2020年黑龙江省哈尔滨三中高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知向量，则=（）

A. 1

B.

C.

D. 2

2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A=（）

A. B. C. D.

3.在等差数列{a n}中，若a3+a7=12，则a5=（）

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

4.已知是单位向量，若，则与的夹角为（）

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a cos A-b cos B=0，则△ABC

的形状是（）

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等腰三角形或直角三角形

D. 等腰直角三角形

6.已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（）

A. B. C. D.

7.在等比数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，S2=3，S4=9，则S6=（）

A. 12

B. 18

C. 21

D. 27

8.在数列{a n}中，已知a1=4，a2=5，且满足a n-2a n=a n-1（n≥3），则a2019=（）

A. B. C. D.

9.我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明

是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小

正方形组成的，若，E为BF的中点，则=（）

A. B. C. D.

10.在等差数列{a n}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为．有下列命题：

①若S3=S15，则S18=0；②若S3=S15，则S9是S n中的最大项；③若S3=S15，则a9+a10=0；

④若S9＞S10，则S10＞S11．其中正确命题的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

11.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝a（a+b），则

的取值范围是（）

A. B. C. D.

12.已知数列{a n}与{b n}前n项和分别为S n，T n，且，

，对任意的n∈N*，k＞T n恒成立，则k的最小值是（）

A. 1

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量=（-2，1），=（1，3），=（3，2），若，则λ=______．

14.已知等比数列{a n}满足a1=2，a4a6=2a5-1，则a9=______．

15.已知数列{a n}中，a1=1，a n＞0，前n项和为S n．若，n≥2），

则数列的前15项和为______．

16.已知A，B是单位圆O上的两点，∠AOB=120°，点C是平面内异于A，B的动点，

MN是⊙O的直径．若，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.在等差数列{a n}中，已知a5=7，S6=24．

（1）求a n；

（2）若，求数列{b n}的前10项和T10．

18.已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量，

，且．

（1）求A；

（2）若，求AB+AC的取值范围．

19.已知在△ABC中，

（1）求边BC的长；

（2）记边AB的中点为D，求中线CD的长．

20.已知数列{a n}满足na n+1=2a n（n+1），a1=2，设．

（1）证明数列{b n}为等比数列；

（2）求数列{a n}的前n项和S n．

21.数列{a n}前n项和为S n，已知．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）证明．

22.设数列{a n}的前n项和为S n，且．

（1）若p=0，求a2，a3，a4；

（2）若数列{a n}为递增数列，求实数p的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：∵，

∴．

故选：D．

根据向量的坐标即可求出的值．

考查根据向量的坐标求向量长度的方法．

2.【答案】A

【解析】解：由余弦定理可得cos A===，

∵0＜A＜π，

∴A=．

故选：A．

直接根据余弦定理即可求出．

本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．

3.【答案】B

【解析】解：由等差数列{a n}的性质可得：2a5=a3+a7=12，

则a5=6．

故选：B．

由等差数列{a n}的性质可得：2a5=a3+a7．

本题考查了等差数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B

【解析】解：∵，，

∴

，

∴，

∴，

又，

∴．

根据是单位向量，对两边平方即可得出，从而可以求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．

本题考查单位向量的定义，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．

5.【答案】C

【解析】【解答】

解：在△ABC中，∵a•cos A=b•cos B，

∴由正弦定理得：sin A cosA=sin B cosB，

即sin2A=sin2B，

∴2A=2B或2A=π-2B，

∴A=B或A+B=，

∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．

故选：C．

【分析】利用正弦定理由a•cos A=b cos B可得sin A cosA=sin B cosB，再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状．

本题考查三角形的形状判断，考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．6.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属于基础题．设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．

【解答】

解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），

由题意可得2×=+a2，即q2-2q-3=0，

解得q=-1（舍去），或q=3，

∴==q2=9．

故选：A．

7.【答案】C

【解析】解：设数列{a n}的公比为q，

因为S2=3，S4=9，

所以S4-S2=6，

所以q≠-1，

所以S2，S4-S2，S6-S4成以S2为首项，2为公比的等比数列，

所以S6==12，

所以S6=S2+（S4-S2）+（S6-S4）=3+6+12=21，

故选：C．

根据等比数列的性质，连续k项之和仍为等比数列，可以求出结论．