一元二次方程解法练习题(四种方法)
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。
1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得 ，移项 ，得 ，配方, 得 ，方程左边写成平方式 ，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。
（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。
3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。
当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。
一元二次方程知识点总结&练习
一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75 (3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c 将二次项系数化为1：x 2+b a x=-ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
(完整版)解一元二次方程配方法练习题
- 1 -解一元二次方程练习题(配方法)步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空：①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2+ x+ =（x+ ）2；④ x 2－9x+ =（x － ）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b的形式为_______，•所以方程的根为_________． 5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=28．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2B ．-2C ．D ．9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2．（2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41x 2-x-4=0（5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=5211.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。
解一元二次方程练习题(配方法公式法)
解一元二次方程练习题(配方法)配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式1．用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x － ）22．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．4．将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____，•所以方程的根为_________．5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是7．把方程x 2+3=4x 配方，得8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为9．用配方法解下列方程：（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9（3）x 2+12x-15=0 （4）41 x 2-x-4=010.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
解一元二次方程练习题(公式法)公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c一、填空题1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），当b 2-4ac≥0时，它的根是__ ___ 当b-4ac<0时，方程___ ______．2．方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有____ ____ ，•若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．3．用公式法解方程x 2 = -8x-15，其中b 2-4ac= _______，x 1=_____，x 2=________．4．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．5．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到6．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 个 7．当x=_____ __时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 8．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________．二、利用公式法解下列方程（1）220x -+= （2） 012632=--x x （3）x=4x 2+2（4）－3x 2＋22x －24＝0 （5）2x （x －3）=x －3 （6） 3x 2+5(2x+1)=0（7）(x+1)(x+8)=-12 （8）2(x －3) 2＝x 2－9 （9）－3x 2＋22x －24＝0解一元二次方程练习题(因式分解法)因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程计算练习 (含答案)
一元二次方程计算练习1．解方程：（1）x2＝4x（因式分解法）；（2）2x2﹣4x﹣3＝0（公式法）．2．解下列方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）x2﹣3x﹣4＝0．3．解方程：①x2﹣8x+12＝0；②x2﹣2x﹣8＝0．4．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣10x+16＝0；（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．5．选用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣4x﹣3＝0（2）5x（x+1）＝2（x+1）6．解方程（1）（x+1）2﹣25＝0（2）x2﹣4x﹣2＝07．（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）（2）2x2﹣5x﹣2＝08．解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0（2）2（x+5）2＝x（x+5）9．解方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0（2）（x+2）（x+3）＝110．解下列方程：（1）3x2﹣2x﹣1＝0（2）（x﹣1）2﹣16＝0 11．解方程：（1）2x2﹣16＝0；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．12．解方程（1）（2x+3）2﹣81＝0；（2）y2﹣7y+6＝0．13．用合适的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1＝0（2）2（x﹣1）2＝1﹣x．14．解方程：2x2+4x﹣3＝0．15．解方程：（1）x2+10x+9＝0（2）x2﹣x﹣＝0（3）3x2+6x﹣4＝0（4）4x2﹣6x﹣3＝0（5）x2+4x﹣9＝2x﹣11（6）x（x+4）＝8x+12．参考答案与试题解析1．解方程：（1）x2＝4x（因式分解法）；（2）2x2﹣4x﹣3＝0（公式法）．【分析】（1）根据因式分解的方法解方程即可；（2）根据公式法解方程即可．【解答】（1）x2＝4x，解：x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4；（2）2x2﹣4x﹣3＝0，解：a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，代入求根公式，得：，∴，．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法、公式法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．2．解下列方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）x2﹣3x﹣4＝0．【分析】（1）利用因式分解法把方程化为x＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可；（2）利用因式分解法把方程化为x﹣4＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2；（2）（x﹣4）（x+1）＝0，x﹣4＝0或x+1＝0，所以x1＝4，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解方程．3．解方程：①x2﹣8x+12＝0；②x2﹣2x﹣8＝0．【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：①∵x2﹣8x+12＝0，∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，则x﹣2＝0或x﹣6＝0，解得x＝2或x＝6；②∵x2﹣2x﹣8＝0，∴（x+2）（x﹣4）＝0，则x+2＝0或x﹣4＝0，解得x＝﹣2或x＝4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣10x+16＝0；（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．【分析】（1）根据因式分解法节即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣10x+16＝0，∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，∴x＝2或x＝8．（2）∵2x（x﹣1）＝x﹣1，∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，∴x＝1或x＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．选用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣4x﹣3＝0（2）5x（x+1）＝2（x+1）【分析】（1）根据配方法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x+4＝7，∴（x﹣2）2＝7，∴x1＝2+，x2＝2﹣．（2）∵5x（x+1）＝2（x+1），∴（5x﹣2）（x+1）＝0，∴x1＝，x2＝﹣1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．解方程（1）（x+1）2﹣25＝0（2）x2﹣4x﹣2＝0【分析】（1）利用直接开平方法解出方程；（2）先求出一元二次方程的判别式，再解出方程．【解答】解：（1）（x+1）2﹣25＝0，（x+1）2＝25，x+1＝±5，x＝±5﹣1，x1＝4，x2＝﹣6；（2）x2﹣4x﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，∴x＝＝2±，即x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．7．（1）（x﹣1）2＝2（x﹣1）（2）2x2﹣5x﹣2＝0【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝2（x﹣1），∴（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣1﹣2＝0，∴x1＝1，x2＝3．（2）∵2x2﹣5x﹣2＝0，∴a＝2，b＝﹣5，c＝﹣2，∴△＝25﹣4×2×（﹣2）＝41＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．8．解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0（2）2（x+5）2＝x（x+5）【分析】（1）根据配方法即可解方程；（2）根据因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝8（x﹣2）2＝8x﹣2＝∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；（2）2（x+5）2﹣x（x+5）＝0（x+5）（2x+10﹣x）＝0x+5＝0或x+10＝0∴x1＝﹣5，x2＝﹣10．【点评】本题考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法和配方法．9．解方程：（1）x2﹣6x﹣7＝0（2）（x+2）（x+3）＝1【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．【解答】解：（1）（x﹣7）（x+1）＝0，x﹣7＝0或x+1＝0，所以x1＝7，x2＝﹣1；（2）x2+5x+5＝0，△＝52﹣4×5＝5，x＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．10．解下列方程：（1）3x2﹣2x﹣1＝0（2）（x﹣1）2﹣16＝0【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵3x2﹣2x﹣1＝0，∴（x﹣1）（3x+1）＝0，∴x＝1或x＝；（2）∵（x﹣1）2﹣16＝0，∴（x﹣1）2＝16，∴x﹣1＝±4，∴x＝5或x＝﹣3【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．11．解方程：（1）2x2﹣16＝0；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；（2）根据公式法即可求出答案．【解答】解：（1）∵2x2﹣16＝0，∴x2＝8，∴x＝±2，∴x1＝﹣2，x2＝2．（2）∵2x2﹣3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝9﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．12．解方程（1）（2x+3）2﹣81＝0；（2）y2﹣7y+6＝0．【分析】（1）先变形为（2x+3）2＝81，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（2x+3）2＝81，2x+3＝±9，所以x1＝3，x2＝﹣6；（2）（y﹣1）（y﹣6）＝0，y﹣1＝0或y﹣6＝0，所以y1＝1，y2＝6．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程．13．用合适的方法解下列方程．（1）x2﹣x﹣1＝0（2）2（x﹣1）2＝1﹣x．【分析】（1）直接利用公式法解方程得出答案；（2）直接利用提取公因式法分解因式进而解方程得出答案．【解答】解：（1）x2﹣x﹣1＝0Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，则x＝，故x1＝，x2＝；（2）2（x﹣1）2＝1﹣x2（1﹣x）2＝1﹣x，则2（1﹣x）2﹣（1﹣x）＝0，故（1﹣x）[2（1﹣x）﹣1]＝0，解得：x1＝1，x2＝．【点评】此题主要考查了公式法以及因式分解法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．14．解方程：2x2+4x﹣3＝0．【分析】先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程．【解答】解：△＝42﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．15．解方程：（1）x2+10x+9＝0（2）x2﹣x﹣＝0（3）3x2+6x﹣4＝0（4）4x2﹣6x﹣3＝0（5）x2+4x﹣9＝2x﹣11（6）x（x+4）＝8x+12．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（3）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（4）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（5）求出b2﹣4ac的值，即可得出答案；（6）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2+10x+9＝0，（x+1）（x+9）＝0，x+1＝0，x+9＝0，x1＝﹣1，x2＝﹣9；（2）x2﹣x﹣＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣）＝8，x＝，x1＝，x2＝；（3）3x2+6x﹣4＝0，b2﹣4ac＝62﹣4×3×（﹣4）＝84，x＝，x1＝，x2＝；（4）4x2﹣6x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，x＝，x1＝，x2＝；（5）x2+4x﹣9＝2x﹣11，x2+2x+2＝0，b2﹣4ac＝22﹣4×1×2＜0，此方程无解；（6）x（x+4）＝8x+12，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，（x﹣6）（x+2）＝0，x﹣6＝0，x+2＝0，x1＝6，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．。
一元二次方程解法及其配套练习-精心--方法全面-例题经典
一元二次方程解法及其配套练习定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项．解法一: ——直接开方法适用围：可解部分一元二次方程直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。
例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：(2)由已知，得：（x+3）2=2直接开平方，得：x+3=即所以，方程的两根x1，x2例2．市政府计划2年将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．例3．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同C时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？解：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x依题意，得：12x·2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±即x1，x2可以验证，和都是方程12x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以PBQ的面积等于8cm2．例4．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．归纳小结：共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=p＜0则方程无解配套练习题一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C ．（x-23）2=59，x 1=23x 2 D ．（x-23）2=1，x 1=53，x 2=-13二、填空题1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a 、b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．三、综合提高题1．解关于x 的方程（x+m ）2=n ．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），•另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？解法二——配方法适用围：可解全部一元二次方程引例：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2,场地的长和宽各是多少？ 列出方程化简后得：x 2+6x-16=0 x 2+6x-16=0移项→x 2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x 2+2bx+b 2的形式 → x 2+6x+32=16+9左边写成平方形式 → （x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5 解一次方程→x 1=2，x 2= -8可以验证：x 1=2，x 2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，常为8m. 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边； （4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．用配方法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一 常数要往右边移 一次系数一半方两边加上最相当例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：略例2．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半．分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式．解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．根据题意，得：12（8-x）（6-x）=12×12×8×6整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去．所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．例3．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：略例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53CAQP例5. 求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于0. 解：略配套练习题一、选择题1．配方法解方程2x 2-43x-2=0应把它先变形为（ ）． A ．（x-13）2=89 B ．（x-23）2=0C ．（x-13）2=89D ．（x-13）2=1092．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．A ．x 2+1=0 B ．（2x+1）2=0 C ．（2x+1）2+3=0 D ．（12x-a ）2=a 3．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是（ ）． A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-24．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-35．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）．A ．x 2-8x+（-4）2=31B ．x 2-8x+（-4）2=1C ．x 2+8x+42=1D ．x 2-4x+4=-116．如果mx 2+2（3-2m ）x+3m-2=0（m ≠0）的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ）． A ．1 B ．-1 C ．1或9 D ．-1或9二、填空题1．方程x 2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x x x ---的值为0，则x 的值为________．3．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______．4．如果x 2+4x-5=0，则x=_______．5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数．6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2x2．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．3．如果x 2-4x+y 2，求（xy ）z的值．4．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500•元，•市场调研表明：•当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 5．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x yx y-+的值．6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，•为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，•如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件． ①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．解法三——公式法适用围：可解全部一元二次方程首先，要通过Δ=b 2-4ac 的根的判别式来判断一元二次方程有几个根 1.当Δ=b 2-4ac<0时 x 无实数根（初中）2.当Δ=b 2-4ac=0时 x 有两个相同的实数根 即x1=x2 3.当Δ=b 2-4ac>0时 x 有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：求根公式的推导用配方法解方程（1） ax 2－7x+3 =0 (2)a x 2+bx+3=0(3)如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0），试推导它的两个根x 1=2b a -+，x 2=2b a--(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a）2 即（x+2b a）2=2244b aca -∵4a 2>0，4a2＞0,当b 2-4ac ≥0时2244b aca-≥0∴（x+2b a）2)2直接开平方，得：x+2ba = 即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
(完整版)解一元二次方程练习题(配方法)(最新整理)
(7) 5x 2 －3x+2 =0
(8) 7x 2 －4x－3 =0
(9) -x 2 -x+12 =0
(10) x 2 －6x+9 =0
韦达定理：对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ，如果方程有两个实数根 x1, x2 ，那么
x1
x2
b a
,
x1x2
c a
说明：（1）定理成立的条件 0
2．已知 x1，x2 是方程 2x2－7x＋4＝0 的两根，则 x1＋x2＝
，x1·x2＝
，
（x1－x2）2＝
1
3．已知方程 2x2－3x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k=
;
2
4．若方程 x2+(a2－2)x－3=0 的两根是 1 和－3，则 a=
;
5．若关于 x 的方程 x2+2(m－1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为
（2）注意公式重
x1
x2
b a
的负号与
b
的符号的区别
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例 若 x1, x2 是方程 x2 2x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值：
(1) x12 x22 ；
(2) 1 1 ； x1 x2
(3) (x1 5)(x2 5) ；
(4) | x1 x2 | ．
25、 5x2 7x 1 0
26、 5x2 8x 1
27、 x2 2mx 3nx 3m2 mn 2n2 0
28、3x2+5(2x+1)=0
29、 (x 1)(x 1) 2 2x
30、 3x2 4x 1
解一元二次方程练习题(配方法)
解一元二次方程练习题(配方法)C . -2+/10D . 2-7109.不论X 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值()10.用配方法解下列方程:2(1) 3X -5X =2. 11用配方法求解下列问题2(1)求2X -7X +2的最小值；(2)求-3X 2+5X +1的最大值。
1用适当的数填空: ①、X 2+6X+=(X+ )2; ②、X 2 — 5X+=(X — )2; 2 ③、X + X+ =(X+ )2; ④、X 2 — 9x+ =(X — )22. __________________________________________ 将二次三项式2X 2-3X -5进行配方，其结果为 ____________________ . 3. 已知4x 2-ax+1可变为(2x-b ) 2的形式，贝U ab= ________ . 4. 将一元二次方程X 2-2X -4=0用配方法化成(x+a ) 2=b 的形式为,?所以方程的根为5.若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是() D .以上都不对 6.用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是( A . (a-2) 2+1 B . (a+2) 2-1 C . (a+2) 2+1A . 3B . -3C . ± 3D . (a-2) 2-1 7. 把方程X +3=4X 配方，得() 2 2 2 A . (X-2) =7 B . (X +2) 2=21 C . (X -2) 2=1 8. 用配方法解方程X 2+4X =10的根为()2 D . (X +2) 2=2 A .总不小于2 B .总不小于7 C .可为任何实数D .可能为负数2(2) X +8X =91 2)一 X -X -4=0(3) X 2+12X -15=0'元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、4x2—1=02、（X -3）2=2 （X-1 f=524、81（x-2）2 =16用配方法解下列一元二次方程。
一元二次方程的解法练习
一元二次方程的解法练习例1、解下列方程：（1）9x 2－25 =0 ； （2）21（x +3）2 =8 ； （3）4（x －2）2－36 =0；例2、解下列方程：（1）（X －2）2 =（2X +3）2 ； （2）4（3X －1）2－9（3X +1）2 =0 。
例3、用配方法解下列方程：（1）x 2－12x －9964 =0 ； （2）2x 2 +3 =7x 。
例4、求证下列多项式的值恒大于零：（1）2x 2－4x + 7 ； （2）x 2 +2mx +2m 2 +1 。
例5、用公式法解下列方程：（1）－3x 2－5x +2 =0 ； （2）08121212=++x x 。
例6、已知y =2x 2 +7x －1，当x 为何值时，y 的值与4x + 1的值相等？x 为何值时，y 的值与x 2－19的值互为相反数？例7、已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程x 2－3x +2 =0的根，试求这个三角形的周长。
例8、已知关于x 的方程2x 2－kx +1 =0的一个解与方程4112=-+x x 的解相同。
（1）求k 的值； （2）求方程2k 2－kx +1 =0的另一个解。
例9、已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：x 2－1 =0 （1）x 2 +x －2 =0 （2）x 2 +2x －3 =0 （3）……x 2 +（n －1）x －n =0 （n ）① 请求出上述一元二次方程（1）、（2）、（3）……（n ）的解；② 请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。
例10、已知方程（a －x ）2－4（b －x ）（c －x ）=0，试说明：（1）此方程必有实数根；（2）若a 、b 、c 为△ABC 三边，方程有两个相等的实数根。
试确定△ABC 的形状。
同步练习1. 9)12(2=-x2. 42)2)(1(+=++x x x3. 3x 2–4x –1=04. 4x 2–8x +1=0（配方法）5. 0542=-+x x （配方法） 6. 025)2(10)2(2=++-+x x （因式分解法）7. 0672=+-x x (因式分解法) 8. )15(3)15(2-=-x x (因式分解法) 9. 0362=+-x x (配方法)10. 1)4(2=+x x (求根公式法) 11. 0)1(122=--+-kx k x x 12. 036252=-x13.0223)12(22=-+-+x x 14. 0)4()52(22=+--x x 15. 配方法x 2+4x -12=016. 公式法3x 2+5(2x+1)=0 17. 因式分解法3(x -5)2=2(5-x ) 18. 9)12(2=-x19. 0432=-+x x （配方法） 20. 3x 2+5(2x+1)=0（公式法） 21. ()()752652x x x +=+课下练习一、填空题1、方程x 2－3 = 0的根是 。
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的解法(1) 一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件:⑴⑵⑶2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题例1：判断下列方程是否为一元二次方程：® x2+x = \ ®x~ = 1 ®x2 -2x + 3y = 0 @x2 - 3 = (x-l)(x-4)⑤ax2+bx + c = 0 ®mx2 =0 (m是不为零常数)例2：—元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(l)x2-l Ox-900 = 0 (2)5x2 +10—2.2 = 0⑶ 2X2-15=0 (4)X2 + 3x = 0(5) (x + 2)2 =3 (6) (x + 3)(x-3) = 0例3：当加 _______ 时，关于x的方程(m+2) x s +3mx+l=0是一元二次方程。
三、课堂练习1、下列方程中，关于x的一元二次方程是()A.3(X +1)2=2(X+1)B； +丄一 2 = 0xT yC.ax2 + 加 + <? = 0D.x1 + 2x = x，-12、用换元法解方程(X2+X):+(X:+X)=6时，如果设x'+x = y,那么原方程可变形为()A、y:+y—6=0B、y2—y—6 = 01 / 15C、y:—y+6 = 0D、y'+y+6 = 03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是4、已知关于x的一元二次方程十一伙+ l)x_6 = 0的一个根是2,求k的值.四、课后练习1•将方程3乂(乂_1) = 5(乂+ 2)化成一元二次方程的一般形式，得____ ;其中二次项系数是_ ; 一次项系数是 __________ ;常数项是_________ .2.方程伙-4)，+5x + 2& + 3 = 0是一元二次方程，则£就满足的条件是____________ .3.已知m是方程x'-x-2二0的一个根，则代数式mJn二 __________4.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为wm,则乳满足的方程是( )(A) x2+130A--1400 = 0 (B) x2 +65x-35O = O(C) x2 -130x-1400 = 0 (D) x2 -65x-350 = 05.关于x的方程(加-3)，+心+加=0,在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？(2) 一直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如x2=a(a>0)或(x+h)= k(k^0)的一元二次方程的解法一一直接开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x + /»)2=n(n>0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
一元二次方程知识点总结&练习
一元二次方程专题（一）、一元二次方程的解法：【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75(3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx +c=0 (a≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c将二次项系数化为1：x 2+b a x=-c a方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b 2a)2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x= (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0 (3) 6x 2+5x-50=0 (4)x 2-2(+)x+4 =0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
一元二次方程的解法综合练习题
一元二次方程的解法综合练习1、一元二次方程的解法分别有___________,____________,____________，____________。
2、一元二次方程的一般形式_______________,其解为_______________。
3、总结：（1）公式法求解步骤：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系 数a, b, c 的值代入求根公式x=[-b ±√(b 2-4ac)]/(2a) , (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
（2）配方法求解步骤①用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) ②先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c ③将二次项系数化为1：ac x a b x -=+2④方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：222)2()2(aba c ab x a b x +-=++⑤方程左边成为一个完全平方式：2224ac4-)2ab a b x =+（ ⑥当b 2-4ac≥0时，a 2ac 4-22b a b x ±=+可得：a2ac4-2b b x ±-=总结：方程有根的条件（3）直接开方法求解步骤用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为n m ±=x（4）因式分解法求解步骤 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一 次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方 程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
4、方程的根与系数的关系： （1）（2）两根21x x 、的和与积的关系：5、十字相乘法分解因式：练习：1.利用直接开平方法解下列方程(1) 4（x-3）2=25 (2) 024)2x 3(2=-+2．利用因式分解法解下列方程(1) x 2 （2） 3(1)33x x x +=+3.利用配方法解下列方程 （1） 21302x x ++= （2）012632=--x x4.利用公式法解下列方程（1）322-=-x x （2）3x 2-5(2x+1)=05.选用适当的方法解下列方程（1） x （x ＋1）－5x ＝0 （2）5x 2 — 52=0（3）7x=4x 2+2 （4）22(21)9(3)x x +=-（5）2(x －3) 2＝x 2－9 （6）(x ＋1) 2＝4x（7）8)2(=+x x （8）()()0165852=+-+-x x（9）())3(21+=+x x x （10）（1－3y ）2+2（3y －1）=01、公式法解方程：⑴2x2-8x+5=0 ⑵3x2+7x+1=0 ⑶x2-6x+7=0⑷x2+5x+1=0 ⑸4x2-9x+3=0 ⑹x2+9x+3=02、配方法解方程⑴3x2-4x-2=0 ⑵x2-6x=1 ⑶4x2-9x=-3⑷x2+9x=3 ⑸x2-5x=-1 ⑹6x2-8x+1=03、用直接开方法⑴（x-2)2=9 ⑵9x2-24x+16=11 ⑶4x2-12x=11⑷（x+4)2.+8=9 ⑸8x2=24 ⑹(2x-3)2=164、因式分解法⑴(x+2)2=3x+6 ⑵-2x 2+13x-15=0 ⑶2x 2+3x=0⑷(x+3)(x-6)=-8 ⑸4(x-3)2=x(x-3) ⑹x 2-3x-4=05、用适当方法计算1、052222=--x x 2、8452=-x x3、0152=+-x x4、()()2232-=-x x x5、272=-x x6、x 2+3x -4=0一元二次方程单元测试一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
解一元二次方程(直接开方法 配方法)练习题100+XXX
解一元二次方程(直接开方法配方法)练习题100+XXX①、x2+6x+9=（x+3）2；②、x2－5x+4=（x－2）2；③、x2+ 2x+1=（x+1）2；④、x2－9x+9=（x－3）22）x2+8x-9=0，化为（x+4）2=25，所以方程的根为x=-4±5；3）x2+12x-15=0，化为（x+6）2=51，所以方程的根为x=-6±√51；4）2x2+5x-3=0，化为（2x-1）(x+3)=0，所以方程的根为x=1/2或x=-3.1、4x2-4x+1=0，化为（2x-1）2=0，所以方程的根为x=1/2；2、3x2-6x+2=0，化为3(x-1)2+1=0，无实数根。
1、y-6y+9=0，化为(y-3)2=0，所以方程的根为y=3；2、3x2-5x+2=0，化为(3x-2)(x-1)=0，所以方程的根为x=2/3或x=1；4、2x2-8x+7=0，化为(2x-1)(x-7/2)=0，所以方程的根为x=1/2或x=7/2.27.解方程 x2-4x+3=0，可以使用因式分解法，将其拆分为(x-1)(x-3)=0，因此 x=1 或 x=3.28.解方程 x2-6x-3=0，可以使用求根公式，得到x=(6±√(36+4×3))/2，即x=3±√10.29.解方程 2x2-8x+3=0，可以使用求根公式，得到x=(8±√(64-4×2×3))/4，即x=2±√7/2.30.解方程 3x2-4x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(4±√(16-4×3×1))/6，即 x=1/3 或 x=1.31.解方程 x2-6x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(6±√(36-4×1×1))/2，即x=3±√8.32.解方程 2x2-4x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(4±√(16-4×2×1))/4，即 x=1/2.33.解方程 x2+5x-3=0，可以使用求根公式，得到 x=(-5±√(25+4×3))/2，即 x=(-5±√37)/2.34.解方程 x2+2x-4=0，可以使用求根公式，得到 x=(-2±√(4+4×4))/2，即 x=-1±√5.35.解方程 2x2-4x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(4±√(16-4×2×1))/4，即 x=1/2.36.删除37.5(x+17)=6(x+2x)，化简得到 5x+85=8x，解得 x=85/3.38.删除39.解方程 2x2+1=3x，可以移项得到 2x2-3x+1=0，然后使用求根公式，得到x=(3±√(9-4×2×1))/4，即 x=1 或 x=1/2.40.解方程 x2+x-2=0，可以使用因式分解法，将其拆分为(x-1)(x+2)=0，因此 x=1 或 x=-2.41.解方程 x2-6x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(6±√(36-4×1×1))/2，即x=3±√8.42.解方程 x2-8x+5=0，可以使用求根公式，得到x=(8±√(64-4×1×5))/2，即x=4±√6.43.解方程 x2+3x-4=0，可以使用因式分解法，将其拆分为(x+4)(x-1)=0，因此 x=-4 或 x=1.44.解方程 3x2+8x-3=0，可以使用求根公式，得到 x=(-8±√(64+4×3×3))/6，即 x=(-4±√19)/3.45.解方程 x2+8x-2=0，可以使用求根公式，得到 x=(-8±√(64+8))/2，即 x=-4±√18.46.x+3x+1=0，化简得到 4x=-1，解得 x=-1/4.47.解方程 2x2-3x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(3±√(9-4×2×1))/4，即 x=1/2 或 x=1.48.解方程 x2-4x-6=0，可以使用求根公式，得到x=(4±√(16+4×6))/2，即x=2±√10.49.解方程 x2-8x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(8±√(64-4×1×1))/2，即x=4±√15.50.解方程 x2+4x+1=0，可以使用求根公式，得到 x=(-4±√(16-4×1×1))/2，即 x=-2±√3.51.解方程 x2-4x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(4±√(16-4×1×1))/2，即 x=2.52.解方程 x2-6x-7=0，可以使用因式分解法，将其拆分为(x-7)(x+1)=0，因此 x=7 或 x=-1.53.解方程 x2-6x-5=0，可以使用因式分解法，将其拆分为(x-1)(x-5)=0，因此 x=1 或 x=5.54.解方程 2x2-3x-1=0，可以使用求根公式，得到x=(3±√(9+8))/4，即 x=1 或 x=-1/2.55.删除56.删除57.解方程 x2-8x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(8±√(64-4×1×1))/2，即x=4±√15.58.解方程 x2-8x-16=0，可以使用因式分解法，将其拆分为 (x-4)(x-4-4)=0，因此 x=8 或 x=-2.59.删除60.解方程 6x2-7x-3=0，可以使用求根公式，得到x=(7±√(49+4×6×3))/12，即 x=1/2 或 x=-3/2.61.解方程 x2-6x+8=0，可以使用因式分解法，将其拆分为(x-4)(x-2)=0，因此 x=4 或 x=2.62.解方程 2x2-5x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(5±√(25+4×2×1))/4，即x=(5±√17)/4.63.解方程 3x2+8x-3=0，可以使用求根公式，得到 x=(-8±√(64+4×3×3))/6，即 x=(-4±√19)/3.64.解方程 3x2-4x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(4±√(16-4×3×1))/6，即 x=1/3 或 x=1.65.删除66.解方程 2x2-5x-1=0，可以使用求根公式，得到x=(5±√(25+4×2))/4，即x=(5±√33)/4.67.解方程 4x2-8x-1=0，可以使用求根公式，得到x=(8±√(64+4×4))/8，即x=1±√5/2.68.解方程 3x2+4x-7=0，可以使用求根公式，得到 x=(-4±√(16+4×3×7))/6，即 x=(-2±√22)/3.69.解方程 3x2-10x+6=0，可以使用因式分解法，将其拆分为 3(x-1)(x-2)=0，因此 x=1 或 x=2.70.解方程 3x2-10x-5=0，可以使用求根公式，得到x=(10±√(100+4×3×5))/6，即x=(5±√35)/3.71.解方程 2x2-7x+3=0，可以使用求根公式，得到x=(7±√(49-4×2×3))/4，即x=(7±√37)/4.72.解方程 x2+2x-224=0，可以使用因式分解法，将其拆分为 (x+16)(x-14)=0，因此 x=-16 或 x=14.73.解方程 x2-5x-14=0，可以使用因式分解法，将其拆分为 (x-7)(x+2)=0，因此 x=7 或 x=-2.74.删除75.解方程 x2+8x-20=0，可以使用求根公式，得到 x=(-8±√(64+4×20))/2，即 x=-4±2√6.76.解方程 x2-x=0，可以使用因式分解法，将其拆分为x(x-1)=0，因此 x=0 或 x=1.77.解方程 2t2-6t+3=0，可以使用求根公式，得到t=(6±√(36-4×2×3))/4，即t=3±√3/2.78.解方程 3x2-6x-12=0，可以使用因式分解法，将其拆分为 3(x-2)(x+2)=0，因此 x=2 或 x=-2.79.解方程 x2-4x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(4±√(16-4×1×1))/2，即x=2±√3.80.解方程 3x2-2x-3=0，可以使用求根公式，得到x=(2±√(4+4×3×3))/6，即x=(1±√19)/3.81.解方程 2x2-5x+1=0，可以使用求根公式，得到x=(5±√(25+4×2×1))/4，即x=(5±√17)/4.82.解方程 2y2+8y-1=0，可以使用求根公式，得到 y=(-8±√(64+4×2))/4，即 y=-2±√3/2.83.解方程 x2-6x-18=0，可以使用因式分解法，将其拆分为 (x-9)(x+2)=0，因此 x=9 或 x=-2.84.解方程 x2-2x-1=0，可以使用求根公式，得到x=(2±√(4+4×1))/2，即x=1±√2.85.解方程 x2-4x-1=0，可以使用求根公式，得到x=(4±√(16+4))/2，即x=2±√5.86.解方程 2x2+3x+1=0，可以使用求根公式，得到 x=(-3±√(9-4×2×1))/4，即 x=(-3±√5)/4.87.解方程 2x2-6x-7=0，可以使用因式分解法，将其拆分为 (x-7/2)(2x+1)=0，因此 x=7/2 或 x=-1/2.88.删除89.解方程 4x2-4ax+a2-b2=0，可以使用因式分解法，将其拆分为 (2x-a-b)(2x-a+b)=0，因此 x=(a+b)/2 或 x=(a-b)/2.90.解方程 x2-4x-2=0，可以使用求根公式，得到x=(4±√(16+8))/2，即x=2±√6.91.将等式 x(x+4)=6x+12 化简为 x2-2x-12=0，然后使用因式分解法，将其拆分为 (x-4)(x+3)=0，因此 x=4 或 x=-3.92.解方程 2x2+7x-4=0，可以使用求根公式，得到 x=(-7±√(49+4×2×4))/4，即98.给定方程 m2x2﹣28=3mx（m≠0），求解 x 的值。
一元二次方程解法
一元二次方程的解法一例题：1. 解下列方程：（1）()922=+x （2）()05122=+--y （3)()322212=+t (4)()0412=+-x2. 用开平方法解下列方程：（1）022=-x （2）()361642=-x3. 用配方法解关于x 的方程02=++n mx x ，此方程可变形为（ ） A. 44222m n m x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ B. 44222n m m x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ C. 24222n m m x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ D. 24222m n m x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 4. 用配方法解方程：0222=-+x x练习：1. 方程0742=-x 的解是（ ）A. 47=xB. 47±=x C. 27±=x D. 47±=x 2. 一元二次方程()212=-x 的解是（ ）A. 21,2121+-=--=x xB. 21,2121+=-=x xC. 1,321-==x xD. 3,121-==x x3. 已知关于x 的一元二次方程()n m x =+2有实数根，则（ ） A. 0>n B. 0≥n C. 0≠n D. 为任何实数n4. 如果04412=+-xx ，那么x 2的值是（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 1或25. 请写出一个两根互为相反数的一元二次方程_________6. 在下列各空白处填上适当的数，使等式成立。
（1）++x x 122______=()2____+x （2）++x x 312______=()2___+x （3）223191___⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x 7. 若0>n ，对所有x ，式子()223369n x mx x +=++成立，则=-n m ________ 8. 解下列方程：（1）02522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x （2）()6232=-x （3）()01342=-+x （4）()()22431-=-x x9. 用配方法证明对于任意实数x ，二次三项式25222-+-x x 的值恒大于零。
解一元二次方程练习题(四种解法)
一 直接开方法
类型
I： ax2
=
b
x2
=
b a
b a
0
x
=
b (结果要分母有理化)
a
类型 II： a2 = b2 a = b或a = −b
（1） x2 = 9
（2） 4x2 = 25
（3） ( x +1)2 = 16
（4） 4(2x −1)2 = 81
一元二次方程的解法专题训练
三 公式法
x = −b b2 − 4ac 2a
步骤： 第一步：写成一般式； 第二步：找出 a，b，c；
第三步：计算 = b2 − 4ac ；
第四步：若△≥0，则代入公式；若△≥0，则原方程无实数解；
（1） x2 + 2x −1 = 0
（2） 2x2 + 4x = 1
（7） 300x2 − 40x +1 = 0
（8） ( x − 3)( x + 2) = 6
一元二次方程的解法专题训练
综合练习
（1） x2 − 6x + 8 = 0
（2） x2 − 4x = 1
（3） x2 −12x + 20 = 0
（4） x2 − 40x + 300 = 0
（5） x2 −100x + 2400 = 0
（5） (2x +1)2 = ( x − 3)2
（6） 250( x +1)2 = 360
（7）100(1− x)2 = 81
（8） 440( x +1)2 = 633.6
（9） −2( x − 4)2 + 9 = 5
初中数学《一元二次方程的解法》十大题型含解析
一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方，得2x-1=，即2x-1=或2x-1=，所以x1=，x2=．【答案】±33-32-1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵(2x-1)2=9∴2x-1=±3∴2x-1=3，2x-1=-3∴x1=2，x2=-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0【答案】A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：(A )移项可得x 2=-9，故选项A 无解；(B )-2x 2=0，即x 2=0，故选项B 有解；(C )移项可得x 2=3，故选项C 有解；(D )x -2 2=0，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x 的一元二次方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【答案】m ≥7【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程x -5 2=m -7可以用直接开平方求解，∴m -7≥0，解得：m ≥7，故答案为：m ≥7．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x x +4 =6．解：原方程可变形，得：x +2 -2 x +2 +2 =6．x +2 2-22=6，x +2 2=10．直接开平方并整理，得．x 1=-2+10，x 2=-2-10．我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：x +a -b x +a +b =5．x +a 2-b 2=5，∴x +a 2=5+b 2．直接开平方并整理，得．x 1=c ，x 2=d ．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：x -5 x +7 =12．【答案】(1)7，2，-4，-10．(2)x 1=-1+43，x 2=-1-43．【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为x +7 -2 x +7 +2 =5，可得x +7 2=9，再解方程即可；(2)仿照平均数法可把原方程化为x +1 -6 x +1 +6 =12，可得x +1 2=48，再解方程即可；【详解】(1)解：∵x +5 x +9 =5，∴x +7 -2 x +7 +2 =5，∴x +7 2-4=5，∴x +7 2=9，∴x +7=3或x +7=-3，解得：x 1=-4，x 2=-10．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，-4，-10．(2)∵x -5 x +7 =12，∴x +1 -6 x +1 +6 =12，∴x +1 2-36=12，∴x +1 2=48，∴x +1=43，x +1=-43，解得：x 1=-1+43，x 2=-1-43．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程，补全解答过程．3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2-16x =56．配方，得_________________________________，即x -112 2=121144．两边开平方，得__________________，即x -112=1112，或x -112=-1112．所以x 1=1，x 2=-56．【答案】x 2-56=16x x 2-16x +112 2=56+112 2 x -112=±1112【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】3x 2-52=12x ．解：两边同除以3，得x 2-56=16x ．移项，得x 2-16x =56．配方，得x2-16x+1122=56+112 2，即x-1 122=121144．两边开平方，得x-112=±1112，即x-112=1112，或x-112=-1112．所以x1=1，x2=-5 6．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x2-6x-1=0时，配方结果正确的是()A.x-32=9 B.x-32=10 C.x+32=8 D.x-32=8【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：x2-6x-1=0移项得：x2-6x=1配方得：x2-6x+9=1+9即x-32=10故选：B3(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程：x2+2mx-m2=0．【答案】x1=-m+2m，x2=-m-2m【分析】本题考查了解一元二次方程--配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得x2+2mx=m2，配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2，所以原方程的解为：x1=-m+2m，x2=-m-2m．4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1，得x2+2x=4第二步配方，得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以，x1=-2+22，x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【答案】①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2x2+4x-8=0变为x2+2x=4，然后配方为x+12=8，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②2x2+4x-8=0，移项，得2x2+4x=8，二次项系数化为1，得x2+2x=4，配方，得x+12=5，由此可得x+1=±5，所以，x1=-1+5，x2=-1-5．知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程，得x= -6±62-4×4×12×4，则该一元二次方程是．【答案】4x2+6x+1=0【分析】根据公式法的公式x=-b±b2-4ac2a，可得方程的各项系数，即可解答．【详解】解：∵x=-b±b2-4ac2a=-6±62-4×4×12×4，∴a=4，b=6，c=1，从而得到一元二次方程为4x2+6x+1=0，故答案为：4x2+6x+1=0．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程：x-23x-5=0．解：方程化为3x2-11x+10=0．a=3,b=，c=10．Δ=b 2-4ac =-4×3×10=1>0．方程实数根．x ==，即x 1=，x 2=53．【答案】-11(-11)2有两个不相等的--11 ±12×311±162【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为3x 2-11x +10=0．a =3，b =-11，c =10．Δ=b 2-4ac =-11 2-4×3×10=1>0．方程有两个不相等的实数根．x =--11 ±12×3=11±16，即x 1=2，x 2=53．故答案为：-11；(-11)2；有两个不相等的；--11 ±12×3；11±16；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)，下列代入公式正确的是()A.x =-b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) B.x =b ±b 2-4ac2a C.x =b ±b 2-4a ×(-c )2×(-a ) D.x =-b ±b 2-4ac2a【答案】B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程-ax 2+bx -c =0 (a ≠0)可化为ax 2-bx +c =0由求根公式可得：x =-(-b )±(-b )2-4ac 2a =b ±b 2-4ac 2a 故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根互为相反数，则()A.b =0B.c =0C.b 2-4ac =0D.b +c =0【答案】A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根x 1、x 2，由题意得x 1+x 2=0，可求出b =0．【详解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根，∴Δ=b2-4ac≥0且a≠0．求根公式得到方程的根为x=-b±b2-4ac2a，两根互为相反数，所以x1+x2=0，即-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=0，解得b=0．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和2【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵x x-2=2-x，∴x x-2+x-2=0，∴x+1x-2=0，∴x+1=0或x-2=0，解得x=-1或x=2，故选：D．2(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，①方程两边同除以x-3，得x=-2，②∴原方程的解为x=-2．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】(1)根据等式的性质作答即可；(2)先移项，然后用因式分解法求解．【详解】(1)解：∵x-3可能为0，∴不能除以x-3，∴第②步出现了错误故答案为②．(2)解：方程两边因式分解，得x x-3=-2x-3，移项，得x x-3+2x-3=0，∴x-3x+2=0，∴x1=3，x2=-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m，n，定义运算“※”：m※n=m2-2n，例如：2※3=22 -2×3=-2．若x※5x=0，则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-5【答案】C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算m※n=m2-2n可得，x※5x=0即为x2-5x·2=0，即x x-10=0，∴x1=0，x2=10，则方程的根为0或10．故选：C．4(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0．【答案】(1)y1=0,y2=34；(2)x1=-32,x2=3【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1)4y2=3y；4y2-3y=0y(4y-3)=0y=0或4y-3=0∴y1=0,y2=34，故答案为：y1=0,y2=3 4；(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0(2x+3)(x-3)=02x+3=0或x-3=0 x1=-32,x2=3，故答案为：x1=-32,x2=3．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程4y2=3y时，给方程两边同除以y，解得y=34，而丢掉y=0的情况．【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法：二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此时满足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0，这种方法叫做“十字相乘法”．那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=0【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6x2-11x-10=(2x-5)(3x+2)即可．【详解】∵∴6x2-11x-10=2x-53x+2=0．故选：D．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．2(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0；(2)x2+3x-10=0．【答案】(1)x1=-4，x2=-1；(2)x1=2，x2=-5．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】(1)解：x2+5x+4=0x+4=0x+1x+4=0或x+1=0∴x1=-4，x2=-1；(2)解：x2+3x-10=0x+5=0x-2x+5=0或x-2=0∴x1=2，x2=-5．3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m，x2=4mB.x1=3m，x2=4mC.x1=-3m，x2=-4mD.x1=3m，x2=-4m【答案】B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．【详解】解：x2-7mx+12m2=0，x-3mx-4m=0，x-3m=0或x-4m=0，x1=3m，x2=4m．故选B．4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x，y的二次三项式ax2+bxy+cy2，如图1，将x2项系数a=a1⋅a2，作为第一列，y2项系数c=c1⋅c2，作为第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1：分解因式：x2+5xy+6y2解：如图2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2；∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；示例2：分解因式：x2-4xy-12y2．解：如图3，其中1=1×1，-12=-6×2，而-4=1×2+1×(-6)；∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y)；材料二：关于x，y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将a=a1a2作为一列，c=c1c2作为第二列，f=f1f2作为第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2；示例3：分解因式：x2-4xy+3y2-2x+8y-3．解：如图5，其中1=1×1，3=(-1)×(-3)，-3=(-3)×1；满足-4=1×(-3)+1×(-1)，-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1；∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：x2+3x+2=；x2-5xy+6y2+x+2y-20=；(2)若x，y，m均为整数，且关于x，y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于x，y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解．【答案】(1)(x+1)(x+2)，(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)m=54m=-56，x=-1y=4和x=2y=-4【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【详解】解：(1)①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(x+1)(x+2)；②1=1×1，6=(-2)×(-3)，-20=5×(-4)满足(-5)=1×(-2)+1×(-3)，1=1×5+1×(-4)，2=(-2)×5+(-3)×(-4)∴原式=(x-3y+5)(x-2y-4)；(2)①1-35a1c1f11-2-4a2c2f2{a1c2+a2c1=-5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2②1-21013-12{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=-2c1f2+c2f1=m1-2-121310(x-2y+10)(x+3y-12)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=54(x-2y-12)(x+3y+10)=x2+xy-6y2-2x+my-120∴m=-56当m=54时，(x-2y+10)(x+3y-12)=-1{x-2y+10=1x+3y-12=-1或{x-2y+10=-1x+3y-12=1，x=-75y=245(舍)，{x=-1y=4当m=-56时，(x-2y-12)(x+3y+10)=-1{x-2y-12=1x+3y+10=-1或{x-2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=-4或x=695y=25(舍)综上所述，方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解有{x=-1y=4和{x=2y=-4；方法二：x2+xy+(-6y2)-2x+my-120=(x+3y)(x-2y)-2x+my-12y =(x+3y+a)(x-2y+b)=(x+3y)(x-2y)+(a+b)x+(3b-2a)y+ab {a+b=-2⇒{a=-123b-2a=m ab=-120 b=10或{a=10⇒m=54b=-12m=-56．【点睛】本题考查了因式分解的方法--十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)x-32-4=0；(3)2x2-4x-5=0；(4)x-1x+2=2x+2．【答案】(1)x1=4，x2=0(2)x1=5，x2=1(3)x1=2+142，x2=2-142(4)x1=-2，x2=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】(1)解：x2-4x=0x x-4=0，解得x1=4，x2=0(2)解：x-3-2x-3+2=0x-5x-1=0，解得x1=5，x2=1(3)解：∵a=2，b=-4，c=-5∴b2-4ac=-42-4×2×-5=16--40=56∴x=4±562×2=2±142解得x1=2+142，x2=2-142(4)解：x-1x+2-2x+2=0x+2x-1-2=0，x+2x-3=0，∴x+2=0,x-3=0，解得x1=-2，x2=32(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程：(1)x2+4x-2=0；(2)x x+3=5x+15.【答案】(1)x1=6-2，x2=-6-2(2)x1=-3，x2=5【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．(1)利用配方法解方程；(2)先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】(1)解：移项，得x2+4x=2，配方，得x2+4x+4=2+4，x+22=6，两边开平方，得x+2=±6，所以，x1=6-2，x2=-6-2；(2)解：原方程可变形为：x x+3=5x+3，x x+3-5x+3=0，x+3x-5=0，x+3=0或x-5=0，所以，x1=-3，x2=53(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54；(2)x+13x-1=1；(3)4x2x+1=32x+1；(4)x2+6x=10．【答案】(1)x1=32，x2=-32(2)x1=-1+73，x2=-1-73(3)x1=-12，x2=34(4)x1=-3+19，x2=-3-19【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可；(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；(3)方程利用因式分解法求解即可；(4)方程利用配方法求解即可．【详解】(1)解：方程整理得：x2=18，开方得：x=±32，解得：x1=32，x2=-32；(2)解：方程整理得：3x2+2x-2=0，这里a=3，b=2，c=-2，∵△=22-4×3×(-2)=4+24=28>0，∴x=-2±276=-1±73，解得：x1=-1+73，x2=-1-73；(3)解：方程移项得：4x(2x+1)-3(2x+1)=0，分解因式得：(2x+1)(4x-3)=0，所以2x+1=0或4x-3=0，解得：x1=-12，x2=34；(4)解：配方得：x2+6x+9=19，即(x+3)2=19，开方得：x+3=±19，解得：x1=-3+19，x2=-3-19．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程．(1)(x+2)2-25=0；(2)x2+4x-5=0；(3)2x2-3x+1=0．【答案】(1)x1=3，x2=-7(2)x1=1，x2=-5(3)x1=12，x2=1【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；(2)利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)解：(x+2)2-25=0，(x+2-5)(x+2+5)=0，∴x-3=0或x+7=0，解得x1=3，x2=-7；(2)解：x2+4x-5=0，x-1x+5=0，∴x-1=0或x+5=0，解得x1=1，x2=-5；(3)解：2x2-3x+1=0，2x-1x-1=0，∴2x-1=0或x-1=0，解得x1=12，x2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程：(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)【答案】(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=1，x2=-3；(3)x1=3，x2=-2；(4)x1=-1，x2=2．【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：(1)∵4x-12-36=0∴(x-1)2=9，∴x-1=±3，∴x1=4，x2=-2；(2)∵x2+2x=3，∴x2+2x+1=4，∴(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3；(3)∵x2-x-6=0，∴△=1-4×1×(-6)=25，∴x=1±252=1±52，∴x1=3，x2=-2；(4)∵2x+1-x x+1=0∴(x+1)(2-x)=0，∴x+1=0或2-x=0，∴x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程：(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)【答案】(1)x1=5+2，x2=-5+2(2)x1=11+136，x2=11-136(3)x1=3，x2=92(4)y1=12，y2=-2【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．(2)先化为一般式，再根据Δ=b2-4ac算出，以及代入x=-b±Δ2a进行化简，即可作答．(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x的值，即可作答．【详解】(1)解：x2-4x-1=0移项，得x2-4x=1配方，得x 2-4x +4=1+4，即x -2 2=5∴x -2=±5解得x 1=5+2，x 2=-5+2；(2)解：3x 2-11x =-93x 2-11x +9=0Δ=b 2-4ac =121-4×3×9=121-108=13∴x =11±136解得x 1=11+136，x 2=11-136；(3)解：5x -3 2=x 2-95x -3 2-x 2-9 =05x -3 2-x -3 x +3 =0x -3 5x -3 -x +3 =x -3 4x -18 =0则x -3=0，4x -18=0解得x 1=3，x 2=92；(4)解：2y 2+4y =y +22y 2+4y -y +2 =02y y +2 -y +2 =02y -1 y +2 =0∴2y -1=0，y +2=0解得y 1=12，y 2=-2．3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程：(1)12x 2-2x -5=0(用配方法)(2)x 2=8x +20(用公式法)(3)x -3 2+4x x -3 =0(用因式分解法)(4)x +2 3x -1 =10(用适当的方法)【答案】(1)x 1=2+14,x 2=2-14(2)x 1=10,x 2=-2(3)x 1=3,x 2=0.6(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=(-8)2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．4(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程：(1)x 2=8x +9(配方法)；(2)2y 2+7y +3=0(公式法)；(3)x +2 2=3x +6(因式分解法)．【答案】(1)x 1=9，x 2=-1．(2)x 1=-3，x 2=-12．(3)x 1=-2，x 2=1．【分析】(1)先把方程化为x 2-8x +16=25，可得x -4 2=25，再利用直接开平方法解方程即可；(2)先计算△=72-4×2×3=49-24=25>0，再利用求根公式解方程即可；(3)先移项，再把方程左边分解因式可得x +2 x -1 =0，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】(1)解：x 2=8x +9，移项得：x 2-8x =9，∴x 2-8x +16=25，配方得：x-42=25，∴x-4=5或x-4=-5，解得：x1=9，x2=-1．(2)解：2y2+7y+3=0，∴△=72-4×2×3=49-24=25>0，∴x=-7±254=-7±54，∴x1=-3，x2=-12．(3)解：x+22=3x+6，移项得：x+22-3x+2=0，∴x+2x-1=0，∴x+2=0或x-1=0，解得：x1=-2，x2=1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2a2+b2+2-15=0，求a2+b2的值．【答案】3【分析】先用换元法令a2+b2=x(x>0)，再解关于x的一元二次方程即可．【详解】解：令a2+b2=x(x>0)，则原等式可化为：x(x+2)-15=0，解得：x1=3,x2=-5，∵x>0，∴x=3，即a2+b2=3．a2+b2的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2为非负数是本题的关键．2(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0，则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t-3=0，∴t-1t+3=0，∴t-1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=-3，∴x2+x的值是1或-3．∵x2+x=-3，即x2+x+3=0，Δ=12-4×1×3=-11<0方程无解，故x2+x=-3舍去，∴x2+x的值是1，故选：B．3(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5ba+5b+6=7，则a+5b=．【答案】1或-7【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．【详解】解：设a+5b=x，则原方程可变形为x x+6=7，整理得，x2+6x-7=0，x-1x+7=0，x-1=0，x+7=0，∴x=1，x=-7，即a+5b=1或-7，故答案为：1或-7．4(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程：(1)2x4-3x2-2=0；(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0．【答案】(1)x1=2，x2=-2(2)x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52【分析】(1)根据换元思想，设y=x2，则y=2或y=-12，由此即可求解；(2)设y=x2-x，则y=4或y=1，由此即可求解．【详解】(1)解：(1)设y=x2，则原方程化为2y2-3y-2=0，∴y=2或y=-12，当y=2时，x2=2，∴x1=2，x2=-2，当y=-12时，x2=-12，此时方程无解，∴原方程的解是x1=2，x2=-2．(2)解：设y=x2-x，则原方程化为y2-5y+4=0，∴y=4或y=1，当y=4时，x2-x=4，∴x1=1+172，x2=1-172，当y=1时，x2-x=1，∴x3=1+52，x4=1-52．∴原方程的解是x1=1+172，x2=1-172，x3=1+52，x4=1-52．【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2-3|x|-10=0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去)；②当x<0时，原方程化为x2+3x-10=0，解得x3=-5,x4=2(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=5,x2=-5．请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0．【答案】x1=2,x2=-1【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当x+1≥0，即x≥-1时，原方程化为x2-x+1-1=0，解得x1=2,x2=-1；②当x+1<0，即x<-1时，原方程化为x2+x+1-1=0，解得x3=0(舍去)，x4=-1(舍去)．综上所述，原方程的解是x1=2,x2=-1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0．【答案】x1=0，x2=-2【分析】对x+2进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当x+2≥0，即x≥-2时，方程变形得：x2+2(x+2)-4=0∴x2+2x=0∴x(x+2)=0∴x1=0，x2=-2；②当x+2<0，即x<-2时，方程变形得：x2-2(x+2)-4=0∴x2-2x-8=0∴(x+2)(x-4)=0∴x1=-2(舍去)，x2=4(舍去)∴综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-2．【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0．【答案】x1=1,x2=3【分析】分x≥-32与x<-32，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2x+1≥0，即x≥-32时，原方程可化为：x2-2(2x+3)+9=0整理得：x2-4x+3=0解得：x1=1,x2=3当2x+1<0，即x<-32时，原方程可化为：x2+2(2x+3)+9=0整理得x2+4x+15=0∵Δ=42-4×1×15=-44<0,∴此方程无实数解，综上所述，原方程的解为：x1=1,x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【答案】x1=-1+292，x2=-1-292【分析】根据题意分x-5≥0和x-5<0两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为x2-x+5-2=0，即x2-x+3=0，a=1,b=-1,c=3，∴Δ=b2-4ac=-12-4×1×3=-11<0，∴原方程无解，②当x-5<0时，即x<5时，原方程化为x2+x-5-2=0，即x2+x-7=0，a=1,b=1,c=-7，∴Δ=b2-4ac=12-4×1×-7=29>0x=-1±292×1解得：x1=-1+292，x2=-1-292．【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4，∵y+22≥0，∴y+22+4≥4∴当y =-2时，y 2+4y +8的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式x 2-6x +12的最小值；(2)【举一反三】若y =-x 2-2x 当x =________时，y 有最________值(填“大”或“小”)，这个值是________；(3)【灵活运用】已知x 2-4x +y 2+2y +5=0，则x +y =________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为15m )，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)3(2)-1；大；1(3)1(4)当BF =4m ，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m 2．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：(1)把原式利用配方法变形为x -3 2+3，再仿照题意求解即可；(2)把原式利用配方法变形为-x +1 2+1，再仿照题意求解即可；(3)把原式利用配方法变形为x -2 2+y +1 2=0，再利用非负数的性质求解即可；(4)设BF =xm ，则CF =2BF =2xm ，则BC =3xm ，进而求出AB =24-3x 3m ，则S 矩形ABCD =3x ⋅24-3x 3=-3x -4 2+48，据此可得答案．【详解】(1)解：x 2-6x +12=x 2-6x +9 +3=x -3 2+3，∵x -3 2≥0，∴x -3 2+3≥3，∴当x =3时，x 2-6x +12的最小值为3；(2)解：y =-x 2-2x=-x 2-2x -1+1=-x+12+1，∵x+12≥0，∴-x+12≤0，∴-x+12+1≤1，∴当x=-1时，y=-x2-2x有最大值，最大值为1，故答案为：-1；大；1；(3)解：∵x2-4x+y2+2y+5=0，∴x2-4x+4+y2+2y+1=0，∴x-22+y+12=0，∵x-22≥0，y+12≥0，∴x-22=y+12=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1；(4)解：设BF=xm，则CF=2BF=2xm，∴BC=3xm，∴AB=24-3x3m，∴S矩形ABCD =3x⋅24-3x3=-3x2+24x=-3x-42+48，∵x-42≥0，∴-3x-42≤0，∴-3x-42+48≤48，∵AD=BC=3x≤15，∴0<x≤5，∴当x=4时，S矩形ABCD最大，最大值为48，∴当BF=4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2．2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数【答案】B【分析】利用配方法表示出B-A，以及B=2A时，用含n的式子表示出x，确定x的符号，进行判断即可．【详解】解：∵A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，∴B-A=2x2+4x+n2-x2+6x+n2=2x2+4x+n2-x2-6x-n2=x2-2x=x-12-1；∴当x=1时，B-A有最小值-1；当B=2A时，即：2x2+4x+n2=2x2+6x+n2，∴2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2，∴-8x=n2≥0，∴x≤0，即x是非正数；故选项A,C,D错误，选项B正确；故选B．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c，且满足a2-10a+b2-16b+89= 0，则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13【答案】C【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，∴(a2-10a+25)+(b2-16b+64)=0，∴(a-5)2+(b-8)2=0，∵(a-5)2≥0，(b-8)2≥0，∴a-5=0，b-8=0，∴a=5，b=8．∵三角形的三条边为a，b，c，∴b-a<c<b+a，∴3<c<13．又∵这个三角形的最大边为c，∴8<c<13．故选：C．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．4(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值．解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2；∵无论x取何实数，都有(x+1)2≥0，∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2．【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______；【拓展应用】(2)试说明：无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；【创新应用】(3)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四边形ABCD的面积最大值．【答案】(1)8；(2)见解析；(3)25 2【分析】(1)利用配方法把2x2+4x+10变形为2(x+1)2+8，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；(2)利用配方法得到x2+x+2=x+122+74，则可判断x2+x+2>0，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD，由于BD=10-AC，则四边形ABCD的面积=12⋅AC⋅10-AC，利用配方法得到四边形ABCD的面积=-12(AC-5)2+252，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：(1)2x2+4x+10=2x2+2x+10=2x2+2x+1-1+10=2(x+1)2+8，∵无论x取何实数，都有2(x+1)2≥0，∴(x+1)2+8≥8，即x2+2x+3的最小值为8；故答案为：8；(2)x2+x+2=x+122+74，∵x+122≥0，∴x2+x+2>0，∴无论x取何实数，二次根式x2+x+2都有意义；(3)∵AC⊥BD，。
一元二次方程的解法(含答案)
一元二次方程的解法一、单选题(共14道，每道6分)1.方程的解是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直接开平方法2.若一元二次方程式的两根为，其中a，b为常数，则a+b之值为( )A. B.C.3D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直接开平方法3.用配方法解方程，则方程可变形为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：配方法4.用配方法解关于x的方程，此方程可变形为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：配方法5.用配方法解关于x的一元二次方程，此方程可变形为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：配方法6.用公式法解方程，下列代入公式正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：公式法7.用公式法解方程，下列代入公式正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：公式法8.方程的两根为( )A.6和-1B.-6和1C.-2和-3D.2和3答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解法9.若a，b为方程的两根，且，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：解一元二次方程—因式分解法10.在解下列一元二次方程时，四位同学分别观察了一下式子的结构，写出了自己认为求解最简单的方式，你更赞同谁的意见( )（1）；（2）；（3）；（4）；A.小花：配方法、配方法、分解因式法，分解因式法B.小强：配方法、公式法、分解因式法，公式法C.小明：配方法、公式法、分解因式法，分解因式法D.小李：公式法、配方法、公式法、分解因式法答案：C解题思路：对于方程（1），二次项系数为1，一次项系数为偶数，直接利用配方法较为简单；对于方程（2），二次项系数为1，一次项系数为奇数，且a，b，c代表的数据较小，选择公式法较为简单；对于方程（3），能够直接进行分解因式，选择分解因式法最简单；对于方程（4）含参方程，能够直接进行分解因式，，选择分解因式法最简单．试题难度：三颗星知识点：解一元二次方程11.方程，如果设，那么原方程可变形为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：换元法解一元二次方程12.对于高次方程，可以采用换元法设将方程降次，先求出y的值，再来求解x的值，则原方程解的个数有( )（相等的实数根记为有一个解）A.0个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：换元法解一元二次方程13.方程的解为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：高次方程的解法14.若实数x，y满足，则的值是( )A.-2或3B.2或-3C.-1或6D.1或-6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：换元法解一元二次方程。
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创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
一元二次方程解法练习题 姓名
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、0142
=-x 2、2)3(2
=-x 3、
()162812
=-x
二、
用配方法解下列一元二次方程。
1、.0662=--y y
2、x x 4232=-
3、
9642=-x x
4、0542=--x x
5、01322=-+x x
6、
07232=-+x x
三、
用公式解法解下列方程。
1、0822=--x x
2、2
2
314y y -
= 3、y y 32132=+
4、01522=+-x x
5、1842-=--x x
6、
02322=--x x
四、
用因式分解法解下列一元二次方程。
1、x x 22=
2、0)32()1(22=--+x x
3、
0862=+-x x
4、22)2(25)3(4-=+x x
5、0)21()21(2=--+x x
6、
0)23()32(2=-+-x x
五、用适当的方法解下列一元二次方程。
(选用你认为最简单的方法)
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1、()()513+=-x x x x
2、x x 5322
=- 3、
2260x y -+=
4、01072=+-x x
5、()()623=+-x x
6、
()()03342
=-+-x x x
7、()02152
=--x 8、0432=-y y 9、
03072=--x x
10、()()412=-+y y 11、()()1314-=-x x x 12、
()025122=-+x
13、2
2244a b ax x -=- 14、36
31352
=+
x x 15、()()213=-+y y
16、)0(0)(2
≠=++-a b x b a ax 17、
03)19(32=--+a x a x
18、012=--x x 19 、02932=+-x x 20、
02222=+-+a b ax x
21、 x 2+4x -12=0 22、030222=--x x 23、
01752=+-x x
24、1852
-=-x x 25、3x 2+5(2x+1)=0 26、
x x x 22)1)(1(=-+
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解答题：
1、已知一元二次方程0132=-+-m x x .
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围. （2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根
2、已知方程2（m+1）x 2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m 的值．
（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程的一个根为0． 3、无论m 为何值时，方程04222=---m mx x 总有两个不相等的实数根吗？给出答案并说明理由
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