初中数学PPT课件：21.2.2 公式法

初中数学教学课件：21.2.2 公式法(人教版九年级上)

x2 x 6.82 102.
即，2x2-13.6x-53.76＝0. 解这个方程,得 x1＝9.6; x2＝-2.8(不合题意,舍去).
∴x-6.8=2.8．答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
10
x
x-6.8
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
∴x b b2 4ac 3 25 3 5
2a
22
4
ห้องสมุดไป่ตู้
即x1=2,x2= 1 . 2
跟踪训练
1、解方程：x2 3 2 3x
【解析】化简为一般式
x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=( 2 3 )2 - 4×1×3=0,
x 2
3 21
0
23 2
3,
即：x1= x2= 3
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6．【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0
这里 a=3, b=-7, c=8. ∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程没有实数根.
21.2.2 公式法
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.了解公式法的概念； 3.会熟练应用公式法解一元二次方程．
1、请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0
2、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把原方程化成 x2+px+q=0的形式；
（x1-1）（x2-1） (1 2 1)(1 2 1) 2 2 2

21.2.2 公式法课件人教版数学九年级上册

感悟新知
知2－讲
(2)用求根公式解一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定公式中 a， b， c 的值； ③求出 b2－4ac 的值，判断根的情况； ④把 a， b 及 b2－4ac 的值代入求根公式求解 .
感悟新知
例3 用公式法解下列方程： (1) x2 － 2x+3=0. (2) 2x2 － 7x+4=0； (3) 3x2 － 2 3 x= － 1；
感悟新知
3-2.用公式法解下列方程： (1) y2 － 2y － 2=0； (2) 3x2 － 2x=4； (3) x2+6=2 ( x+1 ) ； (4) 5x2 － 2 5 x+1=0.
知2－练
感悟新知
解：(1)a＝1，b＝－2，c＝－2.
知2－练
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－2)＝12>0.
方程有两个不等的实数根
字母值是负数，则需将
x=
－
(－ 7 ) ± 2×2
17 ，
即
x1=
7+ 4 17，
x2=
7－ 4
17.
其用括号括起来，不能漏掉“-”号.
感悟新知
(3)方程化为 3x2－2 3 x+1=0. a=3， b=－2 3 ， c=1. Δ = ( －2 3 ) 2－4× 3× 1=0. 方程有两个相等的实数根
课堂小结
公式法
用公式法关键根的
解一元二
判别式
次方程
有两个不等的实数根有两个相等的实数根无实数根
感悟新知
知2－讲
2. 公式法 (1) 定义：解一个具体的一元二次方程时，把各系数
直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法 .

九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版

合作探究
2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2x＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
2＋ 3
2－ 3
(2)x 1＝ 2 ，x 2＝ 2 ；
第二十一章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．
学前准备
用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0；解：x1＝－2，x2＝－1； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：无解．
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1 4
Hale Waihona Puke ；(2)m＝；14
(3)m＞ .
1 4
合作探究
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋ mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1 ＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．根((，45))也由一可求般能根地有，公式式可子个知b12实，－根一4a或元c叫者二做次方方实程程没根a最x有．2多＋有bx＋c2个＝实数 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2 －4ac.

人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法

21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0，第二十一章一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：

人教版数学九年级上册《21.2.2 公式法》课件(共27张PPT)

∴该方程有两个实数根
巩固练习
2. 选一选.
（1）下列方程中，没有实数根的方程是（ D ）
A.x²=9
B.4x²=3(4x-1)
C.x(x+1)=1
D.2y²+6y+7=0
（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式
子是（ D ）
A. b²-4ac＞0
B. b²-4ac＜0
C. b²-4ac≤0
A. k>-1 C. k<1
B. k>-1 且k≠ 0 D. k<1 且k≠0
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx ＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ x2 2x m 1 0没有实数根 4-4(1-m)<0, ∴m<0
对于方程 x2＋mx＝1-2m ，即 x2 mx 2m 1 0
考点探究1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
x 4 44 2
x1 2 11
x2 2 11
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
人教版数学九年级上册
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.
2.灵活应用△ =b²－4ac 的值识别一元
二次方程根的情况. 3.会熟练应用公式法解一元二次
方程.
探究新知
公式法的概念

人教新课标版数学九年级上册21.2.2-一元二次方程的解法-公式法(2)课件

若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实
数解根：∵. 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0， b2 4ac 0
凡形先如把方a程x2+的c常=0数(项a≠移0到, a方c<程0的) 右边，再把左边配成一
个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接
开平方法或来求a出(x+它p的)2解+q.=0 (a≠0, aq<0)
的公一式元二法次是方解程一都元可二用次直接方开程平的方通法法解..
一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
解：∵ b2 4ac (m 5)2 4 2(m 1)
把判别式配方 m2 10m 25 8m 8
m2 2m 17
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
典型例题解析
【例5】已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
解 : a 1, b 2m 1, c m2 4, b2 4ac (2m 1)2 4(m2 4) 4m2 4m 1 4m2 16 4m 17
由4m 17 0, 得m 17 . 4
当m 17 时,b2 4ac 0, 4
（3） x2 x 1 0
（4） x2 x 1 0
（5） 2x2 x 3 0 （6）2x2 x 3 0

21.2.2公式法

视频：求根公式的趣味记忆
二公式法解方程
典例精析
例1 用公式法解方程 x2-4x-7=0
x b b2 4ac 2a
解：∵a=1,b=-4,c=-7， =b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0.
方程有两个不b 等的b实2数根4ac x 2a
(4) 44 2 11 即 x1 2 21 11, x2 2 11
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
问题：接下来能用直接开平方解吗？
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当根．
b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）有实数
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
这里的a、b、
c的值是什么？
=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0.
方程有两个不等的实数根
b b2 4ac x
2a
x b b2 4ac (4) 36 4 6
2a
25
10
即
x1
1,
x2
1 5
例4 解方程：x2 17 8x
解：∵a=1,b=-8,c=17，
这里的a、b、
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方
程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
0,它的根是 :
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
当 b2 4ac 0

2 解一元二次方程公式法PPT课件(人教版)

12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__．练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0

初中数学九年级上册(人教版)精品课件-21.2.2公式法.ppt

a 1、 b -2 3、 c 3.
Q b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0，
x （-2 3）
ห้องสมุดไป่ตู้
0 2
3
3.
21
2
即：x1 x2 3.
b b2 4ac x
2a
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到0.001）.
解： a 1,b 1,c 1,
b2 4ac 12 41 (1) 5 0
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361
x1 0.618, x2 1.618.
例4 解方程：4x2-3x+2=0 解： Q a 4,b 3,c 2. b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0.
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
导入新课
复习引入
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1× （-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，
要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
•b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.

解一元二次方程-公式法 ppt课件

利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0

∵ = 1，b=−4，c=−7.

∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
= 2 + 11， = 2 − 11.
x

，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k

=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得

21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.

2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求的值．

2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋－1＝0，

令t＝，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，

∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×

＝
－±
)±
±
＝
，
×

即x1＝2 ，x2＝．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，

×

－＋

－－
，x2＝
．

小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝

x－＝0．

±

8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±

9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋

6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：

公式法解一元二次方程课件-人教版九年级上册数学

解：∵a = 1, b = -4, c = -7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
∴方程有两个不相等的实数根：
x b b2 4ac 2a
4
44 4 2 11 .
2 1
2
2 11
x1 2 11; x2 2 11
例题
例2 用公式法解方程： 2x 2 2 2x 1 0
应用拓展
3．在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
解：由Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝b2＋8b－20＝0，解得b＝2或b＝－10(不合题意，舍去)， ∴b＝2 (1)当c＝b＝2时，b＋c＝4＜5，不合题意； (2)当c＝a＝5时，周长为a＋b＋c＝12
解：(1)a＝1，b＝1，c＝－6.
Δ＝b2－4ac＝12－4×1×(－6)＝25＞0.
方程有两个不等的实数根 x＝
1 25 ，
21
即x1＝2，x2＝－3.
课堂练习
(2)a＝1，b＝－ 3，c＝－14.
Δ＝b2－4ac＝(－
3
)2－4×1×－1
4
＝4＞0.
方程有两个不等的实数根x＝( 3 ) 4 ，
再见
21.2.2 公式法解一元二次方程
九年级上册
学习目标
1、掌握公式法解一元二次方程的推导过程。
2、掌握用公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。 3、求根判别公式的应用。
学习重难点重点使用公式法解一元二次方程。难点公式法解一元二次方程的推导过程及其求根判别公式的应用。
应用拓展
4．对于实数m，n，定义一种运算“ ”：m n＝mn＋n. (1)求2 5与2 (－5)的值；解：2 5＝2×5＋5＝15； 2 (－5)＝2×(－5)＋(－5)＝－15.

21.2.2 公式法(15张ppt)

的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公
式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个
实数根.
注意
三一元二次方程根的判别式
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
判别式的情况
>0 =0 <0 ≥0
根的情况两个不相等实数根两个相等实数根没有实数根两个实数根
情境引入
不解方程，判断下列方程的根的情况？
5x2-4x-12=0 x2 3 2 3 x 4x2-3x+2=0
讲授新课
一求根公式的推导
合作探究
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 （a≠0）
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0).
相等的实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 (2)2 4k 0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
1.不解方程，判别关于x的方程 x2 2 2kx k 2 0 的根的情况.
解： 2 2k 2 4 1 k2
8k 2 4k 2 4k 2 k2 0 4k 2 0 0
所以方程有两个实数根．
课堂小结
公式法
求根公式
b b2 4ac x
2a