鲁棒控制理论第二章概要
鲁棒控制毕业论文
目前对鲁棒控制的研究多使用状态反馈，但在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，此时难以应用状态反馈控制律实现系统控制。
有时即使系统的状态可以直接测量，但考虑到实施控制的成本和系统的可靠性等因素，同样需要运用输出反馈来实现系统控制。
因此，研究控制系统的输出反馈镇定及其控制器设计具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式（LMI ）方法，对不确定时滞系统研究了输出反馈控制器的设计方法，针对不确定的时滞系统设计了输出反馈控制器，保证闭环系统渐近稳定，运用MATLAB中的LMI工具箱求解控制器参数，并用SIMULINK对实际系统进行了仿真实验，通过仿真实例证明了控制器设计方法能够达到较好的控制效果，而且具有较强的鲁棒性和稳定性，证明了设计方法的有效性。
关键词：鲁棒控制；输出反馈；线性矩阵不等式；不确定性；时滞AbstractAt prese nt,people ofte n use state feedback con trol law to study robust control,but in many practical problems,the system state often cannot be measured directly,it is difficult to use state feedback con trol law to con trol the system.Sometimes,eve n if the state can be measured directly,but,c on sideri ng the cost of impleme nti ng the con trol and reliability of the system and other factors,the state feedback control cannot achieve acceptable effect .If the output feedback law can achieve the performa nee requireme nts of the closed-loop system,then it can be selected withpriority.Therefore,the output feedback stabilization of uncertain systems and controller design has important theoretical and practical value.This paper is based on Lyap unov stability theory and Lin ear MatrixInequality(LMI)methods.For uncertain time-delay systems with norm bounded un certa in parameters,the paper studied the output feedback con troller con troller desig n methods.The controller parameters were worked out by means of LMI toolbox in MATLAB.Simulatio n of the actual system was con ducted on the basis of the SIMULINK toolbox in Matlab,the results of which proved that the new controller desig n method could achieve better con trol effect and was more robust and stable.Key words:Robust con trol;Output feedback;L in esr Matrix In equality(LMI); Un certai nty;Time-delay目录第1章概述 (1)1.1输出反馈概述 (1)1.2鲁棒控制理论概述 (1)第2章基本理论 (4)2.1系统的非结构不确定性 (4)2.2系统的结构不确定性 (5)2.3线性矩阵不等式 (5)2.4 L YAPUNO稳定性理论 (8)第3章输出反馈控制器设计 (13)3.1不确定时滞系统的静态输出反馈控制器设计 (13)3.2具有控制时滞的不确定时滞系统静态输出反馈控制器设计 (16)3.3不确定时滞系统的动态输出反馈控制器设计 (21)结论 (26)参考文献 (27)致谢 (28)第1章概述1.1输出反馈概述在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，故难以应用状态反馈控制律来对系统进行控制。
鲁棒控制与故障诊断 第二章
A∈ Rn×n with distinct eigenvalues can be diagonalized:
A[x1 x2 ⋯ xn ] = [x1 x2
⎡λ1 ⎤ ⎢ ⎥ λ 2 ⎥. ⋯ xn ]⎢ ⎢ ⎥ ⋱ ⎢ ⎥ λn ⎦ ⎣
and has the following spectral decomposition:
�
Sylvester equation
AX+XB = C
with A∈ Fn×n, B∈ Fm×m , and C∈ Fn×m has a unique solution X∈ Fn×m, if and only if λi(A)+λj(B)≠0, ∀i=1,2,…,n and j=1,2,…,m.
�
Example: Let A be such that
A [x1 x2 x3 x 4 ] = [x1 x2 x3
⎡ λ1 ⎢ x 4 ]⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 λ1 ⎤ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ λ4 ⎦
λ3
with Re λ1<0, λ3<0, and λ4>0. Then it is easy to verify that
⎡ A11 ⎢A ⎣ 21 ⎡ A11 ⎢0 ⎣
−1 0 ⎤ ⎡ A11 = ⎢ −1 −1 A22 ⎥ − A A A ⎦ ⎣ 22 21 11 −1
−1
0 ⎤ −1 ⎥ A22 ⎦
−1 −1 −1 A12 ⎤ ⎡ A11 ⎤ − A11 A12 A22 =⎢ ⎥. ⎥ −1 A22 ⎦ A22 ⎣ 0 ⎦
S1=span{x1}, S12=span{x1 , x2}, S123=span{x1 , x2 , x3}, S3=span{x3}, S13=span{x1 , x3}, S124=span{x1 , x2 , x4}, S4=span{x4}, S14=span{x1 , x4}, S34=span{x3 , x4}
鲁棒控制理论及应用课程吴敏
∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
•
x
=
f
(x) +
1 2γ 2
gg T
∂φ ∂x
(x)
d)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
9
雅可比不等式
∂φ ∂xT
f
成立 + 1 ∂φ gg T ∂φ + hTh + ε xT x ≤ 0
4γ 2 ∂xT
∂x
2015年10月25日
鲁棒控制理论及应用课程
•
x=
f
(x) +
1 2γ 2
g1 g1T
∂φ ∂x
−
1 2
g2
g2T
∂ϕ ∂x
+
g1
γ 2
g1T
∂φ ∂x
+
~
z
是渐进稳定的，而且是局部L2稳定的
b)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
雅可比不等式 成立,而且 ∂φ ∂xT
f
+
1 4
∂φ ∂xT
⎛ ⎜ ⎝
给定一个常数γ>0,下述条件是等价的。
a)非线性系统Szw是指数稳定的,而且 γ S < zw Lc2 b)近似线性系统 S%zw 是稳定的,而且 S%zw ∞ < γ
c)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x),使哈密顿－雅可比方程
成立,而且 是指数稳定的 ∂φ f + 1 ∂φ ggT ∂φ + hTh = 0
∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
7
成立，而且
1 gT ∂φ 2
lim 2 ∂x < ∞
现代控制理论鲁棒控制资料课件
鲁棒优化算法的应用
01
02
03
鲁棒优化算法是一种在不确定环 境下优化系统性能的方法。
鲁棒优化算法的主要思想是在不 确定环境下寻找最优解，使得系 统的性能达到最优，同时保证系 统在不确定因素影响下仍能保持 稳定。
鲁棒优化算法的主要应用领域包 括航空航天、机器人、能源系统 、化工过程等。
05
现代控制理论鲁棒控制实 验及案例分析
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
• 广泛应用在工业、航空航天、医疗等领域
现代控制理论鲁棒控制的成就与不足
01
02
不足
控制系统的复杂度较高，难以设 计和优化
对某些不确定性和干扰的鲁棒性 仍需改进
03
实际应用中可能存在实现难度和 成本问题
04
未来研究方向与挑战
研究方向
深化理论研究，提高鲁棒控制器 的设计和优化能力
线性鲁棒控制实验
线性鲁棒控制的基本原理
01
介绍线性鲁棒控制的概念、模型和控制问题。
线性鲁棒控制实验设计
02 说明如何设计线性鲁棒控制实验，包括系统模型的建
立、鲁棒控制器的设计和实验步骤。
线性鲁棒控制实验结果分析
03
对实验结果进行分析，包括稳定性、性能和鲁棒性能
等。
非线性鲁棒控制实验
非线性鲁棒控制的基本原理
03
线性系统的分析与设计：极点配置、最优控制和最优
估计等。
非线性控制系统
1
非线性系统的基本性质：非线性、不稳定性和复 杂性。
2
非线性系统的状态空间表示：非线性状态方程和 输出方程。
3
非线性系统的分析与设计：反馈线性化、滑模控 制和自适应控制等。
离散控制系统
鲁棒控制2
4.程序及说明应用MATLAB的Robust Control Toolbox可编写设计程序（文件名sushinf.m），以下是程序中主要内容的说明：（1）构成系统的名义模型，并计算和绘制系统的频率特性曲线（图12.6 ），图中的两条曲线分别为车体速度响应和加速度响应。
由图可见，系统的加速度响应曲线正好在5hz处出现峰值。
Ac=susmoda;Bc=susmodb;Bwc=susmodbw;C=susmodc;C1=[0 Ac(2,2) Ac(2,3) Ac(2,4) 0];C2=C;Ag=Ac;Bg=[ Bwc Bc ];Cg=[ C1; C2 ];Dg=zeros(2,2);% Frequency Characteristicsw=logspace(-3,1,200);% No Control[magn,phasen]=bode(Ag,Bg,Cg,Dg,1,w);sysgb=20*log10(magn);figuresemilogx(w,sysgb)title(' SYSTEM FREQ. CHARACTERISTICS ')xlabel('Frequency --*100Hz')ylabel('Gain -- db')gridpause图12.6 无控制时系统的频率响应特性（2）计算频率加权函数并绘制频率特性图。
% Design specification3 --W1 & W3% Sensitivity Spec. -- 1/W1(s)dnw1i = [0 0.059 0.0036]; nuw1i = [1 0.006 0.0036]; svw1i = bode(nuw1i,dnw1i,w); svw1i = 20*log10(svw1i);% Robustness Spec. -- 1/W3(s)dnw3i = 0.1*[0.124 0.013 0.001]; nuw3i = [0.0025 0.5 1]; svw3i = bode(nuw3i,dnw3i,w); svw3i = 20*log10(svw3i);figuresemilogx(w,svw1i,'r',w,svw3i,'g')gridtitle('Design Specifications')xlabel('Frequency -- *100Hz'),ylabel('1/W1 & 1/W3 -- db') pause图12.7 频率加权函数1/W和1/3W1（3）利用Robust control toolbox提供的augtf（）命令建立具有混合灵敏度加权矩阵函数的扩展系统模型（见式（12.3-13）-(12.3-16)）.% Form an augmented plant P(s) with W1 and W3Gam = input('Input cost coefficient "Gam" =');% Gam=0.07 is avilablew1 = [Gam*dnw1i; nuw1i; Gam*dnw1i; nuw1i];w2 = [0 1; 0 1e4; 0 1; 0 1e4];w3 = [dnw3i; nuw3i; dnw3i; nuw3i];svw1i = bode(nuw1i,Gam*dnw1i,w); svw1i = 20*log10(svw1i); [A,B1,B2,C1,C2,D11,D12,D21,D22]=augtf(ag,bg,cg,dg,w1,w2,w3);（4）利用hinf （ ）命令，以“2-Riccati 方程”求解系统的∞H 控制问题，得到一个∞H 控制器⎥⎦⎤⎢⎣⎡=cp cpcp cp D C B A s K )( % H_inf Optimization (the Small_Gain problem )[acp,bcp,ccp,dcp,acl,bcl,ccl,dcl,ak,bk1,bk2,ck1,ck2,dk 11,dk12,dk21,dk22]=hinf(A,B1,B2,C1,C2,D11,D12,D21,D22) pause（5） 检查是否满足设计要求（12.3-17）% Plots for evaluationing H_inf design performance% Computing L(s)=G(s)*F(s)[ al,bl,cl,dl ] = series(acp,bcp,ccp,dcp,ag,bg,cg,dg);% Computing Bode plot of the cost functionsvtt = sigma(acl,bcl,ccl,dcl,1,w); svtt = 20*log10(svtt);figuresemilogx(w,svtt) gridtitle([' COST FUNCTION Ty1u1 (Gam=',num2str(Gam),')']) xlabel('Frequency -- *100Hz') ylabel('SV -- db') pause程序运行结果表明已满足了1≤∞zw T 的条件，见图12.8图12.8 成本函数T zw 的特征值（6）比较灵敏度函数S(s)与1/W 1的奇异值、补灵敏度函数T （s ）与1/W 3的奇异值（注意：设计过程中，为了满足1≤∞zwT 的条件，W 1已被调整），程序运行结果表示在图12.9和12.10, 从这些图中可看到， |)(|))((11ωωσj W j s --≤和 |)(|))((13ωωσj W j T --≤的要求已达到。
鲁棒控制理论基础1-2章
28
Fang Hua-Jing , HUST 2008
29
等价定义
于是，等价的有
Fang Hua-Jing , HUST 2008
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Fang Hua-Jing , HUST 2008
31
系统的范数
Fang Hua-Jing , Hing , HUST 2008
鲁棒控制理论基础
方华京
华中科技大学 控制科学与工程系 控制理论研究所
第一章、绪论
设计控制系统的典型基本步骤 １．建立被控系统的模型并进行简化； ２．分析得到的系统模型，确定其性质； ３．根据对系统性能的要求，确定性能指标的形 式和控制器的类型； ４．选用某一控制理论进行控制器设计； ５．在计算机进行数值仿真或在实验模型上进行 物理仿真； ６．仿真结果不满足要求时重复上述步骤； ７．选择硬件和编制软件实现控制器．
13
2.2 系统增益与系统范数
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奇异值分解定理:
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2.3 系统范数的计算
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鲁棒控制理论
鲁棒控制理论鲁棒控制理论是一种被广泛运用的控制工程理论，它可以在不可预知的环境中，运行控制系统的高效协调和准确的效果。
这种理论可以为自动控制系统提供一种通用的解决方案，以达到更好的控制效果。
鲁棒控制理论是一种动态系统控制理论，它存在于复杂系统中，可以有效地应对环境变化和外部干扰，以实现系统目标。
与普通控制理论不同，鲁棒控制理论重视系统的可靠性，可以适应实际环境的变化，从而实现较高的控制效果。
作为一种新兴控制理论，鲁棒控制理论有着广泛的应用，它可以应用于机器人、自动化仪表、航空航天控制系统以及其他复杂的自动控制系统中。
鲁棒控制理论的主要特点是：可靠性、稳健性、健壮性、可拓展性和可调节性。
首先，鲁棒控制理论具有可靠性。
鲁棒控制的可靠性是由于它的结构特点所决定的，它可以有效地抵抗外部环境的变化，从而实现控制系统的准确性和稳定性。
其次，鲁棒控制理论具有稳健性、健壮性和可拓展性。
稳健性是指控制系统在面对不可预料的外部干扰时仍能达到较高的控制效果；健壮性是指控制系统在不确定的环境状态下仍能保持高效；可拓展性是指当外部环境发生变化时，控制系统也可以快速地适应这些变化，从而实现更好的控制效果。
最后，鲁棒控制理论具有可调节性。
可调节性是指控制系统可以自行调节其输入参数，以改善系统的性能。
因此，当外部环境发生变化时，控制系统也可以自行调节以适应这些变化，从而实现更好的控制效果。
鲁棒控制理论是当今自动控制系统开发的一种有效途径，它具有可靠性、稳健性、健壮性、可拓展性和可调节性等特点。
鲁棒控制理论的出现，使自动化控制的可靠性、可维护性和可拓展性大大提高，在自动控制系统的开发过程中也发挥了重要作用。
综上所述，鲁棒控制理论在自动控制系统开发中有着重要的作用，它具备可靠性、稳健性、健壮性、可拓展性和可调节性等特点，使得自动化控制能够在复杂环境中达到更好的控制效果。
因此，鲁棒控制理论值得被广泛运用，以实现更好的自动化控制效果。
鲁棒控制讲义-第1-2章
第一章概述§1.1 不确定系统和鲁棒控制(Uncertain System and Robust Control)1.1.1 名义系统和实际系统（nominal system）控制系统设计过程中，常常要先获得被控制对象的数学模型。
在建立数学模型的过程中，往往要忽略许多因素：比如对同步轨道卫星的姿态进行控制时不考虑轨道运动的影响，对一个振动系统的控制过程中，不考虑高阶模态的影响，等等。
这样处理后得到的数学模型仍嫌太复杂，于是要经过降阶处理，有时还要把非线性环节进行线性化处理，时变参数进行定常化处理，最后得到一个适合控制系统设计使用的数学模型。
经过以上处理后得到的数学模型已经不能完全描述原来的物理系统，而仅仅是原系统的一种近似，因此称这样的数学模型为“名义系统”，而称真实的物理系统为“实际系统”，而名义系统与实际系统的差别称为模型误差。
1.1.2不确定性和摄动（Uncertainty and Perturbation）如立足于名义系统，可认为名义系统经摄动后，变成实际系统，这时模型误差可视为对名义系统的摄动。
如果立足于实际系统，那么可视实际系统由两部分组成：即已知的模型和未知的模型（模型误差），如果模型的未知部分并非完全不知道，而是不确切地知道，比如只知道某种形式的界限（如：范数或模界限等），则称这部分模型为实际模型的不确定部分，也说实际系统中存在着不确定性，称含有不确定部分的系统为不确定系统。
模型不确定性包括：参数、结构及干扰不确定性等。
1.1.3 不确定系统的控制经典的控制系统设计方法要求有一个确定的数学模型（可能是常规的，也可能是统计的）。
以往，由于对一般的控制系统要求不太高，所以系统中普遍存在的不确定性问题往往被忽略。
事实上，对许多要求不高的系统，在名义系统的基础上进行分析与设计已经能够满足工程要求，而对一些精度和可靠性要求较高的系统，也只是在名义系统基础上进行分析和设计，然后考虑模型的误差，用仿真的方法来检验实际系统的性能（如稳定性、暂态性能等）。
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) D ¥ ˆ ( jw) dw G =ò G
- ?
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2-范数
) 骣 1 ç G := ç ç 2 桫 2p
) 骣 1 ç G := ç ç 2 桫 2p
ò
ゥ
¥
- ?
ˆ ( jw) dw÷ G ÷ ÷
1/ 2
2
1/ 2
ˆ 是稳定的，由Parseval定理， 注意：如果 G
蝌
2
成立，令 T ，得到所求。
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如果 u 1 ，且 u
，那么 u u u 2 1
1/ 2
因而有 u 2
证明：
u t dt u t u t dt u
2
u1
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证明：假定u的2-范数有限，则
1 2T
u t
T
T
2
1 dt u 2T
2 2
当 T ，上面的不等式右边趋于0
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*如果 u是一功率信号且 u
，那么
powu u
证明：因
1 2T
u t
T
T
2
dt u
2
1 2T
T
T
dt u
- ?
骣 ˆ ÷ ç G ( jw) dw÷ ÷ =ç 桫
2
?
G (t ) dt ÷ ÷
1/ 2
∞-范数
) G
¥
ˆ ( jw) := sup G
w
ˆ 等于复平面的原点到G
的Nyquist图的最远点的距离， ˆ 也是 的 Bode幅频特性图的峰值。 G )) 是次可乘的 ˆ ˆ GH £ G H
集合包含关系(Venn图)
pow 2
∞
1
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例1
0, t0 u1 t 1 t , 0 t 1 0, t 1
1
u1(t) 1
1
t
它的1-范数有限： u1
1
0
1 dt 2 t
它的2-范数无限，因为 1/t 的积分在区间 [0,1] 是发 散的 同理，也不是功率信号 ∞ 又因 u1 是无界的， 因此||u1||∞ 是无限的
t<0，G(t)=0
ˆ是实有理函数 G 有限维： 稳定性 正则性
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m m- 1 b s + b s + L + b1s + b0 m m- 1 ˆ G (s ) = an s n + an- 1s n- 1 + L + a1s + a0
ai , b j ?
,i
0,1,
鲁棒控制理论
第二章 信号和系统的范数
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描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我 们感兴趣的信号的大小来表示。 本章
考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数） 介绍系统传递函数的范数 给出两个非常有用的表，概括了输入-输出范数关 系。
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2.1 信号的范数
,n
j = 0,1,
m
稳定的
ˆ 在闭右半平面（Re s>0）解析，或在Re s>0无极点 如果 G
正则的 Proper ˆ ( jw) 是有限的（分母的阶次大于等于分子的阶次） 如果 G 严格正则的 Strictly Proper ˆ ( jw) = 0（分母的阶次大于分子的阶次） 如果 G 双正则的 Bi-proper
几种范数的定义
∞-范数
信号的最大幅值
1-范数
定义
定义
u
: sup u t
t
u 1 : u t dt
信号的时间累积量
功率信号*
u的平均功率
2-范数
定义
u 2 :
u t dt
2
1 lim T 2T
u t
T
T
T
¥ ¥ ¥
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传递函数范数的存在性 问题：什么时候这两个范数是有限的？
引理1：
ˆ 是严格正则 ˆ 的2-范数是有限的，当且仅当 G G
的，且无极点在虚轴上；
ˆ 的∞-范数是有限的，当且仅当 G ˆ 是正则的， G 且无极点在虚轴上。
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证明：
ˆ 是严格正则的，无极点在虚轴上，那么其Bode幅频 假定 G 特性图在高频下降。不难看出，对于充分大的正数K和充分 ˆ 的Bode图，即 小的正数T， K (Ts + 1) 的Bode图必定高于 G
考察线性时不变的、因果的、有限维系统，其输入输出模 型 y u y t G * u G t u d G
ˆ s 表示传递函数，即G的Laplace变换。 令G 系统的性质： 因果性(Causal):现正则的（分母阶次等于分子介词） 如果 G
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ˆ 的范数 传递函数 G
Parseval定理 ˆ ( jw) = 设 f (t ) Î L2，记 f 则 f = 1 fˆ
2
ò
¥
- ?
f (t )e-
jwt
dt = F ( f )
2p
2
传递函数的范数 1-范数
2
dt
1/ 2
1/ 2
pow(u)
2 u t dt T
信号所携的总能量
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1 pow u : lim T 2T
范数之间的关系
问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？
*如果 u 2 ，那么 u是一功率信号，且
pow u 0
范数的4条性质
考察从（-∞，∞）映射到R 的信号。 假定它们是连续分段的，当 然在t<0可以是0（即该信号 从t=0时刻开始）。
1、 u 0 2、 u 0 u t 0，t 3、 au a u , a R 4、 u v u v
三角不等式
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2 1
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例2
0, t0 4 u2 t 1 t , 0 t 1 0, t 1
1
u2(t)
1
1
t
它的1-范数存在 u2 1 0 它的2-范数存在 1 1 2 u2 2 dt 2 0 t u2 2 2
1 4 dt 4 3 t
2
∞
它的∞-范数不存在
1
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例3
0 t 0 u3 t 1 t 0
1
0
它的1-范数不存在
u3
1
t
1 dt
0
1
它的2-范数不存在
u3
2 2
它的∞-范数存在
1 dt
0
1
2
∞
u3
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1
1
2.2 系统的范数