(浙江专版)18年高考数学二轮专题复习数学思想专练(一)
2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习讲义：开篇先学“审题”开启专题复习之旅 含答案 精品
开篇先学“审题”——开启专题复习之旅[编者按] 开篇先学审题技法，旨在用通法引领复习，在复习中实践通法．著名数学家波利亚总结了解决数学问题的四个步骤：弄清问题、拟订计划、实现计划、代入回顾．其中“弄清问题”即审题．审题是解题的基础和关键，一切解题的思路、方法、技巧都来源于认真审题．审题是解题者对题目提供信息的发现、辨认和转译，并对信息作有序提炼，明确题目的条件、问题和相互间的关系．审题就是“让题目会说话”，其具体内容是：已知什么，隐含什么，需作什么，注意什么，等等．下面从审条件和审结论两个方面谈一下如何审题．图象等几方面有的数学题条件并不明显，而寓于概念、存于性质或含于图中，审题时，就要注意深入挖掘这些隐含条件和信息，解题时，可避免因忽视隐含条件而出现的错误.[例1] (2017·衢州模拟)已知两条直线l1：4x－3y－1＝0和l2：4x－3y＋4＝0，圆C过点P(1,1)且与两直线都相切，则圆C的方程为____________________．[审题指导][解析] 由已知可得直线l 1与l 2平行，且直线l 1与l 2间的距离d ＝|－1－4|42＋－2＝1，又圆C 与l 1，l 2都相切，所以圆C 的半径r ＝12.故可设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝14，又P (1,1)在直线4x －3y －1＝0上，即直线l 1与圆C 相切于点P (1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧b －1a －1＝－34，|4a －3b －1|5＝|4a －3b ＋4|5，化简得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＝7，8a －6b ＝－3，解得a ＝35，b ＝1310.故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13102＝14.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13102＝141.(2017·杭州模拟)如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ，y ∈R)，且点P 落在四边形ABNM 内(含边界)，则y ＋1x ＋y ＋2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 解析：选C 由题意不妨设△OMN 为等腰直角三角形，OM ＝ON ＝2，则OA ＝OB ＝1，以OA ，OB 为x ，y 轴建立直角坐标系，则x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，1≤x ＋y ≤2，对应的平面区域是以点B (0,1)，N (0,2)，M (2,0)，A (1,0)为顶点的等腰梯形(含边界)，当(x ，y )取点(2,0)时，y ＋1x ＋1取得最小值13；当(x ，y )取点(0,2)时，y ＋1x ＋1取得最大值3，所以13≤y ＋1x ＋1≤3，13≤x ＋1y ＋1≤3，则y ＋1x ＋y ＋2＝1x ＋1y ＋1＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34，故选C.数学问题中的条件和结论，在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．[例2] (2017·绍兴模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足ba ＋c ＋ca ＋b≥1，则角A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π [审题指导]由条件中不等式结构――→去分母化简b 2＋c 2－a 2≥bc ――→联想余弦定理结构变形cos A ――→求范围得结论 [解析] 由ba ＋c ＋ca ＋b≥1，得b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得b 2＋c 2－a 2≥bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12.又因为0＜A ＜π，所以0＜A ≤π3，故选A. [答案] A2．(2017·金华中学模拟)已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －te |≥|a －e |，则( )A ．a ⊥eB ．a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：选C 法一：由题意，得a 2－2te ·a ＋t 2e 2≥a 2－2e ·a ＋e 2，即t 2－2e ·at ＋2e ·a －e 2≥0，因为该不等式对任意t ∈R 恒成立，则Δ＝4(e ·a )2－8e ·a ＋4e 2≤0， 因而(e ·a －e 2)2≤0.于是e ·a －e 2＝0. 所以e ·(a －e )＝0，e ⊥(a －e )．故选C.法二：如图，OA ―→＝e ，OC ―→＝a ，OB ―→＝te ，则|AC ―→|＝|a －e |，|BC ―→|＝|a －te |，由已知|AC ―→|≤|BC ―→|.因为点B 是直线OA 上的任意点，点C 与直线AB 上的点的连线中线段AC 的长度最短，故AC ⊥OB ，也就是e ⊥(a －e )．此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势，抓住图形的特征，利用图形所提供的信息解决问题.[例3] (2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1D.3π2＋3 [审题指导][解析] 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V ＝12×13×π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.[答案] A3.(2017·台州模拟)如图，M (xM ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m ，l 2：y ＝－m (A ≥m ≥0)的两个交点，记S ＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C 由题意可得sin(ωx M ＋φ)＝sin(－ωx N －φ)，则结合图象可得|(ωx M ＋φ)＋(－ωx N －φ)|＝π，所以S (m )＝|x M －x N |＝πω是一个与m 无关的常数函数，故选C.结论是解题的最终目标，解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律，可以从结论中捕捉解题信息，确定解题方向.而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.有些问题的结论看似不明确或不利于解决，可以转换角度，达到解决问题的目的.盯着未知数，这是个不错的解题途径.[例4] (2017·宁波模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1x.(1)求函数f (x )的极值和单调区间； (2)求证：ln n ＋12＜12＋13＋14＋ (1)(n ≥2，n ∈N *)． [审题指导] (1)求f x →判断f x 的符号→得结论(2)lnn ＋12＜12＋13＋14＋…＋1n ――→将不等式左边化成和式ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋1n ＜12＋13＋…＋1n ―→ 证明ln n ＋1n ＜1nn →证明ln x ＞1－1x，x ∈，――→与相结合利用fx 的极值证明[解] (1)因为f (x )＝ln x ＋1x， 所以f (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．(2)证明：由(1)知f (x )＝ln x ＋1x在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且f (1)＝1，所以对于x ∈(0,1)，ln x ＋1x ＞1即ln x ＞1－1x.令x ＝nn ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则nn ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1， 所以lnnn ＋1＞1－1n n ＋1＝1－n ＋1n ＝－1n， 即lnn ＋1n ＜1n. 则有ln 32＜12，ln 43＜13，ln 54＜14，…，ln n ＋1n ＜1n .将以上各式不等号两边分别相加，得ln 32＋ln 43＋ln 54＋…＋ln n ＋1n ＜12＋13＋14＋…＋1n ， 即lnn ＋12＜12＋13＋14＋ (1)(n ≥2，n ∈N *)．4．(2017·嘉兴模拟)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |， 即1c ＋1a ＝3c aa －c，可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1.因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知F (1,0)，设H (0，y H )，有FH ―→＝(－1，y H )，BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF ―→·FH ―→＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝－1k x ＋9－4k212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋9k 2＋.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ， 化简，得x M ≥1，即20k 2＋91k 2＋≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞.一些题目从已知到结论不易证明，可采用逆向分析法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件或已知定理为止.[例5] (2017·温州模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，n ＝1,2，3，…，其中A ，B 为常数．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)证明：不等式 5a mn －a m a n ＞1对任何正整数m ，n 都成立． [审题指导][证明] (1)由已知，得S 1＝a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝7，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝18.由(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝An ＋B ，知⎩⎪⎨⎪⎧－3S 2－7S 1＝A ＋B ，2S 3－12S 2＝2A ＋B ，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝－28，2A ＋B ＝－48，解得A ＝－20，B ＝－8.故(5n －8)S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝－20n －8，① 所以(5n －3)S n ＋2－(5n ＋7)S n ＋1＝－20n －28.②②－①，得(5n －3)S n ＋2－(10n －1)S n ＋1＋(5n ＋2)S n ＝－20，③ 所以(5n ＋2)S n ＋3－(10n ＋9)S n ＋2＋(5n ＋7)S n ＋1＝－20.④④－③，得(5n ＋2)S n ＋3－(15n ＋6)S n ＋2＋(15n ＋6)·S n ＋1－(5n ＋2)S n ＝0. 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以(5n ＋2)a n ＋3－(10n ＋4)a n ＋2＋(5n ＋2)a n ＋1＝0. 因为5n ＋2≠0，所以a n ＋3－2a n ＋2＋a n ＋1＝0. 所以a n ＋3－a n ＋2＝a n ＋2－a n ＋1，n ≥1. 又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝5， 所以数列{a n }为等差数列．(2)由(1)可知，a n ＝1＋5(n －1)＝5n －4，要证 5a mn －a m a n ＞1， 只要证5a mn ＞1＋a m a n ＋2a m a n . 因为a mn ＝5mn －4，a m a n ＝(5m －4)(5n －4)＝25mn －20(m ＋n )＋16，故只要证5(5mn －4)＞1＋25mn －20(m ＋n )＋16＋2a m a n ， 即只要证20m ＋20n －37＞2a m a n .因为2a m a n ≤a m ＋a n ＝5m ＋5n －8＜5m ＋5n －8＋(15m ＋15n －29)＝20m ＋20n －37， 所以命题得证．5．(2017·宁波模拟)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .若k 1>0，k 2>0，证明：FM ―→·FN ―→<2p 2.证明：由题意知，抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根，从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM ―→＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN ―→＝(pk 2，pk 22)，于是FM ―→·FN ―→＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)． 法一：要证FM ―→·FN ―→<2p 2， 只要证k 1k 2＋k 21k 22<2， 再证－2<k 1k 2<1. 由k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 即证0<k 1k 2<1.因为k 1＋k 2＝2>2k 1k 2，所以0<k 1k 2<1成立． 故FM ―→·FN ―→<2p 2成立．法二：因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1.故FM ―→·FN ―→<p 2(1＋12)＝2p 2.。
浙江2018年高考数学二轮专题复习 第二部分 专题一 第二讲 分类讨论、转化与化归思想
—————————[典例示范]—————————— 类型二 由概念、法则、公式引起的分类讨论
[例 2] 已知数列{an}的首项 a1＝1，前 n 项和为 Sn，
且数列Snn是公差为 2 的等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解] (1)由已知条件可得Snn＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴Sn＝2n2－n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]
(2)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝3，点 E 为 AD 的中 点，现分别沿 BE，CE 将△ABE，△DCE 翻折，使得点 A，D 重合于 F，此时二面角 E-BC-F 的余弦值为________．
解析：如图所示，取 BC 的中点 P，连接 EP，
FP，由题意得 BF＝CF＝2，∴PF⊥BC，又
—————————[即时应用]—————————— 3.(1)(Байду номын сангаас016·全国卷Ⅲ)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：xa22＋by22＝
1(a>b>0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点．P 为 C 上
一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与
y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为
3 成立的 x 的取值范围是________． (2)设 f(x)是定义在 R 上的单调递增函数，若 f(1－ax－x2)≤f(2 －a)对任意 a∈[－1,1]恒成立，则 x 的取值范围为________． 解析：(1)设 f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3， 当 x＝1 时，f(p)＝0，所以 x≠1. 要使 f(p)在 0≤p≤4 上恒正，
2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习讲义：第一部分+专题三 数列与数学归纳法+Word版含答案
专题三 数列与数学归纳法第一讲数列的通项考点一 利用a n 与S n 的关系求通项一、基础知识要记牢a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，使用时要注意对第一项的求解与检验，如果符合a n ＝S n －S n －1的规律才能合并，否则要写成分段的形式．二、经典例题领悟好[例1] (2018届高三·浙东北三校联考)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰是等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，⎝⎛⎭⎪⎫T n ＋32k ≥3n －6恒成立，求实数k 的取值范围．[解] (1)∵a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1(n ∈N *)， ∴a 2n ＝4S n －1＋4(n －1)＋1(n ≥2)， 两式相减，得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋4(n ≥2)， ∴a 2n ＋1＝(a n ＋2)2(n ≥2)． 又a n >0，故a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)． 即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)．又a 25＝a 2a 14，即(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋24)，解得a 2＝3， 又a 22＝4S 1＋4＋1，故a 1＝S 1＝1.∴a 2－a 1＝3－1＝2，故数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故a n ＝2n －1. 易知b 1＝a 2＝3，b 2＝a 5＝9，b 3＝a 14＝27，∴b n ＝3n. (2)由(1)可知T n ＝31－3n1－3＝3n ＋1－32. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1－32＋32k ≥3n －6对任意的n ∈N *恒成立，即k ≥2n －43n 对任意的n ∈N *恒成立． 令C n ＝2n －43n ，则C n －C n －1＝2n －43n －2n －63n －1＝－22n －73n (n ≥2)，故当n ＝2,3时，C n >C n －1，当n ≥4，n ∈N *时，C n <C n －1，∴C 3＝227最大，∴k ≥227.故k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫227，＋∞.对于数列，a n 和S n 有关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，这是一种重要的关系，是已知S n 求通项a n 的常用方法.首先利用S n “复制”出S n －1，就是“用两次”，再作差求出a n .三、预测押题不能少1．设各项均为正数的数列{a n } 的前n 项和为S n ，且 S n 满足 S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1 的值；(2)求数列{a n } 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a na n ＋1<13. 解：(1)由题意知，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0， 可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或2， 即a 1＝－3或2，又a n 为正数，所以a 1＝2. (2)由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *可得， (S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3， 又数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n .又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n . (3)证明：当n ＝1时，1a 1a 1＋1＝12×3＝16<13成立；当n ≥2时，1a na n ＋1＝12n2n ＋1<12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a na n ＋1<16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎪⎫13－12n＋1<16＋16＝13.所以对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1<13.考点二利用累加、累乘、代入等方法求通项一、基础知识要记牢累加即利用恒等式b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)求通项；累乘即利用恒等式a n＝a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1求通项．二、经典例题领悟好[例2] (1)已知正项数列{a n}中，a1＝1，且(n＋2)·a2n＋1－(n＋1)a2n＋a n a n＋1＝0，则它的通项公式为( )A．a n＝1n＋1B．a n＝2n＋1C．a n＝n＋22D．a n＝n(2)已知数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＝a n(1－na n＋1)，则数列{a n}的通项公式为________．[解析] (1)因为(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋a n a n＋1＝0，所以[(n＋2)a n＋1－(n＋1)a n](a n＋1＋a n)＝0.又{a n}为正项数列，所以(n＋2)a n＋1－(n＋1)a n＝0，即a n＋1a n＝n＋1n＋2，则当n≥2时，a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝nn＋1·n－1n·…·23·1＝2n＋1，又a1＝1＝21＋1，满足上式，故a n＝2n＋1.故选B.(2)原数列递推公式可化为1a n＋1－1a n＝n，令b n＝1a n，则b n＋1－b n＝n，因此b n＝(b n－b n－1)＋(b n－1－b n－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝n2－n＋22，所以a n＝2n2－n＋2.[答案] (1)B (2)a n＝2n2－n＋21累加、累乘是课本中求等差比数列通项方法的推广，若已知a na n -1＝g n 且g n 可以求积，则可以利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2…a na n －1求通项.若已知b n ＋1－b n ＝f n且fn 可以求和，则可以利用恒等式b n ＝b 1＋b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1解出通项；基本方法都有很大的“弹性空间”，把握其思想精髓就可以大有作为.2给出数列的递推关系求通项时通常利用代入法、整体换元法等求解，不必考虑特殊技巧.三、预测押题不能少2．(1)已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，设a n ＋t ＝2(a n －1＋t )(n ≥2)，所以2t －t ＝1，解得t ＝1，所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＋1＝2，所以{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2n，所以a n ＝2n－1.答案：2n－1(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n ＋1，设1a n ＋1＋t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝1＋12＝32，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，所以a n ＝23n －1.答案：a n ＝23n－1[知能专练(九)]一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8B ．10C ．12D ．14解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.2．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式为b n ＝( )A ．2n－1 B ．2n＋1 C ．2n ＋1－1 D ．2n －1＋2解析：选B 据已知易得a n＝2n－1，故由b n＋1＝ab n可得b n＋1＝2b n－1，变形为b n＋1－1＝2(b n－1)，即数列{b n－1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b n－1＝2n，解得b n＝2n ＋1.故选B.3．已知数列{a n}中，a1＝3，a2＝5且对于大于2的正整数，总有a n＝a n－1－a n－2，则a2 018等于( )A．－5 B．5 C．－3 D．3解析：选B a n＋6＝a n＋5－a n＋4＝a n＋4－a n＋3－a n＋4＝－(a n＋2－a n＋1 )＝－a n＋2＋a n＋1＝－(a n＋1－a n)＋a n＋1＝a n，故数列{a n}是以6为周期的周期数列，∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝5，故选B.4．已知数列{a n}满足a1＝1，且a n＝13a n－1＋⎝⎛⎭⎪⎫13n(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为( )A．a n＝3nn＋2B．a n＝n＋23nC．a n＝n＋2 D．a n＝(n＋2)3n解析：选B 由a n＝13a n－1＋⎝⎛⎭⎪⎫13n(n≥2且n∈N*)，得3n an＝3n－1an－1＋1,3n－1an－1＝3n－2an－2＋1，…，32a2＝3a1＋1，以上各式相加得3n a n＝n＋2，故a n＝n＋2 3n.5．(2017·宝鸡模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足4(n＋1)(S n＋1)＝(n＋2)2a n，则数列{a n}的通项公式为a n＝( )A．(n＋1)3 B．(2n＋1)2C．8n2 D．(2n＋1)2－1解析：选A 当n＝1时，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，当n≥2时，由4(S n＋1)＝n＋22a nn＋1，得4(S n－1＋1)＝n＋12a n－1n，两式相减得，4a n＝n＋22a nn＋1－n＋12a n－1n ，即a na n－1＝n＋13n3，所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝n＋13 n3·n3n－13·…·3323·8＝(n＋1)3，经验证n＝1时也符合，所以a n＝(n＋1)3.6．在各项均不为零的数列{a n}中，若a1＝1，a2＝13，2a n a n＋2＝a n＋1a n＋2＋a n a n＋1(n∈N*)，则a2 018＝( )A.14 033B.14 034C.14 035D.14 037解析：选C 因为2a n a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2＋a n a n ＋1(n ∈N *)，所以2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，其公差d ＝1a 2－1a 1＝2，所以1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，a n ＝12n －1，所以a 2 018＝14 035.二、填空题7．已知数列{a n }中，a 3＝3，a n ＋1＝a n ＋2，则a 2＋a 4＝________，a n ＝________. 解析：因为a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }为等差数列且公差d ＝2，由a 1＋2d ＝3得a 1＝－1，所以a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3，a 2＋a 4＝2a 3＝6.答案：6 2n －38．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：因为{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，且S 1＋3a 1＝4,2S 2＋4a 2＝8，则该等差数列的公差为4，所以nS n ＋(n ＋2)a n ＝4＋4(n －1)＝4n ，即S n ＋n ＋2n a n ＝4，S n －1＋n ＋1n －1a n －1＝4(n ≥2)，两式相减整理得a n a n －1＝n 2n －1(n ≥2)，则a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝12n －1×1×21×32×…×n n －1＝n 2n －1，经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝n2n －1. 答案：n2n －19．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．解析：设△A 1B 1O 的面积为S 0，梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积为S ⇒S 0S 0＋S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a22⇒S ＝3S 0， S 0＋nS S 0＋n ＋1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＋22⇒1＋3n 4＋3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＋22.由上面2种情况得3n －23n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 32⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3a 42·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a n ＋12＝14·47·710·…·3n －23n ＋1＝13n ＋1⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1a n ＋12＝13n ＋1⇒a n ＋1＝3n ＋1，且a 1＝1⇒a n ＝3n －2，n ∈N *.答案：a n ＝3n －2，n ∈N *三、解答题10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)．(1)求a 2，a 3； (2)证明：a n ＝3n－12.解：(1)易知a 2＝4，a 3＝13. (2)证明：由于a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)．∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…3＋1＝3n －12(n ≥2)，经检验，n ＝1时也满足上式，故a n ＝3n－12.11．数列{a n }满足a 1＝1且8a n ＋1a n －16a n ＋1＋2a n ＋5＝0(n ≥1)，记b n ＝1a n －12(n ≥1)．(1)求b 1，b 2，b 3，b 4的值；(2)求数列{b n }的通项及数列{a n b n }的前n 项和S n . 解：(1)由b n ＝1a n －12，得a n ＝1b n ＋12. 代入递推关系8a n ＋1a n －16a n ＋1＋2a n ＋5＝0， 整理得4b n ＋1b n －6b n ＋1＋3b n＝0.即b n ＋1＝2b n －43.由a 1＝1得b 1＝2， 所以b 2＝83，b 3＝4，b 4＝203.(2)∵b n ＋1＝2b n －43，∴b n ＋1－43＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －43，b 1－43＝23≠0.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n－43是以23为首项，以2为公比的等比数列． 故b n －43＝13×2n ，即b n ＝13×2n＋43.由b n ＝1a n －12得a n b n ＝12b n ＋1， 故S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝12(b 1＋b 2＋…＋b n )＋n ＝131－2n1－2＋53n ＝13(2n＋5n －1)． 12．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，又a 2＝2，则a n＝3n －1，而n ＝1时也符合该式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3， 当n ≥3时，T n ＝3＋91－3n －21－3－n ＋7n －22＝3n －n 2－5n ＋112，因为当n ＝2时，也符合T n ＝3n－n 2－5n ＋112.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112，n ≥2，n ∈N *.第二讲等差数列、等比数列考点一 等差、等比数列的基本运算 一、基础知识要记牢等差数列 等比数列概念 a n －a n －1＝d ，n ≥2 a na n －1＝q ，n ≥2 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1(q ≠0) 前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d(1)q ≠1，S n ＝a 11－q n1－q＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏(2)设等比数列{a n }中，若a 3＝3，且a 2 017＋a 2 018＝0，则S 101等于( ) A ．3 B ．303 C ．－3D ．－303[解析] (1)每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 11－271－2＝381，解得a 1＝3.(2)∵等比数列{a n }中，a 3＝3，且a 2 017＋a 2 018＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1q2 0161＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－1，∴S 101＝a 11－q 1011－q ＝3[1－－1101]1－－1＝3×22＝3.[答案] (1)B (2)A等差等比数列的基本运算，一般通过其通项公式及前n 项和公式建立关于a 1和d或q的方程或方程组解决.注意利用等比数列前n 项和公式求和时，不可忽视对公比q 是否为1的讨论. 三、预测押题不能少1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.解：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5，或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6. 考点二 等差、等比数列的判定与证明 一、基础知识要记牢1．证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； (2)利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． 2．证明{a n }是等比数列的两种基本方法 (1)利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； (2)利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，a n ≠0)． 二、经典例题领悟好[例2] (2018届高三·浙江联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1a n (n ≥1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)设数列{2na n }的前n 项和为T n ，A n ＝1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ，试比较A n 与2na n的大小．[解] (1)证明：由a 1＝S 1＝2－3a 1得，a 1＝12.由S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n 得，S n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1，n ≥2，于是a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n，整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项及公比均为12的等比数列．(2)由(1)得a n n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n ，于是2na n ＝n ，T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，1T n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1. 又2na n＝2n ＋1n 2，所以问题转化为比较2n ＋1n 2与2n n ＋1的大小，即比较2nn 2与n n ＋1的大小． 设f (n )＝2nn2，g (n )＝n n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝2n[n n －2－1][n n ＋1]2， 当n ≥3时，f (n ＋1)－f (n )>0， 所以当n ≥3时，f (n )单调递增，所以当n ≥4时，f (n )≥f (4)＝1，而g (n )<1， 所以当n ≥4时，f (n )>g (n )．经检验当n ＝1,2,3时，仍有f (n )>g (n )． 综上可得，A n <2na n.1判断一个数列是等差等比数列，还有通项公式法及前n 项和公式法，但不可作为证明方法.2若要判断一个数列不是等差等比数列，只需判断存在连续三项不成等差等比数列即可.3a 2n ＝a n －1a n ＋1n ≥2，n ∈N *是{a n }为等比数列的必要不充分条件，也就是要注意判断一个数列是等比数列时，各项不能为0.三、预测押题不能少2．在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n ，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和是S n .(1)证明数列{b n }是等差数列，并求S n ； (2)比较a n 与S n ＋7的大小． 解：(1)证明：∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n ，∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列．由a 1＝35，b n ＝1a n －1得b 1＝－52，∴S n ＝－5n2＋n n －12＝n 22－3n .(2)由(1)知：b n ＝－52＋n －1＝n －72.由b n ＝1a n －1得a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋22n －7.∵当n ≥4时，y ＝－n 22＋3n －6是减函数，y ＝22n －7也是减函数，∴当n ≥4时，a n －S n －7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴对任意的n ∈N *，a n －S n －7≤0，∴a n ≤S n ＋7.考点三 等差、等比数列的性质 一、基础知识要记牢等差数列等比数列性质 (1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ＋a n ＝a p ＋a q(2)a n ＝a m ＋(n －m )d(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ， 则a m ·a n ＝a p ·a q (2)a n ＝a m qn －m(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比数列(S n ≠0)[例3] (1)(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97(2)(2017·湖州模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2a 10＝9，则a 5＋a 7( ) A ．有最小值6 B ．有最大值6 C ．有最大值9D ．有最小值3[解析] (1)法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.(2)因为等比数列{a n }各项为正数，且a 5·a 7＝a 2·a 10＝9， 所以a 5＋a 7≥2a 5·a 7＝29＝6， 当且仅当a 5＝a 7＝3时等号成立， 所以a 5＋a 7的最小值为6.故选A. [答案] (1)C (2)A等差、等比数列性质应用问题求解策略(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n a 1＋a n2＝nan ＋12(n 为奇数)是常用的转化方法．(2)熟练运用等差、等比数列的性质，可减少运算过程，提高解题正确率．(3)灵活利用等差、等比数列和的性质，等差(比)数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也是等差(比)数列(公比q 不为－1).三、预测押题不能少3．(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＋a 8>0，S 11<0，则S n 的最大值为( ) A ．S 5 B ．S 6 C ．S 9D ．不能确定解析：选A 因为{a n }是等差数列，所以a 2＋a 8＝2a 5>0，a 5>0，又S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6<0，a 6<0，所以等差数列{a n }的前5项是正数，从第6项开始为负数，所以S n 的最大值为S 5，故选A.(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50解析：选B 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即S 9－S 6＝16，S 12－S 9＝32，因此S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝4＋8＋16＋32＝60，故选B.[知能专练(十)]一、选择题1．(2017·苏州模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A．－6 B．－4C．－2 D．2解析：选A 根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a1＋a8)＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为( )A．－24 B．－3C．3 D．8解析：选A 设等差数列{a n}的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a23，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2.又a1＝1，所以d2＋2d＝0.又d≠0，则d＝－2，所以{a n}前6项的和S6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.3．已知等比数列{a n}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( )A．4 B．6C．8 D．－9解析：选 A ∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a26＋a6a10＝a24＋2a4a8＋a28＝(a4＋a8)2＝4.4．(2017·宝鸡质检)设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9＝18，a n－4＝30(n>9)，若S n＝336，则n的值为( )A．18 B．19C．20 D．21解析：选 D 因为{a n}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，S n＝n a1＋a n2＝n a5＋a n－42＝n2×32＝16n＝336，解得n＝21.5．(2016·浙江高考)如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n＋1|＝|A n＋1A n＋2|，A n≠A n＋2，n∈N *，|Bn B n＋1|＝|B n＋1B n＋2|，B n≠B n＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若d n＝|A n B n|，S n为△A n B n B n＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析：选A 由题意，过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，…分别作直线B 1B n ＋1的垂线，高分别记为h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…，根据平行线的性质，得h 1，h 2，h 3，…，h n ，h n ＋1，…成等差数列，又S n ＝12×|B n B n ＋1|×h n ，|B n B n ＋1|为定值，所以{S n }是等差数列．故选A.6．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为m q 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为m m q 解析：选C 等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1，所以c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m ＝a 1q m (n －1)·a 1qm (n －1)＋1·…·a 1qm (n －1)＋m －1＝a m 1q m (n －1)＋m (n －1)＋1＋…＋m (n －1)＋m －1＝a m1q(m )(m )m (n )211+112＋--－＝a m1qm m n 2(1)(1)2＋-－.所以数列{c n }为等比数列，公比为m q 2. 二、填空题7．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1，a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3，两式相除，得1＋q 1－q 2＝13，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－88．已知公比q 不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 2＋S 2，a 3＋S 3，a 4＋S 4成等差数列，则q ＝________，S 6＝________.解析：由a 2＋S 2＝12＋q ，a 3＋S 3＝12＋12q ＋q 2，a 4＋S 4＝12＋12q ＋12q 2＋q 3成等差数列，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12q ＋q 2＝12＋q ＋12＋12q ＋12q 2＋q 3，化简得(2q 2－3q ＋1)q ＝0，q ≠1，且q ≠0，解得q＝12，所以S 6＝a 11－q61－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝6364.答案：12 63649．(2018届高三·杭州七校联考)等比数列{a n }中a 1＝2，公比q ＝－2，记Πn ＝a 1×a 2×…×a n (即Πn 表示数列{a n }的前n 项之积)，Π8，Π9，Π10，Π11中值最大的是________．解析：由a 1＝2，q ＝－2，Πn ＝a 1×a 2×…×a n ＝(a 1)nqn n (-)12，Π8＝28(－2)28＝236；Π9＝29(－2)36＝245；Π10＝210(－2)45＝－255；Π11＝211(－2)55＝－266.故Π9最大．答案：Π9 三、解答题10．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2·(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：由S n ＝4a n －3可知， 当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1，又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2，n ∈N *)． 当n ＝1时上式也满足条件．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N *)．12．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解：(1)设{a n }的公比为q . 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＝2，a 11＋q ＋q 2＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，q ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝－2×[1－－2n]1－－2＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋－1n2n ＋13＝2S n，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．第三讲数列的综合应用考点一 数列求和数列求和的关键是分析其通项，熟悉两个基本数列的求和公式以及体现的思想方法(如转化与化归思想、错位相减法、倒序相加法等)，根据具体情形采取灵活手段解决．数列求和的基本方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等．考查类型(一) 利用公式、分组求和 一、经典例题领悟好[例1] (2016·北京高考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27， 所以b n ＝3n －1(n ∈N *)．设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n 1＋2n －12＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12.分组求和法的2种常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组法求和.二、预测押题不能少1．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6. ∴d ＝－3，又a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2.(2)∵数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴a n ＋b n ＝qn －1，即－3n ＋2＋b n ＝qn －1，∴b n ＝3n －2＋q n －1.∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋q ＋q 2＋…＋q n －1)＝n 3n －12＋(1＋q ＋q 2＋…＋qn －1)，故当q ＝1时，S n ＝n 3n －12＋n ＝3n 2＋n 2；当q ≠1时，S n ＝n 3n －12＋1－q n1－q. 考查类型(二) 错位相减求和 一、经典例题领悟好[例2] (2017·天津高考)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12. 因为b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2.所以b n ＝2n. 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n b n ＝(6n －2)·2n.有T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1，上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n －2)×2n ＋1＝12×1－2n1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16， 得T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.1错位相减法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列求和，属于等比数列求和公式的推导方法的应用.2利用错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应注意两式“错项对齐”；②当等比数列的公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论.二、预测押题不能少2．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .解：(1)设{a n }的公比为q ， 由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2. 又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n. (2)由题意知，S 2n ＋1＝2n ＋1b 1＋b 2n ＋12＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .考查类型(三) 裂项相消求和一、经典例题领悟好[例3] (2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． [解] (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝22n ＋12n －1＝12n －1－12n ＋1.则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.(1)裂项相消一般适用于通项公式为h nf ng n型数列的求和．(2)裂项相消求和法一般是把数列每一项分裂成两项的差，通过正、负项相消求和．常用裂项形式如：an n ＋k ＝a k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ，a n ＋n ＋k ＝a k (n ＋k －n )(a ，k 是不为0的常数)．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可能前面剩两项，后面也剩两项．(3)如果数列的通项公式不是常见的裂项形式，可以先猜后验，再确定如何裂项. 二、预测押题不能少3．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且3a 2是a 1＋3和a 3＋4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a na n ＋1a n ＋1＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12.解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，则a 1q ＝2，∴a 1＝2q，a 3＝a 1q 2＝2q .由S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，∴2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意，得q >1，∴q ＝2.∴a 1＝1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)证明：∵b n ＝a na n ＋1a n ＋1＋1＝2n －12n －1＋12n＋1＝12n －1＋1－12n＋1，∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝11＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1<12. 考点二 数列在实际问题中的应用 一、经典例题领悟好[例4] 某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用(称为设备的低劣化值)会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线设备低劣化值为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年设备低劣化平均值为A n ，当A n 达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由．[解] (1)当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }是首项为a 7，公比为54的等比数列，又a 7＝16，所以a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，所以a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)＝n 2＋3n ，当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝S 7＋16×54×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －71－54＝80·⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10.该生产线前n 年设备低劣化平均值为A n＝S nn ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3，1≤n ≤7，80·⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10n，n ≥8.当1≤n ≤7时，数列{A n }为单调递增数列； 当n ≥8时，因为S n ＋1n ＋1－S n n ＝80·⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1＋10n n ＋1>0，所以{A n }为单调递增数列．又S 77＝10<12，S 88＝11.25<12，S 99≈12.78>12， 则第九年需要更新该生产线．数列应用题中的常见模型(1)等差模型：即问题中增加(或减少)的量是一个固定量，此量即为公差． (2)等比模型：即问题中后一量与前一量的比是固定常数，此常数即为公比． (3)a n 与a n ＋1型：即问题中给出前后两项关系不固定，可考虑a n 与a n ＋1的关系. 二、预测押题不能少4．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．解：(1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2.整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d .由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000解得d ＝m m ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭3210002312--⨯＝1 0003m －2m ＋13m －2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 0003m－2m ＋13m －2m 时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．[知能专练(十一)]一、选择题1．(2018届高三·金华十校联考)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2 018＝( )A ．2×31 009－2 B ．2×31 009C.32 018－12 D.32 018＋12解析：选A 由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S 2 018＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－31 0091－3＋31－31 0091－3＝(－2)×(1－31 009)＝2×31 009－2.2．(2017·长沙质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为( )A ．2 017B ．2 016C ．1 009D ．1 008解析：选C 因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009.3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400解析：选 B S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列(记为)a 1，a 2，a 3，…，a n . 则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝( )A ．n 2B ．(n －1)2C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)解析：选C a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 1·n 2＋n 2·n 3＋…＋n n －1·nn ＝n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝n 2·n －1n＝n (n －1)． 5．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选D 当1≤n ≤24时，a n >0，当26≤n ≤49时，a n <0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，a n >0，当76≤n ≤99时，a n <0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有S n >0.6．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：选A 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n n ＋12.由题意可知，N >100，令n n ＋12>100，得n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后．易得第n 组的所有项的和为1－2n 1－2＝2n－1，前n 组的所有项的和为21－2n1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数， 若要使前N 项和为2的整数幂，则第k ＋1组的前t 项的和2t－1应与－2－k 互为相反。
2018浙江高考数学(理)二轮专题复习检测：第二部分 第1讲 分类讨论思想 专题能力训练19
专题能力训练19分类讨论思想(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x-3|<a,x∈R},若A⊇B,则a的取值范围是()A.0≤a≤1B.a≤1C.a<1D.0<a<12.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-B.-C.-D.-3.实数x,y满足不等式组则t=的取值范围是()A.[-1,5]B.[0,5]C.[-1,6]D.[0,6]4.若方程=1表示双曲线,则它的焦点坐标为()A.(k,0),(-k,0)B.(0,k),(0,-k)C.(,0),(-,0)D.由k的取值确定5.已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3]B.[-3,0)C.[-3,-1]D.{-3}6.设函数f(x)=若f[f(a)]>f[f(a)+1],则实数a的取值范围为()A.(-1,0]B.[-1,0]C.(-5,-4]D.[-5,-4]7.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A B中元素的个数为()A.77B.49C.45D.308.(2017浙江嘉兴一模)已知实数x,y满足若ax+y的最大值为10,则实数a=()A.4B.3C.2D.1二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若关于x的不等式ax2-|x|+2a<0的解集为空集,则实数a的取值范围为.10.若x>0,且x≠1,则函数y=lg x+log x10的值域为.11.已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=a n+sin2,则该数列的前20项的和为.12.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有.13.已知f(x)=若f(a)=,则a= .14.(2017浙江杭州高级中学模拟)设a<0,(3x2+a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,则b-a的最大值为.三、解答题(本大题共1小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分30分)已知函数f(x)=sin(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f coscos 2α,求cos α-sin α的值.参考答案专题能力训练19分类讨论思想1.B2.A解析由于f(a)=-3,①若a≤1,则2a-1-2=-3,整理得2a-1=-1.由于2x>0,所以2a-1=-1无解;②若a>1,则-log2(a+1)=-3,解得a+1=8,a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-.综上所述,f(6-a)=-.故选A.3.B解析不等式组表示的平面区域如图所示,当x+y≥0时,点P(x,y)在区域①,且t==1+=1+k PA,其中A(-1,1),由图可知k PA∈[-1,4],所以t∈[0,5];当x+y<0时,点P(x,y)在区域②,且t==-=-1-=-1-k PA,由图可知k PA∈[-2,-1),所以t∈(0,1],综上可知,t∈[0,5].4.D解析若焦点在x轴上,则即k>4,且c=.若焦点在y轴上,则即k<-4,且c=.故选D.5.B解析当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1],当a≤x<0时,f(x)∈,所以⫋[-8,1],即-8≤-<-1,即-3≤a<0.6.C解析由f(x)=可知f(x)+1=当x≤-4时,f(x)≤0,当x>-4,且x≠0时,f(x)>0.由f[f(a)]>f[f(a)+1],得解得-1<f(a)≤0,从而有-5<a≤-4.7.C解析A={(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0)}.如图,B中元素共25个.(1)当x1=y1=0时,A B=B,共有25个元素.(2)当x1=0,y1=-1时,A B中的元素为(x2,y2-1),其中不在B中的元素有(-2,-3),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(2,-3)共5个.(3)当x1=0,y1=1时,A B中的元素为(x2,y2+1),其中不在B中的元素有(-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3)共5个.(4)当x1=-1,y1=0时,A B中的元素为(x2-1,y2),其中不在B中的元素有(-3,-2),(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2)共5个.(5)当x1=1,y1=0时,A B中的元素为(x2+1,y2),其中不在B中的元素有(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,2)共5个.综上,A B中的元素共有25+5×4=45(个).8.C解析画出满足条件的平面区域,如图所示:由解得A(3,4),令z=ax+y,因为z的最大值为10,所以直线在y轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10),所以z=ax+y与可行域有交点.当a>0时,直线经过A时z取得最大值,即ax+y=10,将A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2;当a≤0时,直线经过A时z取得最大值,即ax+y=10,将A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2,与a≤0矛盾.综上a=2.9. 解析当a=0时,不等式为-|x|<0,解集不为空集.当a≠0时,由题意知a>0,令t=|x|,则原不等式等价于at2-t+2a<0(t≥0),所以a<(t≥0).根据题意知a≥(t≥0).而,所以a≥.10.(-∞,-2]∪[2,+∞)解析当x>1时,y=lg x+log x10=lg x+≥2=2;当0<x<1时,y=lg x+log x10=-≤-2=-2.故所求函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).11.2 101解析当n为奇数时,a n+2=a n+1,故奇数项是首项为1,公差为1的等差数列,其前10项之和等于1×10+=55;当n为偶数时,a n+2=2a n,故偶数项是首项为2,公比为2的等比数列,其前10项之和为=211-2=2 046.所以,数列{a n}的前20项之和为55+2 046=2 101.12.B解析当五位数的万位为4时,个位可以是0,2,此时满足条件的偶数共有=48个;当五位数的万位为5时,个位可以是0,2,4,此时满足条件的偶数共有=72个,所以比40 000大的偶数共有48+72=120个.13.或- 解析若a≥0,由f(a)=,解得a=;若a<0,则|sin a|=,a∈,解得a=-.综上,可知a=或a=-.14.解析∵(3x2+a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,∴3x2+a≥0,2x+b≥0或3x2+a≤0,2x+b≤0,①若2x+b≥0在(a,b)上恒成立,则2a+b≥0,即b≥-2a>0,此时当x=0时,3x2+a=a≥0不成立.②若2x+b≤0在(a,b)上恒成立,则2b+b≤0,即b≤0,若3x2+a≤0在(a,b)上恒成立,则3a2+a≤0,即-≤a≤0,故b-a的最大值为.15.解 (1)因为函数y=sin x的单调递增区间为+2kπ,,k∈Z,由-+2kπ≤3x++2kπ,k∈Z,得-≤x≤,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)由已知,有sincos·(cos2α-sin2α),所以sin αcos+cos αsin=(cos2α-sin2α),即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.此时,cos α-sin α=-.当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=.由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-.综上所述,cos α-sin α=-或cos α-sin α=-.。
(浙江专版)高考数学二轮专题突破 第2部分 专题一 第1讲 数学思想专练一(以真题和模拟题为例) 理
一、选择题1．(2013·青岛模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为( )A.12 B.13 C.25D.49解析：选B 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2.由S 1,2S 2,3S 3成等差数列，得2×2S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，可得3q 2－q ＝0，得q ＝0或q ＝13，因为q ≠0，所以q ＝13.2．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，5) C ．[2，5]D ．(3，5)解析：选B e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2，因为1a是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.3．已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)解析：选C 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程并解得x <1或x >3.4．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0解析：选B 原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数y ＝2x －5－x，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，即x ＋y ≤0.5.如图，A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ ＝OA ＋OP ，四边形OAQP 的面积为S ，当OA ·OP ＋S 取得最大值时θ的值为( )A.π6B.π4C.π3 D.π2解析：选B OA ·OP ＋S ＝|OA |·|OP |cos θ＋|OA |·|OP |sin θ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，当θ＝π4时，OA ·OP ＋S 取得最大值． 6．(2013·西安模拟)已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m 的值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D 假设方程f (x )＝m 的两个实根x 3<x 4.由函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))的零点为π2，3π2，又四个数按从小到大排列构成等差数列，可得π2<x 3<x 4<3π2，由题意得x 3＋x 4＝π2＋3π2＝2π①，2x 3＝π2＋x 4②，则由①②可得x 3＝5π6，所以m ＝cos 5π6＝－32.二、填空题7．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是________解析：令f (x )＝sin 2x ＋2sin x ，则f (x )的值域是[－1,3]，因为方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，所以－1≤－a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3,1]．答案：[－3,1]8．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：由{a n }是递增数列，得a n <a n ＋1对n ∈N *恒成立，即n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)，整理得λ>－(2n ＋1)．而－(2n ＋1)≤－3，所以λ>－3.答案：(－3，＋∞)9．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．解析：设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，F (x )为增函数． 因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(如图)． 答案：(－∞，－3)∪(0,3) 三、解答题10．(2013·贵阳模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1)设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，a 1＋d 2＝a 1a 1＋5d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，d ＝0(舍去)，所以a n ＝3n －2.(2)S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n2，所以b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n－1≥23n ·48n－1＝23，当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.11．(2013·海淀模拟)如图，曲线M ：y 2＝x 与曲线N ：(x －4)2＋2y 2＝m 2(m >0)相交于A ，B ，C ，D 四个点．(1)求m 的取值范围；(2)求四边形ABCD 的面积的最大值及此时对角线AC 与BD 的交点坐标．解：(1)联立曲线M ，N 的方程，消去y 可得(x －4)2＋2x －m 2＝0， 即x 2－6x ＋16－m 2＝0，根据条件可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36－416－m 2>0，x 1＋x 2＝6>0，x 1x 2＝16－m 2>0，解得7<m <4，故m 的取值范围是(7，4)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 2>x 1，y 1>0，y 2>0. 则S ABCD ＝(y 1＋y 2)(x 2－x 1)＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)＝ x 1＋x 2＋2x 1x 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝ 6＋216－m 2·36－4×16－m 2.令t ＝16－m 2，则t ∈(0,3)，S ABCD ＝6＋2t ·36－4t 2＝22×－t 3－3t 2＋9t ＋27，设f (t )＝－t 3－3t 2＋9t ＋27，则令f ′(t )＝－3t 2－6t ＋9＝－3(t 2＋2t －3)＝ －3(t －1)(t ＋3)＝0，可得当t ∈(0,3)时，f (x )的最大值为f (1)＝32，从而S ABCD 的最大值为16. 此时t ＝1，即16－m 2＝1，则m 2＝15.联立曲线M ，N 的方程消去y 并整理得x 2－6x ＋1＝0，解得x 1＝3－22，x 2＝3＋22，所以A 点的坐标为(3－22，2－1)，C 点坐标为(3＋22，－2－1)，k AC ＝－2－1－2－13＋22－3－22＝－12，则直线AC 的方程为y －(2－1)＝－12[x －(3－22)]，当y ＝0时，x ＝1，由对称性可知AC 与BD 的交点在x 轴上，即对角线AC 与BD 交点坐标为(1,0)．12．已知函数f (x )＝ax 3＋(2－a )x 2－x －1(a >0)． (1)若a ＝4，求f (x )的单调区间；(2)设x 1，x 2,1为关于x 的方程f (x )＝0的实根，若x 1x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的取值范围．解：(1)∵当a ＝4时，f (x )＝4x 3－2x 2－x －1， ∴f ′(x )＝12x 2－4x －1＝(6x ＋1)(2x －1)， 由f ′(x )>0得x <－16或x >12，由f ′(x )<0得－16<x <12，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－16，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12.(2)∵f (x )＝(x －1)(ax 2＋2x ＋1)，∴f (x )＝0一根为1，另两根为ax 2＋2x ＋1＝0的解，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0得0<a ≤1，由韦达定理知ax 2＋2x ＋1＝0的解均为负值． ∵x 1x 2>0，x 1，x 2为ax 2＋2x ＋1＝0的根，∴x 1＋x 22x 1x 2＝x 1x 2＋x 2x 1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 21a＝4a.令t ＝x 1x 2，u (t )＝t ＋1t ＋2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 则u ′(t )＝1－1t 2，∴u (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，在[1,2]上递增，∴u (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，92，即4a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，92，故a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤89，1.。
(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习数学思想专练(一)
数学思想专练（一）一、选择题1．(2018届高三²浙江五校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152D.172解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝4，S 10＝10a 1＋10³92d ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝2n ＋n n －12³2＝n 2＋n ，所以S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋32n ＋12≥2n 2²32n ＋12＝172，当且仅当n 2＝32n，即n ＝8时取等号，故选D. 2．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：选B 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ≥0，f 0 <0，f 2 >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1<0，4k ＋3>0，∴－34<k ≤0.3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，又函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x .则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：选D 依题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＋x ＋4，x <x 2－2，x 2－2－x ，x ≥x 2－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.画出f (x )的图象，如图所示，从图中可以看出f (x )的值域为(2，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 4．已知f (x )＝e x －e －x＋1，若f (a )＋f (a －2)<2，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e x－e －x，显然有f (x )＝g (x )＋1，且g (x )为奇函数，在R 上是增函数， 因为f (a )＋f (a －2)<2，所以g (a )＋g (a －2)<0，所以g (a )<－g (a －2)＝g (2－a )，所以a <2－a ，所以a <1，选A.5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的定义域为D ，若所有点(s ，f (t ))(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为( )A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定解析：选B 根据二次函数性质及复合函数的性质，如示意图，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的两个零点为x 1，x 2，则一定有|x 1－x 2|＝f max (x )，故b 2－4aca 2＝ 4ac －b 24a，a 2＝－4a ，a ＝－4，选B. 6．定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66 解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，令x ＝－1，则f (1)＝f (－1)－f (1)， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)，∴f (1)＝0. ∴f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，又∵当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，令g (x )＝loga (x ＋1) ，则f (x )与g (x )在[0，＋∞)的部分图象如图所示．y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，可化为f (x )与g (x )的图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 3>－2，解得0＜a ＜33，故选A. 二、填空题7．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y ≤3，x －y ≤1，若z ＝kx ＋y 的最大值为5，且k 为负整数，则k ＝________.解析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如图所示：其中点A (－2,3)，B (4,3)，C (1,0)，根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在交点处取得，则－2k ＋3＝5或4k ＋3＝5或k ＋0＝5，又k 为负整数，所以k ＝－1.答案：－18．(2017²泰州模拟)在直角△ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，斜边BC 上有异于端点的两点E ，F ，且EF ＝1，则AE ―→²AF ―→的取值范围是________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设E (x,23－3x )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，332－3x ，其中0<x <32，所以AE ―→²AF ―→＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋()23－3x ⎝⎛⎭⎪⎫332－3x ＝4x 2－10x ＋9.设f (x )＝4x 2－10x ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32，则其图象的对称轴为x ＝54，其值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9，所以AE ―→²AF ―→的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，99.如图，设直线m ，n 相交于点O ，且夹角为30°，点P 是直线m 上的动点，点A ，B 是直线n 上的定点．若|OA ―→|＝|AB ―→|＝2，则PA ―→²PB ―→的最小值是________．解析：以OB 所在直线为x 轴，过O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图的坐标系，则A (2,0)，B (4,0)，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，33a ，则PA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ，－33a ，PB ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫4－a ，－33a ，所以PA ―→²PB ―→＝(2－a )(4－a )＋13a 2＝43a 2－6a ＋8＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫a －942＋54≥54，所以PA ―→²PB ―→的最小值为54.答案：54三、解答题10．已知函数f (x )＝|4x －x 2|－a ，当函数有4个零点时，求a 的取值范围． 解：∵函数f (x )＝|4x －x 2|－a 有4个零点， ∴方程|4x －x 2|＝a 有4个不同的解． 令g (x )＝|4x －x 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－ x －2 2， 0≤x ≤4， x －2 2－4，x <0或x >4.作出g (x )的图象，如图所示，由图象可以看出， 当h (x )＝a 与g (x )有4个交点时，0<a <4， ∴a 的取值范围为(0,4)．11．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)²4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ， 显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋ 4n －2 ]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 12.已知椭圆C 的离心率为32，点A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S △ABF ＝1－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意，知椭圆C 的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，即a ＝2b ，① 可得c ＝3b .②S △ABF ＝12|AF ||OB |＝12(a －c )b ＝1－32.③ 联立①②③，解得b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，知圆心O 到直线l 的距离d ＝22－ 3 2＝1， 即|m |1＋k2＝1，故有m 2＝1＋k 2，④由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0. 因为Δ＝4k 2－m 2＋1＝3k 2>0，所以k ≠0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4³4m 2－44k 2＋1＝16 4k 2－m 2＋1 4k 2＋1 2，⑤ 将④代入⑤，得|x 1－x 2|2＝48k24k 2＋12，故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1，|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝43k 2k 2＋14k 2＋1， 故△OMN 的面积S ＝12|MN |³d ＝23k 2 k 2＋14k 2＋1. 令t ＝4k 2＋1>1，则S ＝23³t －14³⎝⎛⎭⎪⎫t －14＋1t2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49. 所以当t ＝3，即k ＝±22时，S max ＝32³49＝1.。
2018浙江高考数学(理)二轮专题复习检测：第二部分 思想方法剖析指导 第2讲 数形结合思想 专题能力训练20
专题能力训练20数形结合思想(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)2.函数f(x)=lg(|x|+1)-sin 2x的零点个数为()A.9B.10C.11D.123.(2017浙江杭州适应性考试)若函数y=kx的图象上存在点(x,y)满足约束条件则实数k的最大值为()A.1B.2CD4.已知集合M={(x,y)|x2+y2≤1},若实数λ,μ满足:对任意的(x,y)∈M,都有(λx,μy)∈M,则称(λ,μ)是集合M的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是()A.{(λ,μ)|λ+μ=4}B.{(λ,μ)|λ2+μ2=4}C.{(λ,μ)|λ2-4μ=4}D.{(λ,μ)|λ2-μ2=4}5.已知点P是抛物线y2=-16x上一点,设P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是()A.4B.6C.7D.86.设函数f(x)=若关于x的方程f(x)-log a(x+1)=0(a>0且a≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根,则实数a的取值范围是()A.(1,)B.(,+∞)C.(,+∞)D.()7.圆C的方程为(x-2)2+y2=4,圆M的方程为(x-2-5sin θ)2+(y-5cos θ)2=1(θ∈R),过圆C 上任意一点P作圆M的两条切线PE,PF,切点分别为E,F,则的最小值为()A.6 B C.7 D8.在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,=-2,动点P,M满足||=1,,则||2的最大值是() ABCD二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2017浙江吴越联盟第二次联考)若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则x-y的取值范围是.10.对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是.11.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周顺时针滚动,经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为.12.已知a是实数,函数f(x)=2a|x|+2x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是.13.已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=a·b=3,若(c-2a)=0,则|b-c|的最小值是.14.设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx-(ω>0),直线x=x1,x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴,且|x1-x2|的最小值为(1)求f(x)的表达式;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.16.(本小题满分15分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点,若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.参考答案专题能力训练20数形结合思想1.D2.D解析由于y=lg(|x|+1)=画出函数图象,注意y=lg(x+1)的图象就是把y=lg x的图象向左平移一个单位,取x≥0的部分,另外这个函数是偶函数,图象关于y轴对称即可,再画出函数y=sin 2x的图象,如下图所示:注意周期为π,两个图象原点左侧有6个交点,在原点右侧有5个交点,另外在原点相交,共计12个交点,因此函数f(x)零点个数为12,选D.3.B解析约束条件对应的平面区域是以点(1,2),(1,-1)和(3,0)为顶点的三角形,当直线y=kx经过点(1,2)时,k取得最大值2,故选B.4.C5.C解析设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义可知d1=|PF|,故d1+d2的最小值就是点F到直线x+y-10=0的距离,即=7.6.C解析要使方程f(x)-log a(x+1)=0(a>0且a≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根,只需y=f(x)与y=log a(x+1)的图象在区间[0,5]内恰有5个不同的交点,在同一坐标系内作出它们的图象,要使它们在区间[0,5]内恰有5个不同的交点,只需得a>,故选C.7.B解析由题意可得,圆C的圆心坐标为(2,0),半径为2,圆M的圆心坐标为(2+5sin θ,5cos θ),半径为1,∵|CM|=5>2+1,∴两圆相离.∵=||·||·cos ∠EPF,要使最小,则需||·||最小,∠EPF最大.如图,直线CM和圆C交于点H,则的最小值为,又|HM|=5-2=3,|HE|==2,sin∠MHE=, ∴cos ∠EHF=.∴=||·||cos ∠EHF=2×2.故选B.8.B解析由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,||=||=||=2.以D为原点,直线DA为x轴,过点D的DA的垂线为y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(2,0),B(-1,-),C(-1,).设P(x,y),由已知||=1,得(x-2)2+y2=1,∵,∴M.∴.∴,它表示圆(x-2)2+y2=1上点(x,y)与点(-1,-3)距离平方的,∴(||2)max=,故选B.9.[-2,0] 解析由约束条件作出可行域如图,由图可知,A(1,1),B(0,2),令z=x-y,化为y=x-z,当直线y=x-z过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为0;直线y=x-z过B时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为-2.∴x-y的取值范围是[-2,0].10. 解析由定义可知,f(x)=作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知,当0<m<时,f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1, x2,x3.不妨设x1<x2<x3,易知x2>0,且x2+x3=2×=1,∴x2x3<.令解得x=或x=(舍去).∴<x1<0,∴<x1x2x3<0.11.解析圆的半径r=1,正方形ABCD的边长a=1,正方形的边为弦时所对的圆心角为,正方形在圆上滚动了三圈,点的顺序依次为如图,第一次滚动,点A的路程A1=×|AB|=,第二次滚动时,点A的路程A2=×|AC|=π,第三次滚动时,点A的路程A3=×|DA|=π,第四次滚动时,点A 的路程A4=0,点A所走过的路径长度为3(A1+A2+A3+A4)=.12.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析易知a≠0,f(x)=0,即2a|x|+2x-a=0,变形得|x|-=-x.分别画出函数y1=|x|-,y2=-x的图象(如图所示),由图易知:当0<-<1或-1<-<0时,y1和y2的图象有两个不同的交点,∴当a<-1或a>1时,函数y=f(x)有且仅有两个零点,∴a∈(-∞,-1)∪(1,+∞).13.2-解析由题意,得<a,b>=,故如下图建立平面直角坐标系,设a=(1,),b=(3,0),c=(x,y),∴(c-2a)·=0⇒(x-2)2+y(y-2)=0⇒(x-2)2+(y-)2=3,其几何意义为以点(2,)为圆心,为半径的圆,故其到点(3,0)的距离的最小值是2-.故选A.14. 解析设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D.取点C.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=,k PA==1,所以≤a<1.15.解 (1)f(x)= sin 2ωx+=sin 2ωx+cos 2ωx=sin,由题意知,最小正周期T=2×,T=,∴ω=2,∴f(x)=sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin的图象.∴g(x)=sin.令2x-=t,∵0≤x≤,∴-≤t≤.g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即函数g(t)=sin t与y=-k在区间上有且只有一个交点.如图,由正弦函数的图象可知-≤-k<或-k=1.∴-<k≤或k=-1.16.解 (1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,∴圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设M(x,y),∵点M为弦AB中点,即C1M⊥AB,∴·k AB=-1,即=-1,∴线段AB的中点M的轨迹的方程为+y2=.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心,为半径的部分圆弧EF(如下图所示,不包括两端点),且E,F,又直线l:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线l与圆C相切时,由得k=±,又k DE=-k DF=-,结合上图可知当k∈时,直线l:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.。
2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习训练：审题专
[审题专项训练]一、选择题 1．函数y ＝－xx ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1,0]∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.2．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2解析：选 A 依题意得，数列{a n }是等比数列，a 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝6，a 3＝S 3－S 2＝18，则62＝18(3＋k )，由此解得k ＝－1，故选A.3．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选 C 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a >b ⇔f (a )>f (b )⇔a |a |>b |b |.故选C.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240解析：选D 几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S ＝40＋200＝240，故选D.5．(2016·山东高考)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y 2表示平面区域内点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.6．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞解析：选A 设双曲线的焦点在x 轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k (k >0)必须满足33<k ≤3，易知k ＝b a ，所以13<⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤3，43<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤4，即有233< 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2≤2.又双曲线的离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以233<e ≤2.二、填空题7.(2017·湖州模拟)如图，在三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角． ∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2.在Rt△CKN 中，CK ＝22＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝22＋22－322×2×22＝78.答案：788．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：129．(2017·衢州模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．解析：满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y ＜－2x ＋2.直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y在点B ⎝⎛⎭⎪⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是 3.答案：3 三、解答题10．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b . (1)求角A ；(2)若a ＝1，且3c －2b ＝1，求角B . 解：(1)由a cos C ＋32c ＝b ，得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B ， 而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 则可得32sin C ＝cos A sin C ．又sin C >0， 则cos A ＝32，即A ＝π6. (2)由3c －2b ＝1，得3c －2b ＝a ， 即3sin C －2sin B ＝sin A . 又∵A ＝π6，∴C ＝5π6－B ，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B －2sin B ＝12，整理得cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝12.∵0<B <5π6，∴π6<B ＋π6<π. ∴B ＋π6＝π3，即B ＝π6. 11．已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3， 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.12．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝y 1y 224＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4.故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝m 2＋2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10；当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.。
(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习第二部分专题一善用数学思想讲义
专题一善用数学思想高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．数学思想与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．第一讲函数与方程思想__数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想的含义函数与方程思想在解题中的应用函数的思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想. 1函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．3解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．4立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.———————[典例示范]—————应用一解决数列、不等式问题[例1] 已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{a n}的通项公式a n；(2)在(1)的条件下，数列{a n}的前n项和为S n，设b n＝1S n＋1＋1S n＋2＋…＋1S2n，若对任意的n∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，(列出方程) 解得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)， 所以b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n 2n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3， 令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，(构造函数)则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.———[即时应用]—————————— 1.(1)设a ＞0，b ＞0.( ) A ．若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a ＞b B ．若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a ＜b C ．若2a －2a ＝2b－3b ，则a ＞b D ．若2a －2a ＝2b－3b ，则a ＜b(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. 解析：(1)由2a＋2a ＝2b＋3b ， 整理得，(2a＋2a )－(2b＋2b )＝b >0， 令f (x )＝2x ＋2x ，显然f (x )是单调递增函数， 由f (a )－f (b )>0可得a >b ，选A.(2)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2xx4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x3，且g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因为g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.答案：(1)A (2)4——————————[典例示范]————————— 应用二 解决解析几何、立体几何问题[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，如图所示，设左顶点为A ，上顶点为B ，且OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，试确定FM ―→·FN ―→的取值范围． [解] (1)由已知，A (－a,0)，B (0，b )，F (1,0)， 则由OF ―→·FB ―→＝AB ―→·BF ―→，得b 2－a －1＝0. ∵b 2＝a 2－1，∴a 2－a －2＝0，(列出方程) 解得a ＝2. ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若直线l 斜率不存在，则l ：x ＝1， 此时M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，FM ―→·FN ―→＝－94.②若直线l 斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(列出方程) ∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.∴FM ―→·FN ―→＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝－94－11＋k2.(转化为函数) ∵k 2≥0，∴0<11＋k 2≤1，∴3≤4－11＋k 2<4，∴－3≤FM ―→·FN ―→<－94.综上所述，FM ―→·FN ―→的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－94. ——————————[即时应用]——————————2.(1)已知正四棱锥S ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1B. 3 C ．2 D ．3(2)(2016·浙江高考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．解析：(1)设正四棱锥S ABCD 的底面边长为a (a ＞0)，则高h ＝ SA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝12－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6(a ＞0)，则y ′＝48a 3－3a 5.令y ′＞0，得0＜a ＜4；令y ′＜0，得a ＞4.故函数y 在(0,4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减．可知当a ＝4时，y 取得最大值，即体积V 取得最大值，此时h ＝12－a 22＝2，故选C.(2)在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝22＋22－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2 3.设CD ＝x ，则AD ＝23－x ， ∴PD ＝23－x ， ∴V P BCD ＝13S △BCD ·h≤13×12BC ·CD ·sin 30°·PD ＝16x (23－x )≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23－x 22 ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝12， 当且仅当x ＝23－x ，即x ＝3时取“＝”， 此时PD ＝3，BD ＝1，PB ＝2，满足题意． 故四面体PBCD 的体积的最大值为12.答案：(1)C (2)12二、数形结合思想数形结合思想的含义数形结合思想在解题中的应用 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．2 构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．3构建解析几何模型求最值或范围．4构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.应用一 处理方程根、函数零点问题[例3] (1)(2017·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x12，x ≤0，log 5x ，x >0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0,1]时，g (x )＝2x－1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的所有根之和为( )A ．8B ．10C ．12D ．16[解析] (1)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x >0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点，故选B.(2)∵奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，即f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，∴f (x )是周期函数，其周期T ＝4.当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，故f (x )在(0,6)上的函数图象如图所示．由图可知方程f (x )－1＝0在(0,6)内的根共有4个，其和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋10＝12，故选C.[答案] (1)B (2)C———————————[即时应用]——————————3.(1)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)(2)(2018届高三·温州五校联考)已知直线(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0所过定点恰好落在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，0＜x ≤3，|x －4|，x ＞3的图象上，若函数h (x )＝f (x )－mx ＋2有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D ．(1，＋∞)解析：(1)m ＝0时结论显然不成立；当m <0时，二次函数的对称轴－b 2a ＝4－m2m <0，如图①，x >0时显然不成立；当0<m ≤4时，－b 2a ＝4－m2m >0，如图②，此时结论显然成立；当m >4时，如图③，－b 2a ＝4－m 2m<0时，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8，故有0<m <8，选B.(2)由(1－m )x ＋(3m ＋1)y －4＝0，得x ＋y －4－m (x －3y )＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －3y ＝0，可得直线过定点(3,1)，∴log a 3＝1，∴a ＝3.令f (x )－mx ＋2＝0，得f (x )＝mx －2，在同一坐标系上作出y 1＝f (x )与y 2＝mx －2的图象，易得12＜m ＜1.答案：(1)B (2)B——————————[典例示范]———————— 应用二 求解参数的范围及最值问题[例4] (1)若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为( )A.π4 B.π2C.3π4D.5π4(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．[解析] (1)在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 当m ＝π4时，要使不等式恒成立，只有a ＝22，当m >π4时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a ＝22的同一侧．所以m 的最大值是3π4，选C.(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意及图象知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.[答案] (1)C (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 ———————————[即时应用]—————————— 4.(1)对实数a和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞(2)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0) (m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：(1)∵f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2) ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32.作出其图象，从图象可以看出；c ≤－2时，y ＝f (x )与y ＝c有两个公共点，即函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点；同样的，－1<c <－34也满足要求，故选B.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O的最大距离．因为|OC |＝ 32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.答案：(1)B (2)B[数学思想专练(一)]一、选择题1．(2018届高三·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152D.172解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝4，S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝2n ＋n n －12×2＝n 2＋n ，所以S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋32n ＋12≥2n 2·32n ＋12＝172，当且仅当n 2＝32n，即n ＝8时取等号，故选D. 2．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：选B 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1≥0，f 0<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1<0，4k ＋3>0，∴－34<k ≤0.3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，又函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x .则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：选D 依题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＋x ＋4，x <x 2－2，x 2－2－x ，x ≥x 2－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.画出f (x )的图象，如图所示，从图中可以看出f (x )的值域为(2，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0.4．已知f (x )＝e x －e －x＋1，若f (a )＋f (a －2)<2，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e x－e －x，显然有f (x )＝g (x )＋1，且g (x )为奇函数，在R 上是增函数， 因为f (a )＋f (a －2)<2，所以g (a )＋g (a －2)<0，所以g (a )<－g (a －2)＝g (2－a )，所以a <2－a ，所以a <1，选A.5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的定义域为D ，若所有点(s ，f (t ))(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为( )A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定解析：选B 根据二次函数性质及复合函数的性质，如示意图，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的两个零点为x 1，x 2，则一定有|x 1－x 2|＝f max (x )，故 b 2－4aca 2＝ 4ac －b24a，a 2＝－4a ，a ＝－4，选B.6．定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66 解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，令x ＝－1，则f (1)＝f (－1)－f (1)， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)，∴f (1)＝0. ∴f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数， 又∵当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，令g (x )＝log a (x ＋1) ，则f (x )与g (x )在[0，＋∞)的部分图象如图所示．y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，可化为f (x )与g (x )的图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 3>－2，解得0＜a ＜33，故选A. 二、填空题7．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y ≤3，x －y ≤1，若z ＝kx ＋y 的最大值为5，且k 为负整数，则k ＝________.解析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如图所示： 其中点A (－2,3)，B (4,3)，C (1,0)，根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在交点处取得，则－2k ＋3＝5或4k ＋3＝5或k ＋0＝5，又k 为负整数，所以k ＝－1.答案：－18．(2017·泰州模拟)在直角△ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，斜边BC 上有异于端点的两点E ，F ，且EF ＝1，则AE ―→·AF ―→的取值范围是________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设E (x,23－3x )，Fx ＋12，332－3x ，其中0<x <32，所以AE ―→·AF ―→＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋()23－3x ⎝⎛⎭⎪⎫332－3x ＝4x 2－10x ＋9.设f (x )＝4x 2－10x ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32，则其图象的对称轴为x ＝54，其值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9，所以AE ―→·AF ―→的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，99.如图，设直线m ，n 相交于点O ，且夹角为30°，点P 是直线m 上的动点，点A ，B 是直线n 上的定点．若|OA ―→|＝|AB ―→|＝2，则PA ―→·PB ―→的最小值是________．解析：以OB 所在直线为x 轴，过O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图的坐标系，则A (2,0)，B (4,0)，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，33a ，则PA ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫2－a ，－33a ，PB ―→＝4－a ，－33a ，所以PA ―→·PB ―→＝(2－a )(4－a )＋13a 2＝43a 2－6a ＋8＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫a －942＋54≥54，所以PA ―→·PB ―→的最小值为54.答案：54三、解答题10．已知函数f (x )＝|4x －x 2|－a ，当函数有4个零点时，求a 的取值范围． 解：∵函数f (x )＝|4x －x 2|－a 有4个零点， ∴方程|4x －x 2|＝a 有4个不同的解． 令g (x )＝|4x －x 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x －22， 0≤x ≤4，x －22－4，x <0或x >4.作出g (x )的图象，如图所示，由图象可以看出， 当h (x )＝a 与g (x )有4个交点时，0<a <4， ∴a 的取值范围为(0,4)．11．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ， 显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋4n －2]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 12.已知椭圆C 的离心率为32，点A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S △ABF ＝1－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意，知椭圆C 的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，即a ＝2b ，① 可得c ＝3b .②S △ABF ＝12|AF ||OB |＝12(a －c )b ＝1－32.③ 联立①②③，解得b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，知圆心O 到直线l 的距离d ＝22－32＝1，即|m |1＋k2＝1，故有m 2＝1＋k 2，④ 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0. 因为Δ＝4k 2－m 2＋1＝3k 2>0，所以k ≠0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝164k 2－m 2＋14k 2＋12，⑤ 将④代入⑤，得|x 1－x 2|2＝48k 24k 2＋12，故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1，|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝43k 2k 2＋14k 2＋1， 故△OMN 的面积S ＝12|MN |×d ＝23k 2k 2＋14k 2＋1. 令t ＝4k 2＋1>1，则S ＝23×t －14×⎝⎛⎭⎪⎫t －14＋1t2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49. 所以当t ＝3，即k ＝±22时，S max ＝32×49＝1. 第二讲分类讨论、转化与化归思想 一、分类讨论思想分类讨论思想的含义 分类讨论思想在解题中的类型分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础1 由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．类型一 由参数引起的分类讨论 [例1] 已知函数f (x )＝x ＋a x(x >0)．(1)若a <0，试用定义证明：f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若a >0，当x ∈[1,3]时，不等式f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)证明：若a <0，设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2. 因为x 1－x 2<0,1－ax 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)若a >0，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ①若0<a ≤1，则f (x )在[1,3]上单调递增，f (x )min ＝f (1)＝1＋a . 所以1＋a ≥2，即a ≥1，所以a ＝1.②若1<a <9，则f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，3]上单调递增，f (x )min ＝f (a )＝2a .所以2a ≥2，即a ≥1，所以1<a <9.③若a ≥9，则f (x )在[1,3]上单调递减，f (x )min ＝f (3)＝3＋a3.所以3＋a3≥2，即a ≥－3，所以a ≥9.综合①②③得a 的取值范围为[1，＋∞)．——————————[即时应用]—————————1.已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m ∈R)．(1)求曲线y ＝f (x )在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4处的切线方程；(2)求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)由题意得所求切线的斜率k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4＝22，切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22，则切线方程为y －22＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即x －2y ＋1－π4＝0.(2)g ′(x )＝m －12x 2.①当m ≤0时，g ′(x )≤0，则g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)； ②当m ＞0时，令g ′(x )＜0， 解得x ＜－2m 或x ＞2m ，则g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m ) ，(2m ，＋∞)． 综上所述，m ≤0时，g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)；m ＞0时，g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m )，(2m ，＋∞)．——————————[典例示范]———————— 类型二 由概念、法则、公式引起的分类讨论[例2] 已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)由已知条件可得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝1，而4×1－3＝1，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)， 当n 为偶数时，T n ＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(4n －3)＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1.综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.————————————[即时应用]—————————2.(1)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2，3，…)，则q 的取值范围为________． 解析：(1)若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，故a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意，若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．(2)因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n1－q>0，即1－q n1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0，即－1<q <1或q >1，故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(1)14(2)(－1,0)∪(0，＋∞)二、转化与化归思想转化与化归思想的含义 转化与化归思想在解题中的类型转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．化归与转化的原则有：熟悉化、简单化、直观化以及正难则反等；化归与转化的方法常见的有：直接转化法、换元法、1在三角函数中，涉及三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．2 在函数、不等式等问题中常将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式等．3 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几数形结合法、构造法、坐标法、类比法、特殊化方法、等价问题法、加强命题法等等.何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．4在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．5在解决解析几何、立体几何问题时常常在数与形之间进行转化.—————————[典例示范]————————类型一形与数的转化[例3] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)如图，由已知得M(0，t)，P⎝⎛⎭⎪⎫t22p，t.又N为M关于点P的对称点，故N⎝⎛⎭⎪⎫t2p，t，故直线ON的方程为y＝ptx，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p.因此H⎝⎛⎭⎪⎫2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．———————————[即时应用]———————————3.(1)(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34(2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 为AD 的中点，现分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCE 翻折，使得点A ，D 重合于F ，此时二面角E BC F 的余弦值为________．解析：(1)如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝ma －ca.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝ma ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.故选A.(2)如图所示，取BC 的中点P ，连接EP ，FP ，由题意得BF ＝CF ＝2，∴PF ⊥BC ，又EB ＝EC ，∴EP ⊥BC ，∴∠EPF 为二面角E BC F 的平面角，而FP ＝FB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC 2＝72，在△EPF 中，cos ∠EPF ＝EP 2＋FP 2－EF 22EP ·FP ＝4＋74－942×2×72＝74. 答案：(1)A (2)74—————————[典例示范]————————— 类型二 常量与变量的转化[例4] 设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，求x的取值范围．[解] 设y ＝f (t )＝(log 2x －1)t ＋(log 2x )2－2log 2x ＋1， 当x ＝2时，f (t )＝0，所以x ≠2， 故f (t )是一次函数，当t ∈[－2,2]时，f (t )>0恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧f－2>0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－4log 2x ＋3>0，log 2x2－1>0，解得log 2x <－1或log 2x >3. ∴0<x <12或x >8，∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(8，＋∞)． ———————————[即时应用]——————————4.(1)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．(2)设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________．解析：(1)设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1. 要使f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3x －1>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.(2)∵f (x )是R 上的增函数． ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．即(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.则⎩⎪⎨⎪⎧g－1＝x 2－x ＋2≥0，g 1＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．答案：(1)(－∞，－1)∪(3，＋∞) (2)(－∞，－1]∪[0，＋∞)[数学思想专练(二)]一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选B 当a >1时，则集合A ＝{x |x ≤1或x ≥a }，则A ∪B ＝R ，可知a －1≤1，即a ≤2，故1<a ≤2；当a ＝1时，则集合A ＝R ，显然A ∪B ＝R ，故a ＝1； 当a <1时，则集合A ＝{x |x ≥1或x ≤a }， 由A ∪B ＝R ，可知a －1≤a ，显然成立，故a <1； 综上可知，a 的取值范围是a ≤2.故选B 项．2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B ∵b cos C ＋c cos B ＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a ＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则f (x )≤2时x 的取值范围是( )A ．[0，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 当x ≤1时，21－x≤2⇒x ≥0；当x >1时，1－log 2x ≤2⇒log 2x ≥－1＝log 2 2－1⇒x ≥2－1＝12. 综上得，x 的取值范围为[0，＋∞)．4．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2 D.23或32解析：选A 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t ≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.5．如果正整数a 的各位数字之和等于6，那么称a 为“好数”(如：6,24,2 013等均为“好数”)，将所有“好数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2 013，则n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：选B 本题可以把数归为“四位数”(含0 006等)，因此比2 013小的“好数”为0×××，1×××，2 004，共三类数，其中第一类可分为：00××，01××，…，0 600，共7类，共有7＋6＋…＋2＋1＝28个数；第二类可分为：10××，11××，…，1 500，共6类，共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个数，第三类：2 004,2 013，…，故2 013为第51个数，故n ＝51，选B.6．(2017·南昌模拟)点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM ―→·PN ―→的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,3]C ．[0,4]D ．[－2,2]解析：选C 由题意知内切球的半径为1，设球心为O ，则PM ―→·PN ―→＝(PO ―→＋OM ―→)·(PO ―→＋ON ―→)＝PO ―→2＋PO ―→·(OM ―→＋ON ―→)＋OM ―→·ON ―→＝|PO ―→|2－1，且1≤|OP |≤5，∴PM ―→·PN ―→∈[0,4]．二、填空题7．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围为________．解析：如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－1≤0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32，解得p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即为满足条件的p 的取值范围．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 8．(2017·丽水模拟)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM |的最小值为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，所以|OM |min ＝|－2|2＝ 2.答案： 29．(2017·郑州质检)过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p(x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p.又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0； 同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2. 由线段AB 的中点的纵坐标是6，得y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝x 1＋x 22－2x 1x 22p ＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2. 答案：1或2 三、解答题10．已知a ∈R ，函数f (x )＝23x ＋12，h (x )＝x ，解关于x 的方程log 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32fx －1－34＝log 2h (a－x )－log 2h (4－x )．解：原方程可化为log 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －16－34 ＝log 2a －x －log 24－x ，即log 4(x －1)＝log 2a －x －log 24－x ＝log 2a －x4－x， ①当1<a ≤4时，1<x <a ，则x －1＝a －x4－x，即x 2－6x ＋a ＋4＝0，Δ＝36－4(a ＋4)＝20－4a >0， 此时x ＝6±20－4a2＝3±5－a ，∵1<x <a ，此时方程仅有一解x ＝3－5－a . ②当a >4时，1<x <4，由x －1＝a －x 4－x，得x 2－6x ＋a ＋4＝0，Δ＝36－4(a ＋4)＝20－4a ，若4<a <5，则Δ>0，方程有两解x ＝3±5－a ； 若a ＝5时，则Δ＝0，方程有一解x ＝3；③由函数有意义及②知，若a ≤1或a >5，原方程无解． 综合以上讨论，当1<a ≤4时，方程仅有一解x ＝3－5－a ； 当4<a <5，方程有两解x ＝3±5－a ； 当a ＝5时，方程有一解x ＝3； 当a ≤1或a >5时，原方程无解．11．(2017·嘉兴模拟)在正项数列{a n }中，a 1＝3，a 2n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值，判断a n 与2的大小关系并证明； (2)求证：|a n －2|<14|a n －1－2|(n ≥2)；(3)求证：|a 1－2|＋|a 2－2|＋…＋|a n －2|<43.解：(1)a 2＝a 1＋2＝5，a 3＝a 2＋2＝5＋2.由题设，a 2n －4＝a n －1－2，(a n －2)(a n ＋2)＝a n －1－2. 因为a n ＋2>0，所以a n －2与a n －1－2同号． 又a 1－2＝1>0，所以a n －2>0(n ≥2)，即a n >2. (2)证明：由题设，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －2a n －1－2＝1a n ＋2，由(1)知，a n >2，所以1a n ＋2<14，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －2a n －1－2<14，即|a n －2|<14|a n －1－2|(n ≥2)．(3)证明：由(2)知，|a n －2|<14|a n －1－2|，因此|a n －2|<14n －1|a 1－2|＝14n －1(n ≥2)．因此|a 1－2|＋|a 2－2|＋…＋|a n －2|<1＋14＋142＋…＋14n －1＝1－14n1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <43.12．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋y 21＝λ，3x 22＋y 22＝λ，两式相减得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.由题意，知x 1≠x 2， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 1＋x 2y 1＋y 2. 因为N (1,3)是弦AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝6， 所以k AB ＝－1.所以弦AB 所在直线的方程为y －3＝－(x －1)，即x ＋y －4＝0. 又N (1,3)在椭圆内， 所以λ>3×12＋32＝12.所以λ的取值范围是(12，＋∞)．(2)因为弦CD 垂直平分弦AB ，所以弦CD 所在直线的方程为y －3＝x －1，即x －y ＋2＝0， 将其代入椭圆的方程， 整理得4x 2＋4x ＋4－λ＝0.①设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，弦CD 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 3，x 4是方程①的两个根．所以x 3＋x 4＝－1，x 0＝12(x 3＋x 4)＝－12，y 0＝x 0＋2＝32，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.所以点M 到直线AB 的距离d ＝－12＋32－412＋12＝322.所以以弦CD 的中点M 为圆心且与直线AB 相切的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝92.。
2018年高考数学二轮复习数学思想领航一函数与方程思想课件文
质求解问题.
③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论.
典例2
已知a，b，c为平面上的三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位
向量，向量c满足|c|＝3，c· a＝2，c· b＝1，则对于任意实数x，y，|c－xa－ 2 yb|的最小值为______. 解析 由题意可知|a|＝|b|＝1， a· b＝0，又|c|＝3，c· a＝2，c· b＝1， 所以|c－xa－yb|2＝|c|2＋x2|a|2＋y2|b|2－2xc· a－2yc· b＋2xya· b ＝9＋x2＋y2－4x－2y＝(x－2)2＋(y－1)2＋4， 当且仅当x＝2，y＝1时，|c－xa－yb| 2 min＝4， 所以|c－xa－yb|的最小值为2.
2 1 9 x x 典例 3 关于 x 的不等式 e － 2 －1－a－4x≥0 在2，＋∞ 则a 上恰成立， {2 e} 的取值集合为________.
思维升华
求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问
题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方
析几何问题.
③得出结论，结合解析几何中的限制条件和函数(方程)的结论得出最终结
典例4
x2 y2 已知直线l过定点S(4,0)，与 ＋ ＝1 (x≠±2)交于P，Q两点，点P 4 3
关于 x轴的对称点为 P′ ，连接 P′Q交x轴于点T ，当△PQT 的面积最大时，
2 21 2 21 x＝ y＋4 或 x＝－ y＋4 3 3 直线l的方程为_____________________________.
一、函数与方程思想
方法一 点坐标代入函数(方程)法
2018届高考数学二轮复习高考思想方法训练理
高考思想方法训练于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16解析：由题易知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝6，故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)解析：函数的定义域为(0，＋∞)，因为f (x )＝2x 2－ax ＋ln x ，所以f ′(x )＝4x －a ＋1x＝1x(4x 2－ax ＋1)．由函数在区间(0，＋∞)上不单调可知f ′(x )＝0有两个正根，即4x 2－ax ＋1＝0有两个正根．故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝－a2－4×4×1>0，x 1＋x 2＝a 4>0，x 1x 2＝14>0，解得a >4.所以a 的取值范围为(4，＋∞)． 答案：C6．(2017·昆明市质检)(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．96 B ．64 C ．32 D ．16解析：(1＋2x )3的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(2x )r ＝2r C r 3x r ，(2－x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 424－k(－x )k ＝(－1)k 24－k C k 4x k，所以(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数为20C 03·(－1)·23C 14＋2C 13·(－1)0·24C 04＝64.答案：B7．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M8．已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e ，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e，e ＋1e解析：设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ；设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e yy (y ＋2)，则g (y )在[－1,0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，存在唯一的y ∈[－1,1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ⊆[0，e]，解得1e ≤a ≤e.答案：A9．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意知，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：110．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由约束条件作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋2y －4＝0，解得B (2,1)．在x －y －1＝0中取y ＝0得A (1,0)． 由ax ＋y ≤4得y ≤－ax ＋4， 要使ax ＋y ≤4恒成立，则平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方， 若a ＝0，则不等式等价于y ≤4，此时满足条件， 若－a >0，即a <0，平面区域满足条件，若－a <0，即a >0时，要使平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可，即2a ＋1≤4，得0<a ≤32.综上a ≤32.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，3211．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．解析：由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 12．(2017·陕西八校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点．若AF →＝mFB →，则m 的值为________．解析：由题意知F (1,0)，由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13，y 1＝－233⎝ ⎛⎭⎪⎫233舍去，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝23－23舍去.由A 在x 轴上方，知A (3,23)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，则AF →＝(－2，－23)，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－233，因为AF →＝mFB →，所以m ＝3.答案：313．(2017·太原市模拟题)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，a ＝2b cos B ，b ≠c .(1)证明：A ＝2B ；(2)若a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，求A . 解析：(1)证明：∵a ＝2b cos B ，且a sin A ＝bsin B，∴sin A ＝2sin B cos B ＝sin2B ，∵0<A <π，0<B <π，∴sin A ＝sin2B >0，∴0<2B <π， ∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，则B ＝C ，b ＝c ，这与“b ≠c ”矛盾，∴A ＋2B ≠π， ∴A ＝2B .(2)∵a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，∴a 2＋c 2－b 22ac＝sin C ，由余弦定理得cos B ＝sin C ，∵0<B <π，0<C <π，∴C ＝π2－B 或C ＝π2＋B .①当C ＝π2－B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，得A ＝π2，B ＝C ＝π4，这与“b ≠c ”矛看，∴A ≠π2；②当C ＝π2＋B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝A ＋2B ＋π2＝2A ＋π2＝π，得A ＝π4，B ＝π8，C ＝5π8， ∴A ＝π4.14．(2017·洛阳市统考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n－3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1， ∴a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. ∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， ∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数n －32，n 为偶数.15．设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x ，m >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥1时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数． 解析：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋mx －mx.当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上，函数f (x )的单调递增区间是[m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m ]． (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，问题等价于求函数F (x )的零点个数．F ′(x )＝－x －1x －mx，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32>0，F (4)＝－ln4<0，所以F (x )有唯一零点．当m >1时，若0<x <1或x >m ，则F ′(x )<0，若1<x <m ，则F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m＋12>0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0， 所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．16．(2017·合肥市质检)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．解析：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1，。
2018届高考数学二轮复习 第二部分 板块(一)系统思想方法——融会贯通(四)数形结合 直观快捷教案 文
数形结合思想的含义 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过 数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的 应用包括以下两个方面： (1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动 化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质； (2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值， 即|AB|＋|AF|. 因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标 为(－2，y0)， 代入x2＝8y，得y0＝12， 故使△APF的周长最小的点P的坐标为－2，12. 答案：－2，12
[总结升华] 运用数形结合思想分析解决问题的3个原则
接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.
要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为
|OC|＝ 32＋42 ＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值 为6. 答案：B
6．已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2 ＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆 心，则四边形PACB面积的最小值为________． 解析：由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为 1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线 3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处 运动时，直角三角形PAC的面积S△PAC＝12·|PA|·|AC|＝12|PA| 越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两 个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一
[解析] 设y＝g(x)＝fxx(x≠0)，则g′(x)＝xf′xx2－fx， 当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0， ∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. ∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数， ∴g(x)的图象的示意图如图所示． 当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0<x<1， 当x<0时，由f(x)>0，得g(x)<0，由图知x<－1， ∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． [答案] A
18年高考数学二轮复习第1部分技法篇数学思想专练2数形结合思想
数学思想专练(二) 数形结合思想题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点．] 2．(2017·兰州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x ＞0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m的取值范围是( ) A ．(1,2)B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2]B [令F (x )＝x ＋f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x ＋1x，x ＞0.则问题转化为方程F (x )＝m 有解， 又函数F (x )的图象如图所示：由图象可知，函数y ＝F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)，故m 的取值范围为(－∞，1]∪[2，＋∞)．]3．设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的所有零点的和为( )A ．7B ．6 C.3D ．2A [函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点为函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )的交点的横坐标．因为f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )为关于x ＝1对称的偶函数，又因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则在平面直角坐标系内画出函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点的和为7，故选A.] 4．(2016·合肥二模)若函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，则实数a ＝________.1 [函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a ＋sin x ＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与y ＝sin x ，x ∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a ＝1.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a的取值范围是________．(－∞，0)∪(1，＋∞) [函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a ＜0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a ＞1，则a 3＞a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点． 综上，a ＜0或a ＞1.]题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围6．若不等式log a x ＞sin 2x (a ＞0，a ≠1)对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4都成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2D ．(0,1)B [记y 1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为y 1＞y 2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y 1＝log a x 的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1时，a ＝π4，所以当π4＜a ＜1时，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4都有y 1＞y 2.]7．若存在正数x 使2x(x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)D [因为2x ＞0，所以由2x (x －a )＜1得x －a ＜12x ＝2－x，在直角坐标系中，作出函数f (x )＝x －a ，g (x )＝2－x 在x ＞0时的图象，如图．当x ＞0时，g (x )＝2－x＜1，所以如果存在x ＞0，使2x(x －a )＜1，则有f (0)＜1，即－a ＜1，即a ＞－1，所以选D.]8．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)C [f (x )的图象如图，由图象可知，不等式xf (x )＞0在[－1,3]上的解集为x ∈(－1,0)∪(1,3)．]9．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 [作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________． (10,12) [作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a ＜b ＜c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1， ∴abc ＝c .由图知10＜c ＜12，∴abc ∈(10,12)．] 题组3 利用数形结合解决解析几何问题11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C.5D ．4B [根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.]12．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________.32[如图，易得|PA →|＝|PB →|＝3，又|OA →|＝1，|PO →|＝2，所以∠APO ＝30°，故∠APB ＝60°，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|cos 60°＝3×3×12＝32.]13．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________．22 [从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值， 此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.]14．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.[解] (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)．2分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0.5分由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)＞0(*)，x 1＋x 2＝61＋t ，所以x 0＝31＋t ，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t 2． 6分因为x 2＋y 20＝9＋t22＋9t 2＋t22＝＋t 2＋t22＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94.由(*)解得t 2＜45，又t 2≥0，所以53＜x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3．8分(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，F (3,0)，直线L 过定点G (4,0)．联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0. 令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3.由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈[k DG ，k EG ]∪{k GH ，k GI }，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34．12分。
【高三数学试题精选】2018届高考数学第二轮数形结合思想同步复习题(带答案)
且A≤≤B，∴ax＝3
2．函数＝|sinπ4)
c．(π，3π2) D．(3π2，2π)
[答案] c
[解析]＝|sinx|的图象如图所示，
观察可得(π，3π2)符合题意．
3．已知不等式1－x2 x＋1，其解集为( )
2018届高考数学第二轮数形结合思想同步复习题（带答案）
5 2018年高考数学二轮复习同步练习
专题9数学思想方法
第2讲数形结合思想
一、选择题
1．若实数x，满足等式(x－2)2＋2＝3，那么x的最大值为( )
A12 B33
c32 D3
[答案] D
[解析]设＝x，
即＝x，如图所示，
B＝tan∠′B＝322－3 2＝3，
则a＋3b＝c→，显然∠Bc＝120°，由余弦定理得
|c→|2＝|a|2＋|3b|2－2|a||3b|cs120°
＝12＋32－2×1×3×(－12)＝13
则|a＋3b|＝13
5．(2018天津理，8)对实数a和b，定义运算“”a b＝a，a－b≤1，b，a－b 1，设函数f(x)＝(x2－2) (x－x2)，x∈R，若函数＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个共点，则实数c的取值范围是( )
则|F1|＋|F2|＝2a，
而a＝5，|F1|＝2，∴|F2|＝8
又注意到N、各为F1、F1F2的中点，
∴N是△F1F2的中位线，
∴|N|＝12|F2|＝12×8＝4
8．(2018北京丰台模拟)已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(4)的大小关系为( )
A．f(－a2)≤f(4)B．f(－a2) f(4)
c．f(－a2)≥f(4)D．f(－a2)与f(4)的大小关系不确定
2018年高考数学二轮温习第1部份技法篇数学思想专练1函数与方程思想
(2)问：是不是存在直线y＝－x＋m，使直线与椭圆交于A，B两点，且知足 · ＝ ？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由.
[解](1)由e＝ ＝ 且 ＋ ＝1，c2＝a2－b2，
解得a2＝4，b2＝1，即椭圆E的方程为 ＋y2＝1．6分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
令φ(x)＝x－lnx－1，那么φ(1)＝0且φ′(x)＝1－ ＝ ，8分
因此x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，
因此φ(x)＞φ(1)＝0.
又因为a≥0，因此h′(x)＞0，h(x)单调递增，因此h(x)＞h(1)＝0，
因此x＞1时， x2＋ax－xlnx－a－ ＞0恒成立，11分
即x＞1时，f(x)＋ ＜g(x)恒成立．12分
[解](1)证明：∵λ＝1，∴D，E别离为AB和BB′的中点．1分
又AA′＝AB，且三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱，
∴平行四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B．2分
∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.3分
∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B，4分
又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE.
∴S8＝ ＝4×(1＋15)＝64.]
2．假设2x＋5y≤2－y＋5－x，那么有( )
A．x＋y≥0B．x＋y≤0
C．x－y≤0D．x－y≥0
B[原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，因此有x≤－y，即x＋y≤0.]
3．假设关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2知足－1≤x1＜0＜x2＜2，那么k的取值范围是( )
由 ⇒x2＋4(m－x)2－4＝0⇒
5x2－8mx＋4m2－4＝0.(*)
高考数学二轮复习(浙江专用)训练：专题七数学思想方法第1讲Word版含解析
一、选择题直线3x－y＋m＝ 0 与圆 x 2＋ y2－2x－ 2＝ 0 相切，则实数 m 等于 ()1.A. 3或－3B.－3或 33C.－33或3D.－ 3 3或 33分析圆的方程 (x－1)2＋2＝，圆心，到直线的距离等于半径?| 3＋m|＝y3(1 0)3＋1 3? | 3＋m|＝2 3? m＝3或 m＝－ 33.答案C2.已知函数 f(x)知足下边关系：① f(x＋1)＝f(x－1)；②当 x∈[ －1，1] 时， f(x)＝x2，则方程 f(x)＝lg x 解的个数是 ()A.5B.7C.9D.10分析由题意可知， f(x)是以 2 为周期，值域为 [0 ， 1]的函数 .又 f(x)＝lg x，则 x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数 .由图象可知共9 个交点 .答案C3.函数 f(x)的定义域为R，f(－1)＝ 2，对随意 x∈R，f′(x)＞2，则 f(x)＞2x＋ 4 的解集为()A.( －1，1)B.(－ 1，＋∞ )C.(－∞，－ 1)D.(－∞，＋∞ )分析 f ′(x)＞ 2 转变为 f′(x)－2＞0，结构函数 F(x)＝ f(x)－ 2x，得 F(x)在R上是增函数 .又 F(－ 1)＝f(－1)－ 2× (－1)＝ 4， f(x)＞ 2x＋4，即 F(x)＞ 4＝ F(－1)，因此 x＞－ 1.答案B4.已知a，b是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c知足(a－c)·(b－c)＝0，则 |c|的最大值是 () A.2B.2 2C. 3D.2→→＝，→＝，则→＝－，→＝分析如图，设 OA＝，CAa OBb OCc a c CB b→→－ c.由题意知CA⊥CB，∴O，A，C，B 四点共圆 .∴当 OC 为圆的直径时，|c|最大，此时，→|OC|＝ 2.答案 A1x5.当 0＜x≤2时，4＜log a x，则 a 的取值范围是 ()2 2A. 0，2B. 2，1C.(1，2) D.( 2，2)分析利用指数函数和对数函数的性质及图象求解.∵0＜ x≤12，∴1＜4x≤2，∴ log a x＞ 4x＞1，∴ 0＜ a＜ 1，清除答案 C，D；1111＝1，取 a＝，x＝，则有 4 ＝2，log122222x明显 4 ＜ log a x 不建立，清除答案 A ；应选 B.二、填空题6.(2015 全·国Ⅱ卷改编 )已知 A，B 为双曲线 E 的左，右极点，点 M 在 E 上，△ABM为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ________.分析22 ＞ ， ＞，则 如图，设双曲线 E 的方程为 x2－y2＝0)ab1(a 0 b|AB|＝ 2a ，由双曲线的对称性， 可设点 M(x 1，y 1)在第一象限内， 过 M 作 MN ⊥x 轴于点 N(x 1，0)，∵△ ABM 为等腰三角形，且 ∠ ABM ＝ 120°，∴ |BM|＝|AB|＝ 2a ，∠ MBN ＝ 60°，∴ y 1＝|MN|＝ |BM|sin ∠ MBN ＝2asin 60 ＝° 3a ，x 1＝ |OB|＋ |BN|＝a ＋2acos 60 ＝°2a.将点 M(x 1，y 1)的坐标代入x 2 y 2 2 2 c a 2＋b 22－ 2＝1，可得 a ＝b ，∴ e ＝ ＝2＝ 2.a baa答案 2已知 1，e 2 是平面内两个相互垂直的单位向量， 若向量 b 知足 |b |＝2，b ·e 1＝ 1， 7. e·2＝ 1，则关于随意 x ，y ∈R ， |b － (x e 1＋y e 2 的最小值为________.b e)|分析 |b －(x e 1＋2 ＝22 22 2·1－ ·2＋ 1·2 ＝ ＋ 2 2 －2b ＋1＋2－＋yy e )| x e y e2x b e 2y b e 2xy e e 4 x2x － 2y ＝(x － 1)2＋(y － 1)2＋ 2≥ 2，当且仅当 x ＝ 1， y ＝ 1 时， |b － (x e 1＋y e 2)|2 获得最小值 2，此时 |b － (x e 1＋y e 2)|取得最小值 2.答案28.设直线 l 与抛物线 y 2＝4x 订交于 A ， B 两点，与圆 C ：(x －5)2＋y 2＝ r 2(r ＞ 0)相切于点 M ，且 M 为线段 AB 的中点 .若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 ________.分析设直线 l 的方程为 x ＝ ty ＋m ，A(x 1， y 1)，B(x 2，y 2)，把直线 l 的方程代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得 y 2－4ty －4m ＝0，则＝16t 2＋ 16m ＞0，y 1＋ y 2＝4t ，y 1y 2＝－ 4m ，那么 x 1＋x 2＝ (ty 1＋m)＋ (ty 2＋m)＝4t 2＋ 2m ，则线段 AB 的中点 M(2t 2＋m ， 2t).由题意可得直线 AB 与直线 MC 垂直，且 C(5，0).当 t≠ 0 时，有 k·k ＝－ 1，MC AB即2t －012，·＝－ 1，整理得 m＝3－2t2t2＋m－ 5t把 m＝3－2t2代入＝ 16t2＋16m＞ 0，可得 3－t2＞0，即 0＜ t2＜3.因为圆心 C 到直线 AB 的距离等于半径，即 d＝|5－m|2＋ 2t21＋ t2＝ r，＝＝ 21＋t21＋ t2因此 2＜r ＜4，此时知足题意且不垂直于x 轴的直线有两条 .当 t＝ 0 时，这样的直线l 恰有 2 条，即 x＝ 5±r，因此 0＜r＜ 5.综上，可得若这样的直线恰有 4 条，则 2＜ r＜ 4.答案(2， 4)三、解答题9.已知数列 { a n} 是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－ 5.(1)求{ a n} 的通项 a n；(2)求{ a n} 前 n 项和 S n的最大值 .解 (1)设{ a n} 的公差为 d，由已知条件，a1＋d＝1，解得 a1＝ 3， d＝－ 2.a1＋4d＝－ 5，因此 a n＝ a1＋(n－ 1)d＝－ 2n＋ 5.n（n－1）(2)S n＝na1＋因此 n＝2 时， S n取到最大值 4.d＝－ n2＋4n＝ 4－ (n－2)2 .10.椭圆 C 的中心为坐标原点 O ，焦点在 y 轴上，短轴长为2，离心率为 22 ，→ →直线 l 与 y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A ， B ，且 AP ＝3PB.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求 m 的取值范围 .解(1)设椭圆 C 的方程为 y 2 x 2＞ ＞ ，设 ＞ ， 222 ，由题意，2＋ 2＝1(a c c ＝a － babb 0) 0c2 知 2b ＝ 2， a ＝ 2 ，2因此 a ＝1，b ＝c ＝ 2 .22x22故椭圆 C 的方程为 y ＋ 1 ＝1.即 y ＋2x ＝1.1 (2)当直线 l 的斜率不存在时，由题意求得m ＝ ± ；2当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋m(k ≠ 0)，l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，y ＝kx ＋ m ，由2x 2＋y 2＝ 1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，＝ (2km)2－4(k 2＋ 2)(m 2－1)＝ 4(k 2－2m 2＋ 2)＞0，(*)2－2kmm －1→→因为 AP ＝3PB ，因此－ x 1＝3x 2.1＋x 2＝－ 2x 2，因此 3(x 1＋x 2 2＋4x 1 x 2＝0.因此x 1x 2＝－ 3x 22.)－2km2m 2－ 1因此3·2＋4·2＝ 0.k ＋ 2k ＋ 2整理得 4k 2m 2＋2m 2－k 2－ 2＝ 0，即 k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.212122－ 2m2当 m ＝4时，上式不建立；当m≠4时， k＝4m2－1，由 (*) 式，得 k2＞2m2－2，22－2m2又 k≠0，因此 k ＝4m2－1＞ 0.1 1解得－ 1＜m＜－2或2＜m＜1.1 1综上，所求 m 的取值范围为－1，－2∪2，1 .11.设函数 f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln x(a， b∈R)，已知它们在 x＝1 处的切线相互平行 .(1)求 b 的值；(2)若函数 F(x)＝f（x）， x≤0，且方程 F(x)＝ a2有且仅有四个解，务实数 a g（ x）， x＞ 0，的取值范围 .解函数 g(x)＝bx2－ln x 的定义域为 (0，＋∞ )，(1)f′(x)＝3ax2－3a? f′(1)＝0，1g′(x)＝2bx－x? g′(1)＝2b－ 1，依题意得 2b－ 1＝ 0，因此 b＝1 2.1(2)x∈(0，1)时， g′(x)＝ x－x＜ 0，即 g(x)在 (0，1)上单一递减，1x∈(1，＋∞ )时， g′(x)＝x－x＞0，即 g(x)在(1，＋∞ )上单1调递加，因此当x＝1 时， g(x)获得极小值 g(1)＝2；当 a＝0 时，方程 F(x)＝a2不行能有四个解；当 a＜0，x∈(－∞，－ 1)时， f′(x)＜ 0，即 f(x)在(－∞，－ 1)上单一递减，x∈(－1，0)时， f′(x)＞0，即 f(x)在(－1，0)上单一递加，因此当 x＝－ 1 时， f(x)获得极小值 f(－1)＝ 2a，又 f(0)＝0，因此 F(x)的图象如图 (1)所示，从图象能够看出F(x)＝ a2不行能有四个解 .当 a＞0，x∈(－∞，－ 1)时， f′(x)＞ 0，即 f(x)在(－∞，－ 1)上单一递加，x∈(－1，0)时， f′(x)＜0，即 f(x)在(－1，0)上单一递减，因此当 x＝－ 1 时， f(x)获得极大值 f(－1)＝ 2a.又 f(0)＝0，因此 F(x)的图象如图 (2)所求，从图 (2)看出，若方程 F(x)＝a2有四个解，则12＜ a2＜2a，2得2＜ a＜ 2，2因此，实数 a 的取值范围是2，2.。
2018届高考数学二轮复习 第二部分 板块(一)系统思想方法——融会贯通试题 文
第二部分 板块（一）系统思想方法——融会贯通(一)小题小做 巧妙选择高考数学选择题历来都是兵家必争之地，因其涵盖的知识面较宽，既有基础性，又有综合性，解题方法灵活多变，分值又高，既考查了同学们掌握基础知识的熟练程度，又考查了一定的数学能力和数学思想，试题区分度极佳．这就要求同学们掌握迅速、准确地解答选择题的方法与技巧，为全卷得到高分打下坚实的基础．一般来说，对于运算量较小的简单选择题，都是采用直接法来解题，即从题干条件出发，利用基本定义、性质、公式等进行简单分析、推理、运算，直接得到结果，与选项对比得出正确答案；对于运算量较大的较复杂的选择题，往往采用间接法来解题，即根据选项的特点、求解的要求，灵活选用数形结合、验证法、排除法、割补法、极端值法、估值法等不同方法技巧，通过快速判断、简单运算即可求解．下面就解选择题的常见方法分别举例说明．一、直接法直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[典例] (2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3C ． 2D ．233[技法演示] 由圆截得渐近线的弦长求出圆心到渐近线的距离，利用点到直线的距离公式得出a 2，b 2的关系求解．依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx－ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. [答案] A[应用体验]1．(2016·全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D 由题意知S ＝{x |x ≤2或x ≥3}， 则S ∩T ＝{x |0<x ≤2或x ≥3}．故选D.2．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 运行程序框图，a ＝－1，S ＝0，K ＝1，K ≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立； S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立； S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立； S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立； S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3.二、数形结合法根据题目条件作出所研究问题的有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断．[典例] (2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0][技法演示]作出函数图象，数形结合求解．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.[答案] D[应用体验]3．(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A ．4．(2014·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点B (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.三、验证法将选项或特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题目条件，然后选择符合题目条件的选项的一种方法．在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能提高解题速度．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c[技法演示] 法一：(特殊值验证法)根据a ，b ，c 满足的条件，取特殊值求解． ∵a >b >1,0<c <1，∴不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12，对于A,412＝2,212＝2，2>2，∴选项A 不正确．对于B,4×212＝42，2×412＝4,42>4，∴选项B 不正确．对于C,4×log 212＝－4,2×log 412＝－1，－4<－1，∴选项C 正确．对于D ，log 412＝－12，log 212＝－1，－12>－1，∴选项D 不正确． 故选C ．法二：(直接法)根据待比较式的特征构造函数，直接利用函数单调性及不等式的性质进行比较．∵y ＝x α，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数， ∴当a >b >1,0<c <1时，a c >b c，选项A 不正确． ∵y ＝x α，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数， ∴当a >b >1,0<c <1，即－1<c －1<0时，a c －1<bc －1，即ab c >ba c ，选项B 不正确．∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，∴a lg a >b lg b >0， ∴a lg b >blg a.又∵0<c <1，∴lg c <0.∴a lg c lgb <b lg clg a，∴a log b c <b log a c ，选项C 正确． 同理可证log a c >log b c ，选项D 不正确． [答案] C[应用体验]5．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13解析：选C 法一：(特殊值验证法)取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C ．法二：(直接法)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝－43＋a ＋53≥0，g－＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C ． 四、排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．[典例] (2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x 1－cos x的部分图象大致为( )[技法演示] 根据函数的性质研究函数图象，利用排除法求解．令函数f (x )＝sin 2x1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝－2x 1－－x ＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x 1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C ．[答案] C[应用体验]6．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )解析：选D ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B. 设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x. 又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C ．故选D.7．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选B 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2.∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.五、割补法“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[技法演示] 由三视图还原为直观图后计算求解．由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A ．[答案] A[应用体验]8．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选 D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.六、极端值法选择运动变化中的极端值，往往是动静转换的关键点，可以起到降低解题难度的作用，因此是一种较高层次的思维方法．从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，运用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程．[典例] (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3[技法演示] 根据直三棱柱的性质找出最大球的半径，再求球的体积．由题意得，要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.故选B.[答案] B[应用体验]9.如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶1解析：选B 将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ (＝0)，则有VC AA 1B ＝VA 1ABC ＝VABC A 1B 1C 13.故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1(或1∶2)．七、估值法由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．[典例] (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π[技法演示] 由题意，知12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π， ∴45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B. [答案] B[应用体验]10．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．53解析：选D 因为双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，所以b a ＝43.因为e ＝c a >b a ，所以e >43.故选D.(二)快稳细活 填空稳夺绝大多数的填空题都是依据公式推理计算型和依据定义、定理等进行分析判断型，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推理和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊值法、数形结合法、等价转化法、构造法、分析法等．解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求更高、更严格．解答时应遵循“快”“细”“稳”“活”“全”5个原则．填空题解答“五字诀” 快——运算要快，力戒小题大做 细——审题要细，不能粗心大意稳——变形要稳，不可操之过急 活——解题要活，不要生搬硬套 全——答案要全，避免残缺不齐 一、直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等得出正确的结论．[典例] (2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.[技法演示] 先求出sin A ，sin C 的值，进而求出sin B 的值，再利用正弦定理求b 的值．因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365. 又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113. [答案]2113[应用体验]1．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.答案：12．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：5 二、特殊值法当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替即可得到结论．[典例] (2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[技法演示] 法一：(特殊值法)利用双曲线的性质，设特殊值求解． 如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c ，又2|AB |＝3|BC |，∴设|AB |＝6，|BC |＝4，则|AF 1|＝3，|F 1F 2|＝4， ∴|AF 2|＝5.由双曲线的定义可知，a ＝1，c ＝2，∴e ＝c a＝2.故填2. 法二：(直接法)利用双曲线的性质，建立关于a ，b ，c 的等式求解． 如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2C ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． [答案] 2[应用体验]3．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析：法一：(特殊值法)由题意知a 1，a 3，a 5成等差数列，a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5成等比数列，所以观察可设a 1＝5，a 3＝3，a 5＝1，所以q ＝1.故填1.法二：(直接法)因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1.答案：1 三、数形结合法根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以快速简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．[典例] (2016· 全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.[技法演示] 根据直线与圆的位置关系先求出m 的值，再结合图象求|CD |.由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1. 由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12， 解得m ＝－33. 又直线l 的斜率为－m ＝33， 所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4. [答案] 4[应用体验]4．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)，∴z max ＝3×1＋1＝4. 答案：45．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)上单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3.答案：(－1,3) 四、等价转化法通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而得到正确的结果．[典例] (2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．[技法演示] 利用等比数列通项公式求出首项a 1与公比q ，再将a 1a 2…a n 的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题．设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n2＝23n －n 22＋n2＝2－n 22＋72n .记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. [答案] 64[应用体验]6．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 7．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示，∵yx表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)． ∴yx的最大值为3. 答案：3 五、构造法根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识和解决问题． [典例] (2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.[技法演示] 先构造等比数列，再进一步利用通项公式求解． ∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. [答案] 1 121[应用体验]8．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b|a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪aa ＋b |a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋b |a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b |a ＋b |＋b a ＋b |a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋ba ＋b |a ＋b |＝|a ＋b |.∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6. ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12.答案：12六、分析法根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论．[典例] (2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．[技法演示] 先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字．因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.[答案] 1和3[应用体验]9．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A[考前热身训练] “12＋4”小题提速练共3套“12＋4”小题提速练(一) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,3) B ．{1,3} C ．(5,7)D ．{5,7}解析：选B 因为集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∩B ＝{1,3}．2．已知z ＝1－3i3＋i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1解析：选D ∵z ＝1－3i3＋i ＝－－＋－＝－10i 10＝－i ，∴z 的共轭复数z －＝i ，其虚部为1.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，|x |≤1，－10|x |＋3，|x |>1，若f (0)＝2，则a ＋f (－2)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，|x |≤1，－10|x |＋3，|x |>1，由f (0)＝2，可得log 2(0＋a )＝2，∴a ＝4. ∴a ＋f (－2)＝4－105＝2.4．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π3，若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为( )A ．100B ．200C ．400D ．450解析：选C 如图所示，作CD ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴落入圆内的点的个数估计值为600·πr 216πr2＝400.5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( )A ．2B ． 5C ． 3D ． 2解析：选A 由题可知双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，与圆相切，∴圆心(3，1)到渐近线的距离为|3b －a |a 2＋b 2＝1或|3b ＋a |a 2＋b2＝1，又a >0，b ＞0，解得3a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，即c ＝2a ，∴e ＝ca＝2.6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是( )A ．－3B ．－12C ．13D ．2解析：选A 模拟程序框图的运算结果如下： 开始S ＝2，i ＝1.第一次循环，S ＝－3，i ＝2；第二次循环，S ＝－12，i ＝3；第三次循环，S ＝13，i ＝4；第四次循环，S ＝2，i ＝5；第五次循环，S ＝－3，i ＝6；……，可知S 的取值呈周期性出现，且周期为4，∵跳出循环的i 值2 018＝504×4＋2，∴输出的S ＝－3.7．在△ABC 中，|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，则CB ―→·CA ―→的值为( )A ．3B ．－3C ．－92D ．92解析：选 D 由|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，两边平方可得|AB ―→|2＋|AC ―→|2＋2AB ―→·AC ―→＝3|AB ―→|2＋3|AC ―→|2－6AB ―→·AC ―→，又|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，∴AB ―→·AC ―→＝92，∴CB ―→·CA ―→＝(CA ―→＋AB ―→)·CA ―→＝CA ―→2＋AB ―→·CA ―→＝CA ―→2－AB ―→·AC ―→＝9－92＝92.8．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则{a n }的前10项和S 10＝( ) A ．－10 B ．－5 C ．0D ．5解析：选C 由a 24＋a 25＝a 26＋a 27，可得(a 26－a 24)＋(a 27－a 25)＝0，即2d (a 6＋a 4)＋2d (a 7＋a 5)＝0，∵d ≠0，∴a 6＋a 4＋a 7＋a 5＝0，∵a 5＋a 6＝a 4＋a 7，∴a 5＋a 6＝0， ∴S 10＝a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝0.9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：选B ∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1cos x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，函数图象关于原点对称，可排除A ，C ；又由当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )<0，函数图象位于第四象限，可排除D ，故选B.10．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若AF ―→＝3FB ―→，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．12C ．32D ． 3解析：选D 作出抛物线的准线l ：x ＝－1， 设A ，B 在l 上的投影分别是C ，D ，连接AC ，BD ，过B 作BE ⊥AC 于E ，如图所示．∵AF ―→＝3FB ―→，∴设|AF |＝3m ， |BF |＝m ，则|AB |＝4m ，由点A ，B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC |＝|AF |＝3m ，|BD |＝|BF |＝m ，则|AE |＝2m .因此在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝2m 4m ＝12，得∠BAE ＝60°.所以直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，故直线AB 的斜率为k ＝tan 60°＝ 3. 11．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( )A ．4πB ．28π3C ．44π3D ．20π解析：选B 由三视图知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，则三棱柱的两个底面的中心连线的中点到三棱柱的顶点的距离就是其外接球的半径r ，所以r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32＋12＝73，则球面的表面积为4πr 2＝4π×73＝28π3. 12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当 xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3解析：选B ∵x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2，又x ，y ，z 均为正实数，∴xy z＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤12x y ×4yx－3＝1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫xy z max ＝1，此时x ＝2y ，则z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3×2y ×y ＋4y 2＝2y 2， ∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，满足题意． ∴2x ＋1y －2z的最大值为1.二、填空题13．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则a 6＝________.解析：∵a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，a 1q ＋a 1q 3＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝2，∴a 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝116.答案：11614．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6 ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫332＝13. 答案：1315．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：由z ＝ax ＋by (a >0，b >0)得y ＝－ab x ＋z b ，∵a ＞0，b ＞0，∴直线y ＝－a b x ＋z b的斜率为负．作出不等式组表示的可行域如图，平移直线y ＝－ab x ＋z b ，由图象可知当y ＝－a b x ＋z b经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，即A (4,6)．此时z ＝4a ＋6b ＝10，即2a ＋3b －5＝0，即点(a ，b )在直线2x ＋3y －5＝0上，因为a 2＋b 2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，又原点到直线的距离d ＝|－5|22＋32＝513，故a 2＋b 2的最小值为d 2＝2513.答案：251316．已知函数f (x )＝|x e x|－m (m ∈R)有三个零点，则m 的取值范围为________． 解析：函数f (x )＝|x e x|－m (m ∈R)有三个零点，即y ＝|x e x|与y ＝m 的图象有三个交点．令g (x )＝x e x ，则g ′(x )＝(1＋x )e x ，当x ＜－1时，g ′(x )＜0，当x ＞－1时，g ′(x )＞0，故g (x )＝x e x在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，g (－1)＝－1e ，又由x ＜0时，g (x )＜0，当x ＞0时，g (x )＞0，故函数y ＝|x e x|的图象如图所示：由图象可知y ＝m 与函数y ＝|x e x|的图象有三个交点时，m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e“12＋4”小题提速练(二) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．(2017·西安模拟)已知集合A ＝{x |log 2x ≥1}，B ＝{x |x 2－x －6＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |2≤x ＜3}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选C 化简集合得A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．2．(2017·福州模拟)已知复数z ＝2＋i ，则zz＝( )A ．35－45iB ．－35＋45iC ．53－43i D ．－53＋43i解析：选A 因为z ＝2＋i ，所以zz ＝2－i2＋i＝－25＝35－45i. 3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选C 因为a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，又c ＝5－12＝15，5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，故c ＜a ＜b .4.(2018届高三·长沙一中月考)如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，应为( )A.B.C. D.解析：选A 每一行三个图形的变化规律：第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A.5．(2017·合肥模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6C ．132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的可区域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝x ＋2y ＝132.6．(2018届高三·宝鸡调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585解析：选B 依题意，执行题中的程序框图，当输入x 的值为1时，进行第一次循环，S ＝1＜50，x ＝2；进行第二次循环，S ＝1＋23＝9＜50，x ＝4；进行第三次循环，S ＝9＋43＝73＞50，此时结束循环，输出S 的值为73.7．(2017·衡阳三模)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：选C 因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n＋a n ＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n .8．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝AC ＝3，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为( )A ．16916πB ．8πC ．28916πD ．2516π解析：选C 如图所示，当点D 位于球的正顶部时四面体的体积最大，设球的半径为R ，则四面体的高为h ＝R ＋R 2－1，四面体的体积为V ＝13×12×(3)2×sin 60°×(R ＋R 2－1)＝34×(R ＋R 2－1)＝3，解得R ＝178， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫1782＝289π16，故选C ． 9．(2018届高三·湖北七校联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设条件p ：0＜r ＜3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋－32＝2.当0＜r ＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当1＜r ＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2＜r ＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0＜r ＜3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C ．10．(2017·合肥模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q ―→＝2 QP ―→.若F 1P ―→·F 2Q ―→＝0，则e 2＝( )A ．2－1B ．2－ 2C ．2－ 3D ．5－2解析：选C 由题意可知，在Rt △PF 1F 2中，F 2Q ⊥PF 1，所以|F 1Q |·|F 1P |＝|F 1F 2|2，又|F 1Q |＝23|F 1P |，所以有23|F 1P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即|F 1P |＝6c ，进而得出|PF 2|＝2C ．又由椭圆定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝6c ＋2c ＝2a ，解得e ＝ca＝26＋2＝6－22，所以e 2＝2－ 3. 11．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.12．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域A 包含(0，＋∞)，因此对方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)．二、填空题13．(2017·兰州模拟)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝π3，则BD ―→·CD ―→＝________.解析：由菱形的性质知|BD ―→|＝3a ，|CD ―→|＝a ，且〈BD ―→，CD ―→〉＝π6，∴BD ―→·CD―→＝3a ×a ×cos π6＝32a 2.答案：32a 214．已知函数f (x )＝cos πx6，集合M ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，现从M 中任取两个不同的元素m ，n ，则f (m )·f (n )＝0的概率为________．解析：已知函数f (x )＝cos πx6，集合M ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，现从M 中任取两个不同的元素m ，n ，则m ＝3,9时，f (m )＝cos πm6＝0，满足f (m )·f (n )＝0的个数为m ＝3时有8个，n ＝9时有8个，n ＝3时有8个，n ＝9时有8个，重复2个，共有30个．从A 中任取两个不同的元素m ，n ，则f (m )·f (n )的值有72个，所以从M 中任取两个不同的元素m ，n ，使f (m )·f (n )＝0的概率为P ＝3072＝512.答案：51215．(2017·洛阳模拟)为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用，把500名做该套眼保健操的学生与另外500名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设H 0：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用2×2列联表计算所得的K 2≈3.918.经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学得出了以下结论：①有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”； ②若某人未做该套眼保健操，那么他有95%的可能得近视； ③这套眼保健操预防近视的有效率为95%； ④这套眼保健操预防近视的有效率为5%. 其中所有正确结论的序号是________．解析：根据查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；95%仅指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误．答案：①16．(2018届高三·云南调研)已知三棱锥P ABC 的所有顶点都在表面积为289π16的球面上，底面ABC 是边长为3的等边三角形，则三棱锥P ABC 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4πR 2＝289π16，R ＝178，△ABC 的外接圆半径为r＝32sin 60°＝1，球心到截面ABC 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1782－12＝158，因此点P 到截面ABC 的距离的最大值等于h ＋R ＝178＋158＝4，因此三棱锥P ABC 体积的最大值为13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤3432×4＝ 3. 答案： 3“12＋4”小题提速练(三) (限时：40分钟 满分：80分)一、选择题1．已知集合M ＝{x |16－x 2≥0}，集合N ＝{y |y ＝|x |＋1}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－2≤x ≤4} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x ≤4}D ．{x |x ≥－2}解析：选C 由M 中16－x 2≥0，即(x －4)(x ＋4)≤0，解得－4≤x ≤4，所以M ＝{x |－4≤x ≤4}，集合N ＝{y |y ＝|x |＋1}＝[1，＋∞)，则M ∩N ＝{x |1≤x ≤4}．2．若复数z 满足z (4－i)＝5＋3i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．1－i B ．－1＋i C ．1＋iD ．－1－i解析：选A 由z (4－i)＝5＋3i ， 得z ＝5＋3i 4－i＝＋＋－＋＝17＋17i17＝1＋i ， 则复数z 的共轭复数为 1－i. 3．由变量x 与y 的一组数据：得到的线性回归方程为y ＝2x ＋45，则y ＝( ) A ．135 B ．90 C ．67D ．63解析：选D 根据表中数据得x －＝15×(1＋5＋7＋13＋19)＝9，线性回归方程y ^＝2x ＋45过点(x －，y －)，则y －＝2×9＋45＝63.4．如图给出一个算法的程序框图，该程序框图的功能是( )A ．输出a ，b ，c 三个数中的最大数B ．输出a ，b ，c 三个数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列解析：选B 由程序框图知：第一个判断框是比较a ，b 大小，a 的值是a ，b 之间的较小数；第二个判断框是比较a ，c 大小，输出的a 是a ，c 之间的较小数．∴该程序框图的功能是输出a ，b ，c 三个数中的最小数．故选B.5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象经过下列平移，可以得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6图象的是( )A ．向右平移π6个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π3个单位D ．向左平移π3个单位解析：选B 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位，可得y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴若f (x )为[0,1]上的增函数，则f (x )在[－1,0]上是减函数，又∵f (x )是定义在R 上的以2为周期的函数，且[3,4]与[－1,0]相差两个周期，。
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数学思想专练（一）一、选择题1．(2018届高三·浙江五校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( )A ．7B ．8 C.152D.172解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝4，S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝2n ＋n n －2×2＝n 2＋n ，所以S n ＋64a n ＝n 2＋n ＋642n ＝n 2＋32n ＋12≥2n 2·32n ＋12＝172，当且仅当n 2＝32n，即n ＝8时取等号，故选D. 2．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：选B 构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，∵关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1<0<x 2<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1<0，4k ＋3>0，∴－34<k ≤0.3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，又函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，gx －x ，x ≥g x则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：选D 依题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＋x ＋4，x <x 2－2，x 2－2－x ，x ≥x 2－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.画出f (x )的图象，如图所示，从图中可以看出f (x )的值域为(2，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 4．已知f (x )＝e x －e －x＋1，若f (a )＋f (a －2)<2，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 设g (x )＝e x－e －x，显然有f (x )＝g (x )＋1，且g (x )为奇函数，在R 上是增函数， 因为f (a )＋f (a －2)<2，所以g (a )＋g (a －2)<0，所以g (a )<－g (a －2)＝g (2－a )，所以a <2－a ，所以a <1，选A.5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的定义域为D ，若所有点(s ，f (t ))(s ，t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为( )A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定解析：选B 根据二次函数性质及复合函数的性质，如示意图，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的两个零点为x 1，x 2，则一定有|x 1－x 2|＝f max (x )，故b 2－4aca 2＝ 4ac －b 24a，a 2＝－4a ，a ＝－4，选B. 6．定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66 解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，令x ＝－1，则f (1)＝f (－1)－f (1)， ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)，∴f (1)＝0. ∴f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，又∵当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，令g (x )＝loga (x ＋1) ，则f (x )与g (x )在[0，＋∞)的部分图象如图所示．y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，可化为f (x )与g (x )的图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 3>－2，解得0＜a ＜33，故选A. 二、填空题7．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y ≤3，x －y ≤1，若z ＝kx ＋y 的最大值为5，且k 为负整数，则k ＝________.解析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如图所示：其中点A (－2,3)，B (4,3)，C (1,0)，根据线性规划知识可得，目标函数的最优解必在交点处取得，则－2k ＋3＝5或4k ＋3＝5或k ＋0＝5，又k 为负整数，所以k ＝－1.答案：－18．(2017·泰州模拟)在直角△ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，斜边BC 上有异于端点的两点E ，F ，且EF ＝1，则AE ―→·AF ―→的取值范围是________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设E (x,23－3x )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，332－3x ，其中0<x <32，所以AE ―→·AF ―→＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋()23－3x ⎝⎛⎭⎪⎫332－3x ＝4x 2－10x ＋9.设f (x )＝4x 2－10x ＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32，则其图象的对称轴为x ＝54，其值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9，所以AE ―→·AF ―→的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，99.如图，设直线m ，n 相交于点O ，且夹角为30°，点P 是直线m 上的动点，点A ，B 是直线n 上的定点．若|OA ―→|＝|AB ―→|＝2，则PA ―→·PB ―→的最小值是________．解析：以OB 所在直线为x 轴，过O 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图的坐标系，则A (2,0)，B (4,0)，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，33a ，则PA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ，－33a ，PB ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫4－a ，－33a ，所以PA ―→·PB ―→＝(2－a )(4－a )＋13a 2＝43a 2－6a ＋8＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫a －942＋54≥54，所以PA ―→·PB ―→的最小值为54.答案：54三、解答题10．已知函数f (x )＝|4x －x 2|－a ，当函数有4个零点时，求a 的取值范围． 解：∵函数f (x )＝|4x －x 2|－a 有4个零点， ∴方程|4x －x 2|＝a 有4个不同的解． 令g (x )＝|4x －x 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x －2， 0≤x ≤4，x －2－4，x <0或x >4.作出g (x )的图象，如图所示，由图象可以看出， 当h (x )＝a 与g (x )有4个交点时，0<a <4， ∴a 的取值范围为(0,4)．11．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0， 解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ， 显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋n －2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 12.已知椭圆C 的离心率为32，点A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S △ABF ＝1－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．解：(1)由题意，知椭圆C 的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，即a ＝2b ，① 可得c ＝3b .②S △ABF ＝12|AF ||OB |＝12(a －c )b ＝1－32.③ 联立①②③，解得b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意，知圆心O 到直线l 的距离d ＝22－32＝1，即|m |1＋k2＝1，故有m 2＝1＋k 2，④由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0. 因为Δ＝4k 2－m 2＋1＝3k 2>0，所以k ≠0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝k 2－m 2＋k 2＋2，⑤将④代入⑤，得|x 1－x 2|2＝48k 2k 2＋2，故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1，|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝43k 2k 2＋4k 2＋1，故△OMN 的面积S ＝12|MN |×d ＝23k 2k 2＋4k 2＋1.令t ＝4k 2＋1>1，则S ＝23×t －14×⎝⎛⎭⎪⎫t －14＋1t2＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49. 所以当t ＝3，即k ＝±22时，S max ＝32×49＝1.。