2020届山西省临汾市高三高考考前适应性训练考试(二)数学(理)试题

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山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试(2)数学(理)试卷

山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试（2）数学（理）试卷测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知i 是虚数单位，20172i3i 1iz =-+，且z 的共轭复数为z ，则z z ⋅=（） A ．3B ．5C ．5D ．32．已知全集为R ，集合2{|2}A x x x =<,{|lg(+4)1}B x x =<，则()A B =R I ð（）A ．[3,2]-B ．[3,6)-C ．[3,0][2,+)-∞UD ．[3,0][2,6)-U3．已知函数1,0()2 , 0xx x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤，若()2f a <，则实数a 的取值范围是（） A ．(,3)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)D ．(0,3)4．已知夹角为θ的向量,a b 满足()2⋅+=a a b ，且||2||2==a b ，则向量,a b 的关系是( ) A ．互相垂直B ．方向相同C ．方向相反D ．成120︒角5．公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则46a a = （）A ．72-B ．73C ．213-D ．1376．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．9182π+ B ．9362π+ C ．1818π+ D ．1836π+7．已知α满足2sin()4πα+，则2tan 12tan αα+=（）A ．98 B ．98-C ．3D ．3-8．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（）A ．20B ．10C ．0D ．10-9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有（） A ．3840B ．5040C ．6020D ．720010．若不等式组20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥(0)k <所表示的平面区域的面积为4，则21x y z x +=-的取值范围是（）A ．2[2,]5-B ．12[2,]5-C ．12(,0][,)5-∞+∞U D ．12(,2][,)5-∞-+∞U 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=, 260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为3 （）A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182x y -= D ．22184x y -= 12．已知函数3|2|1,0()3+1,0x x f x x x x --⎧=⎨-+<⎩≥，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+-⎩≤，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．3(ln2,)2B ．(ln2,4)C ．(ln3,2)D ．(ln31,1)-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如22222222222222251213,6810,72425,81517,2896100+=+=+=+=+=，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数m 是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由m 生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 .14．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =与抛物线围成的封闭图形的面积为 .15．已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b+++的最小值为 .16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对于任意正整数n ，都有+3n n a S n +=，若存在正整数0n ，使得020(6)(1)4n m n a --≥，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角．（1）求cos A 的值；（2）当223a b bc+取得最小值时，求cos B 的值．18．(12分)如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ， CE AB =,PD CE λ=(13)λ<<．（1）求证:PE AD ⊥；（2）若二面角P BE D --的余弦值为13，求λ的值．19．(12分)2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒.（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量；（2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F 2且P 在椭圆C 上运动，当点P 恰好在直线l :2y x =上时， 12PF F △22. （1）求椭圆C 的方程；（2）作与l 平行的直线1l ，与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若12,MF MF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.21．（12分）已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值；（2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围； ②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=（m 为常数，且0m ＞），直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）若2AB =，求实数m 的值；（2）若点P 的直角坐标为(1,2)-，且4PA PB ⋅＞，求实数m 的取值范围. 23．（10分）选修4—5不等式选讲已知函数()||f x x m =-(其中m 为常数).（1）若(0)(2)3f f +≤，求实数m 的取值范围；（2）求证：22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.理科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】20172i 3i 1iz =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-，则12i z =+，故5z z ⋅=.2．【答案】D 【解析】由条件可得(0,2)A =，则(,0][2,)A =-∞+∞R U ð，而[3,6)B =-, 故()A B =R I ð[3,0][2,6)-U .3．【答案】A 【解析】当0a ≤时，212a <≤成立；当0a >时，由12a +<，故03a <<，综上可知，实数a 的取值范围是(,3)-∞. 4．【答案】C 【解析】由()2⋅+=a a b 可得22+⋅=a a b ，即2||||||cos 2θ+⋅⋅=a a b ，即42cos 2θ+=，所以cos 1θ=-，即θπ=，所以,a b 方向相反. 5．【答案】B 【解析】设{}n a 的公差为(0)d d ≠，由367,,a a a 成等比数列可得2637a a a =，即2111(5)(2)(6)a d a d a d +=++，即1213a d =-，故4613+6713103a d d a d d -==-+. 6．【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：219(31166)1822V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 7．【答案】B 【解析】由2sin()4πα+=可得22(sin cos )αα+=，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，即8sin 29α=-，故222sin 1tan 1119cos 2sin 2tan 2sin cos sin 28cos ααααααααα++====-.8．【答案】B 【解析】该框图的运行结果是：20(2019)(1817)(21)010S =+-++-+++-+-=L .9．【答案】B 【解析】“第一类”抽取3人的采访顺序有32324634C C A A 种；“第一类”抽取4人的采访顺序有415465C C A 种，故不同的采访顺序有32324154634465+5040C C A A C C A =. 10．【答案】D 【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示.图中点2(2,0),(,0),(0,2)A B C k-，故阴影部分的面积为12(2)242k⨯--⨯=，解之得13k =-,21x y z x +=-221y x +=+-，设点(,)P x y ,21y m x +=-，则m 的几何意义是点P 与点(1,2)D -连线的斜率.而25DB k =,4DC k =-，由图可知，4m -≤或25m ≥，故z 的取值范围是12(,2][,)5-∞-+∞U .11．【答案】C 【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260FMF ∠=︒， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅,22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=， 12F MF ∴△的面积为2121||||sin 603232MF MF b ⋅⋅︒==， 2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182x y -=. 12．【答案】D 【解析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，则2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-或1x = （舍去）.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时， '()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象如图所示.由图可知，若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解之得ln31<<1m -. 13．【答案】145【解析】由217289=，而289144145=+，则这组勾股数中的“弦数”为145. 14．【答案】24【解析】由抛物线的焦点坐标可得6p =，故抛物线方程为212x y =-，把y x =代入抛物线方程可得00x y =⎧⎨=⎩或1212x y =-⎧⎨=-⎩，故直线与抛物线围成的封闭图形的面积为232001212()d ()|2412362x x x x x ----=--=⎰. 15．【答案】17【解析】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ+(tan )baϕ=ab ，整理可得22111a b+=，则4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()1111117b a a b a b a b a b a b =+++=+++=++=≥, 当且仅当2234a b ==时，取得等号，故4422141a b a b +++的最小值为17.16．【答案】11[,]44-【解析】由+3n n a S n += ① 可得+1+1+4n n a S n += ②由②－①可得111n n n a a a ++-+=，即111(1)2n n a a +-=-，由114a S +=可得12a =,111a ∴-=，所以,{1}n a -是首项为1，公比为12的等比数列，所以，1112n n a --=，即1112n n a -=+，所以，1166(6)(1)22n n n n n n a ------=-=，设16()2n n f n --=，则1567(1)()222n n n n n nf n f n ----+-=-=，当70n ->，即07n <<时，()f n 递增，当7<0n -，即>7n 时，()f n 递减，故()f n 的最大值为1(7)(8)64f f ==.故21464m ≤，故实数m 的取值范围是11[,]44-.17．【解析】（1）由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=及正弦定理可得23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =，而A 是锐角，所以4cos 5A =.（5分）（2）由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则2222228434855b c bc a b b c bc bc bc +-++==-481255bc bc -=≥，当且仅当2c b =时，2a bc取得最小值125.（9分）此时22222894255b a b b b =+-⨯=，所以a ，∴2222229+4cos 2b b b a c b B ac -+-==（12分）18．【解析】（1）ABCD Q 是正方形，AD CD ∴⊥,PD ⊥Q 平面ABCD ,AD PD ∴⊥，而,,PD CD D PD CD =⊂I 平面PDCE ,AD ∴⊥平面PDCE ，又PE ⊂平面PDCE ,PE AD ∴⊥.（6分）（2）如图，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设1AB =，则1CE =,PD λ=.则(0,0,0),(0,0,),(1,1,0),(0,1,1)D P B E λ，(1,0,1)BE =-u u u r ,(1,1,0)DB =u u u r ,(1,1,)BP λ=--u u u r.设平面PBE 和平面DBE 的法向量分别为11112222(,,),(,,)x y z x y z ==n n .由条件可得110BE BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n ，即1111100x z x y z λ-+=⎧⎨--+=⎩，令11x =，故1(1,1,1)λ=-n . 同理可得2(1,1,1)=-n .由条件可得1212212||1|cos ,|||||31(1)13λ⋅<>===⋅+-+⋅n n n n n n ，即28+12=0λλ-，解之得=2λ或=6λ分） 19．【解析】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量为： 0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm).（3分）（2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3, 则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中，属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分）从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数，ξ的取值可能为0,1,2,3.则373107(0)24C P C ξ===,123731021(1)40C C P C ξ===,21373107(2)40C C P C ξ===,333101(3)120C P C ξ===. 所以，ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P724 2140 740 1120则ξ的期望值为：01230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）.（12分） 20．【解析】（1）由222212x y a b y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得222224a b x a b =+,2222244a b y a b =+. 根据对称性，不妨设点P 在第一象限，则点P 的坐标为2222(,)44a b a b ++，设椭圆的焦距为2c ，由条件可得221222234c a b ⨯=+，即22234abc a b =+，由椭圆的离心率可得2c ，所以，2212c a =,22212a b a -=，所以，2a b ,c b =， ∴3222242b b b⨯+，解之得1b =，故2a 故椭圆C 的方程为2212x y +=.（6分）（2）设直线1l 的方程为2y x m =+(0)m ≠.由22122x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得2298220x mx m ++-=，由条件可得226436(22)0m m ∆=-->，即33m -<<，所以，30m -<<，或03m <<.设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则21212822,99m m x x x x -+=-=. 则120429x x m x +==-,0029m y x m =+=.则001200,11y yk k x x ==+-，∴00120011y y k k x x +=++-002021x y x =-2429916181m m m -⨯⨯=-2288116m m =-.当0m ≠时，12288116k k m +=-，且12k k +在(3,0)m ∈-和(0,3)m ∈上的取值范围相同，故只需求12k k +在(0,3)m ∈上的取值范围.而12k k +在9(0,)4m ∈和9(,3)4m ∈上随m 的增大而增大.∴12k k +的取值范围是8(,)(0,)7-∞-+∞U .（12分）21．【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--，由条件可得21'(2)233f m =-=-，即12m =.则3()ln (21)2f x x x =--+,2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >，令'()0f x =可得32x =，当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x .∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值.（4分）（2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立.即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >,∴210x ->,∴ln(21)21x m x ->-恒成立.令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-，令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，'()0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减，故()g x 的最大值为11()2e g e+=,∴1m e >，即实数m 的取值范围是1(,)e +∞.（8分） ②由①可知,25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立.令21(m )m x *=-∈N ，则2ln 5mm <.2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（）L L ，即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）L ,∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<.（12分） 22．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=，化为直角坐标系下的普通方程为：222x y my +=，即222()x y m m +-=.直线l 的普通方程为：10x y +-=，而点(0,)m 到直线l的距离为d ，由条件可得||2AB =，即2230m m +-=，结合0m >可得1m =.（5分）（2）显然点P 在直线l 上,把12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3450t m m +--+=，设点,A B 对应的参数分别为1,t t .则22(3)4(45)0m m ∆=---+>，解之得1m <-1m .则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>，解之得94m >或14m <.而0m >,∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.（10分）23．【解析】（1）由条件可知(0)(2)|||2|3f f m m +=+-≤，①当0m <时，23m m -+-≤，解之得12m -≥，所以，102m -<≤；②当02m ≤≤时，23m m +-≤，恒成立，所以，02m ≤≤；③当2m >时，23m m +-≤，解之得52m ≤，所以，522m <≤.综上可知，实数m 的取值范围是15[,]22-．（5分）（2）Q (1)(3)f f -+|1||3||(1)(3)|4m m m m =++-+--=≥,∴363609(1)(3)4f f <=-+≤，而222214()()a b a b ++22224559b a a b =+++≥，∴22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.（10分）。

2020年山西省高考考前适应性测试理科数学(含解析)

2020年山西省高考考前适应性测试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},2B x y y x ==+，则A B I 中元素的个数是（）A.0B.1C.2D.32.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成类型的标准：年龄中位数在20岁以下为年轻型人口；年龄中位数在20~30岁为成年型人口；年龄中位数在30岁以上为老年型人口. 全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响上图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响.据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为成年型人口；②从2010年至2020年为老年型人口；③放开二孩政策之后我国仍为老年型人口.其中正确的是（） A.②③ B.①③ C.② D.①②3.已知函数()e 3,1,ln ,1,x x x f x x -<≥⎧=⎨⎩则关于函数()f x 的说法不正确的是（）A.定义域为RB.值域为()3,-+∞C.在R 上为增函数D.只有一个零点4.在四边形ABCD 中，()3,1AC =-u u u r ，()2,BD m =u u u r，AC BD ⊥u u u r u u u r ，则该四边形的面积是（）B.C.10D.205.天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是（） A.5.5，3.7 B.5.4，4.4 C.6.5，3.7 D.5.5，4.46.双曲线1C ：22221x y a b -=与2C ：22221x y b a-=（0a b >>）的离心率之积为4，则1C 的渐近线方程是（）A.y x =±B.2y x =±C.(2y x =±+D.(2y x =±7.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积是（）A.279π+B.2712π+C.33πD.189π+8.已知Rt ABC △中，90A ∠=o ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其内切圆半径为r ，由12ABC S bc =△，又111222ABC S ar br cr =++△，可得bcr a b c=++.类比上述方法可得：三楼锥P ABC -中，若90BAC ∠=o ，PA ⊥平面ABC ，设ABC △的面积为1S ，PAB △的面积为2S ，PAC △的面积为3S ，PBC △的面积为4S ，则该三棱锥内切球的半径是（）12341234123412349.6312x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，常数项是（）A.220B.220-C.924D.924-10.函数()222sin x x f x =+，若()()123f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值是（） A.6πB.4π C.3π D.23π11.已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB AD ==，14AA =，M 是1BB 的中点，点P 在长方体内部或表面上，且//MP 平面11AB D ，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是（） A.6B.C.D.912.数列{}n a 中，156a =，()()1251056515n n n n a a n n a n ++=++++，则99a =（） A.12019B.20182019C.12020D.20192020二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山西省2020届高三考前适应性测试数学(理)试题 Word版含解析

理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},2B x y y x ==+，则AB 中元素的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】联立方程解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，得到答案.【详解】22y x y x ⎧=⎨=+⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2.国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（） A. ②③ B. ①③ C. ②D. ①②【答案】A 【解析】【分析】根据折线统计图即可判断．【详解】①建国以来有一段时间年龄中位数低于20，为年轻型人口，所以①错误； ②从2010年至2020年年龄中位数在30岁以上，为“老龄型”人口，正确， ③放开二孩政策之后我国年龄中位数在30岁以上，仍为“老龄型”人口，正确，故选：A ．【点睛】本题考查了折线统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题．3.函数()311x e x f x lnx x ⎧-=⎨≥⎩，＜，，则关于函数()f x 的说法不正确的是（）A. 定义域为RB. 值域为(3,)-+∞C. 在R 上为增函数D. 只有一个零点【答案】B 【解析】【分析】根据()f x 的解析式即可判断()f x 的定义域为R ，且在R 上为增函数，只有一个零点1x =,从而判断出说法不正确的选项．【详解】()311x e x f x lnx x ⎧-=⎨≥⎩＜，()f x ∴的定义域为R ，值域为(3,3)[0,)e --⋃+∞，且对于1x <时30x e -<，明显地，()f x 在R 上为增函数，且(1)0f =，()f x ∴只有一个零点．故选：B ．【点睛】本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函数零点的定义及求法，考查了计算和推理能力，属于基础题．4.在四边形ABCD 中，()3,1AC =-，()2,BD m =，AC BD ⊥，则该四边形的面积是（）B. C. 10D. 20【答案】C 【解析】【分析】由AC BD ⊥可知0AC BD ⋅=,利用坐标运算求出m ,再求四边形的面积即可.【详解】因为()3,1AC=-,()2,BD m=,AC BD⊥,所以()3210AC BD m⋅=⨯+-=,即6m=,所以四边形的面积为()22223126102AC BD⋅+-⋅+==,故选:C.【点睛】本题主要考查向量垂直的应用,考查数量积的坐标运算,属于基础题.5.天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是（）A. 5.5，3.7B. 5.4，4.4C. 6.5，3.7D. 5.5，4.4 【答案】A【解析】【分析】结合图象可知,两个相邻最高点或最低点的位置横向差即为周期，再结合视星等的数值越小，亮度越高，取视星等的最小数值即可得出最亮时的视星等.【详解】根据图象可知，两个相邻最高点或最低点的位置横向相差约为5.5，故可以估计周期约为5.5；又视星等的数值越小，亮度越高，故最亮时视星等约为3.7；故选：A.【点睛】本题考查图象的基本应用,考查学生的分析理解能力，难度不大.6.双曲线1C：22221x ya b-=与2C：22221x yb a-=（0a b>>）的离心率之积为4，则1C的渐近线方程是（）A. y x=± B. (23y x=± C. 2y x=± D.()23y x =±+【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知4c c a b ⨯=,即24c ab =,即224a b ab +=,据此可解出23ba=-,从而可得出双曲线1C 的渐近线方程.【详解】因为双曲线1C :22221x y a b-=与2C :22221x y b a -=(0a b >>)的离心率之积为4,所以4c ca b⨯=,即24c ab =, ∴224a b ab +=,即4b aa b+=,因此2410b b a a ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭, ∵0a b >>,故23ba=-, ∴双曲线1C 的渐近线方程为()23y x =±-, 故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的应用,考查双曲线渐近线的求法,难度不大.7.某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积是（）A. 279π+B. 2712π+C. 33πD. 189π+【答案】B 【解析】【分析】由三视图可知,该几何体上半部分是一个底面半径为3,高为3的圆柱,下半部分是一个底面边长为高为2的正四棱锥,利用体积计算公式分别求出圆柱和棱锥的体积,即可得出几何体的体积.【详解】由三视图可知,该几何体是由一个底面半径为3,高为3的圆柱,和一个底面边长为高为2的正四棱锥组合而成,圆柱的体积为23327ππ⋅⋅=,正四棱锥的体积为(212123⋅⋅=,所以几何体的体积为2712π+, 故选:B.【点睛】本题考查利用三视图还原几何体,考查几何体体积的求法,难度不大.8.已知Rt ABC 中，90A ∠=，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其内切圆半径为r ，由12ABC S bc =△，又111222ABC S ar br cr =++△，可得bc r a b c=++.类比上述方法可得：三楼锥P ABC -中，若90BAC ∠=，PA ⊥平面ABC ，设ABC 的面积为1S ，PAB △的面积为2S ，PAC 的面积为3S ，PBC 的面积为4S ，则该三棱锥内切球的半径是（）123412341234D.1234【答案】B 【解析】【分析】设PA a =，AB b =，AC c =，则1136P ABC ABC V S PA abc -=⋅⋅=△，12abc =， 123412abcR S S S S =+++，化简得到答案. 【详解】设PA a =，AB b =，AC c =，则1136P ABC ABC V S PA abc -=⋅⋅=△，又123411113333p ABCV S R S R S R S R -=+++，∴12341234132P ABC abc V R S S S S S S S S -==++++++.又∵112=S bc ，212S ab =，312S ac =.∴22212318S S S a b c =.∴12abc =，∴1234R =.故选：B.【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的计算能力和推理能力.9.6312x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，常数项是（） A. 220 B. 220-C. 924D. 924-【答案】B 【解析】【分析】()122636112x x x x x-⎛⎫-+=⎪⎝⎭，利用二项式定理计算得到答案.【详解】()12626423611212x x x x x x x x -⎛⎫-+⎛⎫-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即求分子展开式中6x 项的系数.分子二项展开式的通项为()()122121C rrrx --，令2426r -=，解得9r =，此时()()129992612C 1220x x --=-，故原式展开后，常数项220-.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10.函数2()22sin f x x x =+，若12()()3f x f x =-，则12x x +的最小值是（）A.23πB.4π C.3π D.6π 【答案】D 【解析】【分析】由题得A B C π++=，所以12(),()f x f x 分别是函数的最小（大）值和最大（小）值. 不妨设12(),()f x f x 是函数的最小值和最大值，求出121226k k x x ππ++=+即得解.【详解】由题得2()22sin 2cos 212sin(2)16f x x x x x x π=+=-+=-+，所以()[1,3]f x ∈-. 因为12()()3f x f x =-，所以12(),()f x f x 分别是函数的最小（大）值和最大（小）值. 不妨设12(),()f x f x 是函数的最小值和最大值，所以11111122,,,626x k k Z x k k Z πππππ-=-∈∴=-∈.22222222+,,+,623x k k Z x k k Z πππππ-=∈∴=∈,所以()12126x x k k ππ+=++,当120k k +=时，12x x +的最小值是6π. 故选：D【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB AD ==，14AA =，M 是1BB 的中点，点P 在长方体内部或表面上，且//MP 平面11AB D ，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是（） A. 6B.C. D. 9【答案】D 【解析】【分析】设E ,F ,G ,H ,N 分别为11B C ,11C D ,1DD ,DA ,AB 的中点,则11////EF B D NH ,1////MN B A FG ,所以平面//MEFGHN 平面11AB D ,所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部,因此,结合题中所给数据即可求出六边形MEFGHN 的面积2EFGH S S =梯形.【详解】如图所示,设E ,F ,G ,H ,N 分别为11B C ,11C D ,1DD ,DA ,AB 的中点, 则11////EF B D NH ,1////MN B A FG , 所以//NH 平面11AB D ,//MN 平面11AB D , 又NHMN N =,所以平面//MEFGHN 平面11AB D ,所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部, 因为2AB AD ==,14AA =, 所以2EF HN ==5EM MN FG GH ====,22GM =E 到GM 2232522⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以六边形MEFGHN 的面积2223222922EFGH S S ==⨯=梯形, 故选:D.【点睛】本题主要考查空间中平行的应用,考查学生的空间思维及计算能力,属于中档题.12.数列{}n a 中，156a =，()()1251056515n n n n a a n n a n ++=++++，则99a =（） A.12019B.20182019C.12020D.20192020【答案】C 【解析】【分析】化简得到()()()152325n n n n a n a n a +++=++，记()2n n b n a =+，得到11115n n b b +=+，1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以15为公差的等差数列，计算得到答案. 【详解】由()()()()()125105232556515nnn n n n a n a a n n a n n a n +++==+++⎡⎤++++⎣⎦，故()()()152325n n n n a n a n a +++=++，记()2n n b n a =+，则155nn n b b b +=+，两边取倒数，得11115n n b b +=+，所以1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以15为公差的等差数列，又1111235b a ==，所以()12111555n n n b +=+-=，所以()()5212n n b a n n n ==+++，故99511001012020a ==⨯.故选：C.【点睛】本题考查了数列的通项公式，确定1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以15为公差的等差数列是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知复数32iz i+=（i 为虚数单位），则z =______.【解析】【分析】化简得到12z i =-+，得到模长. 【详解】32212i iz i ii ++===-+-，z【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力.14.等差数列{}n a 中，418a =，2030a =，则满足不等式n a n >的正整数n 的最大值是______.【答案】59 【解析】【分析】计算得到6034n n a +=，解不等式6034n na n +=>得到答案. 【详解】由412013181930a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得163434a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即6034n n a +=，又6034n na n +=>，解得60n <，故正整数n 的最大值为59. 故答案为：59.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，解不等式，意在考查学生的计算能力.15.设1F ，2F 分别为椭圆C ：2214xy +=的左、右焦点，A ，B 分别为C 上第二、四象限的点，若四边形12AF BF 为矩形，则该矩形的面积是______，AB 所在直线的方程是______. 【答案】(1). 2 (2). 4y x =- 【解析】【分析】计算得到122AF AF =⋅，得到面积，联立方程得到A ⎛ ⎝⎭，AB 过坐标原点，计算得到答案.【详解】由已知得122AF AF a +=①，222124AF AF c +=②，①2-②得122AF AF =⋅，∴矩形12AF BF 的面积为122S AF AF =⋅=.矩形12AF BF 的外接圆方程为223x y +=，与椭圆C的方程联立得A ⎛ ⎝⎭.又AB 过坐标原点，∴AB的斜率为4AB OA k k ==-， ∴AB所在直线的方程为4y x =-. 故答案为：2；y x =.【点睛】本题考查了椭圆内接矩形的相关问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 16.已知函数()log xa x x f a -=+（其中0a >且1a ≠）有零点，则实数a 的最小值是______.【答案】1e e - 【解析】【分析】由()f x 存在零点，即函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与1log a y x =的图象有公共点，a 最小时，两图象均与直线y x =相切，设切点坐标为()00,x y ，计算得到答案.【详解】由()f x 存在零点，即函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与1log a y x =的图象有公共点.当1a >时，两图象显然有公共点；当01a <<时，由图可知，a 最小时，两图象均与直线y x =相切，此时，设切点坐标为()00,x y ，则00001,,11ln 1,x x y a y x a a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩∴001,11ln 1,x x x a a a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩∴0001,1ln 1,x x a x a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩∴0001ln ln ,1ln 1.x x a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴0ln 1x =，∴0x e =，∴11ln a e=，∴1e a e -=. 故答案为：1e e -.【点睛】本题考查了根据函数零点求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos tan tan a B A B +=. （1）求A ；（2）若ABCa 的最小值. 【答案】（1）3A π=；（2）2【解析】【分析】（1）化简得到()sin cos A B aA+=，根据正弦定理计算得到答案.（2）根据面积得到4bc =，利用余弦定理和均值不等式计算得到答案.【详解】（1）由已知得sin sin cos cos cos A B a B A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin cos cos sin cos A B A B a A +⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴()sin cos A B aA+=.由正弦定理sin sin a c A C=，得sin sin cos CA C A ⋅=. 又因为(),0,sin 0A C C π∈∴≠，∴tan A =3A π=.（2）由ABC 4bc =，由余弦定理得222222cos 24a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-==，当且仅当2b c ==时，取得等号，所以a 的最小值为2.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.如图1，已知等边ABC 的边长为3，点M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，且2BM MA =，2AN NC =.如图2，将AMN 沿MN 折起到A MN '△的位置.（1）求证：平面A BM '⊥平面BCNM ；（2）给出三个条件：①A M BC '⊥；②二面角A MN C '--大小为60；③7A B '=在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答：在线段BC 上是否存在一点P ，使直线PA '与平面A BM '310，若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）MN AB ⊥，MN A M '⊥得到MN ⊥平面A BM '，得到证明.（2）以M 为原点，MB ，MN ，MA '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，平面A BM '的法向量为()0,10n =，利用夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）由已知得1AM =，2AN =，60A ∠=，2222cos60MN AM AN AM AN =+-⋅︒，解得3MN =，故222AN AM MN =+，∴MN AB ⊥， ∴MN A M '⊥，MN MB ⊥，又∵MBA M M '=，∴MN ⊥平面A BM '，MN ⊂平面BCNM ，∴平面A BM '⊥平面BCNM .（2）（ⅰ）若用条件①A M BC '⊥，由（1）得A M MN '⊥，BC 和MN 是两条相交直线，∴A M '⊥平面BCNM .以M 为原点，MB ，MN ，MA '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. 则()0,0,1A '，设()23,0P a a -，其中302<≤a ，则()23,1A P a a '=--. 平面A BM '的法向量为()0,1,0n =.设直线PA '与平面A BM '所成角为θ，则()223310sin cos ,10231aA P n a a θ'===-++，解得6632a ±=>，所以不存在P 满足条件.（ⅱ）若用条件②二面角A MN C '--大小为60，由（1）得A MB '∠是二面角A MN C '--的平面角，∴60A MB '∠=.过A '作A O BM '⊥，垂足为O ，则AO '⊥平面BCNM .在平面BCNM 中，作OD OB ⊥，点D 在BM 的右侧.以O 为原点，OB ，OD ，OA '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则A ⎛' ⎝⎭，设3,02P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中302<≤a，则3,2A P a ⎛'=- ⎝⎭. 平面A BM '的法向量为()0,1,0n =.设直线PA '与平面A BM '所成角为θ，则sin cos ,10A P n θ'===，解得32a =或3a =（舍去），所以存在P 满足条件，这时3PB =. （ⅲ）若用条件③A B '=A BM '△中，由余弦定理得：222''2'cos A B MB MA MB MA A MB =+-⋅'∠，故120A MB '∠=︒.过A '作A O BM '⊥，垂足为O ，则AO '⊥平面BCNM .同（ⅱ）以O 为原点，OB，OD ，OA '分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则2A ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭，设,052P a ⎛⎫-⎪⎝⎭，其中302<≤a ，则,522A P a ⎛'=-- ⎝⎭. 平面A BM '的法向量为()0,10n =.设直线PA '与平面A BM '所成角为θ，则sin cos ,A P n θ'===，2215210a a -+=.解得32a =>，所以不存在P 满足条件.【点睛】本题考查了面面垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19.已知抛物线C ：24y x =.（1）若x 轴上的点A 关于直线1y x =-的对称点在C 上，求A 点的坐标；（2）设过C 的焦点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，PQ 的延长线与y 轴交于M ，O 为坐标原点，若POQ △的面积等于MOQ △面积的3倍，求直线l 的方程.【答案】（1）()1,0A -或()3,0A ；（2）220x y --=或2220x y +-= 【解析】【分析】（1）点(),0A a 关于直线1y x =-的对称点为()1,1A a '-，代入计算得到答案.（2）设()00,M y （00y >），()11,Q x y ，()22,P x y ，根据题意得到214x x =，12242x x k +=+，121=x x ，计算得到答案.【详解】（1）设点(),0A a 关于直线1y x =-的对称点为(),A x y '''，则1,1,22y x ay a x ⎧=-⎪⎪-⎨'+⎪=-''⎩'⎪解得1x '=，1y a '=-.∴()1,1A a '-. 把A '点坐标代入24y x =得()214a -=，∴1a =-或3a =.∴()1,0A -或()3,0A .（2）设()00,M y （00y >），()11,Q x y ，()22,P x y ，O 到直线l 的距离为d . 则12MOQ S MQ d =⋅△，12OPQ S PQ d =⋅△.由3POQ MOQ S S =△△，得3PQ QM =，即3PQ QM =，得214x x =①.由已知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：()1y k x =-，代入24y x =，得()2222240k x k x k -++=，∴12242x x k+=+②，121=x x ③.由①③得112x =，22x =代入②得28k =，∴k =±，∴直线l 的方程为0y --=或0y +-=.【点睛】本题考查了点关于直线对称，抛物线中面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.设函数()21ln ax a f x x x=---，其中a R ∈. （1）若()f x 在()0,∞+上为增函数，求a 的取值范围；（2）当12a ≥，()1,x ∈+∞时，求证：()10xf x e -+>. 【答案】（1）2,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意()32210ax f x x x-+'=≥恒成立，即23112a x x ≥-，令()23g t t t =-（0t >），计算最值得到答案.（2）令()211ln xax a x F xx e -=---+，证明1x e x -≥，根据()'0F x >得到函数单调递增，计算最值得到答案.【详解】（1）∵()f x 在()0,∞+上增函数，∴()322112120ax x ax x x x x f -+=-+=≥'恒成立，即23112a x x≥-，()0,x ∈+∞恒成立，令()23g t t t =-（0t >），则()223g t t t '=-，由()0g t '=得23t =，当20,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '>，()g t 为增函数；当2,3t ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g t '<，()g t 为减函数； ∴()min 24327g g x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴227a ≥，故2,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. （2）当12a ≥时，令()()1211ln x x e ax a x e F f x x x --+=---+=（1x >），则()21211111112x x ax x x x x e F x x e--=-+-≥-+-，令()1x h x ex -=-，得()11x h x e -'=-，由于1x >时，()0h x '>，()h x 为增函数；由于1x <时，()0h x '<，()h x 为减函数； ∴()()10h x h ≥=，即1x e x -≥， ∴()21211111112x x ax x x x e x eF x x --=-+-≥-+-'()232222212121210x x x x x x x x x x x--+-+≥-+=≥==， ∴()F x 在[)1,+∞为增函数，又()10F =，∴()0F x >，即()1e0xf x -+>.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.现有甲，乙两种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食甲随机附赠玩具1M ，2M ，3M 中的一个，每袋零食乙从玩具1N ，2N 中随机附赠一个.记事件n A ：一次性购买n 袋零食甲后集齐玩具1M ，2M ，3M ；事件n B ：一次性购买n 袋零食乙后集齐玩具1N ，2N . （1）求概率()4P A ，()5P A 及()4P B ；（2）已知()()()111n n n n P A aP A bP B ---=+，其中a ，b 为常数，求()n P A .【答案】（1）()449P A =，()55081P A =，()478P B =；（2）()11121233n n n P A --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）一次性购买4袋零食甲获得玩具的情况共有4381=种不同的可能，其中能够集齐三种玩具的充要条件是1M ，2M ，3M 三个玩具中，某个玩具出现两次，其余玩具各出现一次，计算得到概率，同理可得答案.（2）记()n n a P A =，()n n b P B =，计算1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得到11123n n n n a a b ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用累加法计算得到答案.【详解】（1）一次性购买4袋零食甲获得玩具的情况共有4381=种不同的可能，其中能够集齐三种玩具的充要条件是1M ，2M ，3M 三个玩具中，某个玩具出现两次，其余玩具各出现一次，对应的可能性为122342C C A 36=，故()4364819P A ==，一次性购买5袋零食甲获得玩具的情况共有53243=不同的可能，其中能够集齐三种玩具的充要条件是1M ，2M ，3M 三个玩具中，某个玩具出现三次，其余玩具各出现一次或某两个玩具各出现两次，另一个玩具出现一次，对应的可能性分别为132352C C A 60=，222353C C C 90=，故()560905024381P A +==. 一次性购买4袋零食乙获得玩具的情况共有4216=种不同的可能，其中不能集齐两种玩具的情况只有2种，即全是1N ，全是2N ，故()4271168P B =-=. （2）记()n n a P A =，()n n b P B =，根据题意及（1）的计算，不难整理得下表：由于n B 的对立事件总是2种情形（即全是1N ，全是2N ），容易得到1211122n n n b -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.为解出待定系数a ，b ，令23223433a a a b b a a a b b ⎧=⋅+⋅⎨=⋅+⋅⎩，即2321092423994a b a b ⎧=⨯+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1,2,3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或3,23a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去，因为4544233a a b ⎛⎫≠+- ⎪⎝⎭）. 故11123n n n n a a b ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即11121233n n n n a a ---⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，同理221221233n n n n a a ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……2121233a a -=-⨯，累加可得()11121233n n n n P A a --⎛⎫⎛⎫==+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2n ≥）.当1n =时，10a =适合上式，∴()11121233n n n n P A a --⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了概率的计算，根据数列的递推公式求通项公式，累加法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.在极坐标系Ox 中，直线l 过点()3,0A与点6B π⎫⎪⎭. （1）求直线l 的极坐标方程；（2）已知圆C ：cos ρθ=.若曲线0θ=与l ，C 相交于A ，E 两点；曲线3πθ=与l ，C 相交于M ，N 两点，E ，N 异于极点O ，求证：//NE AM .【答案】（1）32sin 6ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)先将极坐标下()3,0A,6B π⎫⎪⎭两点的坐标化为直角坐标系下点的坐标,从而求出直线l 的直角坐标方程,再将其转化为极坐标方程即可;(2)将0θ=和3πθ=分别代入l ,C 的极坐标方程中,可求出1OE =,3OA =,12ON =,32OM =,因此有13OE ON OA OM ==,从而//NE AM . 【详解】(1)因为极坐标系Ox 中,直线l 过点()3,0A与点6B π⎫⎪⎭, 所以直角坐标系中,直线l 过点()3,0A与点3,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, 因此直线l的直角坐标方程为30x -=, 故直线l的极坐标方程为cos sin 30ρθθ+-=,即l 的极坐标方程为32sin 6ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (2)将0θ=代入cos ρθ=得1OE =,且由()3,0A 知3OA =, 将3πθ=代入cos ρθ=得12ON =, 将3πθ=代入32sin 6ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭得32OM =, ∴13OE ON OA OM ==, ∴//NE AM .【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化,考查极坐标几何意义的应用,难度不大.23.已知函数()3f x x x a =-+-，当3x ≤时()f x 的最小值是2.(1)求a ；(2)若2m n a +=，求证：()2251m n +≥.【答案】(1)1a =或5a =；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)因为3x ≤，所以()3f x x x a =-+-，再分别求出3a ≤和3a >两种情况下()f x 的最小值，据此列式求解即可；(2)由(1)知1a =或5a =，故在1a =和5a =两种情况下，分别利用柯西不等式进行证明.【详解】(1)因为3x ≤，所以30x -≤，所以()33f x x x a x x a =-+-=-+-，①当3a ≤时，()23,3,3x a x a f x a a x -++≤⎧=⎨-<≤⎩，所以()()min 3f x f a a ==-，由32a -=，得1a =；②当3a >时，()23f x x a =-++，所以()()min 33f x f a ==-+，由32a -+=，得5a =；综上所述，1a =或5a =.(2)当1a =时，则21m n +=，所以()()()()222222251221m n m n m n +=++≥+=，当且仅当2n m =即15m =，25n =时上式取等号；当5a =时，则25m n +=，所以()()()()22222225122251m n m n m n +=++≥+=>，当且仅当2n m =即1m =，2n =时上式取等号；综上所述，()2251m n+≥.【点睛】本题考查绝对值不等式及柯西不等式的应用，考查学生的计算分析能力，难度不大.。

山西省临汾市2020届高三高考考前适应性训练考试(二)数学(理)

临汾市2020年高考考前适应性训练考试（二）理科数学一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内,复数1ii+对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A=2{1,2,3},{|40},B x x x m =++=若A∩B={1} ,则B=( )A.{1,3}B. {1,-3}C. {1,5}D. {1,-5}3.已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查。

若高中生需抽取的20名学生，则抽取的学生总人数为（）A.40B.60C.120D.3604.在△ABC 中,AB c AC b ==u u u r u u u r ,若点D 满足1,2BD DC =u u u r u u u r 则AD =u u u r ()12.33A b c +21.33B b c +41.33C b c -11.22D b c + 5.圆2266x y x y +=+上到直线x +y-2 =0的距离为1的点的个数为( )A.1B.2C.3D.46.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,在区间(0, +∞)上单调递增,且f( -1) =0,则(21)()0xf x -⋅>的解集为( )A.(-∞，-1) ∪(1, +∞)B.( -1,0)∪(0,1)C.( -∞,-1)∪(0,1)D.( -1,0)∪(1, +∞)7.已知关于x 的方程sinx + cosx = a 在区间[0,2π]恰有两个根α ,β,则sin(α +β) +cos(α +β)=() A.1B. -1C.1或-1D.2a8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:cm³ )是( )1.6A31.B1.2C5.6D 9.一个球从h 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,全程共经过( )米8.2h A9.2h B8.32h C h -9.32h D h -2510.(2)x x y ++的展开式中,25x y 的系数为( )A.30B.40C.60D.12011.已知双曲线2222:1(30)x y C b a a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,32F 且交C 于A,B 两点.若212||2||BF F F =,则C 的离心率为( )32.2A27B +.25C.23D +12.已知三次函数322()3(3x f x ax a x b a =+-+>0)有两个零点,若方程)0[(]f x f '=有四个实数根,则实数a 的范围为( )6)A32B6.()C +∞632.(D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

2020年山西省临汾市高考数学模拟试卷(理科)(二) (含答案解析)

2020年山西省临汾市高考数学模拟试卷(理科)(二)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在复平面内，复数2i1−i 对应的点的坐标为( )A. (1,1)B. (−1,1)C. (−1,−1)D. (1,−1)2. 若集合A ={x|−1<x ≤3}，B ={x|lg x >0}，则A ∩B 等于( )A. (−1,1)B. (1,3)C. (0,3]D. (1,3]3. 某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本的高中学生人数为( )A. 42人B. 84人C. 126人D. 196人4. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3c ⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 3b ⇀−c ⇀B. 3c ⃗⃗⃗⃗ −2b ⃗C. 2b ⃗ +3c⃗⃗⃗⃗ D. −2b ⇀−3c⇀5. 已知圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x +y =a 的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为( )A. 2√2B. √2C. −√2或√2D. −2√2或2√26. 偶函数f(x) 在(0,+∞)上递增，若f(2)=0，则f(x)+f(−x)x<0的解集是( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)7. 若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=( )A. 1B. −1C. 0D. 0或−18. 设某几何体的三视图如图(单位m)：则它的体积是( )A. 4m 3B. 8m 3C. 4√3m 3D. 8√3m 39. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第1项与第2项的和为( )A. 403B. 163C. 8D. 1210. 在(3−x)(x +1)n (n ∈N ∗)的展开式中，已知各项系数之和为64，则x 3的系数是( )A. 10B. 20C. 30D. 4011. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，斜率为2直线过点F 1双曲线C 第二象限相交于点P 若|OP|=|OF 2，则双曲线C 的离心率是( )A. √3B. √5C. 2D. √7212. 若函数f (x )=|(12)x−1|−2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____．14. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=2，E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，则直线BE 与直线CF 所成角的余弦值是______ ． 15. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________．16. ．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE =α，∠ADE =β，垂直放置的标杆BC 的高度ℎ=4米，大雁塔高度H =64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d ，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α−β最大时，标杆到大雁塔的距离d 为_____米．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．(1)求{a n}的通项公式；(2)设c n=(−1)n a n+b n，求数列{c n}的前n项和．18.如图，多面体ABCDEFG中，FA⊥平面ABCD，FA//BG//DE，BG=14AF，DE=34AF，四边形ABCD是正方形，AF=AB．(1)求证：GC//平面ADEF；(2)求二面角C−GE−D的余弦值．19. 某社区为积极配合消防宣传工作，准备成立由4名业主组成的志愿者招募宣传队，现初步选定5男4女共9名业主为候选人，每名候选人被选为志愿者招募宣传队队员的机会是相同的.记X 为女业主当选人数，求X 的分布列．20. 已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上一点，当∠F 1PF 2=π3时，△PF 1F 2面积达到最大，且最大值为√3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l ：y =x +m 与y 轴交于点Q ，与椭圆交于M ，N 两点，若MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值．21. 设f(x)=lnx +√x −1，证明：当x >1时，f(x)<32( x −1)．22. 已知曲线C 的参数方程是{x =√3cosαy =sinα(α为参数)(1)将C 的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy 中，P(0,2)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcosθ+√3ρsinθ+2√3=0，Q 为C 上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最小值．23. 已知函数f(x)=√x 2−4x +4−|x −1|．(1)解不等式f(x)>12；(2)若正数a ，b ，c ，满足a +2b +4c =f(12)+2，求√1a+2b+4c的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：2i1−i =2i(1+i)(1+i)(1−i)=2i−22=−1+i，对应点的坐标为(−1,1)，故选：B根据复数的几何意义，将复数进行化简即可．本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．2.答案：D解析：考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x>1}；∴A∩B=(1,3]．故选：D．3.答案：A解析：本题考查了分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题．根据分层抽样的比例计算即可求解．解：设该样本中高中学生人数为x人，根据分层抽样比例知，704000=x2400，解得x=42，故选A．4.答案：B解析：根据向量减法的几何意义得出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查了平面向量加减运算的几何意义，属于基础题．解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3c ⃗ −2b ⃗ ．故选：B ．5.答案：C解析：解：因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d =1，即d =√2=1，解得a =±√2．故选：C ．由题意可得圆心(0,0)到直线l ：x +y =a 的距离d 满足d =1，根据点到直线的距离公式求出d ，再解绝对值方程求得实数a 的值．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值方程的解法，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵函数f(x)为偶函数，f(x)+f(−x)x=2f(x)x<0⇒x ⋅f(x)<0 ①；∵f(x)在(0,+∞)上递增，f(2)=0； ∴f(x)在(−∞,0)上递减，f(−2)=0；所以，①式的解为(−∞,−2)∪(0,2)；故选：B函数f(x)为偶函数，x ⋅f(x)<0； f(x)在(−∞,0)上递减，f(−2)=0．本题主要考查函数的奇偶性与函数单调性，以及函数图形，属基础题．7.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1．故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案．本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．8.答案：A解析：本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面的底边长为3+1=4m，底面的高，即为三视图的宽3m，故底面面积S=12×3×4=6m2，棱锥的高即为三视图的高，故ℎ=2m，故棱锥的体积V=13Sℎ=4m3，故选：A9.答案：A解析：解：∵设这个等比数列为{a n}，则由题意可得a3=12，a4=18，∴它的公比为q=a433=32，则它的第一项为a1=a3q2=1294=163，第二项为a2=a3q=1232=8，则它的第1项与第2项的和为8+163=403，故选：A．由条件利用等比数列的定义和性质，求得第1项与第2项，可得第1项与第2项的和．本题主要考查等比数列的定义和性质，属于基础题．10.答案：B解析：解：在(3−x)(x+1)n(n∈N∗)的展开式中，令x=1，可得展开式各项系数之和为2n+1=64，∴n=5，则(3−x)(x +1)n =(3−x)(x +1)5=(3−x)(x 5+5x 4+10x 3+10x 2+5x +1)，则x 3的系数是30−10=20，故选：B ．令x =1，可得展开式各项系数之和为2n+1=64，由此求得n 的值．再把(x +1)n 按照二项式定理展开，可得x 3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：斜率为2直线过点F 1双曲线C 第二象限相交于点P ，|OP|=|OF 2|=c ，可得三角形PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，设|F 1P|=m ，|PF 2|=n ，可得n −m =2a ，又nm =2，解得m =2a ，n =4a ，又m 2+n 2=4c 2，即4a 2+16a 2=4c 2，即c =√5a ，则e =c a =√5．故选：B ．由题意可得三角形PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，设|F 1P|=m ，|PF 2|=n ，运用双曲线的定义和斜率的定义、勾股定理和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线定义、方程和性质，考查直角三角形的性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：A解析：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的图象的变化，注意函数零点的定义，属于基础题．根据题意，分析可得若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点，作出函数y =|(12)x −1|的图象，结合图象分析可得答案．解：根据题意，若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点，)x−1|的图象如图：函数y=|(12若其图象与直线y=2a有2个交点，必有0<2a<1，，即0<a<12)；即a的取值范围为(0,12故选：A．13.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y=3x−z，则z的最小值即为动直线在y轴上的截距的最大值．通过平移可知在A点处动直线在y轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72．故答案为：−72．14.答案：√3010解析：解：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=2，E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B(2,0，0)，E(1,0，2)，C(0,2，0)，B 1(2,0，2)，C 1(0,2，2)，F(1,1，2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)，设异面直线BE 与直线CF 所成角为θ，则cosθ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√6=√3010． ∴直线BE 与直线CF 所成角的余弦值是√3010．故答案为：√3010．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线BE 与直线CF 所成角的余弦值．本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 15.答案：A解析：本题主要考查简单的合情推理，可先由乙推出，可能去过A 城市或B 城市，再由甲推出只能是A ，B 中的一个，再由丙即可推出结论．解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为A．16.答案：16√15解析：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及基本不等式求最值的应用．是中档题．先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角差的正切公式，求得tan(α−β)，整理成基本不等式的形式，再根据基本不等式可求得tan(α−β)有最大值即α−β有最大值，得到答案．解：由题设知d=AB，得tanα=Hd ，tanβ=HAD=ℎDB=H−ℎd，则tan(α−β)= tanα−tanβ1+tanαtanβ=Hd−H−ℎd1+Hd·H−ℎd=ℎd+H(H−ℎ)d⩽ℎ2√H(H−ℎ),当且仅当d=H(H−ℎ)d，即d=√H(H−d)=√64×(64−4)=16√15时，取等号，故当d=16√15时，tan(α−β)最大．，则，∴当d=16√15时，α−β最大．故答案为16√15．17.答案：解：(1)设等比数列{b n}的公比为q，则q=b3b2=93=3，所以b1=b2q=1，b4=b3q=27，所以b n=3n−1(n∈N∗)，设等差数列{a n}的公差为d，因为a1=b1=1，a14=b4=27，所以1+13d=27，即d=2．所以a n=2n−1(n∈N∗).(2)由(1)知a n=2n−1,b n=3n−1，∴c n=(−1)n a n+b n=(−1)n(2n−1)+3n−1．从而数列{c n}的前n项和S n为：当n为偶数时，S n=−1+3−⋅⋅⋅+(2n−1)+1+3+⋅⋅⋅+3n−1=n+1−3n1−3=n+3n−12．当n为奇数时，S n=−1+3−⋅⋅⋅−(2n−1)+1+3+⋅⋅⋅+3n−1=−1+(−2)×n−12+1−3n1−3=−n+3n−12．．解析：本题考查数列的通项公式的求法，数列求和，考查计算能力．(1)设等比数列{b n}的公比为q，则q=b3b2=93=3，求出b n，设等差数列{a n}的公差为d.利用已知条件求出d，然后求解a n即可．(2)求出c n=(−1)n a n+b n=(−1)n(2n−1)+3n−1.讨论两种情况，①n为偶数，②n为奇数，利用分组求和求解即可．18.答案：(1)证明：∵FA//BG，BG⊂平面BGC，FA⊄平面BGC，∴FA//平面BGC，又∵AD//BC，BC⊂平面BGC，AD⊄平面BGC，∴AD//平面BGC，又∵AF∩AD=A，AF、AD⊂平面ADEF，∴平面BGC//平面ADEF，又GC⊂平面BGC，∴GC//平面ADEF．(2)解：∵FA⊥平面ABCD，AB、AD⊂平面ABCD，∴FA⊥AB，FA⊥AD，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ⊥AD ，故以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令AB =AF =4，则BG =1，DE =3，∴G(4,0，1)，C(4,4，0)，E(0,4，3)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,1),CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,3)，设平面CGE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ·CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−4y +z =0,−4x +3z =0, 令y =1，则n⃗ =(3,1,4)． ∵FA//ED,FA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥ED ．∵AC ⊥BD,ED ∩BD =D,ED,BD ⊂平面BDEG ，∴AC ⊥平面BDEG ．则平面DEG 的一个法向量为AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4,0)．设二面角C −GE −D 的大小为θ，由图得θ为锐角，∴cosθ=|n ⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13=2√1313． ∴二面角C −GE −D 的余弦值为2√1313．解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于一般题．(1)由已知条件得平面BGC//平面ADEF ，由此能证明GC//平面ADEF ．(2)以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −GE −D 余弦值．19.答案：解：X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=C 54C 94=5126， P(X =1)=C 53C 41C 94=2063，P(X =2)=C 52C 42C 94=1021，P(X =3)=C 51C 43C 94=1063，P(X =4)=C 44C 94=1126．故X 的分布列为解析：本题考查离散型随机变量及其分布列，X 可能的取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可写出X 的分布列，20.答案：解：(1)由题可知当点P 在短轴端点时，△PF 1F 2面积最大值为bc =√3①，此时∠F 1PF 2=π3，∠OPF 1=π6，所以b =√3c ，又知a 2=b 2+c 2③，联立①②③解得a =2,c =1,b =√3，所以椭圆 C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(0,m)由{x 24+y 23=1y =x +m，联立化简得：7x 2+8mx +4m 2−12=0， △=(8m)2−28(4m 2−12)>0，即m 2<7，∴x 1+x 2=−8m7，x 1⋅x 2=4m 2−127，∵MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(−x 1,m −y 1)=2(x 2,y 2−m)，∴x 1=−2x 2，与x 1+x 2=−8m 7，联立解得：x 1=−167m ，x 2=87m 代入x 1⋅x 2=4m 2−127，解得：m 2=713，∴m =±√9113 验证：当m =±√9113时，△>0成立，符合题意，故m =±√9113．解析：(1)利用△PF 1F 2面积最大值为bc =√3①，b =√3c②，a 2=b 2+c 2③，求出a ，b ，得到椭圆方程．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(0,m)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及向量相等关系，转化求解m 即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 21.答案：解：令g(x)=32( x −1)−f(x)=32( x −1)−lnx −√x +1 (x >1)则g′(x)=32−1x −12√x =3x−2−√x 2x ，由g′(x)=0，即3x −√x −2=0得：√x =1或√x =−23(舍)，∴g′(x)=(√x+23)(√x−1)2x ，∵x >1∴g′(x)>0恒成立，∴g(x)递增∴g(x)>g(1)=0，∴当x >1时，f(x)<32( x −1)．解析：令g(x)=32( x −1)−f(x)=32( x −1)−lnx −√x +1(x >1)，则g′(x)=3x−2−√x 2x ，由此利用导数性质能证明当x >1时，f(x)<32( x −1)．本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用． 22.答案：解：(1)消去参数得，曲线C 的普通方程得x 23+y 2=1. …(5分)(2)将直线l 的方程化为普通方程为x +√3y +2√3=0．设Q(√3cosα,sinα)，则M(√32cosα,1+12sinα)， ∴d =|√32cosα+√3+√32sinα+2√3|2=|√62sin(α+π4)+3√3|2，∴最小值是6√3−√64.…(10分)解析：(1)消去参数，将C 的参数方程化为普通方程；(2)将直线l 的方程化为普通方程为x +√3y +2√3=0.设Q(√3cosα,sinα)，则M(√32cosα,1+12sinα)，利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最小值．本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 23.答案：解：(1)f(x)=|x −2|−|x −1|，①当x ≤1时，f(x)=2−x −(1−x)=1，由f(x)>12，解得x ≤1；②当1<x <2时，f(x)=3−2x ，由f(x)>12，即3−2x >12，解得x <54，又1<x <2，所以1<x <54；③当x ≥2时，f(x)=−1不满足f(x)>12，此时不等式无解，综上，不等式f(x)>12的解集为：(−∞,54)；(2)∵a +2b +4c =f(12)+2=3， ∴1+2+4=(1+2+4)×a +2b +4c =13[(1+4+16)+2b a +2a b +4c a +4a c +8c b +8b c] ≥13(21+2√2b a ×2a b +2√4a a ×4a c +2√8c b ×8b c )=493，当且仅当a =b =c =37时等号成立．所以√1a +2b +4c 的最小值为7√33．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(1)去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集，(2)由题意可得a+2b+4c=3，再根据基本不等式即可求出．。

2020山西高考适应性考试理科数学(二)·答案与解析

秘密★启用前
2020 年山西省高考考前适应性测试（二）
理科数学参考答案详解及评分说明
评分说明： 1. 考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定
评分 . 2. 计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不
=8
PF2
=
8b2 a
，化简得
a2
=
4b2.
即 3a2
=
4c2 , e2
=
3, 4
∴e
=
3. 2
（2）由（1）得 a = 2b.
…………………………………………………………………………… 4 分
设
C:
x2 4b2
+
y2 b2
=
1, x2
=
y1 y2 x1 x2
=
4.
设点 P (x, y)，则 k1 k2
=
x
y +
1
⋅
x
y -
1
=
4，变形得 x2
-
y2 4
=
1(x
≠
±1)，
考虑到双曲线 x2 - y2 = 1 的渐近线为 y = ±2x，结合图象可知 k ∈ {0} ⋃ [2, +∞).
4
三、解答题
17.
解：（1）由已知得
an + 2 an
+
0=
-3
3.
∵正弦函数
y
=
sin
kπ 3
的周期为
6，
∴k = 12 时，S = -6 3 .
10. A 【解析】第二行的数乘以 3，第一个数 2 × 3 = 6，减第一行两次之后，第二行第一个数变成 0，

山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试试题数学(理) 含答案

山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试试题数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i 是虚数单位，20172i3i 1iz =-+，且z的共轭复数为z ，则z z ⋅=（） A ．3B ．5C ．5D ．32．已知全集为R ，集合2{|2}A x x x =<,{|lg(+4)1}B x x =<，则()A B =R（）A ．[3,2]-B ．[3,6)-C ．[3,0][2,+)-∞D ．[3,0][2,6)-3．已知函数1,0()2 , 0xx x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤，若()2f a <，则实数a 的取值范围是（） A ．(,3)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)D ．(0,3)4．已知夹角为θ的向量,a b 满足()2⋅+=a a b ，且||2||2==a b ，则向量,a b 的关系是( ) A ．互相垂直B ．方向相同C ．方向相反D ．成120︒角5．公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则46a a =（） A ．72-B ．73C ．213-D ．1376．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．9182π+ B ．9362π+ C ．1818π+ D ．1836π+7．已知α满足2sin()4πα+，则2tan 12tan αα+=（）A ．98 B ．98-C ．3D ．3-8．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（）A ．20B ．10C ．0D ．10-9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有（） A ．3840B ．5040C ．6020D ．720010．若不等式组20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥(0)k <所表示的平面区域的面积为4，则21x y z x +=-的取值范围是（）A ．2[2,]5-B ．12[2,]5-C ．12(,0][,)5-∞+∞ D ．12(,2][,)5-∞-+∞ 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=,260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为3，则该双曲线的方程为（）A ．22142x y -= B ．22144x y -= C ．22182x y -=D ．22184x y -=12．已知函数3|2|1,0()3+1,0x x f x x x x --⎧=⎨-+<⎩≥，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+-⎩≤，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．3(ln2,)2B ．(ln2,4)C ．(ln3,2)D ．(ln31,1)-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如22222222222222251213,6810,72425,81517,2896100+=+=+=+=+=，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数m 是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由m 生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 .14．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =与抛物线围成的封闭图形的面积为 .15．已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b +++的最小值为 .16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对于任意正整数n ，都有+3n n a S n +=，若存在正整数0n ，使得020(6)(1)4n m n a --≥，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角．（1）求cos A 的值；（2）当223a b bc+取得最小值时，求cos B 的值．18．(12分)如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ，CE AB =,PD CE λ=(13)λ<<．（1）求证:PE AD ⊥；（2）若二面角P BE D --的余弦值为13，求λ的值．19．(12分)2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒.（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量；（2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F 2P 在椭圆C上运动，当点P 恰好在直线l :2y x =上时，12PF F △22. （1）求椭圆C 的方程；（2）作与l 平行的直线1l ，与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若12,MF MF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.21．（12分）已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值；（2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围；②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2122x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=（m 为常数，且0m ＞），直线l 与曲线C 交于,A B 两点. （1）若2AB =，求实数m 的值；（2）若点P 的直角坐标为(1,2)-，且4PA PB ⋅＞，求实数m 的取值范围.23．（10分）选修4—5不等式选讲已知函数()||f x x m =-(其中m 为常数). （1）若(0)(2)3f f +≤，求实数m 的取值范围；（2）求证：22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.1．【答案】C 【解析】20172i 3i 1iz =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-，则12i z =+，故5z z ⋅=.2．【答案】D 【解析】由条件可得(0,2)A =，则(,0][2,)A =-∞+∞R ，而[3,6)B =-, 故()A B =R [3,0][2,6)-.3．【答案】A 【解析】当0a ≤时，212a <≤成立；当0a >时，由12a +<，故03a <<，综上可知，实数a 的取值范围是(,3)-∞.4．【答案】C 【解析】由()2⋅+=a a b 可得22+⋅=a a b ，即2||||||cos 2θ+⋅⋅=a a b ，即42cos 2θ+=，所以cos 1θ=-，即θπ=，所以,a b 方向相反.5．【答案】B 【解析】设{}n a 的公差为(0)d d ≠，由367,,a a a 成等比数列可得2637a a a =，即2111(5)(2)(6)a d a d a d +=++，即1213a d =-，故4613+6713103a d d a d d -==-+. 6．【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：219(31166)1822V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 7．【答案】B 【解析】由2sin()4πα+=可得22(sin cos )αα+=，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，即8sin 29α=-，故222sin 1tan 1119cos 2sin 2tan 2sin cos sin 28cos ααααααααα++====-. 8．【答案】B 【解析】该框图的运行结果是：20(2019)(1817)(21)010S =+-++-+++-+-=.9．【答案】B 【解析】“第一类”抽取3人的采访顺序有32324634C C A A 种；“第一类”抽取4人的采访顺序有415465C C A 种，故不同的采访顺序有32324154634465+5040C C A A C C A =.10．【答案】D 【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示. 图中点2(2,0),(,0),(0,2)A B C k-，故阴影部分的面积为12(2)242k⨯--⨯=，解之得13k =-,21x y z x +=-221y x +=+-，设点(,)P x y ,21y m x +=-，则m 的几何意义是点P 与点故z 的取值范围是12(,2][,)5-∞-+∞.11．【答案】C 【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260FMF ∠=︒，2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅,22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=， 12F MF ∴△的面积为2121||||sin 603232MF MF b ⋅⋅︒==，2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182x y -=. 12．【答案】D 【解析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，则2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-或1x = （舍去）.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时，'()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x = 与曲线()y g x =的图象如图所示.由图可知，若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解之得ln31<<1m -.13．【答案】145【解析】由217289=，而289144145=+，则这组勾股数中的“弦数”为145.14．【答案】24【解析】由抛物线的焦点坐标可得6p =，故抛物线方程为212x y =-，把y x =代入抛物线方程可得00x y =⎧⎨=⎩或1212x y =-⎧⎨=-⎩，故直线与抛物线围成的封闭图形的面积为232001212()d ()|2412362x x x x x ----=--=⎰.15．【答案】17【解析】()sin cos f x a x b x =+22)a b x ϕ++(tan )b aϕ=22a b +22a b ab +，整理可得22111a b +=，则 4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()111291117b a a b a b a b a b a b=+++=+++=++=≥, 当且仅当2234a b ==时，取得等号，故4422141a b a b +++的最小值为17. 16．【答案】11[,]-【解析】由+3n n a S n += ① 可得+1+1+4n n a S n += ②由②－①可得111n n n a a a ++-+=，即111(1)2n n a a +-=-，由114a S +=可得12a =,111a ∴-=，所以,{1}n a -是首项为1，公比为12的等比数列，所以，1112n n a --=，即1112n n a -=+，所以，1166(6)(1)22n n n n n n a ------=-=，设16()2n n f n --=，则1567(1)()222n n n n n nf n f n ----+-=-=，当70n ->，即07n <<时，()f n 递增，当7<0n -，即>7n 时，()f n 递减，故()f n 的最大值为1(7)(8)64f f ==. 故21464m ≤，故实数m 的取值范围是11[,]44-.17．【解析】（1）由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=及正弦定理可得23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =，而A 是锐角，所以4cos 5A =.（5分）（2）由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则2222228434855b c bca b b c bc bc bc +-++==-481255bc bc -=≥，当且仅当2c b =时，2a bc取得最小值125.（9分）此时22222894255b a b b b =+-⨯=，所以35b a =，∴2222229+4255cos 23522b b b a c b B ac bb-+-===⨯⨯.（12分） 18．【解析】（1）ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥,PD ⊥平面ABCD ,AD PD ∴⊥，而,,PD CD D PD CD =⊂平面PDCE ,AD ∴⊥平面PDCE ，又PE ⊂平面PDCE ,PE AD ∴⊥.（6分）（2）如图，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.(1,0,1)BE =-,(1,1,0)DB =,(1,1,)BP λ=--.设平面PBE 和平面DBE 的法向量分别为11112222(,,),(,,)x y z x y z ==n n . 由条件可得1100BE BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即1111100x z x y z λ-+=⎧⎨--+=⎩，令11x =，故1(1,1,1)λ=-n .同理可得2(1,1,1)=-n .由条件可得1212212||1|cos ,|||||31(1)13λ⋅<>==⋅+-+⋅n n n n n n ，即28+12=0λλ-，解之得=2λ或=6λ(舍去).∴=2λ.（12分） 19．【解析】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量为： 0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm).（3分）（2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3, 则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中，属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分）从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数，ξ的取值可能为0,1,2,3. 则373107(0)24C P C ξ===,123731021(1)40C C P C ξ===,21373107(2)40C C P C ξ===,333101(3)120C P C ξ===. 所以，ξ的分布列为：ξ 0123P72421407401120则ξ的期望值为：701230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）.（12分） 20．【解析】（1）由222212x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得222224a b x a b =+,2222244a b y a b =+.根据对称性，不妨设点P 在第一象限，则点P 的坐标为2222(44a b a b ++，设椭圆的焦距为2c ，由条件可得22122224c a b ⨯+2224a b +，由椭圆的离心率可得2c a ，所以，2212c a =,22212a b a -=，所以，2a b ,c b =，∴3222242b b b ⨯+，解之得1b =，故2a 故椭圆C 的方程为2212x y +=.（6分）（2）设直线1l 的方程为2y x m =+(0)m ≠.由22122x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得2298220x mx m ++-=，由条件可得226436(22)0m m ∆=-->，即33m -<<，所以，30m -<<，或03m <<.设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则21212822,99m m x x x x -+=-=.则120429x x m x +==-,0029m y x m =+=.则001200,11y yk k x x ==+-， ∴00120011y y k k x x +=++-002021x y x =-2429916181m mm -⨯⨯=-2288116m m =-. 当0m ≠时，12288116k k m +=-，且12k k +在(3,0)m ∈-和(0,3)m ∈上的取值范围相同，故只需求12k k +在(0,3)m ∈上的取值范围.而12k k +在9(0,)4m ∈和9(,3)4m ∈上随m 的增大而增大.∴12k k +的取值范围是8(,)(0,)7-∞-+∞.（12分）21．【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--，由条件可得21'(2)233f m =-=-，即12m =. 则3()ln (21)2f x x x =--+,2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >，令'()0f x =可得32x =，当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x .∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值.（4分）（2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立. 即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >,∴210x ->,∴ln(21)21x m x ->-恒成立. 令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-，令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，'()0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减，故()g x 的最大值为11()2e g e+=,∴1m e >，即实数m 的取值范围是1(,)e +∞.（8分）②由①可知,25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立.令21(m )m x *=-∈N ，则2ln 5mm <.2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（），即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）,∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<.（12分） 22．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=，化为直角坐标系下的普通方程为：222x y my +=，即222()x y m m +-=. 直线l 的普通方程为：10x y +-=，而点(0,)m 到直线l 的距离为2d ，由条件可得221||2()22m AB m -=-，即2230m m +-=，结合0m >可得1m =.（5分）（2）显然点P 在直线l 上,把2122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3)2450t m t m +--+=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t .则22(3)4(45)0m m ∆=---+>，解之得12m <-21m . 则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>，解之得94m >或14m <. 而0m >,∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.（10分） 23．【解析】（1）由条件可知(0)(2)|||2|3f f m m +=+-≤，①当0m <时，23m m -+-≤，解之得12m -≥，所以，102m -<≤； ②当02m ≤≤时，23m m +-≤，恒成立，所以，02m ≤≤； ③当2m >时，23m m +-≤，解之得52m ≤，所以，522m <≤. 综上可知，实数m 的取值范围是15[,]22-．（5分）（2）(1)(3)f f -+|1||3||(1)(3)|4m m m m =++-+--=≥,∴363609(1)(3)4f f <=-+≤，而222214()()a b a b ++2222455249b a a b =+++≥， ∴22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.（10分）。

山西省2020年高考数学二模试卷(理科)(I)卷(考试)

山西省2020年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三下·重庆模拟) 设，则 =（）A .B .C .D . 22. （2分） (2017高三上·定西期中) 已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A . [2，+∞）B . （2，+∞）C . [1，+∞）D . （﹣∞，﹣1]3. （2分） (2017高三上·惠州开学考) 已知函数f（x）= sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A . 函数f（x）的最小正周期为πB . 函数f（x）的图象关于x= 对称C . 函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到D . 函数f（x）在区间[0， ]上是增函数4. （2分） (2015高二上·蚌埠期末) 已知不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为（）A . 2B . 3C . 4D . 55. （2分） (2019高二上·鹤岗期末) 如图是一个算法的程序框图,则其输出结果是（）A .B .C .D .6. （2分）设函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x，g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为函数g（x）的图象，则m的值可以是（）A . πC .D .7. （2分）(2019·全国Ⅲ卷理) 双曲线的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为（）A .B .C .D .8. （2分）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）在△ABC中，P是BC上一点，若=m+，则实数m的值为（）A .B .C .10. （2分） (2019高三上·宜城期中) 已知函数，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·吉林模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二下·吉林月考) 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019高二上·大埔期中) 已知三棱锥中，侧面底面，，，，则三棱锥外接球的半径为________.14. （1分） (2015高一上·西安期末) 直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于________．15. （1分）(2020·宝山模拟) 在的展开式中，的系数为________16. （1分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是30m，则河流的宽度BC等于________．三、解答题 (共8题；共55分)17. （10分） (2019高三上·上高月考) 已知各项均为正数的数列的前项和为，， .（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，数列的前项和记为 ,证明： .18. （5分）高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年10月1日当天在该网站消费且消费金额不超过1000元的1000名（女性800名，男性200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）：消费金额（0，200）[200，400）[400，600）[600，800）[800，1000）人数5101547x女性消费情况：男性消费情况：消费金额（0，200）[200，400）[400，600）[600，800）[800，1000）人数2310y2（Ⅰ）现从抽取的100名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写右面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”女性男性总计网购达人非网购达人总计P（k2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）19. （5分）如图，矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点．①求证：直线AR∥平面PMC；②求证：直线MN⊥直线AB．20. （5分）(2018·浙江模拟) 已知抛物线的焦点为，点，且．Ⅰ 求抛物线方程；Ⅱ 设是抛物线上的两点，当为的垂心时，求直线的方程．21. （10分）(2012·辽宁理) 设f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y= x在（0，0）点相切．（1）求a，b的值；（2）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．22. （5分）如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若,求的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．23. （10分） (2018高二下·龙岩期中) 设直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于M，N两点，点，求的值．24. （5分）(2019·宝安模拟) 已知函数 . （Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）设，且存在，使得，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、。

山西省临汾市2020年(春秋版)高考数学二模试卷(理科)A卷

山西省临汾市2020年（春秋版）高考数学二模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设集合，集合，则下列关系中正确的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·上海月考) 已知全集，，，则集合（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·临沂模拟) 某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ～N（100，σ2），已知P（80＜ξ≤100）=0.45，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A . 5份B . 10份C . 15份D . 20份4. （2分）(2017·临沂模拟) “|x﹣1|+|x+2|≤5”是“﹣3≤x≤2”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2017·临沂模拟) 某几何体的三视图如图所示，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的表面积为（）A . 24πB . 16πC . 12πD . 8π6. （2分）(2017·临沂模拟) 将函数的图象向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数y=g（x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·临沂模拟) 已知x，y满足若目标函数z=﹣2x+y的最大值不超过2，则实数m的取值范围是（）A . （﹣2，2）B . [0，2]C . [﹣2，0]D . [﹣2，2]8. （2分）(2017·临沂模拟) 在平面直角坐标系中，已知点A，B分别为x轴、y轴上的点，且|AB|=1，若点P（1，），则 |的取值范围是（）A . [5，6]B . [5，7]C . [4，6]D . [6，9]9. （2分） (2017·临沂模拟) 已知双曲线与双曲线的离心率相同，双曲线C1的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， M是双曲线C1的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2 ，若△OMF2的面积为，则双曲线C1的实轴长是（）A . 32B . 16C . 8D . 410. （2分）(2017·临沂模拟) 已知f（x）=|xex|，又g（x）=[f（x）]2﹣tf（x）（t∈R），若方程g（x）=﹣2有4个不同的根，则t的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，||+||=K，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线x=的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为________12. （1分） (2018高三上·西安模拟) 从集合中任选一个元素，则满足的概率为________．13. （1分）(2017·临沂模拟) 阅读如图的程序框图，若运行此程序，则输出S的值为________．14. （1分）(2017·临沂模拟) 三国时代吴国数学家赵爽所著《周髀算经》中用赵爽弦图给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽弦图，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色和黄色，若朱色的勾股形中较大的锐角α为，现向该赵爽弦图中随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在黄色的小正方形内的概率为________．15. （1分）(2017·临沂模拟) 定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）= ，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0而是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函数”；②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，则它的均值点x0≤ ；③若函数f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m∈（﹣2，0）；④若f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜．其中的真命题有________（写出所有真命题的序号）．三、解答题 (共6题；共40分)16. （10分）(2019高一上·利辛月考) 在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.17. （10分） (2017高三上·南充期末) 抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品A1、A2、A3 ，假定A1正面向上的概率为，A2正面向上的概率为，A3正面向上的概率为t（0＜t＜1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．（1）求ξ的分布列及数学期望Eξ（用t表示）；（2）令an=（2n﹣1）cos（Eξ）（n∈N+），求数列{an}的前n项和．18. （5分）(2017·临沂模拟) 如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是等腰三角形，∠CAD=120°，AD=DE=2AB．（I）求证：平面BCE⊥平面CDE；（II）求平面BCE与平面ADEB所成锐二面角的余弦值．19. （5分）(2017·临沂模拟) 已知数列{an}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是2，若对满足m+n≤5的任意正整数m，n，均有am+an=am+n成立．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．20. （5分）(2017·临沂模拟) 已知函数f（x）= ．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若不等式f（x）＞恒成立，求整数k的最大值；（III）求证：（1+1×2）•（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e2n﹣3（n∈N*）．21. （5分）(2017·临沂模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1：的离心率为，抛物线C2：x2=4y的焦点F是C1的一个顶点．（I）求椭圆C1的方程；（II）过点F且斜率为k的直线l交椭圆C1于另一点D，交抛物线C2于A，B两点，线段DF的中点为M，直线OM交椭圆C1于P，Q两点，记直线OM的斜率为k'．（i）求证：k•k'=﹣；（ii）△PDF的面积为S1 ，△QAB的面积为是S2 ，若S1•S2=λk2 ，求实数λ的最大值及取得最大值时直线l的方程．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共40分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、。

2020年山西省临汾市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)

第1页（共19页）2020年山西省临汾市高考数学模拟试卷（理科）（ 4月份）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ 5分）在复平面内，复数对应的点位于( )A •第一象限B .第二象限C . 第三象限D •第四象限2. （ 5分）已知集合A2{1 , 2, 3}, B {x|x4xm 0}，若 A | B {1}，则 B ()A • {1 , 3}B • {1 , 3}C . {1 , 5}D • {1 , 5}3. （ 5分）已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示•为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查•若高中生需抽取的 20名学生，则抽A . 40B . 60C .120Luu r unr r unr 1 uur iuur 4. ( 5 分)ABC 中，AB a , AC b , BDDC 则AD (2D . 360)5. r b2 - 3r b1 - 3r b1 - 2A .1B . 2C . 3D . 46. (5 分）已知函数 f （x ）疋疋乂在 R 上的偶函数，在区间(0, ）上单调递增，则（2：x 1）gf （x ） 0的解集为（ )A • ( , 1) (1,)B . ( 1 ,0) (0 , 1)C • ( , 1)(0 , 1)D . ( 1 ,0)(1 ,)7•(5分）已知关于 x 的方程 sin x cosx a在区间 [0 , 2］恰有两个根sin()cos( )( )1) 0,，则D . 2a取的学生总人数为（C . 3h直线过点F 2且交C 于A , B 两点.若IBF 2I 2IFFI ，则C 的离心率为（& （ 5分）某几何体的三视图如图所示（单位: cm ），则该几何体的体积（单位： cm ）是（ C .丄29. （ 5分）一个球从h 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第 10次着地时,全程共经过（10. (5 分) 2(X 52x y ）的展开式中,2X y 的系数为（A . 30B . 40C . 60 12011. (5 分)2 2已知双曲线C ：a ,b _ 1（b 3a 0）的左右焦点分别为F 1 , F 2, 斜率为「3的6 3B .—3312 . （5分）已知三次函数f （x ） — ax 23四个实数根，则实数 a 的范围为（）A .2C . 2 53a 2x b （a 0）有两个零点,若方程A . （0,f ）二、填空题：本大题共 4小题，每小题C .（2 5分，共20分.13 . （5分）若x , y 满足约束条件x 2y 2, 0,x y j ・0,则z 3x 2y 的最小值为 y, 0,14 . （5分）已知直三棱柱 ABC ABC 所有的棱长都相等,D ,E 分别为棱AA , BC 的中B . (0,点，则异面直线DE与AB所成角的余弦值为______ •15. （5分）现有三张卡片每张卡片上分别写着北京、上海、广州三个城市中的两个且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观•甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去广州".乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去上海”则甲、丙同去的城市为 ______ .16. （5分）在ABC中，角A , B , C所对的边分别为a , b , c , ABC 120 , BD是AC边上的高线，且BD 3，则a c的最小值为___________ .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）等差数列佝｝的公差为正数，a 1，其前n项和为S n ；数列｛5｝为等比数列，b 2，且b?S2 12 , b2 S3 10.（I）求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式;1（n）设& b n —，求数列3｝的前n项和T n .S n18. （12分）如图所示，已知多面体EF ABCD中，四边形ABCD为菱形，ACDE为正四面体，且BF //DE .（1）求证：CE //平面ABF ;（2 ）求二面角C AB F的余弦值.方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止.方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3 只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.第4页(共19页)第5页（共19页）(1)求方案甲化验次数X的分布列；(2)判断哪一个方案的效率更高，并说明理由.2 220. ( 12分)已知椭圆方程为与占1(a b 0)，左，右焦点分别为F l，F2，上顶点为A，a b△ AFF2是面积为4的直角三角形.(1)求椭圆的标准方程；uuu uuir(2)过F i作直线与椭圆交于P , Q两点，若OPgOQ ［6, 4］，求PQF?面积的取值范围.21. (12 分)设函数f(x) (x 1)lnx k(x 1).(1 )当xT时f (x)-0恒成立，求k的最大值；(2)证明：对任意正整数n，不等式—11 1空恒成立.2n 1 2n 3 2n 5 4n 1 2［选修4-4:坐标系与参数方程］22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，直线I的x 2cos a极坐标方程为cos 2 sin 1 0,曲线C的参数方程为_ (a为参数).y J3sin a(1)求曲线C上的点到直线I的距离的最大值；(2)直线l与曲线C交于A、B两点，已知点M(1,1),求|MAgMB|的值.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数f (x) | x 1| 2|x 1| .(1 )求不等式f(x), 3的解集；(2)若函数y f (x)的图象的最低点为(m,n)，正数a , b满足ma nb 2，求-1的最a b小值.。

山西省临汾市2020年(春秋版)高考数学二模试卷(理科)A卷(新版)

山西省临汾市2020年（春秋版）高考数学二模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合M={x|x2-2x＜0},N=｛x|x≥1｝,则集合M∩(CUN)等于（）A . ФB . ｛x|0<x<2｝C . ｛x|x<1｝D . ｛x|0<x<1｝2. （2分）已知复数满足，则A .B . 3C . 4D . 53. （2分） (2018高三上·静安期末) 已知等比数列前项和为，则下列一定成立的是（）A . 若，则；B . 若，则；C . 若，则；D . 若，则．4. （2分）(2018·安徽模拟) 执行如图所示的程序框图，当输入的时，输出的结果不大于的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）若双曲线的右焦点到渐近线的距离与右顶点到渐近线的距离比为，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D . 56. （2分）在△AB C中，A，B，C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB﹣ccosB， =2，则△ABC 的面积为（）A .B .C . 2D . 47. （2分）执行如图所示的程序框图，若输出的值为15，则输入的n值可能为（）A . 2B . 4C . 6D . 88. （2分） (2017高二下·原平期末) 已知函数若存在非零实数,使得成立,则实数的取值范围是（）A . .B .C .D .9. （2分）已知，则的取值范围是（）A . [1，4]B . [2，6]C . [3，7]D .10. （2分）已知双曲线过点的直线与相交于两点，且的中点为 ,则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·廊坊期末) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A .B .C .D .12. （2分）曲线y＝在点（2,4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A . 1B . 2C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·北京期中) 已知展开式的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是________.14. （1分） (2018高二上·吉安期中) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为________．15. （1分） (2016高二上·潮阳期中) 如图所示，如图为一个四棱锥的三视图，则该四棱锥所有的侧棱中最长的为________16. （1分） (2019高一下·哈尔滨期中) 在数列中，，，则 ________三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高二上·菏泽期中) 为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路，其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长米．（1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度；（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．18. （10分）如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形．侧棱长为5，平面ABCD⊥平面A1ACC1 ， AB=3 ，∠BAD=60°，点E是△ABD的重心，且A1E=4．（1）求证：平面A1DC1∥平面AB1C；（2）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值．19. （5分） (2018高二上·安庆期中) 有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：气温04121927热奶茶销售杯数15013213010494（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程（精确到0.1），若某天的气温为，预测这天热奶茶的销售杯数；（Ⅱ）从表中的5天中任取两天，求所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130的概率．参考数据：， .参考公式：，．20. （15分） (2016高二上·眉山期中) 已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21. （10分）已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；22. （10分） (2018高二下·绵阳期中) 已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.23. （5分） (2019高二下·大庆月考) 已知函数 .（Ⅰ）求证：函数有唯一零点；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。

山西省临汾市2020届高三下学期线上模拟考试(2)数学(理)试题 Word版含答案

理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知i 是虚数单位，20172i3i 1iz =-+，且z的共轭复数为z ，则z z ⋅=（） A ．3B ．5C ．5D ．32．已知全集为R ，集合2{|2}A x x x =<,{|lg(+4)1}B x x =<，则()A B =R I ð（）A ．[3,2]-B ．[3,6)-C ．[3,0][2,+)-∞UD ．[3,0][2,6)-U3．已知函数1,0()2 , 0x x x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤，若()2f a <，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)D ．(0,3)4．已知夹角为θ的向量,a b 满足()2⋅+=a a b ，且||2||2==a b ，则向量,a b 的关系是( ) A ．互相垂直B ．方向相同C ．方向相反D ．成120︒角5．公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则46a a = （）A ．72-B ．73C ．213-D ．1376．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．9182π+ B ．9362π+ C ．1818π+ D ．1836π+7．已知α满足2sin()4πα+=，则2tan 12tan αα+=（）A ．98 B ．98-C ．3D ．3-8．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（）A ．20B ．10C ．0D ．10-9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有（） A ．3840B ．5040C ．6020D ．720010．若不等式组20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥(0)k <所表示的平面区域的面积为4，则21x y z x +=-的取值范围是（）A ．2[2,]5-B ．12[2,]5-C ．12(,0][,)5-∞+∞U D ．12(,2][,)5-∞-+∞U 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=, 260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为3，则该双曲线的方程为（）A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182x y -=D ．22184x y -=12．已知函数3|2|1,0()3+1,0x x f x x x x --⎧=⎨-+<⎩≥，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+-⎩≤，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．3(ln2,)2B ．(ln2,4)C ．(ln3,2)D ．(ln31,1)-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如22222222222222251213,6810,72425,81517,2896100+=+=+=+=+=，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数m 是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由m 生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 .14．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =与抛物线围成的封闭图形的面积为 .15．已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b +++的最小值为 .16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对于任意正整数n ，都有+3n n a S n +=，若存在正整数0n ，使得020(6)(1)4n m n a --≥，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角．（1）求cos A 的值；（2）当223a b bc+取得最小值时，求cos B 的值．18．(12分)如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ， CE AB =,PD CE λ=(13)λ<<．（1）求证:PE AD ⊥；（2）若二面角P BE D --的余弦值为13，求λ的值．19．(12分)2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒.（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量；（2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F 2且P 在椭圆C 上运动，当点P 恰好在直线l :2y x =上时， 12PF F △22. （1）求椭圆C 的方程；（2）作与l 平行的直线1l ，与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若12,MF MF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.21．（12分）已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值；（2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围； ②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=（m 为常数，且0m ＞），直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）若2AB =，求实数m 的值；（2）若点P 的直角坐标为(1,2)-，且4PA PB ⋅＞，求实数m 的取值范围. 23．（10分）选修4—5不等式选讲已知函数()||f x x m =-(其中m 为常数).（1）若(0)(2)3f f +≤，求实数m 的取值范围；（2）求证：22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.理科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】20172i 3i 1i z =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-，则12i z =+，故5z z ⋅=. 2．【答案】D 【解析】由条件可得(0,2)A =，则(,0][2,)A =-∞+∞R U ð，而[3,6)B =-, 故()A B =R I ð[3,0][2,6)-U .3．【答案】A 【解析】当0a ≤时，212a <≤成立；当0a >时，由12a +<，故03a <<，综上可知，实数a 的取值范围是(,3)-∞. 4．【答案】C 【解析】由()2⋅+=a a b 可得22+⋅=a a b ，即2||||||cos 2θ+⋅⋅=a a b ，即42cos 2θ+=，所以cos 1θ=-，即θπ=，所以,a b 方向相反.5．【答案】B 【解析】设{}n a 的公差为(0)d d ≠，由367,,a a a 成等比数列可得2637a a a =，即2111(5)(2)(6)a d a d a d +=++，即1213a d =-，故4613+6713103a d d a d d -==-+. 6．【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：219(31166)1822V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 7．【答案】B 【解析】由2sin()4πα+=可得22(sin cos )αα+=，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，即8sin29α=-，故222sin 1tan 1119cos 2sin 2tan 2sin cos sin 28cos ααααααααα++====-.8．【答案】B 【解析】该框图的运行结果是：20(2019)(1817)(21)010S =+-++-+++-+-=L .9．【答案】B 【解析】“第一类”抽取3人的采访顺序有32324634C C A A 种；“第一类”抽取4人的采访顺序有415465C C A 种，故不同的采访顺序有32324154634465+5040C C A A C C A =. 10．【答案】D 【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示.图中点2(2,0),(,0),(0,2)A B C k-，故阴影部分的面积为12(2)242k⨯--⨯=，解之得13k =-,21x y z x +=-221y x +=+-，设点(,)P x y ,21y m x +=-，则m 的几何意义是点P 与点(1,2)D -连线的斜率.而25DB k =,4DC k =-，由图可知，4m -≤或25m ≥，故z 的取值范围是12(,2][,)5-∞-+∞U .11．【答案】C 【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260FMF ∠=︒， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅,22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=， 12F MF ∴△的面积为2121||||sin 603232MF MF b ⋅⋅︒==， 2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182x y -=. 12．【答案】D 【解析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+，则2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-或1x = （舍去）.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时， '()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象如图所示.由图可知，若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解之得ln31<<1m -. 13．【答案】145【解析】由217289=，而289144145=+，则这组勾股数中的“弦数”为145. 14．【答案】24【解析】由抛物线的焦点坐标可得6p =，故抛物线方程为212x y =-，把y x =代入抛物线方程可得00x y =⎧⎨=⎩或1212x y =-⎧⎨=-⎩，故直线与抛物线围成的封闭图形的面积为232001212()d ()|2412362x x x x x ----=--=⎰. 15．【答案】17【解析】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ+(tan )baϕ=ab ，整理可得22111a b+=，则4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()1111117b a a b a b a b a b a b =+++=+++=++=≥, 当且仅当2234a b ==时，取得等号，故4422141a b a b +++的最小值为17.16．【答案】11[,]44-【解析】由+3n n a S n += ① 可得+1+1+4n n a S n += ②由②－①可得111n n n a a a ++-+=，即111(1)2n n a a +-=-，由114a S +=可得12a =,111a ∴-=，所以,{1}n a -是首项为1，公比为12的等比数列，所以，1112n n a --=，即1112n n a -=+，所以，1166(6)(1)22n n n n n n a ------=-=，设16()2n n f n --=，则1567(1)()222n n n n n nf n f n ----+-=-=，当70n ->，即07n <<时，()f n 递增，当7<0n -，即>7n 时，()f n 递减，故()f n 的最大值为1(7)(8)64f f ==.故21464m ≤，故实数m 的取值范围是11[,]44-.17．【解析】（1）由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=及正弦定理可得23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =，而A 是锐角，所以4cos 5A =.（5分）（2）由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则2222228434855b c bc a b b c bc bc bc +-++==-481255bc bc -=≥，当且仅当2c b =时，2a bc取得最小值125.（9分）此时22222894255b a b b b =+-⨯=，所以a ，∴2222229+4cos 2b b b a c b B ac -+-===（12分）18．【解析】（1）ABCD Q 是正方形，AD CD ∴⊥,PD ⊥Q 平面ABCD ,AD PD ∴⊥，而,,PD CD D PD CD =⊂I 平面PDCE ,AD ∴⊥平面PDCE ，又PE ⊂平面PDCE ,PE AD ∴⊥.（6分）（2）如图，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设1AB =，则1CE =,PD λ=.则(0,0,0),(0,0,),(1,1,0),(0,1,1)D P B E λ，(1,0,1)BE =-u u u r ,(1,1,0)DB =u u u r ,(1,1,)BP λ=--u u u r.设平面PBE 和平面DBE 的法向量分别为11112222(,,),(,,)x y z x y z ==n n .由条件可得110BE BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n ，即1111100x z x y z λ-+=⎧⎨--+=⎩，令11x =，故1(1,1,1)λ=-n . 同理可得2(1,1,1)=-n .由条件可得1212212||1|cos ,|||||31(1)13λ⋅<>==⋅+-+⋅n n n n n n ，即28+12=0λλ-，解之得=2λ或=6λ分） 19．【解析】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量为： 0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm).（3分）（2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3, 则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中，属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分）从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数，ξ的取值可能为0,1,2,3.则373107(0)24C P C ξ===,123731021(1)40C C P C ξ===,21373107(2)40C C P C ξ===,333101(3)120C P C ξ===. 所以，ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P724 2140 740 1120则ξ的期望值为：01230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）.（12分） 20．【解析】（1）由222212x y a b y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得222224a b x a b =+,2222244a b y a b =+. 根据对称性，不妨设点P 在第一象限，则点P 的坐标为2222(,)44a b a b ++，设椭圆的焦距为2c ，由条件可得221222234c a b ⨯=+，即22234abc a b =+，由椭圆的离心率可得2c ，所以，2212c a =,22212a b a -=，所以，2a b ,c b =， ∴3222242b b b⨯+，解之得1b =，故2a 故椭圆C 的方程为2212x y +=.（6分）（2）设直线1l 的方程为2y x m =+(0)m ≠.由22122x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得2298220x mx m ++-=，由条件可得226436(22)0m m ∆=-->，即33m -<<，所以，30m -<<，或03m <<.设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则21212822,99m m x x x x -+=-=. 则120429x x m x +==-,0029m y x m =+=.则001200,11y yk k x x ==+-，∴00120011y y k k x x +=++-002021x y x =-2429916181m m m -⨯⨯=-2288116m m =-.当0m ≠时，12288116k k m +=-，且12k k +在(3,0)m ∈-和(0,3)m ∈上的取值范围相同，故只需求12k k +在(0,3)m ∈上的取值范围.而12k k +在9(0,)4m ∈和9(,3)4m ∈上随m 的增大而增大.∴12k k +的取值范围是8(,)(0,)7-∞-+∞U .（12分）21．【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--，由条件可得21'(2)233f m =-=-，即12m =.则3()ln (21)2f x x x =--+,2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >，令'()0f x =可得32x =，当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x .∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值.（4分）（2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立.即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >,∴210x ->,∴ln(21)21x m x ->-恒成立.令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-，令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，'()0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减，故()g x 的最大值为11()2e g e+=,∴1m e >，即实数m 的取值范围是1(,)e +∞.（8分） ②由①可知,25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立.令21(m )m x *=-∈N ，则2ln 5mm <.2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（）L L ，即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）L ,∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<.（12分） 22．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=，化为直角坐标系下的普通方程为：222x y my +=，即222()x y m m +-=.直线l 的普通方程为：10x y +-=，而点(0,)m 到直线l的距离为d =由条件可得||2AB =，即2230m m +-=，结合0m >可得1m =.（5分）（2）显然点P 在直线l 上,把12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3450t m m +--+=，设点,A B 对应的参数分别为1,t t . 则22(3)4(45)0m m ∆=---+>，解之得1m <-1m .则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>，解之得94m >或14m <.而0m >,∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.（10分）23．【解析】（1）由条件可知(0)(2)|||2|3f f m m +=+-≤，①当0m <时，23m m -+-≤，解之得12m -≥，所以，102m -<≤；②当02m ≤≤时，23m m +-≤，恒成立，所以，02m ≤≤；③当2m >时，23m m +-≤，解之得52m ≤，所以，522m <≤.综上可知，实数m 的取值范围是15[,]22-．（5分）（2）Q (1)(3)f f -+|1||3||(1)(3)|4m m m m =++-+--=≥,∴363609(1)(3)4f f <=-+≤，而222214()()a b a b ++22224559b a a b =+++=≥，∴22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.（10分）。