高中数学必修2导与练(瞻前顾后+要点突出+典例精析+演练广场)2.1.1 平面

知识要点一：平面概念的理解 1． 与以前学习的“点”、“线”、“集合”的概念一样，平面是一个只描述而不加定 义的概念； 2．平面是无厚薄、无大小的．无数个平面重叠在一起仍然是一个平面，平面无所谓面 积； 3．平面是无限延展的，所以它是没有边界的，一个平面将空间分成两部分． 知识要点二：平面的画法 立体几何中，我们通常画平行四边形来表示平面，但应注意：(1)画的平行四边形表示的 是整个平面，需要时，可以将它延展．(2)加“通常”两字的意思是因为有时根据需要也可用 其他封闭的平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面．(3)画表示竖直平 面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线．(4)当一个平面的一部分被另一个平面 遮住时应把被遮部分画成虚线或不画．
2．关于公理 2 (1)对公理 2 的剖析：公理 2 的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有 一个平面”，“三点”是条件的主体，不会被忽视，但“不在一条直线上”这一附加条件易 被遗忘，同时还应认识到，经过一点、两点或在一条直线上的三点可有无数个平面；过不在 一条直线上的四点，不一定有平面，因此要充分认识“不在一条直线上的三点”这一条件的 重要性， 公理 2 中的“有且只有一个”的含义要准确理解， 这里的“有”是说图形存在， “只 有一个”是说图形惟一，本公理强调的是存在和惟一两个方面，因此“有且只有一个”必须 完整地使用． (2)公理 2 的作用：确定平面，且可用其证明点、线共面问题．不共线的三点确定的平面 记作平面 ABC. (3)由公理 2 可得到三个推论： 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 主要利用它们证明点、线共面．
3．如图，平面 α∩平面 β＝l， A、 B∈ α， C∈ β， C∉ l， AB∩ l＝ D， A、 B、 C 三点确定 的平面为 γ，则平面 β 与 γ 的交线必过 ( D ) (A)点 A (B)点 B (C)点 C，但不过点 D (D)点 C 和点 D
解析：由 AB∩ l＝ D， l⊂ β， AB⊂γ 得 D∈ β， D∈γ， 又 C∈ β， C∈ γ.故选 D.
知识要点三：集合符号在立体几何中的应用 以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．例如：点 A 在平面 α 内，记作 A∈ α； 点 A 不在平面 α 内，记作 A∉α；直线 l 在平面 α 内，记作 l⊂ α；直线 l 不在平面 α 内，记作 l⊄ α，这里点 A 是平面 α 的元素，而直线 l 是平面 α 的子集，因此在符号的使用上是有区别 的． 知识要点四：平面的基本性质 平面的基本性质，即教材中的三个公理，它们是研究立体图形的基础，必须牢固掌握． 1．关于公理 1 (1)对公理 1 的剖析：公理 1 的内容反映了直线与平面的位置关系，公理 1 的条件是“线 上两点在平面内”，结论是“这条直线在平面内”，从集合的角度看，这个公理就是说，如 果一条直线 (点集 )中有两个点 (元素 )属于一个平面 (点集)，那么这条直线就是这个平面的真子 集，这个结论阐述了两个意思，一是整条直线在平面内，二是直线上所有点在平面内． (2)公理 1 的作用： 既可判断直线是否在平面内， 点是否在平面内， 又可用直线检验平面．
2．点、直线、平面之间的位置关系及语言表达 文字语言表达 图形 点 A 在直线 l 上 点 A 在直线 l 外 点 A 在平面 α 内 点 A 在平面 α 外 直线 l 在平面 α 内 直线 l 在平面 α 外 平面 α，β 相交于 l
符号语言表达 A∈ l A∉ l A∈ α A∉ α l⊂ α l⊄ α α∩ β＝ l
3．平面的基本性质 公理 公理 1 内容 如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这 条直线在此平面内 过不在一条直线上的三 点，有且只有一个平面 如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点 的公共直线 图形 符号语 言表达 A∈ l， B∈l，且 A∈ α， B∈ α⇒ l⊂ α A， B，C 三点不共线⇒ 存在惟一的平面 α 使 A， B， C∈α
公理 2
公理 3Βιβλιοθήκη P∈ α， 且 P∈ β⇒ α∩ β＝ l，且 P∈ l
做一做： 1．下列命题正确的是( C ) (A)画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm (B)一个平面的面积可以是 160000 m2 (C)平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分 (D)10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚
解析：平面是只描述而不定义的概念，它没有厚度，无限延展，没有边界，是不可度量 的．即 A、 B、 D 都是错误的．故选 C.
2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是 ( C ) (A)0 (B)1 (C)1 或 4 (D)无法确定
解析：空间不共线四点可以确定的平面个数可以是 1 或 4，它取决于四个点的相互位置 关系．故选 C.
想一想： 1．平面的概念 平面是最基本的不加定义的几何概念，平面无厚薄、无大小，是无限延展的，常常把平 面画成一个平行四边形，常把希腊字母 α、 β、γ 等写在代表平面的平行四边形的一个角上， 也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个 平面的名称．如平面 ABCD 或平面 AC. 当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45° ，横边画成邻边的 2 倍长．今后 一般用 A、 B、 C、…表示点，用 a、 b、 c、…表示直线，用 α、 β、γ 等表示平面．
4．用符号语言表示下列语句： (1)点 A 在面 α 内但在面 β 外， ________. (2)直线 a 经过面 α 内一点 A， α 外一点 B， ________. (3)直线 a 在面 α 内也在面 β 内， ________.
答案： (1)A∈ α， A∉ β (2)A∈ α， B∉ α， A∈ a， B∈ a (3)α∩ β＝ a