高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-2两角和与差的正弦余弦正切公式同步优化
高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-1两角差的余弦公式3-1-2两角和与差的正
高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-1两角差的余弦公式3-1-2两角和与差的正弦余弦正切公式自我检测新人教A 版必修43.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式自我小测1.的值为( )ππsin 1212-A ．0B ． C. D ．2 2．已知，，那么等于( )2tan()5αβ+=π1tan()44β-=πtan()4α+ A. B.C. D.131813223223183．在△ABC 中，若sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，那么这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 4．(2011浙江高考，理6)若，，，π02α<<π02β-<<π1cos()43α+=πcos()42β-=( )．cos()2βα+A ．B ．C ．D 5．若α，β均为锐角，且，，则cos β＝__________.1cos 7α=11cos()14αβ+=- 6．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．7．已知α，β∈(0，π)，，，求2α－β的值．1tan()2αβ-=1tan 7β=- 8．若，，且，求cos(α＋β)的值．3π5sin()413α+=π3cos()45β-=π3π044αβ<<<<9已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，.13-=a b (1)求cos(α－β)的值；(2)若，且，求sin α的值．π02α<<π02β-<<4sin 5β=- 参考答案1答案：C 解析：，故选πππππππsin 2(cos cos sin sin )2cos 12126126124-=-==2答案：C解析：ππtan()tan ()()44ααββ⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦21πtan()tan()3544π21221tan()tan()1454αββαββ-+--===++-+⨯. 3答案：D解析：∵sin(B ＋C)＝2sin Bcos C ，∴sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bcos C ， 移项整理得：sin Bcos C －cos Bsin C ＝0，。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学 一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−→−=βα令sin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1. 同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−•-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠2π+kπ(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±4π+kπ(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+kπ且α≠2π+kπ(k∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+co sα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答. 典题•热题知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒•. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα (n∈N *).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54，∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-•+•=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+•=-+•=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sinθ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cosθ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinC B A C B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sinα、tanα的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α-1代入已知得 4sin 2αcos 2α+2sinαcos 2α-2cos 2α=0， 即2cos 2α(2sin 2α+sinα-1)=0， 即2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sinα+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sinα-1=0，即sinα=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tanα=33.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asinθ+bcosθ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒•=︒+︒︒•10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒••=︒︒+︒•=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒•︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sinα、1±cosα的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒•=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒•=︒︒︒︒•=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒•=. 方法归纳 对于可化为cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan 2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边.所以①式成立，原式得证. 例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322. 思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒•︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 32222222)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯=︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162 ︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边， 所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin 2α-sinα·23sin2α=23sinαsin 2α-23sinαsin2α=0.方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究问题 倍角和半角公式：sinα=2tan12tan22αα+，cosα=2tan12tan 122αα+-，tanα=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sinα、cosα和tanα的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tanα=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如tan15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x =2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222tt t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy内作单位圆，以Ox为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A、B.显然，OA=(cosα,sinα),OB=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有OA·OB=1(cosα,sinα)·(cos(-β),sin(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想.②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键. 记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(α-β)=cos［2-(α-β)］=cos［(2-α)+β］=cos(2-α)cosβ-sin(2-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是2均为任意角.的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β误区警示公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ，学习时一定要注意这一点.学法一得公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式：tan(α+β)=s in(cos())s incosc oscosc ossin sinsin，当cosαcosβ≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cosαcosβ，即得用tanα和tanβ表示的公式：tan tantan(α+β)=1tantan，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式：tan tantan(α-β)=1tantan.2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tanα、tanβ存在.并且1+tanαtanβ的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠kπ+2,β≠kπ+2，α+β≠kπ+2或2α-β≠kπ+2，以上 k∈Z .当 tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或 其他方法解决.学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是 化简三角恒等式的重要手段，如 tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如 tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运 用公式或其变形，使变换过程简单明了. 典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差 例 1 求 sin75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° = 232 1 62 22 24 2；tan60tan 45 3 1tan15°=tan(60°-45°)= 2 31 tan 60tan 45 1 3 tan 60 45 1 3，3 1tan 45 tan 303或 tan15°=tan(45°-30°)= 2 31 tan 45tan 303 13. 例 2 求 sin 7 c os 7c os15sin 8 sin15sin 8的值.思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中 7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约 分、化简、求值.若用 7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用 15°=8°+7°或 8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=sin 7 cos 7cos(7 sin(78)sin 8 8)sin 8s in 7 cos 7cos7cos8sin 8 s in7cos8sin8s in 7cos7sin2sin28 8s in 7(sin cos 7sinsin 7cos2 cos 7cos288cos7cos8sin8sin7cos8sin8s in7cos8cos7sin 8c os7cos8sin7sin 8sin15tan1523. cos15巧解提示:原式=sin(15cos(158)8)c os15sin 8sin15sin 8s in15 cos8 c os15 cos8cos15sin8sin 8sin15cos15sin15sin8sin83s in15cos8cos15cos8=tan15°=tan(45°-30°)31tan45tan30323.1tan45t an 30313方法归纳三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值1例3 已知sinα=，求cos( +α)的值.3 3思路分析：因为是个特殊角，所以根据C(α+β)的展开式，只需求出cosα的值即可.由于条31件只告诉了sinα=，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cosα的值，再代3入展开式确定cos( +α)的值.31解：∵sinα=>0，∴α位于第一、二象限.3当α是第一象限角时，cosα=1221()2，33∴cos(3+α)=cos3cosα-sin3sinα=1223122232363;22同理，当α是第二象限角时，cosα=，3∴cos(3233+α)=.6方法归纳解这类给值求值问题的关键是先分清S(α±β)、C(α±β)、T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos( +α)这样的2函数求值，由于它们的角与的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导2公式可能更简单.例4 已知cos(α-2)=1，sin(92-β)=23，并且2＜α＜π，0＜β＜2，求cos24思路分析：观察给出的角()()，结合公式C(α-β)展开式的特点，只需222利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-)、cos( -β)的值即可.22解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0＜＜.2242224∴＜α-＜π，- ＜-β＜.424221＜0，∴又∵cos(α-)= .29221∴sin(22)1sin()1()229459.同理，∵sin(2-β)=23>0，∴.222∴cos(22)1sin()1()22353.故cos[()()]cos222=cos(α- )cos( -β)+sin(α- )sin(2222-β)1545275.939327例5 在△ABC中，sinA=355,cosB=13，求cosC.思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符解：5,∴B∈( 2∵cosB=13 24 ,212 13)且 sinB=. ∵sinA= 3 ,∴A∈(0, 2 5 24 )∪( 34 ,π).33若 A∈(,π),B∈( , )，则 A+B∈(π,)与 A+B+C=π 矛盾，44 2234∴A(,π).因此 A∈(0, )且 cosA= .445 45 3 12 16从而 cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=. 5 13 5 13 655例 6 如图 3-1-7，已知向量OP =(3,4)绕原点旋转 45°到 OP′的位置，求点 P′(x′,y′)的 坐标.图 3-1-7思路分析：本题相当于已知角 α 的三角函数值，求 α+45°的三角函数值. 解：设∠xOP=α.因为|OP|= 32 42 5 ，所以cosα=3 5 ,sinα=45 . 因为 x′=5cos(α+45°)=5(cosαcos45°-sinαsin45°)3 24 2 2 5( )，5 2 5 22同理,可求得 y′=5sin(α+45°)=7 22 7 ，所以 P′(,2 2 22 ).方法归纳 ①已知角 α 的某一三角函数值和角 α 所在的象限，则角 α 的其他三角函数值唯 一；已知角 α 的某一三角函数值，不知角 α 所在的象限，应先分类讨论，再求 α 的其他三 角函数值.②一般地，90°±α，270°±α 的三角函数值，等于 α 的余名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已 知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来. 知识点三 已知三角函数值求角 例 7 已知 sinα=5 5 ，sinβ= 10 10,且 α、β 都是锐角，求 α+β 的值.思路分析：(1)根据已知条件可先求出 α+β 的某个三角函数值，如 cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出 cosα、cosβ 即可.(3)由于 α、β 都是锐角，所以 0＜α+β ＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据 cos(α+β)的值即可求出 α+β 的值. 解：∵sinα=5 5,sinβ=10 10，且 α、β 都是锐角，∴cosα=2 5 1 sin2，cosβ=53 10 1 sin 2.10∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=210 10. 5 3 5 2 5 1051026又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4.方法归纳给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.知识点四利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sinβ=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sinβ=3sin［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα，sin(2α+β)=sin［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，又3s inβ=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.∴tan(α+β)=2tanα.方法归纳对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系.知识点五变用两角和差的三角函数公式化简求值例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33.tan12tan18解：∵1tan12tan18=tan(12°+18°)=tan30°=33，∴tan12°+tan18°=33(1-tan12°·tan18°)，即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边.∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33.方法归纳三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值.tan tan解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=1tantan=1，所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1，即(1+tanα)(1+tanβ)=2.于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.又因为1+tan45°=2，所以原式=223.方法归纳当α+β=kπ+4,k∈Z时，(1+tanα)(1+tanβ)=2；7当 α+β=kπ- 问题•探究 思想方法探究4,k∈Z 时，(1+tanα)(1+tanβ)=2tanαtanβ.问题 1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些 公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的， 尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ 化简为__________.将 α-β 看作一个角，β 看 作另一个角,则 cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ=cos ［(α-β)+β］=cosα.解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换.tantan探究结论:两角和的正切公式 tan(α+β)=1 tan tan.除了掌握其正向使用之外，还需掌握 如 下 变 换 ： 1-tanαtanβ=tan tan( tan)； tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanαtanβtan(α+β)=tan (α+β)-tanα-tanβ 等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉， 其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题 2 2004年重庆高考有一题为：求函数 y=sin 4x+2 3 sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最 小 值 ， 并 写 出 该 函 数 在 ［ 0,π］ 上 的 单 调 递 增 区 间 .该 函 数 变 形 后 就 需 要 用 到 形 如 asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角 变换？探究过程:形如 asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为 Asin(x+φ)的形ab式.asinx+bcosx=b ( sincos )a 22xx ,abab2222令 cosφ=aa2b2,sinφ=ba2b2，则原式= a 2b 2 (sinxcosφ+cosxsinφ)= a 2 b 2 sin(x+φ).(其中 φ 角所在象限由 a 、b 的符号确定，φ 角的值由 tanφ=b a 确定，常常取 φ=arctan b a).探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如 2sinx-3cosx ，就可以利用这一结 论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为 a=2,b=-3,A= a 2 b 2 13 ，所以 2sinx-3cosx= 13 sin(x+φ)，(其中 φ 在第四象限，且 tanφ=3)，所以 2sinx-3cosx 2的最大值是 13 ，最小值是 13 .8。
【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-3二倍角的正弦余弦正切公式
【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-3二倍角的正弦余弦正切公式二课后集训 二倍角的正弦、余弦、正切公式 2课后集训基础达标 1.cos48π-sin 48π等于（ ） A.0 B.22 C.1 D.-22解析：原式=（cos 28π-sin 28π）=cos 4π=22.∴应选B.答案：B2.︒+-︒-10sin 180cos 1等于（ ）A.2sin5°B.-2sin5°C.2cos5°D.-2cos5° 解析：原式=222)5cos 5(sin )5cos 5(sin )5cos 5(sin 10sin 1︒+︒-︒-︒=︒+︒-︒-=cos5°-sin5°-sin5°-cos5°=-2sin5°.∴应选B. 答案：B 3.当cos2α=32时，sin 4α+cos 4α的值是（ ） A.1 B.97 C.1811 D.1813 解析：sin 4α+cos 4α=（sin 2α）2+（cos 2α）2=22)22cos 1()22cos 1(αα++- =42cos 2cos 212cos 2cos 2122αααα++++-=.18114922242cos 222=⨯+=+α答案：C4.（经典回放）已知x∈（-2π，0），cosx=54，则tan2x 等于（ ）A.247B.-247C.724D.-724解析：∵x∈（-2π，0），cosx=54，∴sinx=-53.∴tanx=43-.∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---∙=-xx . 答案：D 5.若2π＜α＜π，且cos α=a ，则sin 2α等于（ ） A.21a + B.±21a - C.21a + D.±21a+ 解析：∵cos α=1-2sin22α且4π＜2α＜2π， ∴sin2α=2cos 1α-.答案：A6.函数y=sin2x-2cos 2x 的最大值是___________. 解析：y=sin2x-（1+cos2x ） =sin2x-cos2x-1 =2（sin2x·22-22cos2x ）-1=2sin （2x-4π）-1 ∵x∈R ，∴y max =2-1. 答案：2-1 综合运用 7.化简（sin2α+cos 2α）2+2sin 2（4π-2α）得（ ） A.2+sin α B.2 C.2+sin α-cos αD.2+sin α+cos α解析：原式=1+sin α+1-cos （2π-α） =1+sin α+1-sin α=2. 答案：B8.4cos sin 22+-的值是（ ）A.sin2B.-cos2C.3cos2D.3-cos2 解析：原式=4cos )2sin 1(2+- =2cos 32cos 22cos 222=+ ∵2π＜2＜π，∴cos2＜0 ∴原式=2cos 3- 答案：D9.cos 2（2x -87π）-cos 2（2x +87π）化简的最简结果是___________解析：原式=2)47cos(12)47cos(1ππ++--+x x =2)47cos(2)47cos(ππ+--x x =2)42cos(2)42cos(ππππ-+-+-x x=2)4cos(2)4cos(ππ--+x x =24sinsin 224sin sin 4coscos 24sin sin 4coscos πππππx x x x x -=+--答案：22-sinx 拓展探究10.已知函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1，该函数的图象可由y=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？思路分析：首先利用倍角公式和和角公式将原式转化成y=Asin （ωx+φ）+b （或y=Acos （ωx+φ）+b ）的形式. 解法1：∵y=21cos 2x+23sinxcosx+1=21·4322cos 1++x sin2x+1 =41cos2x+43sin2x+45=21sin （2x+6π）+45, ∴将函数y=sinx 依次进行如下变换：（1）把函数y=sinx 的图象向左平移6π，可得函数y=sin （x+6π）的图象. （2）把得到的函数y=sin （x+6π）的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍，而纵坐标不变，就可得到函数y=sin （2x+6π）的图象.（3）把第（2）步得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21，而横坐标不变，即得到函数y=21sin （2x+6π）的图象. （4）把（3）步得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin （2x+6π）+45的图象.综上四步变换，就得到了函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图象解法2：∵y=21cos 2x+23sinxcosx+1=21sin （2x+6π）+45， ∴将函数y=sinx 的图象依次进行如下变换可得函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图象.（1）把函数y=sinx 的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍，而横坐标不变，可得到函数y=21sinx 的图象. （2）把得到的函数y=21sinx 的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍，而纵坐标不变，可得到函数y=21sin2x 的图象. （3）把所得的函数y=21sin2x 的图象向左平移12π个单位，可得到函数y=21sin （2x+6π）的图象.（4）再把得到的图象向上平移45个单位，就可得到函数y=21sin （2x+6π）+45的图象. 综上可得到函数y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图象备选习题11.函数y=sin 2（x+12π）+cos 2（x-12π）-1的最大值是___________. 解析：y=2)62cos(12)62cos(1ππ-+++-x x -1 =21［cos （2x-6π）-cos （2x+6π］ =sin2xsin 6π=21sin2x≤21.所以y max =21.答案：2112.求下列函数的值域：（1）f （x ）=sinx+3cosx （x∈［-2π，2π］)； （2）f （x ）=cosx+cos （x+3π）； （3）f （x ）=sin （x-6π）cosx. 解：（1）因为f （x ）=sinx+3cosx=2sin （x+3π）， 又-2π≤x≤2π, 所以-6π≤x+3π≤65π，-1≤2sin（x+3π）≤2.所以，函数f （x ）的值域为［-1，2］. （2）因为f （x ）=cosx+cos （x+3π） =cosx+21cosx-23sinx=3cos （x+6π）， 又-1≤cos（x+6π）≤1， 所以-3≤f（x ）≤3.所以，函数f （x ）的值域为［-3，3］.（3）因为f （x ）=sin （x-6π）cosx =（23sinx-21cosx ）cosx =43sin2x-41cos2x-41 =21sin （2x-6π）-41， 又-1≤sin（2x-6π）≤1，所以43-≤21sin （2x-6π）-41≤41.所以，函数f （x ）的值域为［43-，41］.13.（经典回放）已知函数f （x ）=cos 2x-2sinxcosx-sin 2x （1）求f （x ）的最小正周期； （2）求f （x ）的最大值、最小值.解：（1）因为f （x ）=cos 2x-2sinxcosx-sin 2x=cos2x-sin2x=2cos （2x+4π）， 所以f （x ）的最小正周期T=22π=π. （2）因为f （x ）=2cos （2x+42π），所以f （x ）的最大值为2，最小值为-2.14.证明：1tan 22cos 42sin 3--θθθ=sin2θ+4cos 2θ.证明：左边=θθθθθθθcos sin 2cos )sin 4cos 4cos sin 6(22-+-=θθθθθθθθθcos sin 2)cos 4cos sin 8cos sin 2sin 4(cos 22--+-=θθθθθθθθθcos sin 2]cos sin 2(cos 4)cos sin 2(sin 2[cos --+-=θθθθθθθcos sin 2)cos 4cos sin 2)(cos sin 2(2-+-=sin2θ+4cos 2θ=右边. ∴等式成立.15.已知函数f （x ）=5sinxcosx-35cos 2x+235（x∈R ）， （1）求f （x ）的最小正周期； （2）确定函数f （x ）的递增区间；（3）函数f （x ）的图象可由函数y=5sin2x 的图象经过怎样的变化得到. 解：（1）f （x ）=5sinxcosx-35cos 2x+235 =25sin2x-23522cos 135++⨯x =25sin2x-235cos2x =5（sin2xcos 3π-cos2xsin 3π） =5sin （2x-3π）， ∴最小正周期T=22π=π.（2）设u=2x-3π，因为函数y=sinu 的递增区间是［2k π-2π，2k π+2π］，（k∈Z ），解不等式2k π-2π≤2x -3π≤2k π+2π，得2k π-6π≤2x≤2k π+65π，∴k π-12π≤x≤k π+125π，（k∈Z ）. ∴f（x ）的递增区间是［k π-12π，k π+125π］（k∈Z ）.（3）∵f（x ）=5sin （2x-3π）=5sin ［2（x-6π］.∴函数f （x ）的图象可由y=5sin2x 的图象向右平移6π单位而得到.16.已知tan2θ=22-，2π＜2θ＜π，求)4sin(21sin 2cos 22θπθθ+--的值.解：∵tan2θ=22tan 1tan 22-=-θθ， ∴2tan 2θ-tan θ-2=0.∴tan θ=2或tan θ=-22.∵2π＜2θ＜π时4π＜θ＜2π， ∴tan θ＞0，故tan θ=2.∴原式=2121tan 1tan 1sin cos sin cos +-=+-=+-θθθθθθ =-3+22.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式主动成长夯基达标 1.(cos 12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π)等于( ) A.-23B.-21C.21D.23 解析:(cos12π-sin 12π)(cos 12π+sin 12π) =cos 12π·cos 12π+cos 12π·sin 12π-cos 12π·sin 12π-sin 12π·sin 12π =cos 12π·cos 12π-sin 12πsin 12π=cos 6π=23. 答案:D2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于( ) A.57B.51C.-57D.-51 解析:∵α∈(0, 2π),sin α=53, ∴cos α=542591=-. ∴2cos(α+4π)=2(cos αcos 4π-sin αsin 4π) =2(22cos α-22sin α)=cos α-sin α =54-53=51. 答案:B3.cos84°·cos24°-cos114°·cos6°的值为( ) A.23B.0C. 21D.2 解析:cos84°·cos24°-cos114°·cos6°=cos84°·cos24°+cos66°·sin84°=cos84°·cos24°+sin24°·sin84°=cos(84°-24°)=cos60°=21. 答案:C4.sin 47°·cos43°+cos47°·sin43°的值等于( ) A.0B.1C.-1D.21 解析:sin47°cos43°+cos47°·sin43°=sin(47°+43°)=sin90°=1.答案:B5.已知sin α=1312,cos β=54,且α是第二象限角,β是第四象限角,那么sin(α-β)等于( ) A.6533B.6563C.6516- D.-6556解析:∵α是第二象限角,且sin α=1312,∴cos α=1691441--=-135.β是第四象限角,cos β=54,∴sin β=25161--=-53.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =1312×54-(-135)×(-53) =6533651548=-.答案:A6.已知sin α=54,cos(α+β)=-53,α、β都是第一象限的角,则sin β等于( ) A.2524B.257 C.2524或257 D.-2524解析:∵α,β都是第一象限角,且cos(α+β)=53-,∴α+β为第二象限角.∴sin(α+β)=2591-=54,cos α=1-5325161=-.∴sin β=sin ［(α+β)-α］=sin(α+β)·cos α-cos(α+β)·sin α =54×53+53×54=2524251212=+. 答案:A7.sin113°cos22°+sin203°sin158°的值为( ) A.21B.22C.23D.1 解析:sin113°=sin(180°-67°)=sin67°=sin(90°-23°)=cos23°,sin203°=sin(180°+23°)=-sin23°,sin158°=sin(180°-22°)=sin22°.∴原式=cos23°·cos22°-sin23°sin22° =cos(23°+22°)=cos45°=22. 答案:B8.若A 、B 是△ABC 的内角,并且(1+tanA)(1+tanB)=2,则A+B 等于( ) A.4πB.43πC.45πD.32π 解析:由(1+tanA)(1+tanB)=2,得1+tanA+tanB+tanAtanB=2.所以tanA+tanB=1-tanAtanB.由tan(A+B)=1tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan =--=-+B A B A B A B A , ∴A+B=4π. 答案:A9.已知sin α-cos β=21,cos α-sin β=31,则sin(α+β)=______________. 解析:把sin α-cos β=21两边平方,得 sin 2α-2sin αcos β+cos 2β=41.① 把cos α-sin β=31两边平方,得 cos 2α-2cos αsin β+sin 2β=91.② ①+②,得1+1-2(sin αcos β+cos αsin β)=3613. ∴2sin(α+β)=2-3613=3659. ∴sin(α+β)=7259. 答案:725910.已知tan α、tan β是方程x 2+33x+4=0的两根,且α、β∈(-2π,2π),则tan(α+β)=__________,α+β=__________.解析:∵tan α,tan β是方程x 2+33x+4=0的两根, ∴⎩⎨⎧>=∙<-=+.04tan tan ,033tan tan βαβα∴tan α＜0,tan β＜0.∴α,β∈(-2π,0).∴-π＜α+β＜0. tan(α+β)=.33334133tan tan 1tan tan ==--=-+βαβα ∴α+β=-32π. 答案:3 -32π 11.求值:［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·︒80sin 22.解:原式=(2sin50°+sin10°︒∙︒︒+︒80sin 210cos 10sin 310cos =(2sin50°+2sin10°︒︒+︒10cos 10sin 2310cos 21)·2cos10° =22［sin50°cos10°+sin10°cos(60°-10°)］ =22sin(50°+10°)=22·23=6. 12.已知tan α、tan β是方程6x 2-5x+1=0的两根,且0＜α＜2π,π＜β＜23π.求: (1)tan(α+β)及α+β的值;(2)sin 2(α+β)-cos(α+β)sin(α+β)-3cos 2(α+β)的值. 解:(1)由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+.61tan tan ,65tan tan βαβα ∴tan(α+β)=1tan tan 1tan tan =∙-+βαβα.又∵π＜α+β＜2π,∴α+β=45π. (2)原式=)(cos )(sin )(cos 3)sin()cos()(sin 2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+ =1)(tan 3)tan()(tan 22++-+-+βαβαβα =11311+-++ =-23. 走近高考13.(2006江西高考,13)已知向量a =(1,sin θ),b =(1,cos θ),则|a -b |的最大值为______________.解析:a -b =(0,sin θ-cos θ),|a -b |=|sin θ-cos θ|=|2sin(θ-4π)|, ∴最大值为2.答案:214.(2006江苏高考)tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40°=_________________. 解析:原式=tan70°cos10°+3sin10°tan70°-2cos40° =2tan70°(21cos10°+23sin10°)-2cos40° =2·︒︒70cos 70sin ·sin40°-2cos40° =︒︒︒-︒︒70cos )70cos 40cos 40sin 70(sin 2 =.270cos 110cos 2=︒︒- 答案:215.(2006福建高考,4)已知α∈(2π,π),sin α=53,则tan(α+4π)等于( ) A.71B.7C.-71D.-7 解析:∵α∈(2π,π),且sin α=53,。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正
1．设 α∈0，π2，若 sin α＝35，则 2cosα＋π4＝(
)
7
1
A.5
B.5
C．－75
D．－15
第九页，共39页。
解析： 易得 cos α＝45，
则
2cosα＋π4＝
2cos αcos
π4－sin αsin
π4＝15.
答案(dáàn)： B
第十页，共39页。
2．sin 59°·cos 89°－cos 59°·sin 89°的值为( )
1－172＝4 7 3.
由 0＜β＜α＜π2，得 0＜α－β＜π2.
又∵cos(α－β)＝1134，
第三十四页，共39页。
∴sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β）＝
由 β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1134＋4 7 3×3143＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3.
(3)求角，结合三角函数值及角的范围求角
第三十一页，共39页。
同类练]☆ 1．已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝ 55，cos β＝ 1100，求 α－β 的值．
第三十二页，共39页。
解析： ∵α，β 均为锐角，且 sin α＝ 55，cos β＝ 1100，
∴cos α＝255，sin β＝31010. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
第三十六页，共39页。
故co1s A＋co1s C＝cos（601°＋α）＋cos（601°－α）
＝
1
＋
1
12cos α－ 23sin α 12cos α＋ 23sin α
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正
∴0<β<π4，∴0<α＋2β<34π.①4 分 由 sin β＝ 1100，β 为锐角， 得 cos β＝31010， ∴tan β＝13.6 分 ∴tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ
第二十六页，共33页。
＝1－17＋17×1313＝12.8 分
∴tan(α＋2β)＝1t－ant（anα（＋αβ＋）β＋）ttaannββ
[归纳升华] 给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式， 通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系， 如用 α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的 三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.
两角差 的正切
两角和与差的正切公式
公式
简记符号
tan(α＋β)＝
tan α＋tan β __1_－__ta_n__α_t_a_n_β__
tan(α－β)＝
tan α－tan β __1_＋__t_a_n_α_t_a_n_β____
T(α＋β) T(α－β)
第四页，共33页。
使用条件 α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)
第三十页，共33页。
解析： tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝1t－ant（anα（－αβ－）β＋）ttaannββ＝1－1212－×17－17＝13.
又因为 α∈(0，π)，而 tan α>0，所以 α∈0，π2. tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝1t－antaαn＋αttaann（（αα－－ββ））
2019-2020高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-3二倍角的正弦余弦正切公式同
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.(高考全国卷Ⅱ，理2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是( )A.2πB.4πC.D.解析：y=sin2xcos2x=sin4x,所以最小正周期为T==.答案：D2.(高考全国卷Ⅱ，理10)若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)等于( )A.3-cos2xB.3-sin2xC.3+cos2xD.3+sin2x解析：f(sinx)=3-(1-2sin2x)=2sin2x+2,所以f(x)=2x2+2.因此f(cosx)=2cos2x+2=(2cos2x-1)+3=3+cos2x.答案：C3.已知α为锐角，且sinα∶sin=8∶5，则cosα的值为( )A. B. C. D.解析：由=2cos=，得cos=，cosα=2cos2-1=2×()2-1=.答案：C4.求下列各式的值：(1)cos cos=______________；(2)(cos-sin)(cos+sin)=______________；(3)-cos2=______________；(4)-+cos215°=______________；(5)=_________________解析：(1)原式=cos sin=sin=；(2)原式=cos2-sin2=cos=；(3)原式=(2cos2-1)=cos=；(4)-+cos215°=(2cos215°-1)=cos30°=；(5)原式=tan45°=.答案：(1) (2) (3) (4) (5)10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若tanx=2，则tan2(x-)等于( )A. B.- C. D.解析：tan(2x-)=-tan(-2x)=-cot2x=,而tan2x==-,∴原式=.答案：C2.当0＜x＜时，函数f(x)=的最小值为( )A.2B.C.4D.解析：f(x)==+4tanx≥=4，当且仅当tanx=时，取“=”.答案：C3.化简cos72°cos36°=________________.解析：原式==.答案：4.在△ABC中，tanA+tanB+tanAtanB且sinAcosA=，判断三角形的形状.解：由sinAcosA=，得sin2A=，即sin2A=，∴2A=60°或120°.∴A=30°或60°.又由tanA+tanB=(1-tanAtanB)，得tan(A+B)=，∴A+B=120°.当A=30°时，B=90°，tanB无意义，∴A=60°,B=60°，即三角形为等边三角形.。
高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3-1-2两角和与差的正弦、余弦、正切公式优
－ tan 27°tan 33°＋ tan 27°tan 33°＝ .
答案：
8．已知在锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝ ，sin(A－B)＝ ，则 ＝________.
解析：∵sin(A＋B)＝ ，sin(A－B)＝ ，
∴ ⇔ ⇔ ＝2.
＝
＝
＝ ＝－3.
10．已知函数f(x)＝ sin(ωx＋φ) 的图象关于直线x＝ 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ＝ ，求cos 的值．
解析：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝ ＝2.
又因f(x)的图象关于直线x＝ 对称，
所以tan3B＝3 ，所以tanB＝ .
又0°<B<180°，所以B＝60°.
答案：C
3．tan ＝ ，tan ＝2 ，则tan(α＋β)＝________.
解析：tan ＝tan
＝ ＝ ＝－ .
tan(α＋β)＝tan
＝
＝ ＝2 －3.
答案：2 －3
4．不查表求值：tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°＝________.
所以2· ＋φ＝kπ＋ ，k＝0，±1，±2，….
因－ ≤φ< 得k＝0，
所以φ＝ － ＝－ .
(2)由(1)得f ＝ sin ＝ ，
所以sin ＝ .
由 <α< 得0<α－ < ，
所以cos ＝
＝ ＝ .
因此cos ＝sinα＝sin
＝sin cos ＋cos sin
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式更上一层楼基础•巩固1.tan10°·tan20°+3(tan10°+tan20°)的值等于( ) A.31B.1C.3D.6 思路分析:∵3330tan 20tan 10tan 120tan 10tan =︒=︒∙︒-︒+︒，∴tan10°+tan20°=33(1-tan10°·tan20°). ∴原式=tan10°·tan20°+1-tan10°·tan20°=1. 答案:B2.若sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.21m - B.21m -- C.12-mD.12--m思路分析:由条件，得sin ［(α-β)-α］=sin(-β)=-sin β=m ，∴sin β=-m. 又∵β为第三象限角，∴cos β=221sin 1m --=--β.答案:B3.若tan θ=31，则cos 2θ-21sin2θ的值等于( ) A.65- B.54- C.53 D.54思路分析:∵sin2θ=sin(θ+θ)=2sin θcos θ，tan θ=31，∴原式=53)31(1311tan 1tan 1sin cos cos sin cos 22222=+-=+-=+-θθθθθθθ. 答案:C4.若tan(α+β)=52，tan(β-4π)=41，那么tan(α+4π)等于( ) A.1613 B.223 C.2213 D.163思路分析:tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=∙+-=-∙++--+πββαπββα. 答案:B5.函数y=2sin(3π-x)-cos(6π+x),(x∈R )的最小值是__________. 思路分析:y=2sin 3πcosx-2cos 3πsinx-cos 6πcosx+sin 6πsinx=3cosx-sinx 23-cosx+21sinx=23cosx 21-sinx=cos(x-6π). 所以函数的最小值为-1.答案:-16.设tan α=71，tan β=31，α、β均为锐角，则tan(α+2β)=_________.思路分析:∵tan β=31，∴tan2β=tan(β+β)=43)31(1312tan 1tan 222=-⨯=-ββ. 又∵tan α=71，∴tan(α+2β)=14371143712tan tan 12tan tan =⨯-+=∙-+βαβα. 答案:1 综合•应用7.已知锐角三角形ABC 中，sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， (1)求证：tanA=2tanB ；(2)设AB=3，求AB 边上的高. (1)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， ∴2tan tan 51sin cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+B A B A B A B A B A B A B A . ∴tanA=2tanB.(2)解：∵2π＜A+B ＜π,sin(A+B)=53,∴tan(A+B)=43-，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将tanA=2tanB 代入上式并整理得 2tan 2B-4tanB-1=0.解之,得tanB=262±,舍去负值得tanB=262+. ∴tanA=2tanB=62+.设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD . 由AB=3，得CD=62+.所以AB 边上的高等于62+.8.重量为G 的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它(如图3-1-8)，小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ等于多大时，用力最小？图3-1-8思路分析:作出小车的受力分析如右图，由平衡条件得关于各力的方程，消元求解即可.解:由小车的受力分析可得⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-.,0sin ,0cos N f G f N f F μϕϕ 解得)cos(1)sin sin cos (cos 1sin cos 22ϕαμμϕαϕαμμϕμϕμ-+=++=+=GG G F . 要使F 最小，分母应最大，即cos(α-φ)=1，α=φ. 又tan α=μ，所以当φ=arctan μ时，F 最小，最小值为F min =21μμ+G=Gsin α=Gsin φ.9.tan α、tan β是方程x 2-3x-3=0的两个根，试求sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β)的值.思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和两角和与差的正切公式的应用.在解题过程中，要利用两角和的正切公式统一角，再用同角三角函数间的基本关系统一函数.在解决三角函数问题里，常需要遵循这样的原则：化简、计算、证明.解:由已知tan α、tan β是方程x 2-3x-3=0的两个根，根据韦达定理，有tan α+tan β=3，tan α·tan β=-3. 所以tan(α+β)=43)3(13tan tan 1tan tan =--=-+βαβα.所以sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β))(cos )(sin )(cos 3)cos()sin(3)sin(2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+=1)(tan 3)tan(3)(tan 22++-+-+=βαβαβα〔分子、分母同时除以cos 2(α+β)可得此式〕 31)43(3433)43(22-=+-∙-=. 10.如图3-1-9，扇形薄铁板的半径是1 m ，中心角为60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，如何截取才能使得矩形PQRS 的面积最大？图3-1-9思路分析:可以设∠POS=α，然后将矩形的两边用α的三角函数式来表示，经过适当变形转化成一个三角函数，进而求出最大面积.解:令∠POS=α，在Rt△POS 中，PS=OP·sin α=sin α，OS=OP·cos α=cos α； 在Rt△ROQ 中，OR=QR·cot60°=33QR=33PS=33sin α. RS=OS-OR=cos α-33sin α. S 矩形=PS·RS=(cos α-33sin α)sin α=sin αcos α-33sin 2α632cos 632sin 212)2cos 1(332sin 21-+=-∙-=αααα 63)302sin(3363)2cos 212sin 23(33-︒+=-+=ααα. 当α=30°时，上式有最大值，最大值为63.回顾•展望11.(2006苏州统考) 是否存在锐角α、β，使得①α+2β=32π，②tan 2αtan β=2-3同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，请说明理由.思路分析:对于探索存在性问题，通常先假设存在，然后求解，如果能求出结果，则说明存在，否则就说明不存在.解:假设存在锐角α、β使得①α+2β=32π，②tan 2αtan β=32-同时成立. 由①得2α+β=3π，所以tan(2α+β)=3tan 2tan1tan 2tan=-+βαβα. 又tan2αtan β=32-，所以tan 2α+tan β=33-. 于是tan 2α、tan β可以看成是方程x 2-(3-3)x+2-3=0的两个根.解得x 1=1，x 2=32-.若tan2α=1，则α=2π，这与α为锐角矛盾.所以tan 2α=32-，tan β=1.所以α=30°，β=45°.所以存在满足条件的α、β且α=30°，β=45°. 12.(2006安徽高考) 已知0＜α＜2π,sin α=54, (1)求αααα2++2cos cos 2sin sin 2的值； (2)求tan(α-45π)的值. 思路分析:化复角为单角，利用公式展开. 解:(1)由0<α<2π,sin α=54，得cos α=53，所以201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++αααααααα. (2)∵tan α=34cos sin =αα，∴tan(α-45π)=71tan 11tan =+-a α.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公
－1665，得 sin(α＋ β )＝6635，又 sin α＝45，所以 cos α ＝35，
所以 cos β＝cos[(α＋ β )－α]＝ cos(α＋ β )cos α＋sin(α＋ β )sin α＝ －1665×35＋6635×45＝230245.
[迁移探究] (变换条件)若把本例中的“α， β∈
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
3．cos(－15°)的值是( )
6－ 2 A. 2
0，π2”改为“α， β∈π2，π”，求 cos β 的值． 解：因为 α， β∈π2，π，所以 π＜α＋ β ＜2π， 由 cos(α＋ β )＝－1665，得 sin(α＋ β )＝－6635， 又 sin α＝45，
所以 cos α＝－35， 所以 cos β＝cos[(α＋ β )－α]＝ cos(α＋ β)cos α＋sin(α＋ β )sin α＝ －1665×－35＋－6635×45＝－230245.
【2020】最新高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3-1-2第1课时两角和与差的正
(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sinβ成立．(4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A．0 B．12C．32D．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －π4＝________.－210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.][合 作 探 究·攻 重 难]给角求值问题(1)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( ) A．－32B．－12C．12D．32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32. (2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513， ∴cos θ＝－1－sin2θ＝－1213， ∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513 ＝－12＋5326. (3)原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin －50°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.][规律方法] 解决给角求值问题的策略 1对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.2一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求.[跟踪训练] 1．化简求值： (1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin20°＋30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题(1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cosα＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值.[思路探究](1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sinα，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [(1)由题意可得，cos∠xOP ＝45，所以sin ∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513， 可得sin∠xOQ ＝－1213， 所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·si n ∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.(2)①因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2， 所以sin α＝1－cos2α＝255，cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.][规律方法] 给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. 2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.[跟踪训练]2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2， 所以－π2＜α－β＜π2， 因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55， 所以sin β＝s in[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cosx (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a2＋b2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式．提示：a sin x ＋b cos x＝a2＋b2⎝⎛⎭⎪⎫a a2＋b2sin x ＋b a2＋b2cos x ， 令cos φ＝a a2＋b2，sin φ＝ba2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a2＋b2(sin x cos φ＋cos x sin φ) ＝a2＋b2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a2＋b2和cos φ＝aa2＋b2共同确定)． (1)sinπ12－3cos π12＝________. (2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(sin x ，cosx )，x ∈R ，f (x )＝a·b ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间.[思路探究]解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [(1)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－si n π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－co s π12sin π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2.法二：(化余弦)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－co s π6cos π12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2kπ，π4＋2kπ，k ∈Z .[规律方法] 辅助角公式及其运用 1公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin α＋φ或a sin α＋b cos α＝a2＋b2cosα－φ将形如a sinα＋b cosαa ，b 不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.[当 堂 达 标·固 双 基]1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A．－32B．－12C．12D．32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°， ∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.]2．化简2cos x －6sin x 等于( ) A．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－xD．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋xD [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x－si n π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .]。
【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-2两角和与差的正弦余弦和正
【2019最新】高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式3-1-2两角和与差的正弦余弦和正切公式2课堂导学案 二倍角的正弦、余弦、正切公式（2）课堂导学三点剖析1.两角和与差的正切【例1】 已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+4π). 思路分析：想办法利用已知条件中的角α+β与α-β表示所求式中的角,不难看出2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),tan(2α+4π)用tan2α表示出来. 解：tan2α=tan ［(α+β)+(α-β)］ =.7435135)tan()tan(1)tan()tan(-=⨯-+=-+--++βαβαβαβα tan2β=tan ［(α+β)-(α-β)］ =.8135135)tan()tan(1)tan()tan(=⨯+-=-++--+βαβαβαβα tan(2α+4π)=1137417412tan 12tan 1=+-=-+αα. 2．两角和与差的正切公式的运用【例2】计算下列各式的值：（1）tan15°+tan75°; (2)︒+︒-15tan 115tan 1; (3)︒︒-︒+︒19tan 41tan 119tan 41tan ; (4))6tan()3tan(1)6tan()3tan(παπαπαπα++++-+; (5).12tan 3112tan 3ππ+- 解：（1）tan15°+tan75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)=︒-︒++︒+︒-30tan 130tan 130tan 130tan 1 =331331331331-+++-=13313113-+++- =2)13(2)13(22++- =2-3+2+3=4;(2)原式=︒︒+︒-︒15tan 45tan 115tan 45tan =tan(45°-15°) =tan30°=33; (3)原式=tan(41°+19°)=tan60°=3;(4)原式=tan ［(α+3π)-(α+6π)］ =tan 6π=33; (5)原式=12tan 3tan 112tan 3tan ππππ+-=tan(3π-12π) =tan 4π=1. 3.给值求角问题 【例3】 已知α,β,γ都是锐角，且tan α=21,tan β=51,tan γ=81,求α+β+γ的值. 错解:因为tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+ =.97512115121=⨯-+ tan(α+β+γ)=819718197tan )tan(1tan )tan(⨯-+=+-++γβαγβα=1.∵α、β、γ都是锐角，∴0＜α+β+γ＜π23, 故：α+β+γ=4π或45π. 正解:因为tan(α+β)=97. tan ［(α+β)+γ］=1.由已知γ＜β＜α.又因0＜21＜33, 所以0＜γ＜β＜α＜6π,得0＜α+β+γ＜2π. 故α+β+γ=4π. 各个击破题演练1 已知tanx=41,tany=-3,求tan(x+y)的值. 解：tan(x+y)=.711)3(411341tan tan 1tan tan -=-⨯--=-+y x y x 变式提升1已知tan α=71,tan β=31,求tan(α+2β). 解：tan(α+β)=21317113171tan tan 1tan tan =∙-+=∙-+βαβα, tan(α+2β)=tan ［(α+β)+β］ =312113121tan )tan(1tan )tan(∙-+=∙+-++ββαββα=1. 类题演练2利用和(差)角公式化简: (1)θθθθtan 2tan 1tan 2tan +-； (2)θθtan 1tan 1+-. 解：(1)原式=tan(2θ-θ)=tan θ.(2)原式=θπθπtan 4tan1tan 4tan+-=tan(4π-θ). 变式提升2 (1)求tan50°-tan20°-33tan50·tan20°的值. 解∵tan50°-tan20°=tan30°(1+tan50°·tan20°),∴tan50°-tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°(1+tan50°tan20°)-33tan50°·tan20° =tan30°+tan30°·tan50°tan20°-33tan50°·tan20° =tan30°=33. (2)化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+3［tan(18°-x)+tan(12°+x)］解：tan30°=tan［(18°-x)+(12°+x)］ =33)12tan()18tan(1)12tan()18tan(=+︒-︒-+︒+-︒x x x x . ∴tan(18°-x)+tan(12°+x) =33［1-tan(18°-x)tan(12°+x)］. ∴原式=1.温馨提示tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tan α+tan β或tan α-tan β,一般用正切公式的变形，整体代入都能凑效. 类题演练3已知α、β都是锐角,且tan α=21,tan β=31,求α+β. 解：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=.1312113121=∙-+ ∵α、β均为锐角，∴0°＜α+β＜180°∴α+β=45°.变式提升3已知tan α=3(1+m),3(tan α·tan β+m)+tan β=0,且α、β都是锐角，求α+β. 解：由已知可得tan α=3+3m,①tan β=-3tan αtan β-3m.②由①+②可得tan α+tan β=3(1-tan αtan β), ∴βαβαtan tan 1tan tan -+=tan(α+β)=3. 又∵0＜α＜2π,0＜β＜2π, ∴0＜α+β＜π, ∴α+β=3π.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切(第2
要点 1 和角正切公式 tan(α＋β)＝1t－anαtan＋α ttaannββ ． 要点 2 差角正切公式 tan(α－β)＝1t＋anαtan－α ttaannββ ．
要点 3 公式的变形 tanα ＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanα tanβ )； tanα －tanβ ＝tan(α－β)(1＋tanα tanβ )． 要点 4 公式 T(α±β)中的符号(±)规律可简记为“分子同，分母 反”
这两项．
解析 由题意，得
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝13，① cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝15，② ①＋②，得 2cosαcosβ＝185，∴cosαcosβ＝145. ①－②，得 2sinαsinβ＝－125，∴sinαsinβ＝－115. ∴tanαtanβ＝csoinsααscionsββ＝－4115＝－14.
＝tan 3 [1－tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)]＋ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)
π
π
π
π
＝ 3－ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)＋ 3tan( 6 －θ)tan( 6 ＋θ)＝ 3.
②原式＝ 33(tan20°＋tan40°)＋tan40°·tan20°
＝ 33tan60°(1－tan20°tan40°)＋tan40°tan20°
1－ 3tan75° (5) 3＋tan75° .
【解析】 (1)原式＝tan(45°＋30°)＋tan(45°－30°)
＝11＋－ttaann3300°°＋11－＋ttaann3300°°
1＋ ＝
33＋1－
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦
3.1.2两角和与差的正弦公式(1)学习目标：能够推导两角和与差的正弦公式；掌握公式的结构特征；能应用公式进行化简、求值和恒等变形。
一、复习引入：请你默写出两角和与差的余弦公式：二、自主探究：1.利用两角和与差的余弦公式推导两角和的正弦公式sin(α+β)=2.推导两角差的正弦公式小结:公式sin(α+β)=________ _________________sin(α-β)=_________________________三、合作学习（典型例题）：例1.求sin150-sin750的值.变式1.化简求值:(1)cos440sin140-sin440cos140(2)sin(540-x)cos(360+x)+cos(540-x)sin(360+x)变式2.已知1352cos ,31)cos(-=-=+αβα,βα,均为钝角,求)sin(βα-的值.变式3.在ΔABC 中,已知32cos ,54)sin(-==+B B A 求sinA.例2.已知1413)cos(,71cos =-=βαα,且20παβ<<<,求β的值.四、思维拓展:1.已知sin α+sin β=53 , cos α+cos β=54 , 求 cos(α-β)的值.2.sin(α+β)=32,sin(α-β)=52,求βαtan tan 的值.3.1.2两角和与差的正弦公式作业(1)1.当43πα=时, )sin()cos()sin(βαβαβα-++++ )cos(βα-+等于 ( )A. 1B. 22-C. 0D. 22 2. 000048cos 72cos 42cos 18cos -等于( ) A. 21 B. 21- C. 23- D. 23 3. ΔABC 中,若1sin )cos(cos )sin(≥-+-B B A B B A 则ΔABC 是 ( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形 4. 6sin 12cos 6cos 125cos ππππ+等于 ( ) A.0 B. 21 C. 22 D. 23 5.若33sin sin =+βα,362cos cos =-αβ, 且)2,0(πα∈,)2,0(πβ∈,则βα+等于 ( )A. 32π-B. 3π-C. 3πD. 32π 6.若322sin ,24=<<βπβπ,则)3sin(πβ+=_____ 7.sin(x+600)+2sin(x-600)-3cos(1200-x)=______8.在△ABC 中，已知cosA =31,cosB=54, 则cosC 的值为9. 已知ββππαα,135cos ),,2(,54sin -=∈=是第三象限角,则)sin(βα+的值为__________ 10.已知βα,均为锐角,且1010cos ,55sin ==βα,求βα-的值11.已知,1312)cos(,434=-<<<βαπαβπ 53)sin(-=+βα,求α2sin 的值.12.已知4π＜α＜43π，0＜β＜α，cos(4π+α)=-53, sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值.13.已知sin(α-β)=31,sin(α+β)=21, 求tan α:tan β的值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和
正切公式3-1-2两角和与差的正弦余弦正切公式同步优化训
练新人教A 版必修4
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.化简sincos-cossin 的值是( )1225π611π1211π6
5π A. B. C.-sin D.sin 22-2212π12
π 解析：原式=-sincos+cossin=sin(-)=sin=.
12π65π12π65π65π12π43π2
2 答案：B 2.（高考北京卷，理5）对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确
的是( )
A.sin(α+β)＞sin α+sin β
B.sin(α+β)＞cos α+cos β
C.cos(α+β)＜sin α+sin β
D.cos(α+β)＜cos α+cos β
解析：当α=β=30°时,可排除A 、B 选项,当α=β=15°时,代入C
选项中,即0＜cos30°＜2sin15°,
两边平方得＜4sin215°=4×≈0.268,矛盾.故选D.43322
30cos 1-=︒- 答案：D
3.(高考陕西卷，理13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
_________________.
解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°
=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=.2
1- 答案：21- 4.计算tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_________________.3 解析：∵tan60°=tan(20°+40°)=，
340tan 20tan 140tan 20tan =︒︒-︒+︒ 则
tan20°+tan40°=(1-tan20°tan40°)=-tan20°tan40°，333 因此tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.33 答案：3
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.要使得sin α-cos α=有意义，则m 的取值范围是( )3
m m --464 A.(-∞，］B.［1，+∞)3
7 C.［-1，］D.(-∞，-1］∪［，+∞)
3737 解析：由已知化简，得sin α-cos α=2(sin αcos α)=2sin(α-)，32123-3π ∴2sin(α-)=，即sin(α-)=.
3πm m --4643πm
m --432 ∵-1≤sin(α-)≤1，∴-1≤≤1.3πm
m --432 解不等式，可得到-1≤m≤.37 答案：C
2.若在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形。