平面向量的数量积(第一课时)课例与点评
高中数学_平面向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思
向量数量积的定义一、教学设计平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
二、教学目标1通过向量夹角的定义及练习使学生掌握向量夹角的求法2 掌握向量在轴上正射影数量的求法3 掌握向量的数量积的定义及性质三、教学重难点1、重点：平面向量数量积的定义。
2、难点：平面向量数量积的定义的理解。
四、教学准备1、实验教具：计算机、黑板、粉笔2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。
五、教学过程平面向量数量积学情分析1.从学生的知识储备分析：本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习掌握了平面向量的线性运算，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识向量的分解与向量的坐标运算，因此学生对于平面向量数量积的学习有良好的认知基础。
但是学生对于数量积的定义的理解有一定的困难，要通过物理当中的做功运算一步步引导学生学习平面向量数量积的定义2、从我校教学特点分析，我校每个班级都成立了学习小组，小组成员是根据学生的学习能力安排的，每个小组均有学优生和学困生，可以有效完成小组合作，学生可以小组为单位进行讨论、探究式学习。
(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。
向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。
教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标：1.了解向量的数量积的抽象根源。
2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：2课时五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。
首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ⋅F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个=scos⋅向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。
这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。
2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a⋅b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。
【评课】《平面向量数量积的物理背景及其含义(1)》
评课《平面向量数量积的物理背景及其含义（1）》
本节课是概念数学课，教师应用多媒体辅助教学，设计了从物理和数学两个角度创设情景，注重概念产生背景及概念深化的过程，使学生认识了数量积的数学模形。
通过问题形式引导学生自主探究数量积的性质及运算律，培养了学生类比、从特殊到一般的归纳概括能力，通过练习使学生掌握了数量积的计算，最后教师通过知识技能、思维方法两个方面加以总结，使学生深化对数量积的认识，形成了良好的认知结构。
数量积的性质在解题中有许多应用，同时也应是本节课的重、难
点，如何突破，教师在教学设计中似乎“单薄”些。
如重要性质ab a b
v v v v 应配备练习来加以巩固。
平面向量的数量积及运算律(一)教案
●（一）、新课引入——为什么定义平面向量数量积 在物理学中学过功的概念，一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所作的功W=FScos θ。
思考：W 是什么量？F 和S 是什么量？和向量有什么关系？W 是标量（实数），F 和S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。
我们学过的向量运算a b,a b,a +-λ结果都是向量。
因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。
●（二）、新课学习★新课学习阶梯一 ——怎么定义平面向量数量积 思考：模仿物理学功的定义：a b a b cos ⋅=θ思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义 a *b a b sin =θ，有什么几何意义？引导学生阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0。
1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角（右图的夹角分别是什么） 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 思考：功怎么用数量积表示：F S ⋅数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。
★新课学习阶梯二 ——怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。
1几何意义：“投影”的概念：作图A BO ab θ AB O a b θ定义：|b |cos θ 叫做向量b 在a 方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积2．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b= 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos θ =||||a b a b ⋅（此性质可以解决向量的夹角问题）； （4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？ 实数的运算律向量数量积运算律 （交换律） ab=baa b?b a ⋅⋅ √ （结合律）(ab)c=a(bc)(a b)c?a (b c)⋅⋅⋅⋅ × （分配律）a(b+c)=ab+aca (b c)?a b ac ⋅+⋅+⋅ √ (a)b?(a b)?a (b)λ⋅λ⋅⋅λ √思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。
2.4.1平面向量的数量积》(第一课时)
问题提出
1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 向量的模和夹角分别是什么概念
, 注意: 两向量的夹角定义两向量必须 是同起点的范围是 ≤θ ≤ π. , 0
向量的夹角 两个非零向量a 两个非零向量 和b ，作OA = a ，OB = b ，则 ∠AOB = θ
数量积a·b等于 的模与 数量积 等于a的模与 在a方向上的 等于 的模与b在 方向上的 投影︱ ︱ θ的乘积，或等于b的模与 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于 的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积. 方向上的投影︱ ︱ θ的乘积. 在 方向上的投影
平面向量的数量积的运算性质 问题5 都是非零向量， 等于多少？ 问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？ 与 都是非零向量 ⊥ ， 等于多少 反之成立吗？ 反之成立吗？
数量积的运算律： 数量积的运算律： 交换律： 交换律： r r r r r r r 分配律： 分配律：(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
r r r r a ⋅b = b ⋅ a
数乘结合律： 数乘结合律：
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ＝ 关于向量的数量积运算： 关于向量的数量积运算： 数量积运算不满足结合律。 数量积运算不满足结合律。 思考４：对于实数λ,(λa)·b表示什么意义?它可以转化为哪
Байду номын сангаас
F
S
W＝︱F︱︱s︱cosθ ＝
问题2：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果 问题 ：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果 我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该 我们将公式中的力与位移推广到一般向量， 如何表述？ 如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
《平面向量数量积》教案
《平面向量数量积》教案教案：平面向量数量积一、教学目标：1.理解平面向量的数量积的概念和性质。
2.掌握平面向量的数量积的运算法则。
3.能够利用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1.平面向量的数量积的概念和性质。
2.平面向量的数量积的运算法则。
3.平面向量数量积的应用。
三、教学步骤：1.引入平面向量的数量积的概念。
首先通过提问和示例，引导学生思考两个平面向量的乘积是否有意义，以及该乘积有什么特殊的性质。
然后给出平面向量的数量积的定义：设有两个非零向量a和b，数量积定义为，a，·，b，·cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2.平面向量的数量积的性质。
通过具体的例子，讲解平面向量数量积的性质：（1）数量积的结果是一个数。
（2）数量积满足交换律、分配律。
（3）数量积的结果为0时，表示两个向量垂直，即cosθ=0。
（4）数量积的结果为正数时，表示两个向量同向，即θ为锐角。
（5）数量积的结果为负数时，表示两个向量反向，即θ为钝角。
3.平面向量的数量积的运算法则。
通过示例演算，教导学生具体的运算法则：（1）计算向量的模长：，a，=√(a1²+a2²)。
（2）计算向量的数量积：a·b = ，a，·，b，·cosθ。
（3）计算两个向量的夹角：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)。
（4）根据数量积的定义，解方程组：a·b=0，求出向量a与向量b 互相垂直的条件。
4.平面向量数量积的应用。
通过实际问题解决的例子，帮助学生将平面向量数量积的概念和运算法则应用到实际问题的解决中。
例如：已知有三个向量a、b和c，其中a·b=30，a·c=40，求b与c的夹角。
五、教学反思：在教学过程中，可以通过举一些具体的实际问题，提高学生的兴趣和参与度。
6.2.4 第一课时 向量的数量积(一)
6.2.4向量的数量积第一课时向量的数量积(一)课标要求素养要求1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义.2.会求平面向量的数量积.通过理解平面向量数量积的物理背景，学习向量的夹角及数量积的概念.通过学习进一步体验数学抽象及数学运算素养.教材知识探究如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ.功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s的“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么呢？问题情景中涉及F与s的夹角.你能结合平面内角的定义及向量的概念给向量夹角下定义吗？两向量夹角的范围是怎样的呢？提示将两向量放在共同的起点上，两向量所在射线组成的角即是两向量的夹角，它的范围是[0，π].1.向量的夹角两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)显然，当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2.向量的数量积及其几何意义向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)投影如图，设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量. 3.向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a ·e ＝e ·a ＝|a |cos__θ (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . 在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方 (4)|a ·b |≤|a |·|b |.教材拓展补遗[微判断]1.向量数量积的运算结果是向量.(×)2.向量a 在向量b 上的投影一定是正数.(×)3.在等边△ABC 中，向量AB →与向量BC →夹角为60°.(×)提示 1.向量数量积的运算结果是数量.2.当两向量夹角为钝角时，a 在b 上的投影为负数.3.向量AB →与向量BC →夹角为120°. [微训练]1.若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b ＝( ) A.－3 2B.－6 2C.6 2D.2解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－6 2.答案 B2.已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为( ) A.60° B.120° C.135°D.150°解析 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－6010×12＝－12， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°. 答案 B3.已知a ，b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3. (1)若θ＝135°，则a ·b ＝________； (2)若a ∥b ，则a ·b ＝________； (3)若a ⊥b ，则a ·b ＝________. 答案 (1)－32 (2)±6 (3)0 [微思考]1.向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 提示 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.2.非零向量的数量积是否可为正数、负数和零，其数量积的符号由什么来决定？ 提示 由两个非零向量的夹角决定. 当0°≤θ<90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零. 当90°<θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.3.由a ·b >0是否可以得到向量a ，b 的夹角θ为锐角？提示 因为a ·b ＝|a ||b |cos θ，故由a ·b >0可得cos θ>0，又θ∈[0，π]，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，即θ为锐角或零度角.题型一 求向量的夹角求两向量夹角时，两向量必须共起点，否则平移后再确定【例1】 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 与a 的夹角是多少？a －b 与a 的夹角又是多少？解 如图所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°.以OA→，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b . 因为|a |＝|b |＝2，所以平行四边形OACB 是菱形， 又∠AOB ＝60°，所以OC →与OA →的夹角为30°，BA →与OA →的夹角为60°. 即a ＋b 与a 的夹角是30°，a －b 与a 的夹角是60°.规律方法 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.【训练1】 在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12AB ，则AB →与BC →的夹角是( ) A.30° B.60° C.120° D.150°解析 如图，作向量AD →＝BC →，则∠BAD 是AB →与BC →的夹角，在△ABC 中，因为∠C ＝90°，BC ＝12AB ，所以∠ABC ＝60°，所以∠BAD ＝120°.答案 C题型二 向量数量积的几何意义a 在b 方向上的投影为|a |cos θ，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ，解题时要注意区别(θ为a 与b 的夹角)【例2】 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的投影.解 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a 在b 上的投影为|a |·cos θ＝a ·b |b |＝－104＝－52.【迁移1】 在例题题设不变的情况下，求b 在a 上的投影. 解 b 在a 上的投影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2.【迁移2】 把例题中“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a ·b . 解 ∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝20. 当θ＝180°时，a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝－20.规律方法 任意的非零向量a 在另一非零向量b 上的投影等于|a |cos θ(θ为向量a ，b 的夹角)，即该投影与b 的模无关.【训练2】 已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________.解析 已知向量a ，b 的夹角θ＝60°，故b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝2cos 60°＝2×12＝1. 答案 1题型三 求向量的数量积在进行向量数量积运算时，一定要注意两个向量的夹角，必须是同起点时形成的角【例3】 已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC→.解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. (2)∵AB →与BC →的夹角为120°，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12.(3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 规律方法 求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ. 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .【训练3】 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝4，则AB →·BC →＝________，BC →·CA →＝________，CA →·AB→＝______. 解析 由题意，得|AB→|＝4，|BC →|＝4，|CA →|＝42， 所以AB →·BC →＝4×4×cos 90°＝0，BC →·CA →＝4×42×cos 135°＝－16，CA →·AB →＝42×4×cos 135°＝－16. 答案 0 －16 －16一、素养落地1.通过平面向量数量积的概念及其几何意义提升数学抽象素养.通过计算平面向量的数量积培养数学运算素养.2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.求投影有两种方法(1)b 在a 方向上的投影为|b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)，a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.(2)b 在a 方向上的投影为a ·b |a |，a 在b 方向上的投影为a ·b|b |. 二、素养训练1.若向量a 与b 的夹角为60°，则向量－a 与－b 的夹角是( ) A.60°B.120°C.30°D.150°解析 向量－a 与－b 的夹角与a 与b 的夹角相等，为60°. 答案 A2.已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，则a ·b 等于( ) A.1B.2C.3D.4解析 a ·b ＝1×2×cos π3＝1，故选A. 答案 A3.在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A.－2B.2C.－2 2D.2 2解析 BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝2×2×cos 45°＝2. 答案 B4.已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.4B.－4C.2D.－2解析 向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案 D基础达标一、选择题1.已知▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，则AD →与CD →的夹角为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°解析 如图，AD →与CD →的夹角为∠ABC ＝120°.答案 C2.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角θ为45°，则m ·n ＝( ) A.12B.12 2C.－12 2D.－12解析 m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×22＝12 2. 答案 B3.已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A.－4B.4C.－2D.2解析 根据投影的定义，设a ，b 的夹角为θ，可得向量a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝a ·b|b |＝－4，故选A. 答案 A4.已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a ·b 的值为( ) A.3B.92C.2D.12解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵|a |cos θ＝32，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92. 答案 B5.已知平面上三点A ，B ，C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( ) A.－7B.7C.25D.－25解析 由条件知∠ABC ＝90°，所以原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A ) ＝－20cos C －15cos A＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25. 答案 D 二、填空题6.在等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，则向量AB →与BC →的夹角为________. 答案 135°7.若|a |＝|b |＝|a －b |＝r (r >0)，则a 与b 的夹角为______.解析 作OA→＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，∠AOB 为a 与b 的夹角，由|a |＝|b |＝|a －b |知△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝60°.答案 60°8.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________. 解析 由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |， 所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ， 即向量a 与c 的夹角为90°. 答案 90° 三、解答题9.已知向量a ，b 的夹角为30°，且|a |＝3，|b |＝2，求向量p ＝a ＋b 与q ＝a －b 的夹角θ的余弦值.解 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝30°.以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，连接OC ，AB 交于点D ，则OC→＝p ＝a ＋b ，BA →＝q ＝a －b ，∠ADC ＝θ.在△ABO 中，由勾股定理得，AB ＝1，则BD ＝12.在△BCD 中，由BC ＝|a |＝3，得CD ＝132，所以cos ∠BDC ＝1313，所以cos θ＝cos(180°－∠BDC )＝－1313.10.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP→＝xOA →＋yOB →.(1)若AP→＝PB →，求x ，y 的值； (2)若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值. 解 (1)若AP→＝PB →，则OP →＝12OA →＋12OB →， 故x ＝y ＝12.(2)因为|OA →|＝4，|OB →|＝2，∠BOA ＝60°， 所以∠OBA ＝90°，所以|AB →|＝2 3. 又因为AP→＝3PB →，所以|PB →|＝32. 所以|OP→|＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝192，cos ∠OPB ＝5719.所以OP→与AB →的夹角θ的余弦值为－5719. 所以OP →·AB→＝|OP →||AB →|cos θ＝－3. 能力提升11.已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ⊥b ，则向量a －2b 在向量a 方向上的投影为( ) A.1B.77C.－1D.277解析 如图，作OA→＝a ，OB →＝b ，OA ⊥OB .延长OB 至点C ，使OB ＝BC ，以OA ，OC 为邻边作矩形OCDA ，则OC →＝2b ，CA →＝a －2b ，∠ACD 即为a －2b 与a 的夹角，cos ∠ACD ＝|a ||a －2b |＝1|a －2b |.则向量a －2b 在a 的方向上的投影为|a －2b |cos ∠ACD ＝1.答案 A12.如图，已知△ABC 是等边三角形.(1)求向量AB→与向量BC →的夹角； (2)若E 为BC 的中点，求向量AE→与EC →的夹角. 解 (1)∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝60°.如图，延长AB 至点D ，使BD ＝AB ，则AB →＝BD →，∴∠DBC 为向量AB→与BC →的夹角. ∵∠DBC ＝120°，∴向量AB →与BC →的夹角为120°.(2)∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴AE →与EC →的夹角为90°.创新猜想13.(多选题)已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中正确的是( )A.|a |2＝a 2B.|a ·b |＝|a ||b |C.λ(a ＋b )＝λa ＋λbD.|a ·b |≤|a ||b | 解析 选项B 中，|a ·b |＝||a ||b |cos θ|，其中θ为a 与b 的夹角. 答案 ACD14.(多填题)已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，AB →·AC→＝8，则△ABC 的形状是________，AB →·BC →＝________.解析 AB →·AC→＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ， 即8＝4×4cos ∠BAC ，于是cos ∠BAC ＝12，因为0°<∠BAC <180°，所以∠BAC ＝60°. 又AB ＝AC ，故△ABC 是等边三角形.此时AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝－8. 答案 等边三角形 －8。
平面向量的数量积优秀教案
平面向量的数量积教案目标：(i)知识目标:（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2)平面向量数量积的应用.(ii)能力目标:(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2)正确运用向量运算律进行推理、运算.教案重点:1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.教案难点: 平面向量数量积的综合应用. 教案过程： 一、追溯1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b|cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b = |a ||b|cos θ，(0)θπ≤≤并规定0 与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积. 3．两个向量的数量积的性质设a 、 为两个非零向量，e是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔a ⋅b= 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |,特别地a ⋅a = |a |24︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b|4.平面向量数量积的运算律①交换律：a ⋅b = b ⋅a ②数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a⋅(λb ) ③分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c+ b ⋅c5.平面向量数量积的坐标表示①已知两个向量),(11y x a = ，),(22y x b = ,则b a⋅2121y y x x +=.②设),(y x a = ，则22||y x a +=.③平面内两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=.④向量垂直的判定 两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x .⑤两向量夹角的余弦 co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121yx y x y y x x +++=（πθ≤≤0）. 二、典型例题1.平面向量数量积的运算 例题1 已知下列命题:①()0a a +-=。
平面向量的数量积教案
2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）2017级应用数学专业康萍一．教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教A版）§2。
4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程。
二．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法。
在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断。
三．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导,采用探究式教学,以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究,在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四．教学目标知识与技能：以物理中功的实例认识理解平面向量数量积的含义及物理意义。
过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。
情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。
五．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用.六．教学过程设计活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答:向量的加法、减法及数乘运算。
这些运算的结果是向量.很好,那既然两个向量可以进行加法、减法运算。
我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗?【设计意图】1。
让学生明白新旧知识的联系性。
《平面向量的数量积》说课稿
《平面向量的数量积》说课稿《平面向量的数量积》说课稿《平面向量的数量积》说课稿济南世纪英华实验学校—周鹏尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《平面向量的数量积》。
下面我将从四个方面阐述我对本节课的分析和设计。
第一部分：教学内容分析：1、教材的地位及作用：将平面向量引入高中课程,是现行数学教材的重要特色之一。
由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。
而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。
《平面向量的数量积》是高一数学下册第五章第六节的内容。
平面向量数量积是中学数学的一个重要概念。
它的性质很多，应用很广，是后面学习的重要基础。
本课是第一课时，学生对概念的理解尤为重要。
2、教学目标的设定：（1）知识目标：平面向量数量积的定义及初步运用。
（2）能力目标：通过对平面向量数量积定义的剖析，培养学生分析问题发现问题能力，使学生的思维能力得到训练。
（3）情感目标：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的'快乐。
3、教学重点：平面向量的数量积定义。
4、教学难点：平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用。
第二部分：教法分析：采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。
第三部分：教学程序设计：完整版高一数学下册《平面向量的数量积》说课稿.doc。
《平面向量的数量积》说课稿
高三数学第一轮复习《平面向量的数量积》说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《平面向量的数量积》—复习课。
下面我将从以下几个方面阐述我对本节课的分析和设计。
一、教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
将平面向量引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。
由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。
而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。
《平面向量的数量积》是数学必修4第二章第四节的内容。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后，且已具备了一定的对向量的理解和应用能力的基础上进行的又一个重要运算，同时为探索空间向量的研究奠定了理论基础，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节内容教材共安排两课时，其中第一课时复习平面向量数量积的知识点，了解考纲和命题趋势，第二课时主要要求学生会进行平面向量数量积的运算，会运用数量积的性质解决夹角、模长等问题。
本节复习课是第二课时。
由于平面向量的数量积既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，也是高考中经常考察的内容，而且很好的体现了数形结合的数学思想和类比思想，使得数量积的运算成为本节课的核心，自然也是本节课教学的重点之一。
二、教学目标的设计：1、知识与技能：(1)熟记平面向量数量积的概念及坐标表示，理解数量积的几何意义，会进行平面向量数量积的运算；(2)熟记平面向量数量积的有关性质，会运用数量积的性质解决夹角、模长等问题.2、过程与方法：(1)通过本节课的复习培养学生应用平面向量的数量积解决相关问题的能力。
(2)通过师生共同探讨培养“数形结合思想”与“类比思想”的能力。
3、情感态度与价值观：培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。
平面向量的数量积课时
本文档为word 文档 下载后可编辑打印第一课时 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学要求：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；教学重点：平面向量的数量积定义及应用.教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解.教学过程：一、复习准备：1. 如何由坐标得到两个向量共线?2. 物理中力做的功是怎样定义的？二、讲授新课：1.教学向量的数量积的概念.①.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.注意：当θ＝０时ａ与ｂ同向；当θ＝π时，ａ与ｂ反向；当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；②.平面向量数量积（内积）的定义: 已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（分析：符号由cos θ的符号所决定；两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；）③.“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |④．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.⑤.性质：e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ ，a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| cos θ =||||b a b a ⋅）⑥探究：运算律 a ⋅b=b.a (λa).b=λ(a.b)2.教学例题①.讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b .例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.（教师演示→学生模仿→学生演示）②.练习：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.3. 小结：1.平面向量数量积（内积）的定义；2.向量的数量积的几何意义.三、巩固练习：1．已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a垂直，求a 与b 的夹角.2．设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.3．对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.4．已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b =？5.作业：课本P119 A 组 1，2，3题.本文档为word 文档 下载后可编辑打印 第二课时 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学要求：使学生掌握平面向量数量积的坐标表示, 掌握向量垂直的坐标表示的条件，及平面内两点间的距离公式,能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示的应用.教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教学过程：一、复习准备：1.平面向量的数量积的物理背景及其含义?2.向量的数量积的几何意义.3.平面向量数量积的运算律.二、讲授新课：1．教学坐标表示.① 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即a b ⋅2121y y x x +=② 平面内两点间的距离公式: 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么||(a x =-③ 向量垂直的判定: 设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ⊥ ⇔02121=+y y x x④ 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ =||||a ba b ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++= 2．教学例题.① 讲解例5：已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明 练习：在△ABC 中，=(2， 3)，=(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值. （学生板演→教师修正→学生修正）② 讲解例6：设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )练习：已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，a =，则a 与b 的夹角为多少？ （学生板演→教师修正→学生修正）3．小结： 平面内两点间的距离公式；向量垂直的判定；两向量夹角的余弦.三、巩固练习： 1．已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 2．a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= . 3. 已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形4. 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?5. 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B和向量AB 的坐标.6. 已知a (4,2), 求与a 垂直的单位向量的坐标.7. 作业：课本P119 练习（1）（2）。
平面向量的数量积(1)
平面向量的数量积（1）
编制人：刘翠姣
审核人：邱兆雪
教学目标
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2能运用数量积处理有关长度，角度的问题。
教学重点
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2能运用数量积处理有关长度，角度的问题
教学难点
1.两个向量的数量积与实数积的区别2.向量数量积与实数乘法在运算律上的区别
变式：（1）(2017·苏北四市期末)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为_______
(2)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，那么实数λ的取值范围
学生活动
学生黑板展示，师生共同点评。
二次备课
教师活动
学生活动
二次备课
课堂小结：
课堂检测：
授课方法
讲练结合
教学辅助手段
教学多媒体
教师活动
课前自学：
1. (必修4P81习题2改编)已知向量a与向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝ ，
那么向量a和向量b的数量积a·b＝________.
2(必修4P88练习4改编)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则
实数x＝_______
3(必修4P89习题2改编)已知向量a，b的夹角为120°， ＝1， ＝3，那
么 ＝_______
4 (必修4P88练习4改编)已知向量a＝(1,2)，＝(x,4)，且a·b＝10，则
|a－b|＝______
5.(必修4P81习题13改编)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为_______
例2：（1）(2017·扬州中学)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为______
平面向量的数量积(1)
§5.3平面向量的数量积定向.学习目标1、通过物理中功等实例，掌握平面向量数量积的概念2、通过几何直观，掌握平面向量投影的概念以及投影的几何意义定向.重点、难点重点：数量积的概念、投影向量的概念难点：极化恒等式求数量积预学.自主梳理1．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝________|a|＝____________夹角cosθ＝________cosθ＝________________a⊥b的充要条件a·b＝0a·b＝|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤(x21＋y21)(x22＋y22) 2、求平面向量数量积的五种方法：（1）定义法（2）坐标法（3）投影法（4）极化恒等式（5）分解法（基向量法）这节课我们将重点学习求数量积的3种方法并探究一下不同方法的适用条件。
研学.任务探究题型一投影法求数量积问题1我们来看数量积的结构a·b＝|a||b|cosθ，|b|cosθ表示什么？你能否在图中画出来？当cosθ>0，则|b|cosθ>0；当cosθ<0，则|b|cosθ0；当cosθ=0时，则|b|cosθ=0。
问题2如图，设每个格子长度为1，请同学们试着把b在a上的投影向量画出来，并分别求出a·b问题3如图，在圆C 中，是不是只需知道圆C 的半径或弦AB 的长度，就可以求出AB →·A的值.？例1(2024·揭阳模拟)已知点P 是边长为2的菱形ABCD 内的一点(包含边界)，且∠BAD ＝120°，则AP →·AB →的取值范围是()A ．[－2，4]B ．(－2，4)C ．[－2，2]D ．(－2，2)跟踪训练1（1）在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．则BD →·BM →＝________；若D 是线段AM 上的任意一点，则BD →·BM →=请思考：为什么点D 在AM 上的位置发生变化，却不影响数量积的大小？（2）（2020山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则•的取值范围是（）A ．（﹣2，6）B ．（﹣6，2）C ．（﹣2，4）D ．（﹣4，6）题型二极化恒等式求数量积（难点）问题在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线，则a ·b ＝|AM →|2－|MB →|2.请试着证明这个结论（）例2（1）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则•＝（）A ．9B ．16C ．﹣16D ．与三角形形状有关（2）（2017全国卷）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是()A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1跟踪训练2已知点A ，B ，C 均在半径为的圆上，若|AB |＝2，则的最大值为________．题型三分解法（基向量法）求数量积思考：若一个向量固定不动，用投影法；若两个向量共起点且底边长度固定，用极化恒等式；如果两向量都不固定，或者都不共起点，那如何求数量积？例3在边长为2的等边△ABC 中，点M 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，点Q 为AC 的中点，BQ 交AM 于点N ．求A·B 提示：如果BM ：MC=m:n ，则跟踪训练3在ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则•＝．总结感悟3种求数量积的方法的适用条件1、投影法（几何法）：a·b＝|a||b|cosθ，其中|b|cosθ为b在a方向上的投影适用条件：有一个向量固定，用投影法2、极化恒等式适用条件：两向量共起点，且底边固定，用极化恒等式3、分解法（基向量法）适用条件：两向量横七竖八，用分解法达标检测1.如图，△ABC，△BDE都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则A ·A 等于A.1B.2C.3D.42、(2023·安康模拟)已知四边形ABCD为平行四边形如图，|AB→|＝，|AD→|＝2，DN→＝2NC→，BM→＝3MC→，则AM→·NM→等于()A．7B．1 C.34D.1 43．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•＝4，•＝﹣1，则•的值是．。
向量的数量积（第1课时）教学实录与反思
向量的数量积（第1课时）教学实录与反思
李桂强
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2014(000)005
【摘要】1基本情况 1．1授课对象学生来自一所省三星级普通高中，对向量的物理学背景有一定的了解，数学基础一般，经过训练后有一定的自学能力、推理能力及运算能力．
【总页数】3页(P5-7)
【作者】李桂强
【作者单位】江苏省徐州市第二中学 221005
【正文语种】中文
【相关文献】
1.让学生积极有序有效互动——"平面向量数量积复习课"教学实录与感悟 [J], 林荣;唐胜忠
2.以问题驱动思考，实现概念自主建构--“向量的数量积”教学实录与反思 [J], 蒋智东
3.同屏传输技术下的高中数学互动课堂——“向量的数量积”教学实录与反思 [J], 王洪涛
4.如何上好高三概念复习课——"向量的数量积"教学实录与反思 [J], 孙信玲
5.注重概念生成提升核心素养——“向量的数量积”教学实录及教学反思 [J], 解玉贵;刘永岩
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平面向量的数量积（第一课时）课例与点评
宁海县知恩中学 蒋惠珍 315600
课题：平面向量的数量积 教学目标：
（1） 以物理中“功”的实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的
关系。
（2） 通过对平面向量数量积性质的探究，体会类比与归纳，对比与辨析等数学方法，正确熟练地应用平面向量数量
积的定义，性质进行运算。
（3） 让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步感悟数学的本质，培养学生
的探索研究能力。
教学重点：平面向量数量积的概念，性质的发现与论证。
教学难点：平面向量数量积的理解。
1. 教学实录 1.1 引入新课
教师：同学们，我们在前一阶段已经学过向量的加法、减法运算以及实数与向量的乘积，想必大家应该对向量有着一套独特的运算体系有所体会。
今天我们接着学习平面向量的另外一种运算——平面向量的数量积。
首先，我们来了解一下这节课的两个预备知识。
1.1.1 夹角θ
探求——教师边叙述两个向量的夹角的概念边引导学生平移向量找到两个向
量的夹角。
（多媒体显示图（1））
教师：要找两个向量的夹角得抓住哪些要点？ 学生：将两个向量移到共同的起点，且找到他们夹的小于180°的那个角。
教师：好，那么两个向量的夹角的范围是多少呢？ 学生：],0[πθ∈
教师：很好。
下面我们再看第二个预备知识。
1.1.2 投影——θcos ||⋅叫做向量在方向上的投影。
（多媒体演示几种情形）
1.1.3教师：大家注意了，投影是有正负的。
在物理当中我们已经学过力在位移方向做功θωcos ||||⋅⋅=
，那么我们就可以把他写成……？（同时多媒体显示图（2））
学生：
⋅=⋅⋅=θωcos |||| 教师：⋅就等于……？
A
A
B
A
F 图（1）
学生：θcos ||||⋅⋅=⋅
教师：那如果或为呢？θ取多少？ 学生：此时θ不定。
教师：所以我们定义平面向量的数量积为：θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a )0,0(≠≠b a 1. 2 概念的建构
1.2.1 数量积的定义：θcos ||||⋅⋅=⋅),(≠≠（多媒体显示） 1.2.2 教师：①“·”不能省略也不能写成“×”；（点积）
②⋅表示数量还是向量？有大小吗？
学生：表示数量，其大小与向量的模及其夹角有关。
1.2.3 简单应用（多媒体显示）
例：已知4||,5||==，和的夹角为60°，求⋅. 学生口答：1060cos 45cos ||||=︒⨯⨯=⋅⋅=⋅θ 1. 3 性质的推导（由师生共同完成）
教师：但是关于这一块内容的应用更多地会用到由它所推导出来的一系列性质。
下面大家想想由这个原始定义可以推出哪些性质来？（学生讨论）
学生1：,≠≠，|
|||cos b a ⋅∴θ教师：很好，变形得到这个公式可以解决两个向量的夹角问题。
学生2：令这个式子当中的θ分别为如下情况，可以得到一些结论： ① 当︒=90θ时，0=⋅⇔⊥b a b a ② 当︒=0θ时，||||⋅=⋅ ③ 当︒=180θ时，||||b a b a ⋅-=⋅ 教师：那么θ为其他情况时呢？ 学生2：||||||b a b a ⋅≤⋅
教师：刚才两位同学推导得都很好，他们分别从对式子变式以及取特殊值得到一些简洁的性质，还有吗？ 学生3：当=时，22
||a a =
教师：这也是一个很好的结论啊！而且还可以写成这样吧——||=，那么当令为与同方向的单位向量时，我们可以得到：θcos ||⋅=⋅=⋅a e a a e ；好，下面我们总结一下：
图（2）
|
|||cos )0,0(cos ||||b a b a b a b a ⋅⇒≠≠⋅⋅=⋅θθ（处理求角问题）
||a =⇒（处理长度问题） 0=⋅⇔⊥⇒（处理垂直问题）
以及其他一些结论，那么谁能将刚才这道例题变一下，把问题改为考性质呢？ 学生4：若已知4||,5||==，10=⋅b a ，求a 与b 的夹角？ 解：2
1
4510|
|||cos =⨯=
⋅=
b a θ ︒=∴60θ 1.3.1 变式训练，巩固应用
例2：如图，在ABC ∆中，记a AB =，b AC =，试判断：①当0<⋅b a ，②当0=⋅b a ，ABC ∆各是什么三角形？ 解：①0|
|||cos <⋅∠b a CAB ，CAB ∠∴为钝角，
∴ABC ∆为钝角三角形
②0cos =∠CAB ，AB AC ⊥∴，ABC ∆∴为Rt ∆ 例3：判断正误，并说明理由。
（学生口答） ①=⋅ ②00=⋅ ③||||||b a b a ⋅=⋅
④若0≠a ，则对任一非零向量b ，有0≠⋅b a ⑤a 与b 是两个单位向量，则2
2=
⑥a ，b 是两个非零向量，||||⋅=⋅是a ，b 共线的充要条件。
⑦若≠，⋅=⋅，则= ⑧)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ 1. 4 课堂小结
①数量积的定义：)0,0(cos ||||≠≠⋅⋅=⋅b a b a b a θ
②性质，特别是||=cos =
θ0=⋅⇔⊥
③思考：实数当中有分配律、结合律、交换律等，那么在向量的数量积当中有没有这些运算律呢？有的话你能不
B
能给予证明？
1.5 课后作业
书本P121练习2、3，习题5的第3题，习题6的第6题。
2.总评——平淡无奇，催生思想
本节课有以下几点值得一提：
2. 1 教学过程平淡无奇，教学方法实实在在
从教学过程来看，这节课与传统意义下的数学教学好象没有多大的区别，也没有完全脱离老师讲授的旧套，可谓平淡无奇，朴实无华。
大家都知道，传统的教学是老师把知识嚼烂喂给学生或灌给学生，数学知识是老师讲出来的，反正“帽子里跑出个兔子”，学生根本不知道是怎么回事，只能靠机械记忆和盲目模仿。
但在这节课里，每一个知识，每一个发现，老师总是想方设法尽量由学生得出来，教师的作用只是引导，在关键处导一导，推一推。
从教学方法的角度看，这节课与其他老师的教法好象差别不大，也是学生从头到尾按老师的教学设计走下去。
教师设计的每一个环节和片段，基本上以教材内容为主线展开，既没有别出心裁的插曲，也没有出人意料的场面，但这节课里老师的教学理念很明确——探究式教学。
学生在认同与体验中建构知识技能的传授和能力的培养。
注重引导学生自己探究问题或自己提出解决问题的方法。
带领学生寻找解决问题的途径，体验解决问题的过程，从而提高解决问题的能力，逐步改变学生的学习方式。
2.2 恰当借助多媒体实施教学
多媒体辅助教学在目前数学课堂上已广泛使用，然而我们不能把多媒体技术的运用与教学的优化等同起来，而应该以学生的实际需要和教材的内容为基础来进行合理设计。
参考文献
1.巨申文涓涓细流润芳菲——“数列（第一课时）”课例与点评中学数学教学参考， 2006.3。