 2.1.1 平行投影的性质 圆柱面的平面截线
学 业 分 层 测 评
阶 段 二
2.1.2
2.2
用内切球探索圆锥曲线的性质 2.2.1 球的切线与切平面
2.2.2
圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线 2.2.3 2.2.4 圆锥面及其内切球 圆锥曲线的统一定义
1.了解平行投影的含义，能证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆). 2. 通过观察平面截圆锥面的情境体会圆锥面的平面截线定理，并能用 Dandelin 双球证明. 3.了解圆锥面的内切球及性质，及圆锥曲线的统一定义.
x2 y2 2.我们已经知道方程 2＋ 2＝1(a>b>0)表示长轴在 x 轴上的椭圆，试根据方 a b 程的特征，探求椭圆的一些几何性质.
【提示】 x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心. 椭圆有四个顶点 A1(－a，0)、A2(a，0)、B1(0，－b)、B2(0，b). ∴椭圆的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b， 椭圆的长轴为 A1A2，短轴为 B1B2， 长轴长为 2a，短轴长为 2b， c 离心率 e＝a∈(0，1).
[基础· 初探] 1.平行投影 (1)定义：如图 211 所示，已知图形 F，直线 l 与平面 α 相交，过 F 上任意 一点 M 作直线 MM′∥l，交平面 α 于点 M′，则点 M′叫做点 M 在平面 α 内关于直 线 l 的 平行投影(象) .如果图形 F 上的所有点在平面 α 内关于直线 l 的平行投影 构成图形 F′，则 F′叫做图形 F 在 α 内关于直线 l 的平行投影.平面 α 叫做投射面，l 叫做 投射线.