鲁棒控制(H范数与Riccati) (1)
鲁棒控制
问题的最初解法。同时，基于算子理论等现代数学工具，这一解法很快被他们推 广到一般的多变量系统。这方面的代表工作有 Francis, Helton 和 Zames 使用的 Ball-Helton 算子理论解法、Chang 和 Pearson 使用 Saraso 算子理论和矩阵 Nevanlinna- Pick 理论相结合的方法、Safonov 和 Verma 的 Hankel 范数逼近方法。 但遗憾的是, 最初的 H控制理论的标准频域方法在处理 MIMO 系统时，在数学 上和计算上显得十分无能为力。直到 J.C.Doyle 利用状态空间方法，对函数阵的 状态空间内/外互质分解，将其降低成一个状态空间方法可解的 Nehari/Hankel 范数问题, 才初步解决了上述数学计算问题。至此, H控制标准问题的状态空间 一般算法已初步形成，后被称为“1984”方法。它的主要思路是使闭环系统内稳 定的控制器参数化，即使 Youla 参数化方法,把 K 表示为稳定的传递函数 Q 的函 数，使问题变为易于解决的无约束问题。参数化后的标准问题转变为模型匹配问 题 (Model-Matching Problem)，然后将模型匹配问题转变为广义距离问题(General Distance Problem) , 这种广义距离问题是函数逼近理论中 Nehari 问题的推广，也 称为扩展 Nehari 问题( Extended NehariProblem)。用 Hankel 范数逼近理论解决 Nehari 问题，最后求得控制器 K。虽然这些计算都可采用状态空间模型, 通过 实数矩阵计算方法进行, 但计算量很大, 求得的控制器也非常复杂。
鲁棒稳定性鲁棒控制
体现了开环特性的相对偏差 GK GK 到闭环频率特性 GB GB 的增益，因此，如果我们在设计控制器K时， 能够使S的增益足够小，即
S( j) ,为充分小正数
那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。 传递函数S(s)称为系统的灵敏度函数。实际上S(s)还等 于干扰w到输出的闭环传递函数，因此减小S(s)的增益 就等价于减小干扰对控制误差的影响。引入定义
即为设计K使得A+BK＋EF稳定，也即
F(sI A BK )1 E 1
实验
Furuta摆实验
三自由度直升机系统
考虑下图所示系统
G(s)
u
y
-
kK(s)
G(s)
其中(s)为任意稳定的真有理分式且满足||(s)||1 定理：上图所示的闭环系统对任意的(s)均稳定当且 仅当
K(s)(I G(s)K(s))1 1
闭环系统鲁棒稳定性分析
▪ 乘性不确定性
考虑下图所示系统
G(s)
u
y
-
kK(s) G(s)
其中(s)为任意稳定的真有理分式且满足||(s)||1 定理：上图所示的闭环系统对任意的(s)均稳定当且 仅当
可以找到适当的界函数W( j),有( j) W( j)
鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的 控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综 合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定 性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性 综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模 型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设 计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。 主要的鲁棒控制理论有：
S(s) sup [S( j)] R 1
其中 ()表示最大奇异值，即 ( A) {max (A*A)}2 ,
鲁棒控制H范数与Riccati
2019年11月20日
鲁棒控制
15
设严格正则有理传递函数 Gs CsI A 1 B D ，则 A 为
稳定阵，且
Gs 1
的充分必要条件为
DT D I
且存在矩阵P>0，满足Riccati不等式
P A BR1DT C A BR1DT C T P PBR1BT P
H
JH
J
H
即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得
W 1HW
W11 W21
W12 W22
1
H
W11 W21
W12 W22
JH 0
0
J
H
2019年11月20日
鲁棒控制
5
定且理使：R矩e阵A代 B数BTRP icc0a的ti方充程分存必在要唯条一件解是（P A ,PBT） W能21稳W11定1 ，0
结论3: 若(A, B)是可稳定的, (C, A)是可检测的, 则哈密顿矩阵
A H CC T
BB T AT
∈dom(Ric),
X＝Ric(H)≥0。
当(C, A)为能观测时，则X＝Ric(H )>0成立。
2019年11月20日
鲁棒控制
8
关于H∞范数的定理(1)
定理1：对于稳定传递函数G(s)=C(sI-A)-1B，定义哈密顿矩阵
(C,A)能检测。若还有(C,A)能观测，则P>0.
证明：充分性
（1)解的存在性 （3）A BBT P 为稳定矩阵 （5）解的唯一性 必要性
（2）解的对称性 （4）解的非负定性
鲁棒控制方法
鲁棒控制方法鲁棒控制是一种能够在不确定因素存在的情况下保持系统稳定性和高性能的控制方法，能够有效地应对干扰、模型不确定性、测量误差等问题。
在工业自动化、航空航天、电力电子、汽车控制等众多领域都得到了广泛应用。
下面将介绍几种常见的鲁棒控制方法。
一、H∞控制方法H∞控制是一种基于H∞范数的优化设计方法，在保证系统稳定的前提下，同时最小化输出误差对系统控制的敏感性。
在应对不确定因素和干扰时，H∞控制具有良好的性能。
其基本思想是将控制系统中的不确定因素和干扰转化为一个被授权的、有界的、外部加入控制系统的信号，从而获得一个与系统扰动和不确定因素有关的李亚普诺夫函数，通过最小化该函数构建H∞控制器。
H2控制是一种线性鲁棒控制方法，通过最小化系统输出误差的均方值来保证系统控制的鲁棒性。
对于有利于系统稳定的外部干扰和参数扰动，可以采用H2控制增强系统鲁棒性。
该方法常用于工业自动化、电力电子、通信网络等领域。
三、μ-合成方法μ-合成方法是一种基于μ分析技术的鲁棒控制方法。
利用复杂的控制算法来确保系统的鲁棒性较强。
μ-合成方法的基本思想是将控制器的参数综合考虑到控制系统的所有可能变化，以及控制系统的不确定性和干扰，从而建立一个更加鲁棒的系统。
该方法的优点是具有较高的控制精度和鲁棒性，同时也适合于复杂的多变量系统。
四、经验模态分解鲁棒控制方法经验模态分解（EMD）是一种对非线性、非平稳数据进行处理的信号分析方法。
EMD鲁棒控制方法利用EMD分析信号的自适应性和鲁棒性，将系统的状态之间的相互作用显式地考虑在内，使控制器在不断改善的系统控制下不断优化控制效果，从而达到较好的控制效果和较高的鲁棒性。
综上所述，鲁棒控制方法可以有效地通过考虑控制系统中的不确定因素和干扰来提高系统的控制精度和鲁棒性。
选择合适的鲁棒控制方法取决于具体情况，需要根据控制目标、系统模型、预期性能和鲁棒性需求等因素进行选择。
最优控制问题的鲁棒H∞控制
最优控制问题的鲁棒H∞控制最优控制问题是控制理论中的一个重要研究领域，其目标是设计最优的控制策略，使得系统在给定的性能指标下达到最佳的控制效果。
然而，在实际应用中，系统参数的不确定性以及外部干扰等因素往往会对控制系统产生严重影响，导致传统最优控制策略难以在这些不确定因素下取得令人满意的控制效果。
为了解决上述问题，鲁棒控制方法被引入到最优控制问题中。
鲁棒控制的主要思想是设计一个能够对系统参数不确定性和外部干扰具有抗扰能力的控制策略，以保证系统在面临这些不确定性因素时仍能保持良好的控制性能。
其中，H∞控制是鲁棒控制的一种重要方法。
H∞控制是一种基于H∞优化理论的控制方法，其目标是设计一个稳定的控制器，使得系统输出对于外部干扰和参数不确定性具有最大的衰减能力。
H∞控制方法能够针对不确定性系统进行鲁棒性分析，并在饱和脉冲干扰和噪声扰动等情况下仍能保持系统的稳定性和性能。
在具体的系统应用中，鲁棒H∞控制方法常常需要进行控制器的设计和参数调整。
控制器的设计一般采用线性矩阵不等式(LMI)方法，在满足一定约束条件的前提下求解最优的控制器参数。
参数调整则可以采用各种数学优化算法，如内点法、遗传算法等，以达到使系统的H∞控制性能最优化的目标。
鲁棒H∞控制方法在许多领域中得到了广泛应用。
例如，在机器人控制、飞行器控制、电力系统控制等领域中，鲁棒H∞控制方法能够有效地抑制参数不确定性和外部干扰，提高系统的鲁棒性和控制性能。
此外，鲁棒H∞控制方法还能够应用于网络控制系统、混合控制系统等复杂系统中，具有广泛的应用前景。
总之，最优控制问题的鲁棒H∞控制方法在解决系统参数不确定性和外部干扰等问题时具有重要的研究意义和实际应用价值。
通过设计稳定的控制器并考虑系统的鲁棒性，能够有效提高控制系统的性能和稳定性，为实际工程应用提供了可靠的控制方案。
最优控制问题的鲁棒H∞控制设计
最优控制问题的鲁棒H∞控制设计最优控制理论在工程系统控制中具有重要的应用价值。
然而，传统的最优控制方法在系统模型存在不确定性或外部干扰的情况下可能无法有效应对。
为了克服这一问题，鲁棒控制方法被引入到最优控制中，并且在实际应用中取得了显著的成果。
本文将探讨最优控制问题的鲁棒H∞控制设计方法及其应用领域。
一、鲁棒控制概述鲁棒控制是一种针对不确定性或外部干扰具有克服能力的控制方法。
其目标是在不确定性环境中实现系统稳定性和性能要求。
最常见的鲁棒控制方法之一是H∞控制，该方法通过优化问题来设计控制器，以抑制系统中不确定性的影响。
二、最优控制问题最优控制问题旨在通过选择最佳控制策略来实现系统的最优性能。
在没有不确定性时，可以使用动态规划、变分法等方法求解最优控制问题。
然而，在实际应用中，系统往往存在参数不确定性或外部干扰，导致最优控制问题变得更加复杂。
因此，需要引入鲁棒控制方法来解决这些问题。
三、鲁棒H∞控制设计方法鲁棒H∞控制方法是一种常用的鲁棒控制方法，其基本思想是在保证系统稳定性的前提下，优化系统对外部干扰的抑制能力。
鲁棒H∞控制设计问题可以被描述为一个优化问题，目标是最大化系统的H∞性能指标，并且确保控制器对系统模型不确定性具有鲁棒性。
为了实现鲁棒H∞控制设计，可以采用两种常用的方法：线性矩阵不等式（LMI）方法和基于频域分析的方法。
LMI方法通过求解一组线性矩阵不等式来得到控制器参数，从而实现系统的鲁棒H∞控制设计。
基于频域分析的方法则通过频域特性分析来设计控制器，以实现系统对不确定性的鲁棒性。
四、鲁棒H∞控制设计的应用领域鲁棒H∞控制设计方法在工程领域有广泛的应用。
它可以应用于飞行器姿态控制、机器人控制、智能电网控制等多个领域。
以飞行器姿态控制为例，鲁棒H∞控制设计可以有效提高飞行器对外部干扰的鲁棒性，并且保证姿态跟踪性能。
在机器人控制领域，鲁棒H∞控制设计可以提高机器人对环境不确定性的抑制能力，以实现精确的轨迹跟踪。
鲁棒控制 H∞控制 无源控制 非线性扰动 多时滞 不确定 线性矩阵不等式(LMI)
鲁棒控制论文：具有输入饱和的关联时滞大系统的研究【中文摘要】时滞关联大系统的研究是近年来控制领域的一个热点,并且日益受到人们的关注。
在一些条件下,有些问题只能用时滞关联大系统加以描述,例如:航空航天系统模型等。
输入含有饱和因子是一个普遍的非线性现象,若不考虑输入饱和因子而设计控制器,则无法保证闭环系统的稳定性。
近年来,已有文献对具有输入饱和的大系统进行研究,而对具有输入饱和的时滞关联大系统的研究却并不多见。
论文研究了具有输入饱和的时滞大系统的控制问题,采用Lyapunov方法,结合线性矩阵不等式理论,给出系统的稳定条件及H∞控制器、无源控制器和H∞保性能控制器的设计方法。
论文的主要研究内容如下:首先,研究了一类具有饱和因子的滞后关联大系统的分散控制问题,并给出了分散控制状态反馈控制器的设计方法。
其次,研究了一类具有输入饱和的关联时滞大系统的无源控制问题。
并给出了无源化状态反馈控制器的设计方法。
接着,研究了一类具有输入饱和的多时滞大系统的H∞控制问题。
给出了状态反馈控制器的存在条件和设计方法,并通过数值算例说明该方法的有效性。
最后,针对一类具有输入饱和的时滞大系统,研究了该系统的H∞保性能控制器设计问题。
通过构造Lyapunov函...【英文摘要】The study of time-delay large-scale interconnected system becomes a hotspot in the field of control, and has attracted more and more researchers. Under someconditions,some problems can only be described by time-delay large-scale interconnected system, such as aerospace system model and so on. Input saturation factor is a general non-linear phenomenon. Without considering the input saturation factor to design a controller, the stability of closed-loop system can not be ensured. In recent years, there are so...【关键词】鲁棒控制 H∞控制无源控制非线性扰动多时滞不确定线性矩阵不等式(LMI)【英文关键词】Time-delay large-scale system decentralized control H∞control Passive control Guaranteed cost control Input saturation Linear matrix inequalities (LMI)【索购全文】联系Q1：138113721 Q2：139938848【目录】具有输入饱和的关联时滞大系统的研究摘要5-6Abstract6-7第1章绪论10-20 1.1 大系统及关联大系统的产生和应用背景及理论发展10-13 1.1.1 大系统及关联大系统的产生和应用背景10-12 1.1.2 大系统及关联广义大系统的理论发展12-13 1.2 带时滞和不确定的大系统及关联大系统的理论研究13-16 1.3 具有输入饱和的时滞关联大系统的研究现状16-17 1.4 论文的主要工作和结构安排17-20第2章具有输入饱和因子的滞后关联大系统的分散控制20-30 2.1 引言20 2.2 系统描述与准备20-22 2.3 分散控制器的设计22-27 2.4 数值算例及仿真27-29 2.5 结束语29-30第3章具有输入饱和的关联时滞大系统的无源控制30-40 3.1 引言30 3.2 系统描述与准备30-31 3.3 系统无源控制31-36 3.4 数值算例及仿真36-39 3.5 结束语39-40第4章具有输入饱和的多时滞大系统的H∞控制40-54 4.1 引言40 4.2 系统描述与准备40-42 4.3 H∞控制器的设计42-50 4.4 数值算例及仿真50-53 4.5 结束语53-54第5章具有输入饱和的时滞大系统的H∞保性能控制54-62 5.1 引言54 5.2 系统描述与准备54-55 5.3 H∞保性能控制器55-60 5.4 数值算例60-61 5.5 结束语61-62结论62-64参考文献64-70攻读硕士学位期间承担的研究任务与主要成果70-71致谢71-72作者简介72出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
具有鲁棒性的控制设计方法
具有鲁棒性的控制设计方法控制系统的设计和实现通常面临着各种不确定性和外部扰动的挑战。
为了克服这些问题并确保系统能够稳定和可靠地运行，具有鲁棒性的控制设计方法变得至关重要。
在本文中，将介绍一些常用的鲁棒控制设计方法，并探讨它们的优点和适用范围。
一、H∞控制方法H∞控制方法是一种广泛应用于工业控制系统中的鲁棒控制方法。
它的核心思想是通过优化控制器的H∞范数性能指标，使得控制系统对不确定性和扰动具有一定的鲁棒性。
H∞控制方法可以通过对控制器设计的性能要求进行权衡，从而实现系统的稳定性和鲁棒性。
H∞控制方法的主要优点是能够有效地处理各种不确定性和扰动，并具有较好的鲁棒性。
然而，它也存在一些局限性，例如需要对系统模型的不确定性进行较为准确的描述，以及对系统的结构进行一定的约束。
二、μ合成控制方法μ合成控制方法是一种基于现代控制理论的鲁棒控制方法。
它通过优化控制器的μ性能指标，实现系统的鲁棒性和性能要求之间的权衡。
μ合成控制方法能够有效地处理不确定性和扰动，并在实际应用中取得了良好的效果。
μ合成控制方法的主要优点是能够在控制器设计过程中兼顾系统的性能和鲁棒性要求，并具有较好的数学理论基础。
然而，μ合成控制方法也存在一些技术难题，例如需要进行复杂的计算和优化，并对系统的结构和参数进行一定的限制。
三、鲁棒PID控制方法鲁棒PID控制方法是一种基于传统PID控制算法的鲁棒控制方法。
它通过在PID控制器中引入补偿器，实现对系统不确定性和扰动的补偿，从而提高系统的稳定性和鲁棒性。
鲁棒PID控制方法的主要优点是简单易用，适用于各种不确定性和扰动情况，并且不需要对系统模型进行精确的描述。
然而，鲁棒PID 控制方法也存在一些问题，例如控制器的性能受限于PID结构的局限性，并且对不确定性和扰动的补偿能力有一定的限制。
四、自适应控制方法自适应控制方法是一种通过在线估计和补偿系统的不确定性和扰动的鲁棒控制方法。
它通过不断更新控制器的参数，使系统能够自适应地应对不确定性和扰动的变化，从而实现系统的鲁棒稳定性。
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JH
即存在H的非奇异特征向量矩阵W，使得
W11 W12 W11 W12 J H 1 W HW H W21 W22 W21 W22 0
2018年4月27日 鲁棒控制
1
0 JH
5
定理：矩阵代数Riccati方程存在唯一解 P PT W21W111 0 T Re A BB P 0 的充分必要条件是（A,B）能稳定， 且使 (C,A)能检测。若还有(C,A)能观测，则P>0.
其中γ>0，则下述条件式等价的： a) G ; b) H 在虚轴上没有特征值； c) 黎卡提方程 XA AT X 2 XBBT X C T C 0 具有半正定解X≥0。
2018年4月27日
鲁棒控制
9
关于H∞范数的定理(2)
定理2： G 的充要条件是Mγ在虚轴上没有特征值。
的稳定化解，用X＝Ric(H)表示。
定义: 若哈密顿矩阵H在虚轴上没有特征值，对应于稳定
X1 特征值的特征向量基 X 满足式 H 2
X1 X1 X X Z 2 2
，其中X1是
非奇异的，则H∈dom(Ric)。
2018年4月27日
鲁棒控制
则哈密顿(Hamilton)矩阵定义为：
A R H T Q A
关于 X R nn 的矩阵方程：
XA AT X XRX Q 0
称为黎卡提(Riccati)方程。
2018年4月27日
鲁棒控制
3
哈密顿矩阵与黎卡提方程
考虑代数Riccati方程和相应矩阵H
在虚轴上没有特征值； c) 黎卡提方程
X ( A BR1DTC) ( A BR1DTC)T X XBR1BT X C T (I DR1DT )C 0
具有使 A0 A BR1DTC BR1BT X 稳定的半正定解X≥0； d) H∈dom(Ric)，Ric(H)≥0。
PA AT P PBBT P CT C 0
A H T C C BBT AT
nn n p q n 其中 A R , B R , C R , 且B为列满秩，C为行满秩。
定义1：如果2n×2n矩阵H满足
J 1H T J H
0 其中 J I
2018年4月27日 鲁棒控制 13
关于H∞范数的两个基本定理(2)
定理2：下述两个命题是等价的: a) G ； b) 对于一个充分小的常数 > 0，黎卡提方程
X ( A BR1DTC) ( A BR1DTC)T X XBR1BX C T (I DR1DT )C I 0
2 T 1 T
1/ 2
C
2018年4月27日
鲁棒控制
14
H∞范数与Riccati不等式
设严格正则有理传递函数 Gs CsI A1 B ，则 A 为稳定 阵，且 G s 1 的充分必要条件为存在矩阵P>0，满 足Riccati不等式
PA AT P PBBT P CT C 0
具有正定解X﹥0。
G s C SI A B D
1
AM A B I D D DT C
2 T 1
G s
CM sI AM BM
1
BM B I D D
2 T
1/ 2
CM I D I D D D
3
1 2
2
yes
2 3
G
3
no
1 3
2 1
G
2018年4月27日
no
1 2
2
12
yes
结 鲁棒控制 束
关于H∞范数的两个基本定理(1)
定理1：下述四个命题是等价的: a) G ；
A BR 1 DT C BR 1 BT b) 哈密顿矩阵 H T 1 T 1 T T C ( I DR D ) C ( A BR D C )
A H T CC
2018年4月27日
BB T ∈dom(Ric), X＝Ric(H)≥0。 T A
鲁棒控制 8
当(C, A)为能观测时，则X＝Ric(H )>0成立。
Байду номын сангаас
关于H∞范数的定理(1)
定理1：对于稳定传递函数G(s)=C(sI-A)-1B，定义哈密顿矩阵
A 2 BBT H T T C C A
选择一个常数γ>0; 计算哈密顿矩阵的特征值λi； 若有λi在虚轴上，则增加γ，否则减少γ；
通过折半搜索不断地进行迭代计算，可使γ的搜索快
速收敛于 G
，并且具有任意的精度。
2018年4月27日
鲁棒控制
11
H∞范数计算的框图
开 始
1 G 2 取两个满足 的初始值γ1 和γ2 以及精度要求ε≥0
证明：充分性 （1)解的存在性 A BBT P 为稳定矩阵 （3） （5）解的唯一性 必要性
（2）解的对称性 （4）解的非负定性
2018年4月27日
鲁棒控制
6
X=Ric(H)和dom(Ric)的定义
定义: 满足黎卡提方程 XA AT X XRX Q 0 ,并且使
T XA A X XRX Q 0 A－RX稳定的X，称为黎卡提方程
H∞范数与Riccati方程/不等式
2018年4月27日
鲁棒控制
1
系统描述
Ax Bu x y Cx Du
u
1
G
D0
y
Gs CsI A B Gs CsI A B D
1
2018年4月27日
鲁棒控制
2
哈密顿矩阵与黎卡提方程
T T 设 A, Q, R Rnn ，而且 Q Q , R R ，即Q和R是对称的，
2018年4月27日
鲁棒控制
15
设严格正则有理传递函数 ，则 A 为 稳定阵，且 G s 1 的充分必要条件为 DT D I 且存在矩阵P>0，满足Riccati不等式
P A BR D C A BR D C P PBR 1 BT P
1 T 1 T T
Gs CsI A B D
1
C T I DR 1 DT C 0
其中
R I DT D
2018年4月27日
鲁棒控制
16
THANK YOU!
2018年4月27日
鲁棒控制
17
7
有关哈密顿矩阵和黎卡提方程的结论
结论1: 若H∈dom(Ric)，X＝Ric(H)，则 a) X＝XT； b) XA＋ATX－XRX＋Q＝0； c) A－RX是稳定的。 结论2: 如果H在虚轴上没有特征值，R是半正定的或半负定 的 对称矩阵，而且(A，R)是可稳定的，则H∈dom(Ric)。 结论3: 若(A, B)是可稳定的, (C, A)是可检测的, 则哈密顿矩阵
A BR D C BR B M 2 T 1 1 T C S C ( A BR D C )
1 T 1 T T
S 2 I DDT
R 2 I DT D
max ( D)
2018年4月27日
鲁棒控制
10
H∞范数计算的步骤
2018年4月27日
( J 1H * J H )
I ，则称H为Hamilton矩阵。 0
鲁棒控制 4
哈密顿矩阵与黎卡提方程
如果Hamilton矩阵H没有虚轴上的特征值，则H矩阵具有下述性 质：若 ，i=1,2,…,n i H ,i 则 H 。即H的特征 值以虚轴、实轴对称。 如果系统（A,B）能稳定，（C,A）能检测，则矩阵H没有虚 轴上的特征值，且H的Jordan标准型为