高考数学一轮复习(热点难点)专题50 平面内两条直线位置关系的常考题型

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空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

专题32空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．（一）共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(1)证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)证明GE ，FH ，1BB 相交于一点．1-3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体(1)求证：1CE D F DA ，，三线交于点(2)在（1）的结论中，G 是D （二）(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)求异面直线所成角的方法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解题型2：空间位置关系的判断都相交，则直线A ．2GH EF=C ．直线EF ，GH 是异面直线2-3．【多选】（2024·湖北荆门A ．若l αβ= ，A α∈B ．若A ，B ，C 是平面C ．若A α∈且B α∈，则直线D ．若直线a α⊂，直线2-4．（2024·上海长宁·二模）如图，已知正方体则下列命题中假命题为（A ．存在点P ，使得PQ ⊥B ．存在点P ，使得//PQ AC ．直线PQ 始终与直线CC（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成3-2．（2024高三·全国·课后作业）已知正四面体小为．3-3．（2024高三·河北·学业考试）如图直线1A E 与BF 所成角的大小为3-4．（2024高一下·北京·期末）如图，等腰梯形112BC CD DA AB ====，则直线3-5．（2024高三·全国·对口高考）线段AB 的两端分别在直二面角CD αβ--的两个面αβ、内，且与这两个面都成30︒角，则直线AB 与CD 所成的角等于．（三）空间几何体的切割(截面)问题(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．A ．177B ．134-2．（2024·河南·模拟预测）在正方体确的个数为（）①//MN 平面11AAC C ；②MN①异面直线1D D与AF所成角可以为②当G为中点时，存在点③当E，F为中点时，平面④存在点G，使点C与点则上述结论正确的是（A．①③B．②④4-5．（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱BC=，432AC=，如图所示，若过的面积为（）（四）等角定理的应用空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、单选题-如图所示，则直线PC（）1．（2024高三·北京·学业考试）四棱锥P ABCDA．与直线AD平行B．与直线AD相交C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线2．（2024·广东）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交3．（2024高一·全国·课后作业）若直线l 在平面α外，则l 与平面α的公共点个数为（）A ．0B ．0或1C ．1D ．24．（2024·上海·模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B5．（2024高二上·四川乐山·期末）若直线l 与平面α有两个公共点，则l 与α的位置关系是（）A ．l ⊂αB ．//l αC ．l 与α相交D ．l α∈6．（2024高二上·上海静安·阶段练习）设A B C D 、、、是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（）.A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定7．（2024高三·全国·专题练习）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A．12对B．24对C．36对D．48对8．（2024高三·全国·专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（）A．18B．21C．24D．279．（2024高一·全国·课后作业）平面α上有三个不共线点到平面β距离相等，则平面α与平面β的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行10．（2024高一·全国·课前预习）下列命题中正确的是（）A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行G N M H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或11．（2024高三·全国·专题练习）如图中,,,,GH MN是异面直线的图形有（）所在棱的中点，则表示直线,A．①③B．②③C．②④D．②③④12．（2024高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l和平面α，若lα∥，Pα∈，则过点P且平行于l的直线（）．A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内13．（2024高三·全国·专题练习）将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是（）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直14．（2024高三上·吉林长春·期末）如图，在底面为正方形的棱台1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱1CC ，1BB ，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M 、N ，若线段MN 与线段AE 、1BD 都不相交，则称点M 与点N 可视，下列选项中与点D 可视的为（）A ．1B B ．FC ．HD ．G15．（2024·全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π616．（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段11A C 上的动点，下列与BP 始终异面的是（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C17．（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱1OO 中，过旋转轴1OO 作圆柱的轴截面ABCD ，其中母线AB =2，E 是弧BC 的中点，F 是AB 的中点，则（）A ．AE =CF ，AC 与EF 是共面直线B ．AE CF ≠，AC 与EF 是共面直线C ．AE =CF ，AC 与EF 是异面直线D ．AE CF ≠，AC 与EF 是异面直线18．（2024高二下·广西桂林·期中）已知直线m ⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m ∥β”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件19．（2024·新疆阿克苏·一模）已知M ，N ，P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，1AA ，1CC 的中点，则平面MNP 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形20．（2023届上海春季高考练习）如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -边11AC 上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C21．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（）A ．m 与n 异面B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能22．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数为（）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线.②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于、、A B C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A ．0B ．1C ．2D ．323．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（）A ．两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.B ．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.C ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.D ．若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.24．（2024高三·全国·专题练习）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（）A ．①B ．①④C ．②③D ．③④25．（2024·上海浦东新·一模）已知直线l 与平面α相交，则下列命题中，正确的个数为（）①平面α内的所有直线均与直线l 异面；②平面α内存在与直线l 垂直的直线；③平面α内不存在直线与直线l 平行；④平面α内所有直线均与直线l 相交.A ．1B ．2C ．3D ．426．（2024高一·全国·课后作业）直线l 是平面α外的一条直线，下列条件中可推出//l α的是A ．l 与α内的一条直线不相交B ．l 与α内的两条直线不相交C ．l 与αD ．l 与α内的任意一条直线不相交27．（2024高三下·上海·阶段练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，点P 、M 、N 分别为棱1AA 、AB 、11A B 的中点，点Q 为线段MN 上的动点．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（）A ．直线1C Q 与直线CP 可能相交B ．直线1C Q 与直线CP 始终异面C ．直线1C Q 与直线CP 可能垂直D ．直线1C Q 与直线BP 不可能垂直28．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是棱11A D ，11D C ，AB 的中点，Q 是线段MN 上的动点，则下列直线中，始终与直线PQ 异面的是（）A ．1AB B ．1BC C ．1CAD ．1DD 29．（2024高一上·全国·专题练习）M ∈l ，N ∈l ，N ∉α，M ∈α，则有A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l 与α相交D ．以上都有可能30．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点Р是侧面11ADD A 上的点，且点Р到棱1AA 与到棱AD 的距离均为1，用过点Р且与1BD 垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD 的投影多边形的面积是（）A ．92B ．5C ．132D ．831．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，对于如下命题：①异面直线1DD 与1B F ②点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为322；③过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O ．则正确的命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．（2024高三·全国·对口高考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为（）A ．36,66⎡⎤⎣⎦B ．6,26⎡⎣C ．(6D ．(0,36二、多选题33．（2024高一下·辽宁营口·阶段练习）有下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题是（）A ．①B ．②C ．③D ．④34．（2024高一下·江苏苏州·阶段练习）下列命题中错误的是（）A ．空间三点可以确定一个平面B ．三角形一定是平面图形C ．若A ，B ，C ，D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D ．四条边都相等的四边形是平面图形35．（2024·河北廊坊·模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）A ．平行于同一条直线的两条直线必平行B ．垂直于同一条直线的两条直线必平行C ．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D ．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补36．（2024高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列四个结论正确的是（）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线AM 与1DD 是异面直线37．（2024高一·全国·课后作业）下列结论中正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设P ，Q 分别为11A B ，1DD 的中点，则过点P ，Q 的平面α截正方体所得截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形39．（2024高一下·湖北武汉·期末）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（）部分．A ．5B ．6C ．7D ．840．（2024高三下·山东日照·阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（）A ．线段11B D 上存在点E 、F 使得//AE BF B ．//EF 平面ABCDC ．AEF △的面积与BEF △的面积相等D ．三棱锥A -BEF 的体积为定值三、填空题41．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.其中真命题的序号是.42．（2024高一下·全国·课后作业）已知直线MN ⊥平面α于N ，直线NP MN ⊥，则NP 与平面α的关系是．43．（2024高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述：（1）；（2）；（3）．44．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若70α=︒，则β=．45．（2024高二下·上海虹口·期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为．46．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是.47．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，（1）直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是；（2）直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是；（3）直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是；（4）直线AB 与直线B 1C 的位置关系是．48．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）设A ∠和B ∠的两边分别平行，若45A ∠=︒，则B ∠的大小为.49．（2024高一·全国·课后作业）“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的条件．50．（2024高一下·全国·课后作业）在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有个.52．（2024高一·全国·单元测试）若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是．53．（2024高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是四、解答题54．（2024高一·全国·课后作业）已知：l ⊂α，D α∈，∈A l ，B l ∈，C l ∈，D l ∉．求证：直线,,AD BD CD 共面于α．55．（2024高一·全国·课后作业）如图，ABCD 为空间四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点G ，H 分别在CD ，AD 上，且13DH AD =，13DG CD =．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：EH ，FG 必相交且交点在直线BD 上．56．（2024高一下·北京·期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且1:1:2CE EC =．(1)试画出过1,,D A E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α；(2)证明：平面1D AE 与平面ABCD 相交，并指出它们的交线．57．（2024高一·全国·课后作业）如图所示是一个三棱锥，欲过点P 作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？58．（2024高一·全国·课后作业）59．（2024高一下·全国·课后作业）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点.求证:平面ACC 1A 1与平面BEF 相交.60．（2024高一上·安徽亳州·期末）如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点．61．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别在,,,AB AD BC CD 上，EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.62．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是AB 和1AA 的中点，求证：四边形1FECD 为平面图形．63．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.求证：(1)E ､F ､G ､H 四点共面；(2)EG 与HF 的交点在直线AC 上.64．（2024高二·上海·专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．画出平面11ACC A 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．65．（2024高一·全国·专题练习）如图，直升机上一点P 在地面α上的正射影是点A (即PA ⊥α)，从点P 看地平面上一物体B (不同于A )，直线PB 垂直于飞机玻璃窗所在的平面β．求证：平面β必与平面α相交．66．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知平面,αβ，且l αβ= ，设在梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，且,AB CD αβ⊂⊂.求证：,,AB CD l 共点．67．（2024高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1,AB AA 上的点，且12,2A F FA BE AE ==.(1)证明：1,,,E C D F 四点共面；(2)设1D F CE O ⋂=，证明：A ，O ，D 三点共线.68．（2024高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线a b ∥，直线l 与a ，b 都相交，求证：过a ，b ，l 有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且13CF AE FB EB ==.求证：直线EH ，BD ，FG 相交于一点.。

2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章两条直线的位置关系

√A.6x－4y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析因为抛物线 y2＝2x 的焦点坐标为12，0，直线 3x－2y＋5＝0 的斜率为32，所以所求直线 l 的方程为 y＝32x－21，
化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为
解析由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|. 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解得 0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0,10].
4.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则
29
|PQ|的最小值为__1_0___.
题型二两直线的交点与距离问题
自主演练
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－
1 2
x＋2的交点位于第一象限，则实
数k的取值范围是__－__16，__12__.
解析
y＝kx＋2k＋1，由方程组y＝－12x＋2，
x＝22－k＋41k，解得y＝62kk＋＋11.
(若 2k＋1＝0，即 k＝－12，则两直线平行)
知识梳理
一、两条直线的平行与垂直 1.两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 . (2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直 (1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 . (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.

高考数学一轮复习考点知识专题讲解52---直线、平面平行的判定与性质

高考数学一轮复习考点知识专题讲解直线、平面平行的判定与性质考点要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行错误!⇒a∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行错误!⇒a∥b2．面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行错误!⇒β∥α性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行错误!⇒a∥b常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(×)(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)教材改编题1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是()A．直线a上有无数个点不在平面α内B．直线a与平面α内的所有直线平行C．直线a与平面α内无数条直线不相交D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交答案D解析因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是()A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α答案D解析若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错；若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错；若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错；若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对．3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．答案平行四边形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证：(1)PB∥平面ACF；(2)EF∥平面PAB.证明(1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点，又∵F 是PD 的中点， ∴OF ∥PB ，又∵OF ⊂平面ACF ，PB ⊄平面ACF ， ∴PB ∥平面ACF .(2)取PA 的中点G ，连接GF ，BG . ∵F 是PD 的中点， ∴GF 是△PAD 的中位线， ∴GF 綉12AD ，∵底面ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点， ∴BE 綉12AD ，∴GF 綉BE ，∴四边形BEFG 是平行四边形， ∴EF ∥BG ，又∵EF ⊄平面PAB ，BG ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .命题点2直线与平面平行的性质例2如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 是PC 的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.教师备选如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．跟踪训练1如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．(1)证明如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．(1)求证：BC∥GH；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明(1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ⊂平面EFA 1， ∴平面EFA 1∥平面BCHG .延伸探究在本例中，若将条件“E ，F ，G 分别是AB ，AC ，A 1B 1的中点”变为“点D ，D 1分别是AC ，A 1C 1上的点，且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”，试求ADDC的值．解如图，连接A 1B 交AB 1于O ，连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，则A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB ＝1.又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD，所以DC AD＝1，即ADDC＝1.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G 分别为B 1C 1，A 1B 1，AB 的中点．(1)求证：平面A 1C 1G ∥平面BEF ；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．思维升华证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．跟踪训练2如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，证明：B1D1∥l.证明(1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1綉B1C1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，所以直线l∥直线BD，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.题型三平行关系的综合应用例4如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．(1)求证：BD1∥平面AEC；(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在，请说明理由．(1)证明如图，连接BD交AC于O，连接EO.因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，底面ABCD为正方形，对角线AC，BD交于O点，所以O为BD的中点，又因为E为DD1的中点，所以在△DBD1中，OE是△DBD1的中位线，所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.(2)解当CC1上的点F为中点时，即满足平面AEC∥平面BFD1.连接BF，D1F，因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，所以CF綉ED1，所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1F∥EC，又因为EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，所以D1F∥平面AEC.由(1)知BD1∥平面AEC，又因为BD1∩D1F＝D1，BD1，D1F⊂平面BFD1，所以平面AEC∥平面BFD1.教师备选如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.思维升华证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．跟踪训练3如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．(1)证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， ∴EF ∥平面ABD . 又∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB ，又∵AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH . (2)解设EF ＝x (0<x <4)，由(1)知EF ∥AB ， ∴CF CB ＝EF AB ＝x 4，与(1)同理可得CD ∥FG ， ∴FG CD ＝BF BC，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4， ∴FG ＝6－32x .∴四边形EFGH 的周长L ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x . 又∵0<x <4， ∴8<L <12，故四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．课时精练1．(2022·宁波模拟)下列命题中正确的是()A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a⊂α，b⊄α，则b∥α答案D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列能判断l∥α的是()A．l∥β，α∥βB．l与平面α内无数条直线平行C．l⊂β，α∥βD．l⊥β，α⊥β答案C解析对于A，l可能在α内，故不能判断l∥α，故A不正确；对于B，l可能在α内，故不能判断l∥α，故B不正确；对于C，因为l⊂β，α∥β，由面面平行的定义得l∥α，故C正确；对于D，l可能在α内，故不能判断l∥α，故D不正确．3．(2022·成都模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则()A．MF∥EB B．A1B1∥NEC．四边形MNEF为平行四边形 D．四边形MNEF为梯形答案D解析由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1∉平面B1NE，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB，1∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．4．(2022·杭州模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S∶S△ABC等于()△A′B′C′A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25答案D解析∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案D解析A项，由正方体性质可知AB∥NQ，NQ⊂平面MNQ，AB⊄平面MNQ，AB∥平面MNQ，排除；B，C项，由正方体性质可知AB∥MQ，MQ⊂平面MNQ，AB⊄平面MNQ，AB∥平面MNQ，排除；D项，由正方体性质易知，直线AB与平面MNQ不平行，满足题意．6．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是()①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值．A．①② B．①④C．②③ D．③④答案B解析根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知①正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知②错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A 1C 1⊄平面ABCD ，所以A 1C 1∥平面ABCD ，当平面EFGH 不平行于平面ABCD 时，A 1C 1不平行于水面所在平面，故③错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH －BFG 的体积V 为定值，又V ＝S △AEH ·AB ，高AB 不变，所以S △AEH 也不变，即AE ·AH 为定值，故④正确．7．考查①②两个命题，①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α为平面)，则此条件为__________．答案l ⊄α解析①由线面平行的判定定理知l ⊄α；②由线面平行的判定定理知l ⊄α.8.如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件______，就有MN ∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案点M 在线段FH 上(或点M 与点H 重合) 解析连接HN ，FH ，FN (图略)，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.9.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点，求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H . 证明如图．(1)取B 1B 的中点M ，连接HM ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形， ∴HD 1∥MC 1. 又MC 1∥BF ， ∴BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连接OE ，OD 1，则OE 綉12DC .又D 1G 綉12DC ，∴OE綉D1G.∴四边形OEGD1是平行四边形，∴EG∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1，由题意易证B1D1∥BD.又B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面PAD.证明(1)如图，连接EC，因为AD∥BC，BC＝12 AD，所以BC∥AE，BC＝AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．又因为F是PC的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ，所以OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，FH ，OH ⊂平面OHF ，所以平面OHF ∥平面PAD . 又因为GH ⊂平面OHF ，所以GH ∥平面PAD .11．(2022·福州检测)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G ，P ，Q 分别为棱AB ，C 1D 1，D 1A 1，D 1D ，C 1C 的中点，则下列叙述中正确的是()A．直线BQ∥平面EFGB．直线A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案B解析过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，连接A1B，BQ，AP，PC，易知BQ与平面EFG相交于点Q，故A错误；∵A1B∥HE，A1B⊄平面EFG，HE⊂平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故B正确；AP⊂平面ADD1A1，HG⊂平面ADD1A1，延长HG与PA必相交，故C错误；易知平面A1BQ与平面EFG有交点Q，故D错误．12.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝1，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案2 2解析因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面PQNM＝PQ，平面A1B1C1D1∩平面PQNM＝MN，所以MN∥PQ，又因为MN∥AC，所以PQ∥AC.又因为AP＝1，所以PDAD＝DQCD＝PQAC＝23，所以PQ＝23AC＝23×32＝2 2.13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案Q为CC1的中点解析如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB⊂平面D1BQ，所以平面D 1BQ ∥平面PAO .故Q 为CC 1的中点时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .14．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．答案8解析如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.15．(2022·合肥市第一中学模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ，N 分别是棱BC ，CC 1的中点，动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面AMN ，则PA 1的长度范围为()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32答案B解析取B 1C 1的中点E ，BB 1的中点F ，连接A 1E ，A 1F ，EF ，取EF 的中点O ，连接A 1O ，如图所示，∵点M ，N 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中棱BC ，CC 1的中点， ∴AM ∥A 1E ，MN ∥EF ，∵AM ∩MN ＝M ，A 1E ∩EF ＝E ，AM ，MN ⊂平面AMN ，A 1E ，EF ⊂平面A 1EF ， ∴平面AMN ∥平面A 1EF ，∵动点P 在正方形BCC 1B 1(包括边界)内运动，且PA 1∥平面AMN ， ∴点P 的轨迹是线段EF ， ∵A 1E ＝A 1F ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，EF ＝1212＋12＝22， ∴A 1O ⊥EF ，∴当P 与O 重合时，PA 1的长度取最小值A 1O ，A 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，当P 与E (或F )重合时，PA 1的长度取最大值A 1E 或A 1F ，A 1E ＝A 1F ＝52.∴PA 1的长度范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52.16．(2022·郑州模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ，BC ，PC 两两垂直，AC ＝BC ，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，△ABC 的面积为8，四棱锥P －ABFE 的体积为4.(1)若平面PEF ∩平面PAB ＝l ，求证：EF ∥l ； (2)求三棱锥P －ABC 的表面积． (1)证明∵E ，F 分别是AC ，BC 的中点， ∴EF ∥AB ，∵AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .又平面PEF ∩平面PAB ＝l ，EF ⊂平面PEF ， ∴EF ∥l .(2)解∵AC ，BC ，PC 两两垂直，AC ∩BC ＝C ，AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥平面ABC ，即PC 是四棱锥P －ABFE 的高． ∵S △ABC ＝8，AC ＝BC ，AC ⊥BC ， ∴AC ＝BC ＝4.∵E ，F 分别是AC ，BC 的中点，V P －ABFE ＝4， ∴13×34×12AC ×BC ×PC ＝4，即PC ＝2. ∴PA ＝42＋22＝25，PB ＝42＋22＝25，AB ＝42＋42＝4 2.∴△PAB的面积为12×42×(25)2－⎝⎛⎭⎪⎫4222＝4 6.∴三棱锥P－ABC的表面积S＝2×12×4×2＋8＋46＝16＋4 6.。

两条直线的位置关系(高二文科数学第一轮复习)

总结反思：
设直线l1 : x my 6 0和直线l2： (m 2) x 3 y 2m 0
1、充分考虑斜率是否存在，即B是否为0；分类讨论思想
2、 l1
l2 A1 A2 B1B2 0
7
课堂检测：
1、过A(-2,m)和B(m,4)的直线与2x-y+1=0平行,则m=（
1 平行；２垂直;(3)相交
(1)注意斜率是否存在。
1 当a 0时，l1 : y x 2; l2 : x 1; 两直线相交（1）解： 2 a 1 1 1 当a 0时，l1 : y x 2; l2 : y x ; 2 a a
a 1 1 1 即 ,2 当k1=k2，b1≠b2时， 2 a a
2015-2-6
10
(2)l1 : 3 x 4 y 5 0; l2 : 6 x 8 y 1 0
平行
(3)l1 : 3 x 4 y 5 0; l2 : 6 x 8 y 10 0 重合 (4)l1 : 2 x y 0; l2 : x 2 y 1 0 垂直
4
A.-8 B.0 C.2 D.10
B）
2、经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直
2x+3y-2=0 于直线3x-2y+4=0的直线方程是_______________________
1或-3 3、直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=2垂直,a=_____
课前演练： 1、已知点P(1,1)和直线l：3x+4y－20＝0，
3 x 4 y 7 0 则过点P且与l平行的直线方程为_________________；

高考数学第一轮复习知识点：直线和平面的位置关系

高考数学第一轮复习知识点：直线和平面的位置关系根据同学们的需求，编辑老师整理了高考数学第一轮复习知识点：直线和平面的位置关系，欢迎大家关注!直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内有无数个公共点②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

高考数学第一轮复习知识点：直线和平面的位置关系已经呈现在各位同学面前，望各位同学能够努力奋斗，更多精彩尽在高考频道!。

高中数学点、直线、平面之间的位置关系知识点归纳与常考题型专题汇总(附解析)

高中数学点、直线、平面之间的位置关系知识点归纳与常考题型专题汇总知识点：1、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。

③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉ 点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ；点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。

符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

高考数学第一轮知识点总复习第二节直线的位置关系

举一反三
4. 已知A(7,-4)关于直线的l 对称点为B（-5，6），则直线的l方程是 ( )
A. 5x+6y-11=0
B. 6x-5y-1=0
C. 6x+5y-11=0
D. 5x-6y+1=0
解析 ∵AB的中点（1，1）在直线上l ,
又
k AB
,即5 所求直线的斜率k=
6
,6
5
∴所求直线的l 方程为y-1= 6(x-1),即6x-5y-1=0.
x0 x 3
又PP′的中点
Q
x
x0 2
,在y 2上y0 ，
l
∴ 3 x x0 2 y,… y…0 … 7……0 ………………………6′
2
2
由
y0
x0
3 x
y 2 x3
x0
2
, y
y0
7
0
x0
y0
5x 12 y 42 13
12x 5y 28 13
……………………………………………………………………..9′
l1 l2 k1k2 1
一般地，若直线 l1 : A1x B1y( C1不全0 为A10,)B，1
直线 l2 : A2x B2 y( C2不全0 为A20, B)，2 则
A1C2 A2C1 0(或B1C2 B2C1 0)
l1 / /l2且 A1B2 A2B1 0
l1 l2 A1A2 B1B2 0
17 13
,… 1…332… ……………………...10′
反射光线过M(-1,2)和P′
17 13
,
32 13
根据直线的两点式方程,可得
反射光线所在的方程为29x-2y+33=0…………………………….12

高考数学一轮复习专题训练—两直线的位置关系

两直线的位置关系考纲要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.1．两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． 2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合．(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在．2．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235 B ．2310C ．7D ．72答案 D解析由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72. 3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．答案－9解析由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.4．(2021·银川联考)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8答案 B解析 ∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1，∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0的方程即为5x ＋2y －1＝0. 将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0，解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12. ∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选B.5．(2020·淮南二模)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0,3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．答案 4解析法一由题意可设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.法二设P ⎝⎛⎭⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.考点一两直线的平行与垂直【例1】已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 法二由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)法一当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立；当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23.法二由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.感悟升华 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．【训练1】 (1)(2020·宁波期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0. (2)由题意知 m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.考点二两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(2020·淮南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，－1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－13，12(2)(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[0,10]解析 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2k ＋1＝0，2x ＋y －2＝0，解得x ＝1－2k 2＋k ，y ＝2＋6k2＋k(k ≠－2)．∵直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限， ∴1－2k 2＋k >0，且2＋6k2＋k >0. 解得－13<k <12.故选D.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．感悟升华 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为对应相等．【训练2】 (1)(2021·贵阳诊断)与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________．答案 (1)C (2)5x ＋3y －1＝0解析 (1)设与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠－1)， ∴|－1－m |22＋12＝55，解得m ＝0或m ＝－2. ∴与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0. (2)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.考点三对称问题角度1 点关于点对称【例3】过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．答案 x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.感悟升华 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于M (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .2．直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．角度2 点关于线对称【例4】一束光线经过点P (2,3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，则入射光线所在直线的方程为________．答案 5x －4y ＋2＝0解析设点Q (1,1)关于直线l 的对称点为Q ′(x ′，y ′)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ′－1x ′－1＝1，x ′＋12＋y ′＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2，即Q ′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q ′在入射光线所在的直线上，又k PQ ′＝3－－22－－2＝54， ∴入射光线所在直线的方程为y －3＝54(x －2)，即5x －4y ＋2＝0.感悟升华 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.2．几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )．角度3 线关于线对称【例5】 (1)(2021·成都诊断)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x －4y ＋5＝0 B ．3x －4y －5＝0 C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．答案 (1)D (2)x －2y ＋3＝0解析 (1)设所求直线上点的坐标(x ，y )，则关于x 轴的对称点(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.感悟升华求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程．(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程．【训练3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.活用直线系方程具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．一、相交直线系方程【例1】已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解法一解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0,2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 法二设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三设所求直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.二、平行直线系方程【例2】已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程．解设直线l 1的方程为x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是x －3y ±43＝0. 【例3】已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程．解法一设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4， b ＝－3.故l 的方程为x 4－y 3＝1，即3x －4y －12＝0. 法二根据平行直线系方程可设直线l 为3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c 4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为3x －4y －12＝0. 三、垂直直线系方程【例4】求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.思维升华直线系方程的常见类型1．过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)；2．平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；3．垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2).A 级基础巩固一、选择题1．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A. 2B ．2－ 2 C.2－1D ．2＋1答案 C解析由题意得|a －2＋3|1＋1＝1. 解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.2．(2021·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案 C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－4x －7B ．y ＝4x －7C ．y ＝4x ＋7D ．y ＝－4x ＋7 答案 D解析过点(0,7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.4．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为() A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．2 3 答案 B解析由已知两直线垂直可得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b >0，所以ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，所以(ab )min ＝2.故选B.5．坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B ．⎝⎛⎭⎫－45，－85C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D ．⎝⎛⎭⎫45，85答案 A解析设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，85.6．(2020·上海浦东新区期末)直线x －2y ＋2＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x ＋y －4＝0答案 A解析设P (x ，y )为所求直线上的点，该点关于直线x ＝1的对称点为(2－x ，y )，且该对称点在直线x －2y ＋2＝0上，代入可得x ＋2y －4＝0.故选A.7．(2021·豫西五校联考)过点P (1,2)作直线l ，若点A (2,3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．4x ＋y －6＝0或x ＝1B ．3x ＋2y －7＝0C ．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0D ．3x ＋2y －7＝0或x ＝1答案 C解析若A ，B 位于直线l 的同侧，则直线l ∥AB .k AB ＝3＋52－4＝－4，∴直线l 的方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；若A ，B 位于直线l 的两侧，则直线l 必经过线段AB 的中点(3，－1)，∴k l ＝2－－11－3＝－32， ∴直线l 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0. 综上，直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0，故选C.8．(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－3，b ＝16 C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－13，b ＝－6 答案 D解析由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0,2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上，所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13. 二、填空题 9．(2021·南昌联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．答案 x ＋2y －3＝0解析由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 10．直线x －2y －3＝0关于定点M (－2,1)对称的直线方程是________．答案 x －2y ＋11＝0解析设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2,1)的对称点(－4－x,2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.11．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________．答案 2910解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 12．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．答案 25解析因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－2－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S 四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝1－42＋5－12×0－42＋－2－12＝25.B 级能力提升13．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝3x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝－x 2＋52 答案 C解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A ″(－1,3)，由角平分线的性质可知，点A ′，A ″均在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.故选C.14．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215 答案 B解析由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.故选B.15．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，若点A (5,0)到直线l 的距离为3，则l 的方程为________．答案 x ＝2或4x －3y －5＝0解析法一两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x －2＝0，此时A 到直线l 的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0. 由点到线的距离公式得d ＝|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0. 综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.16．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．答案 2解析因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，函数y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x (x >0)，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.。

新高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系课

新高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系课新高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系课时分层训练文新人教A版A组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )A．－2 C．3B．－7 D．1C [因为线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.]2．(2021・北京高考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )A．1 C.B．2 D．22C [圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离为＝＝.]3．若直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，则实数a的值等于( )A．－1 C．1B．0 D．2C [由×＝－1，得a＋1＝2a，故a＝1.]1 / 54．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( ) A．(－2,1) C．(1，－2)B．(2,1) D．(1,2)A [mx－y＋2m＋1＝0，即m(x＋2)－y＋1＝0. 令得故定点坐标为(－2,1)．]5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点( )【导学号：31222290】A．(0,4) C．(－2,4)B．(0,2) D．(4，－2)B [直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．]二、填空题6．(2021・深圳模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为________．【导学号：31222291】(0,3) [因为l1∥l2，且l1的斜率为2，则直线l2的斜率k＝2.又直线l2过点(－1,1)，所以l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理得y＝2x＋3. 令x＝0，得y＝3，所以P点坐标为(0,3)．]7．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________．2 / 5x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 [设直线l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意知＝，即|C＋1|＝2，解得C＝1或C＝－3，因此直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.] 三、解答题9．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【导学号：31222292】[解] 由方程组得l1，l2的交点坐标为(－1,2).5分∵l3的斜率为，∴l的斜率为－，8分则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.12分 10．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)． (1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．[解] (1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由得2分∴直线l恒过定点(－2,3).5分(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.7分又直线PA的斜率kPA＝＝，∴直线l的斜率kl＝－5.10分故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.12分B组能力提升3 / 5(建议用时：15分钟)1．(2021・广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 D [∵切线平行于直线2x＋y＋1＝0. 设切线方程为2x＋y＋c＝0. 依题意，得＝，则c＝±5.]2．(2021・洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2的值为________．10 [由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上．∵|PQ|＝＝，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10.]3．若m＞0，n＞0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，求＋的最小值．[解] 易知点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为M(1－n,1＋m).3分又点M(1－n,1＋m)在直线x－y＋2＝0上，∴1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.6分于是＋＝(m＋n)＝1＋≥1＋・2＝2，10分4 / 5当且仅当m＝n＝1时，上式等号成立．因此＋的最小值为2.12分5 / 5感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系

第二讲两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1∥l 2⇔k 1＝k 2,且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0, l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0,且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．知识点二两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．知识点三三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22．特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2． (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2．重要结论1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a,b)关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m,－a －m),点P(a,b)关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m,a ＋m)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P(x 0,y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2．( × ) (5)若点A,B 关于直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)对称,则直线AB 的斜率等于－1k ,且线段AB 的中点在直线l上．( √ )题组二走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0,∴a ＝－1＋2．题组三走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k(x ＋1)可知直线过定点P(－1,0),设A(0,－1),当直线y ＝k(x ＋1)与AP 垂直时,点A 到直线y ＝k(x ＋1)距离最大,即为|AP|＝2,故选B ．解法二：因为点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离d ＝|1＋k|k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2kk 2＋1；∵要求距离的最大值,故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2,当且仅当k ＝1时取等号,故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6,－6)__． [解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1＝－1a 2－b2－6＝0,解得a ＝6,b ＝－6,∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6,－6)．考点突破·互动探究考点一两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行,则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在直线的方程为y ＝2x,则另外两边所在直线的方程为( CD )A ．3x ＋y －14＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋2y －14＝0[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,化为一般式,得6x －4y －3＝0．(2)由l 1⊥l 2,得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0,∴m ＝3或m ＝－2,∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋1＝6，4m≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k,由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1,∴k ＝13,∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4),即x －3y ＋2＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45,∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385，165,∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －385,即x ＋2y －14＝0,故选C 、D ．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直,则a ＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)＝2cos x,∴k ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1．所以1×(－a)＝－1,∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2,∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ．考点二两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P(2,－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由． (3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1,若l 1∥l 2,则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2,kl 2＝－a 4,由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1,∴a ＝－2,∴l 2：x －2y ＋3＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A(－1,1),∴|AO|＝2．(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,－1),显然,过点P(2,－1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x ＝2．若斜率存在,设l 的方程为y ＋1＝k(x －2), 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2,解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上,可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图．由l ⊥OP,得k l k OP ＝－1, 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式,得y ＋1＝2(x －2),即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|－5|5＝5．③由②可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1, 当l 1∥l 2时,a 2－1＝0,解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合,不满足题意；当a ＝－1时l 1∥l 2,此时l 1：x －y －1＝0,l 2：x －y ＋1＝0；则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋－12＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A,则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等,则m 的值可以为( AC ) A ．－6 B ．－12C ．12D ．1(3)(2021·绵阳模拟)若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A(1,2),又直线l 过点B(－2,－1),∴所求最大距离为|AB|＝32,故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A(1,2),则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b|1＋b2＝31＋b 2＋2b1＋b2＝31＋2b 1＋b2≤32(当且仅当b ＝1时取等号),故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点,∴－m ＝4－2－1－3＝－12,即m ＝12；AB 中点(1,3),∴m＋3＋3＝0即m ＝－6,故选A 、C ．(3)因为36＝48≠－125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910．考点三对称问题——多维探究角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M,则直线2x ＋3y －6＝0关于M点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0,可得y －1＝－a(x ＋3),所以M(－3,1),M 不在直线2x ＋3y －6＝0上,设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c≠－6),则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9,解得c ＝12或c ＝－6(舍去),所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0,故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A(0,2)、B(3,0),则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(－6,0),B′(－9,2),又k A′B′＝2－0－9－－6＝－23,故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6),即2x ＋3y ＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0．又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时,由x －y ＋3＝0得y ＝0, 当y ＝4时,由x －y ＋3＝0得x ＝1．∴M(－3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0)．又k NM′＝6－02－1＝6,∴所求直线方程为y ＝6(x －1),即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5),又k MN′＝5－43－－3＝16,∴所求直线方程为y －4＝16(x＋3),即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0,l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称,所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0,－2)为l 1上一点,设它关于l 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0),(－1,－1)为l 2上两点,可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A(0,－2),B(1,0),则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(－1,－1),B′(1,0),∴k A′B′＝0－－11－－1＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1),即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P(x,y)是直线l 2上任一点,则P 关于直线l 的对称点为P′(y＋1,x －1),又P′∈l 1,∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0,即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有： (1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n),则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×－AB＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1,1＋1),即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A(－1,－2)对称的直线l′的方程． [解析] (1)设A′(x ,y),由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a ,b),则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0． (3)设P(x,y)在l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为P′(－2－x,－4－y), ∵点P′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R)恒过定点,并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0,则直线方程为 3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时,直线方程为6x ＋y ＋4＝0．①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中,(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0, 故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理,得m 2(x －y ＋3)＋m(2x ＋y)＋3x ＋y ＋1＝0,① 不论m 为何实数,①式恒为零, ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A(－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P(0,2)．因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0,将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m ＝－6, 故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0,解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f(λ)(x－x 0),从而确定定点(x 0,y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0,其中A 1B 2－A 2B 1≠0,待定系数λ∈R ．在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0,y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m 为参数且m≠b)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ,λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时,直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9,－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5,得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9,－4),故选D ．解法二：令m ＝1,则y ＝－4；令m ＝12,则－12x ＝－92,即x ＝9,∴直线过定点(9,－4),故选D ．解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a)＝(1－m)(x ＋b),则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－9,∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9),故直线过点(9,－4),故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0,则|c－6|52＋122＝2,解得c＝32或－20,故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。

高三数学(文科)一轮复习《两直线的位置关系》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)

＋5＝0互相平行，则实数m的值为(
)
A．2 B．－1
C．1 D．0
答案：C
解析：两直线平行，其系数满足关系式－3m＝－3(2－m)，解得m＝1.
3．[必修2·P101习题T2改编]已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0
的距离为1，则a的值为(
)
A. 2
B．2－ 2
C． 2－1 D． 2＋1
称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y
＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
公式
( − ) −( − )
|AB|＝___________________
点到直线
的距离
+ 0 +
P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C
＝0的距离为d
d＝________________
2 + 2
两平行线
间的距离
直线Ax＋By＋C1＝0到直线
Ax＋By＋C2＝0的距离为d
3．经过直线2x－y＝0与x＋y－6＝0的交点，且与直线2x＋y－1＝0
件是A1A2＋B1B2＝0.
2．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，
y)．
(3)点 (x，y)关于直线y＝x的对称点为 (y，x)，关于直线y＝－x的对

两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(解析版)

专题39两条直线的位置关系9题型分类1．两条直线的位置关系直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 3：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 4：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(其中l 1与l 3是同一条直线，l 2与l 4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l 1，l 2满足的条件l 3，l 4满足的条件平行k 1＝k 2且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0垂直k 1·k 2＝－1A 1A 2＋B 1B 2＝0相交k 1≠k 2A 1B 2－A 2B 1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．②结论：|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．（一）判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点（二）利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．∴PB l 的倾斜角为π6，PA l 的倾斜角为∴直线l 的倾斜角的取值范围是故选：D作B 关于直线:3l x y --则直线AB '和直线l 的交点即为设D 为l 上异于P 的一点，则故DA DB DA DB -=-故||||||PA PB -最大，即此时设(,)B a b '，则432b a a b -⎧=⎪⎪⎨⎪⨯-⎪⎩作C 关于直线:3l x y --则直线AC '和直线l 的交点即为设E 为l 上异于P 的一点，则故EC EA EC EC +=+故||||+PA PC 最小，即此时设(,)C m n '，则43332n m m -⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯⎪⎩故直线AC '方程为19x +即即1126(,)77P ；5-4．（2024高三下·江西2430x y -+=上一动点，则A ．5B 【答案】B【分析】求点()0,2A -关于直线论两点之间线段最短可求5-5．（2024高二下·上海浦东新且1PQ l ⊥，点()3,3A --，【答案】310322+【分析】作出图象，易知l 然后在l 上，直线1l ，2l 之间找点由此求解．【详解】易知12l l //，作出图象如下，过直线:3l y x =-，过P 作直线//PC QB ，与直线l 交于点C ，易知四边形PCBQ 为平行四边形，故PC QB =，且B 到直线2l 的距离等于C 到1l 的距离，设(,3)C t t -，则3230122t t +-++-=，解得32t =或12t =-（舍)，所以33,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而AP PQ QB AP PQ PC ++=++，且2(1)332222PQ --===（定值），故只需求出||||AP PC +的最小值即可，显然223331033222AP PC AC ⎛⎫⎛⎫+≥=--+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故AP PQ QB ++的最小值为310322+．故答案为：310322+．5-6．（2024高三下·河南·阶段练习）已知函数()()()ln 11f x a x a =++∈R 的图象恒过定点A ，圆22:4O x y +=上的两点()11,P x y ，()22,Q x y 满足()PA AQ λλ=∈R，则11222727x y x y +++++的最小值为()A ．25B ．75+C ．155-D ．3025-【答案】C 【分析】设直线l 为270x y ++=.取圆O 的弦PQ 的中点为E ，求出其轨迹方程，求出E 到直线l 距离的最小值.过P 、E 、Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 、R 、N ，将11222727x y x y +++++转化为25ER ，即可求其最小值．【详解】由题可知A 为(0，1)，且P 、A 、Q 三点共线，设弦PQ 的中点为E (x ，y )，连接OE ，则OE ⊥PQ ，即OE ⊥AE ，∴0OE AE ⋅=，由此可得E 的轨迹方程为2+−122=14，【点睛】本题需充分利用数形结合思想进行简答，直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值5-7．（2024高三下·上海宝山·开学考试）如图，平面上两点2MN=，且使PM MN++【答案】99, 44骣÷ç÷ç÷ç桫【点睛】本小题主要考查两点间距离公式的应用，考查对称性，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题（三）对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．求直线l关于直线0l对称的直线'lCA．35B．【答案】C【分析】求点A关于y轴的对称点6-3．（2024高二上·四川遂宁A ．(1,4)-C ．(3,4)--【答案】C 【分析】因点A 与点B 关于直线对称，则【详解】设(),A x y ，因点A 垂直，则212022112x y y x ++⎧++=⎪⎧⎪⇒⎨⎨-⎩⎪=⎪-⎩即点A 坐标为(3,4)--.则直线的对称点为（四）一、单选题1．（2024高二上·浙江·期中）已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（）AB．2C1D1+【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.1=．解得1a =-1a =-0a >，1a ∴=-故选：C.2．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知两条直线1:3460l x y -+=，2:3440l x y --=，则这两条直线之间的距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．10【答案】A【分析】由两平行线距离公式求解即可.【详解】这两条直线之间的距离为2d ==.故选：A3．（2024高二·全国·课后作业）求直线x ＋2y －1＝0关于直线x ＋2y ＋1＝0对称的直线方程（）A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y ＋3＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x ＋2y ＋2＝0【答案】B【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.【详解】设对称直线方程为20x yc ++=，=，解得3c =或1c =-（舍去）.所以所求直线方程为230x y ++=.故选：B4．（2024高二·全国·课后作业）直线0ax by c ++=关于直线0x y -=对称的直线为（）A ．0ax by c -+=B ．0bx ay c -+=C ．0bx ay c ++=D ．0bx ay c +-=【答案】C【分析】根据两直线关于对称直线对称的概念即可求解【详解】解：设所求直线上的任意一点为(,)M x y 则M 关于直线0x y -=对称点为(,)N y x 点N 在直线0ax by c ++=上∴(,)N y x 满足直线方程，即0ay bx c ++=∴直线0ax by c ++=关于直线0x y -=对称的直线为0bx ay c ++=故选：C5．（2024·浙江温州·三模）已知直线12:0,:10l x y l ax by +=++=，若12l l ⊥，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.【详解】因为直线12:0,:10l x y l ax by +=++=，且12l l ⊥，则110a b ⋅+⋅=，所以0a b +=.故选：B6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直线1l ：210ax y ++=，2l ：()30a x y a --+=，则条件“1a =”是“12l l ⊥”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件【答案】B 【分析】根据两直线垂直的性质，可得()312a a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，求出a 的值，即可判断.【详解】若12l l ⊥，则()312a a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得1a =或2a =.故1a =是12l l ⊥的充分不必要条件.故选：B7．（2024高二上·全国·课后作业）直线220x y ++=与420ax y +-=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A ．()1,4-B ．()0,2-C ．()1,0-D ．0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由两直线垂直可得2a =-，联立解方程组可得交点坐标.【详解】易知直线220x y ++=的斜率为2-，由两直线垂直条件得直线420ax y +-=的斜率142a -=，解得2a =-；联立2202420x y x y ++=⎧⎨-+-=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩；即交点为()1,0-故选：C.8．（2024高二下·四川广元·期中）若直线2mx ny +=过点()2,2A ，其中m ，n 是正实数，则12m n+的最小值是（）A ．3B ．3+C ．92D ．5【答案】B 【分析】由点A 在直线上可知1m n +=【详解】因为直线2mx ny +=过点(2,2)A ，所以222m n +=，由m 和n 都是正实数，所以1m n +=，0m >，0n >．所以()12122123n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当2n m m n =时取等号，即1m =，2n =-所以12m n+的最小值是3+故选:B ．9．（2024高二上·全国·课后作业）若直线230x y --=与420x y a -+=，则a 的值为（）A ．4B 6C ．4或16-D ．8或16-【答案】C【分析】将直线230x y --=化为4260x y --=，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可.【详解】将直线230x y --=化为4260x y --=，则直线230x y --=与直线420x y a -+=之间的距离d ==，即|6|10a +=，解得4a =或16a =-，所以a 的值为4a =或16a =-.故选：C10．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线214y x =的焦点关于直线10x y --=的对称点的坐标是（）A ．(2,1)-B ．(1,1)-C ．11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】求出抛物线214y x =焦点坐标为(0,1)F ，设(0,1)F 关于直线10x y --=的对称点的坐标是(,)F m n '，列出关于,m n 的方程组求解即可.【详解】抛物线214y x =即24x y =，其焦点坐标为(0,1)F ，设(0,1)F 关于直线10x y --=的对称点的坐标是(,)F m n '，则1110011022n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，则(2,1)F '-，故选：A ．11．（2024·四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()124πθ≤+≤PA PB ≤+≤选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.12．（2024·全国）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A ．1B CD ．2【答案】B【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.13．（2024·北京东城·二模）已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0+=l x ky 将平面分为六个部分，则满足条件的k 的值共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】C【分析】考虑三条直线交于一点或3l 与1l 或2l 平行时，满足条件，求出答案.【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，联立1:220l x y -+=与2:20l x -=，解得22x y =⎧⎨=⎩，则将22x y =⎧⎨=⎩代入3:0+=l x ky 中，220k +=，解得1k =-，当3:0+=l x ky 与1:220l x y -+=平行时，满足要求，此时2k =-，当3:0+=l x ky 与2:20l x -=平行时，满足要求，此时0k =，综上，满足条件的k 的值共有3个.故选：C14．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为1:3260l x y --=，22:0x y l --=，则1l 关于2l 对称的直线方程为（）A ．3240x y --=B ．2360x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y --=【答案】C【分析】根据题意，设所求直线上任一点M （x ，y ）且M 关于直线22:0x y l --=的对称点1(M x '，1)y ，利用轴对称的性质列出方程组解出用x 、y 表示1x 、1y 的式子，再由点M '在直线3260x y --=上代入，化简即得所求对称直线方程；【详解】设所求直线上任一点(,)M x y ，M 关于直线20x y --=的对称点1(M x '，1)y ，则111112022y y x x x x y y -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪--=⎪⎩，解出112(*)2x y y x =+⎧⎨=-⎩ 点M '在直线3260x y --=上，∴将(*)式代入，得3(2)2(2)60y x +---=，化简得2340x y --=，即为1l 关于2l 对称的直线方程．故选：C15．（2024高一下·海南·期末）设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅++=与sin sin 0bx B y C -⋅+=的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C【分析】根据直线方程确定斜率，利用三角形边角关系及直线垂直的判定判断两直线的位置关系即可.【详解】由题设，sin 0A x ay c ⋅++=的斜率为sin Aa-，sin sin 0bx B y C -⋅+=的斜率为sin b B ，又sin sin b aB A =，则1sin sin b BA a ⋅=--，即两直线垂直.故选：C16．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则(,)F x y =的最小值为（）A ．4B．2+C．3+D．4+【答案】B【分析】根据题意作出图形，证明出三角形ABC 为等腰直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小值.【详解】由题意得：(,)F x y 的几何意义为点E 到点()(),1,1,0,2A B C 的距离之和的最小值，因为AB =CB =4AC ==，所以222AB CB AC +=，故三角形ABC 为等腰直角三角形，，取AC 的中点D ，连接BD ，与AO 交于点E ，连接CE ，故122BD AC ==，AE CE =，因为3CO AO =，所以30CAO ∠=︒，故120AEC ∠=︒，则120BEC AEB ∠=∠=︒，故点E 到三角形三个顶点距离之和最小，即(,)F x y 取得最小值，因为122AD CD AC ===，所以cos 303AD AE ==︒，同理得：3CE =，3DE =，2BE BD DE =-=-，故(,)F x y 的最小值为22333AE CE BE ++=++-=+故选：B17．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线()()1:11l x a y a a R ++=-∈，直线21:2l y x =-，下列说法正确的是（）A ．R a ∃∈，使得12l l ∥B ．R a ∃∈，使得12l l ⊥C ．R a ∀∈，1l 与2l 都相交D ．R a ∃∈，使得原点到1l 的距离为3【答案】B 【分析】对A ，要使12l l ∥，则12k k ∥，所以1112a -=-+，解之再验证即可判断；对B ，要使12l l ⊥，121k k ×=-，1112a -=-+，解之再验证即可判断；对C ，当1a =时，1l 与2l 重合，即可判断；对D ，根据点到直线距离列方程即可判断.【详解】对A ，要使12l l ∥，则12k k ∥，所以1112a -=-+，解之得1a =，此时1l 与2l 重合，选项A 错误；对B ，要使12l l ⊥，121k k ×=-，11112a ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解之得32a =-，所以B 正确；对C ，()1:11l x a y a ++=-过定点()2,1-，该定点在2l 上，但是当1a =时，1l 与2l 重合，所以C 错误；对D ，3d ==，化简得2820170a a -+=，此方程0∆<，a 无实数解，所以D错误.故选：B.18．（2024·全国）如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么（）A ．1,63a b ==B ．1,63a b ==-C ．3,2a b ==-D ．3,6a b ==【答案】A【分析】由题意在2y ax =+上任取一点(0,2)，其关于直线y x =的对称点在3y x b =-上，代入可求出b ，然后在3y x b =-上任取一点，其关于直线y x =的对称点在2y ax =+上，代入可求出a .【详解】在2y ax =+上取一点(0,2)，则由题意可得其关于直线y x =的对称点(2,0)在3y x b =-上，所以06b =-，得6b =，在36y x =-上取一点(0,6)-，则其关于直线y x =的对称点(6,0)-在2y ax =+上，所以062a =-+，得13a =，综上1,63a b ==，故选：A19．（2024高一·全国·课后作业）已知ΔA 的顶点()2,1B ，()6,3C -，其垂心为()3,2H -，则其顶点A 的坐标为A ．()19,62--B ．()19,62-C ．()19,62-D ．()19,62【答案】A【分析】由垂心的定义可知AH BC ⊥，BH AC ⊥；根据垂直时斜率乘积为1-可知4AH k =，5AC k =，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果.【详解】H 为ΔA 的垂心AH BC ∴⊥，BH AC⊥又311624BC k -==---，211325BH k -==---∴直线,AH AC 斜率存在且4AH k =，5AC k =设(),A x y ，则243356AH AC y k x y k x -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，解得：1962x y =-⎧⎨=-⎩()19,62A ∴--本题正确选项：A【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系.20．（2024高三·全国·课后作业）若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为()A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求出点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，再求出m 的值和原点到直线l 的距离即得解.【详解】依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，所以|m ＋7|＝|m ＋5|，所以m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式得M=.故选：A.【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（2024高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形ABC 中，3AB AC ==，点P 是边AB 上异于A B ､的一点，光线从点P 出发，经BC CA ､反射后又回到点P ，如图，若光线QR 经过ABC V 的重心，则AP =（）A ．32B ．34C ．1D ．2【答案】C【分析】根据题意，建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标，和P 关于y 轴的对称点2P 的坐标，由1P ，Q ，2RP四点共线可得直线的方程，由于过ABC V 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值，即可得答案．【详解】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得(3,0)B ，(0,3)C ，故直线BC 的方程为3x y +=，又由(0,0)A ，(3,0)B ，(0,3)C ，则ABC V 的重心为(1,1)，设(,0)P a ，其中0<<3a ，点P 关于直线BC 的对称点1(,)P x y ，则有03220(1)1a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，解得33x y a =⎧⎨=-⎩，即1(3,3)P a -，易得P 关于y 轴的对称点2(,0)P a -，由光的反射原理可知1P ，Q ，R ，2P 四点共成直线QR 的斜率33ak a-=+，故直线QR 的方程为3()3ay x a a-=++，由于直线QR 过ABC V 的重心(1,1)，代入化简可得20a a -=，解得：1a =或0(a =舍)，即(1,0)P ，故1AP =，故选：C ．22．（2024高一上·湖南长沙·开学考试）如下图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点(2,0)C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（）A ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)F B ．(2,2)E -，(0,2)F C ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,2)E -，20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】作C 关于y 轴的对称点G ，作C 关于4y x =+的对称点D ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，有++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，即此时CEF △周长最小，求出D 点坐标，可得直线DG 方程，与4y x =+联立求出E 点坐标，令0x =可得F 点坐标.【详解】作(2,0)C -关于y 轴的对称点(2,0)G ，作(2,0)C -关于4y x =+的对称点(,)D a b ，连接DG 交y 轴于F ，交AB 于E ，所以,==FG FC EC ED ，此时CEF △周长最小，即++=++=EC FC EF ED FG EF DG ，由(2,0)C -，直线AB 方程为4y x =+，所以122422ba b a ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪=+⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，所以(4,2)D -，可得直线DG 方程为022042--=---y x ，即1233y x =-+，由41233y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得5232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令0x =可23y =，所以20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.23．（2024高二上·广东深圳·期中）过定点A 的动直线0x ky +=和过定点B 的动直线210kx y k --+=交于点M ，则MA MB +的最大值是（）A．B ．3CD【答案】C【分析】求出A ，B 的坐标，并判断两直线垂直，推出点M 在以AB为直径的圆上，求得||AB =，即225MA MB +=，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知0x ky +=过定点(0,0)A ,动直线210kx y k --+=即(2)10k x y --+=过定点(2,1)B ，对于直线0x ky +=和动直线210kx y k --+=满足1(1)0k k ⨯+⨯-=，故两直线垂直，因此点M 在以AB为直径的圆上，||AB ==则225MA MB +=，所以22222()22()10MA MB MA MB MA MB MA MB +++=+≤=，当且仅当MA MB ==故MA MB +，故选：C24．（2024高二下·陕西西安·期末）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）AB C ．5D ．10【答案】C【分析】先求出两条直线经过的定点，然后根据两条直线的位置关系可判断它们垂直，从而PA PB ⊥，在利用勾股定理和基本不等式求解.【详解】显然0x my +=过定点(0,0)A 30mx y m --+=可化成(1)3y m x =-+，则经过定点()1,3B ，根据两条直线垂直的一般式方程的条件，1(1)0m m ⨯+⨯-=，于是直线0x my +=和直线30mx y m --+=垂直，又P 为两条直线的交点，则PA PB ⊥，又AB =222102PA PB AB PA PB +==≥⋅，则5PA PB ⋅≤，当PA PB ==PA PB ⋅的最大值是5.故选：C25．（河北省张家口市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知0x y +=，则）AB ．CD ．【答案】C【分析】设点(,)P x y 为直线0x y +=上的动点，题意可转化成求(,)P x y 与()1,1的距离和(,)P x y 与()2,0的距离之和的最小值，求出1(1)M ，关于直线0x y +=的对称点)1(1M '--，，故PM PN PM PN M N''+=+≥=，即可求出答案【详解】设点(,)P x y 为直线0x y +=上的动点，可看作(,)P x y 与()1,1的距离和(,)P x y 与()2,0的距离之和，设点()()1,12,0M N ，，则点()1,1M '--为点1(1)M ，关于直线0x y +=的对称点，故PM PM '=，且M N =='，所以P M PN =+PM PN M N ''=+≥=，当且仅当,,P M N '三点共线时，取等号，.故选：C26．（2024·贵州·模拟预测）已知,x y +∈R ，满足22x y +=，则x 的最小值为（）A ．45B ．85C ．1D 【答案】B【分析】先求出点O 关于线段22x y +=的对称点C C PO P ==.根据几何意义，结合图象，即可得出取最小值时，点P 的位置，进而得出答案.【详解】如图，过点O 作点O 关于线段22x y +=的对称点C ，则PO PC =.设()00,C x y ，则有()0000212222y x x y ⎧⨯-=-⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得008545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以84,55C ⎛⎫⎪⎝⎭.设(),P x y，则PO =C PO P ==，又,x y +∈R ，所以点P 到y 轴的距离为x ，所以，x 可视为线段22x y +=上的点(),P x y 到y 轴的距离和到84,55C ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和.过P 作PD x ⊥轴，过点C 作CH x ⊥轴，显然有PD PC CH +≥，当且仅当,,C P H 三点共线时，和有最小值.则CH 即为最小值，CH 与线段AB 的交点1P ，即为最小值时P 的位置.因为85CH =，所以x 的最小值为85.故选：B ．27．（2024·上海静安·二模）设直线1:220l x y --=与2l 关于直线:240l x y --=对称，则直线2l 的方程是（）A ．112220x y +-=B ．11220x y ++=C ．5110x y +-=D ．10220x y +-=【答案】A【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线2l 上一点，即可求解.【详解】联立220240x y x y --=⎧⎨--=⎩，得20x y =⎧⎨=⎩，取直线1:220l x y --=上一点()0,1-，设点()0,1-关于直线:240l x y --=的对称点为(),a b ，则112124022b a a b +⎧=-⎪⎪⎨-⎪⨯--=⎪⎩，解得：1211,55a b ==-，直线2l 的斜率112k =-，所以直线2l 的方程为()1122y x =--，整理为：112220x y +-=.故选：A28．（2024高三·北京·+的最小值所属区间为（）A ．[10,11]B ．(11,12]C ．(12,13]D ．前三个答案都不对【答案】C【分析】利用代数式的几何意义可求最小值.【详解】如图，设(,0),(0,),(9,2),(3,3)P x Q y A B --．根据题意，设题中代数式为M，则||||||||13M AP PQ QB AB =++≥==，等号当P ，Q 分别为直线AB 与x 轴，y 轴交点时取得．因此所求最小值为13．故选：C.29．（2024·北京）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.【详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．二、多选题30．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点,A B 分别在直线1:3460l x y -+=与2:34100l x y -+=上移动，则线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离可能为（）A B ．75C D 【答案】CD【分析】根据直线平行可得P 在直线:3480l x y -+=上运动，即可根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：动点,A B 分别在直线13460l x y -+=：与234100l x y -+=：上移动，又线段AB 的中点为P ，21//l l ，P ∴在直线:3480l x y -+=上运动，O ∴到直线l 的距离85d ==．P ∴到坐标原点O 的距离大于等于85．故选：CD ．31．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，下列结论正确的是（）A ．若12//l l ，则6a =B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交【答案】AD【分析】根据两直线平行求出a 的值，可判断A 选项；利用平行线间的距离公式可判断B 选项；根据两直线垂直求出a 的值，可判断C 选项；根据两直线相交求出a 的范围，可判断D 选项.【详解】两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，它们不重合，若12//l l ，则438a =⨯，得6a =，检验符合，故A 选项正确；若12//l l ，由A 选项可知，2l ：68110x y +-=，直线1l 的方程可化为68240x y ++=，72=，故B 选项不正确；若12l l ⊥，则3480a +⨯=，得323a =-，故C 选项不正确；由A 选项知，当6a =时，12//l l ，所以若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交，故D 选项正确.故选：AD.32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l的一个法向量为)B ．若直线m：10x +=，则l m ⊥C．点)到直线l 的距离是2D．过()2与直线l40y --=【答案】CD【分析】对于A ：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B ：根据直线垂直分析判断；对于C ：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D ：根据直线平行分析求解.【详解】对于A ，因为直线l10y -+=的斜率k =11=≠-，可知)不为直线l 的一个法向量，故A 错误；对于B ，因为直线m：10x +=的斜率3k '=，且11kk '=≠-，所以直线l 与直线m 不垂直，故B 对于C，点)到直线l 的距离2d =，故C 正确；对于D ，过()2与直线l平行的直线方程是2y x -=-40y --=，故D 正确．故选：CD.33．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线e 2xy =和直线:240l x y --=，则（）A ．曲线上与直线l 平行的切线的切点为e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．曲线上与直线l 平行的切线的切点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．曲线上的点到直线l D．曲线上的点到直线l 的最短距离为(3e 5+【答案】BC【分析】根据导数得出切线斜率求切点判断A,B,再结合点到直线距离求出最短距离判断C,D.【详解】设与直线122y x =-平行的直线和e 2xy =相切，则斜率为12k =.因为e 2x y =，所以e 2x y '=，令e 122x k ==，可得切点为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 错误，B 正确；则点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线240x y --=的距离就是曲线e 2xy =上的点到直线240x y --=的最短距离，C 正确，D 错误.故选：BC.34．（福建省莆田第三中学，励志学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷）以下四个命题叙述正确的是（）A ．直线210x y -+=在x 轴上的截距是1B ．直线0x ky +=和2380x y ++=的交点为P ，且P 在直线10x y --=上，则k 的值是12-C ．设点(,)M x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是2D ．直线()12:310:2110L ax y L x a y ++=+++=，，若12//L L ，则3a =-或2【答案】BC【分析】求出直线的横截距判断k 判断B ；求出点到直线的距离判断C ；验证判断D.【详解】对于A ，直线210x y -+=在x 轴上的截距是12-，A 错误；对于B ，由238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得12x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,2)P --，则120k --=，解得12k =-，B 正确；对于C，依题意，min OM =C 正确；对于D ，当2a =时，直线12:2310,:2310L x y L x y ++=++=重合，D 错误.故选：BC三、填空题35．（2024高二·全国·课后作业）已知(),6A a ，()2,B b -，点()2,3P 是线段AB 的中点，则a b +=.【答案】6【分析】利用中点坐标公式可求得,a b ，由此可得结果.【详解】由中点坐标公式知：222a -=，632b +=，解得：6a =，0b =，6a b ∴+=.故答案为：6.36．（2024高二·江苏·假期作业）已知点(),4M x -与点()2,3N 间的距离为x =．【答案】9或5-【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.【详解】由MN =得MN ==即24450x x --=，解得9x =或5-．故答案为：9或5-.37．（2024高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线:2310l x y -+=关于点()4,5对称的直线的方程为.【答案】23130x y -+=【分析】根据直线关于点对称方程的特点可设直线方程，在利用点到两条直线的距离相等即可求解直线方程.【详解】解：直线:2310l x y -+=关于点()4,5对称的直线的方程可设为230x y m -+=，其中1m ≠又()4,5点到直线:2310l x y -+=与到直线230x y m -+=的距离相等76m -=，所以13m =或1m =（舍）.故所求直线方程为：23130x y -+=.故答案为：23130x y -+=.38．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l 与直线1:1l y =及直线2:70l x y +-=分别交于点P ，Q ．若PQ 的中点为点()1,1M -，则直线l 的斜率为．【答案】23-【分析】由点,P Q 关于点M 对称,运算可得解.【详解】解：设(),1P a ，则()2,3Q a --．由点Q 在直线2l 上，得2370a -+-=，2a =-．故()2,1P -．所以直线l 的斜率为()1121k --=--，所以23k =-故答案为23-【点睛】本题考查了点关于点对称问题，属基础题.39．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是1(2)P -，，则AB 等于【答案】【解析】根据点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB 的中点是1(2)P -，，利用中点坐标公式得到A ，B 的坐标，再利用两点间的距离公式求解.【详解】因为点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且AB 的中点是1(2)P -，，所以(40),(02)，，-A B ，所以=AB 故答案为：【点睛】本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题.40．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）点()0,1-到直线()2y k x =+的距离的最大值是．【分析】直线()2y k x =+恒过点()2,0A -，根据几何关系可得，点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离的最大值为||AB .【详解】因为直线()2y k x =+恒过点()2,0A -，记()0,1B -，直线()2y k x =+为直线l ，则当AB l ⊥时，此时点()0,1B -到直线()1y k x =+的距离最大，∴点()0,1-到直线()1y k x =+距离的最大值为：AB =.41．（2024高二上·江苏南通·期中）已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标为()2,1-，则线段AB 的长度为.【答案】25【分析】利用直角三角形的几何性质得出2AB OM =，利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】在平面直角坐标系中，AO BO ⊥，则ABO 为直角三角形，且AB 为斜边，故()22222125AB OM ==+-=.故答案为：542．（2024高二·全国·课堂例题）已知点()2,1A ，()3,4B ，()2,1C --，则ABC V 的面积为．【答案】5【分析】利用两点间距离公式求出一边长，再根据两点式求出该边所在直线的方程，利用点到直线的距离公式求高，进而求得三角形面积.【详解】设AB 边上的高为h ，则h 就是点C 到AB 所在直线的距离．易知()()22324110AB -+-．由两点式可得AB 边所在直线的方程为124132y x --=--，即350x y --=．点()2,1C --到直线350x y --=的距离()()()2232151031h ⨯----==+-所以ABC V 的面积为111010522ABC S AB h =⨯⨯=⨯△．故答案为：543．（2024·云南保山·一模）已知坐标原点为O ，过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线，垂足为M ，则OM 的取值范围是．【答案】5⎡+⎣【分析】根据题意，将直线变形为()()2420m x y n y ---=，分析可得该直线恒过点()4,2，设()4,2Q ，进而分析可得点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，据此分析可得答案．【详解】根据题意，直线()2420mx m n y n -++=，即()()2420m x y n y ---=，则有2402x y y -=⎧⎨=⎩，解可得42x y =⎧⎨=⎩，则直线l 恒过点()4,2．设()4,2Q ，又由MP 与直线垂直，且M 为垂足，则点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，所以55OM -≤+；即OM 的取值范围是5⎡+⎣；故答案为5⎡+⎣．【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆；（2）如果ΔA 中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．特别地，当2A π=，则A 的轨迹为圆（除去,B C ）；（3）如果,A B 为定点，且动点M 满足22MA MB λ+=(λ为正常数)，则动点M 的轨迹为圆；44．（2024高二上·全国·课后作业）已知点(),2P a 、()2,3A --、()1,1B ，且PA PB =，则a =.【答案】92-【分析】利用平面内两点间的距离公式可得出关于a 的等式，解之即可.【详解】已知点(),2P a 、()2,3A --、()1,1B ，且PA PB =，92a =-.故答案为：92-.45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为.【答案】210x y +-=【分析】根据两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点列方程，对比后求得直线12Q Q 的方程.【详解】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=.故答案为：210x y +-=46．（2024高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+，则22a b +的最大值为.【答案】8【分析】由已知可知两直线12l l ⊥，取P 在12,l l 的右侧时，分别过P 作两直线的垂线，结合几何性质确定P 点轨迹，即可求得22a b +的最大值,其他位置同理可得．【详解】若动点(),P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+12,l l 交点为()121,1,,T l l 的斜率分别为1,1-，则12l l ⊥，P 在12,l l 的右侧时，过P 分别向12,l l 引垂线，垂足分别为Q R ､，那么PQ PR +过P 作y 轴的平行线，与12,l l 交点为C B ､如图，则,PQ TR PR RB ==，所以TR RB +其它位置同理，那么点P 轨迹为正方形ABCD ，当P 在()2,2C 时，PO 取得最大值222||a b PO +=取得最大值8.故答案为：8．。

备战208年高三数学一轮复习(热点难点)专题50 平面内两条直线位置关系的常考题型

专题50 平面内两条直线位置关系的常考题型考纲要求：①在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． ③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系． ⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．基础知识回顾: 1．两条直线的位置关系（1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔ k 1＝k 2,特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为l 1∥l 2．(2）垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔ k 1k 2＝－1，特别地,若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为l 1⊥l 2． 2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组错误! 若方程组有惟一解,则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行． 3．距离公式(1)点到直线的距离：点P 0（x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝错误!．（2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0（C 1≠C 2）间的距离 d ＝错误!．4．过两直线交点的直线系方程若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0（其中λ∈R，这条直线可以是l 1，但不能是l 2）表示过l 1和l 2交点的直线系方程．应用举例：类型一两条直线平行、重合或相交【例1】【2018届四川省成都市第七中学高三上半期】若直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行，则m =（ )A. 2-B. 2C. 2±D. 0 【答案】A【例2】【2017届广东省广州市高三4月综合测试（二）】已知三条直线2310x y -+=， 4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形,则实数m 的取值集合为（）A. 42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B. 42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C. 424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D 。

高考数学一轮总复习第八章平面解析几何第二节两条

第二节两条直线的位置关系【最新考纲】 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2． ②当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．距离1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)点P(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2.( ) (4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．已知点(a ，2)(a>0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a>0，∴a ＝2－1.答案：C3．“a＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行；当直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，－a 2＝－1，a ＝2. 综上所述，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件．答案：C4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________．解析：∵直线x －2y ＋5＝0与2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，∴m ＝1. 答案：15．过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是________．解析：由题意，所求直线与OA 垂直，因k OA ＝2，则所求直线的斜率k ＝－12. 所以直线的方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0两条规律1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m≠C)；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.2．设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0.(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.两点注意1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．三种对称1．点P(x 0，y 0)关于A(a ，b)的对称点为P′(2a－x 0，2b －y 0)．2．设点P(x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P′(x′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k·x′＋x 02＋b ，可求出x′，y ′. 3．直线关于直线的对称，可化归为点关于直线的对称．一、选择题1．已知点A(1，－2)，B(m ，2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.答案：C2．若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：由⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12×1a ＝－1，得a ＋1＝2a ，故a ＝1. 答案：C3．(2016·西安调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B ．8 C ．2 D.175解析：∵直线3x ＋4y －3＝0与6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0⇒m ＝8，所以直线3x ＋4y －3＝0和3x ＋4y ＋7＝0的距离d ＝|7－（－3）|32＋42＝2. 答案：C4．“m＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：两直线垂直⇔(m ＋2)(m －2)＋3m(m ＋2)＝0⇔m ＝－2，或m ＝12，所以“m＝12”是“两直线垂直”的充分而不必要条件．答案：B5．若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析：直线l 1：y ＝k(x －4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2经过定点(0，2)．答案：B二、填空题6．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P(0，4)距离为2的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1，2)，设所求直线y －2＝k(x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P(0，4)到所求直线的距离为2，∴2＝|－2－k|1＋k2，解得k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝07．直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y －12＝0垂直，且点P(1，n)在直线mx ＋4y －2＝0上，则n 的值是________．解析：由两直线垂直，得2m －20＝0，则m ＝10.代入，得直线方程为10x ＋4y －2＝0，即5x ＋2y －1＝0，又点P(1，n)在直线5x ＋2y －1＝0上，∴5＋2n －1＝0，得n ＝－2.答案：－28．l 1，l 2是分别经过点A(1，1)，B(0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当AB⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12. ∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝09．若m>0，n>0，点(－m ，n)关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，那么1m ＋1n的最小值等于________．解析：易知点(－m ，n)关于直线x ＋y －1＝0的对称点为M(1－n ，1＋m)，又点M(1－n ，1＋m)在直线x －y ＋2＝0上，则1－n －(1＋m)＋2＝0，即m ＋n ＝2.于是1m ＋1n ＝12(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m m ≥1＋12·2n m ·m n＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，上式等号成立．因此1m ＋1n的最小值为2. 答案：2三、解答题10．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a(a －1)＋(－b)·1＝0，①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率k 2＝1－a ，且l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率k 1＝1－a ，即a b＝1－a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等．∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b. 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 11．已知直线l ：(2a ＋b)x ＋(a ＋b)y ＋a －b ＝0及点P(3，4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．(1)证明：直线l 的方程可化为a(2x ＋y ＋1)＋b(x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2，3)．(2)解：设直线l 恒过定点A(－2，3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15， ∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.。

高考数学一轮复习第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系练习理

【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系练习理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·苏北四市模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝________.解析若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0；当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2. 答案－1或22.两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为________.解析把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，则两平行线间的距离d ＝|1－（－6）|62＋22＝72010.答案 71020 3.过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为：y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.答案 3x ＋19y ＝04.两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k ＝________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，得x ＝k 2－362k ＋3，由x ＝0，得k ＝±6. 答案 ±65.(2015·金华调研)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限.解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以kk －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限. 答案二6.点(2，1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________. 解析设对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0，3). 答案 (0，3)7.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.答案－98.(2016·南京师大附中调研)已知直线l 过点P (3，4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________.解析显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k2， ∴k ＝2或k ＝－23. ∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0二、解答题9.已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得：(1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合.解 (1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0，解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交.(2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2. (3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合.10.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程.解依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC ，l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3). 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2014·四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是________.解析易知A (0，0)，B (1，3)且两直线互相垂直，即△APB 为直角三角形，∴PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝AB 22＝102＝5.答案 512.(2016·南京、盐城调研)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________.解析因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求（m －0）2＋（n －0）2的最小值，而（m －0）2＋（n －0）2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图.当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.答案 413.如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________.解析易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4，2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2，0)，则光线所经过的路程即A 1(4，2)与A 2(－2，0)两点间的距离.于是A 1A 2＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.答案 21014.(1)过点P (0，1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程.(2)光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 (1)设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，∴a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.(2) 法一由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∴反射点M 的坐标为(－1，2).又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5，0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5. 而PP ′的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，又Q 点在l 上， ∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32（x 0－5）－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213. 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.法二设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－（y ＋y 0）＋7＝0. 可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0，∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.。

河北省高考数学一轮复习知识点攻破习题两条直线的位置关系

两条直线的位置关系时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．m ＝－1是直线mx ＋y －3＝0与直线2x ＋m (m －1)y ＋2＝0垂直的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件解析：两直线垂直的充要条件是2m ＋m (m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝－1，∴m ＝－1仅是两直线垂直的充分不必要条件．答案：A2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A ．[π6，π3)B ．(π6，π2)C ．(π3，π2)D ．[π6，π2]解析：解法1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(2＋3)2＋3k ，y ＝6k －232＋3k ，∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧x >0y >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3(2＋3)2＋3k >06k －232＋3k >0，∴k ∈(33，＋∞)．图1∴倾斜角范围为(π6，π2)．解法2：如图1所示，直线2x ＋3y －6＝0过点A (3,0)，B (0,2)，直线l 必过点C (0，－3)，当直线过A 点时，两直线的交点在x 轴，当直线l 绕C 点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果．答案：B3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是 ( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0解析：在直线x －2y ＋1＝0上任取两点(1,1)，(0，12)，这两点关于直线x ＝1的对称点分别为(1,1)，(2，12)，过这两点的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.所以应选D. 答案：D 4．(2009·上海高考)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是 ( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2解析：当k ＝4时，直线l 1的斜率不存在，直线l 2的斜率为1，两直线不平行；当k ≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k 4－k ＝k －3，解得k ＝3或k ＝5，但必须同时满足1k －4≠32(截距不相等)才是充要条件，检验知k ＝3、k ＝5均满足这个条件．故选C.答案：C5．光线入射在直线l 1：2x －y －3＝0上，经过x 轴反射到直线l 2上，再经过y 轴反射到直线l 3上，则l 3的直线方程为 ( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x －y ＋3＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x －y ＋6＝0解析：2x －y －3＝0与x 轴交点为(32，0)所以2x －y －3＝0关于x 轴的对称直线为2x ＋y －3＝0,2x ＋y －3＝0关于y 轴对称的直线为2x －y ＋3＝0，所以l 3的方程为2x －y ＋3＝0.选B.答案：B6．设两条平行直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0、x ＋y ＋b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为( )A.12，24B.2，22C.2，12D.22，12解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－1ab ＝c ，|a －b |＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c ，∵0≤c ≤18，∴|a －b |∈[22，1]，∴两直线间的距离d ＝|a －b |2∈[12，22]，∴两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为22，12.答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)7．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l 的方程是__________．解析：由题意可设直线l ：3x ＋4y ＋c ＝0，令x ＝0，y ＝－c 4，令y ＝0，x ＝－c 3，∴12·|c |4·|c |3＝24⇒c ＝±24，∴直线l ：3x ＋4y ±24＝0. 答案：3x ＋4y ±24＝08．点P (4cos θ，3sin θ)到直线x ＋y －6＝0的距离的最小值等于__________．解析：由点到直线的距离公式可得d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|2＝|5sin(θ＋φ)－6|2∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－11≤5sin(θ＋φ)－6≤－1.∴d min ＝22. 答案：229．直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为(2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程为__________．解析：∵(2,3)为两直线l 1，l 2的交点，∴2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0，由此可知，点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋1＝0上，又∵l 1与l 2是两条不同的直线， ∴a 1与a 2，b 1与b 2不可能全相同，因此Q 1，Q 2为不同的两点，∴过两点Q 1，Q 2的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0. 答案：2x ＋3y ＋1＝0 10．(2009·全国卷Ⅰ)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)图2解析：两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，如图2所示，可知直线m 与l 1、l 2的夹角为30°，l 1、l 2的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.答案：①⑤三、解答题(共50分)11．(15分)等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线方程是3x －y ＋2＝0，C (145，25)，求直线AC 和直线BC 的方程和△ABC 的面积．解：k AB ＝3，设与直线AB 夹角为45°的直线斜率为k ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －31＋3k ＝tan45°＝1. ∴k ＝12或－2.∴直线AC 、BC 的方程为y －25＝12(x －145)和y －25＝－2(x －145)，即x －2y －2＝0和2x ＋y －6＝0，又C 到直线AB 的距离d ＝10，∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×210×10＝10.12．(15分)△ABC 中，A (1,4)，∠ABC 的平分线所在直线方程为x －2y ＝0，∠ACB 的平分线所在直线的方程为x ＋y －1＝0(如图3)，求BC 边所在直线的方程．图3解：设A 点关于直线x －2y ＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧y 1－4x 1－1＝－2x 1＋12－(y 1＋4)＝0，可解得⎩⎨⎧x 1＝195y 1＝－85，即A 1(195，－85)，设点A 关于x ＋y －1＝0的对称点为A 2(x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2－4x 2－1＝1，(x 2＋1)＋(y 2＋4)－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝0.即A 2(－3,0)．则直线A 1A 2即直线BC 的方程为y ＝0－(－85)－3－195[x －(－3)]即4x ＋17y ＋12＝0. 13．(20分)两条互相平行的直线分别过点A (6,2)和B (－3，－1)，并且各自绕着A 、B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．解：(1)方法1：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x ＝6和x ＝－3，则它们之间的距离为9.②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为 l 1：y －2＝k (x －6)， l 2：y ＋1＝k (x ＋3)，即l 1：kx －y －6k ＋2＝0，l 2：kx －y ＋3k －1＝0.∴d ＝|3k －1＋6k －2|k 2＋1＝3|3k －1|k 2＋1，即(81－d 2)k 2－54k ＋9－d 2＝0. ∵k ∈R ，且d ≠9，d >0，∴Δ＝542－4(81－d 2)(9－d 2)≥0，即0<d ≤310且d ≠9.综合①②可知，所求的d 的变化范围为(0,310]．图4方法2：如图4所示，显然有0<d ≤|AB |.而|AB|＝(6＋3)2＋(2＋1)2＝310.故所求的d的变化范围为(0,310]．(2)由图4可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB.而k AB＝2－(－1)6－(－3)＝13，∴所求的直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.。