高二数学最新教案-8.1椭圆及其标准方程3 精品

课 题：8．1椭圆及其标准方程（三）

教学目的：

1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系

2.使学生掌握转移法（也称代换法，中间变量法，相关点法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决

教学重点：运用中间变量法求动点的轨迹 教学难点：运用中间变量法求动点的轨迹 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入： 1 椭圆定义：

平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较

扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→

椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率念作铺垫)

2.椭圆标准方程：

（1）122

22=+b

y a x

它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是

)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中

22b c a +=

（2）122

22=+b

x a y 它所表示的椭圆的焦点在y 轴上，焦点是

),0(),,0(21c F c F -,中心在坐标原点的椭圆方程其

中22b c a +=

在12222=+b y a x 与122

22=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(12

2n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如122

22=+b y a x 中，由于

b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的

大小)

二、讲解范例：

例1 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P

向x 轴作垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹（若M 分 PP ˊ之比为2

1

，求点M 的轨迹） 解：（1）当M 是线段PP ˊ的中点时，设动点M 的坐标为

),(y x ，则P 的坐标为2,(y x

因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

所以有 4)2(2

2

=+y x ，即 14

22

=+y x 所以点M 的轨迹是椭圆，方程是14

22

=+y x （2）当M 分 PP ˊ之比为

2

1时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)

3

,(y x

因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

所以有 4)23(22

=+y x ，即

116

942

2=+y x

所以点M 的轨迹是椭圆，方程是116

942

2=+y x 例2 已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆14

22

=+y x 上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程

解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为2,12(y x -

因为点Q 为椭圆

14

22

=+y x

上的点， 所以有

1)2(4

)

12(22

=+-y x ，即14)21(22=+-y x

所以点M 的轨迹方程是14)2

1

(2

2=+-y x

例3 长度为2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 分AB 的比为

3

2

，求点M 的轨迹方程 解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为0,35(x B 的坐标为)2

5

,

0(y 因为2||=AB ，

所以有 4)25(

)3

5

(22

=+y x ，即44

2592522=+y x 所以点M 的轨迹方程是44

259252

2=+y x 例4 已知定圆05562

=--+x y x ，动圆M 和已

知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程

分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符

号表示此结论：MP MQ -=8 上式可以变形为8=+MP MQ ，又因为

86<=PQ ，所以圆心M 的轨迹是以P ，Q 为焦

点的椭圆

解 已知圆可化为：()64322

=+-y x

圆心Q(3，0)，8=r ，所以P 在定圆内 设动圆圆心为),(y x M ，则MP 为半

径 又圆M 和圆Q 内切，所以MP MQ -=8，

即 8=+MP MQ ，故M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆，且PQ 中点为原点，

所以82=a ，72

=b ，故动圆圆心M 的轨迹方程是：

7

162

2=+y x 三、课堂练习：

（1）已知椭圆

116

252

2=+y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是 （

A.2

B.3

C.5

D.7

答案：D

（2）已知椭圆方程为

1

11

202

2=+y x ,那么它的焦距是 （

A.6

B.3

C.331

D.31 答案：A

（3）如果方程22

2

=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是

A.（0，+∞）

B.(0,2)

C.(1,+∞)

D.(0,1) 答案：D

(4)已知椭圆的两个焦点坐标是F 1（-2，0），F 2（2，0），并且经过点P （

2

3

,25-），则椭圆标准方程是_____

答案：

6

102

2=+y x （5）过点A （-1，-2）且与椭圆1962

2=+y x 的两个焦点相同的椭圆标准方程是____ 答案：16

32

2=+y x