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福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题
福建省厦门第一中学2023届高三下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知一组样本数据1215,,,x x x L ，其中2i x i =（1i =，2，…，15），由这组数据得到另一组新的样本数据 1y ， 2y ，…， 15y ，其中20i i y x =-，则（ ）A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本平均数相同C ．1y ，2y ，…，15y 样本数据的第30百分位数为10-D ．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5．π23cos 30d t q æ=-+çè．π3sin 30d t q æö=++ç÷èø．大约经过38秒，盛水．大约经过22秒，盛水四、多选题12．已知抛物线C 的顶点为五、填空题13．写出曲线e 1x y =-与曲线()ln 1y x =+的公切线的一个方向向量______.14．已知函数()f x 的定义域为R ，若()12f x +-为奇函数，且()()13f x f x -=+，则()2023f =_________.15．已知甲、乙两人三分球投篮命中率分别为0.4和0.5，则他们各投两个三分球，至少有一人两球都投中的概率为______．16．足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的B底线宽72AB=码，球门宽8EF=码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得EPFÐ最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处(,)=^时，根据场上形势判断，有OA、OB两条进OA AB OA AB攻线路可供选择．若选择线路OB，则甲带球______码时，到达最佳射门位置．(2)若ABC V 内一点P 满足 AP AC =， BP CP =，求PACÐ.19．chatGPT 是由OpenAI 开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球， chatGPT 的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt 数据，人工进行高质量的回答，获取<prompl ， answer>数据对，帮助数学模型GPT-4更好地理解指令.第二阶段：训练奖励模型，用上一阶段训练好的数学模型，生成k 个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉损失函数得到：µ1Loss ln ni i i y y ==-å， ，其中{}0,1i y Î，µ()0,1i y Î，且µ1n i iy =å.第一阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大奖以符合人工的选择取向.(1)若已知某单个样本，共真实分布[][]1210,,,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0y y y y =×××=，共预测近似分布$[][]1210,,,0,0.2,0,0,0.7,0,0,0.1,0,0y y y y =×××=，计算该单个样本的交叉损失函数Loss 的值；(2)某次测试输入的问题中出现语法错误的概率为5%，如果输入问题没有语法错误，chatGPT 的回答被采纳的概率为90%，如果出现语法错误，chatGPT 的回答被采纳的概率为50%.①求chatGPT 的回答被采纳的概率；②已知chatGPT 的回答被采纳，求该测试输入的问题没有语法错误的概率.参考数据：ln 0.69Z =.ln 5 1.609»，ln 7 1.946»20．如图，在四棱锥 P ABCD -中， AB CD ∥， AB AP ^，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =，过AB 的平面a 分别交线段PD ，PC 于E ，F .q =，得，1122PF F F c ==，据椭圆的定义有2122PF a PF a =-=212a =，筒车的角速度2ππ6030w==，令∴πcos cos()30t OB POBOPqÐ=+=∴π23cos30d t qæö=-+ç÷èø，其中又πππ23cos230d t qæö=-+=-ç÷èø2)CD∥，ABË平面PCD，CDÌ平面PCD a，平面a I平面PCD EF=，∴AB∥连接AQ，∵AB CD∥，3AB=，DQ=。
高三数学下册期中考试题：含参考答案-精选教学文档
高三数学下册期中考试题：含参考答案【】对于高中学生的我们，数学在生活中，考试科目里更是尤为重要，高三数学试题栏目为您提供大量试题，小编在此为您发布了文章：高三数学下册期中考试题：含参考答案希望此文能给您带来帮助。
本文题目：高三数学下册期中考试题：含参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。
满分40分.在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的.1.若等差数列前项和为，则复数在复平面上对应的点位于A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2.下列命题错误的是A. 的充分不必要条件;B. 命题的逆否命题为C.对命题：对方程有实根的否定是: ，方程无实根D. 若命题是 ;3.某校高三(1)班共有60人，现需从中抽取所有座位号能被3整除的同学参加某项测试，下面是四位同学设计的输出参加测试同学座位号的程序框图，则其中设计正确的是4.已知平面，直线，点A，下面四个命题，其中正确的命题是A . 若，则与必为异面直线;B. 若则 ;C. 若则 ;D. 若，则 .5.某项测试成绩满分为10分，先随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为me ,平均值为，众数为mo ,则A.me=mo=B.me=moC.me6.已知，则的值A.随的增大而减小B.有时随的增大而增大，有时随的增大而减小C.随的增大而增大D.是一个与无关的常数7.已知三个正态分布密度函数( ， )的图象如图所示，则A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知实数满足 ,给出下列关系式：① ② ③ 其中可能成立的有A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分.满分30分.(一)必做题(913题)9.设n= ,则二项式(x-2x)n的展开式中，x2项的系数为10.若x2-2x-8是x11.已知双曲线 ( 0)的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 .12.已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2 的圆,则此几何体的外接球的表面积为13.设的三个内角分别为、、，则下列条件中能够确定为钝角三角形的条件共有________个.(二)选做题(1415题，考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为 (参数 )，以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系.在此极坐标系中，若圆的极坐标方程为，则圆心到直线的距离为 ..15.(几何证明选讲选做题)如图4，已知是⊙ 的切线，是切点，直线交⊙于、两点，是的中点，连结并延长交⊙ 于点 .若，，则 = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)如图是两个独立的转盘，在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为。
北京市海淀区2024届高三下学期期中练习(一模)数学试题(解析版)
海淀区2023—2024学年第二学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U A =ð（）A.(2,1)--B.[2,1]--C.(2,1){2}-- D.[2,1){2}-- 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，所以[2,1){2}U A =-- ð.故选：D2.若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是()A.1i --B.1i +C.1i -+D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z 即可求解结果．【详解】解：复数z 满足i 1i z =+，所以()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--．所以z 的共轭复数是1i +．故选：B ．3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求出1a 和d 的关系，代入0m S =计算可得m 的值.【详解】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去）故选：B.4.已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】将||2a b +=两边同时平方，将条件带入计算即可.【详解】由已知||2,2a b ==，所以()22224222cos ,44a b a b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：C.5.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为（）A.2214x y -= B.2212x y -= C.2212y x -= D.2214y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a b =，c =，再结合222+=a b c ，求出,a b ，即可求出结果.【详解】由题知c =，根据题意，由双曲线的定义知2a b =，又222+=a b c ，所以255a =，得到221,4a b ==，所以双曲线的方程为2214y x -=，故选：D.6.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A .7.已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B 【解析】【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.8.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（）A.sin cos tan ααα-≤B.sin cos tan ααα-≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>【答案】C 【解析】【分析】对A 、B ：举出反例即可得；对C 、D ：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin 0α<、cos 0α<，tan 0α>，对A ：当sin 0α-→时，cos 1α→-，则sin cos 1αα-→，tan 0α→，此时sin cos tan ααα->，故A 错误；对B ：当5π4α=时，1sin cos sinc 5π5π5π0tan 44os 4αα-=-=<=，故B 错误；对C 、D ：22sin sin cos cos cos tan cos ααααααα⋅=⋅=⋅，由1cos 0α-<<，故()2cos 0,1α∈，则2cos tan tan ααα⋅<，即sin cos tan ααα⋅<，故C 正确，D 错误.故选：C.9.函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A.[0,2]B.[3,0][3,4)-C.(5,0][2,4)-D.(4,0][2,3)- 【答案】D 【解析】【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，112111221112A A A A OA ==….若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.【详解】由题意可知，114cm OA =，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在11OA 方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离依次为：1114,2,222482⨯⨯⨯ ，则31353842155722244+⨯++⨯=+>+=，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在11OA 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即1311432164316841+281142282331144++⎛⎫⎛⎫++++++≈+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，综合可得培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为8cm ，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在11OA 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知ln 2ab=，则22ln ln a b -=_______.【答案】4【解析】【分析】直接利于对数的运算性质求解.【详解】因为ln2ab=，所以22222ln ln ln ln 2ln 4a a a a b b b b ⎛⎫-==== ⎪⎝⎭.故答案为：4.12.已知22:(1)3C x y -+= ，线段AB 是过点(2,1)的弦，则AB 的最小值为_______.【答案】2【解析】【分析】借助直径与弦AB 垂直时，AB 有最小，计算即可得.【详解】由22(21)123-+=<，故点(2,1)在圆的内部，且该圆圆心为()1,0设圆心到直线AB 的距离为d ，由垂径定理可得2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即AB =，故当d 取最大值时，AB 有最小值，又max d ==故2AB =≥=.故答案为：2.13.若443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则0a =_______；13024a a a a a +=++_______.【答案】①.16②.4041-【解析】【分析】借助赋值法，分别令0x =、1x =、=1x -计算即可得.【详解】令0x =，可得40(02)a -=，即40216a ==，令1x =，可得443210(12)a a a a a -=++++，即()44321011a a a a a ++++=-=，令=1x -，可得443210(12)a a a a a --=-+-+，即()443210381a a a a a -+-+=-=，则()()()4321043210420218182a a a a a a a a a a a a a +++++-+-+=++=+=，即42082412a a a ++==，则()42103114140a a a a a =-++==-+-，故130244041a a a a a +=-++.故答案为：16；4041-.14.已知函数π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________；函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为_______.【答案】①.1-②.π(,0)4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数表达式，代入即可求出5π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的函数值，根据条件，先求出使()0f x =的一个取值π4x =-，再证明π(,0)4-是()f x 的一个对称中心即可.【详解】因为π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以55ππππsin()sin(214444f ⎛⎫=+⨯=- ⎪⎝⎭，因为()f x 定义域为R ，当π4x =-时，ππππ()sin sin()04442f ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，下证π(,0)4-是()f x 的一个对称中心，在π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上任取点()00,P x y ，其关于π(,0)4-对称的点为00π(,)2P x y '---，又00000000ππππππ()sin sin 2()sin()sin(π2)sin()sin(2)224244f x x x x x x x y ⎛⎫--=--+--=----=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为π(,0)4-，故答案为：1-；π(,0)4-（答案不唯一）15.已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -=-=kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x +=或242k x -=（负值舍去），则20122k x ++=>=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x =或242k x +=（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则22211711744242412222k t x ⎫⎛⎫---⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===>=-，即212k x =>-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，sin cos 2b C B c =.（1）求B ∠；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sin 2B B +=，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中π6B =及条件，由余弦定理得到22126c b c +-=，再结合4b c +=，即可求出2c =，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【小问1详解】因为sin cos 2b C B c =，由正弦定理可得sin sin cos 2sin B C C B C =，又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，得到sin 2B B +=，即π2sin(23B +=，所以πsin()13B +=，又因为(0,π)B ∈，所以2ππ3B +=，得到π6B =.【小问2详解】由（1）知π6B =，所以2223cos 22a cb B ac +-==，又a =，得到22126c b c +-=①，又4b c +=，得到4b c =-代入①式，得到2c =，所以ABC 的面积为11πsin 2sin 226ABC S ac B ==⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC M //为BP 的中点，//AM 平面CDP .（1）求证：2BC AD =；（2）若,1PA AB AB AP AD CD ⊥====，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P ABCD -存在且唯一确定.（i ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（ⅱ）设平面CDP ⋂平面BAP l =，求二面角C l B --的余弦值.条件①：BP DP =；条件②：AB PC ⊥；条件③：CBM CPM ∠=∠.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）77【解析】【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；（2）（i ）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.【小问1详解】取PC 的中点N ，连接,MN ND ，因为M 为BP 的中点，所以1,//2MN BC MN BC =，因为//AD BC ，所以//AD MN ，所以,,,M N D A 四点共面，因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =，AM ⊂平面MNDA ，所以//AM DN ，所以四边形AMND 为平行四边形，所以MN AD =，所以2BC AD =；【小问2详解】（i ）取BC 的中点E ，连接,AE AC ，由（1）知2BC AD =，所以EC AD =，因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以1,EC AD AE CD ===，因为1AB CD ==，所以112AE BC ==，所以90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，选条件①：BP DP =，因为1,AB AD PA PA ===，所以PAB 与PAD 全等，所以PAB PAD ∠=∠，因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=o ，所以90PAD ∠= ，即AP AD ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ；（ⅱ）由（i ）知AP ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AP AC ⊥，因为,1PA AB AP ⊥=，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,1,0,,,22P C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,12222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z = ,则0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102213022x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令x =，则1,y z =-=，于是1,n =-，因为AC 为平面PAB 的法向量,且7cos ,7AC n AC n AC n ⋅===-⋅,所以二面角C l B --的余弦值为77.选条件③：CBM CPM ∠=∠，(i)因为CBM CPM ∠=∠，所以CB CP =，因为1,AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC △全等，所以90∠=∠= PAC BAC ，即PA AC ⊥，因为PA AB ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i ）可得AB AC ⊥，又PA AB ⊥，PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，即AB PC ⊥是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90100x ≤≤4108090x ≤<3a 7080x ≤<2b 6070x ≤<123060x ≤<02（1）当35a =时，（i ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X 为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X 的数学期望()E X ；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y .若根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立，直接写出a 的最小值.【答案】（1）（i ）0.45；（ⅱ）589；（2）7.【解析】【分析】（1）（i ）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X 的所有可能值，由（i ）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.（2）求出1Y 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值2Y 的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.【小问1详解】当35a =时，（i ）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545+=，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100=，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109=+，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29，X 的所有可能值为6，7，8，7749(6)9981P X ==⨯=，7228(7)29981P X ==⨯⨯=，224(8)9981P X ==⨯=，所以X 的数学期望4928458()6788181819E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由表知，10232100a b ++++=，则65b a =-，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，则1Y 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y ，要12Y Y ≤恒成立，当且仅当2min ()69Y ≥，显然2Y 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此2min 1683()108070(65)602302]10010a Y a a +=⨯++-+⨯+⨯=，则6836910a+≥，解得7a ≥，所以根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立的a 的最小值是7.19.已知椭圆22:G x my m +=的离心率为12,,2A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（1）求m 的值及点F 的坐标；（2）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M .比较2MP 与12MA MA ⋅的大小.【答案】（1）2m =，()1,0F （2）122MA A MP M <⋅【解析】【分析】（1）借助离心率计算即可得；（2）设()00,P x y ，表示出M 与Q 点坐标后，可得2MP 、12MA MA ⋅，借助作差法计算即可得.【小问1详解】由22:G x my m +=，即22:1x G y m+=，由题意可得1m >，故2=，解得2m =，故22:12x G y +=1=，故()1,0F ；【小问2详解】设()00,P x y ，00,0x y ≠，0x <<，有220012x y +=，由PF FQ ⊥，则有()()001210Q x y y -⋅-+⋅=，即01Q x y y -=，由0PQ k ≠，故有0002Q My y y x x x -=--，即有()()()2000000000200000022211M Q y x y x y x x x x x x y y x y y y ---=-=-=------()200320000022000012222422x x x x x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=-=---()()32320000002200000002222242222x x x x x x x x x x x x x ----+=-==---，由22:12x G y +=可得()1A、)2A ，则22222222000000022200002444441322x x MP x y x y x x x x x ⎛⎫=-+=-++=-++-=-+ ⎪⎝⎭，1220002242MA MA x x x ⎛⋅==- ⎝，则222001222004432122x x MP MA MA x x -⋅=-+-+=-，由0x <<，故20102x -<，即212MP MA MA <⋅.20.已知函数12()ea x f x x -=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞（2）1a ≥-【解析】【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222ee e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【小问1详解】易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+.【小问2详解】令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.21.已知：()2*12:,,,2,m Q a a a m m ≥∈N为有穷正整数数列，其最大项的值为m ，且当0,1,,1k m =- 时，均有(1)km i km j a a i j m ++≠≤<≤.设00b =，对于{0,1,,1}t m ∈- ，定义{}1min ,t t n b n n b a t +=>>，其中，min M 表示数集M 中最小的数.（1）若:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，写出13,b b 的值；（2）若存在Q 满足：12311b b b ++=，求m 的最小值；（3）当2024m =时，证明：对所有2023,20240Q b ≤.【答案】（1）11b =，36b =（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义逐个计算出1b 、2b 、3b 即可得；（2）当3m =时，可得12310b b b ++≤，故4m ≥，找到4m =时符合要求的数列Q 即可得；（3）结合题意，分两段证明，先证10122024b ≤，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，再证得2024k C b k ≤，即可得证,【小问1详解】由:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，00b =，则{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，故23b =，则{}3min 3,2n b n n a =>>，故36b =；【小问2详解】由题意可知，3m ≥，当3m =时，由1n a ≥，{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，由题意可得123a a a ≠≠，故2a 、3a 总有一个大于1，即22b =或23b =，{}32min ,2n b n n b a =>>，由456a a a ≠≠，故4a 、5a 、6a 总有一个大于2，故36b ≤，故当3m =时，12310b b b ++≤，不符，故4m ≥，当4m =时，取数列:4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4Q ，有11b =，23b =，37b =，即12311b b b ++=，符合要求，故m 的最小值为4；【小问3详解】因为{}11min ,,0,1,,2023t n b nn b a t t +=>>= ∣，所以11,0,1,,2023i b b t +>= ，(i)若12024t b +≤，则当1t n b +<时，至少以下情况之一成立：①n a t ≤，这样的n 至少有t 个，②存在,i i t b n ≤=，这样的n 至多有t 个，所以小于1t b +的n 至多有2t 个，所以1121t b t t t +≤++=+，令212024t +≤，解得11012t +≤，所以10122024b ≤，(ii)对*k ∈N ，若12024t t b k b +≤<，且()1202420241t l k b k ++<≤+，因为{}1min ,t l t l n b nn b a t l +++=>>+∣，所以当()12024,t l n k b ++∈时，至少以下情况之一成立：①n a t l ≤+，这样的n 至多有t l +个；②存在,i t i i l <≤+且i b n =，这样的n 至多有l 个，所以120241202421t l b k t l l k t l ++≤++++=+++，令212024t l ++≤，解得20232t l -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即202512t t l +⎡⎤++≤⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，所以当12024t t b k b +≤<时，()2025220241t b k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤+；综上所述，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则2024k C b k ≤，依次可得：2345671518,1771,1898,1961,1993,2009C C C C C C ======，89102017,2021,2023C C C ===，所以202320241020240b ≤⨯=.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。
江西省南昌市进贤县一中2024届高三下学期期中试卷数学试题
江西省南昌市进贤县一中2024届高三下学期期中试卷数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9B ．－9C ．212D ．214-2．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 3．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-4．已知函数()f x 满足(4)17f =，设00()f x y =，则“017y =”是“04x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．复数2iz +=，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限6．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．1288．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势9．设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．()223310,02x y x y +=>> B ．()223310,02x y x y -=>> C ．()223310,02x y x y -=>>D ．()223310,02x y x y +=>>10．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+D ．345i-+ 11．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学下期中试卷(带答案)(1)
高三数学下期中试卷(带答案)(1)一、选择题1．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( )A ．100B ．-100C ．-110D ．1102．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设,x y 满足约束条件302x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．114．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） AB ．3CD5．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4016．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A．3BCD．3-7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+8．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．409．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1610．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．1311．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．33B ．53C ．73D ．8312．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．32二、填空题13．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________14．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=L __________．15．若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n n a a +-= ②1111n na a +-= ③121n n n a a a +=+④2121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.16．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．18．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．19．设0x ＞，0y ＞，4x y +=，则14x y+的最小值为______． 20．若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题21．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c向量()2m a =u r，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .（1）求角C 的大小； （2）求()3y sinA B π=-的最大值.22．设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.23．在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,a b ==，面积2S accosB =. （1）求sin A 的值；（2）若点D 在BC 上（不含端点），求sin BDBAD∠的最小值.24．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 25．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =ABC ∆的面积．26．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若asinB =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为5a =，求ABC ∆的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.3．C解析：C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 4．D解析：D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，6a =22246748c c c +-=，解得：2c =由7cos 8A =得2715sin 18A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，111515sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】由11n n a a +=+，可得)21111n a ++==，是以1为公差，以1为首项的等差数列.2,1n n a n ==-，即220201399a =-=.故选C.6．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）=3，即4a +13a ≤-3 故1212a x x x x ++的最大值为3-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
期中考试高三数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. y = √(x - 2)B. y = 1/xC. y = x²D. y = log₂(x + 1)2. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(a) = 1，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列不等式中，正确的是（）A. |x| > 2B. |x| ≥ 2C. |x| < 2D. |x| ≤ 24. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 9，则d的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 下列复数中，实部为0的是（）A. 2 + 3iB. 4 - 5iC. -1 + 2iD. 0 + 5i6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1C. √2/2D. 07. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16...B. 1, 3, 9, 27, 81...C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16...D. 1, 2, 4, 8, 16...8. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -29. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 1210. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意实数x，x²≥ 0B. 对于任意实数x，x³ ≥ 0C. 对于任意实数x，x² ≤ 0D. 对于任意实数x，x³ ≤ 0二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = -x² + 2x + 1，则f(x)的顶点坐标为______。
12. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 5，a5 = 15，则d的值为______。
高三数学下期中试卷(附答案)
高三数学下期中试卷(附答案)一、选择题1．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．42．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．3．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．524．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2015．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，6．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--8．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( )A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S9．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10B ．120C ．130D ．14010．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣11．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=，4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒ D ．60B =︒二、填空题13．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.14．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .15．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．16．设，，若，则的最小值为_____________.17．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）18．已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值，且871a a <-，则当0n S <时n 的最小值为________.19．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．20．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．三、解答题21．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .22．在ABC △中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R，且sin sin cos 0A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S25．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC Va ，c . 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围； （3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.解析：D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .【详解】 由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.3．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b+的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．解析：A 【解析】 【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．5．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示： 由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.6．C解析：C【解析】先考虑充分性,当x>0时，1122x xx x+≥⋅=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.再考虑必要性，当12xx+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x-+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0.故选C.7．B解析：B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值.【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.8．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S ==解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.10．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.11．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.12．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q ，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.二、填空题13．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12 {20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为解析：33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】 【详解】根据题意，由于函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，22222()4(1)(1)11xm x x m m--≤--+-，分离参数的思想可知，, 递增，最小值为53，即可知满足33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭即可成立故答案为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 15．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线 解析：22【解析】 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2y x x x=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r共线∴()12y x x ⨯-=⋅，即22y x =+∴22222y x x x x x+==+≥，当且仅当2x x =即2x =时取等号∴yx的最小值为22. 【点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.16．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a- 解析：【解析】 【分析】 由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意，因为满足，所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题解析：128【解析】 【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求 【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题18．14【解析】【分析】等差数列的前n 项和有最大值可知由知所以即可得出结论【详解】由等差数列的前n 项和有最大值可知再由知且又所以当时n 的最小值为14故答案为14【点睛】本题考查使的n 的最小值的求法是中档解析：14 【解析】 【分析】等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，由871a a <-，知1130a a +>，1150a a +<，1140a a +<，所以130S >，140S <，150S <，即可得出结论．【详解】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由871a a <-，知70a >，80a <，且780a a +<， 又711320a a a =+>，811520a a a =+<，781140a a a a +=+<， 所以130S >，140S <，150S <， 当<0n S 时n 的最小值为14， 故答案为14． 【点睛】本题考查使0n S <的n 的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．19．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区 解析：25【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22215521d -==+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25，即25CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.20．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析：()4031,404. 【解析】 【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 解得155k k x k T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=；115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=.故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析 （2）()11222n n n n S ++=--【解析】【分析】(1)根据n n b a n =+求得1n b +,化简成含n a 的表达式再得12n n b b +=即可.(2)根据(1)中等比数列的首项与公比求得数列{}n b 的通项公式,再代入n n b a n =+即可求得数列{}n a 的通项公式,再根据分组求和求解即可. 【详解】（1）证明：因为121,n n n n a a n b a n +=+-=+所以()()()11121122n n n n n b a n a n n a n b ++=++=+-++=+=, 又因为11120b a =+=≠,则12n nb b +=, 所以数列{}n b 是首项为2,公比为2的等比数列.（2）由（1）知2n n n a n b +==,所以2nn a n =-,所以()()()()232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()()121211221222nn n n n n +-++=-=---【点睛】本题主要考查了数列的递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了分组求和与等比等差数列求和的公式等.属于中等题型. 22．（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114- 【解析】 【分析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求a，代入条件求得sin B =，解得cos B =，最后根据两角和余弦定理得结果.【详解】（Ⅰ）解：由条件1cos 2a C c b +=，得1sin sin sin sin 2A C CB +=，又由()sin sin B AC =+，得1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C +=+.由sin 0C ≠，得1cos 2A =，故π3A =.（Ⅱ）解：在ABC V 中，由余弦定理及π4,6,3b c A ===，有2222cos a b c bc A =+-，故a =由sin sin b A a B =得sinB =，因为b a <，故cos B =.因此sin22sin cos 7B B B ==，21cos22cos 17B B =-=.所以()11cos 2cos cos2sin sin214A B A B A B +=-=-. 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.23．（1）6π；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan A =，即可求出角A ；（2）由（1）可得tan 6B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0BA A -=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan 3A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan A =，tan B =，1sin 2A =，∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab Ca b B c C Aa b B c C =+-+-222sin ab Ca b c =+-由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan 10A B A B +=-⨯=--. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题. 24．(1)12n n b -=, (2)36s =-【解析】 【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与q 的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可； （2）根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果. 【详解】(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由22 2.a b +=得d+q=3，由335a b +=得2d+q 2=6, 解得d=1,q=2.所以{}n b 的通项公式为12n n b -=；（2）由131,21b T ==得q 2+q-20=0, 解得q=-5（舍去）或q=4， 当q=4时，d=-1，则S 3=-6。
江西省红色六校2025届高三数学试题下学期期中考试
江西省红色六校2025届高三数学试题下学期期中考试注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．122．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） A ．20B ．27C ．54D ．64 3．函数()x f x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()sinx 12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒;②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④5．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A ．2B ．3C ．1D ．66．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的最大值是327．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．23B 6C 3D ．138．函数()1ln 1x f x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．9．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．10．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -11．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．3212．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）A ．314B ．1114C ．114D ．27二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【易错题】高三数学下期中试题含答案(3)
【易错题】高三数学下期中试题含答案(3)一、选择题1．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1762．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20193．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．314．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140B ．280C ．168D ．565．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =6．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．157．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．168．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．169．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．71010．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．611．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ） A ．1B ．33C 5D ．7712．已知正项数列{}n a *12(1)()2n n n a a a n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(4)(2)x y xy++的最小值为_________.14．已知,x y 满足约束条件420y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．15．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______. 16．已知是数列的前项和，若，则_____．17．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．18．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 20．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．三、解答题21．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 22．已知函数()()22f x x x a x R =++∈（1）若函数()f x 的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若()0f x >对任意的[1,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。
2024年高三数学期中试卷及答案
2024年高三数学期中试卷及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x) = 2x + 1，若f(a) = 3，求a的值。
A. -1B. 1C. 2D. -2{答案：B}2. 已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，求第10项的值。
A. 21B. 19C. 23D. 17{答案：A}3. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为Q，求点Q的坐标。
A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-2, -3)D. (-3, -2){答案：A}4. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(f(-1))的值。
A. 4B. 2C. 0D. -2{答案：A}5. 设函数g(x) = |x - 1| - |x + 1|，求g(2)的值。
A. 1B. -1C. 2D. -2{答案：B}6. 若直线y = 2x + 3与圆(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5相切，求圆心到直线的距离。
A. 1B. √5C. 2D. 3{答案：B}7. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。
A. 4B. -4C. 5D. -5{答案：B}8. 已知复数z = 3 + 4i，求复数z的模。
A. 5B. 7C. 9D. 25{答案：A}9. 设矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵A的特征值。
A. 2B. 3C. 4D. 5{答案：A}10. 若f(x) = x^3 - 3x + 1，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3x + 1C. 3x^2 + 3D. x^2 + 3x - 1{答案：A}二、填空题（每题5分，共30分）1. 已知等比数列{bn}的首项为2，公比为3，求第5项的值。
{答案：2 * 3^4}2. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点的对称点为Q，求点Q的坐标。
高三数学下期中试卷(带答案)
高三数学下期中试卷(带答案)一、选择题1．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．12．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a ba+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =6．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15 C ．5 D ．15 7．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( )A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S8．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．()22,10C ．()22,10D ．()10,89．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣10．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-二、填空题13．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______． 14．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________15．计算：23lim 123n n nn→+∞-=++++L ________16．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。
2022-2023学年全国高中高三下数学人教A版期中试卷(含解析)
2022-2023学年全国高三下数学期中试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知数列满足，，则( )A.B.C.D.2. 今天是星期二，经过天后还是星期二，那么经过天后是( ).A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六3. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性，动植物死亡后，停止新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变．经科学测定，的半衰期为年（设的原始量为，经过年后，的含量且有）．现有一古物，测得其的含量为原始量的，则该古物距今约多少年？（ ）（参考数据：）A.B.C.{}a n =a 12–√=(n ∈)a n+1 −1,>1,a n a n ,0<<1,1a na n N ∗=a 2021−12–√2–√+12–√2722021C 14C 14C 14C 145730C 141x C 14f (x)=a x f(5730)=12C 1479.37%≈0.7937,12−−√3≈0.999812−−√57301910358191684. 若函数在上单调递减，则的最小值是( )A.B.C.D.5. 某单位有个连在一起的车位，现有辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）A.B.C.D.6. 已知，则曲线在处的切线方程为( )A.B.C.D.7. 已知等差数列的前项和为，若＝＝＝，则＝（ ）A.B.C.D.8. 在冬奥会比赛中，要从名男运动员和名女运动员中，任选人参加某项比赛，其中男女运动员至少各有一名的不同选法共有( )A.种B.种C.种f (x)=ln x −kx (1,+∞)k 1−12−273416182432f (x)=ln x +1x 2y =f (x)x =1y =−xy =−x +2y =xy =x −2{}a n n S n S 55(−2)a 4a 17m m 1619333545314080709. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是( )A.B.数列是等比数列C.D.数列是公差为的等差数列10. 设，若为函数的极大值点，则( )A.B.C.D.11. 已知“整数对”按如下规律排列：，，，，，，，，，，则第个“整数对”为（ ）A.B.C.D.12.记函数的定义域为，函数＝，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若两个等差数列，的前项和分别是，，已知，则等于________．q {}a n S n {}a n n +=18a 1a 4+=12a 2a 3q =2{+2}S n =510S 8{lg }a n 2a ≠0x =a f (x)=a (x −b)(x −a)2a <ba >bab <a 2ab >a 2(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)⋯70（3,9）（4,8）（3,10）（4,9）A g(x)−+sin x +1e x e −x g(2x +a)+g(−1)>2x 2x ∈A a [2,+∞)(2,+∞)(−2,+∞)[−2,+∞){}a n {}b n n S n T n =Sn 7n a 514. 在的展开式中，所有奇数项的系数之和为，则中间项系数是________．15. 已知为等差数列的前项和，，若为数列中的项，则________．16. 曲线在处的切线方程为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 现有名同学.若排成一排，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？若排成一排，甲、乙不能相邻，有多少种不同的排法？若将位同学分布在两个不同的学习小组，每组至少一人，有多少种不同的分法． 18. 已知，其中，.求的值；求的值．19. 设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，.求的通项公式；若，求数列的前项和.20. 已知函数.若曲线在处的切线与直线垂直，且的两个极值点分别为，求；若恒成立，求证：. 21. 已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项．求数列的通项公式；设，求数列的前项和．22. 已知函数,其中 为自然对数的底数求函数在 上的最值；若函数,求证：当 时，函数 无零点(+1x−√1x 3−−−√5)n 1024S n {}a n n =0,=7S 6a 7a m a m+1a m+2{}a n m =f(x)=(x −3)e xx =04(1)(2)(3)4f (x)==+x ++⋯+(1−mx)2021a 0a 1a 2x 2a 2021x 2021=−4042a 1m ∈R (1)m (2)+++⋯+a 1a 2a 3a 2021{}a n =4a 1a n +=4+2a n+1a n a n+1a n −−−−−−√n ∈N ∗(1){}a n (2)=b n 1−1a n {}b n n S n f (x)=(−ax −2)(a ∈R)x 2e x (1)y =f (x)x =0y =x f (x),x 1x 2+x 21x 22(2)∀x >0,f (x)+3>0e 2x a <474{}a n ++=28a 2a 3a 4+2a 3a 2a 4(1){}a n (2)=⋅b n a n log 2a n {}b n n S n f(x)=x 2e x e =2.718⋯.(1)f(x)[−5,−1](2)g(x)=−a ln x f(x)x +1a ∈(0,2e)g(x).参考答案与试题解析2022-2023学年全国高三下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】A【考点】数列递推式【解析】由数列递推式可得该数列的变化规律，进而求出的值.【解答】解：由题意可知，∵，∴.∵，∴.∵，∴，，由此可知，数列是以为变化周期的，∴.故选.2.【答案】D【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项式定理展开，变为关于的展开式，求得余数，确定出经过天后是星期几．a 2021=a 12–√=>1a 12–√=−1=−1a 2a 12–√0<=−1<1a 22–√==+1a 31−12–√2–√=+1>1a 32–√=−1=a 4a 32–√⋯{}a n 3===−1a 2021a 673×3+2a 22–√A 722021解：因为，而，因为上式展开式中的，，，均可以被整除，所以除余数为，故经过天后是星期六．故选．3.【答案】A【考点】函数模型的选择与应用指数函数的实际应用【解析】根据指数函数，.【解答】解： ， ，，，.故选.4.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】利用导数，首先判断导数的正负性，即可求出参数方程.【解答】=×=4×=4×22021()23673228673(7+1)6734×=4××+4××+⋯+(7+1)673C 020*******C 12021720204××+4××C 2020202171C 20212021704××C 020********××C 1202172020…4××C 202020217172202174××=4C 202120217022021D =0.7937()a 573013x =×5730=191013=a 573012=0.7937()a 573013=0.7937a x x =×573013x =1910A∴，∵在区间上单调递减，∴在上恒成立，∴，∴.故选.5.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】将个空车位捆绑在一起，视作一个车位，与另个停车的车位经行全排列．6.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，，，所以曲线在处的切线方程为.故选.7.【答案】D(x)=−k f ′1x f (x)(1,+∞)(x)=−k ≤0f ′1x (1,+∞)k ≥1=1k min A 43=24A 44(x)=2x ln x +x f ′(1)=1f ′f (1)=1y =f (x)x =1y =x C等差数列的前n 项和【解析】利用等差数列的前项和公式和通项公式求得首项和公差，易得的值．【解答】因为＝，所以，所以公差＝．又＝，所以＝，解得＝，所以＝＝．8.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】从名运动员中任选人有种，除掉仅有男运动员和仅有女运动员的情形，共种，计算可得答案．【解答】解：从名运动员中任选人有中情形，从中排除掉仅有男运动员和仅有女运动员的情形，共种，故其中男女运动员至少各有一名的不同选法共有种.故选.9.【答案】D【考点】等比关系的确定等比数列的通项公式等差关系的确定n m S 55(−2)a 4=×5=5=5(−2)S 5+a 1a 52a 3a 4d 25(−2)a 4a 175(+4)a 1+16×2a 1a 13a 173+16×23593C 39(+)C 34C 3593=84C 39+=14C 34C 3584−14=70C此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以(舍),所以,,.又，所以是等比数列.，所以数列是公差为的等差数列.故选.10.【答案】D【考点】函数在某点取得极值的条件函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：当，大致图像如图所示，易得，当，大致图像如图所示，(1+)=18,(q +)=12a 1q 3a 1q 2==1+q 3q +q 2181232q =2,q =12=2,=a 1a n 2n ==−2S n 2(1−)2n 1−22n+1==510S 82(1−)281−2=2+2S n+1+2S n {+2}S n lg −lg =lg =lg2a n+1a n a n+1a n {lg }a n lg2D a >0f (x)b >a >0a <0f (x)易得．综上所述，得，故选．11.【答案】D【考点】归纳推理【解析】观察将：、、、、，，，，，，…，写成如图形式的数据，然后分析数据的分布规律，继而求出第个数对．【解答】解：因为，所以第个“整数对”是，第个“整数对”是，第个“整数对”是()，第个数对”是().故选.12.【答案】A【考点】函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）0>a >b ab >a 2D (1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)621+2+…+11=6667(1,12)68(2,11)693,10704,9D【考点】等差数列的性质【解析】由等差数列的性质和求和公式可得，代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质、求和公式可得.故答案为：.14.【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项展开式的通项判断出二项展开式的二项式系数等于展开式的项的系数，利用二项式系数和公式求出所有奇数项的系数之和，列出方程求出，判断出中间项的项数，求出系数．【解答】解：展开式的二项式系数等于展开式的项的系数,∴所有奇数项的系数之和为,∴,∴,∴展开式共有项，中间项为第六、第七项,∴中间项系数是 .故答案为：.15.【答案】214===a 5b 52a 52b 5(+)92a 1a 9(+)92b 1b 9S 9T 9=====a 5b 52a 52b 5(+)92a 1a 9(+)92b 1b 9S 9T 96312214214462n (+1x−√1x 3−−−√5)n 2n−1=10242n−1n =1112==462C 511C 6114622等差数列的性质等差数列的前n 项和等差数列的通项公式数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：设的公差为．因为，所以，由此可得，又，由此可解得，故 ，，令，则，故为的约数，又因为是奇数，所以的可能取值为．当时，，，是数列中的第项；当时，，不是数列中的项．所以满足条件的．故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.{}a n d =0S 6+=0a 1a 62+5d =0a 1=+6d =7a 7a 1=−5,d =2a 1=2n −7a n =a m a m+1a m+2(2m −7)(2m −5)2m −32m −3=t ==t +−6a m a m+1a m+2(t −4)(t −2)t 8tt 8t t ±1t =1m =2=3=2×5−7a 2a 3a 4{}a n 5t =−1m =1,=−15=2×(−4)−7a 1a 2a 3{}a n m =22解：甲、乙两人必须相邻，把甲乙“捆绑”在一起，有种排法，再将甲乙看做一个元素，将其他两个元素进行全排列，有种排法，根据分步乘法计数原理可得：一共有种排法.先排其他两个同学，有种排法，产生三个空挡，将甲、乙安排在三个空挡中的两个，由种排法，根据分步乘法计数原理可得：一共有种排法.①分成两组，每组两人，共有种分法；②分成两组，一组一人，一组三人，共有种分法，根据分类加法计数原理，可得：共有种分法.【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】向量问题用“捆绑”法；不相邻问题用插空法；①分成两组，每组两人；②分成两组，一组一人，一组三人，根据分类加法计数原理，可得答案.【解答】解：甲、乙两人必须相邻，把甲乙“捆绑”在一起，有种排法，再将甲乙看做一个元素，将其他两个元素进行全排列，有种排法，根据分步乘法计数原理可得：一共有种排法.先排其他两个同学，有种排法，产生三个空挡，将甲、乙安排在三个空挡中的两个，由种排法，根据分步乘法计数原理可得：一共有种排法.①分成两组，每组两人，共有种分法；②分成两组，一组一人，一组三人，共有种分法，根据分类加法计数原理，可得：共有种分法.18.【答案】解：由题意可得，解得.，，所以.【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】(1)=2A 22=6A 332×6=12(2)=2A 22=6A 232×6=12(3)=6C 24C 22=8C 14C 33A 226+8=14(1)(2)(3)(1)=2A 22=6A 332×6=12(2)=2A 22=6A 232×6=12(3)=6C 24C 22=8C 14C 33A 226+8=14(1)=−4042C 12021(−m)1m =2(2)f (0)=1=a 0f (1)=−1=+++⋯+a 0a 1a 2a 2021+++⋯+=f (1)−f (0)=−2a 1a 2a 3a 2021此题暂无解析【解答】解：由题意可得，解得.，，所以.19.【答案】解：因为，，所以，即.又是各项为正的单调递增数列，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.由题知，所以.【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，，所以，即.又是各项为正的单调递增数列，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.(1)=−4042C 12021(−m)1m =2(2)f (0)=1=a 0f (1)=−1=+++⋯+a 0a 1a 2a 2021+++⋯+=f (1)−f (0)=−2a 1a 2a 3a 2021(1)+=4+2a n+1a n a n+1a n −−−−−−√n ∈N ∗+−2=4a n+1a n a n+1a n −−−−−−√=4(−)a n+1−−−−√a n −−√2{}a n −=2a n+1−−−−√a n −−√{}a n −−√22=2+2(n −1)=2n a n −−√=4a n n 2(2)==b n 1−1a n 14−1n 2=1(2n −1)(2n +1)=(−)1212n −112n +1=++⋯+S n b 1b 2b n =(1−)+(−)+⋯+1213121315(−)1212n −112n +1=(1−)=1212n +1n 2n +1(1)+=4+2a n+1a n a n+1a n −−−−−−√n ∈N ∗+−2=4a n+1a n a n+1a n −−−−−−√=4(−)a n+1−−−−√a n −−√2{}a n −=2a n+1−−−−√a n −−√{}a n −−√22=2+2(n −1)=2n a n −−√=4a n n 2=11由题知，所以.20.【答案】解：由，∴，∵在 处的切线与垂直，∴，,解得，，∴，∴，∵的极值点为，，则，又，∴，是的两个根，∴，，∴；证明：∵，∴，∴，令,则，令，则恒成立，∴在 上单调递增，当时，，∴存在 ，，当时，，∴，其中，，即，∵，∴，∴.n(2)==b n 1−1a n 14−1n 2=1(2n −1)(2n +1)=(−)1212n −112n +1=++⋯+S n b 1b 2bn=(1−)+(−)+⋯+1213121315(−)1212n −112n +1=(1−)=1212n +1n2n +1(1)f(x)=(−ax −2)x 2e x (x)=[−(a −2)x −2−a]f ′e x x 2y =f(x)x =0y =x =−1k ′(0)=−2−a =−1f ′a =−1f(x)=(+x −2)x 2e x (x)=(+3x −1)f ′e x x 2f(x)x 1x 2()=()=0f ′x 1f ′x 2>0e xx 1x 2+3x −1=0x 2+=−3x 1x 2=−1x1x 2+=(+−2=9+2=11x 21x 22x 1x 2)2x 1x 2(2)f(x)=(−ax −2)>−3x 2e x e 2x −ax −2>−3x 2e x a <(x >0)+3−2x 2e x x g(x)=+3−2x 2e x x (x)==g ′(2x +3)⋅x −(+3−2)e x x 2e x x 2+3(x −1)+2x 2e x x 2h(x)=+3(x −1)+2x 2e x (x)=2x +3+3(x −1)=2x +3x >0h ′e x e x e x h(x)=+3(x −1)+2x 2e x (0,+∞)x →0h(x)→−1h()=0x 0∈(0,1)x0x ∈(0,)x 0(x)<0g ′g(x =g()<g(1))min x 0g(1)=3e −1g()<g(1)<x 0474a <g()<g(1)x 03e −1<474a <3e −1<474a <474【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由，∴，∵在 处的切线与垂直，∴，,解得，，∴，∴，∵的极值点为，，则，又，∴，是的两个根，∴，，∴；证明：∵，∴，∴，令,则，令，则恒成立，∴在 上单调递增，当时，，∴存在 ，，当时，，∴，其中，，即，∵，∴，∴.(1)f(x)=(−ax −2)x 2e x (x)=[−(a −2)x −2−a]f ′e x x 2y =f(x)x =0y =x =−1k ′(0)=−2−a =−1f ′a =−1f(x)=(+x −2)x 2e x (x)=(+3x −1)f ′e x x 2f(x)x1x 2()=()=0f ′x 1f ′x 2>0e x x 1x 2+3x −1=0x 2+=−3x1x 2=−1x 1x 2+=(+−2=9+2=11x 21x 22x 1x 2)2x 1x 2(2)f(x)=(−ax −2)>−3x 2e x e 2x −ax −2>−3x 2e x a <(x >0)+3−2x 2e x x g(x)=+3−2x 2e x x (x)==g ′(2x +3)⋅x −(+3−2)e x x 2e x x 2+3(x −1)+2x 2e xx 2h(x)=+3(x −1)+2x 2e x (x)=2x +3+3(x −1)=2x +3x >0h ′e x e x e x h(x)=+3(x −1)+2x 2e x (0,+∞)x →0h(x)→−1h()=0x 0∈(0,1)x 0x ∈(0,)x 0(x)<0g ′g(x =g()<g(1))min x 0g(1)=3e −1g()<g(1)<x 0474a <g()<g(1)x 03e −1<474a <3e −1<474a <474解：∵是，的等差中项，∴，即 ，又，即，∴(舍去)或，∴，∴．由知，∴，∴，，∴两式相减得，，即．【考点】等比数列的通项公式等差中项数列的求和等比数列的前n 项和【解析】根据条件，建立方程组即可求出数列的通项公式；利用错位相减法求出数列的前项和【解答】解：∵是，的等差中项，∴，即 ，又，即，∴(舍去)或，∴，∴．由知，∴，∴，，∴两式相减得，，即．(1)+2a 3a 2a 42(+2)=+a 3a 2a 4q +−2=4a 1a 1q 3a 1q 2++=28a 2a 3a 4q ++=28a 1a 1q 2a 1q 3q =12q =2=2a 1=a n 2n (2)(1)=a n 2n =⋅=n ⋅b n a n log 2a n 2n =1×2+2×+⋅⋅⋅+n ×S n 222n 2=+2×+⋅⋅⋅+(n −1)×+n ×S n 22232n 2n+1−=2+++⋅⋅⋅+−n ×S n 22232n 2n+1=(1−n)⋅−22n+1=2+(n −1)⋅S n 2n+1(1){}a n (2)n S n(1)+2a 3a 2a 42(+2)=+a 3a 2a 4q +−2=4a 1a 1q 3a 1q 2++=28a 2a 3a 4q ++=28a 1a 1q 2a 1q 3q =12q =2=2a 1=a n 2n (2)(1)=a n 2n =⋅=n ⋅b n a n log 2a n 2n =1×2+2×+⋅⋅⋅+n ×S n 222n 2=+2×+⋅⋅⋅+(n −1)×+n ×S n 22232n 2n+1−=2+++⋅⋅⋅+−n ×S n 22232n 2n+1=(1−n)⋅−22n+1=2+(n −1)⋅S n 2n+1解：依题意，，故当时，，当时， ,故，而,因为，故,故函数在 上的最大值为，最小值为.证明：令，得,令 ,对任意实数 恒成立，所以，即.则，令，所以.因为,所以,所以时，时，，所以在上有最小值，所以，因为，所以，所以所以，即时，对任意，所以，故当时，函数无零点【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，，故当时，，当时， ,故，(1)(x)=2x +=x(x +2)f ′e x x 2e x e x x ∈[−5,−2)(x)>0f ′x ∈(−2,−1](x)<0f ′f(x =f(−2)=)max 4e 2f(−5)=，f(−1)=25e 51e <25e 51e f(x =)min 25e 5f(x)[−5,−1]4e 225e 5(2)g(x)=−a ln x =0x 2e x x +1−a(x +1)ln x =0x 2e x m(x)=−(x +1)e x x >0,(x)=−1>0m ′e x m(x)=−(x +1)>m(0)=0e x >x +1>0e x −a(x +1)ln x >(x +1)−a(x +1)ln x =(x +1)(−a ln x)x 2e x x 2x 2h(x)=−a ln x x 2(x)=(−a ln x =2x −=h ′x 2)′a x 2−a x 2x 0<a <2e (x)=h ′2(x +)(x −)a 2−−√a 2−−√x x ∈(0,)a 2−−√(x)<0,x ∈(,+∞)h ′a 2−−√(x)>0h ′h(x)=−a ln x x 2(0,+∞)h()=−a ln =(1−ln )a 2−−√a 2a 2−−√a 2a 20<<e a 2ln <1a 21−ln >0,a 2(1−ln )>0a 2a 20<a <2e x >0,h(x)=−a ln x >0x 2−a(x +1)ln x >0x 2e x a ∈(0,2e)g(x).(1)(x)=2x +=x(x +2)f ′e x x 2e x e x x ∈[−5,−2)(x)>0f ′x ∈(−2,−1](x)<0f ′f(x =f(−2)=)max 4e 2(−5)=，f(−1)=251而,因为，故,故函数在 上的最大值为，最小值为.证明：令，得,令 ,对任意实数 恒成立，所以，即.则，令，所以.因为,所以,所以时，时，，所以在上有最小值，所以，因为，所以，所以所以，即时，对任意，所以，故当时，函数无零点e f(−5)=，f(−1)=25e 51e <25e 51e f(x =)min 25e 5f(x)[−5,−1]4e 225e 5(2)g(x)=−a ln x =0x 2e x x +1−a(x +1)ln x =0x 2e x m(x)=−(x +1)e x x >0,(x)=−1>0m ′e x m(x)=−(x +1)>m(0)=0e x >x +1>0e x −a(x +1)ln x >(x +1)−a(x +1)ln x =(x +1)(−a ln x)x 2e x x 2x 2h(x)=−a ln x x 2(x)=(−a ln x =2x −=h ′x 2)′a x 2−ax 2x0<a <2e (x)=h ′2(x +)(x −)a 2−−√a 2−−√xx ∈(0,)a 2−−√(x)<0,x ∈(,+∞)h ′a 2−−√(x)>0h ′h(x)=−a ln x x 2(0,+∞)h()=−a ln =(1−ln )a 2−−√a 2a 2−−√a 2a 20<<e a 2ln <1a 21−ln >0,a 2(1−ln )>0a 2a 20<a<2e x >0,h(x)=−a ln x >0x 2−a(x +1)ln x >0x 2e x a ∈(0,2e)g(x).。
高三下册期中数学试卷.doc
高三下册期中数学试卷A．甲只能承担第四项工作B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．函数的定义域为＿＿＿10．已知数列的前n项和为，且，则＝_______．11．已知l 为双曲线C：的一条渐近线，其倾斜角为，且C 的右焦点为（2,0），点C的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______．12．在这三个数中，最小的数是_______．13．已知函数，若，则函数的单调增区间为＿＿14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M＝，均满足，使得直线，则k的所有可能取值是＿＿＿三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分）在△ABC 中，∠C＝，．（Ⅰ）若c＝14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3 ，求c的值．16．（本小题满分13 分）已知数列是等比数列，其前n项和为，满足，。
（I）求数列的通项公式；（II）是否存在正整数n，使得＞2016？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由。
17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，点M ，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N ∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB＝3，PA＝4时，求点A到直线MN距离的最小值。
18．（本小题满分13 分）一所学校计划举办“国学”系列讲座。
由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示。
（I）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（II）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（III）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率。
高三数学下期中试题(含答案)(3)
高三数学下期中试题(含答案)(3)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数3．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭5．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117 D ．1166．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A．2BC ．5D ．927．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102008．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-9．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．810．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．511．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．512．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．137二、填空题13．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 14．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．15．已知函数()2xf x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.16．若正项数列{}n a 满足11n n a a +-<,则称数列{}n a 为D 型数列,以下4个正项数列{}n a 满足的递推关系分别为:①2211n naa +-=②1111n na a +-= ③121n n n a a a +=+ ④2121n n a a +-=，则D 型数列{}n a 的序号为_______.17．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．18．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．19．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．20．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.三、解答题21．已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和.22．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin 2sin a A b B c C a B +=+()1求角C ； ()2求3sin cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值．23．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r，7BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．24．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．25．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos a C c A a +=． （1）求证：A B =； （2）若6A π=，ABC V，求ABC V 的周长．26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.2．A解析：A 【解析】 【分析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .【详解】解:∵2n S n =,∴当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()()1121nnn n b a n =-=--,∴()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,∴()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∴()1nn T n =-,∴数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.3．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x =-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.4．C解析：C 【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由4221m m ≤-1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.5．A解析：A【解析】依题意，113713113713132412226132a aa Sb bb T+⋅===+⋅.6．C解析：C【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.7．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.8．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．9．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8．故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．10．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
西城区高三数学期中试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0,2]上的最大值为4，则f(x)在区间[0,2]上的零点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 50，S10 = 150，则数列{an}的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 在极坐标系中，点P(3,π/6)关于直线x=π/3的对称点Q的坐标为（）A. (3,5π/6)B. (3,π/6)C. (6,π/6)D. (6,5π/6)4. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 一条直线B. 一个圆C. 两个圆D. 两个点5. 已知函数f(x) = log2(x+1)在区间[-1,3]上单调递增，则函数f(x)的图像在区间（）A. (-1,0)上单调递减B. (0,1)上单调递增C. (1,3)上单调递减D. (-1,3)上单调递增6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S3 = 6，S5 = 15，则数列{an}的通项公式an为（）A. an = 3n - 2B. an = 2n - 1C. an = n^2 - nD. an = n7. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 3，则f(x)的图像关于点（）A. (1,2)B. (1,3)C. (0,2)D. (0,3)8. 若不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为A，则不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集为（）A. A的补集B. A的子集C. A的真子集D. A的并集9. 在三角形ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2 + b^2 - c^2 = 2ab，则三角形ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 梯形10. 已知函数f(x) = e^x - x，则f(x)的极值点为（）A. x=0B. x=1C. x=eD. x=e^2二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 5在区间[-1,3]上的最大值为5，则f(x)在该区间上的最小值为______。
高三数学下学期期中试题含解析试题
静海一中2021届高三数学下学期期中试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：〔每一小题5分，一共45分，每一小题只有一个正确选项.〕 1.2{*|30}A x N x x =∈-+，12{|log 0}B x x =，那么AB =( )A. [3，)+∞B. [0，1]C. [1，3]D. {1，2，3}【答案】D2.设{}n a 是首项大于零的等比数列，那么“2212a a <〞是“数列{}n a 为递增数列〞的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B3.我国古代典籍?周易?用“卦〞描绘万物的变化.每一“重卦〞由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“〞和阴爻“〞，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，那么该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A4.函数()()cos xxf x e e x -=-⋅在[2-，2]上的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】C5.函数22,0()1,02x x x f x x x ⎧--⎪=⎨-+<⎪⎩，113212111(()),(log ),(())233a f b c f ===，那么a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a b c <<B. c a b <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】C6.直线240ax by ++=与圆224210x y x y ++++=截得的弦长为4，那么22a b +的最小值是( ) A. 3B. 22D. 1【答案】B7.关于函数()sin cos ||f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的周期为2π；②()f x 在5[0,]4π上单调递增；③函数()1y f x =-在[π-，]π上有3个零点；④函数()f x 的最小值为.其中所有正确结论的编号为( ) A. ①④ B. ②③C. ①③④D. ②④【答案】A8.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作C 的一条渐近线l 的垂线，垂足为M ，假设△12MF F 的面积为24a ，那么C 的渐近线方程为( )A. y x =±B. y =C. 2y x =±D.4y x =±【答案】D9.函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，那么实数k 的取值范围是( ) A. 1(,1)2B. 1(2，2)C. (1,2)-D. (1,3)-【答案】C二、填空题〔每一小题5分，一共25分〕 10.假设4212iz i i--=+，那么复数z 的虚部为__. 【答案】1-11.二项式12(2x ，那么该展开式中的常数项是__.【答案】12.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰三角形，其中2AB BC ==，120ABC ∠=︒，4PA =，那么三棱锥P ABC -的外接球的外表积为__.【答案】32π13.a ，b 均为正数，且1a b +=，那么当a =__时，代数式2212a ab+-的最小值为__. 【答案】 (1). (2).14.在ABC ∆中，3AB =，2AC =，120BAC ∠=︒，D 为边BC 的中点.假设BE AD ⊥，垂足为E ，那么BE AC ⋅的值是__. 【答案】三、解答题〔一共50分〕15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-.〔1〕求sin B 的值； 〔2〕求cos(2)6A π+的值.【答案】〔1；〔2〕16. 【解析】 【详解】〔1〕由1cos 4A =-，∴可得sin A8a =，2b c -=，1cos 4A =-，∴由22642cos 2b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，∴由sin sin b a B A=，可得：sin B =.〔2〕27cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==∴71cos(2)cos2cos sin 2sin ()(66682A A A πππ+=-=--⨯=16.某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A 到过疫区. 〔1〕假如B 、C 、D 受到A 感染的概率分别为12，那么B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？〔2〕假设B 肯定受A 感染，对于C ，因为难以判断他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12，同样也假设D 受A 、B 和C 感染的概率都是13，在这种假定之下，B 、C 、D 中直承受A 感染的人数X 为一个随机变量，求随机变量X 的分布列和均值〔数学期望〕.【答案】〔1〕38；〔2〕分布列见解析，116.【解析】【详解】〔1〕B 、C 、D 三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是1123113()()228P C =⋅⋅=.〔2〕B 一定被感染，∴主要考虑C 和D 的感染情况，∴随机变量X 的可能取值为1，2，3，111(1)(1)(1)233P X ==-⨯-=，11111(2)(1)(1)23232P X ==⨯-+-⨯=，111(3)236P X ==⨯=， X ∴的分布列为∴数学期望11111()1233266E X =⨯+⨯+⨯=. 17.如下图，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥平面ABCD .〔1〕求证：//DF 平面ABE ； 〔2〕求二面角B EF D --的正弦值；〔3〕在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为66，假设存在，求出线段BP 的长，假设不存在，请说明理由. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕23；〔3〕存在，23或者2. 【解析】【详解】〔1〕证明：四边形EDCF 为矩形，DE CD ∴⊥，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF⋂平面ABCD CD =，ED ∴⊥平面ABCD .取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，那么(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(0E ，0，2)，(1F -，2，2)， 设平面ABE 的法向量(m x =，y ，)z ， (1BE =-，2-，2)，(0AB =，2，0)，由22020m BE x y z m AB y ⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩，取1z =，得(2m =，0，1)， 又(1DF =-，2，2)，∴0DF m =，∴DF m ⊥， 又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；〔2〕(0D ，0，0)，(0DE =，0，2)，(1DF =-，2，2)，(1BE =-，2-，2)，(2BF =-，0，2)，设平面BEF 的法向量(n a =，b ，)c ，那么220220n BE a b c n BF a c ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩，取1a =，得(1n =，12，1)， 设平面DEF 的法向量(p m =，n ，)t ，那么20220p DE t p DF m n t ⎧⋅==⎨⋅=-++=⎩，取1n =，得(2p =，1，0)，设二面角B EF D --的平面角为θ，那么5||52cos ||||954n p n p θ⋅===⋅ ∴二面角B EF D --的正弦值252sin 1()33θ=-.〔3〕假设在线段BE 上存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 6 设1(P x ，1y ，1)z ，BP BE λ=，那么1(1x -，12y -，1)(1z λ=-，2-，2)， 解得11x λ=-，122y λ=-，12z λ=，(1P λ∴-，22λ-，2)λ， 平面BEF 的法向量(1n =，12，1)，(AP λ=-，22λ-，2)λ， 直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为66∴222||166||||9()(22)(2)4n AP n AP λλλ⋅==⋅⋅-+-+，解得29λ=或者23λ=， 3BE =，23BP ∴=或者2BP =.18.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(c,0)F ，右顶点为A ，点P 是椭圆上异于点A的任意一点，APF ∆的面积的最大值为236b .〔1〕求椭圆C 的离心率； 〔2〕设经过点F 且斜率为34-的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为Q ，圆B 同时与x 轴和直线l 相切，圆心B 在直线4x =-上，且//OB AQ ，求椭圆C 的方程.【答案】〔1〕12；〔2〕2211612x y +=【解析】【详解】〔1〕当点P 位于椭圆的上或者下顶点时，APF ∆的面积最大， 此时有213()26APFb S b ac ∆=-=，即3()b a c =-，222b a c =-，2223()a c a c ∴-=-，得2a c =或者a c =〔舍)，∴离心率12c e a ==. 故椭圆C 的离心率为12. 〔2〕由题可知，直线l 的方程为3()4y x c =--，椭圆的方程为2222143x y c c+=，联立22223()4143y x c x y c c ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2276130x cx c --=，解得x c =-或者137c ， 当x c =-时，32y c =；当137x c =时，9014cy =-<，∴点Q 的坐标为3(,)2c c -.点B 在直线4x =-上，∴可设点B 为(4,)m -， 又//OB AQ ，(,0)A a ，OBAQ k k ∴=即33122422c c m c a c c -===-----，2m ∴=，点(4,2)B -. 圆B 同时与x 轴和直线l 相切，2d ∴=3|(4)2|2c ----=，解得24c =， 故椭圆C 的方程为2211612x y +=.19.数列{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是单调递增的等比数列，且235a a a +=，4124a b b =-，335b a a =+.〔1〕求{}n a 和{}n b 的通项公式； 〔2〕设2222(1)(1)nn n n b c b b +=--，数列{}n c 的前n 项和n S ，求n S ；〔3〕假设数列1{}n nna b a +的前n 项积为n T ，求n T . 〔4〕数列{}n d 满足11d =，11,22,2k k n kkn d b n +⎧<<=⎨=⎩，其中*k N ∈，*n N ∈，求21ni i i a d =∑. 〔5〕解决数列问题时，经常需要先研究生疏的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面〔2〕〔3〕〔4〕问题的解决，你认为研究生疏数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个.【答案】〔1〕n a n =，2n n b =；〔2〕22111(3321n +--；〔3〕(1)2(1)2n n n ++；〔4〕113242623n n ⋅-⋅+；〔5〕见解析.【解析】【详解】〔1〕235a a a +=，那么11234a a +=+，解得11a =，故n a n =，4124a b b =-，即1144b q b =-，335218b b q a a =+==，解得2q 或者4q =-〔舍去〕，12b =，故2n n b =.〔2〕222222222222111()(1)(1)(21)(21)32121n n nn n n n n n b c b b +++===------- 故222221*********()()3315156321213321n nn n S ++=-+-+⋯+-=----. 〔3〕1(1)2nn n n a b n a n++=， 故(1)22231222(1)212n n nn n T n n++=⨯⨯⨯⨯⋯⨯⨯=+；〔4〕222111111(12)21412(21)2424221412n n nn n n nnnniiiii i i i i i i i a d i i ======+--=+-=+-=+---∑∑∑∑∑∑， 即21113242623nn n i i i a d ==⋅-⋅+∑. 〔5〕根据题意：〔2〕中应用了裂项相消求和法，裂项相消求和法是将数列分解为一个数列的前后项，方便计算；〔4〕中应用了分组求和法，分组求和法是将有规律的某一局部集中起来计算，易于计算.20.设函数21(),()xef x ax a lnxg x x e =--=-，其中a R ∈， 2.71828e =⋯为自然对数的底数.〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕当1x >时，证明：函数()g x 无零点；〔3〕确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立.〔4〕数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然生疏新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为假设干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题〔3〕中的条件“()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立〞变化为两种新形式〔不作解答〕.【答案】〔1〕当0a 时，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x在(0,2x a ∈上单调递减，)+∞上单调递增；〔2〕证明见解析；〔3〕12a ；〔4〕见解析.【解析】【详解】〔1〕2()f x ax a lnx =--，(0,)x ∈+∞.2121()2ax f x ax x x -'=-=. 当0a 时，()0f x '<，∴函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减.当0a >时，由()f x '=∴函数()f x在x ∈上单调递减，)+∞上单调递增. 综上可得：当0a 时，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在(0,)2x a∈上单调递减，，)+∞上单调递增. 〔2〕证明：当1x >时，要证明：函数()g x 无零点.即可证明：()0>g x ，即证明xe e x >. 令()xe h x x=，(1,)x ∈+∞. 2(1)()0x e x h x x -'=>， ∴函数()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增，()h x h ∴>〔1〕e =.∴当1x >时，()0>g x ，因此当1x >时，函数()g x 无零点.〔3〕解：()()f x g x >化为：2110x ax a lnx e x----+>. 令211()x u x ax a lnx e x-=---+，(1,)x ∈+∞.可得0a >.u 〔1〕0=，1122111()220x x x u x ax e ax e x x x---∴'=-+-=+-在(1,)x ∈+∞恒成立. 令121()2x x v x ax e x --=+-， 11233122()22x x x v x a e a e x x x ---'=+-+=++， 当2x 时，()0v x '>. 令32()x x x ϕ-=，426()x x x ϕ-+'=. 函数()x ϕ在[1，2)上单调递增.()v x ∴的最小值为v 〔1〕21a =-.10x e ->.12x ∴<<时，()0v x '>.综上可得：1x >时，()0v x '>.()v x 在(1,)x ∈+∞上单调递增.()u x u ∴'>'〔1〕0，即()u x 在(1,)x ∈+∞上单调递增.210a ∴-，解得12a. 〔4〕变化①：12a 时，证明()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立. 变化②：()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立，务实数a 的取值范围.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
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高三数学下册期中试卷A．甲只能承担第四项工作B．乙不能承担第二项工作C．丙可以不承担第三项工作D．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量，若，则t ＝_______．10．在等比数列中，a2＝2，且，则的值为_______．11．在三个数中，最小的数是_______．12．已知双曲线C：的一条渐近线l 的倾斜角为，且C 的一个焦点到l 的距离为，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数，对于实数t ，若存在a＞0，b ＞0 ，满足：，使得2，则记a＋b的值为H（t ）．（ⅰ）当＝2x时，H（0）＝_______．（ⅱ）当且t 时，函数H（t）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D在边AB上，且．记∠ACD＝，∠BCD＝．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，，根据样本数据，试估计与的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为，求随机变量的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，点M ，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ，A 四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA＝AB＝2，二面角C－AN －D的大小为时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x) ＝ln x＋－1，（Ⅰ）求函数f (x)的最小值；（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y＝x不是曲线y ＝g(x)的切线。
19．（本小题满分14 分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C 与y 轴交于A ，B 两点，且｜AB｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x＝4分别交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ，F ，求点P 横坐标的取值范围及｜EF｜的值．20．（本小题满分13 分）给定正整数n(n≥3)，集合．若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：①U n ＝A∪B∪C，且A∩B ＝B∩C ＝A∩C＝；②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；③集合A ，B ，C 中各元素之和分别记为SA ，SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ；则称集合Un为可分集合．（Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ，B ，C ；（Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则Un不是可分集合；（Ⅲ）若Un为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）2016.4阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案A D C A C B C B二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．10．三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．解：（Ⅰ）在中，由正弦定理,有…………………2分在中，由正弦定理,有…………………4分因为,所以…………………6分因为, 所以…………………7分（Ⅱ）因为，,由（Ⅰ）得…………………9分设,由余弦定理,…………………11分代入,得到,解得,所以. …………………13分16解: (I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数…………………2分则山下试验田株青蒿的青蒿素产量估算为g …………………3分（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差和，结果为.…………………6分（Ⅲ）依题意，随机变量可以取，…………………7分,,, …………………9分7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4p随机变量的分布列为…………………11分随机变量的期望.…………………13分17解:（Ⅰ）证明：在正方形中，, …………………1分因为平面，平面，所以. …………………2分因为，且，平面，所以平面…………………4分（Ⅱ）证明：因为平面，平面,所以…………………5分在中，，，所以. …………………6分在正方形中，, 所以，…………………7分所以可以确定一个平面，记为所以四个点在同一个平面内…………………8分（Ⅲ）因为平面，平面，所以, .又,如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系, …………………9分所以.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为,设, ，因为，所以，又，所以，即，…………………10分取, 得到, …………………11分因为，所以，即，取得, 到, …………………12分因为二面大小为, 所以,所以解得, 所以…………………14分18解: （Ⅰ）函数的定义域为，…………………1分…………………2分当变化时，，的变化情况如下表：极小值…………………4分函数在上的极小值为，所以的最小值为…………………5分（Ⅱ）解：函数的定义域为，…………………6分…………………7分由（Ⅰ）得，，所以…………………8分所以的单调增区间是，无单调减区间. …………………9分（Ⅲ）证明：假设直线是曲线的切线. ………………10分设切点为，则，即…………………11分又，则. …………………12分所以, 得，与矛盾所以假设不成立，直线不是曲线的切线…………………13分19解：（Ⅰ）由题意可得，，…………………1分，…………………2分得，…………………3分解，…………………4分椭圆的标准方程为. …………………5分（Ⅱ）设，，，所以，直线的方程为，…………………6分同理：直线的方程为，直线与直线的交点为，…………………7分直线与直线的交点为，线段的中点，…………………8分所以圆的方程为，…………………9分令，则，…………………10分因为，所以，…………………11分所以，因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以，解得. …………………12分设交点坐标，则（）所以该圆被轴截得的弦长为值为2. …………………14分方法二：（Ⅱ）设，，，所以，直线的方程为，…………………6分同理：直线的方程为，直线与直线的交点为，…………………7分直线与直线的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，…………………9分即即…………………10分因为，所以, …………………11分代入得到，解得. …………………12分该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被轴截得的弦长为值为2. …………………14分方法三：（Ⅱ）设，，，所以，直线的方程为，…………………6分同理：直线的方程为，直线与直线的交点为，…………………7分直线与直线的交点为，所以，…………………8分圆心到x轴的距离为，…………………9分若该圆与轴相交，则，…………………10分即，因为，所以, …………………11分所以，解得…………………12分该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被轴截得的弦长为值为2. …………………14分方法四：记, ，设由已知可得，所以的直线方程为，……………………….6分的直线方程为，令，分别可得，，……………………….8分所以若以为直径的圆与轴相交于，因为，所以，……………………….9分……………………….10分因为，所以, ……………………….11分代入得到所以，……………………….12分所以所以该圆被轴截得的弦长为值为2. …………………14分方法五：设直线与交于点因为轴，所以有所以，所以，所以是的中点. ……………………….6分又设, 所以直线方程为, ……………………….7分令,得, 所以……………………….8分而……………………….9分若以为直径的圆与轴相交于则……………………….10分所以因为，所以,代入得到……………………….11分所以，所以或因为点，所以……………………….12分而所以该圆被轴截得的弦长为值为2. …………………14分20解：（I）依照题意，可以取，，…………………3分（II）假设存在是的倍数且是可分集合.设，则依照题意，故，而这个数的和为，故, 矛盾，所以是3的倍数时，一定不是可分集合…………………7分(Ⅲ) 35. …………………8分因为所有元素和为，又中元素是偶数，所以= ( 为正整数) 所以，因为为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数由（Ⅱ）知道，不是3的倍数，所以一定有是的倍数.当为奇数时，为偶数，而，所以一定有既是的倍数，又是的倍数，所以,所以. …………………10分定义集合，即集合由集合中所有不是3的倍数的奇数组成，定义集合，即集合由集合中所有不是3的倍数的偶数组成，根据集合的性质知道，集合，此时集合中的元素之和都是，而，此时中所有的倍数的和为，,显然必须从集合中各取出一些元素，这些元素的和都是，所以从集合中必须取偶数个元素放到集合中，所以,所以，此时而令集合，集合，集合，检验可知，此时是可分集合, 所以的最小值为. …………………13分。