斯托克斯公式

1 , cos cos cos 即 3 由斯托克斯公式 1 1 1 3 3 3 I dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
4 3
4 3
y
1 2
x y
3 2
o
x y
1 2
x
1 2
( x y z )dS
一、斯托克斯公式
二、简单应用
三、小结
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为 边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧 符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ),
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
解 取Σ为平面 x y z 3 2 的上侧被 所围成的部分. 则单位法向量
z
1
1 n {1, 1, 1}. 3
1
o
1
y
x
z
解 取Σ为平面 x y z 3 2
1
的上侧被 所围成的部分.
则单位法向量
1
o
1
y
1 n {1, 1, 1}. x 3 1 cos cos cos , 即 3 由斯托克斯公式 1 1 1 3 3 3 I dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
xy
o
1
x
例2
计算曲线积分
2 2 2 2 2 2 ( y z ) dx ( z x ) dy ( x y )dz
3 其中 是平面 x y z 截立方体: 2 0 x 1 , 0 y 1 , 0 z 1 的表面所得的截 痕,若从 ox 轴的正向看去,取逆时针方向.
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
o
n
y
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy

1
x
1
由于的法向量的三个方向余 弦都为正，
再由对称性知：
y
1
D xy
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy

3 d 3 . 2 D
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
斯托克斯公式成立的条件
练习 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法线方向余弦
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 z 的法向量之间符合右手规则.
解 按斯托克斯公式, 有
1
o
n
y
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy

1
x 由于的法向量的三个方向余 弦都为正，
1

Dxy
一投： 投影, 得Dxy ;

3 3 dxdy 2
二换： dS 3 dxdy;
三代：x y z 3 .
9. 2
S Dxy
2 1 2 1 3 . 8 4
三、小结
斯托克斯公式


cos cos cos ds x y z P Q R
z


y
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I

o x
dS
2
0
y
x 2
y
z
xy
xz
作业
P222-223 1 (1) (3) 2 (2)

dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R cos x P cos y Q cos ds Pdx Qdy Rdz z R
或


其中 n {cos , cos , cos }.
Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上
的曲线积分之间的关系.
( 当Σ是 xoy面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
此时， n {cos , cos , cos } {0, 0, 1}.
二、简单的应用
例1 计算曲线积分
zdx xdy ydz ,
有一阶连续偏导数, 则有公式
Q Q P R Hale Waihona Puke BaiduP R ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
Pdx Qdy Rdz

---- 斯托克斯公式
证明思路
曲面积分 便于记忆形式 二重积分 曲线积分