1.2 一元二次方程的解法(6)
1.2《一元二次方程的解法—直接开方法》教案
§1.2一元二次方程的解法⑴——直接开方法班级________姓名____________一.学习目标：1．由平方根的定义探寻直接开方法；2．掌握形如：ax2＝b；a(x－m)2＝b；a(x－m)2＝b(x－n)2的解题方法．二．学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程．学习难点：体会整体思想在解题中的作用．三．教学过程Ⅰ．知识准备①4的平方根是；81的平方根是；100的算术平方根是．②若x2＝a，则叫的平方根；记作x＝．③x2＝14，则x＝．若分式x2－92x－6的值为零，则x的值为．Ⅱ．活动探究【复习】回忆数的开方一章中的知识，请大家生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2＝225；2．x2－169＝0；3．36x2＝49；4．4x2－25＝0．【新知探究】我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？阅读：解方程x2－4＝0．解：移项，得x2＝4．∴x＝±4＝±2即x1＝2，x2＝−2．我们把这种解一元二次方程的方法叫做“直接开平方法”．思考：比较用直接开平方法解方程和求一个非负数的平方根的差异。
例1：解下列一元二次方程．⑴x2＝196；⑵9x2＝16；⑶4x2－3＝0．例2：解下列一元二次方程．⑴(x− 2)2＝5；⑵(x－1)2－18＝0；⑶3(x＋2)2＝27；⑷12(2－x)2－9＝0．【题后反思】你能否总结一下，能使用直接开平方法的一元二次方程的形式是怎样的？一般解题步骤又是怎样的？例3：用“直接开方法”解下列方程：⑴(3x－2)2＝(x＋1)2；⑵(x＋2)2－(2x＋3)2＝0．【思考】若将⑵中的两项加上系数又如何解呢？4(x＋2)2－9(2x + 3)2＝0【课内反馈】1．①方程x2＝9的根为；②方程4x2＝100的解为．2．①方程6x2－1＝23的解为；②方程(x＋1)2＝16的解为．3．关于x的方程x2＋k＝0有实数根的条件是（）A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤04．解下列方程⑴2x2＝50；⑵12y2＝16；⑶(x－2)2＝6；⑷(2m－4)2－18＝0．。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程的解法课后练习和答案
1.2一元二次方程的解法（1）【课后练习】1.（1）9的平方根是____________，方程29x =的解是 ； （2）方程()210x +=的根是 ，方程()2411x +=的根是 ；（3）若2810x -=，则x ＝ .2.（1）若关于x 的方程23+5x a =有解，则a 的取值范围是 ；（2）若关于x 的方程()233x c +=-有实数根，则c 的取值范围是 ；（3）若关于x 的方程0132=+-k x 能用直接开平方法解，则k 的取值范围是 .（4）若关于x 的方程()200ax c a +=≠有实数根，则a 与c 的关系是 . 3.如图是一个简单的数值运算程序.在这个程序中，输入的x 为 .4.一元二次方程()263x +=可转化成两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 63x +=，则另一个一元一次方程是 .5.（1）若()222+b 18a -=，则22a b +的值是 ；（2）若y x >且2228x y xy +-=，求x y -的值是 ；（3）若0x y >>且28x y xy +-=，求x y -的值是 .★6.已知关于x 的方程()()200a x m b a b m a ++=≠、、为常数，有解是12x =，21x =-，那么方程()220a x m b +++=的解为 .7.用直接开平方法解下列方程：（1）230m =； （2）()235160x --=； （3）22(5)+160x -=；（4）()()222+13x x =-；（5）()()+4490y y --=； （6）()22211+3x x x -+=8.已知()()21221263a b a b ++-+=，求a b +的值.9.如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程x 2+4x+4=9的一个根，求平行四边形ABCD 的周长.★10.如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+，224x m =-，求b a的值.★11.形如()()20x p q q ±=≥的方程可以用直接开平方法求解，有些方程可以转化为这种形式来解.如：2230x x +-=可以写成22+1130x x +--=，()214x +=，再用直接开平方法求解，你能不能将下列方程先化为()()20x p q q ±=≥的形式，再求出未知数的值.（1）22+19x x +=； （2）2330x x +-=.A D CE B1.2一元二次方程的解法（1）参考答案1. （1）±3，±3；（2）1x =2x =-1，1x =-212x =-23；（3）±3 ； 2. （1）a ≥-5；(2)c ≥3；(3)k ≥1；(4)ac ≤0；3. 4或-2；4. x+6=-3；5. (1)1+22；(2)-22；(3)22；6. 0，-3；7. (1)1m =2m =0；(2)1x =3，2x =31；(3)无解；（4）1x =32，2x =-4；（5）1y =5，2y =-5； （6）1x =0，2x =-1；8. ±4；9. 4+22；10. 4；11. （1）1x =2，2x =-4；（2）1x =2213- ，2x =221-3-.。
九年级数学苏科版上册课时练第1单元《1.2一元二次方程的解法》 练习试题试卷 含答案
课时练1.2一元二次方程的解法一、填空题1．对于具有ax2＝b形式的一元二次方程，可以用法求解．2．用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边化为一个式，右边化为．3．若方程（x﹣2）2＝k﹣5可以直接用开平方法解，则k的取值范围是（）A．k＞0B．k≥0C．k≥5D．k＞54．方程（x﹣1）2＝2的根是（）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，5．若x2＝9，则x＝．6．一元二次方程（x+6）2＝10可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝，则另一个一元一次方程是．7．解方程：（x﹣2）2＝25．x1＝，x2＝．二、解答题8．解下列方程：（1）x2﹣1＝11；（2）16x2＝5；（3）0.2x2﹣＝0；（4）9﹣（x﹣1）2＝0．9．用直接开平方法解方程：（1）（﹣2）2＝6；（2）3（x﹣1）2﹣6＝0；（3）（x+3）（x﹣3）＝9；（4）（x+）2＝（1+）2．10．当x取何值时，代数式3x2﹣3的值和代数式2x2﹣1的值相等？11．已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≥0C．m≥1D．m≥212．一元二次方程（1﹣x）2＝2的解是（）A．x1＝3，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+D．x1＝1﹣，x2＝1+13．自由下落的物体的高度h（m）与下落时间t（s）的关系为h＝4.9t2．现有一铁球从离地面19.6m高的建筑物顶部做自由下落，到达地面需要的时间是s．14．用直接开方法解下列方程：（1）x2﹣27＝0；（2）（x﹣2）2＝6；（3）3（x﹣3）2＝75；（4）（y+4）（y﹣4）﹣9＝0．15．用直接开方法解下列方程：（1）（x+）（x﹣）＝8；（2）4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2．16．去年年底学校图书馆库存有图书7.5万册，预计到明年年底学校库存图书增加到10.8万册，求这两年的年平均增长率．参考答案一、填空题1．直接开平方．2．完全平方，常数．3．C．4．C．5．±3．6．x+6＝﹣．7．7，﹣3．二、解答题8．解：（1）∵x2﹣1＝11，∴x2＝12，则x1＝2，x2＝﹣2；（2）∵16x2＝5，∴x2＝，则x1＝，x2＝﹣；（3）∵0.2x2﹣＝0，∴0.2x2＝，则x2＝3，∴x1＝，x2＝﹣；（4）∵9﹣（x﹣1）2＝0，∴（x﹣1）2＝9，则x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，∴x1＝4，x2＝﹣2．9．解：（1）∵（﹣2）2＝6，∴﹣2＝±，解得，；（2）∵3（x﹣1）2﹣6＝0，∴3（x﹣1）2＝6，则（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴，；（3）∵（x+3）（x﹣3）＝9，∴x2﹣9＝9，则x2＝18，∴，即x1＝3，x2＝﹣3；（4）∵（x+）2＝（1+）2．∴x+＝1+或x+＝﹣1﹣，解得x 1＝1，．10．解：由题意，得3x2﹣3＝2x2﹣1，整理得x2＝2．∴x＝．∴当x取时代数式3x2﹣3和代数式2x2﹣1的值相等．11．B．12．D．13．2．14．解：（1）∵x2＝27，∴x2＝81，则x＝±9，即x1＝9，x2＝﹣9；（2）∵（x﹣2）2＝6，∴x﹣2＝±，则x1＝，x2＝；（3）∵3（x﹣3）2＝75，∴（x﹣3）2＝25，则x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，解得x1＝8，x2＝﹣2；（4）∵（y+4）（y﹣4）﹣9＝0，∴y2﹣16﹣9＝0，∴y2＝25，∴y1＝5，y2＝﹣5．15．解：（1）∵（x+）（x﹣）＝8，∴x2﹣5＝8，则x2＝13，∴x＝±，即x1＝，x2＝﹣；（2）∵4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2，∴2（2y﹣3）＝3（y﹣1）或2（2y﹣3）＝﹣3（y﹣1），解得：y1＝3，．16．解：设这两年的平均增长率为x，依题意，得：7.5（1+x）2＝10.8，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：这两年的年平均增长率为20%．。
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
1.2一元二次方程的解法(6)因式分解法
课题：1.2一元二次方程的解法（6）班级 姓名： 课型：新授课 主备： 审核： 备课时间： 上课时间： 学习目标：1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法；2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的方法求解，体会解决问题的灵活性和多样性。
学习重点：会用因式分解法解一元二次方程学习难点：选择适当的方法解一元二次方程自学探究问题：1、你能用哪些方法解方程042=-x ？2、小明同学利用以下方法：小明发现，一元二次方程042=-x 的左边可以用平方差公式，因式分解为0)2)(2(=+-x x ，根据两数乘为0的情况可得02=+x 或02=-x ，也能得到2±=x ； 你觉得这种方法对吗？分析一下这种解法的过程及特点；探究：什么样的方程可以用因式分解法呢？归纳：如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。
知识点：用因式分解法解一元二次方程自学课本第17-18页内容，讨论回答：1、利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？2、因式分解的目的是什么呢？是不是所有一元二次方程都可以利用因式分解法？3、你觉得可以利用因式分解法解的一元二次方程有哪些类型？〖基本题型一〗用因式分解法解一元二次方程例1、解下列方程（1）x x 42-= （2）0)3(3=+-+x x x分析一下：这二题是用了什么方法？ 变式练习：用因式分解法解下列方程：()0312=-x x ()y y =232())12(3)1(23-=-x x ())12(3)12(44-=-x x x例2 解方程0)12(22=--x x变式练习：用因式分解法解下列方程：（1）09)1(2=-+x （2）0)1(9)2(22=+--x x（3）01)1(2)1(2=+---x x反馈练习 用因式分解法解下列方程：1、062=+x x2、2)2(3-=-x x x3、0)1(922=--t t4、0415252=+-x x5、016)1(8)1(2=++++x x6、6)2)(3(=+-y y7、3)25(2=-x课后作业 补充习题课后反思。
1.2一元一次方程的解法(6)---因式分解法
2 ,x2=-4 5
用你喜欢的方法解下列方程： （1） x2-4＝0
（2）(x+1)2-9＝0 （3）4x2-(x+1)2= 0
（4）(x-2)2-9(x+1)2=0
（5）(x-1)2-2(x-1)+1=0
观察与思考：解方程 (x＋2) 2＝4（x＋2）． 小丽和小明的解法如下：
小丽：原方程可变形为 （x＋2）2－4(x＋2) ＝0， (x＋2)(x－2)＝0． x＋ 2＝ 0或 x－ 2 ＝ 0． 所以 x1＝－2, x2＝2． 小明：原方程两边都
的形式叫做多项式的因式分解.
3.因式分解的方法：
（1）提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
（2）公式法： a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
4.因式分解.
（1）x2-2x= x(x-2) ;
（2）x2+4x= x(x+4) ;
1 3
∴ x1=
，x2=1
解下列一元二次方程 （1）(2x－1)2－9x2＝0
方法：(2x-1+3x)(2x-1-3x)=0 1 x1= 5 ,x2=-1 x1=0 ，x2=2
（2）(2x－1)2－(x+1)2＝0 方法： [(2x-1)+(x+1)][(2x-1)-(x+1)]=0
（3）(2x－1)2－9(x+1)2＝0 方法： [(2x-1)+3(x+1)][(2x-1)-3(x+1)]=0
4.如果a(a-3)=0,那a1= 0 ,a2= 3 ;
一元二次方程的解法详细解析
一元二次方程的解法详细解析只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)一元二次方程有4种解法，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
下面小编和你具体讲解一元二次方程的四种解法例析。
一元二次方程的解法例析【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。
在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。
根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
下面再讲一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。
配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。
公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。
先化为一般形式再用公式。
因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。
【举例解析】例1：已知，解关于的方程。
分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。
解：由得：或，当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即，解得，. 说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。
通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。
课后作业.2 一元二次方程的解法练习》(配方法)(含答案)
1.2 一元二次方程的解法练习一、选择题1．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根2．下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=03．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．4．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n 的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或105．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C． D．6．已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0 D．k＞且k≠07．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥18．（2015•荆门）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜19．（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠210．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠011．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（）A．12 B．16 C．20 D．2412．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=013．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．214．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x215．若a满足不等式组，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．以上三种情况都有可能16．下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2﹣2x+1=0 B．2x2﹣x+1=0 C．4x2﹣2x﹣3=0 D．x2﹣6x=017．（2015•湘西州）下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=018．一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填空题19．已知k＞0，且关于x的方程3kx2+12x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k的值等于______．20．一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c=______．（只需填一个）．21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．22．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______．23．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．24．关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是______．25．已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是______．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为______．1.2 一元二次方程的解法答案一、选择题1．D；2．C；3．B；4．B；5．B；6．A；7．B；8．A；9．D；10．D；11．C；12．A；13．B；14．C；15．C；16．A；17．B；18．A；二、填空题19．3；20．4；21．m≤1；22．m＜；23．4；2；24．a＞0；25．a≤1；26．-3；。
一元二次方程的解法十字相乘法
对于多项式 x2 +(a+b)x+ab
x
a
步骤：
1.竖分二次项与常数项；
x
b
2.交叉相乘，积相加；
3.检验确定，横写因式。
x2 ax＋bx=(a+b)x ab
即：x 2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b)
十字相乘法： 借助十字交叉线分解因式的方法
对于二次三项式的分解因式， 借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
=(x-2)(x+5)
当常数项是负数 时，分解的两个 数异号，其中绝 对值较大数符号 与一次项系数符 号相一致。
因式分解时，不但要 注意首尾分解，而且 需十分注意一次项系 数，才能保证因式分 解的正确性。
练习 因式分解：
(1) x2 + 5x+ 6
(2)
课后练习：分解因式 (x-y)2+(x-y)-6
总结：
二次多项式x2+px+q在分解因式时： 如果常数项q是正数，那么把它分解成两个 同号因数，它们的符号与一次项系数p的符 号相同；
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个 异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数p的符号相同； 对于分解的两个因数，还要看它们的和是 不是等于一次项系数。
总结：
2.
3.
4.
1.2 一元二次方程的解法
——十字相乘法
复习回顾
一、计算：
(1) (x+1)(x+ 2)
(2)
(3)
(4) 总结：
复习回顾
反过来： (1)
(2)
(3)
(4) 所以：
= (x+1)(x+2)
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法如下：
1、因式分解法：将一元二次方程化成 ax^2+bx+c=0 的形式，先将两边同乘以a后，即a(x^2+ b/ax + c/a)，然后将此形式拆解为（x+()）(x+(/))的形式，得到两个一元一次方程，求出x的值，即可求出原方程的解。
2、公式法：用公式法求解一元二次方程，即通过求解公式：x=(-
b±√(b^2-4ac))/2a来求解，此公式中，b和c为方程的系数，a为系数前的系数。
3、图像法：使用图像法求解一元二次方程，即作出ax^2+bx+c=0方程图象，然后根据图象上的交点判断出方程的解。
4、判别式法：此法根据一元二次方程的判别式来求解，即当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不等实根；当判别式b^2-4ac=0时，方程有一个实根；当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实根。
5、求根公式法：此法可以用来求解一元二次方程的实根，即用求根公式x1=(-b+ √(b2- 4ac))÷2a和x2=(-b-√(b2- 4ac))÷2a，其中，b 为系数前的系数，a和c分别为方程的系数。
6、特殊值法：此法适用于一元二次方程中特殊的系数或解。
如当
a=0，系数b和c任意时，可将该方程化为一元一次方程，求解即可；当a=b=0时，可直接算出方程的解。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一、定义及一般形式1.1 一元二次方程：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的方程。
1.2 一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，且a≠0）二、解一元二次方程的常用方法2.1 因式分解法2.1.1 提取公因式法2.1.2 十字相乘法2.1.3 公式法（完全平方公式、平方差公式）2.2 公式法2.2.1 求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2.2.2 判别式：Δ = b^2 - 4ac2.2.3 根与系数的关系：•两根之和：x1 + x2 = -b/a•两根之积：x1 * x2 = c/a2.3 图像法2.3.1 抛物线的开口方向与a的符号有关：a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。
2.3.2 抛物线与x轴的交点即为方程的解。
三、特殊类型的一元二次方程3.1 含绝对值的一元二次方程3.2 含平方根的一元二次方程3.3 含分式的一元二次方程四、一元二次方程的应用4.1 实际问题与一元二次方程4.2 几何问题与一元二次方程4.3 函数问题与一元二次方程五、练习与提高5.1 巩固题型：基本的一元二次方程求解。
5.2 提高题型：复杂的一元二次方程求解，如含绝对值、平方根、分式的方程。
5.3 综合题型：结合实际问题、几何问题、函数问题等，运用一元二次方程解决实际问题。
习题及方法：1.习题：解方程 x^2 - 5x + 6 = 0。
答案：x1 = 2，x2 = 3。
解题思路：利用因式分解法，将方程左边进行因式分解，得到 (x -2)(x - 3) = 0，从而得到两个一元一次方程 x - 2 = 0 和 x - 3 = 0，解得 x1 = 2，x2 = 3。
2.习题：解方程 2x^2 - 9x + 12 = 0。
答案：x1 = 2/3，x2 = 6。
解题思路：利用因式分解法，将方程左边进行因式分解，得到 (2x -3)(x - 4) = 0，从而得到两个一元一次方程 2x - 3 = 0 和 x - 4 = 0，解得 x1 = 2/3，x2 = 6。
苏1.2+一元二次方程的解法(6)+——因式分解法 课件 2024—2025学年苏科版数学九年级上册
完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2
“十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)
2、因式分解
(1)2x2-3x
(2)x2-4
=x(2x-3)
=(x-2)(x+2)
(3)x2-4x+4
=(x-2)2
(4)x2-6x+8
=(x-2)(x-4)
所以x1=x2=.
(4)x2-6x+8=0
过程展示：
解：(x-2)(x-4)=0
x-2=0或x-4=0
所以x1=2，x2=.
归纳总结：像这样把解一元二次方程转化为解两个一元二次方程，
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
归纳总结
因式分解法求解一元二次方程的步骤：
①移项，使等式右边为0;
②分解，把左边用因式分解法化为两个一次因式的积;
③转化，分别令每个因式等于0，得到两个一元一次方程;
④求解，分别解这两个一元一次方程。
例题讲解
例2：用因式分解法求解方程
(1)x+2-x(x+2)=0.
(2)(x-1)2-x2=0
(3)(x-3)2-6(x-3)+9=0
(4)(x+2)2-4(x-1)2=0
例题讲解
例3：用因式分解法求解方程
拓展延伸
-2x-8 = 0
（3）x2=3x+6
知识回顾
1、我们学过哪些方法求解一元二次方程？
直接开平方法、配方法，公式法
2、一元二次方程根的判别式是？
3、一元二次方程的求根公式是？
23.2.6_一元二次方程的解法(六)应用题2
23.2.6《一元二次方程的解法》学案(六)教学目标1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。
2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。
重点难点本节课的重点和难点都是列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。
研讨过程一、创设问题情境百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。
二、探索解决问题问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。
求每次降价的百分率。
（精确到0.1%）分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为x，若原价为a，则第一次降价后的零售价为，又以这个价格为基础，第二次降价后的零售价为。
解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得解这个方程，得x＝222由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝不符合题意，因此符合本题要求的x为222-≈29.3%.答：每次降价的百分率为29.3%.三、拓展引申某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）解，设原价为a元，每次升价的百分率为x，根据题意，得2(1) 1.2a x a+=解这个方程，得由于升价的百分率不可能是负数，所以3015x=--不符合题意，因此符合题意要求的x为3019.5%5x=-+≈答：每次升价的百分率为9.5%。
四、巩固与小结：练习1、2五、作业：课本第31页，第8，9题。
教学反思：。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
解一元二次方程因式分解法
宜兴市范道中学（九）年级（数学）导学稿课题：1.2一元二次方程的解法（6）——因式分解法主备： 莫媛媛 审核 ：朱亦珍 使用时间：班级： 姓名： 学号：一、学习目标1、了解因式分解的概念2、会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程二、自学自检（一）预习内容： 课本P17—19（二）知识回顾：因式分解：常见的因式分解的基本方法有（1）x x 422- = （2）9162-x =（3）442+-a a = (4) 232++a a =（三）尝试探索1．概念理解：（1）一元二次方程(x-2)(x-4)=0可化为两个一次方程为 和 ，方程的根是（2）能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件？①方程的一边 ②另一边能2.方程x(x －1)=0的两根为 032=+x x 的解是（四）你认为本节课研究了哪些问题？你已经掌握了哪些知识？你还有什么疑惑吗？三、互帮互学1、用因式分解法解下列方程（1）0)1)(2(=-+x x （2）x x 322- =0 （3）4162-x =0（4）122++a a = 0 (5) 652+-a a =0 (6) 652-+a a =02、用因式分解法解下列方程 (1)3x 2 = x （2）x ＋1－x （x+1）=0 （3）（2x －1）2 －4 x 2=03、用因式分解法解下列方程（1）（x －2）2－8（x －2）+16=0 （2） y （y －10）+25=0 (3) (x +1)(x-2)=44、已知三角形的两边长分别是3和4，第三边的数值是一元二次方程x 2－12x ＋35＝0 的根,求此三角形的周长。
5、已知)0(04522≠=++y y xy x ，求yx y x +-的值。
五、变式训练1．一元二次方程042=-x 的根为 （ ）A 、x = 2B 、x = －2C 、x 1 = 2 , x 2 = －2D 、x = 42. 方程 x (x －1)=0 的两根为 ( )A. x 1=0, x 2=1B. x 1=0, x 2=－1C. x 1=1,x 2=－2D. x 1=－1,x 2=2 3. 已知 a 2－5ab +6b 2=0，则ab b a += 4.若最简二次根式 x x 42- 与3x 38+ 是同类二次根式，则x 的值是5.用因式分解法解下列方程:（1）x 2 +16x=0 （2）(x －1)(x+6)=8（3）(x+2)2－4(x-6)2=0 （4）2（x －1）2＝x （x －1）（5）(x+2)2 = 2x+4 （6）（2x －3）2－2（2x －3）－3＝06.已知a 、b 、c 均为实数,且0)4(31222=+++++-c b a a ，求方程02=++c bx ax 的根；7. 已知)43()2(x y y y x x -=- 求 xyy x 22+ 的植.六、当堂检测（小练） 七、布置作业（大练）。
1.2 一元二次方程的解法(根的判别式专题1)
1.2 一元二次方程的解法
根的判别式专题（1）
1、已知关于x的一元二次方程 （m﹣1）x2﹣（2m+1）x+m=0，
当m取何值时： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根，并求出根； （3）方程没有实数根．
2、关于x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
3、已知关于x的一元二次方程 x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围； （2）若k为大于1的整数，求方程的根．
4、已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0． （1）若此方程的一个根为1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，
此方程都有两个不相等的实数根．
5、关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．
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的解．
1.2 一元二次方程的解法（6）
【课后作业】
课本习题1.2，P20第5题．
1.2 一元二次方程的解法（6）
二次方程就可用因式分解法
【例题精讲】
例8 解下列方程： （ 1 ） x 2＝ 4 x ；
（ 2） x ＋ 3－ x( x＋ 3) ＝ 0．
1.2 一元二次方程的解法（6）
【例题精讲】
例9
解方程
(2x－1)2－x2＝0.
1.2 一元二次方程的解法（6）
【 观察与思考】
1.2 一元二次方程的解法（6）
【练习】
课本练习P19练习1、2．
1.2 一元二次方程的解法（6）
【小结】
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把一元二次方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式的积； （3）每个因式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程
1.2 一元二次方程的解法（6）
【概念】
解法3： 将方程的左边分解因式，得 x(x － 1)＝0， 此时x和x － 1两个因式中必有一个为0，即 x＝ 0或 x － 1＝ 0， ∴ x1＝0，x2＝1．
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 如果一个一元二次方程的一边为0 ，另一边能 分解成两个一次因式的乘积 ，那么这样的一元
解方程 ( x＋ 2) 2 ＝ 4（ x＋ 2） . 解法1：原方程可变形为 解法2：原方程两边都 （x＋2）2－4(x＋2) ＝0， (x＋2)(x－2)＝0． x＋ 2＝ 0或 x－ 2 ＝ 0． 所以 x1＝－2, x2＝2． 思考：哪种解法正确？你是怎样思考的？
除以（x＋2），得
x＋ 2＝ 4． 所以 x＝2．
初中数学 九年级(上册)
1.2
一元二次方程的解法（6）
作 者：孔祥明（南京市高淳区第一中学）
1.2 一元二次方程的解法（6）
【问题情境】
如何解方程 x2－x＝0? 既可以用配方法解，也可以用公式法来解. 解法3： 将方程的左边分解因式，得 x(x － 1)＝0， 此时x和x － 1两个因式中必有一个为0，即 x＝ 0或 x － 1＝ 0， ∴ x1＝0，x2＝1．