2020年【通用版】高考数学(艺术生)考前冲刺专题《平面向量》测试题(含答案)

专题5平面向量测试题

命题报告：

高频考点：平面向量的基本概念，平面向量的运算，平面向量的数量积的运算，平面向量是数量积运算，平面向量与三角函数、解析几何的综合，平面向量与平面几何的综合等。

考情分析：本单元在高考中主要以客观题形式出现，难度较低，再解答题中，主要课程向量的工具性的作用，一般在解答题中不单独命题。

重点推荐：第12题，考查向量和不等式的交汇，有一定难度。考查学生解决问题的能力。

一．选择题

1.（2018•洛阳三模）已知平面向量，，，若，则实数k的值为（）

A．B．C．2 D．

【答案】：B

【解析】∵平面向量，，，

∴=（2+k，﹣1+k），∵，

∴，解得k=．∴实数k的值为．故选：B．

2.已知A，B，C为圆O上的三点，若=，圆O的半径为2，则=（）

A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2

【答案】：D

【解析】如图所示，

=，

∴平行四边形OABC是菱形，且∠AOC=120°，又圆O的半径为2，

∴=2×2×cos60°=2．故选：D．

3.（2018•宝鸡三模）已知不共线向量，，，则=（）A．B．C．D．

【答案】：A

【解析】∵，∴﹣=﹣4=1，∴=5，

∴==4﹣2×5+9=3，∴=，故选：A．

4.（2018•安宁区校级模拟）已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2与垂直，则实数k的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2

【答案】：A

5.设是非零向量，则是成立的（）

A. 充要条件

B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】由可知：方向相同，表示方向上的单位向量

所以成立;反之不成立.故选B

6.（2018•西宁一模）如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请找出D点的位置，计算的值为（）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】：B

【解析】：以A为原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（4，1），C（6，4），

平行四边形ABCD，则=，设D（x，y），∴（4，1）=（6﹣x，4﹣y），

∴4=6﹣x，1=4﹣y，解得x=2，y=3，∴D（2，3），∴•=2×4+3×1=11，故选：B．格中的位置如图所示，则•（）= ．

【答案】：3

【解析】如图建立平面直角坐标系，

则=（1，3），=（3，﹣1）﹣（1，1）=（2，﹣2），=（（3，2）﹣（5，﹣1）=（﹣2，3），

∴=（0，1），∴=（1，3）•（0，1）=3．故答案为：3．

16.（2018•红桥区一模）在△ABC中，点D满足=，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若

=λ+μ，则λ+的最小值为．

【思路分析】根据题意画出图形，利用、表示出，再利用表示出，求出λ与μ，利用基本不等式求出的最小值．

【答案】

【解析】：如图所示，△ABC中，，

∴=+=+=+（﹣）=+，又点E在射线AD（不含点A）上移动，设=k，k＞0，∴=+，

又，

∴，∴=+≥2=，当且仅当k=时取“=”；

∴λ+的最小值为．故答案为：．

三．解答题

17.如图，在△ABC中，AO是BC边上的中线；已知AO=1，BC=3．设=，=．

（Ⅰ）试用，表示，；

（Ⅱ）求AB2+AC2的值．

【解析】：（Ⅰ）在△ABC中，AO是BC边上的中线，

设=，=．

所以：，

则：=．

=．…………4分

18.如图，已知向量．

（1）若∥，求x与y之间的关系；

（2）在（1）的条件下，若有，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．

【思路分析】（1）由∥，结合向量平行的坐标表示可得（x+4）y﹣（y﹣2）x=0，可求x，y的关系，（2）由有，结合（1）的关系式可求x，y的值，代入四边形的面积公式可求

【解析】：（1）∵，

又，∴x（y﹣2）﹣y（x+4）=0⇒x+2y=0①…………4分

（2）∵，

又⊥，∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0⇒x2+y2+4x﹣2y﹣15=0②；

由①，②得或，

当时，，，则；

当时，，，

则；

综上知．…………12分

19.如图，直角梯形ABCD中，||=2，∠CDA=，=2，角B为直角，E为AB的中点，=λ（0≤λ≤1）．

（1）当λ=时，用向量，表示向量；

（2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值．

【思路分析】（1）利用三角形法则即可得出结论；

（2）表示出的表达式，结合二次函数的性质求出其模的最小值即可．

【解析】：（1）当λ=时，直角梯形ABCD中，

||=2，∠CDA=，=2，

角B为直角，E为AB中点，=，

∵=[（﹣）+（+）]

=（﹣++）

=+；…………5分

（2）∵直角梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=2，

角B为直角，E为AB中点，=λ，（0≤λ≤1），

∵=（+）=[（﹣）+（+）]

=[﹣λ+（1﹣λ）+]

=[+（1﹣2λ）]

=+，

∴=++（1﹣2λ）•

=4λ2﹣7λ+=4+,∵0≤λ≤1，

∴当λ=时，有最小值，

∴||有最小值．…………12分

20.（2018秋•新罗区校级月考）在如图所示的直角坐标系xOy中，点A，B是单位圆上的点，且A（1，0），

．现有一动点C在单位圆的劣弧上运动，设∠AOC=α．

（Ⅰ）若tanα=2，求的值；

（Ⅱ）若，其中x，y∈R，求x+y的取值范围．

【思路分析】（Ⅰ）利用三角函数的定义及向量数量积可求得；

（Ⅱ）利用向量的坐标运算可将x和y用α表示，从而转化为三角函数求值域可求得．

【解析】：（Ⅰ）∵且tanα=2，∴sinα=，cosα=

∴•=|||cos∠BOC=cos（）

=cos cosα+sin sinα=﹣×+=；…………5分