5.2不等式和绝对值不等式(四)课件(人教A版选修4-5)

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5.2不等式和绝对值不等式(一)课件(人教A版选修4-5)

的最小值.
1 x 2
2
≥2
上面解法错在哪?
均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),但特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.
四：三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得
abc 3 定理 3：如果 a、b、c R ，那么 ≥ abc ， 3 当且仅当 a b c 时，等号成立.
解:设AM=y米
200 - x 2 因而 4 xy x 2 200 y 4x
D
A
Q
P
C
B M N
于是S 4200x2 210 4xy 80 2 y2 0 x 10 2
E
F
课堂练习: 1.判断下列命题是否正确: (1) a b, c b a c ( ×) (2) a b c a c b ( ) √ (3) a b ac 2 bc 2 ( × (4) a b, c d ac bd × ) ) ( a b √ (5) 2 2 a b ( ) (6) a 2 b 2 a b × ) ( c c √ (7) a b a 2 b 2 × ) ( (8) a b a 2 b 2 ( )
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2 x) 的最大值. 2 2 x2 ( x 3) 的最小值. ⑵求函数 y x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2 解: ⑵∵ x 3 ,∴ x 3 0 2 x2 2( x 2 9) 18 18 2x 6 ∴y x 3 x 3 x 3 18 = 2( x 3) 12 ≥24 x 3 18 当且仅当 2( x 3) 即 x 6 时取等号. x 3 2 x2 ( x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. ∴函数 y x 3

高中数学《不等式和绝对值不等式》课件2 新人教A版选修4-5

问题求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大. 解：设长方体的三边长度分别为x、y、z,则长方体的体积为而 S 2 xy 2 xz 2 yz
v xyz
x z y
略
例2: 如图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？
2答案 3答案
基础练习: 2．设 A=1+2x ，B=2x +x ，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
提示:比较大小,最简单、最有效的方法是作差→变形→定符号. 变形方法有二种: 一、是分解因式；二是配方.
4 3 2
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)= (2x4 2x3 ) (1 x2 ) = 2x3 ( x 1) (1 x)(1 x) = ( x 1)(2x3 x 1) = ( x 1)( x 1)(2x2 2x 1) 1 2 1 2 = ( x 1) 2( x ) 0 2 2 ∴A>B
基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a + b ≥ 2ab，当且仅当a = b时等号成立。
2 2
几何解释
b
a b a b
算术平均数不小于几何平均数
当 a、b 为正数时,
ab ≥ ab 则 2
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
算术平均数 (a 、b 的)
几何平均数
(a
、b 的)
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
2 则 3b 2a 的最大值是____.5 2.已知 x 0 ， y 0 ，且 x 2 y 1 ， 1 1 3 2 2 u 的最小值是______________。则 x y x2 8 ( x 1) 的最小值为______. 3.函数 y x 1 4. 现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为 R，并联后等效电阻值为 r，若 R k r ,则实数 k 的取值范围是_____.

5.2不等式和绝对值不等式(二)课件(人教A版选修4-5)

a
ab
b
由这个图，你还能发现什么结论？
推论练习
定理（绝对值三角形不等式）如果 a , b 是实数，则 a b ≤ a b ≤ a b 注：当 a、 b 为复数或向量时结论也成立.
我们还可讨论涉及多个实数的绝对值不等式的问题：
推论 1（运用数学归纳法可得）：
a1 a2 an ≤ a1 a2 an .
可以看到,几何背景在问题解决中有其独特的魅力。
这节课我们来研究:绝对值有什么性质? 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义: a ( a 0) ⑴ a 0 (a 0) ;（定义） a (a 0) |a| a x 0 ⑵ a 的几何意义: O A
表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
关于绝对值还有什么性质呢?
a a2 ①
a a ② ab a b , ,……(从运算的角度来看绝 b b
对值的特点,你发现了什么?)
思考:用恰当的方法在数轴上把 a , b , a b 表示出来，你能发现它们之间的什么关系?
注：绝对值的几何意义: ⑴ a 表示数轴上的数 A 对应的点与原点 O 的距离 OA ; ⑵ a b 表示数轴上的数 A 对应的点与数 b 对应的点 B 的距离.如图: 即 a = OA ， a b AB
证明:对于 a 2 ຫໍສະໝຸດ b2 ，可想到直角三角形的斜边，这时可构造出图形：以 a+b+c 为边长画一个正方形，如图
2 2 2 2 则 AP1 a b , P1 P2 b c ,
P2 B c 2 a 2 ， AB 2(a b c) .
显然 AP1 P1 P2 P2 B ≥ AB ，即 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 ≥ 2 (a b c ) .

第一讲不等式和绝对值不等式知识归纳课件(人教A选修4-5)

(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
⇔4－x－(2－x)≥|x＋a| ⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
1 5．(2012· 江苏高考)已知实数 x，y 满足：|x＋y|＜，|2x 3 1 5 －y|＜，求证：|y|＜ . 6 18
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b，求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
真题体验
1．(2012· 湖南高考)不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为 ________．
解析：原不等式即|2x＋1|＞2|x－1|，两端平方后解得 1 12x＞3，即 x＞ . 4 1 答案：{x|x> } 4
2．(2011· 江西高考)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋

5.2绝对值三角不等式A 课件(人教A版选修4-5)

ac ab bc
a b b c 0 当且仅当________________时，等号成立。
2、如果a, b是实数，你能比较 a b 与 a b 的大小吗？并说明理由。
a b ab
ab 0 且 a b 当且仅当__________________ 时，等号成立。
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km 处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？
分析：如果生活区建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,那么 S x 2 x 1 0 x 2 0 于是，上面的问题就化归为数学问题：当x取何值时，函数 S x 2 x 1 0 x 2 0
[系列4 ]
绝对值三角不等式
y
a b
O
a
b
x
创设情境
在数轴上，你能指出实数a的绝对值 a 的几何意义吗？
a
0 a
A x
它表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离那么， a b 的几何意义呢？数轴上A,B两点之间的距离
B b
ab
B -b
A
a
ab
O
x
探究
设a, b为实数，你能比较 a b 与 a b 之间的大小关系吗？
当ab>0时， a b a b
当ab<0时， a b a b 当ab=0时， a b a b 你能将上述情况综合起来吗？

5.2不等式和绝对值不等式(一)课件(人教A版选修4-5)

3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2x) 的最大值. 2 2 x2 ⑵求函数 y ( x 3) 的最小值. x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. x2 2
解: ⑶∵ y
2
x2 3 x2 2

x2 2 1 x2 2
x 2
思考 2.已知 a 0, b 0, a b 时,
2ab ab 求证: ab
证明不等式的最基本的思考是分析法——很多时候就是对要证的不等式进行变形转化。
不等式的基本性质基本不等式
不等式的性质 ⑴(对称性或反身性) a b b a ; ⑵(传递性) a b，b c a c ; ⑶(可加性) a b a c b c ,此法则又称为移项法则; (同向可相加) a b，c d a c b d ⑷(可乘性) a b，c 0 ac bc； a b，c 0 ac bc . (正数同向可相乘) a b 0，c d 0 ac bd ⑸(乘方法则) a b （n N） a n bn 0 0 ⑹(开方法则) a b （n N , n ≥ 2） n a n b 0 0 1 1 ⑺(倒数法则) a b，ab 0 a b 掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的对应关系，是“ ”符号还是“ ”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。
第一讲不等式和绝对值不等式(一)
对于不等式大家并不陌生，我们已经会解一些简单的不等式和证明一些不等式，如 1.求解下列不等式： x2 2 ① x 3 x 10 0 ② >0 x5 3 2 2.设 n 1 ,且 n 1, 求证: n 1 > n n .

5.2.1绝对值不等式的解法课件(人教A版选修4-5)(2)

5x-6 ≥ 0 5x-6<0
(Ⅰ)或 (Ⅱ)
分析：对绝对值里面的代数式符号讨论
解原式可化为
-(5x-6)<6-x 5x-6<6-x 解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5 取它们的并集得：（0，2）
变1 解不等式 | 5x-6 | < 6 – x 分析利用|x|<a 另解：原不等式转化为 -(6-x)<5x-6<(6-x) -(6-x)<5x-6 x <2 5x-6 < 6-x 因此,原不等式的解集为 (0 , 2) 总结: |f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x) |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x) 变2 解不等式
课堂小结含绝对值的不等式的解法的基本思想是去掉绝对值符号. 常用方法 (1)定义法(常用零点划分法)； (2)公式法； (3)平方法； (4)换元法; 绝对值的几何意义 (5)数形结合法函数法
即
∴
x> 0
∴ 0< x <2
x x 6
2
-3≤x≤3
例2 解不等式|x-2|+|x-1|≥5 分析方法1: 去绝对值; 零点划分法方法2: 几何意义; 方法3: 函数法. 思考1.总结解不等式
x a x b c和 x a x b c (a b)
的基本思路. 2.不等式|x-a|+|x-b|≥|a-b|的解集是什么?
5.2.1 含有绝对值的不等式的解法
复习：
1.绝对值的定义: |x|= 2.几何意义:
x2
B O
x 0 -x

新人教A版高中数学(选修4-5)《绝对值不等式》ppt课件

新人教A版高中数学(选修4-5)《绝对值不等式》ppt课件
从不等式的背景可到以,许看多不等关系都涉及到距离短的,面长积或体积的大小,重量的大小 ,等等,它们都要通过非负数来表 .因示此,研究含有绝对值的不等式具要有意重义.
解设生活区应建碑于的公x第路 k处 m路 ,两个
施工队每天往之返和的S为路 xk程 m,则 Sx2| x10|| x20|.
因 |x 1 为 | |0 x 2 | |x 0 1 | |0 2 x 0 |
|x 1 0 2 0 x | 1,0 当且 x 1 仅 0 2 0 当 x0 时取 . 等号解 x 不 1 2 0 x 0 等 0 ,得 1 x 式 0 2 . 0
探究如果把1定中理的实 a,b数分别换为向量a,b,能得出什 ?么你能结解果释它的何几意义?吗
在上面的不等式中 ,用向量 a,b y
分别替换 a, b,当向量 a, b不共线时,那么由向量加法的三角形
ab b
法则,向量 a b,a,b构成三角形 , 因此我们有向量形式的不等式
为了更好地理 1,我解们定再理从代数理的角度给出.它的证明证当明 a b 0 时 ,a b |a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
|a|22|ab ||b|2
|a||b|2
| ab|
当 a b0 时 ,a b|a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
a O
x
| a b || a | | b | .

2新人教A版高中数学(选修4-5)《基本不等式》ppt课件

2
基本不等式
我们已经学过重要不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究你能从几何的角度解释定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解释定理1 :
借助几何画板解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,

第一讲《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)[1].

第一讲不等式和绝对值不等式 1、不等式
1、不等式的基本性质：
a a b, b c ①、对称性： b b a 传递性：_________ a c
②、 a b, c R ，a+c＞b+c
③、a＞b， c 0 ，那么ac＞bc；
a＞b，
c 0 ，那么ac＜bc
a b
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p， p 那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值 1 2 s 4
a b （1）若c>a>b>0，则（真命题） c a c b 1 1 （2）若a>b, ，则a>0，b&l-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]
例6、已知a>0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c 的大小。解：因为bc>a2>0，所以b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且
F
补充例题已知a,b (0,+)，且a+b=1，求证： 1 （1）a b ; 2 1 1 （2） 2 2 8； a b 1 2 1 2 25 （3）（a+ ) (b ) ； a b 2 1 1 25 （4）（a+ )(b ) . a b 4
2 2
课堂练习：课本P10第5题、第6题、第9题
例4

(精品)1.0《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)

a1 a2 n
an n a1a2
an ,
当且仅当a1 a2 an时，等号成立。
例 1求函数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的最值。
5
解下：面y 的解 5 x法 2 (对 2 吗2？ x) 5 x x( 2 2 x),
y124x x5(15x)21(4x5 x15x)3 1 ,
2a
2a
所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0
因为a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a<c.
从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2，
所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，
3、培养学生的数感，渗透数形结合的思想。
重点:
不等式的解集的表示；不等式的性质和解法；不等式的性质和解法.在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系；绝对值三角不等式的理解及应用；使学生掌握含绝对值的一次不等式的解法，并用数形结合方法加深对解法的理解；含绝对值不等式的解法。
难点:
不等式解集的确定；不等号方向的确定；根据实际问题建立一元一次不等式；绝对值三角不等式的代数证明；理解绝对值的几何意义。
b
AB=a；在正方形 CEFG中，EF=b.
B
J
a
C
E
b
则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有 a2+b2=2ab。

5.2不等式和绝对值不等式(一)课件(人教A版选修4-5)

推广：对于 n 个正数 a1, a2 , a3 ,an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值， a1 a2 a3 an 即 ≥ n a1 2 3 an a a n (当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.)
定理：设 x , y , z 都是正数，则有 ⑴若 xyz S （定值），则当 x y z 时， x y z 有最小值 3 3 s . ⑵若 x y z p （定值），
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2 x) 的最大值. 2 2 x2 ( x 3) 的最小值. ⑵求函数 y x 3 x2 3 ⑶求函数 y 的最小值. 2 x 2 解: ⑵∵ x 3 ,∴ x 3 0 2 x2 2( x 2 9) 18 18 2x 6 ∴y x 3 x 3 x 3 18 = 2( x 3) 12 ≥24 x 3 18 当且仅当 2( x 3) 即 x 6 时取等号. x 3 2 x2 ( x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. ∴函数 y x 3
第一讲不等式和绝对值不等式(一)
对于不等式大家并不陌生，我们已经会解一些简单的不等式和证明一些不等式，如 1.求解下列不等式： x2 2 ① x 3 x 10 0 ② >0 x5 3 2 2.设 n 1,且 n 1, 求证: n 1 > n n .
下面我们来系统且更进一步地认识不等式，从而进一步提高分析问题、处理问题的能力。
3 3⑴已知 0 x ,求函数 y x(3 2 x) 的最大值. 2 2 x2 ( x 3) 的最小值. ⑵求函数 y x 3 2 x 3 ⑶求函数 y 2 的最小值. x 2

第一讲不等式和绝对值不等式知识归纳课件(人教A选修4-5)

对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b，求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a

4-5.2.2绝对值不等式的解法_课件(人教A版选修4-5)

• 5．不等式|x－1|－|x＋4|＞1的解是_________. • 6．不等式x2－2|x|－15＞0的解集为________ .
• 7．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为空集，
•
则a的取值范围为 ( ) (A)(3,＋∞) (B)[3,＋∞) ∞,3) 围是 (A) m＞2 (C)(－∞,3] (D)(－
行讨论，如本例需对a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结
果.
变式1 解不等式
|x－a|＞a．
例2 解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为 5x-6<6-x，解得x<2, 所以6/5≤x＜2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为 -(5x-6)<6-x，解得x>0 所以0<x<6/5 取(Ⅰ)、 (Ⅱ) 并集得原不等式解集为(0, 2)
5.2.1 含有绝对值的不等式的解法
复习：
1.绝对值的定义: |x|= 2.几何意义:
x2
B O
x 0 -x
x>0 x=0 x<0
一个数的绝对值表示数轴上这个数对应的点到原点的距离.
x1
A x
|x1| =OA |x2| =OB
|x2-x1| =AB
两个数的差的绝对值表示数轴上这两个个数对应的两点间距离.
变式1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集为 ______.
变式2
x－ 1＞ ( 2－x ) 2 ,
求它的解集.
【解析】
x－ 1 ＞( 2－x) (x－ 1) ＞ 2－x 3 x 2－2x 1＞x 2－4x 4 2x＞3 x＞ , 2 又2－x≥0，所以x≤2.

《不等式和绝对值不等式》课件7 (人教A版选修4-5)

p2 2）若x + y = p（定值），则当x = y时,xy有最大值 . 4
注：一正、二定、三等。
例求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方 (2)在所有面积相同的矩形中,正方
--------------形的面积最大; ---------------形的周长最短;
周长L=2x+2y
x
S
y
例: 某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4300元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价没平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形) 上铺草坪,每平方米造价80元. (1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系式; (2)当为何值时S最小,并求出这个最小值. H G
2 2
比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
等式的性质
1.a = b b = a 2.a = b,b = c a = c 3.a = b a + c = b + c
（对称性）（传递性）（可加性）
4.a = b ac = bc
a = b,c = d a +c = b+d
本专题知识结构
第一讲值不等式不等式和绝对
不等式选讲
第二讲的基本方法
证明不等式
第三讲排序不等式
柯西不等式与
第四讲明不等式
数学归纳法证
第一讲不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
A B a b b>a B b

5.2不等式和绝对值不等式(四)课件(人教A版选修4-5)

第一讲不等式和绝对值不等式（三）
接上节课思考
知识要点
练习第1题
练习第2题
课堂练习
上节课的课外练习讲解
方法小结
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：
⑴ f x a (a 0) f x a或f x a；
-(x-1)+(x+2) (3)当x<-2时，原不等式同解于 x<-2 x≤-3 -(x-1)-(x+2) ≥5 综合上述知不等式的解集为 x x ≥ 2或x ≤ 3
-2 ≤ x ≤ 1
x ≥5
2.解不等式|x-1|+|x+2|≥5 方法三：通过构造函数，利用函数的图象(体现了函数与方程的思想)．解原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则 (x-1)+(x+2)-5 (x>1) f(x)= -(x-1)+(x+2)-5 (-2≤x≤1) y -(x-1)-(x+2)-5 (x<-2) 2x-4 (x>1) f(x)= -2 (-2≤x≤1) -2x-6 (x<-2) 1 -2 由图象知不等式的解集为
还有没有其他方法?
2.怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ 3

人教A版选修4-5 第一章二 1.绝对值三角不等式课件(28张)

栏目导引
第一讲不等式和绝对值不等式
求 f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和 f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法 (1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解． (2)利用绝对值三角不等式进行“放缩”求解，但要注意两数的 “差”还是“和”的绝对值为定值． (3)利用绝对值的几何意义求解．
栏目导引
第一讲不等式和绝对值不等式
(2)因为||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2，当且仅当(x－1)(x＋1)≥0，即 x≥1 或 x≤－1 时取等号，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2，当 x≥1 时函数取得最小值－2，当 x≤－1 时，函数取得最大值 2，当－1＜x＜1 时，－2＜|x－1|－|x＋1|＜2，故函数 f(x) 的值域为[－2，2]．
栏目导引
第一讲不等式和绝对值不等式
(2)当 a＝0 时，f(x)＝x；当－1≤x≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝1，不满足题设条件，所以 a≠0. 又 f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1，故 f(±1)均不是最大值．所以 f(x)的最大值187应在其对称轴上顶点位置取得，所以 a＜0.
第一讲不等式和绝对值不等式
【解】 (1)因为|x|≤1，|a|≤1，所以|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x| ＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x| ＝1－|x2|＋|x| ＝－|x|2＋|x|＋1 ＝－|x|－122＋54≤54. 所以|x|＝12时，|f(x)|取得最大值54.
栏目导引
第一讲不等式和绝对值不等式
－1＜－21a＜1，所以命题等价于f－21a＝187，
a＜0，

人教A版高中数学选修4-5课件第一讲二2绝对值不等式的解法

高中数学课件
（金戈铁骑整理制作）
2．绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解． |ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为，－c≤ax＋b≤c 再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为或 ax＋b≥c ，ax再＋进b≤一－步c 利用不等式性质求出原不等式的解集．
[例1] 解下列不等式： (1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4. [思路点拨] 利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求解．
[解] (1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤ －65，
∴原不等式的解集为{x|x≥2或x≤－65}，或x－2≥2， ∴x≤0，或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， ∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或4≤x≤6}．
[解] 法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|. 由图像知(|PA|－|PB|)max＝1， (|PA|－|PB|)min＝－1. 即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(－∞，1)；
|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．

5.2绝对值三角不等式课件(人教A版选修4-5)

a<0,b<0 a+b x a O b |a+b|=|a|+|b|
x
a<0,b>0 a+b x a O b |a+b|<|a|+|b|
易得: |a+b|=|a|+|b|
(3)如果ab=0,则a=0或b=0
综上所述,可得:
定理1: 如果a,b是实数,则 |a+b||a|+|b| 当且仅当ab0时,等号成立. 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量
同学们能再探究一下|a|-|b|与|a+b|, |a|+|b|与 |a-b|, |a|-|b|与|a-b|等之间的关系? 如: 如果a,b是实数,则 |a|-|b||a-b||a|+|b| 再如: 如果a,b,c是实数,则 |a-c||a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.
类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为
可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？
从“运算”的角度考察绝对值不等式。如：对于实数a,b，可以考察|a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 等之间的关系。
用恰当的方法在数轴上把|a|, |b|, |a+b|表示出来，
S(x)=2(|x-10|+|x-20|) |x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x| |(x-10)+(20-x)|=10 当且仅当(x-10)(20-x)0时取等号. 又解不等式:
S 60 40 20
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

5.2不等式和绝对值不等式(四)课件(人教A版选修4-5)

5.2不等式和绝对值不等式(一)课件(人教A版选修4-5)

高中数学《不等式和绝对值不等式》课件2 新人教A版选修4-5

5.2不等式和绝对值不等式(二)课件(人教A版选修4-5)

第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)

5.2绝对值三角不等式A 课件(人教A版选修4-5)

5.2不等式和绝对值不等式(一)课件(人教A版选修4-5)

5.2.1绝对值不等式的解法 课件(人教A版选修4-5)(2)

新人教A版高中数学(选修4-5)《绝对值不等式》ppt课件

2新人教A版高中数学(选修4-5)《基本不等式》ppt课件

第一讲《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)[1].

(精品)1.0《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)

5.2不等式和绝对值不等式(一)课件(人教A版选修4-5)

第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)

4-5.2.2绝对值不等式的解法_课件(人教A版选修4-5)

《不等式和绝对值不等式》课件7 (人教A版选修4-5)

5.2不等式和绝对值不等式(四)课件(人教A版选修4-5)

人教A版选修4-5 第一章 二 1.绝对值三角不等式 课件(28张)

人教A版高中数学选修4-5课件第一讲二2绝对值不等式的解法

5.2绝对值三角不等式 课件(人教A版选修4-5)

第一讲不等式和绝对值不等式知识归纳课件(人教A选修4-5)

5.2.1绝对值不等式的解法课件(人教A版选修4-5)(2)

第一讲不等式和绝对值不等式知识归纳课件(人教A选修4-5)

人教A版选修4-5 第一章二 1.绝对值三角不等式课件(28张)

5.2绝对值三角不等式课件(人教A版选修4-5)