内外接球的知识点专题(学案)
高中数学——内切球与外接球(学案)
内切球与外接球讲高考纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一，高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答。
从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目。
分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理、下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究，以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路，力争在这部分内容不失分。
从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.1球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。
1.1球与正方体如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，E 、F 、H 、G 为棱的中点，O 为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，则2OG R ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则1A O R '==常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题。
(1)正方体的内切球，如图1。
位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r a =。
高中数学外接球、内切球教学设计详案
立体几何外接球、内切球问题一、教学分析：纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答•从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目•分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见•此部分是重点也是一个难点，建议分两个课时，第一个课时以基础的方法为主，第二个课时在第一课时的基础上进行总结整理并拓展。
二、学情分析：学生在高一必修二教材系统的学习了立体几何，这部分内容本身对知识掌握的要求就比较高，又是难点，再加上疫情原因，很多同学不能系统了解和掌握，而一部分学生也只能解决长方体的外接球问题，稍复杂一点就不会。
三、教学目标：知识与技能：学生学会用构造法解决空间几何体的外接球、内切球问题。
过程与方法：学生建立空间感，体会转化数学思想方法。
情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。
四、教学重点：学会转化、数形结合的思想方法。
五、教学难点：构造法的要点。
六、教学过程分析问：如果是正方体，它的体对角线长和棱长什么关系2.复习圆柱的外接球问题问：一个球满足什么条件，我们把它叫做这个圆柱的外接球问：球心的位置在哪问：如果给出圆柱的底面半径和母线长，怎么求它外接球的半径问：一个球满足什么条件，我们把它叫做这个圆锥的外接球 问：球心的位置在哪 问：如果给出圆锥的底面半径和母线长，怎么求它外接球的半径 方程：先算出H其实我们一直是在求它们截面的外接圆的半径，长方体对角面矩形的 顶点都在球面上，长方体对角面长方形外接圆的直径也就是这个长方 体外接球的直径，圆柱和圆锥我们解是它们轴截面图形外接圆的半径, 把求一个空间几何体外接球半径问题转化为求一个截面图形外接圆半.复习圆锥的外接球问题O径问题的过程这就是我们所说的立体问题平面化三角形的外接圆半径除了刚才同学想到在直角三角形中用勾股定理列 方程的方法，还有什么方法回想一下解三角形那一章正弦定理：比较正弦定理，不用确定外接圆的圆心知道么）活动二:问题三棱锥的三条棱PA, PB, PC 两两垂直，PA 1, PB 2, PC 3,则其外接球的半径为问：三棱锥的的顶点和长方体的顶点之间什么关系它们的外接球是不是相同的问：球心在哪，半径怎么求（求长方体体对角线长需要长方体的长宽高，这几个量我们现在解决一个 几何体的 外接球可 能有多种 办法，让 学生发挥 想象，提 出各种方 法，通过 比较生成 对结合体 外接球问 题的认 识。
外接球与内切球专题
【典例 1】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积 为 16，可求得底面边长为 2，故球的直径为 22＋22＋42＝2 6，半径为 6， 球的表面积为 24π，故选 C。
【答案】 C
【小结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的三视图如图所示，则它的外接球的表 面积为( )
A．16π C．8π
B．4π D．2π
【解析】 由三视图可知该三棱锥的高为 1，底面为一个直角三角形， 由于底面斜边上的中线长为 1，则底面外接圆的半径为 1，顶点在底面上 的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆 的半径相等，则三棱锥的外接球的半径 R 为 1，则三棱锥的外接球的表 面积 S＝4πR2＝4π，故选 B。
【答案】 B
二、构造长方体或正方体确定球心 1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角 形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱 锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方 体； 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正 方体。
5 2 4π× 2 2＝50π。故选 D。
【答案】 D
三、由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O′的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中 点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
【典例 3】 正三棱锥 A－BCD 内接于球 O，且底面边长为 3，侧 棱长为 2，则球 O 的表面积为________。
第08讲 拓展一：空间几何体内接球与外接球问题 (讲)(含答案解析)
第08讲拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(讲）第08讲拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(精讲）高频考点一：空间几何体的内切球问题建立模型球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P ABCD -中，内切球为球O ，求球半径r ．方法如下：P ABCD O ABCD O PBC O PCD O PAD O PABV V V V V V ------=++++即：1111133333P ABCD ABCD PBC PCD PAD PAB V S r S r S r S r S r -=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，可求出r ．典型例题例题（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）1．在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面,90ABC ABC ∠= ，且3,4,5SA AB AC ===，若球O 在三棱锥S ABC -的内部且与四个面都相切（称球O 为三棱锥S ABC -的内切球），则球O 的表面积为（）A ．169πB ．49πC ．3227πD ．1681π【答案】A解：因为SA ⊥平面,90ABC ABC ∠= ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA AB ⊥，SA AC ⊥，SA BC ⊥，又,BC AB SA AB A ⊥= ，所以BC ⊥平面SAB ，所以BC SB ⊥，所以,,SAB ABC SAC SBC ，均为直角三角形，设球O 的半径为r ，则()1+++3S ABC SAB CAB SAC SBC V S S S S r -=⋅ ，而11334632S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，11156,35222SAB CAB SAC SBC S S SA AB S S ==⋅===⨯⨯= ，所以115156+6++6322r ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得23r =，所以球O 的表面积为221644239r S πππ⎛==⨯=⎫ ⎪⎝⎭，故选：A ．例题（2022·全国·高一）2．某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________．【答案】12π解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为MNG 的中心，因为6MN =，所以MNG 内切圆的半径13r OH MH ====即内切球的半径R 2412S R ππ==，又正三棱柱的高12AA R ==所以23OM OH ==AO =所以A 到球面上的点的距离最小值为AO R -故答案为：12π例题（2022·全国·高一专题练习）3．如图，直三棱柱111ABC A B C -有外接圆柱1OO ，点O ，1O 分别在棱AB 和11A B 上，4AB =．（1）若AC BC =，且三棱柱111ABC A B C -有一个内切球，求三棱柱111ABC A B C -的体积；【答案】（1）)161-（1）O ，1O 是圆柱的上下底面圆心，而且点O ，1O 分别在棱AB 和11A B 上，由此可知ABC 是AB 为斜边的直角三角形．4,AB AC BC =∴==11422ABC S AC BC =⋅=⨯= 设ABC 的内切圆的半径为r ，则由等面积法，可知：()1122AB BC AC r AC BC ++⋅=⋅，)21r ∴=，故三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径也是)21，故三棱柱的高)241h r ==，进而三棱柱111ABC A B C -的体积))441161ABC V S h =⋅=⨯-=- ．题型归类练（2022·全国·高一）1．已知点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等，球O 是直三棱柱111ABC A B C -的内切球，若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥1A ABC -的体积为（）A ．43B ．163C ．3D ．3（2022·湖南·高一期末）2锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.（2022·全国·高三专题练习（文））3．若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，则球O 的半径与正四棱锥P ABCD -内切球的半径之比为__________.（2022·广西玉林·模拟预测（理））4．若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法建立模型正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点（1）设长方体一个顶点出发的三条边长分别为a ，b ，c ，则外接球半径2r =；（2）设正方体边长为a ，则外接球半径2r a =；典型例题例题（2022·贵州黔西·高二期末（理））1．若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．【答案】29π由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以2222(2)42329R =++=，所以2294R =所以外接球的表面积2429S R ππ==．故答案为：29π例题（2022·新疆·乌苏市第一中学高一期中）2．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则此正方体外接球的表面积是______．【答案】12π因为正方体的体对角线长度等于长方体外接球的直径，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以正方体外接球的直径为则该正方体外接球的表面积是2412ππ==S r ．故答案为：12π．题型归类练（2022·全国·高一期末）5．正方体的外接球与内切球的表面积之比是（）A ．13B ．3C ．D （2021·河北·深州长江中学高三期中）6．已知某正方体外接球的表面积为3π，则该正方体的棱长为______．（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）7．已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）建立模型①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB CD =，AD BC =，AC BD =）典型例题例题（2022·全国·高一）1．若三棱锥-P ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA PB PC ===则其外接球的表面积为（）（）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π【答案】A侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA PB PC ===PA ，PB ，PC 作为正方体的棱长，如图：设外接球的半径为R ，则正方体的对角线的长2R =所以R =，所以外接球的表面积为246S R ππ==．故选：A例题（2022·江苏·南京师大附中高一期末）2．在三棱锥-P ABC 中，5PA BC ==，PB AC ==PC AB ==锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________．【答案】26π由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示：记该长方体的棱长为,,a b c ，则222222101725a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，即22226a b c ++=，所以r =，23442633S r V r πππ====，．故答案为：26π题型归类练（2022·辽宁·本溪高中高一阶段练习）8．已知正三棱锥S ABC -，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A ．πB ．3πC ．6πD ．9π（2022·安徽·高一阶段练习）9．鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A BCD -是一鳖臑，其中AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC CD ⊥，AC CD ⊥，且3BC DC ==，4AB =．则三棱锥A BCD -外接球的表面积是（）A．25πB ．34πC ．100πD ．3（2022·河北·沧县中学高一期中）10．三棱锥-P ABC 中，已知,,PA PB PC 两两垂直，且1,2PA PB PC ===，则三棱锥-PABC 的外接球的表面积为___________.（2022·贵州·清华中学高三阶段练习（理））11．四棱锥ABCD 中，2,======AB CD AD BC AC BD A ，B ，C ，D 的外接球的表面积是__________．模型3：单面定球心法（定+算）建立模型单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥-P ABC 中，选中底面ABC ∆，确定其外接圆圆心1O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sin ar A=）；②过外心1O 做（找）底面ABC ∆的垂线，如图中1PO ⊥面ABC ，则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO 上）1PO 上；③计算求半径R ：在直线1PO 上任取一点O 如图：则OP OA R ==，利用公式22211OA O A OO =+可计算出球半径R ．典型例题例题（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）1．在四面体ABCD 中，,ABD BCD 都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则该四面体外接球的表面积为_________．【答案】203π依题意作图，取BD 的中点P ，连接AP ，CP ，取ABD △的中心E ，BCD △的中心G ，分别作平面ABD 和平面BCD 的垂线，得交点H ，则H 点就是四面体ABCD 外接球的球心，CH 就是球的半径r ，AP CP HG PE CG =====，222253r CH CG GH ==+=，外接球的面积为22043S r ππ==；故答案为：203π．例题（2023·山西大同·高三阶段练习）2．球内接直三棱柱1111,1,120,2ABC A B C AB AC BAC AA -===︒∠=，则球表面积为___________．【答案】8π设三角形ABC 和三角形111A B C 的外心分别为D ，E ．可知其外接球的球心O 是线段DE 的中点，连结OC ，CD ，设外接球的半径为R ，三角形ABC 的外接圆的半径r ，1,120,AB AC BAC =∠=︒=可得BC =，由正弦定理得，21sin120r r ︒=∴=，而在三角形OCD 中，可知222||||||CO OD CD =+，即2212R r =+=，因此三棱柱外接球的表面积为248S R ππ==．故答案为：8π例题（2022·广西贺州·高一期末）3．已知ABC ∆的三个顶点都在球O 上，AC BC ⊥，2AC BC ==，且三棱锥3O ABC V -=，则球O 的体积为（）A ．π3B ．32π3C ．π3D ．36π【答案】D△ABC 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，则AB =取AB 中点H ，连接OH ，则点H 为△ABC 所在小圆圆心，OH ⊥平面ABC则112232O ABC V OH -=⨯⨯⨯⋅，解之得OH则球O 的半径3OA 则球O 的体积为34π3=36π3⋅故选：D例题（2022·河南开封·高二期末（理））4．已知球O 为三棱锥D ABC -的外接球，球O 的体积为256π3，正三角形ABC 的外接圆半径为D ABC -的体积的最大值为______．【答案】设ABC 外接圆的圆心为1O ，因为正三角形ABC 的外接圆半径为23，即123O B =，由正弦定理243sin 60ACR ==︒，得6AC =，所以166sin 60932ABC S =⨯⨯⨯︒= ，要使三棱锥D ABC -的体积最大，则1O D ⊥平面ABC ，且球心O 在线段1O D 上，因为球O 的体积为34π256π33R =，所以球O 的半径为4R =．在1Rt OO B 中，由勾股定理得221116122OO R O B =-=-=，所以三棱锥D ABC -体积的最大值()()111932418333ABC V S OO R =⋅+=⨯⨯+=△．故答案为：183题型归类练（2022·河北·衡水市第十三中学高一阶段练习）12．在正四棱锥P ABCD -中，4AB =，6PA =，则平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面面积是（）A ．655πB ．365πC ．12πD ．36π（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））13．已知三棱锥S ABC -中，平面SAC ⊥平面ABC ，且AB AC ⊥，30SCA ∠=︒，若4AB SA ==，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（）A ．64πB ．128πC ．40πD ．80π（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）14．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且3a =，π3A =．又点A ，B ，C 都在球O 的球面上，且点O 到平面ABC 5O 的体积为（）A ．642π3B 635π3C ．643π3D 636π3（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））15．已知点,,,A B C D在同一个球的球面上，1AB =，BC =，2AC =，若四面体ABCD）A ．14425πB ．24825πC ．57625πD ．67625π（2022·全国·高三专题练习）16．已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.模型4：双面定球心法（两次单面定球心）建立模型如图：在三棱锥-P ABC 中：①选定底面ABC ∆，定ABC ∆外接圆圆心1O ②选定面PAB ∆，定PAB ∆外接圆圆心2O ③分别过1O 做面ABC 的垂线，和2O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O ．典型例题例题（2022·全国·高三专题练习）1．已知点A ､B ､C ､D 都在球O 的球面上，AB AC =，BCD ∆是边长为1的等边三角形，AD 与平面BCD 所成角的正弦值为3，若2AD =，且点D 在平面BCD 上的投影与D 在BC 异侧，则球O 的表面积为（）A ．πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】B由题设，若E 是BC 的中点，则O '是△BCD 的中心，连接DE ，如图示：由题设知：DE BC ⊥，AE BC ⊥，又AE DE E = ，则BC ⊥面AED ，而BC ⊂面BCD ，即面BCD ⊥面AED ，过A 作AF ⊥面BCD ，则F 必在直线DE 上，易知：ADF ∠为AD 与平面BCD 所成角的平面角，又AD 与平面BCD ，2AD =，可得DF =．过O '作OO DE '⊥交AD 于O ，易知：OD OB OC ==，而O D '=12O D DF '=，又//AF OO '，故O 为AD 的中点，OD OA =，∴OD OB OC OA ===，即O 是球心，故球O 的半径为1，∴球O 的表面积为4π．故选：B例题（2022·全国·高三专题练习（理））2．已知平面四边形ABCD 中，4AB AD BD =====，现沿BD 进行翻折，使得A 到达A '的位置，连接A C '，此时二面角A BD C '--为150°，则四面体A BCD '外接球的半径为（）A ．3B ．3C D ．3【答案】C解：取BD 的中点E ，连接A E '，CE ，因为4AB AD BD =====即BC CD ==所以CE BD ⊥，A E BD '⊥，A EC '∠即为二面角A BD C '--的平面角，且90BCD ∠=︒，所以BCD △外接圆的圆心为E ，设A BD ' 外接圆的圆心为1O ，则1O E =过点1O ，E 分别作平面A BD '，平面BDC 的垂线，交于点O ，则O 即为四面体A BCD '外接球的球心．因为二面角A BD C '--的平面角为150︒，即150A EC '∠=︒，则160∠=︒OEO ．在1Rt OO E △中，3cos603OE ==︒，连接OB ，则OB 即为外接球的半径R ，则2222283R OB OE BE ==+=，即3R =，故选：C ．题型归类练（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）17．一边长为4的正方形ABCD ，M 为AB 的中点，将AMD ，BMC △分别沿MD ，MC 折起，使MA ，MB 重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为（）．A ．763πB ．48πC ．81πD ．9（2022·广东梅州·高一阶段练习）18．如图，在三棱锥-P ABC ，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且CB =AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为（）AB ．10πC ．9πD ．(4π+参考答案：1．B【分析】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，内切球O 的半径为r ，通过内切球的半径可求出h ，再求得ABC S ，由体积公式即可求解三棱锥1A ABC -的体积．【详解】解：设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，内切球O 的半径为r ，则h ＝2r ，由题意可知球O 的表面积为2164r ππ=，解得r ＝2，∴h ＝4，又△ABC 的周长为4，即a ＋b ＋c ＝4，∴连接OA ，OB ，OC ，111,,OA OB OC 可将直三棱柱111ABC A B C -分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，∴由体积相等可得直三棱柱111ABC A B C -的体积为ABC S h ＝13ahr ＋13bhr ＋13chr ＋2×13ABC S r ，即4ABC S ＝13（a ＋b ＋c ）hr ＋43ABC S ，∴ABC S ＝4，∴三棱锥1A ABC -的体积为13ABC S h ＝13×4×4＝163．故选：B ．2．4π【分析】根据已知先求母线长，再结合轴截面可得半径，然后可得.【详解】有题意可知，PA π⋅=，所以PA =所以，圆锥的轴截面是边长为23的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以tan 3tan 301R OD AD OAD ==⋅∠=⨯︒=，所以该圆锥的内切球的表面积为4π.故答案为：4π331+##13+【分析】根据外接球的性质，结合正四棱锥的性质、内切球的性质进行求解即可.【详解】设外接球半径为R ，由题意可知，OA =OB =OC =OD =OP =R ，设四棱锥P -ABCD 的内切球半径为r ，设正方形ABCD 的边长为a ，因为底面ABCD 过球心O 2222a a R a R +=⇒=，2222116()2242R a R R R +=+⋅=，设该正四棱锥的表面积为S ，由等体积法可知：2211161(224)(2),(31)33223V Sr R R r R R R r ==+⋅⨯==+，314．6435)3π【分析】利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径，从而可求出其体积【详解】因为正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，球的半径为4，所以4OA OB OC OD OP =====，所以42AB BC CD DA PA PB PC PD ========，所以正四棱锥P ABCD -的表面积为((22432S =+=，正四棱锥P ABCD -的体积为(21128433V =⨯⨯=设正四棱锥P ABCD -内切球的半径为r，则1112832)333V Sr r ==+=，解得1)r =，所以该四棱锥内切球的体积为334464(35)1)333r ππ⎡⎤=⨯=⎣⎦，故答案为：645)3π5．B【分析】设正方体的棱长为a ，求出其外接球的半径和内切球的半径，再根据表面积公式可得结果.【详解】设正方体的棱长为a，则其外接球的半径为2a ，内切球的半径为12a ，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是224142a ππ⎫⋅⎪⎝⎭⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3=.故选：B 6．1【分析】根据球的表面积公式，求得球的半径，结合正方体的对角线长等于外接球的直径，列出方程，即可求解.【详解】设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，2R =，由243R ππ=，可得R22=⨯，解得1a =．故答案为：1．7．12π【分析】由于正方体的外接球直径等于正方体的体对角线，所以求出正方体的体对角线的长，可求出球的半径，从而可求出外接球的表面积【详解】解：设正方体外接球的半径为R ，则由题意可得()2222222212R =++=，即2412R =，所以外接球的表面积为2412R ππ=，故答案为：12π8．C【分析】根据题意，把三棱锥S ABC -外接球的半径，进而求得外接球的表面积，即可求解.【详解】由题意，正三棱锥S ABC -此三棱锥S ABC -的正方体，三棱锥S ABC -设正方体的外接球的半径为R ，可得2R =，即R =，所以此三棱锥的外接球的表面积为224π4π6πS R ==⨯=⎝⎭.故选：C.9．B【分析】结合长方体外接球的性质可知三棱锥A BCD -外接球的直径为AD ，进而可得结果.【详解】易得三棱锥A BCD -外接球的直径为AD ，则AD ，故三棱锥A BCD -外接球的半径R =所以24342S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎪ ⎭⎝，故选：B.10．9π【分析】将三棱锥-P ABC 放在长方体中，则长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，即可求解.【详解】以线段,,PA PB PC 为相邻的三条棱为长方体，连接AB ,BC ,AC ,即为三棱锥-P ABC ，∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，∴则其外接球直径为长方体对角线的长，设外接球的半径为R ，则2222222(2)1229R PA PB PC =++=++=,解得32R =,则294π4π9π4S R ==⨯=.故答案为:9π.11．13π【分析】由题意将此四棱锥补成一个长方体，则经过A ，B ，C ，D 的外接球即为长方体的外接球，然后求出长方体的对角线的长即可得外接球的直径，从而可求出其表面积【详解】解：因为四棱锥ABCD 的对棱相等，所以将四棱锥ABCD 补成如图所示的长方体，则经过A ，B ，C ，D 的外接球即为长方体的外接球，所以球的直径为长方体的对角线的长，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，因为2,======AB CD AD BC AC BD ，所以22222241012a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得13a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以球的半径r =所以球的表面积为2244132r πππ=⨯=⎝⎭，故答案为：13π12．B【分析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积.【详解】如图，作PO '⊥平面ABCD ，垂足为O '，则O '是正方形ABCD 外接圆的圆心，从而正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，取棱AB 的中点E ，连接,,,O D O E OD PE ''，作OH PE ⊥，垂足为H .由题中数据可得2,4O D O E PE O P '''====，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则()22222R O D O O OP O P O O =+='-'=''，即()22284R O O O O =+='-'，解得3R =.由题意易证OPH EPO ' ∽，则PH OPO P PE='，故PH =故所求截面圆的面积是236ππ5PH ⋅=.故选：B 13．D【分析】三棱锥补成三棱柱，问题转化为三棱柱的外接圆，利用球心到底面圆的距离为12AB ，截面圆的半径为12sin 30SA ⋅︒，由222R d r =+求球半径即可.【详解】由题意得，BA ⊥平面SAC ，将三棱锥补成三棱柱11SAC S BC -，如图，则三棱柱11SAC S BC -的外接球即为所求.设外接球的球心为O ，则SAC 的外心为1O ，则1122OO AB ==，又1142sin SAO A SCA=⨯=∠，则外接球的半径R =表面积2480S R ππ==，故选：D 14．A【分析】依据截面圆半径和球心距即可求得球半径，进而求得球O 的体积.【详解】ABC的外接圆半径2sin 2ar A===则球O 的半径2R=则球O 的体积为(3344πR π33V ===3故选：A 15．D【分析】由已知得到ABC 为直角三角形，得到ABC 所以直角ABC 所在截面小圆的半径1r =，设点D 到平面ABC 的距离为h ，结合题意求得5h =，设四面体ABCD 的外接球半径为R ，球心O 到截面的距离为d ，当D 到底面ABC 距离最远时，即h R d =+时，求得135R =，进而求得球的表面积.【详解】由1,2AB BC AC ===，可得222AB BC AC +=，所以ABC 为直角三角形，其面积为112S ==，所以直角ABC 所在截面小圆的半径112r AC ==，设点D 到平面ABC 的距离为h ，因为四面体ABCD 体积取得最大值为6，所以113263D ABC ABC S h h V -=⨯==⨯ ，解得5h =，设四面体ABCD 的外接球半径为R ，球心O 到截面的距离为d ，当D 到底面ABC 距离最远时，即h R d =+时，四面体ABCD 的体积取得最大值，因为d ==5R +=，解得135R =，所以球的表面积为2136764525S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D.16．5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设BDC 的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，可得223(3)R R =+-，解得2R =，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】解：如图，设BDC 的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，则123sin 603O D =︒⨯=13AO =，在Rt 1OO D 中，223(3)R R =+-，解得2R =，6BD BE = ， 2.5DE ∴=，在1DEO 中，12O E ==，OE ∴===过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，，最小面积为54π，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．∴所得截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．17．A【分析】先判断出MA ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形.利用球内截面的性质，过△ACD 的中心O1作平面ACD 的垂线l1，过线段MC 的中点O2作平面MAC 的垂线l2，记12l l O =∩，则O 即为三棱锥M 一ACD 外接球的球心.利用勾股定理求出半径R ，即可求出外接球的表面积.【详解】如图所示，由图可知在四面体A -CDM 中，由正方形,ABCD M 为AB 的中点，可得MA ⊥AD ，MA ⊥AC ，AC ∩AD =A ，故MA ⊥平面ACD .将图形旋转得到如图所示的三棱锥M -ACD ，其中△ACD 为等边三角形，过△ACD 的中心O1作平面ACD 的垂线l1，过线段MC 的中点O2作平面MAC 的垂线l2，由球内截面的性质可得直线l1与l2相交，记12l l O =∩，则O 即为三棱锥M 一ACD 外接球的球心.设外接球的半径为R ，连接OC ，O1C ，可得111O C ==.在Rt △OO1C 中，222211193OC OO O C R =+==，故该外接球的表面积219764433S R πππ==⨯=.故选：A.18．B【分析】由题作出图形，易得PAC △外接圆圆心在AC 中点，结合正弦定理可求ABC 外接圆半径，结合图形知，()()222222R AO AO OO ==+，再结合二面角大小求出2OO ，进而得解.【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，所以PAC △的外心在AC 中点，设为2O ，设ABC 的外心为1O ，BC 中点为E ，11AO r =，因为AB AC ==，所以1O 必在AE 连线上，则123sin AB ABr AEC AC===，即132r =，因为两平面交线为AC ，1O 为平面ABC 所在圆面中心，所以12O O AC ⊥，()221212O O r AO =-又因为二面角P AC B --的大小为120︒，2PO AC ⊥，所以2121120,30PO O OO O ∠=︒∠=︒，所以2121OO O O =⨯，锥体-P ABC 外接球半径()()2222222512R AO AO OO ==+=+=⎝⎭，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为2410S R ππ==，故选：B。
外接球和内切球问题总结归纳
外接球和内切球问题总结归纳外接球和内切球问题总结归纳在几何学中，外接球和内切球问题是一个重要的概念。
它们不仅在数学领域有着重要的应用，同时也被广泛运用在物理学、工程学以及计算机科学等领域。
本文将对外接球和内切球问题进行深入探讨，从基础概念到应用实例，帮助读者全面理解这一主题。
一、外接球和内切球的定义1. 外接球外接球是指一个球与给定的多边形的所有顶点相切于球面的情况。
在数学中，外接球常常与三角形、四边形等几何图形相关联，其特点是与多边形的各个顶点相切，并且球心通常位于多边形的某个重要位置。
2. 内切球内切球则是指一个球完全被给定的多边形所包围，且球与多边形的边界相切。
在实际应用中，内切球往往能够最大化地利用多边形所包围的空间，因此在工程设计和优化问题中具有重要意义。
二、外接球和内切球的性质1. 外接球的性质外接球的半径通常与多边形的边或者角有着特定的关系。
以三角形为例，外接圆的半径等于三角形三条边的乘积除以其周长的两倍。
这一性质在计算三角形的外接圆时具有重要意义，同时也为几何问题的解决提供了基础。
2. 内切球的性质内切球的半径与多边形的边界有着紧密的联系。
以正方形为例，内切圆的半径等于正方形的边长的一半。
这一性质在优化问题中有着重要的应用，能够帮助设计者最大化地利用空间，提高效率和节约成本。
三、外接球和内切球的应用1. 工程设计外接球和内切球在工程设计中有着广泛的应用。
例如在建筑设计中，内切球可以帮助设计者合理利用建筑空间，提高使用效率；在机械设计中，外接球则可以帮助设计者确定零部件的匹配度和适用性。
2. 计算机科学外接球和内切球也在计算机科学领域有着重要的应用。
例如在计算机图形学中，外接球和内切球经常被用来描述物体的外形和几何特征，同时也可以用于物体的碰撞检测和三维建模。
个人观点和总结外接球和内切球作为一个基础的数学概念，在几何学、工程学和计算机科学等领域有着重要的应用。
通过对外接球和内切球的定义、性质和应用进行深入探讨，我们可以更好地理解其在实际问题中的作用和意义，进一步拓展其在更多领域的应用。
高中数学外接球教案模板
教学目标：1. 理解外接球的概念，掌握求外接球半径的方法。
2. 通过实例，学会运用几何知识解决实际问题。
3. 培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 外接球的概念2. 求外接球半径的方法教学难点：1. 理解外接球与内切球的关系2. 运用几何知识解决实际问题教学过程：一、导入1. 提问：什么是球的内接体？什么是球的外接体？2. 引入外接球的概念：如果一个多面体的所有顶点都在一个球的球面上，那么这个球称为该多面体的外接球。
二、新授课1. 讲解外接球的概念，结合实例让学生理解。
2. 介绍求外接球半径的方法：a. 利用球心到多面体顶点的距离相等求半径；b. 利用几何关系，如勾股定理、相似三角形等求半径；c. 利用长方体、正方体等特殊几何体的性质求半径。
3. 通过实例讲解，让学生掌握求外接球半径的方法。
三、课堂练习1. 完成以下练习题，巩固所学知识：a. 已知一个正方体的棱长为a，求其外接球的半径。
b. 已知一个正四面体的棱长为a，求其外接球的半径。
c. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其外接球的半径。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调外接球的概念和求半径的方法。
2. 引导学生总结外接球与内切球的关系。
五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 预习下一节课内容。
教学反思：本节课通过讲解外接球的概念、求半径的方法，并结合实例进行讲解，让学生掌握了求外接球半径的基本技能。
在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重学生的空间想象能力培养，引导学生从几何图形中抽象出外接球的概念。
2. 通过实例讲解，让学生理解外接球与内切球的关系，提高学生的逻辑思维能力。
3. 在课堂练习环节，注重培养学生的动手能力和解题技巧。
4. 课后作业布置要合理，既要巩固所学知识，又要培养学生的自主学习能力。
高中数学外接球教案人教版
高中数学外接球教案人教版
教学目标：
1. 了解外接球的概念和性质；
2. 掌握外接球的相关公式和定理；
3. 能够解决外接球相关问题。
教学重点：
1. 外接球的定义和性质；
2. 外接球的相关公式和定理。
教学难点：
1. 球内一点到球上一点的距离的求解；
2. 外接球相关问题的解决。
教学方法：讲授相结合，示例分析，让学生举一反三。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾球的相关概念和性质，让学生回想在空间几何中的球的性质，为外接球的学习做铺垫。
二、讲解外接球的概念和性质（15分钟）
1. 教师讲解外接球的定义和性质，引导学生理解外接球与圆的关系；
2. 教师介绍外接球的相关公式和定理，让学生掌握外接球的求解方法。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生进行外接球相关练习，如求球内一点到球上一点的最短距离；
2. 学生互相讨论，解决外接球相关问题。
四、课堂小结（5分钟）
教师对本节课学习的重点、难点进行总结，梳理外接球的相关知识，并强调学生在课后要进行相关练习。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固学生对外接球的理解和运用。
教学反思：
通过本节课的学习，学生应该已经掌握了外接球的概念和性质，对外接球的相关公式和定理有了一定的了解。
学生在课后应该进行适当的练习，巩固所学知识。
在以后学习空间几何的过程中，要能够灵活运用外接球相关知识，解决空间几何问题。
空间几何体的外接球和内切球问题讲课教案
空间几何体的外接球和内切球问题空间几何体的外接球和内切球问题类型1 外接球的问题1.必备知识：(1)简单多面体外接球的球心的结论.结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.(2)构造正方体或长方体确定球心.(3)利用球心O 与截面圆圆心O 1的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.2.方法技巧：（1）几何体补成正方体或长方体.（2）轴截面法（3）空间向量法1AB DC AD BC BD AC ======例1-1、正四面体的棱长都为，求此四面体外接球和内切球的半径例1-2、四面体中，， 求此四面体外接球的表面积 例1-3．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ）A.3B.6C.36D.9训练1（创新110页） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A.25πB.26πC.32πD.36π训练2（创新110页）已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC ＝π2，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( ) A.3π B.4π C.5π D.6π例2-1（创新110页）体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为( ) A.773π B.2873π C.19193π D.76193π 例2-1（创新109页）三棱锥P －ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π 类型2 内切球问题1.必备知识：(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合. (3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.【例3】 体积为4π3的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________. 空间几何体的外接球和内切球问题近几年高考题1、（2019全国1卷第12题）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ． D2、（2018全国3卷第10题）．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2017全国1卷第16题）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为______．4、（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A.πB.3π4 C.π2 D.π4 5、（2016年全国1卷第6题）．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是 ( )（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π6、（2016年全国3卷第10题）在封闭的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是( ) (A)4π (B)9π2 (C)6π (D)32π37、（2015年全国1卷第11题）．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）（A ） 1 （B）2 （C ）4 （D ）88、（2015年全国2卷第9题）．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π 7.(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B.16πC.9πD.27π49、（2013年课标1卷第6题）、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 310、（2012课标卷第11题）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 26 ()B 36 ()C 23 ()D 2211、（2011课标卷第15题）已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。
球的内切和外接问题PPT教案学习
的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积为
8
解
：
9
设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有8
6 6
x
3, 3 4
x2
h,
x
h
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离
.∴外接球的半径
R
r2
d2
2
1,V球
4 3
.
d 3 2
小结 本题是运用公式 R2 r2 d2求球的半径的，该公式是求球
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个 多面体的外接球
。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个 多面体的内切球 。
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图1
图2
图3
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球与棱柱的组合体问题
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
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一、直接法
A
C
O
1、求正方体的外接球的有关问题 A1
C1
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
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二、构造法
1、构造正方体
例2、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长
a2
3 3
a2
2 a3 12
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【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外
球的内切与外接问题讲课
综合应用举例
例1
解
已知一个三角形的三边长度，求其内切圆 半径和外接圆半径。
首先利用海伦公式求出三角形面积，再结 合半周长计算内切圆半径。对于外接圆半 径，可以通过正弦定理或余弦定理求解。
例2
解
给定一个正多边形，求其内切圆与外接圆 的半径比。
根据正多边形的性质，其所有内角相等， 且每条边与内切圆相切。由此可推导出内 切圆半径与外接圆半径的比例关系。
体对角线的长度来求解外接球的半径。
解答
03
长方体的体对角线长为$sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = sqrt{50} =
5sqrt{2}$，因此其外接球的半径为$frac{5sqrt{2}}{2}$。
典型例题分析与解答
例题2
分析
已知一个正四面体的棱长为$a$，求其 外接球的半径。
正四面体的外接球半径可以通过构造 一个包含该正四面体的正方体来求解 。
长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之和的倒数的一半，即 r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
解答
根据内切球的定义和性质，我们知道长方体的内切球半径等于长方体相邻三条棱的倒数之 和的倒数的一半。所以，r=1/[(1/l)+(1/w)+(1/h)]。
典型例题分析与解答
例题3
分析
解答
解答
构造一个棱长为$frac{sqrt{2}}{2}a$的 正方体，则该正方体的体对角线长等 于正四面体的外接球直径，即$2R = sqrt{(frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2 + (frac{sqrt{2}}{2}a)^2} = frac{sqrt{6}}{2}a$，因此正四面体的 外接球半径为$frac{sqrt{6}}{4}a$。
玩转外接球、内切球、棱切球(最新人教版优质教案)( 含解析 )
玩转外接球、内切球、棱切球【考点预测】知识点一:正方体、长方体外接球1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3.补成长方体(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．(3)正四面体P -ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长a =PA 2，如图3所示． (4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1 图2 图3 图4知识点二:正四面体外接球如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为22a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为R =22a ⋅32=64a ，即正四面体外接球半径为R =64a ．知识点三:对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD 中，AB =CD =m ，AC =BD =n ，AD =BC =t ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为a ,b ,c ，则b 2+c 2=m 2a 2+c 2=n 2a 2+b 2=t 2，三式相加可得a 2+b 2+c 2=m 2+n 2+t 22,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则a 2+b 2+c 2=4R 2，所以R =m 2+n 2+t 28．知识点四:直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形)图1图2图3第一步：确定球心O的位置，O1是ΔABC的外心，则OO1⊥平面ABC；第二步：算出小圆O1的半径AO1=r，OO1=12AA1=12h(AA1=h也是圆柱的高)；第三步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2⇒R2=h22+r2⇒R=r2+h2 2，解出R知识点五:直棱锥外接球如图，PA⊥平面ABC，求外接球半径．解题步骤：第一步：将ΔABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；第二步：O1为ΔABC的外心，所以OO1⊥平面ABC，算出小圆O1的半径O1D=r(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得asin A=bsin B=csin C=2r)，OO1=12PA；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2=PA2+(2r)2⇔2R=PA2+(2r)2；②R2=r2+OO12⇔R=r2+OO12．知识点六:正棱锥与侧棱相等模型1.正棱锥外接球半径：R =r 2+h 22h．2.侧棱相等模型：如图，P 的射影是ΔABC 的外心⇔三棱锥P -ABC 的三条侧棱相等⇔三棱锥P -ABC 的底面ΔABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ΔABC 的外心O 1，则P ,O ,O 1三点共线；第二步：先算出小圆O 1的半径AO 1=r ，再算出棱锥的高PO 1=h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA 2=O 1A 2+O 1O 2⇒R 2=(h -R )2+r 2，解出R =r 2+h 22h．知识点三:侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点四:共斜边拼接模型如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥AD ，CB ⊥CD ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O 为公共斜边BD 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA =OC =OB =OD ，即点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，故点O 就是四面体ABCD 外接球的球心，公共的斜边BD 就是外接球的一条直径．知识点五:垂面模型如图1所示为四面体P-ABC，已知平面PAB⊥平面ABC，其外接球问题的步骤如下：(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O1和O2．(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．(3)过O1作AB的垂线，垂足记为D，连接O2D，则O2D⊥AB．(4)在四棱锥A-DO1OO2中，AD垂直于平面DO1OO2，如图2所示，底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．图1图2知识点六:最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等知识点七:二面角模型如图1所示为四面体P-ABC，已知二面角P-AB-C大小为α，其外接球问题的步骤如下：(1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O1和O2．(2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O．(3)过O1作AB的垂线，垂足记为D，连接O2D，则O2D⊥AB．(4)在四棱锥A-DO1OO2中，AD垂直于平面DO1OO2，如图2所示，底面四边形DO1OO2的四个顶点共圆且OD为该圆的直径．知识点八:坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为O(x,y,z)，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．知识点九:圆锥圆柱圆台模型1.球内接圆锥如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R．通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来计算R．如图2，当PC>CB时，球心在圆锥内部；如图3，当PC<CB时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图2、图3可知，OC=h-R或R-h，故(h-R)2+r2=R2，所以R=h2+r2 2h．2.球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为r，高为h，其外接球的半径为R，三者之间满足h2+r2=R2．3.球内接圆台R2=r22+r22-r21-h22h2，其中r1,r2,h分别为圆台的上底面、下底面、高．知识点四:锥体内切球方法：等体积法，即R=3V体积S表面积知识点五:棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形【题型归纳目录】题型一：正方体、长方体模型题型二：正四面体模型题型三：对棱相等模型题型四：直棱柱模型题型五：直棱锥模型题型六：正棱锥与侧棱相等模型题型七：侧棱为外接球直径模型题型八：共斜边拼接模型题型九：垂面模型题型十：最值模型题型十一：二面角模型题型十二：坐标法模型题型十三：圆锥圆柱圆台模型题型十四：锥体内切球题型十五：棱切球【典例例题】题型一:题型一：正方体、长方体模型例1.(2022·陕西安康·高二期末(理))长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为( )A.43πB.12πC.48πD.323π【答案】A【解析】球O的半径为32+22+122=3，∴体积V=4π⋅333=43π．故选：A例2.(2022·全国·高一阶段练习)已知三棱锥P-BCD中，BC⊥CD，PB⊥底面BCD，BC=1，PB= CD=2，则该三棱锥的外接球的体积为( )A.74πB.92πC.278πD.259π【答案】B【解析】解：如图所示，将三棱锥P-BCD放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，则三棱锥P-BCD的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径PD=BC2+CD2+PB2=12+22+22=3，∴该球的体积为43π×32 3=92π．故选：B例3.(2022·北京市第三十五中学高一阶段练习)已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的体对角线等于( )A.233B.4C.423D.433．【答案】B【解析】解：正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为R，则V=43πR3=323π，解得R=2，所以正方体的体对角线等于2R=4；故选：B例4.(2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中)据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=2，三棱锥外接球表面积为( )A.10πB.12πC.14πD.16π【答案】B【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径R =PC 2=AP 2+AB 2+BC 22=4+4+42=3．所以三棱锥外接球表面积S =4πR 2=4π×3=12π．故选：B ．例5.(2022·河北·高一期中)《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P -ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，AB =4，△PAD 的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为( )A.24πB.28πC.32πD.36π【答案】C【解析】如图，将四棱锥P -ABCD 补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同．因为长方体外接球的半径r =42+AD 2+PA 22，所以该“阳马”外接球的表面积为：4π×r 2=AD 2+PA 2+16 π≥(2AD ⋅PA +16)π=4×12AD ⋅PA +16 =4×4+16 π=32π．故选：C ．例6.(2022·河南·模拟预测(文))在三棱锥A -BCD 中，已知AC ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，且AC =3，BC =2，BD =5，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.12πB.7πC.9πD.8π【答案】A【解析】由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，知三棱锥A -BCD 可补形为以BD ,BC ，AC 为长宽高的长方体，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球的半径为R ，则2R 2=3+4+5=12，所以S 球=4πR 2=12π．故选：A 题型二:正四面体模型例7.(2022·全国·高三专题练习(理))棱长为a 的正方体内有一个棱长为x 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x 的最大值为( )A.12aB.32aC.36aD.63a 【答案】D【解析】棱长为a 的正方体的内切球的半径为a 2，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为x 的正四面体的外接球的半径为a 2，设正四面体为P -ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，O 为底面正ΔABC 的中心，则AO =23×32x =33x ，体高为x 2-33x 2=63x ，由于外接球半径为a 2 ，利用勾股定理得：63x -a 2 2+33x2=a 2 2 ，解得x =63a ，选D ．例8.(2022·河南·西平县高级中学模拟预测(理))一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为( )A.6πB.2πC.3πD.22π【答案】A 【解析】如图，四面体BDMN 是正四面体，棱长BD =2，将其补形成正方体GB CD -MENF ，则正方体GB CD -MENF 的棱长GB =22BD =2，此正方体的体对角线长为6，正四面体BDMN 与正方体GB CD -MENF 有相同的外接球，则正四面体BDMN的外接球半径R =62，所以正四面体BDMN 的外接球体积为V =43πR 3=43π⋅623=6π．故选：A例9.(2022·贵州师大附中高二开学考试(理))已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为( )A.4πB.6πC.8πD.10π【答案】B【解析】因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高3，棱锥的高为h =22-233 2=263，设外接球半径为R ，则R 2=263-R 2+233 2，解得R =62．所以外接球的表面积为S =4πR 2=4π622=6π．故选：B ．例10.(2022·河北·石家庄二中一模(理))如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC上一动点，BP +PE 的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A.12πB.32πC.8πD.24π【答案】A【解析】将侧面△ABC 和△ACD 沿AC 边展开成平面图形，如图所示，菱形ABCD ，在菱形ABCD 中，连接BE ，交AC 于点P ，则BE 的长即为BP +PE 的最小值，即BE =14，因为正四面体ABCD ，所以AC =AB ，所以∠BCD =120°，因为E 是棱AD 的中点，所以∠DCE =30°，所以∠BCE =∠BCD -∠DCE =90°，设DE =x ，则AB =BC =CD =AD =2x ，所以CE =3x ，则BE =BC 2+CE 2=7x =14，所以x =2，则正四面体ABCD 的棱长为22，所以正四面体的外接球半径为64×22=3，所以该正四面体外接球的表面积为S =4π3 2=12π，故选：A例11.(2022·贵州·凯里一中高二期末(理))我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体”，在正四面体ABCD 中，E ,F 分别为棱AB ,CD 的中点，当EF =2时，四面体ABCD 的外接球的表面积为()A.12πB.4πC.3πD.6π【答案】D【解析】设正四面体的棱长为2a ，则：AF =BF =3a ，在等腰三角形ABF 中，AF =3a ,AE =a ,∴EF =3a 2-a 2=2a ，据此可得：2a =2,a =1，正四面体的棱长为：2a =2，外接球半径为：R =64×2a =62，其表面积为：4πR 2=6π．本题选择D 选项．例12.(2022·全国·高三专题练习)金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞(晶胞是构成晶体的最基本的几何单元)，即碳原子处在立方体的8个顶点，6个面的中心，此外在立方体的对角线的14处也有4个碳原子，如图所示(绿色球)，碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有4个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为a ，则正四面体SPQR 的棱长为__________；正四面体SPQR 的外接球的体积是__________．【答案】 22a 316πa 3【解析】依题意可知，O 为正四面体SPQR 的中心，如图：连接SO ，延长交平面PQR 于点M ，则M 为△PQR 的中心，所以设SR =x ，MR =23×32x =33x ，因为OR =SO =14ST =14×3a =34a ，所以SM =SR 2-MR 2=x 2-33x 2=63x ，由OM 2+MR 2=OR 2，得(SM -SO )2+MR 2=OR 2，得63x -34a 2+33x 2=34a 2，解得x =22a ，所以正四面体SPQR 的棱长为22a ．依题意可知，正四面体SPQR 的外接球的圆心为O ，半径为34a ，所以正四面体SPQR 的外接球的体积是43π×34a 3=316πa 3．故答案为：22a ；316πa 3．题型三:对棱相等模型例13.(2022•让胡路区校级模拟)在四面体ABCD 中，若AB =CD =3，AC =BD =2，AD =BC =5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A.2πB.4πC.6πD.8π【解析】解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBF -GCHD 内，设该长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，由勾股定理得AB2=x2+y2=3 AC2=x2+z2=4 AD2=y2+z2=5 ，上述三个等式全加得2(x2+y2+z2)=12，所以，该四面体的外接球直径为2R=x2+y2+z2=6，因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2=π×(2R)2=6π，故选：C．例14.已知四面体ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=10，AC=BD=13，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为( )A.42πB.43πC.14πD.16π【解析】解：由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为5，10，13，∴长方体的对角线长为5+10+132=14，∴球的半径为142，∴此球的表面积为4π∙144=14π．故选：C．例15.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=BC=3，PB=AC=2，PC=AB=5，则三棱锥P-ABC 外接球的体积为( )A.2πB.3πC.6πD.6π【解析】解：由题意，PA=BC=3，PB=AC=2，PC=AB=5，将三棱锥P-ABC放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为3，2，5，即a2+b2=3，a2+c2=2，c2+b2=5，解得：a=1，b=2，c=3．外接球的半径R=12×a2+b2+c2=62．∴三棱锥P-ABC外接球的体积V=43πR3=6π．故选：C．例16.(2022•永安市校级期中)在三棱锥P-ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，PC=AB=11，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )A.26πB.12πC.8πD.24π【解析】解：∵三棱锥P -ABC 中，PA =BC =4，PB =AC =5，PC =AB =11，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，11，则长方体的对角线长等于三棱锥P -ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，则x 2+y 2=16，y 2+z 2=25，x 2+z 2=11，∴x 2+y 2+z 2=26，∴三棱锥P -ABC 外接球的直径为26，∴三棱锥P -ABC 外接球的表面积为4π2622=26π．故选：A ．例17.(2022•罗湖区月考)已知在四面体ABCD 中，AB =CD =22,AD =AC =BC =BD =5，则四面体ABCD 的外接球表面积为 ．【解析】解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBF -GCHD 内，在四面体ABCD 中，AB =CD =22,AD =AC =BC =BD =5，设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，所以，该四面体的外接球直径为2R =22+22+12=3，因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=π×(2R )2=9π，故答案为：9π．例18.(2022•三模拟)在四面体ABCD 中，AC =BD =2，AD =BC =5，AB =CD =7，则其外接球的表面积为 ．【解析】解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBF -GCHD 内，设该长方体的长、宽、高分别为x、y 、z ，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，由勾股定理得x 2+y 2=4y 2+z 2=5z 2+x 2=7，上述三个等式全加得2(x 2+y 2+z 2)=16，所以，该四面体的外接球直径为2R =x 2+y 2+z 2=22，因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=π×(2R )2=8π，故答案为：8π．题型四:直棱柱模型例19.(2022·山西·太原五中高一阶段练习)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AA 1=6，则该直三棱柱外接球的表面积为( )A.72πB.114πC.136πD.144π【答案】C【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点O 1,O 2，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心O 为上下底面的外接圆圆心的连线O 1O 2的中点，连接AO ，AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AC =10，设外接球的半径为R ，下底面外接圆的半径为r ，r =AO 2=5，则R 2=25+9=34，该直三棱柱外接球的表面积为4πR 2=136π，故选：C 例20.(2022·安徽·合肥市第六中学高一期中)设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，AB =AC =AA 1，∠BAC =120°，且底面△ABC 的面积为23，则此直三棱柱外接球的表面积是( )A.16πB.4010π3C.40πD.64π【答案】C 【解析】设AB =AC =AA 1=m ，因为∠BAC =120°，所以12×m ×m ×sin120°=23，m =22，而∠ACB =30°，所以22sin30°=2r (r 于是是△ABC 外接圆的半径)，r =22，即AM =22，如图，设M ,N 分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的外接圆圆心，由直棱柱的性质知MN 的中点O 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球球心，OM =12MN =12AA 1=2，所以外接球为R =OA =AM 2+OM 2=22 2+2 2=10．于是球的表面积为S =4πR 2=4π10 2=40π．故选：C ．例21.(2022·河南·高三阶段练习(文))已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的每个顶点都在球O的球面上，且AB=3，AA1=4，则球O的表面积为( )A.42πB.48πC.50πD.52π【答案】D【解析】因为AB=3，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径r=3，所以球O的半径R=r2+AA122=13，故球O的表面积为4πR2=52π．故选：D例22.(2022·全国·高二课时练习)表面积为81π的球，其内接正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的高是7，则这个正四棱柱的底面边长为______．【答案】4【解析】由题意知：正四棱柱的体对角线即为球的直径，设球的半径为R，则4πR2=81π，解得R=9 2，设正四棱柱的底面边长为a，则a2+a2+72=2R，解得a=4．故答案为：4．例23.(2022·河南·高三阶段练习(理))已知正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球表面积为40π，则正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长之和的最大值为______．【答案】1210【解析】由已知可得正三棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，由外接球的表面积求出外接球半径，由底面边长求出底面外接圆半径，求出球心到底面的距离，进而求出正三棱柱的高，即可求出结论，【详解】设正三棱柱上下底面中心分别为H,H1，连HH1，取HH1中点O为正三棱柱外接球的球心，连OA为外接球的半径，如图，∴4π×OA2=40π，∴OA=10设正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为x，∴AH=23×32x=33x，在RtΔAOH中，OH=OA2-AH2=10-13x2，∴HH1=210-13x2三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长之和为l=6x+610-13x2(0<x<30)．l =61-x 310-13x 2 ,(0<x <30)，令l =0，解得x =3102，当0<x <3102时，l >0，当3102<x <30时，l <0，所以x =3102是函数在定义域内有唯一极大值点，故当x =3102时，l =6x +610-13x 2(0<x <30)有最大值1210．故答案为： 1210．例24.(2022·浙江·高二期中)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°且BB 1=4，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．【答案】18π【解析】设BC 的中点为D ，B 1C 1的中点为D 1，AB =x ,AC =y ，由题，得三棱柱外接球的球心在线段DD 1的中点O 处，由三棱柱的体积为2，得12xy ×4=2，即xy =1，由题，得R 2=OB 2=OD 2+BD 2=4+14x 2+y 2 ，所以，外接球表面积S =4πR 2=4π⋅4+14x 2+y 2 =16π+x 2+y 2 π≥16π+2xy π=18π．故答案为：18π题型五:直棱锥模型例25.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，AD =3AB =3PA ，若四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为11π，则四棱锥P -ABCD 的体积为( )A.3B.2C.2D.1【答案】D【解析】设四棱锥P -ABCD 外接球的半径为R ，则4πR 2=11π，即4R 2=11．由题意，易知PC 2=4R 2，得PC =11，设AB =x ，得x 2+9x 2+x 2=11，解得x =1，所以四棱锥P -ABCD 的体积为13×1×3×1=1．故选：D 例26.(2022·全国·高三专题练习)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥M -ABC 为鳖臑，MA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB =BC =2，MA =4，三棱锥M -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A.9πB.16πC.20πD.24π【答案】D【解析】如图所示，作AC 边上的中点D ，MC 边上的中点O ，连接ODMA ⊥平面ABC ，可得：MA ⊥AC ，OD ⊥AC可得：O 为球O 的球心，OC 为球的半径在直角三角形△ABC 中，可得：AC =22在直角三角形△ODC 中，可得：OC =6故球的表面积为：4π6 2=24π故选：D 例27.(2022·广西·宾阳中学高一阶段练习)已知三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB =BC =CA=33，三棱锥S -ABC 外接球O 的表面积为100π，则球O 的体积为_______，异面直线SA ，OB 所成角的余弦值为________．【答案】 5003π；45【解析】由外接球表面积可知S =4πR 2=100π，解得R =5，所以球的体积V =43πR 3=5003π，如图，设球心为O ，H 为SA 中点，G 为△ABC 中心，连接OB ，OG ，因为G 为△ABC 中心，球心为O ，所以OG ⊥平面ABC ，又SA ⊥平面ABC ，所以OG ⎳SA ，由OG ⎳SA 可知，异面直线SA ，OB 所成角为∠BOG ，在Rt △ABC 中，cos ∠BOG =OG OB=R 2-BG 2R=25-23×32×33 25=45，故答案为：5003π；45．例28.(2022·河南·新乡市第一中学高一期末)已知三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =4，BC =23，∠BAC =60∘，则三棱锥S -ABC 外接球的表面积为______．【答案】32π【解析】如下图所示：圆柱O 1O 2的底面圆直径为2r ，母线长为h ，则O 1O 2的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O 为圆柱O1O 2的外接球球心，球O 的半径为R =r 2+h 2 2，可将三棱锥S -ABC 置于圆柱O 1O 2内，使得圆O 2为△ABC 的外接圆，如下图所示：由正弦定理可知圆O 2的直径为2r =BC sin60∘=4，所以，三棱锥S -ABC 外接球的半径R =SA 2 2+r 2=22，因此，三棱锥S -ABC 外接球的表面积为4πR 2=32π．故答案为：32π．例29.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(文))已知在三棱锥P -ABC 中，PA =4，BC =26，PB =PC =3，PA ⊥平面PBC ，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积是( )A.43πB.42πC.48πD.46π【答案】A【解析】在△PBC 中，由余弦定理得：cos ∠BPC =PB 2+PC 2-BC 22PB ⋅PC =-618=-13，∴sin ∠BPC =1-cos 2∠BPC =223，∴△BPC 外接圆半径r =12×BC sin ∠BPC =12×26223=332，又PA ⊥平面PBC ，∴三棱锥P -ABC 的外接球半径R =r 2+12PA 2=274+4=432，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积S =4πR 2=43π．故选：A ．例30.(2022·全国·高一阶段练习)已知三棱锥P -BCD 中，BC ⊥CD ，PB ⊥底面BCD ，BC =1，PB =CD =2，则该三棱锥的外接球的体积为( )A.74π B.92πC.278π D.259π【答案】B【解析】解：如图所示，将三棱锥P -BCD 放在长、宽、高分别为2，1，2的长方体中，则三棱锥P -BCD 的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径PD =BC 2+CD 2+PB 2=12+22+22=3，∴该球的体积为43π×32 3=92π．故选：B 例31.(2022·河北沧州·高一期末)已知在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB =23,AC =AD =4,CD =2，则三棱锥A -BCD 外接球的表面积为( )A.40π3B.15πC.52π3D.20π【答案】C【解析】因AB ⊥平面BCD ，BC ,BD ⊂平面BCD ，则AB ⊥BC ,AB ⊥BD ，而AB=23,AC =AD =4，则BC =BD =2=CD ，三棱锥A -BCD 的外接球O 截平面BCD 所得小圆圆心O 1是正△BCD 的中心，O 1B =233，连OO 1，则OO 1⊥平面BCD ，取线段AB 的中点E ，则球O 的球心O 在过E 垂直于直线AB 的垂面上，连OE ，如图，则四边形BEOO 1是矩形，OO 1=BE =12AB =3，因此，球O 的半径BO 有：BO 2=BO 21+OO 21=133，所以三棱锥A -BCD 外接球的表面积S =4π⋅BO 2=52π3．故选：C题型六:正棱锥与侧棱相等模型例32.(2022·江西·高三阶段练习(文))在正三棱锥P -ABC 中，PA ⊥PB ，P 到平面ABC 的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.36πB.16πC.16π3D.4π【答案】A【解析】因为PA ⊥PB ，由正三棱锥的性质知，PA ，PB ，PC 两两垂直且相等．设PA =PB =PC =a ，则AB =BC =CA =2a ．根据V P -ABC =V A -PBC ，得13×12×a 2×a =13×12×2a 2sin60°×2，解得a =23．设三棱锥P -ABC 外接球的半径为R ，则2R =PA 2+PB 2+PC 2=36=6，所以R =3．故所求外接球的表面积为36π．故选：A ．例33.(2022·江苏·高一课时练习)如图在正三棱锥S -ABC 中，M ,N 分别是棱SC ,BC 的中点，Q 为棱AC 上的一点，且AQ =12QC ，MN ⊥MQ ，若AB =22，则此正三棱锥S -ABC 的外接球的体积为( )A.12πB.433πC.83πD.43π【答案】D 【解析】因为在△SBC 中，M ,N 分别是棱SC ,BC 的中点，所以MN ⎳SB ，因为MN ⊥MQ ，所以SB ⊥MQ ，因为三棱锥S -ABC 为正三棱锥，所以SB ⊥AC (对棱垂直)，又因为MQ ,AC ⊂面SAC ，MQ ∩AC =Q ，所以SB ⊥面SAC ，因为SA ,SC ⊂面SAC ，所以SB ⊥SA ,SB ⊥SC ，在Rt △SAB 中，SA 2+SB 2=AB 2，因为三棱锥S -ABC 为正三棱锥，所以△SBC 是等腰三角形，△ABC 是等边三角形，所以SB =SC ，AB =AC ，所以SA 2+SC 2=AC 2，即SA ⊥SC ，所以SA ,SB ,SC 两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于AB 长，为22，则该正方体棱长为2，外接球半径R =22 2+222 2=3，正方体外接球体积V =43πR 3=43π×3 3=43π，此正三棱锥S -ABC 的外接球体积和正方体外接球体积相同，为43π．故选：D例34.(2022·重庆市实验中学高一阶段练习)三棱锥P -ABC 体积为36，且PA =PB =PC ,AB =AC =1,BC =3，则三棱锥外接球的表面积为____________．【答案】254π【解析】三棱锥P -ABC 中，取BC 中点D ，连PD ，连AD 并延长至O 1，使DO 1=AD ，连接BO 1，CO 1，PO 1，如图：于是得四边形ABO 1C 为平行四边形，而AB =AC =1，▱ABO 1C 是菱形，在△ABC 中，BC =3，由余弦定理有cos ∠BAC =AB 2+AC 2-BC 22AB ⋅AC =-12，即∠BAC =120∘，则∠ABO 1=60∘，△ABO 1是正三角形，O 1A =O 1B =O 1C =1，于是得O 1是△ABC 外接圆圆心，因PA =PB =PC ，D 为BC 中点，则PD ⊥BC ，又AO 1⊥BC ，PD ∩AO 1=D ，PD ,AO 1⊂平面PAO 1，从而有BC ⊥平面PAO 1，PO 1⊥BC ，同理PO 1⊥AC ，而AC ∩BC =C ，从而得PO 1⊥平面ABC ，由球的截面小圆性质知，三棱锥P -ABC 外接球球心O 在直线PO 1上，又S △ABC =12AB ⋅AC sin120∘=34，则V P -ABC =13PO 1⋅S △ABC =36，解得PO 1=2，设球O 的半径为R ，则OB =OP =R ，OO 1=|R -2|，Rt △OO 1B 中，O 1B 2+O 1O 2=OB 2，即1+(R -2)2=R 2，解得R =54，则球O 的表面积为S =4πR 2=25π4，所以三棱锥外接球的表面积为254π．故答案为：254π例35.(2022·重庆·高二期末)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB =AC =BC =BD =CD ，二面角A -BC-D 的余弦值为-13，若三棱锥A -BCD 的体积为13，则三棱锥A -BCD 外接球的表面积为______．【答案】4π【解析】取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，过点A 作AH ⊥DE ，交DE 的延长线于点H ，所以∠AED 为二面角A -BC -D 的平面角，设AB =2a ，则AE =DE =3a ，cos ∠AED =-13，所以sin ∠AEH =sin ∠AED =223，所以AH =263a ，EH =13AE =33a ，因为三棱锥A -BCD 的体积为13，所以13×34×(2a )2×263a =13，解得：a =22，EH =66，设△BCD 外接圆的圆心为O '，三棱锥A -BCD 外接球的球心为O ，连接OO ，OC ，O C ，过点O 作OF ⊥AH 于点F ，则O 'C =O 'D =23DE =63，O E =13DE =66，O H =OF ，OA =OC ，设OO =FH =h ，则AF =AH -FH =233-h ，OF =O H =O E +EH =63，由勾股定理得：h 2+632=233-h 2+63 2，解得：h =33，所以三棱锥A -BCD 外接球的半径R 满足R 2=O 'O 2+O 'C 2=1，则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为4πR 2=4π．故答案为：4π．例36.(2022·全国·高一期末)在正三棱锥P -ABC 中，AB =23，正三棱锥P -ABC 的体积是43，则正三棱锥P -ABC 外接球的表面积是( )A.5πB.15πC.25πD.35π【答案】C【解析】如图所示，设点G 为△ABC 的外心，则PG ⊥平面ABC ，由V P -ABC =13S △ABC ⋅PG =13×12×23×23×32⋅PG =43，∴PG =4，则三棱锥P -ABC 的外接球的球心O 在直线PG 上．设其外接球的半径为R ，由正弦定理得AG =AB2sin π3=2，在Rt △OAG 中，OG =|PG -R |=|4-R |，由勾股定理得OA 2=OG 2+AG 2，即R 2=22+|4-R |2，解得R =52．正三棱锥P -ABC 外接球的表面积是S =4πR 2=4π×52 2=25π，故选：C ．例37.(2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测)已知正三棱锥S -ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A.πB.3πC.6πD.9π【答案】B【解析】由题意，正三棱锥S -ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，此三棱锥S -ABC 可补形为一个棱长为1的正方体，三棱锥S -ABC 的外接球与补成的棱长为1的正方体的外接球为同一个球，设正方体的外接球的半径为R ，可得2R =3，即R =32，所以此三棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=4π×322=3π．故选：B ．例38.(2022·河南安阳·高二阶段练习(理))如图，在三棱锥A -BCD 中，AB =BC =AC =CD =2，∠BCD =120°，二面角A -BC -D 的大小为120°，则三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为( )A.82π3B.80π3C.27πD.244π9【答案】D【解析】如图1，过D 作DM ⊥BC 垂足为M ，取BC 的中点E ，连接AE ,CM AE =DM =3,CM =1,BD =23过M 作MN ∥AE ，且MN =AE ，连接AN ，则AN =2∵△ABC 为等边三角形，则AE ⊥BC∴MN ⊥BC ，DM ⊥BC ，根据题意可得∠DMN =2π3∵DN 2=MN 2+DM 2-2MN ⋅DM ⋅cos ∠DMN =9，则DN =3由题意可得AN ⊥DN ，则AD 2=AN 2+DN 2=13，则AD =13如图2，∵AC =BC =CD ，则顶点C 在平面ABD 的投影为△ABD 的外接圆圆心O 1，则三棱锥A -BCD 的外接球的球心O 在直线CO 1上，连接O 1A ,O 1C ,OA cos ∠ABD =AB 2+BD 2-AD 22AB ⋅BD =38，则sin ∠ABD =618∴△ABD 的外接圆半径AO 1=12AD sin ∠ABD =41361，则CO 1=CA 2-AO 12=661设棱锥A -BCD 的外接球的半径为R ，则OA 2=AO 12+OO 12即R 2=413612+661-R 2，解得R =613三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为S =4πR 2=244π9故选：D ．例39.(2022·江苏南通·高三期末)已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为22，侧棱PA 与底面ABCD所成的角为45°，顶点P ，A ，B ，C ，D 在球O 的球面上，则球O 的体积是( )A.16πB.323π C.8π D.823π【答案】B【解析】在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC ，BD ，AC ∩BD =O ，连PO ，如图，则有PO ⊥平面ABCD ，∠PAO 为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角，即∠PAO =45∘，于是得O P =O A =O B =O C =O D =22AB =2，因此，顶点P ，A ，B ，C ，D 在以O 为球心，2为半径的球面上，即点O 与O 重合，所以球O 的体积是V =43π×23=323π．故选：B例40.(2022·全国·高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A.18,814B.274,814C.274,643D.[18,27]【答案】C【解析】∵ 球的体积为36π，所以球的半径R =3，设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则l 2=2a 2+h 2，32=2a 2+(3-h )2，所以6h =l 2，2a 2=l 2-h 2所以正四棱锥的体积V =13Sh =13×4a 2×h =23×l 2-l 436 ×l 26=19l 4-l 636 ，所以V=194l 3-l 56 =19l 324-l 26，当3≤l ≤26时，V >0，当26<l ≤33时，V <0，所以当l =26时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又l =3时，V =274，l =33时，V =814，所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是274，643．故选：C ．题型七:侧棱为外接球直径模型例41.(2022•五华区校级期末)已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，AB =5，AC =3，BC =4，PB 为球O 的直径，PB =10，则这个三棱锥的体积为( )A.303B.153C.103D.53【解析】解：如图所示，由条件ΔABC 为直角三角形，则斜边AB 的中点O 1为ΔABC的外接圆的圆心，连接OO 1得OO 1⊥平面ABC ，OO 1=BO 2-BO 12=523，∵OO 1⎳PA ，PA =2OO 1=53，∴PA ⊥平面ABC ，∴三棱锥的体积为13×12×3×4×53=103．故选：C ．例42.(2022•红花岗区校级月考)已知三棱锥A -BCD 的所有顶点都在同一个球面上，ΔBCD 是边长为。
高中数学外接球教案
高中数学外接球教案
教学目标：学生能够掌握外接球的基本概念，了解外接球的性质和性质的应用。
教学重点和难点：外接球的性质和应用。
教学内容和方法：
1. 复习圆的定义和性质。
2. 引入外接球的概念和性质。
3. 解决外接球相关的问题。
教学步骤：
1. 导入：通过一个生活中的例子引入外接球的概念，让学生对外接球有一个直观的认识。
2. 讲解外接球的定义和性质，例如：外接球的圆心和球心在同一直线上。
3. 指导学生如何求解外接球的半径和表面积。
4. 练习：让学生通过练习题加深对外接球相关概念的理解和应用。
5. 总结：对外接球的概念和性质进行总结，强化学生的记忆。
教学资源：
1. 教科书、课件等教学工具。
2. 练习题和解析。
教学评价：
1. 考察学生对外接球概念的理解和应用能力。
2. 分析学生在解决外接球相关问题时的思维和方法。
教学延伸：
1. 引导学生探索外接球在几何问题中的应用。
2. 鼓励学生自主学习外接球的更多性质和应用，提高他们的数学解决问题的能力。
教学反思：
1. 教师需要加强实例讲解，帮助学生更好地理解外接球的概念。
2. 鼓励学生主动思考和提问，促进学生之间的互动和合作。
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习高考数学：内切球和外接球问题多面体的顶点都在同一球面上时，称该多面体为球的内接多面体，该球为多面体的外接球。
多面体外接球问题是立体几何的重点，也是高考的热点，考查学生的空间想象能力和化归能力。
解决该问题需要运用多面体和球的知识，并特别注意多面体的几何元素与球的半径之间的关系。
多面体外接球半径的求法在解题中往往起到至关重要的作用。
一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1：若正方体的棱长为3且顶点都在同一球面上，求该球的表面积。
解析：要求球的表面积，只需知道球的半径。
由于正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。
故表面积为27π。
例2：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为多少？解析：要求球的体积，还需先求出球的半径。
由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线长为3√3.因此，该球的半径为3，故该球的体积为36π。
2、求长方体的外接球的有关问题例1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则该球的表面积为多少？解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为√14，故球的表面积为14π。
例2：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则该球的表面积为多少？解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2、2、4.故该球的表面积为24π。
3、求多面体的外接球的有关问题例：一个底面为正六边形的六棱柱，侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，则该球的体积为多少？解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h。
由底面周长可得x=3/6=1/2，由体积可得h=4/3.因此，正六棱柱的底面圆的半径为√3/2，外接球的半径为√13/2.故该球的体积为(52/3)π。
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27π.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.43π.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.14π.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. CA. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5，则其外接球的表面积是_______________.9π.例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积249S R ππ==.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
专题讲解 立体几何中的外接球与内切球问题（学生版）
专题讲解立体几何中的外接球与内切球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点。
考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作。
当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径。
球与多面体的关系是高考考查的重点，但同学们又因为缺乏较强的空间想象能力，较难找到解题的切入点和突破口。
解决这类题目是要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置是关键。
常见题型有求对应外接球或内切球半径、表面积、体积或球内接几何体最值等问题。
本章节将对常见的关于内切球和外接球的模型作一总结，并附有针对性训练题，供教师和学生参考使用。
一.常见模型归纳1. 墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决。
外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a 2＋b2＋c2。
)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例1】已知二面角α－l－β的大小为π3，点P∈α，点P在β内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝22，P A＝23，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面体P ACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．A BCDA1B1C1D1类型ⅠA BCDA1B1C1D1类型ⅡA BCDA1B1C1D1类型ⅢA BCDA1B1C1D1例外型【例2】已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )．A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π【变式练习1】在空间直角坐标系Oxyz 中，四面体ABCD 各顶点的坐标分别为A (2，2，1)，B (2，2，－1)，C (0，2， 1)，D (0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是( )A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π【变式练习2】在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为32的正方形，AA 1＝3，E 是线段A 1B 1上一点， 若二面角A －BD －E 的正切值为3，则三棱锥A －A 1D 1E 外接球的表面积为________．2. 对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决。
高三外接球知识点
高三外接球知识点外接球是篮球比赛中一项常用的技术动作，它是指在持球者运球过程中，将球传递给队友或者突破对方防守的动作。
本文将详细介绍高三外接球的技巧和要点。
一、姿势准备1. 站直身体，脚距与肩同宽，保持身体平衡。
2. 将球与身体保持一定距离，双手握住球，并保持手臂和手腕放松。
二、动作要领1. 视线放远，注视队友位置或者观察对方防守队员的动向。
2. 用非惯用手握球，这样可以提高对手的警惕性。
3. 弯曲肩膀，将球放在身体侧面，利用身体来保护球，减少对方抢球的机会。
4. 运用臀部和肩膀的力量，使身体向后倾斜，制造出逆向的力量，利用对方的力量来完成传球。
三、传球技巧1. 慢慢伸展臂膀，将球准确地传递给队友。
传球的力量和距离要根据场上的实际情况做出合理的调整。
2. 传球时，应注意球的高度和速度的控制，以便于队友接球后顺利进行进攻。
3. 传球时，目标是将球传到队友的手中，并且使球对队友来说是易接球的。
四、注意事项1. 外接球需要准确的判断和决策能力，需要根据实际情况做出正确的传球选择。
2. 学会观察队友和对方防守队员的动向，以做出及时的决策。
3. 外接球时需要注意自己和队友的位置，避免传球失误和被对方抢断。
五、训练方法1. 进行基础的传球练习，如单手传球、双手传球、变向传球等。
2. 进行团队协作训练，与队友进行配合练习，提高传球的准确性和有效性。
3. 开展比赛模拟训练，模拟真实比赛场景，加强对复杂情况的应对能力。
六、总结高三外接球作为篮球比赛中至关重要的技术动作，恰当的技巧和要领能够提高球队整体的进攻效率。
运用正确的姿势准备、掌握动作要领、注重传球技巧、以及遵循注意事项和训练方法，都是成为一名优秀的外接球手的关键。
通过不断的练习和实战的经验积累，高三学生可以逐渐掌握外接球技术，为球队的胜利贡献自己的力量。
外接圆内接球笔记
外接圆内接球笔记
摘要：
1.外接圆与内接球的概念
2.外接圆内接球的关系
3.应用举例
正文：
1.外接圆与内接球的概念
在几何学中，外接圆和内接球是两个重要的概念。
外接圆是指一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆被称为多边形的外接圆。
而内接球是指一个多面体的所有顶点都在同一个球面上，这个球被称为多面体的内接球。
2.外接圆内接球的关系
外接圆和内接球之间有着密切的关系。
对于一个多边形，它的外接圆圆心与内接球球心重合。
此外，外接圆的半径与内接球的半径之间也有着特定的比例关系。
具体来说，外接圆半径与内接球半径的比值等于多边形顶点数与多面体面数之比。
3.应用举例
我们可以通过一个具体的例子来理解外接圆和内接球的关系。
假设我们有一个正方形，它的四条边长相等，四个顶点分别位于坐标系的四个象限。
我们可以发现，正方形的外接圆圆心位于正方形的对角线交点，而内接球球心也位于正方形的对角线交点。
此外，正方形的外接圆半径是内接球半径的2 倍。
对于一个立方体，它的六个面都是正方形，我们可以发现，立方体的外接
圆圆心位于立方体的中心，而内接球球心也位于立方体的中心。
此外，立方体的外接圆半径是内接球半径的3 倍。
通过这些具体的例子，我们可以更好地理解外接圆和内接球的概念，以及它们之间的关系。
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）
B．
C．
D．
【解析】 四面体 与球 的位置关系如图所示，设 为 的中点， 为 外接球的圆心，因为
，
， 由 余 弦 定 理 可 得
， 由 正 弦 定 理 可 得
由勾股定理可得 ，在四边形
，又 中， ，
， ，
计算可得
，则球 的表面积是
，故选 D.
4
5 ． 已 知 A, B, C , D 是 球 O 表 面 上 四 点 ， 点 E 为 BC 的 中 点 ， 若
内、外接球专题
一、几类常用的结论 设 R 为外接球的半径： 类型一：正棱椎、圆锥
l2 公式： R = （ l 是侧棱或母线长， h 是正棱椎或圆锥的高） 2h
类型二：长方体、正方体或者能够快速补成长方体或正方体的几何体 公式： R
a 2 b2 c2 （ a、b、c 分别是长方体的长、宽、高） 2
（3）球心 O 与截面圆圆心 O1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线. （3） 二、几类常见几何体球心的位置 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上， 具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理 计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形， 则公共斜边的中点就是其外接球的 球心. 三、几类常见长方体、正方体补形法 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
2 2 2 2
在 PAC 中，由余弦定理 PA PC 2 PA PCcosCPA 4 ，
2 2
代入整理得 PE 4 ，设三棱锥 P ABC 外接球的半径为， 由 PE 1 得 2 R 1 1 3 ，即 R
5 2 ，所以球的表面积为 S 4 R 5 ，故选 A． 2
rl 2 r 2 ，解得 l 2r ，则圆锥的轴截面是正三角形，设圆锥的外接球的半径为 R,
∵圆锥的外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心，三角形的高是 3r，
B． 9 :16
2 R 3r , 3
2
∴ 该 圆 锥 的 表 面 积 S1 rl r 3 r , 外 接 球 的 表 面 积 为
3
3． 已知边长为 2 的等边三角形 ABC ， D 为 BC 的中点， 以 AD 为折痕进行折叠， 使折后的 BDC ，则过 A、B、C、D 四点的球的表面积为（ ） 2 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
【答案】C 【解析】边长为 2 的等边三角形 ABC ， D 为 BC 的中点，以 AD 为折痕进行折叠，使折 后的 BDC
AE BC , DE BC , AED 120 , AE DE 3, BC 2 ，则球 O 的表面积为
2 2 2
2 2 16 2 S1 3 r 2 9 S 2 4 R 4 r r , . 答案：B 3 3 S 2 16 r 2 16 3
2．在三棱锥 P ABC 中， AB 3BC 3 ， ABC BCP PAB 90 ，
2 a。 2
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 3，以对角面 AA1 作 截面图得，圆 O 为矩形 AA1C1C 的外接圆，易得 R A1O
3 a。 2
图1
图2
图3
2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为 a ， O 也是球心） 内切球半径为： r
6 a 12 6 a 4 6 a 3
类型三：有侧棱垂直底面的椎体或柱体（棱柱、圆柱、棱锥、圆锥）
h 公式： R （ ) 2 r 2 （ h 是侧棱长， r 是底面外接圆的半径） 2
备注：三角形外接圆半径 （1）直角三角形：斜边的一半。 （2）一般三角形：正弦定理求解。（
a b c 2R ） sin A sin B sin C
，构成以 D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高 2
所以 2 R 1 1 3 5 ， 3，
的长方体， 其对角线即为球的直径， 三条棱长分别为 1,1，
5 球面积 S 4 2 5 ，故选 C.
2
4．在四面体 ABCD 中， AB AC 2 3 ， BC 6 ， AD 底面 ABC ， DBC 的 面积是 6，若该四面体的顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是（ A．
1
四：常见几何体的外接球小结 1、设正方体的棱长为 a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相 切的球半径。 （1）截面图为正方形 EFGH 的内切圆，得 R
a ； 2
（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如 图 2。作截面图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R
cosCPA 2 ，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为（ 4
）
A． 5
B． 13
C． 6
D． 14
【解析】 如图所示，作 PE 平面 ABC 于 E 点，连接 EA, EC ， 因为 BC CP, PA AB ，易得 EC CB, EA AB ， 四边形 EABC 为矩形， PA 1 PE , PC 3 PE ，
外接球半径为： R
正四面体的高： h
球心 O 为正四面体高的四等分点，内心、外心两心合一。
2
题型一、公式法 1．已知一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，记该圆锥的表面积为 S1 ，外接球的 表面积为 S 2 ，则 A． 3: 88 【解 析】设圆锥的底面半径是 r ，母线长为 l ，∵圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，