2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第五章 第3讲 算术平均数与几何平均数

3．最值定理 设 x，y>0，由 x＋y≥2 xy 则和 x＋y 有最小值 2 P (1)如积 xy＝P(定值)，________________________. (2)如和 即：积定和最小，和定积最大．
S2 则积 xy 有最大值2 x＋y＝S(定值)，____________________.
≥2
1 a·＋2 a
1 b·＝4，所以最小值是 4. b 1 a·＝2，其中当且仅当 a＝1 时等号成立； a
1 ∵a＋a≥2 1 b＋b≥2
1 b·＝2，其中当且仅当 b＝1 时等号成立． b
这与 a＋b＝1 矛盾，∴最小值不能为 4.
1．利用均值不等式 a＋b≥2 ab以及变式 ab≤
a＋b 2 等求函 2
当 x＝100 Smin＝1 200
10 000 2米时，y＝ ＝50 100 2 2＋20 036.
2米．
答：每个池塘的长为 100 最小．
2米、宽为 50
2米时占地总面积
p 形如函数 y＝x＋ x (p＞0)的形式求最值时可考虑 用基本不等式，但要注意条件的限制，可借助函数图象解题，必 要时借助于导数．
考点2 利用基本不等式求参数的取值范围 例2：①(2011 年浙江)设 x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则
2 10 2x＋y 的最大值是__________． 5
解析：∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1. 3 32x＋y2 2 即(2x＋y) －2· y＝1.∴(2x＋y) －2 2x· 2 ≤1.
第3讲
Hale Waihona Puke 算术平均数与几何平均数考纲要求
考纲研读
理解基本不等式的概念，熟悉基本不
1.了解基本不等式的证明过 等式的证明方法和过程．牢记基本不 程． 等式成立的条件和等号成立的条件， 2．会用基本不等式解决简单 能将解析式变形成用基本不等式求 的最大(小)值问题. 最值的形式.
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2
x ≤a 恒成立，则 a 2＋3x＋1 x
1 1 1 x 解析：∵x＞0，∴x＋x≥2. 2 ⇒ 1 ≤5. x ＋3x＋1 x＋x＋3 1 1 x 即 2 的最大值为5.故 a≥5. x ＋3x＋1
利用基本不等式求“和”的最小值时需注意验证： ①要求各项均为正数；②要求“积”为定值；③检验是否具备等 号成立的条件．
1 1 a＋b＝1，则a＋a＋b＋b的最小
a＋b a＋b 1 1 1 1 正解：a＋a＋b＋b＝a＋b＋ a＋b＝1＋ a ＋ b ＝1＋1
b a ＋a＋b＋1≥3＋2
ba a·＝5. b
1 1 【失误与防范】错解：a＋a＋b＋b
4 x·＋1＝5. x
考点1
利用基本不等式求最值(或取值范围)
t2－4t＋1 的最小 例1：①(2010 年重庆)已知t＞0，则函数 y＝ t
－2 值为______．
t2－4t＋1 1 解析：y＝ ＝t＋ t －4≥－2(∵t＞0)，当且仅当 t＝1 t 时，ymin＝－2.
②(2010 年山东)若对任意 x＞0， 1 a≥ 5 的取值范围是____________．
整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0. 即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0. 又 x＋2y>0，∴x＋2y≥4.
本题主要考查了均值不等式在求最值时的运用．整
体思想是分析这类题目的突破口，即2x＋y 与 x＋2y 分别是统一的
整体，如何构造出只含2x＋y(2x· 亦可)与 x＋2y(x·y 亦可)形式的 y 2 不等式是解本题的关键．
10 000 故池塘的宽为 y＝ x 米．
20 000 S＝(6＋x) x ＋6(x＞0)．
120 000 ∴S＝ x ＋6x＋20 036≥ ＝2
120 000 6x＋20 036 x ·
720 000＋20 036＝1 200 2＝20 036.
2时等号成立．
120 000 当且仅当 x ＝6x 时， x2＝20 000， 即 x＝100
2
8 2 10 2 10 解得：(2x＋y) ≤5.即－ 5 ≤2x＋y≤ 5 .
2
②(2010 年重庆)已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的 最小值是( B )
A．3
B．4
9 C.2
11 D. 2
x＋2y 2 解析：x＋2y＝8－x· (2y)≥8－ 2 ，
C．x≥y
B．x<y D．x≤y
x2＋x＋4 5 3．若x>0，则 的最小值为____. x
x2＋x＋4 4 解析：x>0⇒ ＝x＋x ＋1≥2 x 4 当且仅当 x＝ x即 x＝2 时取等号．
2 2 2 4．若 x>0，则 x＋— 的最小值为______. x 1 16 5．已知 x，y∈R＋，且 x＋4y＝1，则 x· 的最大值为____. y
72×8 ≥480＋6×2 ＝480＋6x＋ x
72×8 x· x ＝768，
72×8 432 当且仅当 x＝ x 即 x＝24 时取等号，此时宽为 24 ＝18 cm.
易错、易混、易漏 9．多次使用基本不等式忽略了考虑等号能否同时成立
例题：已知正数 a，b 满足
5 值是______________．
【互动探究】
1 4 1．(2011 年重庆)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝a＋b的最 小值是( C ) 7 A.2 B．4 9 C.2 D．5
b 4a 9 1 4 1 4a＋b 1 解析：y＝a＋b＝a＋b ＝2×1＋4＋a＋ b ＝2. 2
数的最值时，要注意到合理拆分项或配凑因式，而拆与凑的过程 中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或
积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当 a＝b 时取“＝”
号)，即“一正、二定、三相等”
2．当用均值不等式求函数最值失效时，要转化为研究函数的
单调性，利用单调性求最值．
3．多次重复使用均值不等式求解时，应考虑再相加相乘时字 母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致．若不一 致，则不等式中的等号不能成立．
【互动探究】 3．一份印刷品，其排版面积为 432 cm2(矩形)，要求左右留有 24 4 cm 的空白，上下留有 3 cm 的空白，则矩形的长为_____ cm，宽 18 为____ cm 时，用纸最省．
432 解析：设矩形的长为 x cm，则宽为 x cm， 则总面积 y
432 432×8 ＝432＋48＋6x＋ 为：y＝(x＋8)· x ＋6 x
例3：如图 5－3－1，某公园要在一块绿地的中央修建两个相
同的矩形的池塘，每个面积为 10 000 米2，池塘前方要留 4 米宽的 走道，其余各方为 2 米宽的走道，问每个池塘的长、宽各为多少 米时占地总面积最少？
图 5－3－1
解题思路：根据题意建立函数模型，利用基本不等式求最值．
解析：设池塘的长为 x 米时占地总面积为S，
1 1．设函数 f(x)＝2x＋x－1(x>0)，则 f(x)( B )
A．有最大值 C．是增函数 B．有最小值 D．是减函数
na mbma nb ＋ ＋ m (a，b，m，n n n m
2．已知 x＝a＋b，y＝
为正
数)，则 x，y 的大小关系是( D )
A．x>y
a＋b 4．当 a>0，b>0 时，1 1≤ ab≤ 2 ≤ a＋b 2
a2＋b2 2 ，当且仅
a＝b 时等号成立．
1．在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的
满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失
误的关键所在．
2．当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证
等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．
(1)基本不等式成立的条件是 a，b∈R＋. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
a＋b 叫做算术平均数， ab 叫做几何平均数，基本不等式式 (3) 2
可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2．几个常用的重要不等式
(1)a∈R，a2≥0，|a|≥0 当且仅当 a＝0 时取“＝”． (2)a，b∈R，则 a2＋b2_______. ≥2ab 1 ≥2 (3)a∈R＋，则 a＋a______. a2＋b2 a＋b2 (4) 2 ≥ 2
【互动探究】 2．(2010 年浙江)若正实数 x，y 满足2x＋y＋6＝xy，则 xy 的
18 最小值是_____.
解析：运用基本不等式 xy＝2x＋y＋6≥2 2xy＋6，令 xy＝t2， 可得 t2－2 值为 18. 2t－6≥0，注意到 t＞0，解得 t≥3 2，故 xy 的最小
考点3
利用基本不等式处理实际问题