1-3古典概型与几何概型

( N − 1)n (3) P(C) = Nn Nn − ( N − 1)n P(C) = 1 − P(C) = Nn
k Cn ( N − 1)n−k (4)P(D) = Nn
课堂练习 1o 分房问题 将张三、李四、王五 人等可能地 将张三、李四、王五3人等可能地 分配到3 间房中去,试求每个房间恰有 人的概率. 试求每个房间恰有1人的概率 分配到 间房中去 试求每个房间恰有 人的概率 2o 生日问题
2 2
20
o 20
60
x
S( A) 60 − 40 5 P( A) = = = 2 S(Ω) 60 9
例如 抛掷一枚质地均匀的硬币两次.
( ( ,(反 Ω = {(正，正）, 正，反）, 反，正）,(反，反)}
试 求 下列 事 件 的概 率 (1)出现两次正面 (2)恰好出现一次正面 (3)至 (3)至少出现一次正面
1 4
1 2 3 4
2. 古典概率计算举例
排列知识） （1）排序问题（排列知识） ） 个球随意地排成一行， 例：将标号为1，2，3，…n 的n个球随意地排成一行， 将标号为 ， ， ， 个球随意地排成一行 求下列各事件的概率： 求下列各事件的概率：
在面积为S(Ω) (S(Ω) < +∞)
Ω
A
区域Ω中等可能地随机投点
点落入Ω中任意区域A 可能性大小与 的 A 面积S( A)成正比，而与其位置或 的 形状无关。
S( A) P( A) = − − − 平面区域Ω上A的几何概率 S(Ω)
三、几何概率
定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域 并 当随机试验的样本空间是某个区域,并 定义 长度, 且任意一点落在度量 (长度 面积 体积 相同的子 长度 面积, 体积) 区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为 区域是等可能的 则事件
的样本空间由n 个样本点构成, 设试验 E 的样本空间由 个样本点构成 A 的任意一个事件,且包含 个样本点, 为 E 的任意一个事件 且包含 m 个样本点 则事 出现的概率记为: 件 A 出现的概率记为
m A 样本点的个数 中 P(A)= = . n 中样本点总数
称此为概率的古典定义 称此为概率的古典定义. 概率的古典定义
分房问题，生日问题） （3）分球入箱问题（分房问题，生日问题） ）
…
1 2 3
…
N
例：将n个球(可辨认)随意地 个球(可辨认) 放入N个箱子中(N≥n), (N≥n),其中每 放入N个箱子中(N≥n),其中每 个球都等可能地放入任意一个 箱子，求下列各事件的概率： 箱子，求下列各事件的概率：
（1）指定的 个箱子各放一球； 个箱子各放一球； ）指定的n个箱子各放一球 （2）每个箱子最多放入一球； ）每个箱子最多放入一球； （3）某指定的箱子不空； ）某指定的箱子不空； （4）某指定的箱子恰好放入 （k≤n）个球。 ）某指定的箱子恰好放入k（ ）个球。
k i k i −k a b i a+b
CC = i Ca+b
i a
i −k b
-----超几何分布 超几何分布
把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们 把有限个样本点推广到无限个样本点的场合 人们 引入了几何概型 等可能随机试验模型 引入了几何概型----等可能随机试验模型 几何概型 等可能随机试验模型.
因为所考虑的事件涉及取球的次序， 解： 因为所考虑的事件涉及取球的次序，所 以基本事件也应考虑顺序，（ 以基本事件也应考虑顺序，（a+b）次 ，（ ） 取球的总取法为（ 取球的总取法为（a+b）!,记上述四个 ） 记上述四个 事件分别为A,B,C,D. 事件分别为A,B,C,D.
次取到的是黑球； （1）第i次取到的是黑球； ） 次取到的是黑球
练习： 练习： 1、某机构发售了编号为0000 ～ 9999的福利彩票共 某机构发售了编号为0000 9999的福利彩票共 一万张，其中有五张头奖，假如你买了十张， 一万张，其中有五张头奖，假如你买了十张，问你 能中头奖（即至少有一个头奖）的概率多大？ 能中头奖（即至少有一个头奖）的概率多大？ 10 C9995 P( A) = 1− P( A) = 1− 10 ≈ 0.00499 C10000 2.《学习指导与习题解析》：P21:6, P23:9 《学习指导与习题解析》
(答案 : 3! 3 )
3
( P :13) 30
求n个人中至少有两个人生日相同的概率(n ≤ 365).
(365 解:他们的生日各不相同的概率为365× 364×L×n − n + 1) 365
365× 364×L× (365 − n + 1) p = 1− 365n
我们利用软件包进行数值计算. 我们利用软件包进行数值计算
…
1 2 i
…
a+b
a ⋅ [(a + b − 1)!] a P( A) = = (a + b)! a+b
----------抽签的公平性 抽签的公平性
(2)第i次才取到黑球； 第 次才取到黑球 次才取到黑球；
…
1 2 3 i-1 i
…
a+b
a ⋅ Pi−1 ⋅[(a + b − i)!] a ⋅ Pi −1 b P(B) = = ib (a + b)! P +b a
分别求下列事件的概率： 分别求下列事件的概率：
(1)取到的两球刚好一个白球一个黑球 (1)取到的两球刚好一个白球一个黑球 A (2)两个球全是黑球 (2)两个球全是黑球 B (3)两个球中至少有一个黑球 (3)两个球中至少有一个黑球 C
:(1)无 回 放 解 :(1)无 (2)有 放 (2)有 回
(4)第1号排在第 号球的右边（不一定相邻）; 第 号排在第 号球的右边（不一定相邻） 号排在第2号球的右边 (5)第1号球与第2号球之间恰有r个球(r<n)。 第 号球与第2号球之间恰有r个球(r<n)。 (r<n)
1 2
2Pr−2 (n − r − 2 + 1)! 2(n − r −1) (5) n = n! n(n −1)
总结： 总结：
设有N 件产品，其中D件次品，今采取不放回 与有放回两种抽样方式从中任取n件产品， 问 其 中 恰 有 k 件 （ k ≤ D) 次 品 的 概 率 是 多 少 ？
(1)不放回
(2)有放回
k n CDCN−k −D p= n CN
-------超几何分布 超几何分布
k Cn Dk ( N − D)n−k p= Nn D n−k k D k = Cn ( ) (1− ) -------二项分布 二项分布 N N
个球， 个黑球， 个白球 个白球， 例15、一个袋子中装有 、一个袋子中装有a+b个球，其中 个黑球，b个白球， 个球 其中a个黑球 随意地每次从中取出一球（不放回）， 随意地每次从中取出一球（不放回）， 求下列各事件的概率: 求下列各事件的概率 (1)第i次取到的是黑球；(2)第i次才取到黑球； 第 次取到的是黑球 次取到的是黑球； 第 次才取到黑球 次才取到黑球； (3)前i次中能取到黑球；(4)前i次中恰好取到k个黑球 前 次中能取到黑球 (4)前 次中恰好取到k 次中能取到黑球；
4、组合 、
Pnm n! m Cn = = m ! m !( n − m )!
5、抽样与排列组合 、
工具 顺序 抽样
无放回抽样
（元素不重复） 元素不重复）
有放回抽样（元素可重复） 元素可重Fra bibliotek）考虑
P
C
m n
n
m
不考虑
m n
二、古典概率
1.古典概型（最早、最简单的概率模型） 古典概型（最早、最简单的概率模型） 古典概型
m( A) P( A) = m(Ω)
(其中 ( Ω) 是样本空间的度量m( A) 是构成事件A m , ) 的子区域的度量 这样借助于几何上的度 量来合理 几何概率 . 规定的概率称为
会面问题） 乙两人相约8点到 点到9点在某 例（会面问题）甲、乙两人相约 点到 点在某 地会面，先到者等候另一人20分钟 分钟， 地会面，先到者等候另一人 分钟，过时就可 离去，试求这两人能会面的概率． 离去，试求这两人能会面的概率．
如果一个随机试验E具有以下特征 定 义：如果一个随机试验 具有以下特征 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点； 、试验的样本空间中仅含有有限个样本点； 2、每个样本点出现的可能性相同。 、每个样本点出现的可能性相同。 则称该随机试验为古典概型 古典概型。 则称该随机试验为古典概型。
2. 古典概率定义
i Pi ⋅[(a + b − i)!] Pi Cb P(C) = b = ib = i ， (a + b)! P +b Ca+b a
i Cb 故P(C) =1− P(C) =1− i Ca+b
d) 前i次恰好取到 个黑球。 次恰好取到k个黑球 次恰好取到 个黑球。
Cik Pk Pi −k ⋅[(a + b − i)!] a b P(D) = (a + b)! C P P = P
练习： 练习：
P :12 30
有无放回取球，取球是否考虑顺序） （2）袋中取球问题（有无放回取球，取球是否考虑顺序） ）
例：一个袋子中装有 个大小相同的球，其中 一个袋子中装有10个大小相同的球 个大小相同的球， 3个黑球，7个白球。每次随机地从袋中取一 个黑球， 个白球 个白球。 个黑球 连续取两次。 球，连续取两次。 取球方式 (1)无放回 无放回 (2)有放回 有放回
解： 将n个球随意地放入 个箱子，共有 N n 种放法， 个球随意地放入N个箱子 种放法， 个球随意地放入 个箱子，
分别记上述四事件为A,B,C,D。 。 分别记上述四事件为